aula2

Aula 2

Sistema Trifásico

Universidade Federal de Juiz de Fora

De forma genérica, em umsistema polifásicoexistemduas ou mais

tensõesdemesma frequênciamas comfases diferentes;

O sistema polifásico ésimétricose astensõessãoiguaisedefasadas

entre si de um ângulo2π/n, em que n é o número de fases.                          e1(t) = Emcos(ωt) e2(t) = Emcos  ωt − 2π1 n  e3(t) = Emcos  ωt − 2π2 n  .. . ... ... en(t) = Emcos  ωt − 2π(n − 1) n  (1) Para n ≥ 3

De forma genérica, em umsistema polifásicoexistemduas ou mais

tensõesdemesma frequênciamas comfases diferentes;

O sistema polifásico ésimétricose astensõessãoiguaisedefasadas

entre si de um ângulo2π/n, em que n é o número de fases.                          e1(t) = Emcos(ωt) e2(t) = Emcos  ωt − 2π1 n  e3(t) = Emcos  ωt − 2π2 n  .. . ... ... en(t) = Emcos  ωt − 2π(n − 1) n  (1) Para n ≥ 3

De forma genérica, em umsistema polifásicoexistemduas ou mais

tensõesdemesma frequênciamas comfases diferentes;

O sistema polifásico ésimétricose astensõessãoiguaisedefasadas

entre si de um ângulo2π/n, em que n é o número de fases.                          e1(t) = Emcos(ωt) e2(t) = Emcos  ωt − 2π1 n  e3(t) = Emcos  ωt − 2π2 n  .. . ... ... en(t) = Emcos  ωt − 2π(n − 1) n  (1) Para n ≥ 3

No sistema trifásicon= 3;

As tensões sãodefasadas de 120◦_.

           e1(t) = Emcos(ωt) e2(t) = Emcos  ωt − 2π 3  e3(t) = Emcos  ωt − 4π 3  (2) Representação fasorial:    E1 = Em 0◦ E2 = Em −120◦ E3 = Em −240◦ (3)

No sistema trifásicon= 3;

As tensões sãodefasadas de 120◦_.

           e1(t) = Emcos(ωt) e2(t) = Emcos  ωt − 2π 3  e3(t) = Emcos  ωt − 4π 3  (2) Representação fasorial:    E1 = Em 0◦ E2 = Em −120◦ E3 = Em −240◦ (3)

Vantagens

Dentretodosos sistemaspolifásicos, emigualdade de condiçõeso sistematrifásicoé o maiseconômicono que se refere àquantidade de

material condutor necessáriaa transmissão de energia elétrica ;

O sistematrifásicousamenor quantidade de cobre ou alumíniopara entregar amesma potênciaque um sistemamonofásicoequivalente;

Geradorestrifásicos sãomenores e mais levesque seus equivalentes

monofásicos por usarem com maioreficiência seus enrolamentos;

Ummotortrifásico émenorque seu correspondente monofásico de

mesma potência;

Motorestrifásicos, devido aocampo giranteproduzido pelas três fases,

partem sem a necessidade de dispositivos especiais. Já ocampo

pulsantedos motoresmonofásicos exige um enrolamento extra de

Vantagens

Dentretodosos sistemaspolifásicos, emigualdade de condiçõeso sistematrifásicoé o maiseconômicono que se refere àquantidade de

material condutor necessáriaa transmissão de energia elétrica ;

O sistematrifásicousamenor quantidade de cobre ou alumíniopara entregar amesma potênciaque um sistemamonofásicoequivalente;

Geradorestrifásicos sãomenores e mais levesque seus equivalentes

monofásicos por usarem com maioreficiência seus enrolamentos;

Ummotortrifásico émenorque seu correspondente monofásico de

mesma potência;

Motorestrifásicos, devido aocampo giranteproduzido pelas três fases,

partem sem a necessidade de dispositivos especiais. Já ocampo

pulsantedos motoresmonofásicos exige um enrolamento extra de

Vantagens

Dentretodosos sistemaspolifásicos, emigualdade de condiçõeso sistematrifásicoé o maiseconômicono que se refere àquantidade de

material condutor necessáriaa transmissão de energia elétrica ;

O sistematrifásicousamenor quantidade de cobre ou alumíniopara entregar amesma potênciaque um sistemamonofásicoequivalente;

