A teoria da ruína aplicada em um modelo de empresa financeira com risco de crédito

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ˆ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA ´ ˜ EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUA C ¸ AO APLICADA E ESTATÍSTICA. JACKELYA ARAUJO DA SILVA. A TEORIA DA RUÍNA APLICADA EM UM MODELO DE EMPRESA FINANCEIRA ´ COM RISCO DE CREDITO. NATAL - RN 2008.

(2) JACKELYA ARAUJO DA SILVA. A TEORIA DA RUÍNA APLICADA EM UM MODELO DE EMPRESA ´ FINANCEIRA COM RISCO DE CREDITO. Disserta¸caõ apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Aplicada e Estat´ıstica - PPGMAE, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada e Estat´ıstica. Orientador: Prof. Dr. André Gustavo Campos Pereira.. NATAL - RN 2008.

(3) UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ˆ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA ´ ˜ EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUA C ¸ AO APLICADA E ESTATÍSTICA. JACKELYA ARAUJO DA SILVA. A TEORIA DA RUÍNA APLICADA EM UM MODELO DE EMPRESA ´ FINANCEIRA COM RISCO DE CREDITO. Comiss˜ ao Examinadora: Prof◦ . Dr◦ . André Gustavo Campos Pereira (PPGMAE/UFRN - Orientador) Prof◦ . Dr◦ . Francisco Antonio Morais de Souza (DME - UFCG) Profa . Dra . Viviane Simioli Moreira Campos (DM - UFRN). NATAL - RN 2008.

(4) AGRADECIMENTOS. Agrade¸co a Deus por ter me acolhido em seus bra¸cos nos meus momentos dif´ıceis. Sem esse aconchego, esse trabalho não seria conclu´ıdo. Agrade¸co também a meus pais, a meus irmãos e amigos que conquistei ao longo dessa caminhada. Agrade¸co também uma pessoa muito especial a quem devo, em parte, a conclusão desse trabalho, Flank David. E que com a ajuda dele eu consegui renovar as minhas alegrias. Agrade¸co também, ao professor André Gustavo Campos Pereira, pela paciência e orienta¸cão dedicada durante a constru¸caõ deste trabalho. Aos professores Francisco Morais e Viviane Simioli, pelas sugestões de melhoria e corre¸co˜es, bem como por terem aceito participar da banca. Ao professor Jaques Silveira, pela participa¸cão no meu exame de qualifica¸caõ. Aos colegas e funcionários do PPGMAE, em especial ao secretário Paulo, pela prestatividade e Hermes, pela ajuda com o “meu” computador. Aos professores de matemática da UFCG, em especial ao professor Antonio José, pela recomenda¸caõ ao mestrado. Ao professor Damião, pelas brilhantes e espetaculares aulas e pela paciência e simplicidade ao ministrá-las. Aos professores do PPGMAE, em especial a chefe, pela acolhida como aluna especial no programa. Ao meu grande amigo, professor Lu´ıs Barbosa de Sousa, pela amizade e ajuda. Aos professores do Departamento de Matemática da UFPI, pelo apoio cont´ınuo; em particular, aos professores Ben´ıcio, Barnabé, João Xavier e é claro, ao professor Marcondes Clark, pela minha recomenda¸cão ao mestrado. Aos meus sobrinhos, Maria Clara, Jackson Cosme e Matheus Cosme, pela alegria e por fazerem parte da minha vida. A minha grande amiga e quase irmã, Ana Paula P. C., pelas conversas sem futuro e pelas boas gargalhadas.. 4.

(5) ´ DEDICATORIA. Dedico esta disserta¸caõ a meus pais: Cosme Damião da Silva e Maria Ara´ ujo Linhares da Silva (Dona Remédios); a meus irmãos: Jackeline, Jackélio, Concei¸caõ e Jálio; a meus sobrinhos: Maria Clara, Jackson e Matheus; e ao meu amor: Flank David.. 5.

(6) RESUMO. Neste trabalho estudamos um novo modelo de risco para uma empresa que é sens´ıvel a classifica¸caõ de risco de crédito, proposto por Yang(2003). Obtemos equa¸cões recursivas para a probabilidade de ru´ına em tempo finito, distribui¸cão do tempo de ru´ına, sistemas de equa¸co˜es integrais do tipo Volterra para severidade e distribui¸caõ conjunta do capital antes e depois da ru´ına. Palavras chaves: Teoria da ru´ına; Classifica¸caõ de risco; Cadeia de Markov; Probabilidade de ru´ına; Tempo de ru´ına; Severidade da ru´ına; Sistemas de equa¸co˜es integrais do tipo Volterra..

(7) ABSTRACT. In this work we study a new risk model for a firm which is sensitive to its credit quality, proposed by Yang(2003). Are obtained recursive equations for finite time ruin probability and distribution of ruin time and Volterra type integral equation systems for ultimate ruin probability, severity of ruin and distribution of surplus before and after ruin. Keywords: Ruin theory; Credit rating; Markov chain; Default probability; Default time; Severity of ruin; Recursive equation; Volterra type integral equation system..

(8) Conte´ udo Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Preliminares. 6 12. 1.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.2. Processo Estocástico e Cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.3. Processo de Risco a Tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2 Modelos de Risco com Risco de Cr´ editos Markovianos. 18. 2.1. Classifica¸caõ de Risco de Crédito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.2. O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3. Fórmula recursiva para a probabilidade de ru´ına em tempo finito . . . .. 22. 2.4. Distribui¸cão do Tempo de ru´ına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.5. Distribui¸cão da severidade de ru´ına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 2.6. Distribui¸cão do Capital antes e depois da ru´ına . . . . . . . . . . . . .. 46. A Esperan¸ca condicional. 54. Referˆ encias. 59.

(9) Introdu¸ c˜ ao “O valor de nossas expectativas sempre significa algo entre o melhor que podemos esperar e o pior que podemos temer”- Jacob Bernoulli, 1654-1705. Mesmo com uma simples defini¸caõ de conceito risco o assunto é complexo. A etimologia da palavra risco deriva do italiano antigo “risicare”, cujo significado é ousar. Antigamente, a cerca de 350 anos, pensava-se ser imposs´ıvel prever risco. Porém, os instrumentos de quantifica¸caõ do risco de perdas em carteiras de ativos tiveram origem nos trabalhos de Blaise Pascal e Pierre de Fermat, por volta de 1650, com estudos sobre a teoria das probabilidades. Já no ano de 1713, como a cria¸caõ da Lei dos Grandes N´ umeros, publicada em Ars Conjectandi, Bernoulli deixava uma forte contribui¸caõ para toda a´rea financeira, além de seus estudos sobre processo de inferência estat´ıstica. Posteriormente, em 1754, Thomas Bayes demonstrou como tomar decisões mais bem fundamentadas, associando informa¸co˜es novas e antigas. Quando falamos em riscos financeiros, associamos a incerteza do retorno do que foi investido. Porém, vale ressaltar que há uma diferen¸ca entre risco e incerteza. Segundo, Geraldo Tosta de Sá [25], tanto risco quanto incerteza estão associados a um conhecimento imperfeito. Numa situa¸caõ dita de risco conhece-se a exata distribui¸caõ de probabilidades de cada um dos eventos poss´ıveis relacionados a` decisão tomada, ou seja, pode-se construir objetivamente a distribui¸cão de probabilidades do evento futuro (suposta uma variável aleatória). Exemplificando; quando apostamos em um n´ umero no arremesso de dados, ou no jogo da roleta, não sabemos antecipadamente o n´ umero que vai sair, mas conhecemos exatamente a probabilidade de acertar ao efetuarmos uma aposta. Por outro lado, uma situa¸caõ é dita de incerteza quando não temos conhecimento.

(10) 7 objetivo da distribui¸caõ de probabilidades associada aos eventos que poderão ocorrer. O que se procura numa situa¸cão de incerteza é estimar uma distribui¸caõ de probabilidade para um evento futuro, utilizando para isso conhecimento acumulado pelo exame dos resultados de situa¸cão análogas ocorridas no passado. Exemplificando; ao se estimar o tempo de vida restante de uma pessoa de determinada idade, estamos diante de uma situa¸caõ de incerteza; todavia as companhias seguradoras, para estipular o custo de uma apólice de seguro de vida, utilizam tábuas de mortalidade constru´ıdas a partir de observa¸cões passadas. Basicamente, os tipos de riscos de um investidor financeiro ou institucional são: • Risco de mercado: O risco de mercado depende do comportamento do pre¸co do ativo diante das condi¸cões de mercado. Para entender e medir poss´ıveis perdas devido às flutua¸co˜es do mercado, é importante identificar e quantificar o mais corretamente poss´ıvel as volatilidades e correla¸co˜es dos fatores que impactam a dinâmica do pre¸co do ativo. • Risco de crédito: Está relacionado a poss´ıveis perdas quando um dos contratantes não honra seus compromissos. As perdas aqui estão relacionadas aos recursos que não mais serão recebidos. ´ o risco de não conseguir vender determinado ativo no mo• Risco de liquidez: E mento em que se quer vendê-lo, pelo seu pre¸co justo. • Risco de taxas: Decorre de movimentos adversos nos ´ındices e valores variáveis que compõem uma carteira, ou seja, risco que está relacionado com as oscila¸cões de taxas no mercado. ´ o risco relacionado a` troca de moedas envolvendo passivo • Risco de câmbio: E em uma moeda forte (por exemplo, o dólar americano) e ativo em uma moeda estável (por exemplo, o real brasileiro). O investidor financeiro aqui citado refere-se à pessoa f´ısica ou jur´ıdica que realiza opera¸cões no mercado financeiro e de capitais com a finalidade de auferir ganhos financeiros. Já o investidor institucional refere-se a` institui¸cão que possui grande quantidade de recursos financeiros estáveis. Estas normalmente investem por longo prazo e de forma diversificada, por exemplo: renda fixa, a¸cões, imóveis, etc..

