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Estimativas a Priori para Sistemas de Equacões de Advecção-difusão

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Academic year: 2021

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. Estimativas a Priori para Sistemas de Equa¸co ˜es de Advec¸ c˜ ao-Difus˜ ao. WILBERCLAY GONC ¸ ALVES MELO. Orientador: Prof. PABLO GUSTAVO ALBUQUERQUE BRAZ E SILVA ´ Co-Orientador: Prof. PAULO RICARDO DE AVILA ZINGANO. Recife, fevereiro de 2011.

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. Estimativas a Priori para Sistemas de Equa¸co ˜es de Advec¸ c˜ ao-Difus˜ ao WILBERCLAY GONC ¸ ALVES MELO. Tese apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universidade Federal de Pernambuco para obten¸ca˜o do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica. Orientador: Prof. PABLO GUSTAVO ALBUQUERQUE BRAZ E SILVA ´ Co-Orientador: Prof. PAULO RICARDO DE AVILA ZINGANO. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CNPq Recife, fevereiro de 2011.

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(5) Dedicat´ oria A minha Fam´ılia. iv.

(6) Agradecimentos A minha m˜ae Edilma, a qual ´e, resumidamente, tudo que preciso e precisarei para ser algu´em; Ao meu pai Wilton, sem o qual n˜ao possuiria princ´ıpios e n˜ao conseguiria diferenciar o honesto do desonesto; a minha fam´ılia: Evani, Ezilda, Em´ıla, Enilda, Erivaldo, Edna que rezaram por mim em todos os momentos; a minha tia e madrinha Eneide que lutou por minha estadia em PE e esteve presente em todos os momentos da minha vida, aos professores Pablo Braz, Paulo Zingano e Miguel Loayza por suas orienta¸c˜oes, dedica¸c˜ao e disponibilidade; `a CNPQ pelo aux´ılio financeiro; aos professores C´esar Castilho, Lineia Sch¨ utz, Marko Rojas, Uberlˆandio Batista, Joaquim Tavares, por participarem da banca examinadora; a minha namorada Jamile pelo companheirismo e compreens˜ao; a meus irm˜aos Gardˆenia e Alex, que sempre torceram por mim; a todos meus colegas da UFS e da UFPE que contribu´ıram, direta ou indiretamente, para realiza¸c˜ao deste trabalho; aos meus amigos que compartilharam seus conhecimentos e suas amizades; a todos os professores e funcion´arios da UFPE, da UNIT e da UFS que tiveram um papel importante na minha forma¸ca˜o; por todos os momentos da minha vida acadˆemica, agrade¸co aos professores Genaro e Danilo por seus conselhos, suas amizades, pela confian¸ca e pelo respeito.. v.

(7) Resumo Estudamos sistemas de equa¸c˜oes de advec¸c˜ ao-difus˜ ao com o objetivo de obter estimatip vas a priori para normas L de suas solu¸c˜ oes.. Palavras-chave: Advec¸c˜ao-difus˜ao, estimativas a priori, estimativas de energia.. vi.

(8) Abstract We study systems of advection-diffusion equations, with the aim of deriving a priori estimates for various Lp norms of its solutions.. Keywords: Advection-diffusion, a priori estimates, energy estimates.. vii.

(9) Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao. 1. 2 Preliminares. 5. 2.1. Nota¸c˜oes e Normas para o cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Nota¸c˜oes e Normas para o cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.3. Nota¸c˜oes e Normas para o cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.4. Nota¸c˜oes e Normas para o cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.5. Nota¸c˜oes e Normas para o cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.6. Fun¸c˜oes Sinal Regularizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.7. Fun¸c˜oes de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.8. Algumas Desigualdades de Sobolev B´asicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 3 Equa¸ c˜ ao de Advec¸ c˜ ao-Difus˜ ao Unidimensional. 13. 3.1. Estimativa para a Norma Lp. 3.2. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 4 Sistema Rotacionalmente Invariante Unidimensional. 23. 4.1. Estimativa para a Norma Lp. 4.2. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 4.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. viii.

(10) 5 Sistema de Equa¸ c˜ oes de Advec¸ c˜ ao-difus˜ ao Unidimensional. 31. 5.1. Estimativa para a Norma Lp. 5.2. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 5.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 6 Sistema Rotacionalmente Invariante Multidimensional. 41. 6.1. Estimativa para a Norma Lp. 6.2. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 6.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 7 Sistema de Equa¸ c˜ oes de Advec¸ c˜ ao-difus˜ ao Multidimensional. 50. 7.1. Estimativa para a Norma Lp. 7.2. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 7.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 8 Sistema de Equa¸ c˜ oes de Advec¸ c˜ ao-difus˜ ao Acopladas. 61. 8.1. Estimativa de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 8.2. Estimativas para o Limite inferior da norma do Sup e o Limite superior da norma Lq 65. 8.3. Estimativa para a Norma do Sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 82. ix.

(11) Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ ao Estamos interessados em estudar sistemas de equa¸c˜ oes de advec¸c˜ ao-difus˜ ao. Procuramos em cada sistema, como principal objetivo, encontrar uma estimativa a priori para a norma do sup de solu¸c˜oes para cada problema trabalhado. Vejamos, cap´ıtulo por cap´ıtulo, os principais resultados obtidos. No cap´ıtulo 3, estudaremos algumas propriedades para solu¸c˜ oes u(·, t) da equa¸c˜ ao de advec¸c˜ aodifus˜ao ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))f (x, t, u(x, t))]x = µ(t)uxx (x, t) + c(x, t, u(x, t))u(x, t),. (1.1). p. u(·, 0) = u0 ∈ L (R), onde x ∈ R, t > 0, supondo |b(x, t, u)| ≤ B(t), |f (x, t, u)| ≤ D|u|,. (1.2). |c(x, t, u)| ≤ C(t). A fun¸c˜ao µ ∈ C 0 ([0, ∞)) ´e positiva, f, b s˜ao de classe C 1 , as fun¸c˜ oes B, C ∈ C 0 ([0, ∞)). Aplicaremos as t´ecnicas utilizadas em [3, 29] para provar que as solu¸c˜ oes do problema (1.1), juntamente com as hip´oteses (1.2), satisfazem as estimativas ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0, ½ ¾ 1 3pt −2 ∞ ku(·, t)kL (R) ≤ Cκ exp E(t) D(t) p t p , ∀ t > 0, 2 onde K(t) = K(t, p, B, C, µ), D(t) = D(t, B, C, µ), E(t) = E(t, B, C, µ) e κ = {p, ku0 kLp (R) } s˜ ao os parˆametros. No cap´ıtulo 4, estudaremos o problema rotacionalmente invariante £ ¤ ut (x, t) + |u(x, t)|2 u(x, t) x = uxx (x, t), u(·, 0) = u0 ; 1. (1.3).

(12) onde x ∈ R, t ∈ [0, T ], u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), u0 ∈ Lp (R), com 1 ≤ p < ∞, e | · | indica a norma Euclidiana em Rn , supondo que |u(·, t)|2 ≤ B(T ), q.t.p. em R.. (1.4). Provaremos que as solu¸c˜oes de (1.3)-(1.4) satifazem as taxas de decaimento ku(·, t)kL2p (R) ≤ Cγ t. 3 − 4p. 1 − 2p. ku(·, t)kL∞ (R) ≤ Cκ t. , ∀ t ∈ (0, T ];. , ∀ t ∈ (0, T ],. © ª onde γ, κ = n, T, p, ku0 kLp (R) . O problema (1.3) foi considerado inicialmente em 1979 por Keyfitz e Kranzer [21]. Outros trabalhos sobre este problema podem ser encontrados em [14, 15]. No cap´ıtulo 5, mostraremos alguns resultados para solu¸c˜ oes u(·, t) do sistema ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))u(x, t)]x = [A(x, t, u(x, t))ux (x, t)]x + c(x, t, u(x, t))u(x, t), (1.5) u(·, 0) = u0 , onde x ∈ R e t > 0. Supondo, aii (x, t, u(x, t)) ≥ µ(t), |b(x, t, u(x, t))| ≤ B(t),. (1.6). |c(x, t, u(x, t))| ≤ C(t), onde A(x, t, u(x, t)) = diag(aii (x, t, u(x, t)))1≤i≤n ´e uma matriz diagonal constitu´ıda de fun¸c˜ oes suaves reais, a fun¸c˜ao µ ∈ C 0 ([0, ∞)) ´e positiva, as fun¸c˜ oes B, C ∈ C 0 ([0, ∞)). O sistema (1.5)(1.6) possui solu¸c˜oes que satisfazem as desigualdades ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0, ½ ¾ 1 3pt −2 ku(·, t)kL∞ (R) ≤ Cκ exp E(t) D(t) p t p , ∀ t > 0, 2 onde K(t) = K(t, p, B, C, µ), D(t) = D(t, B, C, µ), E(t) = E(t, B, C, µ) e κ = {n, p, ku0 kLp (R) }. No cap´ıtulo 6, trabalharemos no sistema m m X X ¤ ∂ £ ∂2 2 u(x, t), ut (x, t) + |u(x, t)| u(x, t) = ∂xk ∂x2k k=1. (1.7). k=1. u(·, 0) = u0 , onde x ∈ Rm , t ∈ (0, T ]. Supondo que |u(x, t)|2 ≤ B(T ), a.e. em Rm , Estabeleceremos que uma solu¸c˜ao do problema (1.7)-(1.8) satisfaz as seguintes estimativas ku(·, t)kLp (Rm ) ≤ K(t)ku0 kLp (Rm ) , ∀ t ∈ [0, T ], 2. (1.8).

