Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática

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(1)Revista de Educação Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009. NÚMERO FRACIONÁRIO: ESTUDO HISTÓRICO, EPISTEMOLÓGICO E DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA. Regiane Arantes de Castro Faculdade Anhanguera de Jacareí regiane_castro@hotmail.com. Nanci de Oliveira Faculdade Anhanguera de Jacareí nanci.oliveira@unianhanguera.edu.br. RESUMO O conceito de número fracionário é bastante complexo do ponto de vista matemático e gera, por isso, uma série de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem. Sendo assim, através desta pesquisa, fundamentada em teorias da Educação Matemática, pretendeu-se compreender melhor o conceito de números fracionários. Para isso foi feito um estudo histórico e epistemológico das frações levantando-se a gênese e a evolução deste conceito. Realizou-se também a análise de alguns livros didáticos e foi aplicado um questionário a professores voluntários para verificar como realizam a transposição didática desse conceito, assim como, quais são as suas concepções sobre o tema. Com os resultados desta pesquisa é possível promover um ensino mais significativo do conceito de número fracionário, pois oferece a oportunidade de professores e alunos compreenderem melhor os números fracionários. Palavras-Chave: número fracionário; estudo histórico; transposição didática; livro didático.. ABSTRACT The concept of fractional number is very complex from a mathematical and creates therefore a number of difficulties in the process of teaching and learning. Thus, through this research, based on theories of mathematics education, was to better understand the concept of fractional numbers. It was made a historical and epistemological study of fractions to raise the genesis and evolution of this concept. Was the analysis of some textbooks and applied a questionnaire to teachers volunteer to see how the implementation is teaching and what are their conceptions. With the results of this research can promote a more meaningful teaching of the concept of fractional number, it offers the opportunity for teachers and students better understand the fractional numbers. Keywords: fractional number; historical study; crossing didactic; textbook.. Anhanguera Educacional S.A. Correspondência/Contato Alameda Maria Tereza, 2000 Valinhos, São Paulo CEP 13.278-181 rc.ipade@unianhanguera.edu.br Coordenação Instituto de Pesquisas Aplicadas e Desenvolvimento Educacional - IPADE Artigo Original Recebido em: 17/06/2009 Avaliado em: 20/09/2009 Publicação: 15 de outubro de 2009. 59.

(2) 60. Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática. 1.. INTRODUÇÃO A escolha dos números fracionários como tema desta pesquisa surgiu através da observação das dificuldades dos alunos e da necessidade de compreender melhor este assunto. No mundo real, segundo Onuchic e Botta (1997), frequentemente nos deparamos com situações que exigem o conhecimento de números racionais, seja na forma de frações, razões, decimais ou porcentagem. De acordo com Behr (1983) os números racionais proporcionam um rico campo dentro do qual as crianças podem desenvolver e expandir as estruturas mentais necessárias para um desenvolvimento intelectual contínuo. Ainda segundo o autor, o conceito de número racional é uma das mais complexas e importantes idéias matemáticas que as crianças encontram a partir das perspectivas prática, psicológica e matemática. Além disso, estudos em vários países têm mostrado o mau desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino. Como ressaltam Toledo e Toledo (1997), os números fracionários costumam trazer grandes dificuldades aos alunos, até para aqueles das séries finais do Ensino Fundamental e mesmo para os do Ensino Médio. E ainda: Quem está ou já esteve trabalhando com números racionais nota grandes dificuldades no ensino-aprendizagem desse tópico. Na literatura existente sobre esse tema, todos os educadores matemáticos são concordes em dizer que há muita dificuldade aí, tanto para os alunos como para os professores. (ONUCHIC; BOTTA, 1997, p. 5).. De acordo com Silva et al. (2000), o conceito de número fracionário é bastante complexo do ponto de vista matemático. Por isso, gera uma série de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem. A superação dessas dificuldades tem motivado a realização de muitas pesquisas sobre o assunto e de acordo com os objetivos de Matemática do Ensino Fundamental, estabelecidos nos PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997), deve-se levar o aluno a construir o significado do número racional e de suas representações (fracionária e decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto social. Os PCN salientam também que a maior dificuldade do aluno é entender o seu significado, transferindo ao seu cotidiano. Estudos em vários países têm mostrado o mau desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino. De acordo com os estudos de Hiebert e Beher, citados por Tinoco e Lopes (1994), crianças não percebem um número racional, ou fração, como um simples número. A idéia que elas têm de fração é a de um par de números naturais.. