Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Estudo do comportamento à fratura da
madeira em modo II e à escala meso
Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica
Ivo Tiago Ribeiro Novais
Orientador Prof. Catedrático José Joaquim Lopes Morais Co-orientador Prof. Doutor José Manuel Cardoso Xavier
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Dissertação apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.
As opiniões e as informações apresentadas neste documento são da responsabilidade exclusiva do autor.
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Agradecimentos
Os meus agradecimentos aos meus orientadores José Joaquim Lopes Morais e José Manuel Cardoso Xavier por todo o apoio, paciência e conhecimentos facultados para que deste modo a presente dissertação fosse possível.
Por outro lado, gostaria de agradecer àqueles que permitiram que este projeto iniciado à anos chegasse a bom porto e sendo assim aqui deixo os meus mais sinceros agradecimentos aos meus pais, que lhes reconheço um apoio incondicional. À minha mulher por sempre me fazer ver o lado positivo e arrancar-me um sorriso e ao meu irmão por toda a confiança transmitida.
A todas as pessoas que estiveram direta ou indirectamente envolvidas neste trabalho, destacando, Nazareth Crespo, Fábio Pereira, João Pereira, Alexandre Coxo, Rui Novais, Diogo Mesquita, Pedro Monteiro, José Ruano e Diogo Carvalho, os meus sinceros agradecimentos por apoio e colaboração.
Por fim gostaria de agradecer à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro por proporcionar os meios e as condições necessárias para a realização deste projeto.
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Resumo
Desde há muito tempo que se usa a madeira em elementos estruturais de construção civil. Contudo, estas estruturas sofrem degradação ao longo do tempo, devido a fatores como os ataques de fungos e incêndios, entre outros, ou é-lhes exigido que respondam a novas solicitações ou a novas normas de segurança (Moura, 2007). Por estas razões, é necessário proceder à sua reabilitação. Uma classe de métodos de reabilitação actualmente empregues baseia-se no uso de materiais compósitos. Porém, as técnicas existentes assentam essencialmente em métodos empíricos para a avaliação da resistência dos elementos estruturais reparados. É portanto imprescindível desenvolver trabalho de investigação para validar este tipo de acção, recorrendo às ferramentas mais recentes de cálculo estrutural.
Neste trabalho estudar-se-á o comportamento à fratura da madeira de Pinus Pinaster em modo II, através de ensaios laboratoriais e de análise por elementos finitos, usando um código comercial.
O trabalho tem como objectivo central desenvolver um método directo para a identificação da lei coesiva que regula a fratura em modo II da madeira, e que leve em atenção a heterogeneidade da madeira à escala dos anéis de crescimento (ou escala meso).
O trabalho estará focado no ensaio ENF, aplicado à madeira de Pinus pinaster e ao sistema de propagação RL. O método CBBM será usado para a determinação da curva de resistência. Por sua vez, recorreremos à correlação digital de imagem, para a medição do COD. É a partir desta informação que se procederá a identificação das leis coesivas, simplesmente derivando a relação entre a taxa de libertação de energia e o COD. A originalidade deste trabalho reside na consideração do efeito da heterogeneidade da madeira à escala meso.
O método de identificação das leis coesivas será previamente objecto de análise e validação através da simulação por elementos finitos do ensaio ENF. Nesta vertente numérica do trabalho dedicaremos uma especial atenção ao efeito da estrutura da madeira à escala meso.
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Abstract
For a long time it uses the wooden structural elements of construction. However, these structures suffer degradation over time due to factors such as fungal attacks and fires, among others, or is it required them to respond to new requests or new safety standards (Moura, 2007). For these reasons, it is necessary to their rehabilitation. One class of rehabilitation methods currently employed is based on the use of composite materials. However, the existing techniques are essentially based on empirical methods for evaluating the strength of the repaired structural elements. It is therefore essential to develop research work to validate this type of action, using the latest tools for structural design.
This work shall be studying the behavior to the invoice of Pinus Pinaster mode II, through laboratory testing and finite element analysis using a commercial code.
The work has as main objective to develop a direct method for identifying the cohesive law governing the fracture mode II of wood, and that takes into account the heterogeneity of the timber to the scale of growth rings (or meso scale).
The work is focused on ENF test, applied to the wood of Pinus pinaster and RL propagation system. The CBBM method is used for determining the resistance curve. In turn, we will use digital image correlation, for the measurement of COD. It is from this information that shall identify the cohesive laws, simply by deriving the relation between the energy release rate and COD. The originality of this work lies in considering the effect of heterogeneity of the wood to the meso scale.
The method of identification of cohesive laws will be previously analyzed and validation through simulation by finite elements of the ENF test. This numerical work shed devote special attention to the effect of the structure of the wood to the meso scale.
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Nomenclatura
A(x,y) – Função de mapeamento;
-Valor médio da função de mapeamento; a – comprimento de fenda numérico;
aeq – Comprimento de fenda equivalente;
aDIC – Comprimento de fenda calculado através da correlação digital de imagem; a0 – Comprimento de fenda inicial;
B – Espessura dos provetes; C – flexibilidade dos provetes;
C0 – flexibilidade inicial dos provetes; CBBM – Compliance based beam method; CCD – Charged coupled device.
CTOD – Crack tip opening displacement;
CTODI – Crack Tip Opening Displacement em modo de propagação I; CTODII – Crack Tip Opening Displacement em modo de propagação II; CTODmax – Crack Tip Opening Displacement máximo;
GIc – Taxa de libertação de energia crítica em modo I de fratura; GIIc – Taxa de libertação de energia crítica em modo II de fratura; GIIIc – Taxa de libertação de energia crítica em modo III de fratura; GI,i – Taxa de libertação de energia de iniciação em modo II de fratura; GI, max – Taxa de libertação de energia máxima em modo II de fratura;
GI,Pmax – Taxa de libertação de energia respetiva à força máxima em modo II de fratura;
h – altura dos provetes; I - Matriz identidade;
M(x,y) – Máscara de mapeamento;
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P – Força aplicada aos provetes durante o ensaio ou simulação numérica;
Pmax – Força máxima aplicada ao provete durante o ensaio ou simulação numérica; R – Rigidez inicial dos provetes;
R2 – Coeficiente de correlação;
r – razão entre a massa volúmica de referência do lenho final e a massa volúmica de referência do lenho inicial;
RL – Sistema de propagação RL, R (direcção radial dos anéis de crescimento) e L (direcção longitudinal das fibras);
up – Vector deslocamento do ponto p;
WLenho Real – Largura do lenho a ser calculada;
WLenho CAD – Largura do lenho medida no AUTOCAD®;
WTotal Real – Largura total do provete medida em laboratório; WTotal CAD – Largura total do provete medida no AUTOCAD®; Wi – Largura calculada do lenho inicial;
Wf - Largura calculada do lenho final; wi – Percentagem do lenho inicial; wf - Percentagem do lenho final; ZPF – Zona de processo de fratura;
– Valor de treshold;
i – razão de modo misto; – Factor de correção de Williams;
a – Variação do comprimento de fenda numérico;
ZPF – Variação do comprimento da zona de processo de fratura;
- Deslocamento imposto aos provetes durante o ensaio ou simulação numérica;
r – Vector de deslocamentos relativos;
vLR – Coeficiente de poisson nas direções LR;
11 final - massa volúmica calculada do lenho final;
inicial – massa volúmica calculada do lenho inicial;
final,ref – massa volúmica de referência do lenho final;
inicial,ref – massa volúmica de referência do lenho inicial Pereira;
ref – massa volúmica de referência Silva;
I – Tensão em modo I de propagação;
II – Tensão em modo II de propagação;
III – Tensão em modo III de propagação;
u - Tensão de rotura coesiva em modo de propagação I; - Vector de tensões.