(13) ku(·, t)kL2p (Rm ) ≤ C(t)t. − m+2 4p. − m+2 p. ku(·, t)kL∞ (R) ≤ E(t)t. , ∀ t ∈ (0, T ],. , ∀ t ∈ (0, T ],. onde K(t) = K(t, m, p, T, B(T )), C(t) = C(t, m, n, p, ku0 kLp (Rm ) , K, B(T )) e E(t) = E(t, m, n, p, ku0 kLp (Rm ) , B(T )). No cap´ıtulo 7, consideraremos o sistema de equa¸c˜ oes · ¸ m m X X ∂u ∂ ∂ [k] ut (x, t) + [bk (x, t, u(x, t))u(x, t)] = A (x, t, u(x, t)) (x, t) ∂xk ∂xk ∂xk k=1. k=1. + c(x, t, u(x, t))u(x, t),. (1.9). u(·, 0) = u0 , onde x ∈ Rm , t > 0. Supondo que [k]. aii (x, t, u(x, t)) ≥ µ(t), |bk (x, t, u(x, t))| ≤ B(t),. (1.10). |c(x, t, u(x, t))| ≤ C(t), [k]. onde A[k] (x, t, u(x, t)) = diag(aii (x, t, u(x, t)))1≤i≤n ´e uma matriz diagonal constitu´ıda de fun¸c˜ oes suaves reais, a fun¸c˜ao µ ∈ C 0 ([0, ∞)) ´e positiva, as fun¸c˜ oes B, C ∈ C 0 ([0, ∞)). [3, 29] nos auxiliam a concluir que as solu¸c˜oes do sistema (1.9)-(1.10) satisfazem as estimativas a priori ku(·, t)kLp (Rm ) ≤ K(t)ku0 kLp (Rm ) , ∀ t ≥ 0, ½ ¾ 1 3pt − m+2 ku(·, t)kL∞ (R) ≤ Cκ exp E(t) D(t) p t 2p , ∀ t > 0, 2 onde K(t) = K(t, m, p, B, C, µ), D(t) = D(t, m, B, C, µ), E(t) = E(t, m, B, C, µ) e κ = {m, p, ku0 kLp (Rm ) }. No cap´ıtulo 8, estudaremos o problema ut (x, t) + f (x, t, u(x, t))x = µ(t)uxx (x, t),. (1.11). u(·, 0) = u0 , onde x ∈ R, t > 0, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), u0 ∈ Lp (R) ∩ L∞ (R). Admitindo que |f (x, t, u(x, t))| ≤ B(t)|u(x, t)|,. (1.12). onde f (x, t, u(x, t)) = (f1 (x, t, u(x, t)), f2 (x, t, u(x, t)), ..., fn (x, t, u(x, t))) ´e constitu´ıda de fun¸c˜ oes ¯ d ¯ de classe C 1 e a fun¸c˜ao B ∈ C 0 ([0, ∞)). Provaremos que, quando ¯ ku(·, t)kqLq (R) ≥ 0, tem-se dt t=s µ ¶1 B(s) q ku(·, s)kLq (R) ≤ Cγ ku(·, s)k 2q , L (R) µ(s) 3.

(14) onde 2 ≤ q < ∞ e γ = {n, q} s˜ao parˆametros. Por outro lado, mostraremos que, se Z ∞ µ(t)dt = ∞, ent˜ao lim sup ku(·, t)kL∞ (R) t→∞. µ ¶1 B(t) p ≤ Cκ lim sup lim sup ku(·, t)kLp (R) , t→∞ µ(t) t→∞. onde 1 ≤ p < ∞ e Cκ ´e uma constante positiva que depende dos parˆametros κ = {n, p}. Para obter os resultados citados acima, tomamos como principal inspira¸c˜ ao os artigos [2, 3, 32] e a Tese de doutorado [29]. Vejamos que resultados podemos encontrar em algumas destas referˆencias. No artigo [32], ´e apresentado um estudo ao sistema de equa¸c˜ oes ut (x, t) + [ϕ(|u(x, t)|)u(x, t)]x = (B(u)ux (x, t))x ,. (1.13). onde ϕ ´e uma fun¸c˜ao real suave, x ∈ R, t > 0, e B(u(x, t)) = (bi (u(x, t)))n×n ´e uma matriz n × n diagonal com fun¸c˜oes-entrada reais e suaves tais que bi (u(x, t)) ≥ µ, ∀ i = 1, 2, ..., n, onde µ ´e uma constante positiva. O resultado l´a obtido ´e representado pela desigualdade 1. ku(·, t)kL2 (R) ≤ KΛ (1 + t)− 4 , ∀ t > 0, onde u(·, 0) ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), KΛ ´e uma constante que depende apenas dos parˆametros Λ = {ku(·, 0)kL1 (R) , ku(·, 0)kL2 (R) , n, µ}. Em [29], estuda-se a equa¸c˜ao multidimensional ut (x, t) + div[b(x, t, u(x, t))u(x, t)] = div[A(x, t, u(x, t))∇u(x, t)] + c(x, t, u(x, t))u(x, t), onde x ∈ Rm , t ∈ (0, T ] e b, c s˜ao fun¸c˜ oes reais suaves tais que |b(x, t, u)| ≤ B(T ), |c(x, t, u)| ≤ C(T ) e A(x, t, u) = (aij (x, t, u))n×n ´e uma matriz n × n com fun¸c˜ oes-entrada reais aij suaves tais que n X. aij (x, t, u)ξi ξj ≥ µ. i,j=1. n X. ξi2 ,. i=1. onde µ, B(T ), C(T ) s˜ao constantes positivas e ξi ∈ R, ∀ i = 1, 2, ..., n. Os principais resultados encontrados para uma solu¸c˜ao u(x, t) s˜ao ku(·, t)kLp (Rm ) ≤ Kρ ku0 kLp (Rm ) , ∀ t ∈ [0, T ], ku(·, t)kL∞ (Rm ) ≤ Kτ t. m − 2p. , ∀ t ∈ (0, T ],. onde ρ = {p, T, µ} e τ = {m, p, T, µ} s˜ao parˆametros. Para um estudo de equa¸c˜oes de advec¸c˜ ao-difus˜ ao utilizando t´ecnicas distintas das utilizadas aqui, ver artigos [1, 7, 8, 10, 11, 4, 12, 13, 14, 15, 20, 25, 31]. Para pesquisar outros artigos que auxiliam o estudo destes ver [5, 17, 18, 19, 23, 24, 26, 27, 28, 30]. 4.

(15) Cap´ıtulo 2. Preliminares 2.1. Nota¸c˜ oes e Normas para o cap´ıtulo 4. No decorrer do cap´ıtulo 4, usaremos as normas ku(x, t)kpLp (R) =. n X. kui (x, t)kpLp (R) ,. (2.1). i=1. onde 1 ≤ p < ∞, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ∈ [0, T ] e x ∈ R, e, © ª ku(x, t)kL∞ (R) = max kui (x, t)kL∞ (R) , i=1,...,n. (2.2). onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ∈ [0, T ] e x ∈ R.. 2.2. Nota¸c˜ oes e Normas para o cap´ıtulo 5. No decorrer do cap´ıtulo 5, usaremos as normas ku(x, t)kpLp (R) =. n X. kui (x, t)kpLp (R) ,. (2.3). i=1. onde 1 ≤ p < ∞, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ R, e, © ª ku(x, t)kL∞ (R) = max kui (x, t)kL∞ (R) , i=1,...,n. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ R.. 5. (2.4).

(16) 2.3. Nota¸c˜ oes e Normas para o cap´ıtulo 6. No decorrer do cap´ıtulo 6, usaremos as normas ku(x, t)kpLp (Rm ) =. n X. kui (x, t)kpLp (Rm ) ,. (2.5). i=1. onde 1 ≤ p < ∞, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ∈ [0, T ] e x ∈ Rm , e, © ª ku(x, t)kL∞ (Rm ) = max kui (x, t)kL∞ (Rm ) , i=1,...,n. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ∈ [0, T ] e x ∈ Rm . ¶2 n µ X ∂ui 2 kDui (x, t)k = (x, t) , ∂xk. (2.6). (2.7). k=1. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ∈ [0, T ] e x ∈ Rm .. 2.4. Nota¸c˜ oes e Normas para o cap´ıtulo 7. No decorrer do cap´ıtulo 7, usaremos as normas ku(x, t)kpLp (Rm ) =. n X. kui (x, t)kpLp (Rm ) ,. (2.8). i=1. onde 1 ≤ p < ∞, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ Rm , e, © ª ku(x, t)kL∞ (Rm ) = max kui (x, t)kL∞ (Rm ) , i=1,...,n. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ Rm . ¶2 n µ X ∂ui 2 kDui (x, t)k = (x, t) , ∂xk. (2.9). (2.10). k=1. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ Rm .. 2.5. Nota¸c˜ oes e Normas para o cap´ıtulo 8. No decorrer do cap´ıtulo 8, usaremos as normas ku(x, t)kpLp (R) =. n X. kui (x, t)kpLp (R) ,. (2.11). i=1. onde 1 ≤ p < ∞, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ R, e, © ª ku(x, t)kL∞ (R) = max kui (x, t)kL∞ (R) , i=1,...,n. onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)), t ≥ 0 e x ∈ R. 6. (2.12).