Geradorestrifásicos sãomenores e mais levesque seus equivalentes

monofásicos por usarem com maioreficiência seus enrolamentos;

Ummotortrifásico émenorque seu correspondente monofásico de

mesma potência;

Motorestrifásicos, devido aocampo giranteproduzido pelas três fases,

partem sem a necessidade de dispositivos especiais. Já ocampo

pulsantedos motoresmonofásicos exige um enrolamento extra de

Vantagens

Dentretodosos sistemaspolifásicos, emigualdade de condiçõeso sistematrifásicoé o maiseconômicono que se refere àquantidade de

material condutor necessáriaa transmissão de energia elétrica ;

O sistematrifásicousamenor quantidade de cobre ou alumíniopara entregar amesma potênciaque um sistemamonofásicoequivalente;

Geradorestrifásicos sãomenores e mais levesque seus equivalentes

monofásicos por usarem com maioreficiência seus enrolamentos;

Ummotortrifásico émenorque seu correspondente monofásico de

mesma potência;

Motorestrifásicos, devido aocampo giranteproduzido pelas três fases,

partem sem a necessidade de dispositivos especiais. Já ocampo

pulsantedos motoresmonofásicos exige um enrolamento extra de

Vantagens

Dentretodosos sistemaspolifásicos, emigualdade de condiçõeso sistematrifásicoé o maiseconômicono que se refere àquantidade de

material condutor necessáriaa transmissão de energia elétrica ;

O sistematrifásicousamenor quantidade de cobre ou alumíniopara entregar amesma potênciaque um sistemamonofásicoequivalente;

Geradorestrifásicos sãomenores e mais levesque seus equivalentes

monofásicos por usarem com maioreficiência seus enrolamentos;

Ummotortrifásico émenorque seu correspondente monofásico de

mesma potência;

Motorestrifásicos, devido aocampo giranteproduzido pelas três fases,

partem sem a necessidade de dispositivos especiais. Já ocampo

pulsantedos motoresmonofásicos exige um enrolamento extra de

Vantagens

Motores trifásicos produzem umtorque constante, o que não é possível nos motores monofásicos;

Devido aotorque constanteos motores trifásicos sãomenos sujeitos a

vibrações;

Retificadorestrifásicos apresentammenos ondulaçãona tensão

retificada (ripple) que os monofásicos;

Apotência instantâneaem um sistema trifásiconunca é nula. No sistema

monofásico anula-se sempre que a tensão ou a corrente passam pelo zero (os motores monofásicos só continuam girando graças à inércia);

Apotência instantânea, em um sistema trifásico equilibrado éconstante,

Vantagens

Motores trifásicos produzem umtorque constante, o que não é possível nos motores monofásicos;

Devido aotorque constanteos motores trifásicos sãomenos sujeitos a

vibrações;

Retificadorestrifásicos apresentammenos ondulaçãona tensão

retificada (ripple) que os monofásicos;

Apotência instantâneaem um sistema trifásiconunca é nula. No sistema

monofásico anula-se sempre que a tensão ou a corrente passam pelo zero (os motores monofásicos só continuam girando graças à inércia);

Apotência instantânea, em um sistema trifásico equilibrado éconstante,

Vantagens

Motores trifásicos produzem umtorque constante, o que não é possível nos motores monofásicos;

Devido aotorque constanteos motores trifásicos sãomenos sujeitos a

vibrações;

Retificadorestrifásicos apresentammenos ondulaçãona tensão

retificada (ripple) que os monofásicos;

Apotência instantâneaem um sistema trifásiconunca é nula. No sistema

monofásico anula-se sempre que a tensão ou a corrente passam pelo zero (os motores monofásicos só continuam girando graças à inércia);

Apotência instantânea, em um sistema trifásico equilibrado éconstante,

Vantagens

Motores trifásicos produzem umtorque constante, o que não é possível nos motores monofásicos;

Devido aotorque constanteos motores trifásicos sãomenos sujeitos a

vibrações;

Retificadorestrifásicos apresentammenos ondulaçãona tensão

retificada (ripple) que os monofásicos;

Apotência instantâneaem um sistema trifásiconunca é nula. No sistema

monofásico anula-se sempre que a tensão ou a corrente passam pelo zero (os motores monofásicos só continuam girando graças à inércia);

Apotência instantânea, em um sistema trifásico equilibrado éconstante,

Vantagens

Motores trifásicos produzem umtorque constante, o que não é possível nos motores monofásicos;

