O estudo das funções derivadas é muito importante na Matemática ou Cálculo Diferencial e Integral.
Temos o emprego das derivadas nos mais diversos ramos do conhecimento humano, como a Física, Química, Engenharia, Administração, Economia e Biologia. Recentemente, até as ciências mais próximas das Relações Humanas, como a Sociologia e a Psicologia, estão começando a utilizar de tal ferramental.
DERIVADA
A derivada de uma função é uma outra função que tem a característica poderosa de nos mostrar o comportamento da função original. A derivada de uma função nos mostra a forma de seu crescimento/decrescimento. Ela apresenta a taxa de variação (crescimento/decrescimento) da função, isto é, ela nos apresenta o quanto a função (y) cresceria ou decresceria se incrementássemos “um pouco” a variável independente (x).
• A velocidade (função velocidade) é a derivada do espaço no estudo da cinemática, pois, é a velocidade que nos “mostra” como os espaços estão sendo percorridos em relação ao tempo por um veículo. Se este veículo está imprimindo uma grande aceleração então, com o passar do tempo, a função espaço vai aumentando e a cada segundo o aumento é maior, isto é, a taxa de aumento do espaço percorrido por segundo, por exemplo, está aumentando. Se, por outro lado, o espaço percorrido aumenta mas sempre numa mesma taxa, por exemplo 5 metros a cada segundo, é por que a sua velocidade (taxa de variação) é constante.
O exemplo mais comum na área Administrativa é o do custo marginal. O custo marginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzida de bens ou serviços. Sabemos que para produzir uma certa quantidade Q de produto final precisamos gastar CQ com matérias-primas, energia, capital, mão-de-obra, transporte etc. Desta forma para cada nível de produção Q é conhecida a quantia monetária para a sua obtenção, isto é, o custo.
O custo marginal, por ser a derivada do custo, nos apresenta o quanto a empresa terá de gastar a mais (aumento no custo) para se conseguir produzir “um pouco” mais de produto final. Assim, o custo marginal mostra a taxa de variação do custo quando queremos alterar o nível de produção de uma empresa, ou de uma linha de produção.
A derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do funcionamento e custo de um computador seja de hardware ou software pode ser calculado com derivadas. Para calcular a derivada de uma função polinomial, você pode criar um vetor polinômio onde o primeiro termo será o termo independente de x, o segundo x1, o terceiro x2, ...
Para calcular a derivada e só multiplicar o segundo termo por 1, o terceiro por 2, etc.
Regras de derivação
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição.
1. Derivada de uma função constante.
Se f (x) = c , c é uma constante real, então f ' (x) = 0 . Ex: f(x) = -10 , então, f ’(x) = 0
2. Derivada da função potência.
Se n é um inteiro positivo e f (x) = xn , então f ' (x) = n.xn−1 .
Ex: f (x) = x5 , então, f ' (x) = 5x5−1 = 5x4 . Logo f ' (x) = 5x4 .
Ex: f (x) = x−1 é f ' (x) = −x−2.
3. Derivada do produto de uma constante por uma função.
Se f (x) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g(x) = c.f (x) tem
derivada dada por g' (x) = c.f ' (x). Ex: Se f (x) = 5x3 então f ' (x) = 5(3x2 )= 15x2.
4. Derivada de uma soma de funções.
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x)+ g' (x).
Ex: Se f (x) = 4x3 + 3x2 − x + 5 então f ' (x) = 12x2 + 6 x − 1 .
5. Derivada de um produto de funções.
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)⋅ g(x) tem derivada dada por h' (x) = f ' (x)⋅ g(x)+ f (x)⋅ g' (x).
Ex: Se f (x) = (x3 − x)(2 − x) então f ' (x) = (3x2 − 1)(2 − x)+ (x3 − x)(− 1)
6. Derivada de um quociente de funções.
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = tem derivada dada
por ) x ( g ) x ( f
2 )] x ( g [ x g ). x ( f ) x ( f ). x ( g ) x ( h Ex: Se f(x) = 2 2 2 2 2 2 2 2
x
4
16
x
10
x
4
16
x
10
x
20
)
x
2
(
2
).
8
x
5
(
)
x
10
).(
x
2
(
x
2
8
x
5
Exercício: Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: a) f (x) = x −2 + 3x + 1 b) f (x)= c) f (x) = (3x4 + x)(6 − x) d) f (x) = e) f(x) = f) f (x) = x1/4 .(2 − x) 3) (x x8 3 2 2x 3) -(x 3 x 2 3 x 5
Exemplo de derivada na economia de uma empresa:
As derivadas na economia são chamadas marginais, onde em relação a custo é dada a equação:c(x) = custo da produção e x = unidades produzidas.
O custo marginal descreve o processo custo da produção, quer dizer a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção, e é representada pela derivada: c’(x).
Assim, suponha que o custo da fábrica seja dado por:
c(x) = x3 – 6x2 + 15x dólares para produzir x aquecedores quando são produzidos de 8 a 30 e que
Sua loja produz 10 aquecedores por dia. Qual será o custo adicional
aproximado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumento estimado no rendimento na venda de 11 aquecedores por dia?