(17) 2.6. Fun¸c˜ oes Sinal Regularizadas. Precisaremos, nesta tese, de fun¸c˜oes auxiliares que chamaremos de fun¸c˜ oes sinal regularizadas. Estas s˜ao de importante ajuda quando se faz necess´ario derivar a fun¸c˜ ao modular. Vamos definir e estabelecer alguns resultados destas fun¸c˜ oes. Primeiramente, defina f : R → R, suave, por  1, se x ≥ 1;    g(x), se x ∈ [−1, 1]; f (x) = , 0, se x = 0;    −1, se x ≤ −1. ´ f´acil ver que, para cada δ > 0, fδ (x) = f (x/δ) ´e uma onde g ´e uma fun¸c˜ao suave real crescente. E fun¸c˜ao suave que pode ser vista da seguinte forma  1, se x ≥ δ;    g(x/δ), se x ∈ [−δ, δ]; fδ (x) = . 0, se x = 0;    −1, se x ≤ −δ. Z v Defina Lδ (v) = fδ (x)dx, ∀ v ∈ R. Esta fun¸c˜ ao ´e denominada fun¸c˜ ao sinal regularizada. Usare0. mos os seguintes resultados para este tipo de fun¸c˜ ao 1. lim Lδ (v) = |v|, uniformemente em R; δ→0. 2. lim L0δ (v) = lim fδ (v) = sgn(v), para cada v ∈ R; δ→0. δ→0. 1 0 f (v/δ) ≥ 0, pois f ´e crescente em [−1, 1] e f ´e constante em (−∞, −1] e [1, ∞). δ Al´em disso, |vL00δ (v)| ≤ c, ∀ δ > 0, v ∈ R e c ´e uma constante real.. 3. L00δ (v) =. Para o leitor mais interessado no estudo de fun¸c˜ oes, recomendamos a leitura do artigo [9] onde um bom estudo de aplica¸c˜oes n˜ao-lineares ´e realizado.. 2.7. Fun¸c˜ oes de Corte. Implicitamente, usaremos fun¸c˜oes de corte antes de realizarmos uma integra¸c˜ ao por partes. Para melhor compreens˜ao do que ser´a feito, considere f : R → R uma fun¸c˜ ao em C0∞ (R) tal que 0 < f (x) < 1, se −2 < x < −1 ou 1 < x < 2 e ½ 1, x ∈ (−1, 1); f (x) = 0, |x| ≥ 2. ³x´ Assim sendo, para cada r > 0, definimos fr (x) = f , ∀ x ∈ R. Consequentemente, fr ∈ C0∞ , r 0 < fr (x) < 1, se −2r < x < −r ou r < x < 2r e ½ 1, x ∈ (−r, r); fr (x) = 0, |x| ≥ 2r. 7.

(18) Vejamos um exemplo de como utilizaremos, implicitamente, fr na tese. Exemplo 2.1. Seja u = u(x, t) solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao ut + b(u)x = uxx . Seja Φδ = Lpδ , onde Lδ ´e uma fun¸c˜ao sinal regularizada (ver se¸c˜ ao 2.6) e 1 ≤ p < ∞. Assim sendo, multiplicando esta 0 equa¸c˜ao por fr (x)Φδ (u), encontramos fr (x)Φ0δ (u)ut + fr (x)Φ0δ (u)b(u)x = fr (x)Φ0δ (u)uxx ,. Dessa forma, integrando sobre R × [t0 , t], obtemos Z tZ Z tZ Z tZ 0 0 fr (x)Φδ (u)uτ dxdτ + fr (x)Φδ (u)b(u)x dxdτ = fr (x)Φ0δ (u)uxx dxdτ.(2.13) t0. R. Logo, Z tZ t0. t0. 2r. −2r. fr (x)Φ0δ (u)uτ dxdτ. R. Z tZ. t0. 2r. + t0. −2r. fr (x)Φ0δ (u)b(u)x dxdτ. R. Z tZ. 2r. = t0. −2r. fr (x)Φ0δ (u)uxx dxdτ.. Consequentemente, analisando cada uma das parcelas acima, obtemos Z 2r Z t Z 2r Z 2r d fr (x) [Φδ (u)] dτ dx = f (x/r)Φδ (u(·, t))dx − f (x/r)Φδ (u(·, t0 ))dx. −2r t0 dτ −2r −2r Passando ao limite quando r → ∞, encontramos Z tZ Z Z f (0)Φ0δ (u)uτ dxdτ = f (0)Φδ (u(·, t))dx − f (0)Φδ (u(·, t0 ))dx, t0. ou seja,. R. R. Z tZ t0. R. R. Z Φ0δ (u)uτ dxdτ. Z. = R. Φδ (u(·, t))dx −. j´a que f (0) = 1. Analogamente, Z tZ Z tZ 0 fr (x)Φδ (u)b(u)x dxdτ = t0. R. t0. 2r. −2r. R. Φδ (u(·, t0 ))dx,. fr (x)Φ0δ (u)b(u)x dxdτ.. Integrando por partes, chegamos a Z Z t Z 2r Z th 1 2r 0 f (x/r)Φ0δ (u)b(u)dx fr (x)Φ0δ (u)b(u)x dxdτ = fr (x)Φ0δ (u)b(u)|2r − −2r r −2r t0 −2r t0 Z 2r i − f (x/r)Φ00δ (u)b(u)ux dx dτ. −2r. Como fr (−2r) = fr (2r) = 0, ent˜ao Z t Z 2r Z th Z Z 2r i 1 2r 0 0 0 fr (x)Φδ (u)b(u)x dxdτ = − f (x/r)Φδ (u)b(u)dx − f (x/r)Φ00δ (u)b(u)ux dx dτ. r −2r t0 −2r t0 −2r Passando ao limite quando r → ∞, temos Z tZ Z th Z Z i f (0)Φ0δ (u)b(u)x dxdτ = 0 f 0 (0)Φ0δ (u)b(u)dx − f (0)Φ00δ (u)b(u)ux dx dτ, t0. R. t0. R. R. 8.

(19) isto ´e,. Z tZ t0. pois f (0) = 1 e. R. Φ0δ (u)b(u)x dxdτ = −. Z tZ t0. R. Φ00δ (u)b(u)ux dxdτ,. f 0 (0). = 0. Por fim, Z tZ Z tZ 0 fr (x)Φδ (u)uxx dxdτ = t0. R. t0. 2r. −2r. f (x/r)Φ0δ (u)uxx dxdτ.. Usando integra¸c˜ao por partes, obtemos Z tZ Z th Z 1 2r 0 0 0 2r fr (x)Φδ (u)uxx dxdτ = f (x/r)Φδ (u)ux |−2r − f (x/r)Φ0δ (u)ux dx r t0 R t0 −2r Z 2r i − f (x/r)Φ00δ (u)u2x dx dτ. −2r. Como f (2) = f (−2) = 0, ent˜ao Z Z Z tZ Z t Z 2r 1 t 2r 0 f (x/r)Φ0δ (u)ux dxdτ − fr (x)Φ0δ (u)uxx dxdτ = − f (x/r)Φ00δ (u)u2x dxdτ. r t0 −2r t0 R t0 −2r Passando ao limite quando r → ∞, encontramos Z tZ Z tZ Z tZ f (0)Φ0δ (u)uxx dxdτ = 0 f 0 (0)Φ0δ (u)ux dxdτ − f (0)Φ00δ (u)u2x dxdτ. t0. R. Como f (0) = 1 e. t0. f 0 (0). R. t0. R. = 0, ent˜ao Z tZ Z tZ 0 Φδ (u)uxx dxdτ = − Φ00δ (u)u2x dxdτ. t0. R. t0. R. Portanto, a equa¸c˜ao (2.13) nos permite concluir que Z Z Z tZ Z tZ 00 Φδ (u(·, t))dx = Φδ (u(·, t0 ))dx − Φδ (u)b(u)ux dxdτ − Φ00δ (u)u2x dxdτ. R. R. t0. R. t0. R. Faremos uso, em toda a tese, de resultados an´alogos ao obtido neste exemplo, sem maiores explica¸c˜oes.. 2.8. Algumas Desigualdades de Sobolev B´ asicas em R. No decorrer desta tese utilizaremos algumas Desigualdades de Sobolev. Sendo assim, nada mais justo que mostrar a veracidade de tais desigualdades. Iniciaremos provando o seguinte Teorema 2.2. Para todo 0 < p ≤ ∞ e 1 ≤ q ≤ ∞, tem-se θ 1 kukL∞ (R) ≤ C(p, q)kuk1−θ Lp (R) kux kLq (R) , ∀ u ∈ C0 (R),. onde θ =. 1 e C(p, q) = (2θ)−θ . 1 + p(1 − 1q ) 9.

(20) Demonstra¸c˜ ao. Considere, primeiramente, que 1 < q < ∞. Sejam t0 > 1 (a ser determinado) e x0 ∈ R. Seja Lδ uma fun¸c˜ao sinal regularizada (ver se¸c˜ ao 2.6). Pelo Teorema Fundamental do C´alculo, temos Z x0 d t0 [Lδ (u(x0 ))] = [Lδ (u(x))]t0 dx. −∞ dx Por outro lado, derivando em rela¸c˜ao a x, obtemos Z x0 Z x0 d t0 t0 [Lδ (u(x))]t0 −1 L0δ (u(x))ux dx [Lδ (u(x))] dx = −∞ −∞ dx Z x0 ≤ t0 [Lδ (u(x))]t0 −1 |L0δ (u(x))||ux |dx. −∞. Com isso, Z t0. [Lδ (u(x0 ))]. ≤ t0. x0. −∞. [Lδ (u(x))]t0 −1 |L0δ (u(x))||ux |dx.. (2.14). Analogamente, Z ∞ Z ∞ Z ∞ d t0 t0 −1 0 [Lδ (u(x))] dx = − [Lδ (u(x))]t0 −1 |L0δ (u(x))||ux |dx. − t0 [Lδ (u(x))] Lδ (u(x))ux dx ≤ t0 dx x0 x0 x0 Pelo Teorema Fundamental do C´alculo, encontramos Z ∞ t0 [Lδ (u(x0 ))] ≤ t0 [Lδ (u(x))]t0 −1 |L0δ (u(x))||ux |dx.. (2.15). x0. Assim, Passando ao limite quando δ → 0, obtemos Z x0 t0 |u(x0 )| ≤ t0 |u(x)|t0 −1 |sgn(u(x))||ux |dx −∞ Z x0 = t0 |u(x)|t0 −1 |ux |dx −∞. e. Z |u(x0 )|t0. ≤ t0. ∞. Zx0∞. = t0. x0. |u(x)|t0 −1 |sgn(u(x))||ux |dx |u(x)|t0 −1 |ux |dx.. Somando as duas desigualdades acima, chegamos a Z x0 Z ∞ t0 t0 −1 2|u(x0 )| ≤ t0 |u(x)| |ux |dx + t0 |u(x)|t0 −1 |ux |dx −∞ x0 Z ∞ = t0 |u(x)|t0 −1 |ux |dx, −∞. isto ´e, t0. |u(x0 )|. ≤. t0 2. Z R. 10. |u(x)|t0 −1 |ux |dx.. (2.16).