Devido aotorque constanteos motores trifásicos sãomenos sujeitos a

vibrações;

Retificadorestrifásicos apresentammenos ondulaçãona tensão

retificada (ripple) que os monofásicos;

Apotência instantâneaem um sistema trifásiconunca é nula. No sistema

monofásico anula-se sempre que a tensão ou a corrente passam pelo zero (os motores monofásicos só continuam girando graças à inércia);

Apotência instantânea, em um sistema trifásico equilibrado éconstante,

x a a0 b b0 c c0 Br I 90 180 270 360 −1 1

v(t)

t

v

v

v

Figura 1:Tensões trifásicas

Vaa0

Vbb0

Vcc0

120◦

120◦

É aordem no tempoem que astensões atingemseus respectivos

valores máximos.

v(t)

t

v

v

v

Sistema trifásico

Sequência de fase

Sequênciapositiva(abc)

   Van= Vm 0◦ Vbn= Vm −120◦ Vcn= Vm −240◦ (4) + − + − + − (a) a Van Vbn Vcn Vca Vab Vbc n b c + − + − (b) a b c −+

Figure 12.6 Three-phase voltage sources: (a) Y-connected source, (b) -connected source.

c, and the neutral line n. These voltages are called phase voltages. If the voltage sources have the same amplitude and frequency ω and are out of phase with each other by 120◦, the voltages are said to be balanced. This implies that

Van+ Vbn+ Vcn= 0 (12.1)

|Van| = |Vbn| = |Vcn| (12.2)

Thus,

Balanced phase voltagesare equal in magnitude and are out of phase with each other by 120◦. 120° Vcn Van Vbn 120° −120° (a) 120° Vbn Van Vcn 120° −120° (b) v v

Figure 12.7 Phase sequences: (a) abc or positive sequence, (b) acb or negative sequence.

As a common tradition in power systems,volt-age and current in this chapter are in rms values unless otherwise stated.

Since the three-phase voltages are 120◦out of phase with each other, there are two possible combinations. One possibility is shown in Fig. 12.7(a) and expressed mathematically as

Van= Vp 0◦ Vbn= Vp − 120◦

Vcn= Vp − 240◦= Vp + 120◦

(12.3)

where Vpis the effective or rms value. This is known as the abc sequence

or positive sequence. In this phase sequence, Vanleads Vbn, which in

turn leads Vcn. This sequence is produced when the rotor in Fig. 12.4

rotates counterclockwise. The other possibility is shown in Fig. 12.7(b) and is given by

Van= Vp 0◦ Vcn= Vp − 120◦

Vbn= Vp − 240◦ = Vp + 120◦

(12.4)

This is called the acb sequence or negative sequence. For this phase sequence, Vanleads Vcn, which in turn leads Vbn. The acb sequence is

Sequêncianegativa(acb)

   Van= Vm 0◦ Vbn= Vm −240◦ Vcn= Vm −120◦ (5) + − + − + − (a) V_an Vbn Vcn Vca Vab Vbc n b c + − + − (b) b c −+

Figure 12.6 Three-phase voltage sources: (a) Y-connected source, (b) -connected source.

c, and the neutral line n. These voltages are called phase voltages. If the voltage sources have the same amplitude and frequency ω and are out of phase with each other by 120◦, the voltages are said to be balanced. This implies that

Van+ Vbn+ Vcn= 0 (12.1)

|Van| = |Vbn| = |Vcn| (12.2)

Thus,

Balanced phase voltagesare equal in magnitude and are out of phase with each other by 120◦.

120° Vcn Van Vbn 120° −120° (a) 120° Vbn Van Vcn 120° −120° (b) v v

Figure 12.7 Phase sequences: (a) abc or positive sequence, (b) acb or negative sequence.

As a common tradition in power systems,volt-age and current in this chapter are in rms values unless otherwise stated.