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(3) Regiane Arantes de Castro, Nanci de Oliveira. 61. Para Groff, citado por Onuchic e Botta (1997), há muitas dificuldades na aprendizagem das frações e muitas falhas no seu trabalho, e garante que as operações com números fracionários são difíceis para estudantes do mundo inteiro. Como afirmam Onuchic e Botta (1997), é preciso que nós, professores e educadores reconheçamos as dificuldades dos nossos alunos. Daí a necessidade de se aprofundar os estudos sobre esse assunto.. 2.. OBJETIVO Tendo em vista a problemática no ensino e aprendizagem dos números fracionários, ou seja, das frações, pretende-se compreender, tanto em termos de sua gênese como em termos de como está sendo feita a transposição didática deste conceito, pois só assim pode ser proposto um ensino com significado para o aluno e que torne a aprendizagem mais fácil. Portanto, o objetivo geral desta pesquisa é compreender melhor o conceito de números fracionários para que haja um ensino mais significativo, fazendo aplicações deste conhecimento, na vida e na escola. Os objetivos específicos desta pesquisa são:. 3.. a). Compreender o conceito de número fracionário, fazendo um levantamento histórico e epistemológico do assunto.. b). Verificar como é feita a transposição didática do conceito de número fracionário, através da análise de livros didáticos.. c). Verificar as concepções dos professores sobre os números fracionários.. METODOLOGIA Este projeto de pesquisa está fundamentado em teorias da Educação Matemática. Educação Matemática é uma grande área de pesquisa educacional, cujo objetivo de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática. Além dessa definição ampla, a expressão educação matemática pode ser ainda entendida no plano da prática pedagógica, conduzida pelos desafios do cotidiano escolar. Sua consolidação como área de pesquisa é relativamente recente,... (PAIS, 2002, p.10).. A metodologia desta pesquisa consiste no estudo histórico, epistemológico e da transposição didática do conceito de número fracionário. O estudo histórico e epistemológico das frações foi feito para levantar a gênese e a evolução desse conceito. Além disso, de acordo com os PCN (BRASIL, 1998), a história pode ser uma fonte de interesse para os jovens na medida em que permite fazer reflexões sobre a construção do conhecimento acumulado pela humanidade. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(4) 62. Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática. A pesquisa também se baseia na noção de transposição didática, que foi dada por Yves Chevallard e citada em Oliveira (1997). A transposição didática é o conjunto das adaptações e transformações que o saber “sábio” sofre para ser ensinado. Da escolha do saber a ser ensinado (conteúdo) à sua adaptação ao ensino existe um processo gerador de deformações, de criações de objetos de ensino, que termina no que chamamos de saber escolar, ou seja, o saber enunciado nos programas e, particularmente, observados nos livros didáticos. As condições de transmissão deste saber escolar também determinam o que, e de que maneira será adquirido pelos alunos. Daí a importância de se fazer nesta pesquisa uma análise de livros didáticos com relação às frações. Além disso, é importante investigar a maneira que o professor procede no ensino e aprendizagem do conceito de frações, pois é ele quem adapta o saber escolar ao saber ensinado. Para verificar as concepções dos professores sobre os números fracionários, foi aplicado um questionário. A escolha dos professores foi aleatória e as respostas foram obtidas de forma escrita e a análise foi qualitativa. Portanto, conforme a metodologia descrita, o desenvolvimento deste trabalho foi feito na seguinte ordem: 1º) Levantamento histórico do conceito de número fracionário. 2º) Análise de livros didáticos com relação ao conceito de número fracionário. 3º) Concepções dos professores sobre o conceito de número fracionário.. 4.. DESENVOLVIMENTO. 