(11) 8 O estudo da teoria da ru´ına tem sido a principal a´rea de interesse na Ciência Atuarial, visto que a probabilidade de ru´ına tem sido usada por empresas seguradoras como uma medida de risco. Por volta de 1905, Filip Lundberg introduziu um modelo que descreve a quantia de dinheiro que uma seguradora terá em caixa ao final de um per´ıodo. Todos os detalhes podem ser encontrados em Asmussem,[2] ou Grisi, [17]. Esse modelo está intimamente ligado com a quantidade de indeniza¸co˜es que chegam a essa seguradora. No modelo, ele assumiu que o processo de chegadas dessas indeniza¸co˜es é um processo de Poisson homogêneo em que as quantias de indeniza¸co˜es são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas, independentes do tempo de ocorrências das indeniza¸co˜es e que as entradas de prêmios (pagamentos feitos a` seguradora) é linear no tempo. Esse modelo ficou conhecido como o modelo de risco clássico, cuja expressão é Rt = u + pt −. N (t) . Yk , t > 0,. (1). k=1. onde Rt representa a quantia em dinheiro de uma seguradora ao final do tempo t, u representa o capital inicial, p a taxa de prêmio por unidade de tempo, Yk representa o valor da indeniza¸caõ paga pela seguradora e N (t) representa a quantidade de pedidos de indeniza¸cões que chegam a` seguradora até o tempo t. O interesse nesse tipo de modelo é sabermos qual a probabilidade dessa empresa seguradora falir, se ela come¸cou a operar com um capital inicial u, isto é, ψ(u) = P (inf Rt < 0|R0 = u). t≥0. A expressão acima é conhecida como probabilidade de ru´ına. Um outro interesse no estudo desse tipo de modelo, é sabermos calcular qual a probabilidade de ru´ına de uma empresa seguradora antes de um tempo finito T. Ou seja, ψ(u, T ) = P ( inf Rt < 0|R0 = u). 0≤t≤T. Infelizmente as respostas exatas a estes questionamentos são muito dif´ıceis de serem explicitadas. O que se conseguiu foi estabelecer uma cota superior para tais probabilidades de ru´ına, conhecidas como desigualdade do tipo Lundberg. Algumas modifica¸co˜es para esse modelo podem ser encontradas em Jarrow [19], Kijima [20], Dickson [7], Cai.

(12) 9 [4] e [5]. Por exemplo, para o modelo de Lundberg, sob certas hipóteses, mostra-se que ψ(u) ≤ e−γu onde γ = cte > 0, é conhecido como coeficiente de ajuste ou coeficiente de Lundberg. A demonstra¸caõ dessa desigualdade de forma detalhada pode ser encontrada em Grisi [17]. Outro modelo que se seguiu ao de Lundberg considerou tanto os prêmios quanto as indeniza¸cões em um intervalo de tempo como variáveis aleatórias i.i.d. e o capital da empresa era verificado apenas ao final de cada per´ıodo, obtendo a expressão Rn = u +. n . (Xi − Yi ),. i=1. onde Xi e Yi representavam os valores do prêmio e da indeniza¸caõ pagos no per´ıodo (i − 1, i). Desse modelo surgiu a pergunta: E se fosse poss´ıvel a empresa calcular a diferen¸ca (Xi − Yi ) a uma taxa de juro fixa r? Desta pergunta surgiram dois novos modelos proposto por Cai[4] e [5]:. (i) Considera que o prêmio é pago no in´ıcio do per´ıodo e as indeniza¸co˜es são pagas no final. Rn = (Rn−1 + Xn )(1 + r) − Yn. (ii) Tanto os prêmios quanto as indeniza¸cões são pagas ao final do per´ıodo Rn = Rn−1 (1 + r) + Xn − Yn. Poder´ıamos perguntar, e se a estrutura de juros não for fixa, isto é, seja permitido haver uma mudan¸ca de forma aleatória na taxa de juros ao longo do tempo? Esta pergunta gerou um novo modelo onde a estrutura de juros era uma processo AR(1) e mais tarde generalizado, supondo que a taxa de juros era uma Cadeia de Markov..

(13) 10 A seguir outra pergunta surge naturalmente: E o risco de solvência de uma empresa? Ele não interfere no processo de capital da mesma, uma vez que os empréstimos e as taxas de juros obtidas dependem de tal classifica¸caõ? Este trabalho é baseado no artigo Ruin theory in a financial corportion model with credit risk de Hailiang Yang [29] responde a esta pergunta, pois neste trabalho o autor analisa a probabilidade de ru´ına de uma empresa que é sens´ıvel a classifica¸caõ de risco de crédito. Com o objetivo de ajudar no entendimento deste trabalho, estruturamos essa disserta¸caõ da seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo apresentamos alguns resultados sobre teoria da ru´ına e tópicos da teoria das probabilidades que utilizamos no restante da disserta¸caõ. No segundo cap´ıtulo, definimos o que vem ser classifica¸caõ de risco e apresentamos dois modelos que refletem o problema anteriormente mencionado cuja expressão para o primeiro modelo é dada por:. Un = u +. n . I. Xj j−1 , n = 1, 2, 3, . . . ,. j=1. onde U0 = u > 0 representa o capital inicial, In denota a classifica¸caõ de risco de crédito no intervalo de tempo (n − 1, n), {Xji , j = 1, 2, . . . , n , i = 1, 2, . . . , k} é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e para cada i fixado as variáveis Xji j = 1, . . . , n são identicamente distribu´ıdas e representam ainda a diferen¸ca entre o valor da carteira no final e in´ıcio do intervalo de tempo (j − 1, j) quando a classifica¸caõ de risco de crédito é i. I. I. Consideraremos também que para todo m, n ∈ N, Xnj = Xmj . q.c. Assim, chamaremos Xji a mudan¸ca do portfólio ao final do intervalo (j − 1, j) se a classifica¸cão de risco de crédito da empresa no mesmo intervalo é de classe i. E posteriormente monstramos como proceder para calcular a distribui¸caõ do tempo de ru´ına, a probabilidade de ru´ına em um horizonte infinito, distribui¸cão da gravidade de ru´ına e a probabilidade antes e depois da ru´ına em um tempo finito para o primeiro modelo..

(14) 11 Existe uma vasta literatura sobre teoria da ru´ına, em Asmussen (200)[2] podemos encontrar de forma bem clara, estudos sobre processo de risco, resultados que envolvem a teoria do risco e Cadeias de Markov bem como toda a teoria de probabilidade de ru´ına. Já em Rolski et al (1999)[23] encontramos Processo Estocásticos aplicados em finan¸cas. Em Grandell [16] podemos encontrar aspectos da teoria do risco, e para estudos sobre o capital imediatamente antes e depois da ru´ına, podemos consultar Dufresne [12]. Além é claro de Gerber [15] onde temos um estudo sobre a probabilidade e severidade (gravidade) de ru´ına..

(15) Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Introdu¸ c˜ ao Neste cap´ıtulo apresentamos os conceitos e resultados que utilizaremos no restante. deste trabalho. Na se¸cão 1.2 relembramos alguns conceitos e resultados sobre Cadeias de Markov e na se¸caõ 1.3 falamos um pouco do modelo de risco clássico, algumas de suas modifica¸co˜es e os resultados obtidos para tais modelos.. 1.2. Processo Estoc´ astico e Cadeia de Markov Um processo estocástico, ou simplesmente, um processo, é uma fam´ılia de. variáveis aleatórias {Xt , t ∈ T}, definidas sobre um mesmo espa¸co de probabilidade (Ω, F, P ). Assim, para cada w ∈ Ω fixo, a fun¸cão Xt (w) na variável t, denotada por {Xt (w), t ∈ T}, é chamada uma realiza¸caõ do processo {Xt }t∈T . A sequência {Xt }t∈T é um processo a tempo discreto se o conjunto de ´ındices T for enumerável, e um processo a tempo cont´ınuo, se T for não enumerável. Defini¸c˜ ao 1.1 O conjunto S de todos os valores assumidos por um processo é chamado espa¸co de estados do processo. Se S é enumer´ avel, dizemos que o processo é uma Cadeia. Se S é não enumer´ avel dizemos que o processo tem espa¸co de estados geral. Defini¸c˜ ao 1.2 Um processo estocástico {Xt , t = 0, 1, 2, . . .} com espa¸co de estado S = {1, 2, 3, . . .} satisfaz a propriedade de Markov se, para cada n e todo i0 , i1 , . . . , in em S, temos.

(16) 13. P (Xn = in | Xn−1 = in−1 , . . . , X0 = i0 ) = P (Xn = in |Xn−1 = in−1 ) .. (1.1). Defini¸c˜ ao 1.3 Um processo a tempo discreto {Xt , t = 0, 1, 2, . . .} com espa¸co de estados enumer´ avel, que satisfaz a propriedade de Markov é chamado Cadeia de Markov. Defini¸c˜ ao 1.4 Uma cadeia de Markov é dita homogênea ou estacion´ aria no tempo se a probabilidade de ir de um estado a outro independe do tempo em que o passo é dado. Isto é, para quaisquer estados i, j ∈ S, temos: P (Xn = j|Xn−1 = i) = P (Xn+k = j | Xn+k−1 = i) .. (1.2). para k = −(n − 1), −(n − 2), . . . , −1, 0, 1, 2, . . . Denotamos por Pij a probabilidade de transi¸caõ do estado i para o estado j em um passo, ou seja, P (Xn = j | Xn−1 = i) , n = 1, 2, . . . Assim, a probabilidade de no tempo n estarmos no estado j sabendo que no tempo n − 1 estamos no estado i (n−1,n). é dada por P (Xn = j | Xn−1 = i) = Pij (n−1,n). Pij. (n+k−1,n+k). = Pij. . Caso a cadeia seja estacionária, então. , para todo k = −(n − 1), −(n − 2), . . . , −1, 0, 1, . . . . A essas. probabilidades condicionais denominamos de probabilidades de transi¸caõ da cadeia. Considerando, agora, {Xn } uma Cadeia de Markov com espa¸co de estados S = {1, 2, . . . , k}. Para essa cadeia existem n2 probabilidades de transi¸caõ {Pij }, i = 1, . . . , k e j = 1, 2, . . . , k. E a melhor maneira de recordarmos esses valores é em forma de uma matrix P = {Pij , i, j = 1, 2, . . . , k}, os quais representam a probabilidades de irmos de um estado i ao estado j em um passo. ⎛. P11 P12 · · ·. ⎞ P1n. ⎜ ⎜ ⎜ P21 P22 · · · P2n P=⎜ ⎜ .. .. .. ... ⎜ . . . ⎝ Pn1 Pn2 · · · Pnn. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. Observe que na matriz de transi¸caõ todas as entradas são não-negativas, visto que são probabilidades; e a soma de cada uma das linhas é sempre um..