13 ÍNDICE GERAL Resumo ... 5 Abstract ... 7 Nomenclatura ... 9 ÍNDICE FIGURAS ... 15 ÍNDICE TABELAS ... 19 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ... 21 1.1 Generalidades ... 21
1.2 Objetivos e organização do trabalho ... 22
CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 23
2.1 Introdução ... 23
2.2 Estrutura da madeira de Pinus pinaster ... 23
2.3 Propriedades mecânicas da madeira Pinus pinaster ... 26
2.4 Comportamento à fratura da madeira de Pinus Pinaster... 31
2.5 Determinação experimental das propriedades de fratura em modo II através do ensaio ENF ... 34
CAPÍTULO 3 TRABALHO EXPERIMENTAL ... 37
3.1 Introdução ... 37
3.2 Material e provetes ... 37
3.3 Caracterização da meso-estrutura dos provetes ... 40
3.4 Ensaios ENF ... 45
CAPÍTULO 4 ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS DO ENSAIO ENF ... 49
4.1 Introdução ... 49
4.2 Modelos de elementos finitos ... 49
4.3 Apresentação e discussão de resultados ... 54
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CAPÍTULO 5
CARACTERIZAÇÃO EXPERIMENTAL DO COMPORTAMENTO À FRATURA EM
MODO II ... 69
5.1 Introdução ... 69
5.2 Curvas P- ... 69
5.3 Curvas de resistência: método CBBM ... 73
5.4 Análise da rotura dos provetes ... 76
5.5 Conclusões ... 79
CAPÍTULO 6 Conclusões Finais ... 81
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ÍNDICE FIGURAS
Figura 2.1 – Aspeto macroscópico da madeira de Pinus Pinaster ... 24
Figura 2.2 – Estrutura celular (escala micro) dos lenhos inicial e final da madeira de Pinus pinaster, no plano transversal (Xavier, 2003). ... 24
Figura 2.3 – Esquema tridimensional da estrutura celular (escala micro) das espécies resinosas (Xavier, 2003). ... 25
Figura 2.4 – Representação esquemática dos traqueídos pertencentes ao lenho inicial (a) e ao lenho final (b) (Xavier, 2003). ... 26
Figura 2.5 – Ensaios de tracção e de flexão em quatro pontos para a determinação de EL ... 27
Figura 2.6 – Ensaios de tracção propostos por Pereira (2005): (a) determinação de ER e RT; (b) determinação de ET e TL. ... 28
Figura 2.7 – Esquema do ensaio Iosipescu (Xavier, 2003)... 29
Figura 2.8 – Aspecto geral do ensaio “off axis”: (a) plano LR, (b) plano LT e (c) plano RT (Garrido, 2004). ... 30
Figura 2.9– Aspecto geral do ensaio de Arcan (Oliveira, 2004). ... 31
Figura 2.10 – Sistema e modos de propagação ... 32
Figura 2.11 – Geometria do ensaio ENF (Silva, 2005). ... 33
Figura 3.1 – Geometria e dimensões nominais do rovete………....38
Figura 3.2 – Método de introdução da fenda inicial ... 38
Figura 3.3 – Meso estrutura dos provetes: (a) com 7 anéis de crescimento; (b) com 3 anéis de crescimento. ... 42
Figura 3.4 – Medição da largura dos anéis e dos lenhos. ... 43
Figura 3.5 – Largura do lenho inicial (wi) e lenho final (wf) segundo o teor de água. ... 45
Figura 3.6 – Distribuição do número de anéis segundo o teor de água. ... 45
Figura 3.7 – Distribuição da massa volúmica por teor de água. ... 46
Figura 3.8 - Aspecto geral do ensaio ENF. ... 47
Figura 3.9 – Aspecto característico do padrão de speckle... 48
Figura 4.1 – Condições de fronteira e malhas de elementos finitos: (a) modelo 1 (sem entalhe) e (b) modelo 2 (com entalhe). ... 50
Figura 4.2 – Pormenor da extremidade do entalhe do modelo 2 (com entalhe): (a) com fenda inicial e (b) sem fenda inicial. (continua) ... 51
Figura 4.2 – Pormenor da extremidade do entalhe do modelo 2 (com entalhe): (a) com fenda inicial e (b) sem fenda inicial. (continuação) ... 52
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Figura 4.3 – Esquema da meso-estrutura dos provetes usados na simulação por elementos finitos: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) modelo com 7 anéis de crescimento. ... 51 Figura 4.4 – Lei coesiva introduzida nos modelos de elementos finitos. ... 53 Figura 4.5 – Deformada e campo das deformações xx para o modelo 1 (sem entalhe): (a)
modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. ... 54 Figura 4.6 – Deformada e campo das deformações para o modelo 2 (com entalhe) e com fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. (continua) .... 54 Figura 4.6 – Deformada e campo das deformações para o modelo 2 (com entalhe) e com fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. (continuação)55 4.7 – Deformada e campo das deformações xx para o modelo 2 (com entalhe) e sem fenda
inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. ... 55 4.8 – Curvas P-numéricas e experimentais: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b)
modelo com 7 anéis de crescimento. ... 56 Figura 4.9 – Modelo com 3 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continua) ... 57 Figura 4.9 – Modelo com 3 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continuação) ... 58 Figura 4.10 – Modelo com 7 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continua) ... 59 Figura 4.10 – Modelo com 7 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continuação) ... 60 Figura 4.11 – Evolução do comprimento de fenda numérico (aFEM) e do comprimento de fenda
equivalente (ae), no modelo 1 (sem entalhe): (a) modelo com 3 anéis e (b) modelo com 7 anéis.61
Figura 4.12 – Evolução do comprimento de fenda numérico (an) e do comprimento de fenda
equivalente (ae), no modelo 2 (com entalhe): (a) modelo com 3 anéis e (b) modelo com 7 anéis.62
Figura 4.13 – Curvas de resistência: (a) modelo 1 (sem entalhe); (b) modelo 2 (com entalhe). . 63 Figura 4.14 – Curvas GII versus COD: (a) modelo 1 (sem entalhe); (b) modelo 2 (com entalhe).64
Figura 4.15 – Comparação entre as leis coesivas introduzidas nos modelos numéricos (lei coesiva de referência) e as leis coesivas identificadas, no modelo com 3 anéis de crescimento: (a) modelo 1 (sem entalhe); (b) modelo 2 (com entalhe). ... 65 Figura 4.16 – Comparação entre as leis coesivas introduzidas nos modelos numéricos (lei coesiva de referência) e as leis coesivas identificadas, no modelo com 7 anéis de crescimento: (a) modelo 1 (sem entalhe); (b) modelo 2 (com entalhe). ... 66
5.1 – Curvas força-deslocamento da amostra dos provetes para as diferentes humidades
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Figura 5.2 – Variação da força máxima com o teor de água. ... 71
Figura 5.3 – Variação da rigidez elástica com o teor de água. ... 72
Figura 5.4 – Variação do módulo de elasticidade com o teor de água. ... 72
Figura 5.5 – Variação do GII com o comprimento de fenda equivalente. ... 73
Figura 5.6 – Variação da taxa inicial de libertação de energia (GII,i) com o teor de água. ... 75
Figura 5.7 – Variação da taxa de libertação de energia associada à força máxima ... 75
Figura 5.8 – Aspecto geral dos provetes após rotura: propagação pela zona da fenda (a); propagação pela zona acima da fenda (b) e propagação sem existência de fenda (c). (continuação) ... 76
Figura 5.9 – Curvas CTOD: (a) para o modo I; (b) para o modo II; (c) comparação entre as curvas CTODI e CTODII. ... 78
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ÍNDICE TABELAS
Tabela 3.1 – Teor de água presente nos provetes para as temperaturas de 35ºC e 45ºC...40 Tabela 3.2 – Massa volúmica aparente e parâmetros da meso-estrutura dos provetes. ... 44 Tabela 4.1 – Propriedades elásticas e massa volúmica da madeira considerada nos modelos de elementos finitos. ... 52 Tabela 4.2 – Propriedades coesivas da madeira, usadas na simulação por elementos finitos (Dourado et al, 2011). ... 53 Tabela 5.1 – Valores médios da força máxima, da rigidez elástica e do módulo de flexão, para as diferentes concentrações de água. ... 70 Tabela 5.2 – Taxas de libertação médias de energia: taxa de iniciação (GII,i) e taxa para a força
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 Generalidades
Desde o aparecimento do Homem, a técnica e a arte de trabalhar a madeira têm evoluído, começando por um processo manual e primitivo, até à vasta e atual indústria das madeiras. A madeira esteve sempre ao alcance do Homem desde os tempos remotos. O conhecimento empírico do material madeira foi evoluindo com o aparecimento de construções cada vez mais complexas que levaram à necessidade de desenvolvimento de produtos e ligações mais capazes, mais audazes. Apesar de toda a evolução, as construções modernas baseiam-se, estrutural e tecnicamente, nas antigas estruturas das casas de madeira, assim como nos seus conceitos de abrigo e protecção. Dadas as suas características ecológicas, económicas e sociais a madeira é claramente uma matéria-prima muito interessante e os seus produtos e derivados contribuem para o desenvolvimento sustentável. Este desafio da sustentabilidade é um factor chave para se considerar a madeira como um material para o Século XXI.