4.1. Levantamento histórico do conceito de número fracionário Segundo Boyer (1993), os homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com o advento de culturas mais avançadas, durante a Idade de Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito e notação de fração. Os números fracionários surgiram no Antigo Egito, às margens do Rio Nilo, por volta de 3000 a.C. na dinastia do Faraó Sesóstris. O Egito estava passando por um momento de transição, sua agricultura estava crescendo e o Faraó decidiu dividir as terras às margens do Rio Nilo em lotes iguais entre os agricultores. Para fazer as demarcações dos lotes foram chamados os geômetras do faraó, conhecidos como estiradores de cordas. As divisões eram feitas todo ano, pois como as inundações ocorriam no período de junho a setembro, as demarcações feitas desapareciam.. Assim, os estiradores voltaram a. demarcar os lotes. A marcação era feita da seguinte forma: esticavam-se as cordas e Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(5) Regiane Arantes de Castro, Nanci de Oliveira. 63. observavam quantas vezes essa unidade de medida estava contida no lote. Como a medida muitas vezes não resultava em um número inteiro, houve a necessidade da criação de um novo conceito de números, denominado números fracionários. Os egípcios dessa época usavam a escrita numeral repetitiva para indicar quantidades. Cada unidade era representada por uma barrinha “| ”. No início, os egípcios utilizavam frações unitárias, ou seja, frações com numerador um, como 1/3, ¼, 1/22... Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal alongado sobre o denominador . Por exemplo:. O Papiro Rhind, também conhecido como Papiro Ahmes, é um documento cuja origem data aproximadamente 1650 a.C., em que estão resolvidos oitenta e cinco problemas egípcios. Nele encontra-se a fração 1/8 representada por representado por. e 1/20. .. De acordo com Boyer (1993), tais frações eram manipuladas livremente nessa época, mas a fração geral parece ter sido um enigma para os egípcios. Eles se sentiam à vontade com a fração 2/3, para a qual tinham um sinal hierático. . “Os egípcios. esforçaram-se para evitar algumas das dificuldades computacionais encontradas com frações representando-se, com exceção de 2/3, como soma das frações chamadas unitárias, ou seja, aquelas de numerador igual a 1” (HOWARD, 1997, p. 73). Os mesopotâmios e os chineses também utilizavam as frações em seu cotidiano. “O segredo da clara superioridade da matemática babilônica sobre a dos egípcios indubitavelmente está em que os que viviam entre os dois rios deram o passo muito feliz de estender o princípio da posição às frações”. (BOYER, 1993, p. 20). Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, para as quais achavam o mínimo denominador comum. Como em outros contextos viam analogias com as diferenças entre sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. A ênfase sobre yin e yang (opostos, especialmente em sexo) tornava mais fácil seguir as regras para manipular frações. (BOYER, 1993, p. 146, 147).. 4.2. Análise de livros didáticos com relação ao conceito de número fracionário Para compreender como é feita a transposição didática do conceito de números fracionários, realizou-se a análise de 14 livros didáticos, sendo três da 3ª, três da 4ª e oito da 5ª série do Ensino Fundamental, conforme Quadro 1.. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(6) 64. Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática. Quadro 1 – Séries do Ensino Fundamental e Quantidade de Livros. Séries do Ensino Fundamental. Quantidade de Livros. 3ª. 3. 4ª. 3. 5ª. 8. Total de livros. 14. Em porcentagem: Porcentagem de Livros Didáticos Analisados, de acordo com a série 4ª 21% 3ª 21%. 5ª 58% 3ª. 4ª. 5ª. Figura 1 – Resultado da análise de livros didáticos de acordo com a série.. O Quadro 2 mostra os títulos dos livros didáticos analisados: Quadro 2 – Títulos, autores e série dos livros didáticos. Autor(es) Eny G. Sarli Esther Sarli Marilene M. Miranda Luiz Márcio Imenes José Jakubovic Marcelo Lellis Antonio José Lopes Bigode Joaquim Gimenez Antonio José Lopes Bigode Joaquim Gimenez Eny G. Sarli Esther Sarli Marilene M. Miranda Iracema Mori Luiz Márcio Imenes Marcelo Lellis Alexandre Luis Trovon de Carvalho Lourisnei Fortes Reis Gelson Iezzi Osvaldo Dolce Antonio Machado Iracema Mori Dulce Satiko Onaga. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69. Título. Série. Este mundo maravilhoso. 3ª série. Novo tempo. 3ª série. Matemática do cotidiano & suas conexões. 3ª série. Matemática do cotidiano & suas conexões. 4ª série. Este mundo maravilhoso. 4ª série. Viver e aprender. 4ª série. Matemática. 5ª série. Matemática interativa. 5ª série. Matemática e realidade. 5ª série. Matemática: idéias e desafios. 5ª série.