(17) 14. 1.3. Processo de Risco a Tempo discreto Nesta se¸cão relembramos alguns modelos de risco . Em princ´ıpio descrevemos. o modelo clássico da teoria da Ru´ına, proposto por Filip Lundberg, e a seguir apresentamos algumas modifica¸co˜es do mesmo. Podemos encontrar de forma detalhada o modelo proposto por Lundberg em Asmussem [2] No modelo clássico de risco proposto por Filip Lundberg, o capital de uma empresa seguradora no tempo t é formado por um capital inicial mais os prêmios que ela recebe subtra´ıdo das indeniza¸co˜es pagas. Lundberg considerou o caso em que o total de prêmios recebidos ocorriam segundo uma fun¸caõ linear no tempo e as indeniza¸cões que chegavam a essa seguradora seguiam um processo de Poisson de parâmetro λ e os valores das indeniza¸cões pagas eram compostos por v.a.’s i.i.d. {Yn }n≥1 . O modelo então era descrito por. Rt = u + pt −. N (t) . Yk , t > 0,. (1.3). k=1. onde R0 = u é o capital inicial da empresa, pt é fun¸cão que descreve a entrada dos prêmios (linear no tempo), onde p é a taxa de prêmios, N (t) é um processo de Poisson de taxa λ e Yk é o tamanho da k−ésima indeniza¸cão. A variável Rt representa o capital de uma empresa seguradora no tempo t e é chamado de Processo de Reserva de Risco. Diz-se que ocorreu a ru´ına quando o processo de capital atinge valores negativos, e o primeiro instante onde isso ocorre é chamado de tempo de ru´ına τ (u), ou seja τ (u) = inf {t ≥ 0; Rt ≤ 0}. E assim, definimos a probabilidade de ru´ına do modelo (1.3), por ψ(u) = P (τ (u) < ∞) = P (Rt < 0, para algum t < ∞). Para este modelo, Lundberg considerando que os processos {Yk ; k = 1, 2, . . .} e {N (t); t > 0} são independentes, com E(Yk ) = μ, então a média das indeniza¸co˜es pagas por unidade de tempo será λμ. Como vimos, p representa a taxa de prêmios por unidade de tempo. Usualmente toma-se p = λμ(1 + θ) e o coeficiente θ, definido por θ=. p − λμ λμ.

(18) 15 é denomidado carga de seguran¸ca e pode ser interpretado como a propor¸cão de λμ em que a taxa de prêmios excede a de indeniza¸co˜es. Assim Filip Lundberg encontrou o seguinte limitante para a probabilidade de ru´ına. Teorema 1.5 Sejam θ(carga de seguran¸ca) e S(t) = u − R(t), Processo de Perda Agregada M´ axima. Se θ < 0 então M = supt≥0 S(t) = ∞ e a ru´ına é certa, isto é, ψ(u) = 1. Se θ > 0, ent˜ ao M < ∞ e para todo u sificientemente grande temos ψ(u) < 1. Em um outro modelo de risco consideram-se tanto os prêmios quanto as indeniza¸co˜es como processos a tempo discreto {Xk }k≥1 e {Yk }k≥1 respectivamente, obtendo o seguinte modelo Rn = u +. n . (Xk − Yk ) , n = 1, 2, . . .. (1.4). k=1. onde R0 = u é o capital inicial, e Xk e Yk são respectivamente o total em prêmios e indeniza¸co˜es pagos no intervalo de tempo (k − 1, k). Para este novo modelo Lundberg obteve o seguinte limitante para a probabilidade de ru´ına Teorema 1.6 (Desigualdade de Lundberg): Seja Rn o processo de reserva de risco a tempo discreto descrito em (1.4). Suponha que exista γ > 0 tal que E(e−γ(X1 −Y1 ) ) = 1. Nestas condi¸cões temos que ψ(u) ≤ e−γu . Em 2002, Cai[4] e [5] propôs modifica¸co˜es ao modelo clássico a tempo discreto descrito em (1.4), introduzindo taxas de juros com estruturas de dependência auto-regressiva de ordem 1, AR(1), de modo que possibilitou a obten¸cão de limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına que generaliza e melhoram a desigualdade de Lundberg, citada anteriormente.Detalhes da demonstra¸cão podem ser encontrados na disserta¸caõ de mestrado defendida na UnB pelo aluno Grisi[17]. O modelo proposto por Jun Cai (2002a, 2002b) é Rn = (Rn−1 + Xn ) (1 + In ) − Yn , n = 0, 1, 2, . . . ou equivalentemente Rn = u. n. k=1. (1 + Ik ) +. n k=1. (Xk (1 + Ik ) − Yk ). n. t=k+1. (1 + It ) ,.

(19) 16 onde convenciona-se que. a. (1 + It ) = 1 se a > b e considera-se os prêmios Xk sendo. t=b. pagos no in´ıcio do per´ıodo (k − 1, k) e investidos durante esse per´ıodo a uma taxa de juros Ik e, o modelo Rn = Rn−1 (1 + In ) + Xn − Yn , n = 0, 1, 2, . . . ou equivalentemente Rn = u. n. (1 + Ik ) +. k=1. n k=1. (Xk − Yk ). n. (1 + It ) ,. t=k+1. e considera-se os prêmios Xk sendo pagos apenas no final do per´ıodo (k − 1, k), não recebendo juros durante esse tempo. O próximo modelo de risco foi proposto por Jun Cai e David C.M. Dickson [7], o qual estende o modelo clássico de risco a tempo discreto proposto por Jun Cai(2002a, 2002b)[4] e [5]. Este modelo é praticamente o estudado em Cai(2002a, 2002b), a menos da entrada de juros oriundos de poss´ıveis investimentos ser uma Cadeia de Markov. O modelo é expresso por Rk = Rk−1 (1 + Ik ) − Zk , k = 1, 2, . . . .. (1.5). onde R0 = u ≥ 0 é uma constante ( o capital inicial) , {Zk , k = 1, 2, 3, . . .} é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d) com fun¸cão de distribui¸caõ comum G(z) = P (Z1 ≤ z), e {Ik , k = 1, 2, . . . .} é uma sequência de variáveis aleatórias e independentes de {Zk , k = 1, 2, 3, . . . .}. A perda l´ıquida, Zk , é calculada no final de cada per´ıodo e é igual ao total de indeniza¸cões pagas menos o total de prêmios recebidos no per´ıodo k. Assim, Zk = Yk − Xk , com {Yk , k = 1, 2, 3, . . .} sequência de variáveis aleatórias i.i.d. independentes de {Xk , k = 1, 2, 3, . . . .}, que também é uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. Além disso, {Ik , k = 0, 1, . . .} denota a taxa de juros no per´ıodo k e é uma Cadeia de Markov. Assim, Rk dado por (1.5) é o capital de uma seguradora com capital inicial u ao final do per´ıodo k. Os detalhes deste modelo podem ser encontrados na disserta¸cão de mestrado defendida pela UFCG pelo aluno Santos[26]. A variável Rk representa o capital de uma empresa seguradora ao final do per´ıodo (k − 1, k), e é chamado de Processo de Reserva de Risco a Tempo discreto..

(20) 17 Diz-se que ocorreu a ru´ına quando o processo de capital atinge valores negativos, e o primeiro instante onde isso ocorre é chamado de tempo de ru´ına τ (u), ou seja τ (u) = min{k ≥ 0, Rk ≤ 0}. E assim, a probabilidade de ru´ına do modelo (1.5), é dada por. ∞. .

(21) (Rk < 0) . ψ(u) = P (τ (u) < ∞) = P Rk < 0, para algum k < ∞ = P k=1.

(22) Cap´ıtulo 2 Modelos de Risco com Risco de Cr´ editos Markovianos Neste cap´ıtulo estudamos os dois modelos de risco para uma empresa ou institui¸caõ financeira que é sens´ıvel a classifica¸caõ de risco de crédito proposto por Hailiang Yang. Os modelos propostos em [29] se aplicam a uma corpora¸caõ financeira ou companhia de seguros. Nestes modelos para cada intervalo de tempo uma agência de classifica¸caõ de risco de crédito fornecerá uma classifica¸cão de risco de crédito para avaliar a capacidade das empresas em cumprir com suas obriga¸cões, e a dinâmica da classifica¸caõ de risco de crédito é modelada usando Cadeias de Markov.. 2.1. Classifica¸ c˜ ao de Risco de Cr´ edito A classifica¸caõ de risco é uma nota, por risco de crédito, atribu´ıda às empre-. sas, institui¸co˜es financeiras ou pa´ıses. O resultado é obtido através de uma avalia¸caõ realizada por empresas especializadas. Porém, vale ressaltar que a classifica¸caõ ou nota não é uma recomenda¸cão financeira, não é uma opinião sobre o potencial econômicopol´ıtico da empresa ou institui¸caõ financeira e também não se refere a uma auditoria contábil ou avalia¸cão gerencial. A classifica¸cão de risco de crédito se dá através de um pedido formal a` empresa especializada na classifica¸cão. A nota, por risco de crédito, varia de acordo com a capacidade da empresa analisada em honrar compromissos fi-.