Pese embora todas as vantagens associadas à madeira, quer dentro do espaço europeu quer a nível mundial, a madeira não é usada nem como matéria-prima generalizada nem tendo em conta o seu elevado valor potencial. Apesar do seu relativo baixo custo como matéria-prima, os produtos da madeira estão muitas vezes afastados dos mercados e substituídos por aqueles feitos noutros materiais, geralmente de fontes não renováveis. Adicionalmente a imagem da madeira junto dos profissionais e do público é geralmente pobre, em face da falta ou má interpretação da informação actualmente existente. Em conjunto estes factores condicionam fortemente as performances económicas das industrias da fileira de madeira e subsequentemente os produtores florestais e a economia rural como um todo. Apesar de tudo, é notório o crescente interesse na madeira como material estrutural. Tal facto deve-se a ser um material amigo do ambiente, ao contrário de muitos outros.
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No entanto, o risco que a nível estrutural a aplicação da madeira pode comportar leva a que ainda haja uma relutância geral entre os projectistas face à perspectiva da sua escolha. Consequentemente, torna-se premente uma cuidadosa caracterização do comportamento da madeira à fratura. Essa mesma caracterização é necessária para que venham a ser dadas garantias no que à segurança da construção diz respeito, baixando assim o custo e os coeficientes de segurança utilizados. Sendo assim, é necessário analisar o comportamento à fratura da madeira em modo II, à escala dos anéis de crescimento. A esta escala (escala meso) a madeira é um material heterogéneo, onde se distinguem os lenhos inicial e final.
A madeira é habitualmente tratada, a nível macroscópico, como um material contínuo, homogéneo e ortotrópico, três direcções de simetria material (LRT) (Smith et al. 2003). Atendendo ao seu carácter ortotrópico, há que distinguir seis sistemas de propagação de fendas na madeira: RL, TL, RT, LR, LT e TR. Nas aplicações estruturais, a propagação de fendas na madeira ocorre sobretudo no sistema de propagação RL. A propagação de fendas na madeira é um fenómeno local, logo não se pode ignorar a heterogeneidade da madeira à escala do anel de crescimento.
1.2 Objetivos e organização do trabalho
O trabalho tem como objectivo central desenvolver um método directo para a identificação da lei coesiva que regula a fratura em modo II da madeira, e que leve em atenção a heterogeneidade da madeira à escala dos anéis de crescimento (ou escala meso). O trabalho estará focado no ensaio ENF, aplicado à madeira de Pinus pinaster e ao sistema de propagação RL. O método CBBM será usado para a determinação da curva de resistência. Por sua vez, recorreremos à correlação digital de imagem, para a medição do COD. É a partir desta informação que se procederá a identificação das leis coesivas, simplesmente derivando a relação entre a taxa de libertação de energia e o COD. A originalidade deste trabalho reside na consideração do efeito da heterogeneidade da madeira à escala meso.
O método de identificação das leis coesivas será previamente objecto de análise e validação através da simulação por elementos finitos do ensaio ENF. Nesta vertente numérica do trabalho dedicaremos uma especial atenção ao efeito da estrutura da madeira à escala meso.
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CAPÍTULO 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Introdução
Neste capítulo será abordada de uma forma genérica a estrutura anatómica da madeira, em particular da espécie Pinus pinaster. Com esta abordagem pretende-se focar a característica ortotrópica da estrutura da madeira e a sua relação com o seu comportamento mecânico e à fratura.
Em seguida apresenta-se o modo como foi efectuada a determinação das propriedades elásticas e das propriedades de fratura da madeira de Pinus pinaster. Por último apresenta-se uma revisão dos modelos coesivos para a simulação da fratura e do método CBBM (compliance beam based method) aplicado ao ensaio ENF (End Notched Flexure).
2.2 Estrutura da madeira de Pinus pinaster
As madeiras classificam-se em dois grandes grupos: gimnospérmicas e angiospérmicas, também designadas por resinosas e folhosas. Em termos da microestrutura, madeira pode ser analisada segundo quatro escalas: (1) a escala macro, referente às dimensões estruturais; (2) a escala meso, referente aos anéis de crescimento; (3) a escala micro, referente ao tecido celular; (4) a escala nano referente à parede celular.
Na Figura 2.1 está ilustrado o aspeto macroscópico da madeira na qual se podem identificar a presença de bandas escuras e claras alternadamente. Cada par de bandas (escura e clara) corresponde a um acréscimo de lenho ao diâmetro da árvore no período de um ano, sendo designado por anel de crescimento. As zonas claras (lenho inicial) formam-se na primeira fase do período vegetativo (na Primavera); as zonas mais escuras (lenho final) correspondem à segunda fase do período vegetativo (no Verão/Outono). Na Figura 2.2 pode ser observado o aspecto típico dos tecidos celulares (escala micro) do lenho inicial e do lenho final.
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Figura 2.1 – Aspeto macroscópico da madeira de Pinus Pinaster
Figura 2.2. – Estrutura celular (escala micro) dos lenhos inicial e final da madeira de Pinus pinaster, no plano transversal (Xavier, 2003).
A madeira das resinosas é constituída por dois tipos de células: os traqueídos e os parênquimas (Figura 2.3). Os traqueídos são células longilíneas, dispostas num sistema vertical, representando cerca de 95% do volume total do tronco. Estas células são multifuncionais, com funções de condução de fluídos orgânicos e de suporte mecânico. As células parênquima dispõem-se num sistema horizontal (raios) e têm funções de
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armazenamento de nutrientes e de transporte (Xavier, 2003). Os traqueídos são células finas e ocas com um coeficiente de esbeltez (relação comprimento/largura) muito elevado (da ordem dos 100) e com perfurações/pontuações para comunicarem entre si (Figura 2.4). A largura do lúmen (parte oca) dos traqueídeos do lenho inicial é maior que a largura do lúmen dos traqueídeos do lenho final, verificando-se o contrário no que respeita à espessura da parede dessas células (Figuras 2.2 a 2.4). É esta a origem da diferença de aspecto, à escala meso, dos lenhos inicial e final que compõem um anel de crescimento (Figura 2.1).