(21) Por outro lado, pela desigualdade de H¨older, obtemos Z |u(x)|t0 −1 |ux |dx ≤ kukt0(t−1 0 −1) L. R. q q−1 (R). kux kLq (R) .. Consequentemente, |u(x0 )|t0. t0 kukt0(t−1 kux kLq (R) . q −1) q−1 2 (R) L 0. ≤. Portanto, µ |u(x0 )| ≤. t0 2. ¶1. 1 t. 1− t1. t0. kuk. L. 0 q (t0 −1) q−1. (R). kux kL0q (R). e, por fim, µ kukL∞ (R) ≤. t0 2. ¶1. t0. kuk. 1 t. 1− t1. 0 q (t0 −1) q−1. L. (R). kux kL0q (R) .. µ ¶ 1 1 Fa¸ca t0 = 1 + p 1 − . Assim, para 0 < θ = < 1, encontramos q t0 θ kukL∞ (R) ≤ (2θ)−θ kuk1−θ Lp (R) kux kLq (R) .. Para o caso q = 1, basta fazer t0 → 1, a desigualdade (2.16). Para o caso q = ∞, fa¸ca t0 = 1+p > 1. Assim sendo, pela desigualdade (2.16), temos que Z Z 1+p 1+p 1+p 1+p p kux kL∞ (R) |u(x)|p dx = kux kL∞ (R) kukpLp (R) . |u(x0 )| ≤ |u(x)| |ux |dx ≤ 2 2 2 R R Portanto,. µ kukL∞ (R) ≤. 1+p 2. ¶. 1 1+p. 1. p. 1+p kux kL1+p ∞ (R) kukLp (R) .. Isto estabelece o resultado para q = ∞. Teorema 2.3 (Desigualdade de Sobolev). Para todo 0 < p ≤ r ≤ ∞ e 1 ≤ q ≤ ∞, tem-se λ 1 kukLr (R) ≤ K(p, q, r)kuk1−λ Lp (R) kux kLq (R) , ∀ u ∈ C0 (R),. 1 − pr 1 ³ ´ , K(p, q, r) = (2θ)−λ e θ = ³ ´. onde λ = 1 1+p 1− q 1 + p 1 − 1q Demonstra¸c˜ ao. Por interpola¸c˜ao, sabemos que 1− p. p. kukLr (R) ≤ kukLr p (R) kux kL∞r(R) , ∀ u ∈ C01 (R). Utilizando o Teorema 2.2, encontramos ´1− p ³ p p 1− p r θ ku k kukLr (R) ≤ kukLr p (R) kux kL∞r(R) ≤ kukLr p (R) (2θ)−θ kuk1−θ , ∀ u ∈ C01 (R), q x L (R) Lp (R) 11.

(22) ou seja, Portanto,. p 1−θ (1− p ) θ(1− p ) kukLr (R) ≤ (2θ)−θ(1− r ) kukLp (R) r kux kLq (R)r , ∀ u ∈ C01 (R).. λ 1 kukLr (R) ≤ (2θ)−λ kuk1−λ Lp (R) kux kLq (R) , ∀ u ∈ C0 (R).. Na tese utilizaremos dois casos particulares do Teorema 2.3. Estes s˜ao os seguintes Exemplo 2.4. Tome r = 2, p = 1 e q = 2 no Teorema 2.3 para obter kukL2 (R). µ ¶1 1 2 3 3 ≤ kukL3 1 (R) kux kL3 2 (R) , ∀ u ∈ C01 (R). 4. Exemplo 2.5. Tome r = ∞, p = 1 e q = 2 no Teorema 2.3 para obter kukL∞ (R). µ ¶2 2 1 3 3 ≤ kukL3 1 (R) kux kL3 2 (R) , ∀ u ∈ C01 (R). 4. 12.

(23) Cap´ıtulo 3. Equa¸c˜ ao de Advec¸ c˜ ao-Difus˜ ao Unidimensional Provaremos algumas propriedades para solu¸c˜ oes u(·, t) da equa¸c˜ ao unidimensional ut + [b(u)f (u)]x = µ(t)uxx + c(u)u. Mais precisamente, neste cap´ıtulo, obteremos algumas estimativas a priori para solu¸c˜ oes u(·, t) do problema ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))f (x, t, u(x, t))]x = µ(t)uxx (x, t) + c(x, t, u(x, t))u(x, t),. (3.1). u(·, 0) = u0 , onde x ∈ R, t > 0, µ ∈ C 0 ([0, ∞)) , b, c s˜ao fun¸c˜ oes tais que |b(x, t, u)| ≤ B(t), |c(x, t, u)| ≤ C(t),. (3.2). |f (x, t, u)| ≤ D|u|, µ(t) > 0, onde as fun¸c˜oes B, C ∈ C 0 ([0, ∞)), f, b s˜ ao de classe C 1 e u(·, 0) = u0 ∈ Lp (R), com 1 ≤ p < ∞, ´e p satisfeita no sentido L , ou seja, lim ku(·, t) − u0 kLp (R) = 0. t→0. 3.1. Estimativa para a Norma Lp. Sob as hip´oteses acima, mostraremos que existe uma constante Cγ > 0, dependendo somente dos © ª parˆametros p, ku0 kLp (R) , tal que 3. ku(·, t)kL2p (R) ≤ Cγ F (t) 4p t. 13. − p1. , ∀ t > 0,. (3.3).

(24) onde µZ. t. F (t) = 2. 0. − 21. K(τ ) τ µ(τ ). ÃZ · t +. 1 2. 2p. dτ. ¶ 32. 0. 2p(2p − 1)(DB(τ ))2 + 2pC(τ ) 2µ(τ ). ¸ 32. ! 23 − 21. K(τ )2p τ 2 µ(τ ). dτ. .. Para isso, mostraremos, primeiramente, que uma solu¸c˜ ao de (3.1) − (3.2) ´e Lp -limitado. Este fato ser´a enunciado no seguinte Teorema 3.1 (Estimativa para a Norma Lp ). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)) solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (3.1) sob as mesmas hip´ oteses em (3.2). Ent˜ ao, ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0, ½Z t · onde K(t) = K(t, p) = exp 0. (3.4). ¸ ¾ (p − 1)(DB(τ ))2 + C(τ ) dτ . 2µ(τ ). Demonstra¸c˜ ao. Seja Lδ uma fun¸c˜ao sinal regularizada (ver se¸c˜ ao 2.6). Seja Φδ (·) = Lδ (·)p . Multiplique a equa¸c˜ao ut + [b(u)f (u)]x = µ(t)uxx + c(u)u por Φ0δ (u) e integre sobre R × [t0 , t], onde t0 ∈ (0, t) e t > 0. Dessa forma, Z tZ Z tZ Z tZ 0 0 Φδ (u)uτ dxdτ + Φδ (u)[b(u)f (u)]x dxdτ = Φ0δ (u)µ(τ )uxx dxdτ t0. R. Z tZ. + t0. R. t0. R. t0. R. Φ0δ (u)c(u)udxdτ.. Vamos estudar separadamente cada uma das parcelas obtidas na equa¸c˜ ao acima. Pelo Teorema Fundamental do C´alculo, Z t Z t d Φ0δ (u)uτ dτ = [Φδ (u)]dτ dτ t0 t0 = Φδ (u(·, t)) − Φδ (u(·, t0 )). Integrando por partes, usando (3.2) e que Φ00δ (·) ´e n˜ao-negativa, obtemos Z Z 0 − Φδ (u)[b(u)f (u)]x dx = Φ00δ (u)b(u)f (u)ux dx R ZR ≤ Φ00δ (u)|b(u)|D|u||ux |dx. R Z ≤ Φ00δ (u)B(τ )D|u||ux |dx R Z Z (DB(τ ))2 u2 µ(τ )u2x ≤ Φ00δ (u) dx + Φ00δ (u) dx. 2µ(τ ) 2 R R 14.

(25) Utilizando (3.2), conclu´ımos Z R. Z Φ0δ (u)c(u)udx. ≤ ZR ≤ R. |Φ0δ (u)||c(u)||u|dx |Φ0δ (u)|C(τ )|u|dx.. Al´em disso, atrav´es de integra¸c˜ao por partes, chegamos a Z Z 0 Φδ (u)µ(τ )uxx dx = −µ(τ ) Φ00δ (u)u2x dx. R. R. Como µ(·), Φ00δ (·) s˜ao n˜ao-negativos, ent˜ ao Z R. Z Φδ (u(·, t))dx −. R. Z tZ Φδ (u(·, t0 ))dx ≤. t0. R. (DB(τ )) Φ00δ (u). Z tZ. + Z. t0 t. ≤ t0. 2µ(τ ). Z. 2µ(τ ) t. ≤ t0. Z. C(τ ) t0. t. Z tZ dxdτ +. |Φ0δ (u)|C(τ )|u|dxdτ −. (DB(τ ))2. + Z. R. 2 u2. R. (DB(τ ))2 2µ(τ ). Z R. t0. Z tZ t0. Z. Φ00δ (u)u2 dxdτ −. R. R t. t0. Φ00δ (u). µ(τ )u2x dxdτ 2. Φ00δ (u)µ(τ )u2x dxdτ. µ(τ ) 2. Z R. Φ00δ (u)u2x dxdτ. |Φ0δ (u)||u|dxdτ Z R. Z Φ00δ (u)u2 dxdτ +. Z. t. C(τ ) t0. R. |Φ0δ (u)||u|dxdτ.. Passando ao limite quando δ → 0, temos que Φδ (u(·, t)) → |u(·, t)|p , Φ0δ (u(·, t)) → p|u(·, t)|p−1 sgn(u(·, t)), Φ00δ (u(·, t)) → p(p−1)|u(·, t)|p−2 , ∀ t > 0. Consequentemente, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, obtemos Z t Z Z t Z (DB(τ ))2 ku(·, t)kpLp (R) ≤ ku(·, t0 )kpLp (R) + p(p − 1)|u|p dxdτ + C(τ ) p|u|p dxdτ 2µ(τ ) t0 R t0 R Z t Z t 2 (DB(τ )) ≤ ku(·, t0 )kpLp (R) + p(p − 1) kukpLp (R) dτ + p C(τ )kukpLp (R) dτ 2µ(τ ) t0 t0 ¸ Z t· 2 p(p − 1) (DB(τ )) + pC(τ ) kukpLp (R) dτ, 0 < t0 < t. ≤ ku(·, t0 )kpLp (R) + 2µ(τ ) t0 Como u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)), ent˜ao passando ao limite quando t0 → 0, encontramos ¸ Z t· (DB(τ ))2 p(p − 1) p p ku(·, t)kLp (R) ≤ ku0 kLp (R) + + pC(τ ) kukpLp (R) dτ, 2µ(τ ) 0 15.