(23) 19 nanceiros num determinado per´ıodo de tempo e com a suscetibilidade a`s oscila¸co˜es econômicas. ´ importante frisar que a avalia¸cão de risco não é u E ńica para todas as companhias que fornecem a classifica¸cão de risco, uma vez que essas companhias formam opiniões. Porém, as divergências das agências de classifica¸cão de risco de crédito são maiores a` medida em que as classifica¸co˜es se tornarem menores. Em geral, as emissões de t´ıtulos por empresas ou pa´ıses são classificados em três grupos: • o grupo que reflete o menor risco; • o de maior risco; • e o grupo que reflete o risco extremo e iminente. A seguir definiremos de forma resumida cada grupo e cada nota por risco de crédito, para maiores detalhes consultar Toscano[30] I - O grupo que reflete o menor risco. AAA Excelente qualidade e menor risco. Classifica¸cão que representa solidez financeira intr´ınseca acima da média. Apresenta risco quase nulo. ´ AA Otima qualidade e menor risco. Classifica¸cão que representa solidez financeira intr´ınseca mediana. Apresentam risco baixo. A Boa qualidade. Classifica¸cão que representa solidez financeira intr´ınseca boa. Apresentam risco baixo. BBB Qualidade satisfatória. Solidez financeira adequada. São institui¸co˜es estáveis. Apresentam risco baixo. II - O grupo que reflete o maior risco BB Qualidade razoável. Solidez financeira regular. Com risco médio. B Qualidade razoável. Solidez financeira regular e muito exposto a`s condi¸co˜es econômicas. O Risco é alto..

(24) 20 CCC Qualidade especulativa. Baixa solidez financeira, exigindo eventual assistência externa. O Risco é alto. III - O grupo que reflete o risco extremo e iminente C Qualidade muito especulativa. Risco de inadimplência. A institui¸caõ apresenta péssima solidez financeira. Risco alt´ıssimo. D Inadimplente. Existem empresas de classifica¸cão de risco de crédito espalhadas em todo o mundo e, embora cada uma delas utilize classifica¸co˜es diferentes, sua simbologia de classifica¸cão é muito similar. Duas empresas de classifica¸caõ de risco de crédito bastante conhecidas são Standard & Poor´s e Moody´s. As notas citadas acima são as simbologias de classifica¸co˜es utilizadas pela Standard & Poor´s.. 2.2. O Modelo Seja {It }t≥0 uma Cadeia de Markov homogêneo a tempo discreto com espa¸co de. estados S={1, 2, ..., k} e com probabilidades de transi¸caõ dadas por qij = P (It+1 = j | It = i) , i, j ∈ S, t = 0, 1, 2, . . .. (2.1). Podemos associar o estado 1 a` classe mais elevada de classifica¸cão de risco de crédito, e o estado k a` classe mais baixa. Na classifica¸cão de risco de crédito que citamos, o estado 1 representaria a nota AAA e o estado k a classifica¸caõ D. Então qij representa a probabilidade da classifica¸caõ de risco de crédito no próximo intervalo ser j dado que no intervalo anterior foi i. E a maneira mais conveniente de recordarmos esses informa¸cões é em forma de uma matriz Q = {qij , i, j = 1, 2, . . . , k}, na qual qij é a probabilidade de irmos do estado i para o estado j em um passo. Explicitamente temos: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ Q=⎢ ⎢ ⎢ ⎣. q11 q12 · · ·. ⎤ q1k. ⎥ ⎥ q21 q22 · · · q2k ⎥ ⎥ .. . . .. ⎥ .. . . . ⎥ . ⎦ qk1 qk2 · · · qkk.

(25) 21 Seja u o capital inicial e Xni a mudan¸ca do Portfólio ao final do intervalo n se a classifica¸caõ de risco de crédito da empresa no intervalo de tempo n é de classe i. O capital da empresa no tempo n é dado por. Un = u +. n . I. Xj j−1. (2.2). j=1. onde assumimos que • Xni , n = 1, 2, ... e i = 1, 2, ... , são variáveis aleatórias que, para intervalos de tempos diferentes ou classifica¸co˜es de risco de crédito distintas, a mudan¸ca de portfólio é uma v.a independente ; • a mudan¸ca de portfólio no n-ésimo intervalo de tempo depende apenas da classifica¸caõ de risco de crédito no intervalo de tempo n − 1; i • para todo i fixado i = 1, 2, ..., k , Xni = Xm q.c. para todo m, n = 1, 2, ...., ou seja,. se a classifica¸cão de risco é a mesma, o comportamento da mudan¸ca de portfólio será o mesmo q.c.. Diz-se que ocorreu a ru´ına ou inadimplência no tempo n se Un ≤ 0. O tempo de ru´ına, é definido por T = inf{k; Uk ≤ 0}. Observe que. n {Uk ≤ 0} . P (T ≤ n) = P k=1. De fato, considere A = {w; inf{k; Uk (w) ≤ 0} ≤ n} e B =. n . {w; Uk (w) ≤ 0}.. k=1. Seja a ∈ A então existe k0 ≤ n tal que Uk0 (a) ≤ 0. Assim a ∈ {w; Uk0 (w) ≤ 0} . n {w; Uk (w) ≤ 0} o que implica que a ∈ B. Logo A ⊂ B. Portanto, a ∈ k=1. Agora seja b ∈ B , então b ∈ {w; Uk (w) ≤ 0} para algum k ≤ n. Então existe k0 ≤ n tal que Uk0 (b) ≤ 0. Portanto, inf {k; Uk (b) ≤ 0} ≤ k0 ≤ n. Assim inf {k; Uk (b) ≤ 0} ≤ n e portanto b ∈ {w; inf {k; Uk (w) ≤ 0} ≤ n}. Logo B ⊂ A.. Assim. P (T ≤ n | U0 = u, I0 = i0 ) = P. n . k=1. {Uk ≤ 0} | U0 = u, I0 = i0. ..

(26) 22 A probabilidade de ru´ına no tempo n dado que o capital inicial da empresa é u e a classifica¸caõ de risco inicial é i0 é definida como: ψn (u, io ) = P (T ≤ n | U0 = u, I0 = i0 ) .. (2.3). Sendo o modelo usado para calcular a probabilidade de inadimplência no futuro, assumimos que I0 foi obtido baseado em informa¸cões anteriores( incluindo o capital inicial). Neste trabalho suporemos que Un é independente de In . Não inclu´ımos o estado de inadimplência no espa¸co de estado de {In }n≥0 , porque na prática inadimplência é um assunto mais dif´ıcil por envolver muitas outras variáveis e, portanto requer um estudo aprofundado da dependência de tais variáveis. i Como estamos supondo Xm = Xni q.c. para todo m, n, denotaremos a distribui¸caõ. de Xni por Fi (x), ∀n. Usaremos também a nota¸caõ Fi (x) para indicar 1 − Fi (x) = P (Xni > x), x ∈ R.. 2.3. F´ ormula recursiva para a probabilidade de ru´ına em tempo finito Considere ϕn (u, i0 ) = 1 − ψn (u, i0 ),. (2.4). que definimos como a probabilidade de solvência de uma empresa com capital inicial u e classifica¸cão de crédito inicial i0 . Assim, de (2.3). n. ϕn (u, i0 ) = 1 − P {Uk ≤ 0} | U0 = u, I0 = i0 =. = P. k=1 n . {Uk > 0} | U0 = u, I0 = i0. .. k=1. O teorema a seguir mostra que é poss´ıvel obter uma fórmula recursiva para tal probabilidade.

(27) 23 ao recursiva: Teorema 2.1 ϕn (u, i0 ) safistaz a seguinte equa¸c˜ ϕ1 (u, i0 ) = F i0 (−u) = 1 − Fi0 (−u), ϕn (u, i0 ) =. k . qi0 i. i=1. Demonstra¸ c˜ ao:. (2.5). ∞. −u. ϕn−1 (u + y, i)dFi0 (y) n = 2, 3, . . . .. (2.6). Assuma que no tempo t = 0, tem-se I0 = i0 . Logo,. P (I0 = i0 ) = 1. Observe que, para n = 1, temos. ϕ1 (u, i0 ) = P (U1 > 0 | U0 = u, I0 = i0 ).

(28) = P u + X1I0 > 0 | U0 = u, I0 = i0.

(29).

(30) = P X1I0 > −u | I0 = i0 = P X1i0 > −u | I0 = i0.

(31) = P X1i0 > −u = F i0 (−u).. Para n = 2. ϕ2 (u, i0 ) = P. 2 . {Uk > 0} | U0 = u, I0 = i0. k=1. = P (U1 > 0, U2 > 0 | U0 = u, I0 = i0 )

(32). = P u + X1I0 > 0, u + X1I0 + X2I1 > 0 | U0 = u, I0 = i0.

(33) = P X1I0 > −u, X1I0 + X2I1 > −u | I0 = i0.

(34) = P X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 > −u | I0 = i0.

(35) = P X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 > −u I(X i0 >−u,X i0 +X I1 >−u) dP = 1 1 2 Ω I(X i0 >−u) I(X i0 +X I1 >−u) dP = 1 1 2 Ω I i0 I i0 I1 dP = c (X1 >−u) (X1 +X2 >−u) i i (X10 >−u) (X10 >−u) = I(X i0 >−u) I(X i0 +X I1 >−u) dP + I i0 I i0 I1 dP c (X1 >−u) (X1 +X2 >−u) i i 1 1 2 (X10 >−u) (X10 >−u) = I(X i0 +X I1 >−u) dP. i. (X10 >−u). 1. 2. Agora utilizando a defini¸ c˜ ao A.8 de esperan¸ca condicional temos.

(36) 24 ϕ2 (u, i0 ) =. i. (X10 >−u). =. E I(X i0 +X I1 >−u) | X1i0 dP 1. i. {w;X 0 (w)∈(−u,∞)} ∞ 1. = −u ∞ = −u ∞ = −u. 2. . E I(X i0 +X I1 >−u) | 1. 2. X1i0. dP. E I(X i0 +X I1 >−u) | X1i0 = y dFi0 (y) 1. 2.

(37). P X1i0 + X2I1 > −u | X1i0 = y dFi0 (y)

(38). P X2I1 > −u − y | X1i0 = y dFi0 (y).. Como a mudan¸ca no portfólio em intervalos de tempo distintos são independentes podemos reescrever a u ´ltima equa¸cão da seguinte forma ∞

(39). P X2I1 > −u − y dFi0 (y). ϕ2 (u, i0 ) =. (2.7). −u.