(7) Regiane Arantes de Castro, Nanci de Oliveira. 65. continuação Autor(es) Walter Spinelli Maria Helena Souza Iracema Mori Dulce Satiko Onaga Ernesto Rosa Ana Lúcia Bordeauk Cléa Rubinstein Elizabeth França Elizabeth Ogliari Gilda Portela. Título. Série. Matemática: oficina de conceitos. 5ª série. Matemática: idéias e desafios. 5ª série. Matemática: construir e aprender. 5ª série. Matemática na vida e na escola. 5ª série. Dos 14 livros didáticos analisados, dois trazem referências históricas sobre o assunto, mas apenas um sugere ao professor explorar a história da matemática ao explicar o assunto para que o aluno compreenda melhor o conceito de números fracionários. Os livros didáticos analisados apresentam o conteúdo utilizando muitas ilustrações, figuras geométricas coloridas, receitas culinárias, alimentos como frutas, chocolates, bolos, pizzas e líquidos. Isso pode ser bastante interessante, pois o aluno visualiza em quais situações aparecem os números fracionários em sua vida, contribuindo assim para uma melhor compreensão desse conceito. Chamou atenção o fato de alguns autores tratarem o conceito com uma linguagem difícil, que muitas vezes faz com que o aluno perca o interesse de aprender. Outros, porém o fazem de outras maneiras, utilizando experiências para que o aluno exercite mais e tenha curiosidade de aprender.. 4.3. Concepções dos professores sobre o conceito de número fracionário Com o objetivo de compreender as concepções dos professores sobre os números fracionários, foi elaborado e aplicado um questionário com seis perguntas. O levantamento de dados e suas análises podem ser vistos a seguir. Dez professores da rede pública e privada de Jacareí-SP responderam o questionário voluntariamente, por escrito.. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(8) 66. Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática. O gráfico da Figura 2 mostra a formação dos professores respondentes.. Formação Pedagógica dos Professores Física 30%. Pedagogia 20%. Matemática 50%. Figura 2 – Formação dos professores.. Quanto à instituição em que trabalham, quatro professores são da Rede Pública e seis da Rede Privada de Ensino, como pode ser visto no gráfico da Figura 3. Tipo de Instituição onde os professores respondentes lecionam Pública 40%. Particular 60%. Figura 3 – Afiliação dos professores.. De acordo com a análise das respostas dadas pelos professores, pôde-se concluir que eles preferem trabalhar com os números fracionários utilizando materiais concretos para que os alunos possam relacionar as partes com o todo. Além disso, acham importante trabalhar com a história deste conceito. Ainda segundo eles, a maior dificuldade dos alunos sobre as frações é fazer a relação do conceito com as operações matemáticas. Foi possível constatar que os professores utilizam o livro didático para trabalhar o conteúdo das frações, utilizando definições, exemplos e exercícios. O mais interessante é que os professores, ao contrário do que mostram as pesquisas, acham que os números fracionários são fáceis de ensinar.. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(9) Regiane Arantes de Castro, Nanci de Oliveira. 5.. 67. RESULTADOS Através desta pesquisa sobre os números fracionários, pretendia-se compreender melhor este conceito, tanto em termos de sua gênese como em termos de como é feita a transposição didática deste conceito, o que foi atingido de forma bastante satisfatória. Fazendo um levantamento histórico do assunto, pôde-se compreender como e em quais circunstâncias o conceito de número fracionário surgiu. Pôde-se compreender que foi através de uma necessidade dos egípcios, na medição de terras às margens do rio Nilo, e que essas medidas geralmente não eram inteiras. Daí o surgimento deste novo número. Também foi possível verificar como é feita a transposição didática do conceito de número fracionário, através da análise de livros didáticos. De acordo com essa análise, os livros, em sua maioria, não fazem referências ao surgimento das frações. Além disso, exploram muitas situações com receitas, divisão de pizza e chocolate, bem como figuras geométricas. Pela pesquisa foi possível verificar as concepções dos professores sobre os