Figura 2.3 – Esquema tridimensional da estrutura celular (escala micro) das espécies resinosas (Xavier, 2003).
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Figura 2.4 – Representação esquemática dos traqueídos pertencentes ao lenho inicial (a) e ao lenho final (b) (Xavier, 2003).
Em consequência da organização da sua estrutura interna, anteriormente descrita, a madeira à escala macro e à escala meso admite, em cada ponto, três direcções distintas de simetria do comportamento mecânico: a direcção longitudinal (L), paralela ao eixo principal das células orientadas longitudinalmente; a direcção radial (R), perpendicular às células longitudinais e paralelas aos raios; a direcção tangencial (T), tangente aos anéis de crescimento e mutuamente perpendicular às direcções L e R (Xavier, 2003).
2.3 Propriedades mecânicas da madeira Pinus pinaster
A propriedade mais caracterizada é o módulo de elasticidade longitudinal (EL) que
é realizada por ensaios de tracção (Pereira, 2005), ensaios de compressão (Xavier et al, 2012) e ensaios de flexão em três ou quatro pontos (Garrido, 2004; Machado e Cruz, 2005) e (Pereira 2005). Pereira (2005) comparou o ensaio de tracção com o ensaio de flexão em quatro pontos (Figura 2.5) para a determinação do módulo de elasticidade EL da chamada madeira limpa, tendo concluído que a determinação correcta de EL através do ensaio de flexão em quatro pontos requer algum cuidado, uma vez que o eixo neutro dos provetes habitualmente usados nesses ensaios, com
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secção transversal de 20x20 mm2 (Figura 2.5b), não coincide com o eixo geométrico. A não coincidência do eixo neutro com o eixo geométrico dos provetes deve-se à heterogeneidade da madeira à escala meso, que não pode ser ignorada na interpretação dos resultados dos ensaios de flexão (em três ou em quatro pontos). Garrido (2004) analisou o ensaio de flexão em três pontos, para a determinação de EL da madeira limpa, tendo concluído que em consequência da ortotropia da madeira de Pinus pinaster é necessário que a relação L/h (L: distância entre apoios; h: altura do provete) seja superior ou igual a 15 para que EL possa ser determinado através da teoria de vigas de Bernoulli-Euler. Machado e Cruz (2005) usaram o ensaio de flexão em três pontos para caracterizar a variabilidade intra- específica (no interior de uma árvore) do módulo de elasticidade EL, à escala macro.
(a)
(b)
Figura 2.5 – Ensaios de tracção e de flexão em quatro pontos para a determinação de EL
Xavier et al (2012) examinou a aplicabilidade do ensaio de compressão para a determinação não só de EL, mas também de ER e de ET, da madeira limpa de Pinus pinaster. Recorrendo à simulação por elementos finitos e à técnica da correlação digital de imagem para a medição dos campos cinemáticos, estes autores colocaram em
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evidência os problemas associados ao contacto dos provetes, nomeadamente na determinação de ER e de ET. No caso do módulo de elasticidade EL não detectaram diferenças significativas entre o módulo de elasticidade em tracção e em compressão, como de resto já tinha sido adiantado por Pereira (2005), a partir de ensaios de flexão em quatro pontos.
Pereira (2005) estudou detalhadamente a aplicação do ensaio de tracção para determinar os módulos de elasticidade ER e ET, assim como os coeficientes de Poisson rt e TL da madeira de Pinus pinaster. Em virtude da estrutura da madeira à
escala meso nos planos RT e LT (Figura 2.6), a interpretação dos dados experimentais (força e deformações) dos ensaios de tracção que desenvolveu requereu uma análise por elementos finitos. Os resultados obtidos demonstraram a validade dos ensaios de tracção que propôs (Figura 2.6).
(a)
(b)
Figura 2.6 – Ensaios de tracção propostos por Pereira (2005): (a) determinação de ER e RT; (b) determinação de ET eTL.
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Ainda mais escassos que os trabalhos sobre a determinação dos módulos de elasticidade (EL, ER e ET) e dos coeficientes de Poisson (LR , LT e RT) da madeira de
Pinus pinaster, são os trabalhos publicados sobre a determinação dos módulos de corte (GLR, GLT e GRT). Tal facto deve-se à complexidade dos ensaios para a determinação
dessas propriedades, nos quais o estado de tensão seja acessível através da força global aplicada aos provetes (ensaios estaticamente determinados). Xavier (2003) estudou exaustivamente a aplicabilidade do ensaio de Iosipescu (Figura 2.7) para a determinação dos módulos de corte da madeira de Pinus pinaster, em todos os planos de simetria material (GLR, GLT e GRT).
Embora tenha demonstrado que o ensaio de Iosipescu é um ensaio que permite a correta identificação dos módulos de corte, é um ensaio de difícil execução, que requer um sistema de solicitação complexo e que é exigente em termos do fabrico dos provetes. Por estas razões o ensaio de Iosipescu é pouco apropriado para uma caracterização exaustiva da variabilidade dos módulos de corte da madeira.
Garrido (2004) efectuou um trabalho sistemático de análise do ensaio de tracção “off-axis”, como alternativa ao ensaio de Iosipescu para a caracterização do comportamento ao corte da madeira de Pinus pinaster. Estes ensaios são mais simples de executar que os ensaios de Iosipescu, na medida em que não requerem dispositivos específicos para solicitar o provete. De facto, a solicitação nestes ensaios é aplicada através de amarras convencionais de cunhas deslizantes, com que em geral estão equipadas as máquinas de ensaios mecânicos (Figura 2.8). Outra vantagem do ensaio de tracção “off-axis”, relativamente ao ensaio de Iosipescu, é a maior facilidade no fabrico.
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dos provetes (Figura 2.8). A desvantagem do ensaio de tracção “off-axis” é que não permite aceder ao módulo de corte GRT. Na verdade, Garrido (2004)
demonstrou que este plano de simetria material da madeira de Pinus pinaster não é suficientemente anisotrópico para que o ensaio de tracção “off-axis” conduza a resultados fiáveis para GRT.
Oliveira (2004) estudou exaustivamente a utilização do ensaio de Arcan para a identificação dos módulos de corte da madeira de Pinus pinaster (Figura 2.9). Este ensaio é, em certa medida, semelhante ao ensaio de Iosipescu e conduz a resultados semelhantes. Mas em comparação com este ensaio, apresenta a vantagem de utilizar provetes de maior dimensão e do dispositivo de solicitação ser mais simples que o dispositivo de solicitação de ensaio de Iosipescu.
(a) (b) (c)
Figura 2.8 – Aspecto geral do ensaio “off axis”: (a) plano LR, (b) plano LT e (c) plano RT (Garrido, 2004).
31
Figura 2.9 – Aspecto geral do ensaio de Arcan (Oliveira, 2004).
2.4 Comportamento à fratura da madeira de Pinus Pinaster
A madeira é habitualmente tratada, a nível macroscópico, como um material contínuo, homogéneo e ortotrópico, três direcções de simetria material (LRT) (Smith et al. 2003) [1]. Atendendo ao seu carácter ortotrópico, há que distinguir seis sistemas de propagação de fendas na madeira (Figura 2.10): RL, TL, RT, LR, LT e TR. Nas aplicações estruturais, a propagação de fendas na madeira ocorre sobretudo no sistema de propagação RL.