(40) Note que podemos reescrever P X2I1 > −u − y da seguinte maneira.

(41)

(42) P X2I1 > −u − y = P X2I1 > −u − y, I1 ∈ S, I0 = i0 = = = =. k i=1 k i=1 k i=1 k i=1.

(43) P X2I1 > −u − y, I1 = i, I0 = i0.

(44) P X2I1 > −u − y | I1 = i, I0 = i0 P (I1 = i | I0 = i0 ) P (I0 = i0 )

(45). qi0 i P X2I1 > −u − y | I1 = i qi0 i E(I(X I1 >−u−y) | I1 = i). 2. Observe que a fun¸cão indicadora acima envolve apenas a variável I1 . Representando este fato por f (I1 ), temos P.

(46). X2I1. > −u − y. = =. k i=1 k i=1. qi0 i E(f (I1 ) | I1 = i) qi0 i. . f (j)P (I1 = j | I1 = i).. j. Mas, ⎧ ⎨ 1, P (I1 = j | I1 = i) = ⎩ 0,. i=j c.c.

(47) 25 Assim, k .

(48) qi0 i f (j)P (I0 = j | I0 = i) P X2I1 > −u − y = i=1 k . =. j. qi0 i E(f (I0 ) | I0 = i).. (2.8). i=1. Como hav´ıamos comentado anteriormente, iniciamos o processo com capital inicial u > 0 e classifica¸caõ de risco de crédito I0 = i0 . Vale ressaltar que a expressão em (2.8) não faz referência ao in´ıcio do processo, uma vez que a classifica¸cão de risco de crédito no tempo em que se inicia os estudos do processo é i0 . Como as variáveis I. I. mudan¸ca de portfólio independem do capital inicial e para cada Ij fixado, Xnj = Xmj q.c. para todo m, n ∈ N, temos então que P.

(49). X2I1. > −u − y. = = = = =. k i=1 k i=1 k i=1 k i=1 k . qi0 i E(I(X I0 >−u−y) | I0 = i) 2. qi0 i E[I(X I0 >−u−y) | U0 = u + y, I0 = i] 1.

(50). qi0 i P u + y + X1I0 > 0 | U0 = u + y, I0 = i qi0 i P (U1 > 0 | U0 = u + y, I0 = i) qi0 i ϕ1 (u + y, i).. (2.9). i=1. Substituindo (2.9) em (2.7) e pelo fato de ϕ1 (u + y, i) ser uma fun¸cão mensurável não negativa obtemos ϕ2 (u, i0 ) = =. ∞. k . qi0 i ϕ1 (u −u i=1 ∞ k qi0 i. i=1. −u. + y, i)dFi0 (y). ϕ1 (u + y, i)dFi0 (y)..

(51) 26 De modo geral. ϕn (u, i0 ) = P. n . {Uk > 0} | U0 = u, I0 = i0. k=1. = P (U1 > 0, U2 > 0, . . . , Un > 0 | U0 = u, I0 = i0 ). 2 I I0 = P u + X1 > 0, u + Xj j−1 > 0, . . . , u + X1I0 + j=1. +. n . I Xj j−1. > 0 | U0 = u, I0 = i0. .. j=2. Substituindo o valor da variável I0 na expressão da probabilidade de ru´ına e usando o fato das variáveis mudan¸ca de portfólio serem independentes do capital inicial do processo, obtemos. X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 > −u, . . . , X1i0 +. ϕn (u, i0 ) = P. I Xj j−1. > −u | I0 = i0. j=2. X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 > −u, . . . , X1i0 +. = P. n . n . I. Xj j−1 > −u. j=2. = Ω. =. Ω. IX i0 >−u,X i0 +X I1 >−u,...,X i0 + n 1. 1. 2. I. j=2. 1. I(X i0 >−u) I⎛ 1 ⎜. i I i ⎝ X10 +X2 1 >−u,...,X10 +. Xj j−1 >−u. n . I Xj j−1. dP ⎞ dP. > −u⎟ ⎠. j=2. =. I⎛. i. (X10 >−u) ⎜ i0 I i ⎝ X1 +X2 1 >−u,...,X10 +. n . I Xj j−1. ⎞ dP .. > −u⎟ ⎠. j=2. Da Defini¸c˜ ao A.8 de esperan¸ca condicional temos ⎡. ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i0 ⎥ ⎢ ⎛ ⎞ E ⎢I | X n 1 ⎥ dP I i i j−1 (X10 >−u)∈σ(X10 ) i0 I1 i0 ⎟ ⎣ ⎜ ⎦ Xj > −u⎠ ⎝ X1 +X2 >−u,...,X1 +. ϕn (u, i0 ) =. j=2. ⎡ . ∞. = −u. . −u. . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ | X i0 = y ⎥ dF (y) E⎢ I n 1 I ⎢ ⎥ i0 j−1 i0 I1 i0 ⎟ ⎣ ⎜ ⎦ Xj > −u⎠ ⎝ X1 +X2 >−u,...,X1 + P. −u. X1i0 + X2I1 > −u, . . . , X1i0 +. P. X2I1. n . I. Xj j−1 > −u | X1i0 = y dFi0 (y). j=2. ∞. =. j=2. ∞. =. ⎤. > −u − y, . . . ,. n j=2. I Xj j−1. > −u − y |. X1i0. = y dFi0 (y)..

(52) 27 Como assumimos que as variáveis mudan¸ca de portfólio são independentes a equa¸caõ anterior se reduz a ϕn (u, i0 ) =. ∞. −u. P. X2I1 > −u − y, . . . ,. n . I. Xj j−1 > −u − y dFi0 (y).. j=2. Note que podemos reescrever P. X2I1 > −u − y, . . . ,. n . I Xj j−1. > −u − y. j=2. maneira. P. (2.10). X2I1 > −u − y, X2I1 + X3I2 > −u − y, . . . , X2I1 +. n . da seguinte. I. Xj j−1 > −u − y. j=3. = P =. k . n . X2I1 > −u − y, . . . , X2I1 + P. I. Xj j−1 > −u − y, I1 ∈ S, I0 = i0. j=3. X2I1. > −u −. y, . . . , X2I1. +. i=1. n . I Xj j−1. > −u − y | I1 = i, I0 = i0. j=3. P (I1 = i | I0 = i0 ) P (I0 = i0 ) ⎡ =. k i=1. ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ | I = i⎥ qi0 i E ⎢ I n 1 I ⎢ ⎥ I I ⎣ ⎜ ⎦ Xj j−1 > −u − y ⎟ ⎝ X2 1 >−u−y,...,X2 1 + ⎠ j=3. =. k . qi0 i E[f (I1 , I2 , . . . , In−1 ) | I1 = i].. (2.11). i=1. Da defini¸cão de esperan¸ca condicional para variáveis aleatórias discretas e do fato de {Ij , j = 0, 1, . . . .} ser uma Cadeia de Markov homogênea então. E[f (I1 , . . . , In−1 ) | I1 = i] =. . f (i1 , . . . , in−1 )P (I1 = i1 , . . . , In−1 = in−1 | I1 = i). i1 ∈S. .. . . in−1 ∈S. =. f (i1 , . . . , in−1 )P (I0 = i1 , . . . , In−2 = in−1 | I0 = i). i1 ∈S. .. .. in−1 ∈S. = E(f (I0 , I1 , . . . , In−2 ) | I0 = i). E portanto, substituindo (2.12) em (2.11) temos. (2.12).

(53) 28. X2I1 > −u − y, X2I1 + X3I2 > −u − y, . . . , X2I1 +. P. n . I. Xj j−1 > −u − y. j=3. =. k . qi0 i E[f (I0 , I1 , . . . , In−2 ) | I0 = i]. i=1. =. ⎡. k i=1. =. k . ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ | I = i⎥ qi0 i E ⎢ n 0 ⎢I ⎥ I I I ⎣ ⎜ ⎦ Xj j−2 > −u − y ⎟ ⎝ X2 0 >−u−y,...,X2 0 + ⎠ j=3. u + y + X2I0 > 0, . . . , u + y + X2I0 +. qi0 i P. i=1. n . I Xj j−2. > 0 | I0 = i .. j=3 I. I. Como para todo m, n ∈ N, Xnj = Xmj q.c. e as variáveis mudan¸ca de portfólio são independentes do processo de capital,. P. =. X2I1 > −u − y, X2I1 + X3I2 > −u − y, . . . , X2I1 + k . u + y + X1I0 > 0, . . . , u + y +. i=1. = =. k i=1 k . I. Xj j−1 > −u − y. j=3. qi0 i P. n . n−1 . I. Xj j−1 > 0 | U0 = u + y, I0 = i. j=1. qi0 i P (U1 > 0, . . . , Un−1 > 0 | U0 = u + y, I0 = i) qi0 i ϕn−1 (u + y, i).. (2.13). i=1. Substituindo (2.13) em (2.10). ϕn (u, i0 ) =. k i=1. qi0 i. ∞. −u. ϕn−1 (u + y, i)dFi0 (y), n = 2, 3, . . . . . Consideremos agora o modelo que permite aplicar (ou fazer empréstimos) a quantia representada pela mudan¸ca de portifólio a` uma taxa de aplica¸cão e/ou empréstimo r por per´ıodo. A aplica¸caõ sempre se dará ao final do per´ıodo n. Utilizamos o modelo Un = u +. n . I. Xj j−1 (1 + r)n−j ,. (2.14). j=1. para modelar a dinâmica do processo de capital ao final de n per´ıodos. Com as suposi¸cões feitas até o momento, a saber, Xni , n = 1, 2, ... e i = 1, 2, ..., são.