Resposta: O custo para produzir um aquecedor a mais, quando são produzidos 10 por dia é de aproximadamente c’(10):
c’(x) = 3x2 – 12 x + 15
c’(10) = 3.(100) -12.(10) + 15 = 195
Assim, o custo adicional será de aproximadamente $195. O rendimento marginal é: r’(x)=3x2 – 6x + 12
que estima o aumento no rendimento como resultado da venda de uma unidade
adicional. Se você vende atualmente 10 aquecedores por dia, pode esperar que seu rendimento aumente em torno de :
r’(10)= 3.(100) – 6.(10) + 12 = $ 252
7. Derivada da função exponencial natural
Se f (x) é uma função derivável então a derivada de f(x) = ex é dada por f’ (x) = ex.
Se temos f(x) = eu , onde u= u(x), então f ‘(x) = eu. u ‘.
8. Derivada da função logaritmo natural
Se f (x) é uma função derivável então a derivada de f(x) =ln x é dada por f ‘(x) = .
Se temos f(x) = ln u , onde u = u(x), então f ‘(x) = .
x
1
u
Derivada da função composta (Regra da cadeia)
Função Composta
Imagine que uma indústria consiga vender tudo o que produzir. É claro que o lucro (L) da empresa depende de sua produção (p). Ou seja, L é uma função de p (podemos escrever L(p) ). Mas a produção, por sua vez, pode depender do tempo (t) durante o qual determinada máquina funciona. Isto é, p depende de t (escrevemos p(t) ), e
9. Derivada da função seno Se y = sen x então y ’ = cos x
Se y = sen u, onde u = u(x), temos y ‘ = cos u . u ‘
Exemplo: y = sen (x2),
y ‘ = cos (x2) . (x2) ‘ = cos (x2). 2x
10 . Derivada da função cosseno Se y = cos x, então y ‘ = - sen x
Se y = cos u, onde u = u(x), temos y ‘ = - sen u . u’
Exemplo: y = cos (2x3 + 3x)
Neste caso, o que temos é a composição das funções L e p. Queremos introduzir agora o tipo de função que modela situações como estas.
Definição: Seja uma função composta: y = f[g(x)], em que: • f(x) é uma função cuja derivada é f ‘(x);
• g(x) é uma função cuja derivada é g’ (x).
Então sua derivada será: y ‘(x) = f ‘[g(x)] . g ‘(x)
Importante: Ao empregarmos a regra da cadeia devemos visualizar 2 funções, uma função externa e outra interna. Assim, g(x) é interna e f(x) é externa.
Até o momento sabemos derivar a função g(x) = x3 e também a função f (x) = 2x + 1.
Considere agora a função composta gof (x) = g( f (x)) = (2x + 1)3 . Como poderemos obter a derivada da função composta gof (x) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da função
composta em termos das funções elementares f e g.
Exemplo: a) y =(2x + 1)3
Resolução: Importante: A primeira coisa a fazer é identificar as 2 funções (externa e interna) para podermos aplicar a regra da cadeia. Neste caso, observamos que a função interna é g(x)= 2x+1, enquanto a função externa é a função elevado ao cubo, isto é, (2x + 1)3. Sabemos, então, que y ‘ = f ‘[g(x)] . g ‘(x), portanto a
y ‘ = 3(2x + 1)3-1 ⋅ (2x+1)’ = 3(2x + 1)2 . 2 Derivada da função externa 3.( )2 Aplicação na função Interna (2x + 1) Derivada da função interna y =(2x + 1)3 , sendo: f = ( )3, portanto f ‘= 3.( )2 g = 2x + 1, portanto g ‘ = 2 b) y = (3x2 + 2x -10)6
Resolução: Sendo f = ( )6, portanto f ‘ = 6( )5
g = 3x2 + 2x – 10 portanto g ‘ =6x + 2
Sabemos, então, que y ‘ = f ‘[g(x)] . g ‘(x), portanto a derivada é: Y ‘ = 6.(3x2 + 2x – 10)5. (6x + 2)
c) f(x) =
Aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia, pois temos uma função elevada a outra potência: 4 2 x 2 x 3 x 5 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 4 2
x
4
2
).
x
3
x
5
(
)
3
x
10
.(
x
2
.
x
2
x
3
x
5
.
4
y
)
x
2
(
2
).
x
3
x
5
(
)
3
x
10
.(
x
2
.
x
2
x
3
x
5
.
4
x
2
x
3
x
5
.
x
2
x
3
x
5
.
4
y
d) y =e2x . (x2 +5x)2Vamos aplicar a regra do produto e da cadeia: y ‘=e2x . [(x2 +5x)2] ‘ + (e2x) ‘ . (x2 +5x)2
y ‘ = e2x . 2.(x2 +5x)2-1 + e2x.(2x) ‘. (x2 +5x)2