números fracionários. Segundo eles, o ensino e aprendizagem das frações não são difíceis, o que foi uma surpresa, pois isso contradiz os estudos realizados por pesquisadores. Para esses professores, a maior dificuldade dos alunos sobre as frações é fazer a relação do conceito com as operações matemáticas. Vê-se aqui uma possível contradição nas respostas dos professores, pois só se pode dizer que houve compreensão do conceito, e, portanto sucesso em sua aprendizagem, quando se estabelece a relação entre o conceito e suas aplicações. No caso específico das frações, é necessário estabelecer relações entre o conceito e as operações com esses números. Com os estudos realizados na presente pesquisa acredita-se ser possível promover um ensino mais significativo do conceito de número fracionário, pois o mesmo oferece a oportunidade para que professores e alunos compreendam melhor os números fracionários, fazendo aplicações deste conhecimento, na escola e na vida.. 6.. CONSIDERAÇÕES FINAIS De acordo com os estudos realizados, os números fracionários são um assunto interessante para ser trabalhado. Foi possível constatar a dificuldade de ensinar esse conceito e que é um assunto complexo para os alunos, apesar dos livros didáticos tratarem o assunto de maneira simples e os professores utilizarem materiais de apoio para a sua compreensão. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

(10) 68. Número fracionário: estudo histórico, epistemológico e da transposição didática. Caso a pesquisa continue, pretende-se fazer uma análise das dificuldades dos alunos, aplicando-se testes para os mesmos e observar se as explicações dos professores seguem as orientações dos PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática.. REFERÊNCIAS BEHR, M.J. et al. Rational number concepts. In: Aquisition of Mathematical concepts and processes. New York: Academic Press, 1983. Chapter 4. R. BIGODE, Antonio José Lopes; GIMENEZ, Joaquim. Matemática do cotidiano & suas conexões. São Paulo: FTD, 2005. 3ª série. ______. Matemática do cotidiano & suas conexões. São Paulo: FTD, 2005. 4ª série. BORDEAUX, Ana Lúcia et al. Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 5ª série. BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 10. reimp. São Paulo: Edgard Blücher, 1993. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. ______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. CARVALHO, Alexandre Luis Trovon de; REIS, Lourisnei Fortes. Matemática interativa. Tatuí: Casa Publicadora Brasileira, 2000. 5ª série. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: Editora da Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, 1997. IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Novo tempo. São Paulo: Editora Scipione, 1999. 3ª série. LELLIS, Marcelo; IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Editora Scipione, 1997. 5ª série. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. São Paulo: Editora Saraiva, 2005. 5ª série. MORI, Iracema. Viver e aprender. São Paulo: Editora Saraiva, 2004. 4ª série. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática idéias e desafios. São Paulo: Editora Saraiva, 2003. 5ª série. ______. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Editora Saraiva, 2007. 5ª série. OLIVEIRA, Nanci de. Conceito de função: uma abordagem do processo ensino-aprendizagem. 1997. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, São Paulo, 1997. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; BOTTA, Luciene Souto. Uma nova visão sobre o ensino e a aprendizagem dos números racionais. Revista de Educação Matemática, Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, ano 5, n. 3, p. 5-11, 1997. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. (Coleção Tendências em Educação Matemática – 3). ROSA, Ernesto. Matemática: construir e aprender. São Paulo: FTD, 2004. 5ª série. SARLI, Eny G.; SARLI, Esther; MIRANDA, Marilene M. Este mundo maravilhoso. Tatuí: Casa Publicadora Brasileira, 1999. 3ª série. ______. Este mundo maravilhoso. Tatuí: Casa Publicadora Brasileira, 2000. 4ª série.. Revista de Educação • Vol. XII, Nº. 13, Ano 2009 • p. 59-69.

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