(54) 29 variáveis aleatórias independentes, assumimos também que a mudan¸ca do portfólio no n-ésimo intervalo de tempo depende apenas da classifica¸cão de risco de crédito da empresa no intervalo de tempo n − 1, e para todo i fixado i = 1, 2, ..., k , Xni = i Xm q.c. para todo m, n = 1, 2, ...., ou seja, se a classifica¸caõ de risco é a mesma, o. comportamento da mudan¸ca de portfólio será o mesmo q.c.. Teorema 2.2 Seja ψn (u, i0 ) a probabilidade de ru´ına antes ou no tempo n para o modelo (2.14) com classifica¸cão de risco inicial i0 e um capital inicial u. Considerando n (u, i0 ) satisfaz a seguinte equa¸c˜ ao recursiva ϕ n (u, i0 ) = 1 − ψn (u, i0 ) temos que ϕ ϕ 1 (u, i0 ) = F i0 (−u) ϕ n (u, i0 ) =. k . qi0 i. ∞. −u. i=1. ϕ n−1 (u + y(1 + r), i)dF i0 (y), n ≥ 2. Demonstra¸ c˜ ao: Para n = 1. ϕ 1 (u, i0 ) = P (U1 > 0 | U0 = u, I0 = i0 ).

(55) = P u + X1I0 (1 + r)0 > 0 | U0 = u, I0 = i0.

(56) = P X1I0 > −u | U0 = u, I0 = i0.

(57) = P X1i0 > −u | U0 = u, I0 = i0.

(58) = 1 − P X1i0 ≤ −u = F i0 (−u). Para n = 2. ϕ 2 (u, i0 ) = P. 2 . Uk > 0 | U0 = u, I0 = i0. k=1. = P (U1 > 0, U2 > 0 | U0 = u, I0 = i0 ).

(59) = P u + X1I0 > 0, u + X1I0 (1 + r) + X2I1 > 0 | U0 = u, I0 = i0.

(60) = P X1I0 > −u, X1I0 (1 + r) + X2I1 > −u | U0 = u, I0 = i0.

(61) = P X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 I(X i0 >−u,X i0 +X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 ) dP = 1 1 2 Ω I(X i0 >−u) I(X i0 +X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 ) dP = 1 1 2 Ω I(X i0 +X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 ) dP. = i. (X10 >−u). 1. 2. (2.15) (2.16).

(62) 30 Utilizando a defini¸ c˜ ao A.8 de esperan¸ca condicional segue . E I(X i0 +X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 ) | X1i0 dP i 1 2 (X 0 >−u) ∞1 E I(X i0 +X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 ) | X1i0 = y dFi0 (y) = 1 2 −u ∞

(63). P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y | X1i0 = y dFi0 (y). =. ϕ 2 (u, i0 ) =. −u. Como as variáveis mudan¸ca de portfólio para intervalos de tempo diferentes são independentes temos então ϕ 2 (u, i0 ) =. ∞. −u.

(64). P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y dFi0 (y).. (2.17).

(65) Podemos reescrever P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y da seguinte forma

(66). P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y.

(67) = P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y, I1 ∈ S, I0 = i0 = = =. k i=1 k i=1 k i=1. = = =. k i=1 k i=1 k .

(68) P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y, I1 = i, I0 = i0.

(69) qi0 i P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y | I1 = i, I0 = i0

(70). qi0 i P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y | I1 = i qi0 i E I(X I1 (1+r)−1 >−u(1+r)−1 −y) | I1 = i 2 qi0 i E [f (I1 ) | I1 = i] =. k . qi0 i E [f (I0 ) | I0 = i]. i=1.

(71). qi0 i P X2I0 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y | I0 = i .. i=1. Como foi suposto, temos que o capital inicial independe do processo de capital e I. I. que para todo m, n ∈ N, Xmj = Xnj , q.c. temos que.

(72) 31.

(73) P X2I1 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y = = =. k i=1 k i=1 k .

(74). qi0 i P X1I0 (1 + r)−1 > −u(1 + r)−1 − y | U0 = u + y(1 + r), I0 = i

(75). qi0 i P u + y(1 + r) + X1I0 > 0 | U0 = u + y(1 + r), I0 = i qi0 i P (U1 > 0 | U0 = u + y(1 + r), I0 = i). i=1. =. k . qi0 i ϕ 1 (u + y(1 + r), i).. (2.18). i=1. Substituindo (2.18) em (2.17) temos que. ϕ 2 (u, i0 ) =. k . qi0 i. ∞. −u. i=1. ϕ 1 (u + y(1 + r), i)dFi0 (y).. Para n qualquer. n. ϕ n (u, i0 ) = P (U1 > 0, U2 > 0, . . . , Un > 0) | U0 = u, I0 = i0 k=1. = P (U1 > 0, U2 > 0, . . . , Un > 0 | U0 = u, I0 = i0 ) =

(76) = P u + X1I0 > 0, u + X1I0 (1 + r) + X2I1 > 0, u + X1I0 (1 + r)2 + X2I1 (1 + r). n Ij−1 n−j I2 +X3 > 0, . . . , u + Xj (1 + r) > 0 | U0 = u, I0 = i0 = P.

(77). j=1. X1i0. >. −u, X1i0 (1 + n j=1. i (X10 >−u). I. Xj j−1 (1 + r)n−j > −u | U0 = u, I0 = i0. +X3I2 > −u, . . . , =. r) + X2I1 > −u, X1i0 (1 + r)2 + X2I1 (1 + r). I⎛. I i ⎜ i0 n−1 + ⎝ X1 (1+r)+X2 1 >−u,...,X10 (1+r). j=2. ⎡. I Xj j−1 (1. n−j. + r). ⎞ dP. > −u⎟ ⎠ ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i ⎛ ⎞ | X 0 ⎥ dP E⎢ I n 1 ⎥ I ⎢ i (X10 >−u) i I ⎣ ⎜ ⎦ Xj j−1 (1 + r)n−j > −u⎟ ⎝ X10 (1+r)+X2 1 >−u,..., ⎠. =. n . j=1.

(78) 32 ⎡. ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i0 ⎥ ⎢ ⎛ ⎞ E ⎢I | X n 1 ⎥ dP I i n−j j−1 (X10 >−u) i0 I1 ⎟ ⎣ ⎜ ⎦ Xj (1 + r) > −u⎠ ⎝ X1 (1+r)+X2 >−u,...,. =. j=1. . ∞. . ∞.

(79) P X1i0 (1 + r) + X2I1 > −u, X1i0 (1 + r)2 + X2I1 (1 + r) + X3I2 > −u, −u. n I Xj j−1 (1 + r)n−j > −u | X1i0 = y dFi0 (y) , . . . , X1i0 (1 + r)n−1 +. =. = −u n j=2 ∞. =. −u n . j=2.

(80). P X2I1 > −u − y(1 + r), X2I1 (1 + r) + X3I2 > −u − y(1 + r)2 , . . . ,. I. Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 | X1i0 = y dFi0 (y)

(81) P X2I1 > −u − y(1 + r), X2I1 (1 + r) + X3I2 > −u − y(1 + r)2 , . . . ,. I. Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1. dFi0 (y).. (2.19). j=2. Note que P. X2I1. > −u − y(1 + r), . . . ,. n . I Xj j−1 (1. n−j. + r). n−1. > −u − y(1 + r). j=2. pode ser reescrita da seguinte forma. X2I1 > −u − y(1 + r), . . . ,. P = P. I. Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1. j=2. X2I1. n . > −u − y(1 + r), . . . ,. n . I. Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 , I1 ∈ S,. j=2. I0 = i0 ). k n I I1 qi0 i P X2 > −u − y(1 + r), . . . , Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 | = i=1. j=2. I1 = i, I0 = i0 ). k n I I1 qi0 i P X2 > −u − y(1 + r), . . . , Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 | = i=1. I1 = i) k qi0 i E (f (I1 , I2 , . . . , In−1 ) | I1 = i) = i=1. j=2.

(82) 33. = =. k i=1 k . qi0 i E (f (I0 , I1 , . . . , In−2 ) | I0 = i). X2I0. qi0 i P. > −u − y(1 + r), . . . ,. i=1. n . I. Xj j−2 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 |. j=2. I0 = i) . I. I. Como foi suposto, temos que Xnj = Xmj q.c. para todo m, n ∈ N e que o capital inicial independe do processo de capital, então. n I P X2I1 > −u − y(1 + r), . . . , Xj j−1 (1 + r)n−j > −u − y(1 + r)n−1 = j=2. =. k . qi0 i P. u + y(1 + r) +. X1I0. n−1. > 0, . . . , u + y(1 + r). +. i=1. n−1 . I. Xj j−1 (1 + r)n−j−1 > 0 |. j=1. U0 = u + y(1 + r), I0 = i) k qi0 i ϕ n−1 (u + y(1 + r), i) =. (2.20). i=1. Substituindo (2.20) em (2.19). ϕ n (u, i0 ) =. k i=1. qi0 i. ∞. −u. ϕ n−1 (u + y(1 + r), i)dFi0 (y), n = 2, 3, . . . .. Obtemos o resultado desejado.. 2.4. . Distribui¸ c˜ ao do Tempo de ru´ına Para cada n ≥ 1, obtemos uma probabilidade de ru´ına (inadimplência) usando a. equa¸caõ recursiva do Teorema 2.1 (ou Teorema 2.2). A probabilidade de ru´ına no tempo n pode ser calculada com base na probabilidade de ru´ına no tempo n − 1 e na distribui¸caõ da variável aleatória mudan¸ca de portfólio. A seguir será discutida a distribui¸cão do tempo de ru´ına (Tempo de inadimplência). Pela analogia nos cálculos dos modelos (2.2) e (2.14) apresentamos nesta se¸caõ apenas os cálculos do modelo (2.2) e os resultados seguem para o modelo (2.14)..