(26) Pelo Lema de Gronwall, conclu´ımos que ku(·, t)kpLp (R) ≤ K(t)p ku0 kpLp (R) , ∀ t ≥ 0, ½Z t ·. ¸ ¾ (p − 1)(DB(τ ))2 + C(τ ) dτ . Portanto, 2µ(τ ). onde K(t) = K(t, p) = exp 0. ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0.. 3.2. (3.5). Estimativa de Energia. O Teorema a seguir nos permite obter diretamente a estimativa (3.3), descrita na se¸c˜ ao 3.3. Teorema 3.2 (Estimativa de energia). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)) solu¸c˜ ao da equa¸ca ˜o (3.1) sob as mesmas hip´ oteses em (3.2). Ent˜ ao, · ku(·, t)k2p L2p (R). ≤. Cku0 k2p Lp (R). 2p(2p − 1) 2p2. ¸− 1 2. 3. F (t) 2 t−2 , ∀ t > 0,. ! 23 ¸ 32 ¶ 23 ÃZ t · 2 1 2p(2p − 1)(DB(τ )) onde F (t) = 2 K(τ )2p τ µ(τ ) dτ + + 2pC(τ ) K(τ )2p τ 2 µ(τ )− 2 dτ , 2µ(τ ) 0 0 F (t) = F (t, p) e C ´e uma constante positiva. µZ. t. 1 2. − 12. Demonstra¸c˜ ao. Seja Φδ (·) = Lδ (·)2p . Multiplique a equa¸c˜ ao ut + [b(u)f (u)]x = µ(t)uxx + c(u)u por (t − t0 )2 Φ0δ (u) e integre sobre R × [t0 , t], onde t0 ∈ (0, t) e t > 0. Dessa forma, Z tZ t0. 2. (τ − t0 ). R Z tZ. = t0. R. Φ0δ (u)uτ dxdτ 2. (τ − t0 ). Z tZ + t0. R. Φ0δ (u)µ(τ )uxx dxdτ. (τ − t0 )2 Φ0δ (u)[b(u)f (u)]x dxdτ Z tZ + t0. R. (τ − t0 )2 Φ0δ (u)c(u)udxdτ.. Integrando por partes a primeira parcela da equa¸c˜ ao acima, obtemos Z t Z t d (τ − t0 )2 Φ0δ (u)uτ dτ = (τ − t0 )2 [Φδ (u)]dτ dτ t0 t0 Z t = (τ − t0 )2 Φδ (u(·, τ ))|tt0 − 2 (τ − t0 )Φδ (u)dτ Z = (t − t0 )2 Φδ (u(·, t)) − 2 16. t0. t. t0. (τ − t0 )Φδ (u)dτ..

(27) Vimos na se¸c˜ao 3.1 que Z Z Z (DB(τ ))2 u2 µ(τ )u2x 0 00 Φδ (u) dx + Φ00δ (u) dx, − Φδ (u)[b(u)f (u)]x dx ≤ 2µ(τ ) 2 R R R Z R. e. Z Φ0δ (u)c(u)udx ≤ C(τ ). R. Z R. |Φ0δ (u)||u|dx. Z Φ0δ (u)µ(τ )uxx dx. = −µ(τ ) R. Φ00δ (u)u2x dx.. Portanto, Z (t − t0 )2 Z. Z. R. Φδ (u(·, t))dx − 2. t. µ(τ ) − (τ − t0 )2 2 t0. Z R. Z. t. t0. (τ − t0 ) Z. Φ00δ (u)u2x dxdτ +. Z. R t. t0. Φδ (u)dxdτ ≤ Z. (τ − t0 )2 C(τ ). t. t0. R. (τ − t0 )2. (DB(τ ))2 2µ(τ ). Z R. Φ00δ (u)u2 dxdτ. |Φ0δ (u)||u|dxdτ.. Passando ao limite quando δ → 0, temos que Φδ (u(·, t)) → |u(·, t)|2p , Φ0δ (u(·, t)) → 2p|u(·, t)|2p−1 sgn(u(·, t)), Φ00δ (u(·, t)) → 2p(2p − 1)|u(·, t)|2p−2 , para todo t > 0. Consequentemente, Z t Z 2p (t − t0 )2 ku(·, t)k2p − 2 (τ − t )kuk dτ ≤ 0 L2p (R) L2p (R) Z. t0. t. +2p t0. 2. (τ − t0 ). C(τ )kuk2p dτ L2p (R). Z. t. − t0. t. (τ − t0 )2 (DB(τ ))2 2p(2p − 1)kuk2p dτ L2p (R) 2µ(τ ) t0 Z (τ − t0 )2 µ(τ )2p(2p − 1) |u|2p−2 u2x dxdτ, ∀ t > 0. 2 R. Por conseguinte, Z Z 2p(2p − 1) t 2 (t − t0 ) + (τ − t0 ) µ(τ ) |u|2p−2 u2x dxdτ 2 t0 R ¸ · Z t Z t 2 2p 2 (DB(τ )) 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kuk2p dτ. ≤ 2 (τ − t0 )kukL2p (R) dτ + (τ − t0 ) L2p (R) 2µ(τ ) t0 t0 2. ku(·, t)k2p L2p (R). Passando ao limite quando t0 → 0, conclu´ımos, atrav´es do Teorema da Convergˆencia Dominada, que Z Z 2p(2p − 1) t 2 2p 2 t ku(·, t)kL2p (R) + τ µ(τ ) |u|2p−2 u2x dxdτ 2 0 R ¸ Z t Z t · 2 2p 2 (DB(τ )) 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kuk2p dτ. ≤2 τ kukL2p (R) dτ + τ L2p (R) 2µ(τ ) 0 0 Defina a fun¸c˜ao 17.

(28)   u(·, t), w(·, t) =. . se p = 1;. |u(·, t)|p , se p > 1.. Observe que wx2 = p2 |u|2p−2 u2x e kwk2L2 (R) = kuk2p . Seja L2p (R) Z Z 2p(2p − 1) t 2 X(t) = t + τ µ(τ ) |u|2p−2 u2x dxdτ 2 0 R Z t 2p(2p − 1) = t2 kw(·, t)k2L2 (R) + τ 2 µ(τ )kwx k2L2 (R) dτ. 2p2 0 2. ku(·, t)k2p L2p (R). (3.6). Note que X(t) = X(t, p). Al´em disso, ¸ Z t Z t · 2 2 2 (DB(τ )) X(t) ≤ 2 τ kwkL2 (R) dτ + τ 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kwk2L2 (R) dτ. 2µ(τ ) 0 0 Vamos utilizar a Desigualdade de Sobolev 2. 1. kvkL2 (R) ≤ CkvkL3 1 (R) kvx kL3 2 (R) , ∀ v ∈ C01 (R).. (3.7). Usando as desigualdades (3.5), (3.7) e a Desigualdade de H¨older, conclu´ımos Z t 4 2 X(t) ≤ 2 τ C 2 kwkL3 1 (R) kwx kL3 2 (R) dτ 0 ¸ Z t · 2 4 2 2 (DB(τ )) + τ 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) C 2 kwkL3 1 (R) kwx kL3 2 (R) dτ 2µ(τ ) 0 Z t 4p 2 ≤ 2 τ C 2 kukL3p (R) kwx kL3 2 (R) dτ 0 ¸ Z t · 4p 2 (DB(τ ))2 + τ2 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) C 2 kukL3p (R) kwx kL3 2 (R) dτ 2µ(τ ) 0 Z t 4p 2 4p ≤ 2C 2 ku0 kL3p (R) τ K(τ ) 3 kwx kL3 2 (R) dτ 0 · ¸ Z t 4p 2 4p (DB(τ ))2 2 2 3 3 + C ku0 kLp (R) τ K(τ ) 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kwx kL3 2 (R) dτ 2µ(τ ) 0 Z t 4p 2 4p 1 1 2 1 ≤ 2C 2 ku0 kL3p (R) τ 3 K(τ ) 3 µ(τ )− 3 µ(τ ) 3 τ 3 kwx kL3 2 (R) dτ 0 · ¸ Z t 4p 2 4p 1 2 1 4 (DB(τ ))2 − 2 3 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) τ 3 µ(τ ) 3 kwx kL3 2 (R) dτ + C ku0 kLp (R) τ 3 K(τ ) 3 µ(τ ) 3 2µ(τ ) 0 2 µZ µ ¶ ¶ 13 Z t 1 t 4p 3 1 2 2p − 2 2 3 ≤ 2C ku0 kLp (R) τ 2 K(τ ) µ(τ ) 2 dτ µ(τ )τ kwx kL2 (R) dτ 0. + C 2 ku0 k. 4p 3 Lp (R). ÃZ. 0. t. · 1. τ 2 K(τ )2p µ(τ )− 2. (DB(τ ))2 2µ(τ ). 0. 18. ¸ 23 ! 32 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) dτ.