Since the three-phase voltages are 120◦out of phase with each other, there are two possible combinations. One possibility is shown in Fig. 12.7(a) and expressed mathematically as

Van= Vp 0◦ Vbn= Vp − 120◦

Vcn= Vp − 240◦= Vp + 120◦

(12.3)

where Vpis the effective or rms value. This is known as the abc sequence or positive sequence. In this phase sequence, Vanleads Vbn, which in turn leads Vcn. This sequence is produced when the rotor in Fig. 12.4 rotates counterclockwise. The other possibility is shown in Fig. 12.7(b) and is given by

Van= Vp 0◦ Vcn= Vp − 120◦

Vbn= Vp − 240◦ = Vp + 120◦

(12.4)

This is called the acb sequence or negative sequence. For this phase sequence, Vanleads Vcn, which in turn leads Vbn. The acb sequence is

Tensõessimétricas

Van+ Vbn+ Vcn = 0 (6)

Tensõesassimétricas

a a0 b b0 c c0 Br I

Figura 4:Gerador trifásico.

a

'

a

'

b

'

c

b

c

v

v

v

a

'

a

b

c

v

v

v

v

v

v

Figura 6:Ligação das bobinas em estrela.

Tensões defase: van(t), vbn(t), vcn(t) Tensões delinha: vab(t), vbc(t), vca(t) Sistemasimétrico van(t) + vbn(t) + vcn(t) = 0 (8)

a

'

a

b

c

v

v

v

v

v

v

Figura 6:Ligação das bobinas em estrela.

Tensões defase: van(t), vbn(t), vcn(t) Tensões delinha: vab(t), vbc(t), vca(t) Sistemasimétrico van(t) + vbn(t) + vcn(t) = 0 (8)

Sistema trifásico

Ligação em estrela (Y)

Tensões de linha

Considere um sistema trifásico simétrico desequência positiva, em que

Van= Vp 0◦, Vbn= Vp −120◦ Vcn= Vp 120◦

Atensão de linha Vabé dada por:

Vab= Van− Vbn= Vp 0◦− Vp −120◦ Vab= Vp 1 + 1 2 + j √ 3 2 ! =√3Vp 30◦

The use of a higher number of phases, such as 6- and 12-phase systems, is limited almost entirely to the supply of power to large rectifiers. Recti-fiers convert alternating current to direct current by only allowing current to flow to the load in one direction, so that the sign of the voltage across the load remains the same. The rectifier output is a direct current plus a smaller pulsating component, or ripple, which decreases as the number of phases increases.

Almost without exception, polyphase systems in practice contain sources which may be closely approximated by ideal voltage sources or by ideal voltage sources in series with small internal impedances. Three-phase current sources are extremely rare.

Double-Subscript Notation

It is convenient to describe polyphase voltages and currents using double-subscript notation. With this notation, a voltage or current, such as Vabor

Ia A, has more meaning than if it were indicated simply as V3or Ix. By

def-inition, the voltage of point a with respect to point b is Vab. Thus, the plus

sign is located at a, as indicated in Fig. 12.2a. We therefore consider the double subscripts to be equivalent to a plus-minus sign pair; the use of both would be redundant. With reference to Fig. 12.2b, for example, we see that Vad = Vab+ Vcd. The advantage of the double-subscript notation lies in

the fact that Kirchhoff’s voltage law requires the voltage between two points to be the same, regardless of the path chosen between the points; thusVad = Vab+ Vbd = Vac+ Vcd = Vab+ Vbc+ Vcd, and so forth. The

benefit of this is that KVL may be satisfied without reference to the circuit diagram; correct equations may be written even though a point, or subscript letter, is included which is not marked on the diagram. For example, we might have written Vad = Vax+ Vxd, where x identifies the location of any

interesting point of our choice.

One possible representation of a three-phase system of voltages1 _is

shown in Fig. 12.3. Let us assume that the voltages Van, Vbn, and Vcn are

known:

Van= 100/0◦V

Vbn= 100/−120◦V

Vcn = 100/−240◦V

The voltage Vabmay be found, with an eye on the subscripts, as

Vab= Van+ Vnb = Van− Vbn

= 100/0◦_{− 100/−120}◦_V

= 100 − (−50 − j86.6) V

= 173.2/30◦_V

The three given voltages and the construction of the phasor Vab are shown

on the phasor diagram of Fig. 12.4.

A double-subscript notation may also be applied to currents. We define the current Iabas the current flowing from a to b by the most direct path. In

■FIGURE 12.2 (a) The definition of the voltage Vab.

(b) Vad = Vab+ Vbc+ Vc d= Vab+ Vc d. Vab + – + – a b (a) (b) a c b d

■FIGURE 12.3 A network used as a numerical

example of double-subscript voltage notation. 120° V + – + – + – c b a n 100 –120° V 100 100 0° V

■FIGURE 12.4 This phasor diagram illustrates the

graphical use of the double-subscript voltage convention to obtain Vabfor the network of Fig. 12.3.