(83) 34 Seja Gn (u, i0 ) = P (T = n | U0 = u, I0 = i0 ). (2.21). usando o método recursivo, obtemos os seguintes resultados: Teorema 2.3 A distribui¸cão do tempo de ru´ına pode ser obtida usando a seguinte equa¸caõ recursiva. G1 (u, i0 ) = Fi0 (−u) (2.22) k ∞ qi0 i Gn−1 (u + y, i)dFi0 (y) (2.23) Gn (u, i0 ) = i=1. −u. Demonstra¸ c˜ ao: Observe que, para n = 1, temos G1 (u, i0 ) = P (T = 1 | U0 = u, I0 = i0 ) = P (inf{k; Uk ≤ 0} = 1 | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U0 > 0, U1 ≤ 0 | U0 = u, I0 = i0 ) ! " = E I(U0 >0,U1 ≤0) | U0 = u, I0 = i0 . Então com u > 0 temos I(U0 >0) = 1. Da´ı, ⎧ ! " ⎨ E I (U0 >0,U1 ≤0) | U0 = u, I0 = i0 , se u > 0 G1 (u, i0 ) = ⎩ 0, se c.c Assim, para u > 0.

(84) G1 (u, i0 ) = P u + X1I0 ≤ 0 | U0 = u, I0 = i0.

(85) = P X1i0 ≤ −u = Fi0 (−u). Recursivamente, Gn (u, i0 ) = P (T = n | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U1 > 0, . . . , Un−1 > 0, Un ≤ 0 | U0 = u, I0 = i0 ). n−1 I = P u + X1I0 > 0, . . . , u + X1I0 + Xj j−1 > 0, u+ j=2. +X1I0. +. n j=2. I Xj j−1. ≤ 0 | U0 = u, I0 = i0. ..

(86) 35 Substituindo o valor da variável I0 na expressão acima e como as variáveis mudan¸ca de portifólio, Xj , independem do capital do processo, segue. X1i0 > −u, . . . , X1i0 +. Gn (u, i0 ) = P. I⎛. Ω ⎜ i0 ⎜ X >−u,...,X i0 + 1 ⎝ 1. n−1 . I Xj j−1. i (X10 >−u). n . I. Xj j−1 ≤ −u. j=2. >. −u, X1i0. +. j=2. =. I. Xj j−1 > −u, X1i0 +. j=2. =. n−1 . n . I Xj j−1. ⎞ dP ⎟. ≤ −u⎟ ⎠. j=2. I⎛. ⎜ i ⎜ X 0 +X I1 >−u,...,X i0 + 2 1 ⎝ 1. n−1 . I. Xj j−1 > −u, X1i0 +. j=2. n . I. ⎞ dP. ⎟. Xj j−1 ≤ −u⎟ ⎠. j=2. Note que (X1i0 > −u) ∈ σ(X1i0 ), então pela defini¸caõ de esperan¸ca condicional devemos ter ⎡. ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i0 ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ E ⎢I | X n n−1 1 ⎥ dP I I i ⎟ (X10 >u) ⎣ ⎜ ⎦ j−1 j−1 i I ⎜ X 0 +X 1 >−u,..., Xj > −u, Xj ≤ −u⎟ 2 ⎝ 1 ⎠. Gn (u, i0 ) =. =. i. (X10 >u) n . = −u n . P. I. Xj j−1 > −u, X1i0 +. dP. X2I1. n−1 j=2. I. ∞. j=1. X1i0 + X2I1 > −u, . . . , X1i0 +. P. Xj j−1 ≤ −u | X1i0. j=2. . j=1. . > −u − y, . . . ,. n−1 . I. Xj j−1 > −u − y,. j=2. I. Xj j−1 ≤ −u − y | X1i0 = y dFi0 (y).. j=2. Como as variáveis mudan¸ca de portfólio em intervalos de tempos distintos são independentes, a equa¸cão acima se reduz a. ∞. Gn (u, i0 ) =. −u. P. X2I1 +. X2I1. n j=3. > −u −. y, . . . , X2I1. I. +. n−1 . I. Xj j−1 > −u − y,. j=3. Xj j−1 ≤ −u − y dFi0 (y).. (2.24).

(87) 36 Mas,. X2I1 > −u − y, . . . ,. P. n−1 . I Xj j−1. n−1 . +. I Xj j−1. j=3. =. k . I. ≤ −u − y, I1 ∈ S, I0 = i0. X2I1. > −u −. y, . . . , X2I1. i=1 n . qi0 i P. ≤ −u − y. Xj j−1 > −u − y, X2I1 +. j=3 n . I Xj j−1. j=2. X2I1 > −u − y, . . . , X2I1 +. = P. > −u − y,. j=2. n . +. n−1 . I. Xj j−1 > −u − y, X2I1 +. j=3. I. Xj j−1 ≤ −u − y | I1 = i .. j=3. Sabe-se que {Ij , j = 1, 2, . . . .} é uma cadeia de Markov homogênea e que para I. I. todo m, n ∈ N, Xnj = Xmj q.c., e além disso pela defini¸caõ de esperan¸ca condicional para variáveis aleatórias discretas, devemos ter. n−1 n Ij−1 Ij−1 I1 Xj > −u − y, Xj ≤ −u − y P X2 > −u − y, . . . , j=2. =. k . j=2. qi0 i E (f (I1 , I2 , . . . , In−1 ) | I1 = i). i=1. =. k . qi0 i E (f (I0 , I1 , . . . , In−2 ) | I0 = i). i=1. Contudo, temos que o capital inicial independe das variáveis Xj assim,. n−1 n I I Xj j−1 > −u − y, Xj j−1 ≤ −u − y P X2I1 > −u − y, . . . , =. k . qi0 i P. X1I0 > −u − y, . . . , X1I0 +. i=1 n−1 . j=2. j=2 n−2 . I. Xj j−1 > −u − y, X1I0 +. j=2. I. Xj j−1 ≤ −u − y | U0 = u + y, I0 = i. j=2. = =. k i=1 k . qi0 i P (U1 > 0, . . . , Un−2 > 0, Un−1 ≤ 0 | U0 = u + y, I0 = i) qi0 i Gn−1 (u + y, i).. (2.25). i=1. Substituindo (2.25) em (2.24) e como Gn−1 (u + y, i) é uma sequência de fun¸cões mensuráveis não negativa, então a expressão da distribui¸cão do tempo de ru´ına fica.

(88) 37 determinada por Gn (u, i0 ) =. ∞. k . qi0 i Gn−1 (u −u i=1 ∞ k . =. qi0 i. i=1. −u. + y, i)dFi0 (y). Gn−1 (u + y, i)dFi0 (y). . Usando este modelo proposto por Hailiang Yang[29] para considerar o risco de inadimplência, não somente obtemos a probabilidade de inadimplência, como também a distribui¸caõ do tempo de inadimplência. Além disso, veremos na próxima se¸cão como obter a distribui¸caõ da severidade de ru´ına. Note que tudo que fizemos foi para um tempo de ru´ına finito. Vejamos agora como proceder para o cálculo da probabilidade de ru´ına no horizonte infinito, isto é,. lim ψn (u, i0 ) = ψ(u, i0 ).. n→∞. A probabilidade de ru´ına no horizonte infinito é definida por. ψ(u, i0 ) = P. ∞ . {Uk ≤ 0} | U0 = u, I0 = i0. .. k=1. Então, por defini¸cão. ψ(u, i0 ) =. ∞ . Gn (u, i0 ).. n=1. De fato, seja A = {w; inf{k; Uk (w) ≤ 0} < ∞} e B =. ∞ . {w; Uk (w) ≤ 0},. k=1. mostremos que A = B.. Seja a ∈ A, então existe k0 ∈ N tal que Uk0 (a) ≤ 0. Assim a ∈ {w; Uk0 (w) ≤ 0} e ∞ {w; Uk (w) ≤ 0}. Logo temos que a ∈ B, ou seja A ⊂ B. Agora seja portanto, a ∈ k=1. b ∈ B, temos b ∈. ∞ . {w; Uk (w) ≤ 0}. Então existe um k0 ∈ N tal que Uk0 (b) ≤ 0. Logo,. k=1. inf{k; Uk (b) ≤ 0} ≤ k0 < ∞ e, assim inf{k; Uk (b) ≤ 0} < ∞ e b ∈ {w; inf{k; Uk (w) ≤ 0} < ∞},ou seja B ⊂ A. Destas duas inclusões conclu´ımos que A = B. Note que, P (T ≤ n) ↑ P (T < ∞).

(89) 38 De fato, considerando An = {w; inf {k; Uk (w) ≤ 0} ≤ n}temos que, se a ∈ An , então inf {k; Uk (a) ≤ 0} ≤ n ≤ n + 1 o que implica An ⊂ An+1 . Portanto, quando n → ∞ ∞ . An ↑. An .. n=1. Pela continuidade de probabilidade condicional,. ψn (u, i0 ) = P (T ≤ n|U0 = u, I0 = i0 ) ↑ P (T < ∞ | U0 = u, I0 = i0 ) = ψ(u, i0 ). Então,. ψ(u, i0 ) = P (T < ∞ | U0 = u, I0 = i0 ). ∞. (T = n) | U0 = u, I0 = i0 = P =. ∞ . n=1. P (T = n | U0 = u, I0 = i0 ). n=1. =. ∞ . Gn (u, i0 ). n=1. = G1 (u, i0 ) +. ∞ . Gn (u, i0 ).. (2.26). n=2. Substituindo a equa¸caõ da distribui¸cão do tempos de ru´ına (2.23) em (2.26) temos. k ∞ ∞ ψ(u, i0 ) = G1 (u, i0 ) + qi0 i Gn−1 ((u + y), i)dFi0 (y) . (2.27) n=2. −u. i=1. Como os termos envolvidos em (2.27) são positivos e Gn−1 ((u+y), i) é mensurável não negativa, segue ψ(u, i0 ) = G1 (u, i0 ) + = G1 (u, i0 ) + = G1 (u, i0 ) + = G1 (u, i0 ) +. k i=1 k i=1 k i=1 k i=1. qi0 i. ∞ . ∞ . −u. n=2. ∞. ∞ . −u. n=1. qi0 i. qi0 i. −u. ∞. qi0 i. n=2. ∞. Gn−1 ((u + y), i)dFi0 (y). Gn−1 ((u + y), i) dFi0 (y). Gn ((u + y), i) dFi0 (y). ∞. −u. ψ(u + y, i)dFi0 (y)..