O ensaio ENF (Figura 2.11) tem vindo a ser usado por alguns autores para a identificação das propriedades de fratura da madeira e de ligações coladas de madeira, à escala macro [2-5]. Recentemente, foi desenvolvido um método de identificação da curva de resistência, exclusivamente baseado na curva força-deslocamento [2, 3].
32
33
Figura 2.11 – Geometria do ensaio ENF.
Esse método, designado por CBBM, baseia-se na teoria de vigas de Timoshenko e no conceito de fenda equivalente. Em relação aos métodos convencionais, o CBBM tem a vantagem de não exigir a medição directa do comprimento da fenda durante a propagação e, adicionalmente, não requer a realização de ensaios independentes para a determinação das propriedades elásticas. Esta última vantagem é particularmente importante para materiais com uma grande variabilidade, como é o caso da madeira.
Os modelos coesivos, implementados através de elementos finitos de interface, constituem actualmente um dos principais métodos para prever a resistência de componentes estruturais, nomeadamente naqueles que empregam materiais quase-frágeis [6]. Há porém um problema com esta abordagem e que tem a ver com a identificação da lei coesiva. Vários métodos têm sido propostos, podendo classificar-se em duas grandes categorias: os métodos inversos, que envolvem simulação por elementos finitos e optimização, e métodos directos, unicamente baseados na experimentação [7, 8].
Os métodos directos para a identificação da lei coesiva baseiam-se na curva de resistência e no COD; a lei coesiva obtém-se por derivação da taxa de libertação de
34
energia em ordem ao COD [8]. A correlação digital de imagem é uma técnica que tem vindo a assumir um papel cada vez mais importante em Mecânica Experimental. Com esta técnica é possível aceder à medição do COD [9]. Com esta informação, e com a curva de resistência obtida através do CBBM, é possível aceder à lei coesiva em modo II. A propagação de fendas na madeira é um fenómeno local, logo não se pode ignorar a heterogeneidade da madeira à escala do anel de crescimento. De facto, a esta escala há que distinguir o lenho inicial do lenho final, com diferentes estruturas anatómicas e, consequentemente, com diferentes propriedades mecânicas. É neste contexto que se insere o trabalho que nos propomos realizar.
Vários ensaios têm sido empregues para caracterizar o comportamento à fratura da madeira em modo II como o ensaio ENF. Na figura 2.11 mostra-se o princípio do ensaio onde a0 é o comprimento de fenda inicial, 2L é a distância entre apoios, 2L1 é o
comprimento do provete, 2h é a altura do provete e B a largura. Durante o ensaio é medido o deslocamento aplicado ao provete (ensaio com controlo do deslocamento) e a força P resultante. Para que a propagação de fenda seja estável é necessário que o comprimento de fenda inicial seja pelo menos igual a 70% de metade do vão.
2.5 Determinação experimental das propriedades de fratura em modo
II através do ensaio ENF
As dimensões e as formas do provete ENF (End Notched Flexure), podem ser observadas na Figura 2.11. A fenda está localizada a meio da espessura do provete, pelo que a propagação é controlada pelas tensões de corte, que promovem a fratura em modo II. O provete é solicitado por uma força directamente aplicada na superfície superior, a meio vão. Os ensaios são geralmente executados com controlo de deslocamento, sendo registada ao longo do ensaio a força aplicada, o deslocamento do travessão da máquina e, nalguns casos, o comprimento da fenda. O método de calibração da flexibilidade baseado na teoria de vigas (CBBM) foi desenvolvido por (Silva et al, 2006) para o ensaio ENF. Este método tem a vantagem de não requerer a medição do comprimento da fenda durante a propagação para a identificação da curva de resistência.
Da teoria das vigas de Timoshenko e do teorema de Castigliano, resulta a seguinte expressão para a flexibilidade do provete ENF:
35 GA L EI L a C 5 3 12 2 3 3 3 (1)
onde A é a área de secção transversal do provete, I é o momento de segunda ordem em relação ao eixo neutro, E é o módulo de elasticidade e G é o módulo de corte no plano de flexão. Esta equação pode ser usada para determinar o módulo de flexão, a partir da flexibilidade inicial (C0) associada ao comprimento de fenda inicial, antes da propagação (a0): 1 0 3 3 0 5 3 12 2 3 GA L C I L a Ef (2)
Durante a propagação, a flexibilidade experimental incorpora não só o comprimento de fenda real (a) como também o efeito da zona de processo de fratura (ZPF), pelo que a equação (1) deverá ser assim reescrita:
GA L I E L a C f aZPF 5 3 12 2 3 3 (3)A parcela aFPZ foi introduzida, precisamente, para contemplar o efeito da ZPF, que se desenvolve na extremidade da fenda durante a propagação. Ora, esta última equação pode ser usada para determinar o comprimento de fenda equivalente (a ), da seguinte eq forma (Silva et al, 2006):
3 / 1 3 , 0 3 0 , 0 1 3 2 L C C a C C a a corr corr corr corr aZPF eq (4)
36 GA L C Ccorr 5 3 (5)
A partir da Equação (3) considerando a no lugar de eq aFPZ, a taxa de libertação de
energia em modo II pode ser obtido a partir de equação seguinte:
da dC B P G 2 2 (6)
onde B é a largura e C é a flexibilidade do provete,
P C (7) 3 / 2 3 , 0 3 0 , 0 3 2 2 1 3 2 16 9 L C C a C C h E B P G corr corr corr corr f IIc (8)
37
CAPÍTULO 3
TRABALHO EXPERIMENTAL
3.1 Introdução
Neste capítulo apresentamos os detalhes do trabalho experimental que foi realizado com o objectivo de caracterizar o comportamento à fratura em modo II da madeira de Pinus pinaster, à escala dos anéis de crescimento (escala meso). Em primeiro lugar, descrevemos os provetes ENF (End Notched Flexure) que foram usados para identificar a curva de resistência (ou curva-R) e a lei coesiva para o sistema de propagação RL. Nessa descrição, além da forma e das dimensões dos provetes, está incluído o método de introdução da fenda inicial e o acondicionamento prévio a que os provetes foram sujeitos, por forma a ficarem saturados com diferentes concentrações de água (abaixo do ponto de saturação de fibra). Em seguida, é caracterizada a meso estrutura de todos os provetes ensaiados e a distribuição das suas densidades médias. Por último, descrevemos os detalhes dos ensaios ENF, especialmente no que respeita à medição do CTOD (crack tip opening displacement) e do comprimento de fenda através da correlação digital de imagem.
3.2 Material e provetes
Os provetes (Figura 3.1) foram fabricados a partir de lenho adulto de uma única tábua central (contendo a medula) de madeira da espécie Pinus pinaster. Os provetes foram cortados em dimensões nominais e para que o plano de propagação fosse o plano RL, sendo L (direcção longitudinal das fibras) a direcção de propagação da fenda e R (direcção radial dos anéis de crescimento) a direcção normal ao plano da fenda.
38
Figura 3.1 – Geometria e dimensões nominais do provete.
A fenda inicial foi introduzida em duas etapas. Na primeira etapa foi maquinado um entalhe com 1 mm de espessura, numa serra de recortes. Na segunda etapa este entalhe foi prolongado 0.25 mm, com uma lâmina. Para isso, a lâmina foi fixada num suporte montado no atuador duma máquina de ensaios mecânicos Instron 5848 MicroTester (Figura 3.2). O atuador foi posicionado de modo a encostar a lâmina na frente do entalhe, tendo em seguida avançado 0.25 mm, à velocidade de 100mm/min.