(29) µZ ·. t. τ. 2. 0 2. = C ku0 k. µ(τ )kwx k2L2 (R) dτ µZ. 4p 3 Lp (R). t. µ(τ )τ 0. 2. ¶ 13. kwx k2L2 (R) dτ. ¶ 13. F (t), ∀ t > 0,. onde F (t) = F (t, p) ´e dada por µZ t ¶ 32 1 1 2p − F (t) = 2 τ 2 K(τ ) µ(τ ) 2 dτ 0. ÃZ. t. +. · − 21. τ 2 K(τ )2p µ(τ ). 0. ¸ 32 ! 32 (DB(τ ))2 . 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) dτ 2µ(τ ). (3.8). Pela defini¸c˜ao de X(t) (ver (3.6)), obtemos 2. X(t) ≤ C ku0 k. 4p 3 Lp (R). µ. 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 3. 1. X(t) 3 F (t).. Dessa forma, X(t). 2 3. 2. 4p 3 Lp (R). µ. ≤ C ku0 k. 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 3. F (t).. Consequentemente, µ X(t) ≤ C. 3. ku0 k2p Lp (R). 2p(2p − 1) 2p2. Utilizando a defini¸c˜ao (3.6), conclu´ımos que Z Z 2p(2p − 1) t 2 t2 ku(·, t)k2p + τ µ(τ ) |u|2p−2 u2x dxdτ L2p (R) 2 0 R. ¶− 1 2. 3. F (t) 2 .. µ ≤ C. 3. ku0 k2p Lp (R). 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1 2. 3. F (t) 2 ,. para todo t > 0. Portanto, µ ku(·, t)k2p L2p (R). 3.3. ≤ C. 3. ku0 k2p Lp (R). 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1 2. 3. F (t) 2 t−2 , ∀ t > 0.. (3.9). Estimativa para a Norma do Sup. Nesta se¸c˜ao, estudaremos o comportamento da norma do sup para solu¸c˜ oes de (3.1)−(3.2). Provaremos que ½ ¾ 1 3pt −2 ku(·, t)kL∞ (R) ≤ Cκ exp E(t) D(t) p t p , ∀ t > 0, 2 onde D(t) = D(t, B, C, µ), E(t) = E(t, B, C, µ) e Cκ ´e uma constante positiva que depende dos parˆametros κ = {p, ku0 kLp (R) }. 19.

(30) Teorema 3.3 (Estimativa para a Norma do Sup). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)) solu¸c˜ ao do sistema (3.1) sob as mesmas hip´ oteses em (3.2). Ent˜ ao, ½ ¾ 14 2 3 3 1 3pt − −2 ku(·, t)kL∞ (R) ≤ C p ku0 kLp (R) 2 p 3 p p p exp E(t) D(t) p t p , ∀ t > 0, 2  3 µZ t ¸ 32 ! 23 2 ¶ 23 ÃZ t · 2 1 1 1 (DB(τ ))  . onde C > 0 e D(t) =  τ 2 µ(τ )− 2 dτ + C(τ ) dτ + τ 2 µ(τ )− 2 2µ(τ ) 0 0 Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, observe que ¸ 32 ! 23 2 (DB(τ )) 2 τ K(τ )2p µ(τ ) dτ + τ 2 K(τ )2p µ(τ ) 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) dτ 2µ(τ ) 0 0   ¶ 23 ÃZ t · ¸ 32 ! 23 µZ t 2 4p 1 1 1 (DB(τ ))  τ 2 µ(τ )− 2 K(t) 3 2 + 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) dτ τ 2 µ(τ )− 2 dτ 2µ(τ ) 0 0   µZ t ¶ 23 ÃZ t · ¸ 23 ! 23 2 4p 1 1 1 (DB(τ ))  K(t) 3 2 τ 2 µ(τ )− 2 dτ + (2p)2 + (2p)2 C(τ ) dτ τ 2 µ(τ )− 2 2µ(τ ) 0 0   ÃZ µZ t ¶ 23 · ¸ 32 ! 23 t 2 4p 1 1 1 (DB(τ ))  τ 2 µ(τ )− 2 dτ K(t) 3 2 + (2p)2 + C(τ ) dτ τ 2 µ(τ )− 2 2µ(τ ) 0 0   ÃZ ¸ 23 ! 23 µZ t ¶ 23 · t 2 4p 1 1 1 (DB(τ ))  + C(τ ) dτ K(t) 3 (2p)2 τ 2 µ(τ )− 2 dτ + (2p)2 τ 2 µ(τ )− 2 2µ(τ ) 0 0   µZ t ¶ 23 ÃZ t · ¸ 32 ! 23 2 4p 1 1 1 (DB(τ )) , τ 2 µ(τ )− 2 dτ (2p)2 K(t) 3  + τ 2 µ(τ )− 2 + C(τ ) dτ 2µ(τ ) 0 0 µZ. F (t) =. ≤. ≤. ≤. ≤. ≤. t. 1 2. − 12. ¶ 23. ÃZ. ·. t. − 12. para todo t > 0. Por conseguinte, 3. F (t) 2.  3 µZ t ¶ 23 ÃZ t · ¸ 32 ! 32 2 2 1 1 1 (DB(τ ))  , ≤ (2p)3 K(t)2p  τ 2 µ(τ )− 2 dτ + τ 2 µ(τ )− 2 + C(τ ) dτ 2µ(τ ) 0 0. para todo t > 0. Seja 3  ! 23  2 3 ¸ µZ t ¶ 23 ÃZ t · 2 1 1 1 (DB(τ ))2  , ∀ t > 0. + τ 2 µ(τ )− 2 + C(τ ) dτ D(t) =  τ 2 µ(τ )− 2 dτ 2µ(τ ) 0 0. Com isso, 3. F (t) 2. ≤ (2p)3 K(t)2p D(t) 20.

(31) ½ Z t· ¸ ¾ (p − 1)(DB(τ ))2 (2p) exp 2p + C(τ ) dτ D(t) 2µ(τ ) 0 ½ Z t· ¸ ¾ p(DB(τ ))2 3 (2p) exp 2p + pC(τ ) dτ D(t) 2µ(τ ) 0 ¸ ¾ ½ Z t· (DB(τ ))2 (2p)3 exp 2p2 + C(τ ) dτ D(t) 2µ(τ ) © 2 0 ª 3 (2p) exp 2p E(t)t D(t), ∀ t > 0 3. ≤ ≤ ≤ ≤ ·. ¸ (DB(τ ))2 e + C(τ ) ≤ E(t), para todo τ ∈ [0, t]. Por fim, 2µ(τ ) © ª 3 F (t) 2 ≤ (2p)3 exp 2p2 E(t)t D(t), ∀ t > 0. Note que D(t) e E(t) n˜ao dependem de p. Por outro lado, analogamente ao que foi feito para encontrar a desigualdade (3.9), ´e poss´ıvel estabelecer a seguinte desigualdade µ ¶ 1 © 2 ª 2p(2p − 1) − 2 2p 2p 3 3 ku(·, t)kL2p (R) ≤ C ku(·, s)kLp (R) (2p) exp 2p E(t)(t − s) D(t)(t − s)−2 , 2p2 onde 0 < s < t. Sejam k ∈ N arbitr´ario e t0 = 4tk . Defina tj = tj−1 + 43tj , para j ∈ N e 1 ≤ j ≤ k. Portanto, tk = t. Utilizando a desigualdade acima, conclu´ımos µ j j ½ ¶− 12 ¾ jp 2 p(2 p − 1) 3t 2j p 2 3 j 3 2j−1 2 ku(·, tj )k 2j p ≤ C ku(·, tj−1 )k 2j−1 p (2 p) exp 2 p E(t) j D(t) L (R) L (R) 22j−1 p2 4 µ ¶−2 3t · , 4j Fa¸ca j = k, k − 1, ..., 1 para obter ku(·, t)kL2k p (R) ≤ C. 3 2k p. µ ku(·, tk−1 )kL2k−1 p (R). · D(t) ≤. k Y. 1 2k p. µ. 3t 4k. ¶−. C. 3 2j p. ku(·, t0 )kLp (R). k. (2 p). ¶− j+1 Y k µ j k Y 2 p 2 p(2j p − 1) 22j−1 p2. j=1. ½ exp. j=1. ≤ C. 1 2k+1 p. 3 2k p. ½ exp. 22k−1 p2 3t E(t) k k 2 p 4. 1. k Y. 3 p. ¶−. 2 2k p. j=1. ·. 2k p(2k p − 1) 22k−1 p2. k X j=1. 1 2j. 22j−1 p2 3t E(t) j 2j p 4. ku(·, t0 )kLp (R). ¾Y k. D(t). j=1. 1 2j p. j=1 k µ Y j=1. 3t 4j. ¶ k µ Y 2(2j p − 1). ¶−. 1 − j+1 2 p. 2j p. j=1. k. 3. (2j p) 2j p. k. 2 2j p. 3 p. 2. k X j 2j j=1. k. 3 p. p. X 1 X 1 X j  1 4 − p2 p p k X 1 2j 2j 2j j=1 j=1 j=1 · exp E(t) D(t) (3t) 2  2 2j    3pt. j=1. 21. k X 1 2j j=1. ¾.