Vcn Vbn Van Vnb V_ab = Van + Vnb 30° 120° 120°

(1) In keeping with power industry convention, rms values for currents and voltages will be used

implicitlythroughout this chapter.

Sistema trifásico

Ligação em estrela (Y)

Tensões de linha

Considere um sistema trifásico simétrico desequência positiva, em que

Van= Vp 0◦, Vbn= Vp −120◦ Vcn= Vp 120◦

Atensão de linha Vabé dada por:

Vab= Van− Vbn= Vp 0◦− Vp −120◦ Vab= Vp 1 +1 2 + j √ 3 2 ! =√3Vp 30◦

The use of a higher number of phases, such as 6- and 12-phase systems, is limited almost entirely to the supply of power to large rectifiers. Recti-fiers convert alternating current to direct current by only allowing current to flow to the load in one direction, so that the sign of the voltage across the load remains the same. The rectifier output is a direct current plus a smaller pulsating component, or ripple, which decreases as the number of phases increases.

Almost without exception, polyphase systems in practice contain sources which may be closely approximated by ideal voltage sources or by ideal voltage sources in series with small internal impedances. Three-phase current sources are extremely rare.

Double-Subscript Notation

It is convenient to describe polyphase voltages and currents using double-subscript notation. With this notation, a voltage or current, such as Vabor

Ia A, has more meaning than if it were indicated simply as V3or Ix. By

def-inition, the voltage of point a with respect to point b is Vab. Thus, the plus

sign is located at a, as indicated in Fig. 12.2a. We therefore consider the double subscripts to be equivalent to a plus-minus sign pair; the use of both would be redundant. With reference to Fig. 12.2b, for example, we see that Vad = Vab+ Vcd. The advantage of the double-subscript notation lies in

the fact that Kirchhoff’s voltage law requires the voltage between two points to be the same, regardless of the path chosen between the points; thusVad = Vab+ Vbd = Vac+ Vcd = Vab+ Vbc+ Vcd, and so forth. The

benefit of this is that KVL may be satisfied without reference to the circuit diagram; correct equations may be written even though a point, or subscript letter, is included which is not marked on the diagram. For example, we might have written Vad = Vax+ Vxd, where x identifies the location of any

interesting point of our choice.

One possible representation of a three-phase system of voltages1 _is

shown in Fig. 12.3. Let us assume that the voltages Van, Vbn, and Vcn are

known:

Van= 100/0◦V

Vbn= 100/−120◦V

Vcn = 100/−240◦V

The voltage Vabmay be found, with an eye on the subscripts, as

Vab= Van+ Vnb = Van− Vbn

= 100/0◦_{− 100/−120}◦_V

= 100 − (−50 − j86.6) V

= 173.2/30◦_V

The three given voltages and the construction of the phasor Vab are shown

on the phasor diagram of Fig. 12.4.

A double-subscript notation may also be applied to currents. We define the current Iabas the current flowing from a to b by the most direct path. In

■FIGURE 12.2 (a) The definition of the voltage Vab.

(b) Vad = Vab+ Vbc+ Vc d= Vab+ Vc d. Vab + – + – a b (a) (b) a c b d

■FIGURE 12.3 A network used as a numerical

example of double-subscript voltage notation. 120° V + – + – + – c b a n 100 –120° V 100 100 0° V

■FIGURE 12.4 This phasor diagram illustrates the

graphical use of the double-subscript voltage convention to obtain Vabfor the network of Fig. 12.3.

Vcn Vbn Van Vnb V_ab = Van + Vnb 30° 120° 120°

(1) In keeping with power industry convention, rms values for currents and voltages will be used

implicitlythroughout this chapter.

Sistema trifásico

Ligação em estrela (Y)

Tensões de linha

Vbc = Vbn− Vcn=√3Vp −90◦ Vca= Vcn− Van=√3Vp −210◦

The actual phase sequence of a physical three-phase source depends on the

arbitrary choice of the three terminals to be lettered a, b, and c. They may

always be chosen to provide positive phase sequence, and we will assume

that this has been done in most of the systems we consider.

Line-to-Line Voltages

Let us next find the line-to-line voltages (often simply called the line

voltages) which are present when the phase voltages are those of Fig. 12.12a.