39
Foram preparados 65 provetes, divididos de forma aleatória em grupos de 5. Um grupo de 5 provetes foi acondicionado num recipiente fechado contendo sílica-gel e introduzido numa estufa a 35ºC. Os restantes grupos de 5 provetes foram acondicionados em diferentes recipientes, cada um deles contendo uma solução saturada de um dos sais que constam na Tabela 3.1. Seis destes recipientes foram armazenados numa estufa a 35ºC e os outros seis recipientes foram armazenados noutra estufa, a 45ºC. A massa de cada provete foi registada periodicamente, até atingir um valor constante entre três pesagens sucessivas. Os valores médios da concentração de água no equilíbrio, em cada amostra de cinco provetes, que resultaram do processo de acondicionamento que acabamos de descrever, estão na Tabela 3.1. Estes resultados são semelhantes aos obtidos por Pinto (2011). Importa referir que a fenda inicial foi introduzida no final do processo de saturação dos provetes e pouco antes da realização dos ensaios de fratura.
40
Tabela 3.1 – Teor de água presente nos provetes para as temperaturas de 35ºC e 45ºC.
Temperatura (ºC) Teor de Água (%) Sal
35 0 Sílica gel 2.029 LiCl 6.544 MgCl2 7.449 NaBr 10.120 KI 11.303 NaCl 13.243 KCl 45 1.839 LiCl 5.458 MgCl2 6.444 NaBr 10.033 KI 10.253 NaCl 11.472 KCl
3.3 Caracterização da meso-estrutura dos provetes
As dimensões dos provetes ENF (Figura 3.1) foram escolhidas tendo em vista atingir a saturação dos provetes num tempo aceitável (cerca de um mês) e também para que a escala de observação do processo de fratura fosse à escala dos anéis de crescimento (escala meso). As reduzidas dimensões dos provetes fazem com que seja essencial caracterizar a meso estrutura de cada provete: número de anéis de crescimento, largura total do lenho inicial e largura total do lenho final. Na verdade, embora os provetes tenham sido extraídos de uma região muito limitada de uma árvore, a caracterização da meso-estrutura é necessária para despistar as possíveis causas da dispersão dos resultados experimentais dos ensaios de fratura. Com a mesma finalidade, foi também determinada a densidade média de cada provete.
41
Para cada provete foi obtida uma imagem da região central da face RL, com uma câmara CCD (Charged Coupled Device) Baumer Optronic FWX20. Na Figura 3.3 é possível verificar as duas meso-estruturas completamente opostas que existem nos provetes ensaiados, temos provetes com 7 anéis de crescimento e outros com apenas 3. A partir dessas imagens contamos o número de anéis de crescimento e determinamos a largura dos lenhos inicial e final, recorrendo ao software Autocad®. Para tal, foi necessário definir um factor de escala, para converter os comprimentos medidos no Autocad® nas dimensões reais dos provetes. Este factor de escala obtido medindo a largura de cada provete (Figura 3.4), com uma craveira digital com 0.01 mm de resolução: TotalCAD al Total LenhoCAD al Lenho W W W W Re Re (3.1)
Para além da determinação de parâmetros característicos da meso-estrutura, foi também determinada, pelo método gravimétrico, a massa volúmica aparente de cada provete (isto é, com o provete saturado).
Os resultados obtidos estão reunidos na Tabela 3.2. Usando a concentração de água no equilíbrio (Me) como variável independente, nas Figuras 3.5 e 3.6 apresentamos os gráficos de distribuição das percentagens das larguras totais dos lenhos e do número de anéis. Como podemos constatar, apesar do número de anéis variar de provete para provete, as percentagens do lenho inicial e do lenho final são semelhantes. Na Figura 3.7 encontra-se o gráfico da massa volúmica aparente calculada com a concentração de água no equilíbrio. A massa volúmica aparente aumenta com a concentração de água, revelando que a densidade básica (sem água) é praticamente a mesma entre as 9 amostras de provetes (descriminadas nas Tabela 3.1 e 3.2), e à volta de 542 Kg/m3 (Figura 3.7).
42
(a)
(b)Figura 3.3 – Meso estrutura dos provetes: (a) com 7 anéis de crescimento; (b) com 3 anéis de crescimento.
43
Tabela 3.2 – Massa volúmica aparente e parâmetros da meso-estrutura dos provetes.
Teor de água (%) Massa Volúmica (Kg/m3) (CV %) Número médio de anéis Wi (mm) (CV %) Wf (mm) (CV %) 1.8 538.821 (2.134) 5 7.868 (9.842) 2.11 (33.178) 5.5 514.245 (5.712) 6 8.102 (6.956) 2.006 (25.624) 6.4 564.292 (4.174) 4 7.802 (5.317) 2.4 (17.009) 7.4 540.373 (5.694) 5 8.007 (7.050) 2.265 (29.639) 10.1 569.256 (5.699) 4 7.726 (3.476) 2.536 (9.317) 10.3 547.452 (3.563) 5 7.824 (4.311) 2.366 (15.759) 11.3 558.644 (3.368) 5 8.01 (7.305) 2.315 (23.943) 11.5 552.960 (5.157) 5 7.608 (23.333) 2.622 (68.507) 13.2 532.144 (3.366) 5 7.906 (7.225) 2.412 (22.102)
44
Figura 3.5 – Largura do lenho inicial (wi) e lenho final (wf) segundo o teor de água.
Figura 3.6 – Distribuição do número de anéis segundo o teor de água.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,8 5,5 6,4 7,4 10,1 10,3 11,3 11,5 13,2 L ar gu ra d o lenh o (m m ) Teor de Água (%)
Lenho inicial Lenho final
0 1 2 3 4 5 6 7 1,8 5,5 6,4 7,4 10,1 10,3 11,3 11,5 13,2 Núm er o m éd io d e an éis Teor de Água (%)
45
Figura 3.7 – Distribuição da massa volúmica por teor de água
3.4 Ensaios ENF
Os ensaios mecânicos foram executados numa máquina universal de ensaios mecânicos Instron 5848 MicroTester, com controlo do deslocamento, à velocidade do atuador de 0.5 mm/minuto. A força aplicada foi medida com uma célula de carga de 2 kN e uma frequência de 10Hz. Tendo em vista a utilização da técnica da correlação digital de imagem para medir os campos de deslocamentos, aplicou-se uma carga inicial de 5 N a todos os provetes, para eliminar os deslocamentos de corpo rígido. As grandezas medidas no decorrer do ensaio são a força P e o deslocamento do atuador, além do campo dos deslocamentos na região de interesse, obtido por correlação digital de imagem. Para minimizar os efeitos do atrito foram colados no entalhe pedaços de folhas de acetato com glicerina entre eles.
Na Figura 3.8 é visível o aspecto geral dos ensaios ENF onde a distância estipulada entre apoios do provete foi de 60mm. Durante os ensaios foram medidos o CTOD (crack tip openinig displacement) e o comprimento de fenda, recorrendo à técnica de correlação digital de imagem. Para isso, foi necessário criar na região de interesse um padrão de speckle com as características adequadas para alcançar a
y = 0,8684x + 542,54 R² = 0,0298 0 100 200 300 400 500 600 700 0 2 4 6 8 10 12 14 [K g/m 3 ] Teor de Água (%)
46
resolução e a precisão necessárias na medição das referidas grandezas. A região de interesse foi então, em primeiro lugar, lixada sucessivamente com uma lixa de grão 320 e com uma lixa de grão 1000. Depois desta operação, a região de interesse foi pintada com uma camada de tinta branca (branco mate) e lixada com uma lixa de grão 1000, sendo o processo repetido até se obter uma camada branca uniforme. Finalmente, sobre essa camada foi projectado um spray de tinta preta, com um aerógrafo (IWATA Custom Micron CM-B). O aspecto típico do padrão de speckle assim obtido pode ser apreciado na Figura 3.9.