(32) 3 p. ≤ C. k X 1 2j j=1. 7 p. ku(·, t0 )kLp (R) 2. k X j 2j j=1. 3 p. p. k X 1 2j j=1. k. X 1  1 p k X 2j 1 j=1 exp E(t) D(t)  2 2j    3pt. j=1. − p2. k X 1 2j j=1. · (3t). .. (3.10). Na desigualde (3.10) usamos que 2j p − 1 2j p. ≥. 1 , ∀ j = 1, 2, ..., k. 2. Deste modo, obtemos. ku(·, t)kL2k p (R) ≤ C. 3 p. “ 1−. · D(t). 1 2k. k X j 2j. 7 p. ”. j=1. ku(·, t0 )kLp (R) 2. “ 1 1− p. 1 2k. ”. “ − p2 1−. (3t). 1 2k. p. 3 p. “ 1−. ”. 1 2k. ½. ”. exp. µ ¶¾ 3pt 1 E(t) 1 − k 2 2. .. Passando ao limite quando k → ∞, conclu´ımos que k X t 1 j t0 = k → 0, k → 0, ku(·, t)kL2k p (R) → ku(·, t)kL∞ (R) e → 2. 2j 2 2 j=1. Como, por hip´otese, u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)), temos que ½ ¾ 14 3 3 1 3pt −2 −2 p p p ku(·, t)kL∞ (R) ≤ C ku0 kLp (R) 2 p exp E(t) D(t) p 3 p t p , ∀ t > 0 2 onde C ´e uma constante positiva, como quer´ıamos demonstrar.. 22. (3.11).

(33) Cap´ıtulo 4. Sistema Rotacionalmente Invariante Unidimensional No cap´ıtulo 3, estudamos a equa¸c˜ ao ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))f (x, t, u(x, t))]x = µ(t)uxx (x, t) + c(x, t, u(x, t))u(x, t). Neste e nos pr´oximos cap´ıtulos, estenderemos as estimativas encontradas para esta equa¸c˜ ao `a estimativas de um sistema de equa¸c˜oes de advec¸c˜ ao-difus˜ ao. Inicialmente consideraremos o problema ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))u(x, t)]x = µ(t)uxx (x, t) + c(x, t, u(x, t))u(x, t), onde u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)). Para este cap´ıtulo, supomos que b(x, t, u(x, t)) = |u(x, t)|2 , f (x, t, u(x, t)) = u(x, t), µ(t) = 1 e c(x, t, u(x, t)) = 0, ∀ x ∈ R, t > 0. Provaremos alguns para solu¸c˜ oes u(·, t) do sistema, chamado sistema rotacionalmente £ resultados ¤ invariante, ut + |u|2 u x = uxx , supondo que o dado inicial u(·, 0) = u0 ∈ Lp (R), para 1 ≤ p < ∞. Esta condi¸c˜ao inicial ´e satisfeita no sentido Lp . Aqui |u| denotar´a a norma Euclidiana da fun¸c˜ ao u. Mais precisamente, estudaremos o problema £ ¤ ut (x, t) + |u(x, t)|2 u(x, t) x = uxx (x, t), (4.1) u(·, 0) = u0 , onde t ∈ [0, T ]. Supondo que |u(·, t)|2 ≤ B(T ), q.t.p. em R,. 4.1. (4.2). Estimativa para a Norma Lp. Na se¸ ©c˜ao 4.2, provaremos ª que existe uma constante Cγ > 0, dependendo somente dos parˆametros γ = n, T, p, ku0 kLp (R) , que satisfaz ku(·, t)kL2p (R) ≤ Cγ t 23. 3 − 4p. , ∀ t ∈ (0, T ],. (4.3).

(34) onde u(·, t) uma solu¸c˜ao de (4.1) − (4.2). Primeiramente, provaremos o seguinte Teorema 4.1 (Estimativa para a Norma Lp ). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, T ], Lp (R)) solu¸c˜ ao do sistema (4.1) satisfazendo a hip´ otese em (4.2). Ent˜ ao, ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ∈ [0, T ], ½ ¾ B(T )2 (p − 1) para T constante positiva e K(t) = K(t, T, p) = exp t . 2. (4.4). Demonstra¸c˜ ao. Consideremos Φδ (·) = Lδ (·)p e T > 0, onde Lδ ´e uma fun¸c˜ ao sinal regularizada (ver se¸c˜ao 2.6). Inicialmente, provaremos o resultado para cada componente de uma solu¸c˜ ao de (4.1) − (4.2), i.e., kui (·, t)kLp (R) ≤ K(t)kui0 kLp (R) , ∀ t ∈ [0, T ]. Com efeito, a i-´esima equa¸c˜ao do sistema em (4.1) ´e ¤ £ uit + |u|2 ui x = uixx . Consequentemente Z tZ Z tZ ¤ £ 0 Φδ (ui )uiτ dxdτ + Φ0δ (ui ) |u|2 ui x dxdτ t0. R. t0. R. Z tZ = t0. R. Φ0δ (ui )uixx dxdτ.. (4.5). Utilizando o Teorema Fundamental do C´alculo, encontramos Z t Z t d 0 Φδ (ui )uiτ dτ = [Φδ (ui )]dτ dτ t0 t0 = Φδ (ui (·, t)) − Φδ (ui (·, t0 )). Integrando por partes e utilizando (4.2), obtemos Z Z £ 2 ¤ 0 Φδ (ui ) |u| ui x dx = − Φ00δ (ui )|u|2 ui uix dx R ZR ≥ − Φ00δ (ui )|u|2 |ui ||uix |dx RZ Z 1 1 ≥ − Φ00δ (ui )|u|4 u2i dx − Φ00 (ui )u2ix dx 2 R 2 R δ Z Z 1 B(T )2 00 2 Φδ (ui )ui dx − Φ00δ (ui )u2ix dx. ≥ − 2 2 R R Integrando por partes novamente, conclu´ımos que Z Z 0 Φδ (ui )uixx dx = − Φ00δ (ui )u2ix dx. R. R. Por conseguinte, usando (4.5), inferimos que Z Z Z Z Z Z B(T )2 t 1 t Φδ (ui (·, t))dx ≤ Φδ (ui (·, t0 ))dx + Φ00δ (ui )u2i dxdτ − Φ00δ (ui )u2ix dxdτ 2 2 R R t0 R t0 R Z Z Z B(T )2 t ≤ Φδ (ui (·, t0 ))dx + Φ00δ (ui )u2i dxdτ. 2 R t0 R 24.

(35) Portanto, Z. Z. B(T )2 p(p − 1) |ui (·, t0 )| dx + 2 R. p. R. p. |ui (·, t)| dx ≤. Z tZ R. t0. |ui |p dxdτ.. Equivalentemente, kui (·, t)kpLp (R) ≤ kui (·, t0 )kpLp (R) +. B(T )2 p(p − 1) 2. Z. t. t0. kui kpLp (R) dτ.. Pelo Lema de Gronwall, conclu´ımos que ½ kui (·, t)kpLp (R). ≤. kui (·, t0 )kpLp (R) exp. ¾ B(T )2 p(p − 1) (t − t0 ) , ∀ t ∈ [0, T ]. 2. Por fim, passando ao limite quando t0 → 0, e usando que u(·, t) ∈ C 0 ([0, T ], Lp (R)), chegamos a ½ ¾ B(T )2 (p − 1) kui (·, t)kLp (R) ≤ kui0 kLp (R) exp t , ∀ t ∈ [0, T ]. (4.6) 2 Consequentemente, somando i de 1 a n (ver (2.1)), obtemos ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ∈ [0, T ], ½ ¾ B(T )2 (p − 1) onde u0 = (u10 , u20 , ..., ui0 , ..., un0 ) e K(t) = K(t, T, p) = exp t . 2. 4.2. Estimativa de Energia. O Teorema a seguir verifica a estimativa (4.3), descrita na se¸c˜ ao 4.1. Teorema 4.2 (Estimativa de Energia). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, T ], Lp (R)) solu¸c˜ ao do sistema (4.1) sob a hip´ otese em (4.2). Ent˜ ao, µ ku(·, t)k2p L2p (R). ≤ C. 3. 3 2 ku0 k2p Lp (R) F (t). 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 2. 3. t− 2 , ∀ t ∈ (0, T ],. (4.7). onde C = C(n), T s˜ ao constantes positivas e 3 F (t) = F (t, T, p) = 2 .. µZ. t. 2p. K(τ ) dτ 0. ¶ 23. 2p(2p − 1)B(T )2 + 2. µZ. t. 3 2. 2p. τ K(τ ) dτ. ¶ 23. .. 0. Demonstra¸c˜ ao. Como na demonstra¸c˜ ao do Teorema 4.1, sejam Φδ (·) = Lδ (·)2p e T > 0. Mostraremos, primeiramente, uma estimativa an´aloga `a estabelecida em (4.7) para cada componente de uma ao solu¸c˜ao de (4.1). De fato, multiplicando a equa¸c˜ £ 2 ¤ uit + |u| ui x = uixx 25.

(36) 3. por (t − t0 ) 2 Φ0δ (ui ) e integrando sobre R × [t0 , t], onde t0 ∈ (0, t) e t ∈ (0, T ], obtemos Z tZ t0. R. (τ − t0 ). Z tZ. = t0. R. 3 2. Φ0δ (ui )uiτ dxdτ. Z tZ + t0. R. £ ¤ 3 (τ − t0 ) 2 Φ0δ (ui ) |u|2 ui x dxdτ. 3. (τ − t0 ) 2 Φ0δ (ui )uixx dxdτ.. Integrando por partes, encontramos Z t Z t 3 3 d 0 2 (τ − t0 ) Φδ (ui )uiτ dτ = (τ − t0 ) 2 [Φδ (ui )]dτ dτ t0 t0. Z 1 3 t = (τ − t0 ) − (τ − t0 ) 2 Φδ (ui )dτ 2 t0 Z t 3 1 3 = (t − t0 ) 2 Φδ (ui (·, t)) − (τ − t0 ) 2 Φδ (ui )dτ. 2 t0 3 2. Os resultados Z. Φδ (ui (·, τ ))|tt0. ¤ £ B(T )2 Φ0δ (ui ) |u|2 ui x dx ≥ − 2 R. Z R. Φ00δ (ui )u2i dx −. 1 2. Z R. Φ00δ (ui )u2ix dx. e Z R. Z Φ0δ (ui )uixx dx. = − R. Φ00δ (ui )u2ix dx,. foram encontrados na se¸c˜ao 4.1. Portanto, passando ao limite quando δ → 0, encontramos Z Z Z 3 3 1 2p(2p − 1) t 3 t 2p 2p−2 2 2 2 |ui | uix dxdτ ≤ dτ (t − t0 ) kui (·, t)kL2p (R) + (τ − t0 ) (τ − t0 ) 2 kui k2p L2p (R) 2 2 t0 R t0 Z 3 2p(2p − 1)B(T )2 t + (τ − t0 ) 2 kui k2p dτ. L2p (R) 2 t0 Dessa forma, passando ao limite quando t0 → 0, conclu´ımos que Z Z Z 3 2p(2p − 1) t 3 3 t 1 2p 2p−2 2 2 2 |ui | uix dxdτ ≤ dτ t kui (·, t)kL2p (R) + τ τ 2 kui k2p L2p (R) 2 2 0 R 0 Z 2p(2p − 1)B(T )2 t 3 + τ 2 kui k2p dτ. L2p (R) 2 0 Defina a fun¸c˜ao.   ui (x, t), wi (x, t) =. . se p = 1;. |ui (x, t)|p , se p > 1,. 26.