(90) 39 Portanto a probabilidade de ru´ına no horizonte infinito pode ser expressa da seguinte maneira. ψ(u, i0 ) = G1 (u, i0 ) +. k . qi0 i. i=1. 2.5. ∞. −u. ψ(u + y, i)dFi0 (y), i0 = 1, 2, . . . , k.. Distribui¸ c˜ ao da severidade de ru´ına Na teoria da ru´ına, além do interesse na probabilidade de ru´ına, também estuda-. se a gravidade no momento da ru´ına, ou seja, quão sério (grande) foi o preju´ızo que levou a companhia a` ru´ına. Para estudar esta caracter´ıstica, devemos introduzir uma fun¸cão que modela tal propriedade. Esta fun¸cão deve ter como variáveis as informa¸cões dispon´ıveis no in´ıcio do processo bem como o n´ıvel de preju´ızo estamos considerando, ou seja, as variáveis dessa fun¸caõ são: • O capital inicial, u ≥ 0.. • A classifica¸caõ de risco inicial I0 = i0. • A severidade da ru´ına que desejamos estudar, y > 0. Considere a fun¸cão H : R+ × R+ × S −→ [0, 1], onde S é espa¸co de estados do processo, definida por H(u, y, i0 ) = P (UT ≤ −y, T < ∞ | U0 = u, I0 = i0 ) que nos dá a distribui¸cão da severidade de ru´ına, isto é, a probabilidade da empresa ruir num tempo finito e no instante da ru´ına o preju´ızo ser maior que y, dado que o capital inicial da empresa é u e classifica¸caõ inicial de risco é i0 . Podemos reescrever H(u, y, i0 ) da seguinte maneira.

(91) 40. UT ≤ −y,. H(u, y, i0 ) = P = =. ∞ n=1 ∞ . ∞ . (T = n) | U0 = u, I0 = i0. n=1. P (UT ≤ −y, T = n | U0 = u, I0 = i0 ) P (Un ≤ −y, U0 > 0, U1 > 0, . . . , Un−1 > 0, Un ≤ 0 | U0 = u, I0 = i0 ). n=1. =. ∞ . " ! E I(Un ≤−y,U0 >0,U1 >0,...,Un−1 >0,Un ≤0) | U0 = u, I0 = i0 .. n=1. Como u > 0, temos I(U0 >0) = 1. Da´ı, ⎧ ∞ ! " ⎪ ⎪ ⎨ E I(U1 >0,...,Un−1 >0,Un ≤0,Un ≤−y) | U0 = u, I0 = i0 , se u > 0 H(u, y, i0 ) = n=1 ⎪ ⎪ ⎩ 0, c.c Observe que (Un ≤ 0, Un ≤ −y) = (Un ≤ −y). Assim, para u > 0,. H(u, y, i0 ) = =. ∞ n=1 ∞ . P (U1 > 0, . . . , Un−1 > 0, Un ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ). P. u+. X1I0. > 0, . . . , u +. X1I0. +. n−1 . n=1. I. Xj j−1 > 0, u+. j=2. X1I0 +. n . I Xj j−1. ≤ −y | U0 = u, I0 = i0. j=2. =. ∞ . X1i0 > −u, . . . , X1I0 +. P. n=1 n . n−1 . I. Xj j−1 > −u, X1I0 +. j=2 I Xj j−1. ≤ −y − u | U0 = u, I0 = i0. .. j=2. Considere hn (u, y, i0 ) = P. X1i0 > −u, . . . ,. n−1 . I Xj j−1. > −u,. j=1. n . I Xj j−1. ≤ −y − u | U0 = u, I0 = i0. j=1. onde, hn (u, y, i0 ) é a probabilidade de que a ru´ına ocorra no tempo n e o capital da empresa no momento da ru´ına ser inferior a −y dado que o capital inicial da empresa é u e a classifica¸cão de risco inicial é i0 . E podemos escrever a distribu¸caõ da severidade da ru´ına da seguinte maneira H(u, y, i0 ) =. ∞ n=1. hn (u, y, i0 ).. ..

(92) 41 Mostremos que podemos calcular hn (u, y, i0 ) recursivamente e obtermos h1 (u, y, i0 ) = P (X1i0 ≤ −u − y) = Fi0 (−u − y) ∞ k qi0 i hn−1 (u + x, y, i)dFi0 (y). hn (u, y, i0 ) = −u. i=1. Para n = 1. h1 (u, y, i0 ) = P (T = 1, U1 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U1 ≤ 0, U1 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (u + X1I0 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (X1i0 ≤ −u − y) = Fi0 (−u − y). Para n = 2. h2 (u, y, i0 ) = P (T = 2, U2 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U1 > 0, U2 ≤ 0, U2 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U1 > 0, U2 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (u + X1I0 > 0, u + X1I0 + X2I1 ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (X1i0 > −u, X1i0 + X2I1 ≤ −u − y) = I(X i0 >−u,X i0 +X I1 ≤−u−y) dP 1 1 2 Ω I(X i0 >−u) I(X i0 +X I1 ≤−u−y) dP = 1 1 2 Ω I(X i0 +X I1 ≤−u−y) dP. = i. (X10 >−u). 1. 2. Note que (X1i0 > −u) ∈ σ(X1i0 ), consequentemente h2 (u, y, i0 ) = E I(X i0 +X I1 ≤−u−y) | X1i0 dP i i 1 2 (X 0 >−u)∈σ(X10 ) ∞1 E I(X i0 +X I1 ≤−u−y) | X1i0 = x dFi0 (x) = 1 2 −u ∞

(93) i0. P X1 + X2I1 ≤ −u − y | X1i0 = x dFi0 (x) = −u ∞

(94). P x + X2I1 ≤ −u − y | X1i0 = x dFi0 (x). = −u. (2.28) (2.29).

(95) 42 Como as variáveis mudan¸ca de portfólio em intervalos de tempos distintos são independentes, h2 (u, y, i0 ) =. ∞. −u.

(96). P X2I1 ≤ −u − y − x dFi0 (x).. (2.30). Mas,.

(97) P X2I1 ≤ −y − u − x = P (X2I1 ≤ −y − u − x, I1 ∈ S, I0 = i0 ) = = = = = =. k i=1 k i=1 k i=1 k i=1 k i=1 k i=1.

(98) P X2I1 ≤ −y − u − x, I1 = i, I0 = i0

(99). qi0 i P X2I1 ≤ −y − u − x | I1 = i . qi0 i E I(X I1 ≤−y−u−x) | I1 = i 2 qi0 i E [f (I1 ) | I1 = i] qi0 i E [f (I0 ) | I0 = i] qi0 i E I(X I0 ≤−y−u−x) | I0 = i . 2. Vale ressaltar que a expressão acima não se refere a` classifica¸caõ de risco inicial, I0 , uma vez que ao iniciarmos o estudo do processo fixamos I0 = i0 . Além disso temos I. I. que para todo m, n ∈ N, Xnj = Xmj q.c. e que as variáveis aleatórias mudan¸ca de portfólio independe do processo de capital inicial, então. P (X2I1. ≤ −y − u − x) = = = =. k i=1 k i=1 k i=1 k i=1. . qi0 i E I(X I0 ≤−y−u−x) | I0 = i 1

(100). qi0 i P X1I0 ≤ −y − u − x | U0 = u + x, I0 = i

(101). qi0 i P u + x + X1I0 ≤ −y | U0 = u + x, I0 = i qi0 i P (U1 ≤ −y | U0 = u + x, I0 = i).

(102) 43 Assim, P (X2I1 ≤ −y − u − x) =. k . qi0 i h1 (u + x, y, i).. (2.31). i=1. Substituindo (2.31) em (2.30), a probabilidade de que a ru´ına ocorra no tempo n = 2 e o capital no momento da ru´ına seja inferior a −y é dada por. h2 (u, y, i0 ) =. k . qi0 i. ∞. −u. i=1. h1 (u + x, i)dF i0 (x).. Para n qualquer temos hn (u, y, i0 ) = P (T = n, Un ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ) = P (U1 > 0, . . . , Un−1 > 0, Un ≤ 0, Un ≤ −y | U0 = u, I0 = i0 ). n−1 n Ij−1 I I0 Xj > 0, u + Xj j−1 ≤ −y | = P u + X1 > 0, . . . , u + j=1. j=1. U0 = u, I0 = i0 ). = P. u+. X1i0. > 0, . . . , u +. X1i0. +. n−1 . I Xj j−1. > 0, u +. X1i0. +. j=2. U0 = u, I0 = i0 ). u + X1i0 > 0, . . . , u + X1i0 +. = P. n−1 . I⎛. =. Ω ⎜ ⎜ u+X i0 >0,u+X i0 +X I1 >0...,u+X i0 + 1 1 2 1 ⎝. =. I⎛. i. (X10 >−u) ⎜ i0 ⎜ X +X I1 >−u,...,X i0 + 2 1 ⎝ 1. ∞. = −u. . > 0, u + X1i0. n−1 . n . −u. ≤ −y. I. Xj j−1 > 0, u + X1i0 +. I Xj j−1. n . ⎞ dP ⎟. I. Xj j−1 ≤ −y ⎟ ⎠. j=2. > −u, X1i0 +. n . I Xj j−1. ⎞ dP ⎟. ≤ −u − y ⎟ ⎠. j=2. ⎤. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i0 ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ dFi0 (x) E ⎢I | X = x n n−1 1 ⎥ ⎟ Ij−1 Ij−1 ⎣ ⎜ ⎦ i0 ⎜ X i0 +X I1 >−u,...,X i0 + ⎟ X > −u, X + X ≤ −u − y 2 1 1 j j ⎝ 1 ⎠ j=2. ∞. =. n−1 . I Xj j−1. j=2. j=2. ⎡ . I Xj j−1. j=2. . I. Xj j−1 ≤ −y |. j=2. j=2. . n . P. X2I1 > −u − x, . . . ,. −y − x |. X1i0. = x dFi0 (x).. n−1 j=2. j=2 I. Xj j−1 > −u − x,. n j=2. I. Xj j−1 ≤ −u.