47
Figura 3.9 – Aspecto característico do padrão de speckle.
A montagem experimental associada à correlação digital de imagem é constituída por uma câmara de 8 bits CCD Baumer Optronic FWX20, acoplada a uma lente telecêntrica TC 23 06. Este tipo de lente tem uma ampliação constante até uma dada profundidade de campo, permitindo a filtragem de eventuais deslocamentos parasitas fora do plano nominal de ensaio. O set-up experimental inclui ainda duas fontes LED de luz branca Raylux 25, inclinadas, em sentidos opostos, cerca de 45º em relação ao eixo óptico. As imagens foram adquiridas e processadas usando o software ARAMIS DIC-2D.
49
CAPÍTULO 4
ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS DO ENSAIO ENF
4.1 Introdução
Este capítulo é dedicado à apresentação e discussão do trabalho de simulação por elementos finitos do ensaio ENF (End Notched Flexure), para a caracterização do comportamento à fratura em modo II da madeira de Pinus pinaster. O objectivo central deste trabalho foi validar um método directo (isto é, baseado apenas em resultados experimentais) para a identificação da lei coesiva em modo II, à escala dos anéis de crescimento. Em primeiro lugar, são apresentados os dois modelos de elementos finitos representativos dos casos extremos de meso estrutura observados nos provetes utilizados no trabalho experimental. Os resultados gerados com esses modelos, mais concretamente, a curva força-deslocamento, o CTOD (crack tip opening displacement) e o comprimento de fenda, serviram de base à identificação da lei coesiva. O método de identificação da lei coesiva que procuramos validar assenta na obtenção da curva de resistência pelo método CBBM (compliance based beam method) e na derivação da relação entre a taxa de libertação de energia e o CTOD.
4.2 Modelos de elementos finitos
Foram construídos modelos de elementos finitos do ensaio ENF om dois tipos de elementos: (a) elementos planos quadriláteros de 8 nós e (b) elementos finitos de interface de 6 nós, que incorporam uma lei de dano coesiva, implementados através de uma “subroutine” programada em FORTRAN ®
(de Moura et al, 1997). Estes últimos elementos destinam-se à simulação da propagação da fenda, tendo sido dispostos ao longo do trajecto da fenda.
50
Todos os modelos são compostos por 36386 nós e 12001 elementos finitos, 101 dos quais são elementos de interface de 6 nós e 11900 são elementos de 8 nós. Na figura 4.1 mostra-se o aspecto geral da malha de elementos finitos dos dois modelos que foram elaborados, incluindo as condições de fronteira. Na figura 4.2 podem ser apreciados os pormenores do modelo na extremidade da fenda inicial
(a)
(b)
Figura 4.1 – Condições de fronteira e malhas de elementos finitos: (a) modelo 1 (sem entalhe) e (b) modelo 2 (com entalhe).
Os modelos de elementos finitos foram construídos por forma a reproduzirem o mais fielmente possível as condições impostas nos ensaios ENF realizados experimentalmente. Em relação à geometria, os modelos apresentam as dimensões nominais apresentadas na figura 3.1. Na tabela 4.1 encontram-se as dimensões dos lenhos (inicial e final) dos dois modelos de elementos finitos, que procuram reproduzir a heterogeneidade do material. Na figura 4.3 encontram-se as respectivas estruturas materiais construídas de acordo com as dimensões reais.
51
(a)
Figura 4.2 – Pormenor da extremidade do entalhe do modelo 2 (com entalhe): (a) com fenda inicial e (b) sem fenda inicial. (continua)
(b)
Figura 4.2 – Pormenor da extremidade do entalhe do modelo 2 (com entalhe): (a) com fenda inicial e (b) sem fenda inicial. (continuação)
(a)
(b) Lenho Inicial Lenho final
Figura 4.3 – Esquema da meso-estrutura dos provetes usados na simulação por elementos finitos: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) modelo com 7 anéis de crescimento.
52
Para a atribuição das propriedades elásticas aos lenhos inicial e final usamos como ponto de referência as propriedades da madeira Pinus pinaster indicadas por Silva et al (2006), para uma massa volúmica ref= 0.589 g/cm3, e que se encontram na Tabela
4.1. Assumimos que estas propriedades são as propriedades médias dos anéis de crescimento. Pereira et al (2010) reportaram um valor médio inicial,ref=0.466 g/cm3 para
a massa volúmica do lenho inicial e um valor médio final,ref=0.976 g/cm3 para o lenho
final, a que corresponde uma razão r=final,ref /inicial,ref =2.145. Neste trabalho mediu-se
uma massa volúmica média de = 0.537 g/cm3 (Tabela 3.3), para os provetes secos. Desta forma podemos aplicar a regra das misturas tendo em conta a razão r, obtendo:
145 . 2 inicial final final final inicial inicial p p (4.1)onde inicial e final são as massas volúmicas do lenho inicial e final, respectivamente, e pinicial e pfinal são as percentagens de lenho inicial e lenho final. As propriedades elásticas do lenho inicial e do lenho final foram então estimadas do seguinte modo, assumindo uma relação linear entre essas propriedades e a massa volúmica:
ref
lenho propriedadede referência
lenho e propriedad
(4.2)Os resultados obtidos estão agrupados na tabela 4.1
Tabela 4.1 – Propriedades elásticas e massa volúmica da madeira considerada nos modelos de elementos finitos.
Propriedade Madeira Modelo com 3 anéis Modelo com 7 anéis L. inicial L. final L. inicial L. final EL (GPa) 11 7.619 15.959 8.287 17.357
ER (GPa) 1.91 1.74 3.74 1.74 3.74
GRT (GPa) 1.12 1.02 2.19 1.02 2.19
RT 0.46 0.43 0.92 0.43 0.92
53
Por fim, relativamente à lei coesiva associada aos elementos finitos de interface, recorremos ao trabalho de Dourado et al (2011), tendo adoptado a lei coesiva bilinear cujos parâmetros se encontram na tabela 4.2, e cujo gráfico está representado na Figura 4.4. Importa referir que após uma primeira simulação onde se se utilizou o valor da taxa crítica de libertação de energia indicado por Dourado et al (20112), GIc=0.26 N/mm, este valor foi por nós ajustado para um valor de GIc= 0.17 N/mm, de modo que as curvas força-deslocamento obtidas numericamente fossem semelhantes às curvas experimentais, conforme veremos mais adiante.
Tabela 4.2 – Propriedades coesivas da madeira, usadas na simulação por elementos finitos (Dourado et
al, 2011).
GIc (N/mm) GIIc (N/mm) I (MPa) II (MPa)
0.26 0.91 5.34 9.27
Figura 4.4 – Lei coesiva de modo misto introduzida nos modelos de elementos finitos.
0 2 4 6 8 10 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 II (MPa) COD (mm)
54
4.3 Apresentação e discussão de resultados
Na Figura 4.5 pode ser apreciado o campo de tensões xx para o modelo 1 (sem
entalhe): (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. Na Figura 4.6 pode ser apreciado o campo de tensões xx para o modelo 2 (com entalhe) e
com fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. Na Figura 4.7 pode ser apreciado o campo de tensões xx para o modelo 2
(com entalhe) e sem fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento.
(a)
(b)
Figura 4.5 – Campo de tensões xx para o modelo 1 (sem entalhe): (a) modelo com 3 anéis de
crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento.