It is easiest to do this with the help of a phasor diagram, since the angles are

all multiples of 30

. The necessary construction is shown in Fig. 12.13; the

results are

V

=

√

3Vp

/30

_[1]

V

=

√

3V

/−90

[2]

V

=

√

3V

/−210

[3]

Kirchhoff’s voltage law requires the sum of these three voltages to be zero;

the reader is encouraged to verify this as an exercise.

If the rms amplitude of any of the line voltages is denoted by VL, then

one of the important characteristics of the Y-connected three-phase source

may be expressed as

V

=

√

3Vp

Note that with positive phase sequence,

V

leads

V

and

V

leads

V

, in each case by 120

, and also that

V

leads

V

and

V

leads

V

,

again by 120

. The statement is true for negative phase sequence if “lags’’

is substituted for “leads.’’

Now let us connect a balanced Y-connected three-phase load to our

source, using three lines and a neutral, as drawn in Fig. 12.14. The load is

0° Van = Vp –120° Vbn = Vp –240° V V_cn = V_p (+) sequence (a) 0° Van = Vp 240° Vcn = Vp 120° V_bn = V_p (–) sequence (b)

■FIGURE 12.12 (a) Positive, or abc, phase sequence. (b) Negative, or cba, phase sequence.

V_cn Vca V_bn V_bc Van V_ab 30⬚

■FIGURE 12.13 A phasor diagram which is used

to determine the line voltages from the given phase voltages. Or, algebraically,Vab = Van− Vbn =

Vp/0◦ − Vp/−120◦= Vp − Vpcos(−120◦)− j Vpsin(−120◦)= Vp(1+ 1₂ + j  3/2) =  3Vp/30◦. + – + – + _– a c n _N C A B b Z_p Z_p Zp

Figura 8:Diagrama fasorial.

Tensões de linha Vab= Van− Vbn=√3Vp 30◦ Vbc = Vbn− Vcn= √ 3Vp −90◦ Vca= Vcn− Van=√3Vp −210◦

V

V

V

V

V

V

_V

30*

3 V

V

V

V

V

V

V

n

a

b

c

(a) All phasors starting from the origin

(b) A more intuitive way to

draw the phasor diagram

Figure 5.41

Phasor diagram showing line-to-line voltages and line-to-neutral

voltages.

Thus, the relationship between the line-to-line voltage V

_ab

and the line-to-neutral

Figure 5.41(b) provides a

convenient way to remember

the phase relationships

between line-to-line and

line-to-neutral voltages.

voltage V

an

is

V

_ab

= V

an

× 3

*

30

(5.103)

Similarly, it can be shown that

V

_bc

= V

_bn

× 3

*

30

(5.104)

and

V

_ca

= V

_cn

×

3

*

30

(5.105)

These voltages are shown in Figure 5.41.

Example 5.12

Analysis of a Wye Wye System

A balanced positive-sequence wye-connected 60-Hz three-phase source has

line-to-neutral voltages of V

Y

= 1000 V. This source is connected to a balanced

wye-connected load. Each phase of the load consists of a 0.1-H inductance in series with

a 50-

resistance. Find the line currents, the line-to-line voltages, the power, and

the reactive power delivered to the load. Draw a phasor diagram showing the

line-to-neutral voltages, the line-to-line voltages, and the line currents. Assume that the

phase angle of V

an

is zero.

Solution

First, by computing the complex impedance of each phase of the load, we

nd that

Z = R + j L = 50 + j2 (60)(0.1) = 50 + j37.70

= 62.62

*

37.02

Next, we draw the circuit as shown in Figure 5.42(a). In balanced wye wye

calculations, we can assume that n and N are connected. (The currents and voltages

are the same whether or not the neutral connection actually exists.) Thus, V

an

appears

across phase A of the load, and we can write

I

aA

=

V

an

Z

=

1000

*

0

62.62

*

37.02

= 15.97

*

37.02

Figura 9:Diagrama fasorial.

Sistema trifásico

Ligação em estrela (Y)

Tensões de linha The actual phase sequence of a physical three-phase source depends on the

arbitrary choice of the three terminals to be lettered a, b, and c. They may always be chosen to provide positive phase sequence, and we will assume that this has been done in most of the systems we consider.

Line-to-Line Voltages

Let us next find the line-to-line voltages (often simply called the line

voltages) which are present when the phase voltages are those of Fig. 12.12a.