(a)
Figura 4.6 – Campo de tensões para o modelo 2 (com entalhe) e com fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. (continua)
55
(b)
Figura 4.6 – Campo de tensões para o modelo 2 (com entalhe) e com fenda inicial: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento. (continuação)
(a)
(b)
Figura 4.7 – Campo de tensões xx para o modelo 2 (com entalhe) e sem fenda inicial: (a) modelo com 3
anéis de crescimento; (b) com 7 anéis de crescimento.
As curvas força-deslocamento (ou curvas P-) obtidas com esses dois modelos numéricos encontram-se na Figura 4.8, juntamente com as curvas experimentais relativas aos provetes secos. As curvas P- constituem uma das informações experimentais de base em que assenta a identificação da lei coesiva em modo II. Constatamos que os dois modelos de elementos finitos do ensaio ENF, (descritos anteriormente) conduzem praticamente à mesma curva P-. Isto sugere que o método de identificação da lei coesiva não será influenciado pela variabilidade da meso-estrutura, embora a confirmação desta hipótese careça de uma análise adicional.
56 (a)
(b)
Figura 4.8 – Curvas P- numéricas e experimentais: (a) modelo com 3 anéis de crescimento; (b) modelo com 7 anéis de crescimento.
A comparação entre as curvas P- numéricas e as curvas experimentais (Figura 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 P N) (mm) Experimental
Modelo 1 sem entalhe 3 anéis
Modelo 2 com entalhe com fenda inicial 3 anéis Modelo 2 com entalhe sem fenda inicial 3 anéis
0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 P N) (mm) Experimental
Modelo 1 sem entalhe 7 anéis
Modelo 2 com entalhe com fenda inicial 7 anéis Modelo 2 com entalhe sem fenda inicial 7 anéis
57
4.8) revela que, em termos globais, os modelos de elementos finitos do ensaio ENF que foram descritos na secção 4.2 reproduzem com realismo os resultados experimentais. Este facto é fundamental para uma validação fiável do método de identificação da lei coesiva que é o objecto central do presente trabalho.
Além da curva P-, a simulação por elementos finitos do ensaio ENF serviu também para obter o CTOD (crack tip opening displacement), o comprimento de fenda e a extensão da zona de processo de fratura (Figuras 4.9 e 4.10). Em termos numéricos, o CTOD é o deslocamento relativo dos dois pontos que antes da propagação coincidiam com a extremidade da fenda inicial. Por sua vez, o comprimento de fenda (a) é a distância entre a linha de acção da força P e o primeiro nó fechado dos elementos de interface. O CTOD é uma grandeza essencial para a identificação directa da lei coesiva. Quanto ao comprimento de fenda, embora não seja um factor do método de identificação da lei coesiva que pretendemos validar, servirá para analisar o significado físico do comprimento de fenda equivalente do CBBM. Relativamente à extensão da zona de processo de fratura (ZPF) , notamos que ela diminui com a propagação da fenda, o que constitui um sintoma de que o ensaio ENF não é válido para os provetes considerados neste trabalho.
(a)
Figura 4.9 – Modelo com 3 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continua)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 COD ( mm) (mm) Sem entalhe Com entalhe
58
(b)
(c)
Figura 4.9 – Modelo com 3 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continuação)
25 30 35 40 45 50 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a ( mm ) (mm) Sem entalhe Com entalhe 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Z P F (mm) (mm) Sem entalhe Com entalhe
59
(a)
(b)
Figura 4.10 – Modelo com 7 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continua)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 C OD ( mm ) (mm) Sem entalhe Com entalhe 25 30 35 40 45 50 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 a ( mm ) (mm) Sem entalhe Com entalhe
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(c)
Figura 4.10 – Modelo com 7 anéis: (a) evolução do COD; (b) evolução do comprimento de fenda numérico; (c) evolução da ZPF. (continuação)
Na Figura 4.11 podemos observar a evolução do comprimento de fenda numérico (an) e a evolução do comprimento de fenda equivalente (ae), no modelo 1
(sem entalhe): (a) modelo com 3 anéis e (b) modelo com 7 anéis. Na Figura 4.12 podemos observar a evolução do comprimento de fenda numérico (an) e a evolução do
comprimento de fenda equivalente (ae), no modelo 2 (com entalhe): (a) modelo com 3
anéis e (b) modelo com 7 anéis. A diferença (ae- - a0 (a0 é o comprimento de fenda inicial) é nula até ao fim do troço linear da curva c aumentando a partir daí, mesmo ainda quando a-a0=0. De facto, numa fase inicial do ensaio ENF, o aumento de (ae - - a0 deve-se ao desenvolvimento da zona de processo de fratura (ZPF) na extremidade da fenda inicial. Esta fase termina próximo da força máxima aplicada ao provete, quando a ZPF atinge uma dimensão constante característica e a fenda se propaga de forma auto-semelhante. Com a progressão do ensaio, (ae - - a0 tende para o valor de a-a0, pois a contribuição relativa da ZPF para a flexibilidade do provete vai diminuindo à medida que o comprimento de fenda vai aumentando.
Os resultados que acabamos de descrever indicam que o conceito de fenda 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Z P F (mm) (mm) Sem entalhe Com entalhe
61
equivalente não serve apenas para contornar a dificuldade de medição experimental do comprimento de fenda durante a propagação, mas constitui sobretudo um conceito fundamental para contabilizar correctamente a energia despendida durante todo o processo de fratura e, portanto, para identificar correctamente a lei coesiva. Esta afirmação sobre a natureza de ae será reforçada no seguimento da análise dos resultados da simulação por elementos finitos do ensaio ENF.
(a)
(b)
Figura 4.11 – Evolução do comprimento de fenda numérico (aFEM) e do comprimento de fenda
equivalente (ae), no modelo 1 (sem entalhe): (a) modelo com 3 anéis e (b) modelo com 7 anéis. 25 35 45 55 65 75 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 a ( mm ) (mm) a FEM ae 25 35 45 55 65 75 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 a ( mm ) (mm) a FEM ae
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(a)
(b)
Figura 4.12 – Evolução do comprimento de fenda numérico (an) e do comprimento de fenda equivalente
(ae), no modelo 2 (com entalhe): (a) modelo com 3 anéis e (b) modelo com 7 anéis.
A partir das curvas P- fornecidas pela simulação por elementos finitos (Figura 4.8), determinamos as curvas de resistência para os dois modelos numéricos do ensaio ENF aplicando o método CBBM. Estas curvas de resistências estão representadas na Figura 4.13. Estes resultados reforçam a ideia, já expressa atrás, de que o ensaio ENF não é um ensaio válido para os provetes com as dimensões empregues neste trabalho.
25 35 45 55 65 75 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 a ( mm ) (mm) a FEM ae 25 35 45 55 65 75 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 a ( mm ) (mm) a FEM ae
63
(a)
(b)
Figura 4.13 – Curvas de resistência: (a) modelo 1 (sem entalhe); (b) modelo 2 (com entalhe).
Na Figura 4.14 encontram-se as curvas de resistência em função do CTOD (GII - CTOD). Mais uma vez, as curvas numéricas referentes aos modelos com três e com sete anéis são praticamente idênticas, no caso do provete sem entalhe, o mesmo não acontecendo no modelo com entalhe.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 25 35 45 55 65 75 GII (N /m m) ae (mm) Modelo 1: 3 anéis Modelo 1: 7 anéis 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 20 40 60 80 GII (N /m m) ae (mm) Modelo 2: 3 anéis Modelo 2: 7 anéis