It is easiest to do this with the help of a phasor diagram, since the angles are all multiples of 30◦_{. The necessary construction is shown in Fig. 12.13; the} results are Vab= √ 3Vp/30◦ [1] Vbc= √ 3Vp/−90◦ [2] Vca=√3Vp/−210◦ [3]

Kirchhoff’s voltage law requires the sum of these three voltages to be zero; the reader is encouraged to verify this as an exercise.

If the rms amplitude of any of the line voltages is denoted by VL, then

one of the important characteristics of the Y-connected three-phase source may be expressed as

VL=

√

3Vp

Note that with positive phase sequence, Vanleads Vbn and Vbn leads

Vcn, in each case by 120◦, and also that Vableads Vbcand Vbcleads Vca,

again by 120◦_{. The statement is true for negative phase sequence if “lags’’} is substituted for “leads.’’

Now let us connect a balanced Y-connected three-phase load to our source, using three lines and a neutral, as drawn in Fig. 12.14. The load is

0° Van = Vp –120° Vbn = Vp (+) sequence (a) 0° Van = Vp 240° Vcn = Vp (–) sequence (b)

■FIGURE 12.12 (a) Positive, or abc, phase sequence. (b) Negative, or cba, phase sequence.

Vcn Vca Vbn Vbc Van Vab 30⬚

■FIGURE 12.13 A phasor diagram which is used

to determine the line voltages from the given phase voltages. Or, algebraically,Vab= Van− Vbn=

Vp/0◦− Vp/−120◦= Vp− Vpcos(−120◦)− j Vpsin(−120◦)= Vp(1+1₂+ j3/2) =  3Vp/30◦. + – + – + _– a c n N C A B b Zp Zp Zp

Figura 10:Diagrama fasorial.

Na conexão em Y,sequência abcas tensões de fase e de linha obedecem as seguintes relações:

Vab= Van·√3 30◦ (9) Vbc= Vbn·√3 30◦ (10) Vca= Vcn·√3 30◦ (11)

a

'

a

'

b

'

c

b

c

v

v

v













i

i

i

i

i

i

v

v

v

Figura 11:Ligação das bobinas em delta.

Tensões vaa0(t) = v_ab(t) vbb0(t) = v_bc(t) vcc0(t) = v_ca(t) Correntes de fase: iba(t), icb(t), iac(t) Correntes de linha: ia(t), ib(t), ic(t)

a

'

a

'

b

'

c

b

c

v

v

v













i

i

i

i

i

i

v

v

v

Figura 11:Ligação das bobinas em delta.

Tensões vaa0(t) = vab(t) vbb0(t) = vbc(t) vcc0(t) = vca(t) Correntes de fase: iba(t), icb(t), iac(t) Correntes de linha: ia(t), ib(t), ic(t)

Correntes de linha

Considere um sistema trifásico simétrico desequência positiva, em que

Iba= Ip 0◦, Icb = Ip −120◦ Iac= Ip 120◦

Acorrente de linha Iaé dada por:

Ia= Iba− Iac= Ip 0◦− Ip 120◦ Ia= Ip 1 + 1 2− j √ 3 2 ! =√3Ip −30◦

Correntes de linha

Considere um sistema trifásico simétrico desequência positiva, em que

Iba= Ip 0◦, Icb = Ip −120◦ Iac= Ip 120◦

Acorrente de linha Iaé dada por:

Ia= Iba− Iac= Ip 0◦− Ip 120◦ Ia= Ip 1 + 1 2− j √ 3 2 ! =√3Ip −30◦

Correntes de linha

Figura 13:Diagrama fasorial.

Na conexão em ∆,sequência abc

as correntes de fase e de linha obedecem as seguintes relações:

Ia= Iba· √ 3 −30◦ ₍₁₂₎ Ib= Icb· √ 3 −30◦ ₍₁₃₎ Ic= Iac· √ 3 −30◦ ₍₁₄₎

Determine a relação entre as tensões de fase e de linha para um gerador conectado em estrela com sequência negativa.

Vab= Van· √ 3 −30◦ ₍₁₅₎ Vbc= Vbn· √ 3 −30◦ ₍₁₆₎ Vca= Vcn· √ 3 −30◦ ₍₁₇₎

Determine a relação entre as tensões de fase e de linha para um gerador conectado em estrela com sequência negativa.

Vab= Van·

√

3 −30◦ ₍₁₅₎

Vbc= Vbn·√3 −30◦ ₍₁₆₎