(37) 2 = p2 |u |2p−2 u2 e onde x ∈ R e t ∈ [0, T ]. Relembre que da se¸c˜ ao 3.1, conclu´ımos que wix i ix kwi k2L2 (R) = kui k2p . Denote 2p L (R). Z Z 2p(2p − 1) t 3 2 τ X(t) = t + |ui |2p−2 u2ix dxdτ 2 0 R Z Z 3 2p(2p − 1) t 3 2 2 τ wix dxdτ = t 2 kwi (·, t)k2L2 (R) + 2p2 R 0 Z 3 2p(2p − 1) t 3 2 = t 2 kwi (·, t)kL2 (R) + τ 2 kwix k2L2 (R) dτ. 2p2 0 3 2. kui (·, t)k2p L2p (R). (4.8). Observe que X(t) = X(t, p). Com isso, Z Z 2p(2p − 1)B(T )2 t 3 3 t 1 2p dτ X(t) ≤ τ 2 kui kL2p (R) dτ + τ 2 kui k2p L2p (R) 2 0 2 0 Z Z 3 t 1 2p(2p − 1)B(T )2 t 3 2 2 = τ kwi kL2 (R) dτ + τ 2 kwi k2L2 (R) dτ. 2 0 2 0 Utilizando as desigualdades (4.6), (3.7) e a Desigualdade de H¨older, conclu´ımos que Z Z 4 2 4 2 3 t 1 2 2p(2p − 1)B(T )2 t 3 2 X(t) ≤ τ 2 Ci kwi kL3 1 (R) kwix kL3 2 (R) dτ + τ 2 Ci kwi kL3 1 (R) kwix kL3 2 (R) dτ 2 0 2 0 Z t Z t 2 4p 4p 2 2 1 3 3 2 2p(2p − 1)B(T ) 2 3 3 ≤ Ci τ 2 kui kLp (R) kwix kL2 (R) dτ + Ci τ 2 kui kL3p (R) kwix kL3 2 (R) dτ 2 2 0 0 Z t 4p 4p 2 4p 1 3 2 2p(2p − 1)B(T )2 2 ≤ Ci kui0 kL3p (R) τ 2 K(τ ) 3 kwix kL3 2 (R) dτ + Ci kui0 kL3p (R) 2 2 0 Z t 2 4p 3 · τ 2 K(τ ) 3 kwix kL3 2 (R) dτ 0. ≤. ¶ 13 µZ t ¶ 23 µZ t 4p 3 3 2 2p(2p − 1)B(T )2 2 2 2p 3 2 Ci kui0 kLp (R) τ kwix kL2 (R) dτ + Ci K(τ ) dτ 2 2 0 0 ¶ 23 µZ t ¶ 13 µZ t 4p 3 3 2p 2 · kui0 kL3p (R) τ 2 kwix kL2 (R) dτ τ 2 K(τ ) dτ 0. 4p. ≤. 0. µZ. Ci2 kui0 kL3p (R) F (t). t. τ 0. 3 2. kwix k2L2 (R) dτ. ¶ 13. , ∀ t > 0,. " µZ ¶ 32 # ¶ 32 µZ t t 3 2p(2p − 1)B(T )2 3 2p 2p + . Dessa onde F (t) = F (t, T, p) = K(τ ) dτ τ 2 K(τ ) dτ 2 2 0 0 forma, da defini¸c˜ao de X(t) (ver (4.8)), segue que µ ¶ 1 4p 1 2p(2p − 1) − 3 2 3 X(t) ≤ Ci kui0 kLp (R) F (t) X(t) 3 . 2 2p Assim sendo, X(t). 2 3. µ. 4p. ≤. Ci2 kui0 kL3p (R) F (t) 27. 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 3. ,.

(38) e, consequentemente, µ 3 2 Ci3 kui0 k2p Lp (R) F (t). X(t) ≤. 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 2. .. Com a defini¸c˜ao (4.8), temos que t. 3 2. kui (·, t)k2p L2p (R). 2p(2p − 1) + 2. Z. t. τ. 3 2. 0. µ. Z R. |ui |2p−2 u2ix dxdτ. ≤. 3 2 Ci3 kui0 k2p Lp (R) F (t). 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1 2. ,. para todo t ∈ [0, T ]. Finalmente, µ. kui (·, t)k2p L2p (R). ¶ 1 2p(2p − 1) − 2 − 3 ≤ t 2 2p2 µ ¶ 1 3 2p(2p − 1) − 2 − 3 2p 3 t 2 , ∀ t ∈ (0, T ]. ≤ Ci ku0 kLp (R) F (t) 2 2p2 3 2 Ci3 kui0 k2p Lp (R) F (t). (4.9). Portanto, somando i de 1 a n (ver (2.1)), chegamos ao resultado desejado, i.e., µ ku(·, t)k2p L2p (R). ≤ C. 3. 3 2 ku0 k2p Lp (R) F (t). 2p(2p − 1) 2p2. ¶− 1. 2. 3. t− 2 , ∀ t ∈ (0, T ],. C = C(n) ´e uma constante positiva.. 4.3. Estimativa para a Norma do Sup. Nesta se¸c˜ao, para a norma do sup de uma solu¸c˜ ao de (4.1) − (4.2), obteremos uma estimativa da forma ku(·, t)kL∞ (R) ≤ Cκ t. 1 − 2p. , ∀ t ∈ (0, T ],. onde Cκ ´e uma constante positiva que depende dos parˆametros κ = {n, T, p, ku0 kLp (R) }. Mais precisamente, Teorema 4.3 (Estimativa para a Norma do Sup). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, T ], Lp (R)) solu¸c˜ ao do otese em (4.2). Ent˜ ao, sistema (4.1) sob a mesma hip´ ¾ ½ 2 3 8 1 3 3 B(T ) −1 − 3pt t 2p , ∀ t ∈ (0, T ], (4.10) ku(·, t)kL∞ (R) ≤ C p ku0 kLp (R) 2 p 3 2p p p C(T ) 2p exp 4 · ¸ 1 B(T )2 T onde C = C(n) ´e uma constante positiva e C(T ) = + . 2 2. 28.

(39) Demonstra¸c˜ ao. Observe que µZ t ¶ 23 µZ t ¶ 32 3 2p(2p − 1)B(T )2 3 2p 2p 2 K(τ ) dτ + τ K(τ ) dτ F (t) = 2 2 0 0 µZ t ¶ 23 µZ t ¶ 23 3 2p(2p − 1)B(T )2 T 2p 2p ≤ K(τ ) dτ + K(τ ) dτ 2 2 0 0 ¸ µZ t ¶ 32 · 3 2p(2p − 1)B(T )2 T 2p K(τ ) dτ ≤ + 2 2 0 · ¸ µZ t ¶ 23 B(T )2 T 2 1 2p ≤ (2p) + K(τ ) dτ 2 2 0 µZ t ¶ 23 2 2p ≤ (2p) C(T ) K(τ ) dτ 0 2. 2. 2. ≤ (2p) C(T )K(t)2p 3 t 3 , ∀ t ∈ (0, T ] · ¸ 1 B(T )2 T e C(T ) = + , isto ´e, 2 2 3. F (t) 2. 3. ≤ (2p)3 C(T ) 2 K(t)2p t, ∀ t ∈ (0, T ].. ´ poss´ıvel estabelecer a desigualdade E µ ¾¸ ¶ 1· ½ 3 2p(2p − 1) − 2 B(T )2 2p 2p 3 3 (2p) C(T ) 2 exp 2p(p − 1)(t − s) kui (·, t)kL2p (R) ≤ Ci kui (·, s)kLp (R) 2p2 2 1. · (t − s)− 2 , 0 ≤ s < t ≤ T, da mesma maneira que provamos (4.9). Seja k um n´ umero natural qualquer e seja t0 = 4tk . Defina ´ f´acil verificar que tk = t. Utilizando a desigualdade tj = tj−1 + 43tj , para j ∈ N e 1 ≤ j ≤ k. E acima, obtemos µ j j ¶− 12 3 2 p(2 p − 1) 2j p 2j p 3 kui (·, tj )k 2j p ≤ Ci kui (·, tj−1 )k 2j−1 p (2j p)3 C(T ) 2 2j−1 2 L (R) L (R) 2 p µ ½ ¶¾ µ ¶− 1 2 3t B(T )2 j j−1 3t 2 p(2 p − 1) · exp j j 2 4 4 µ j ¶− 12 j 3 2(2 p − 1) ≤ Ci3 kui (·, tj−1 )k2 2pj−1 p (2j p)3 C(T ) 2 j L (R) 2 p ½ µ ¶¾ µ ¶− 1 2 B(T )2 3t 3t j−1 · exp p(2 p − 1) 2 2j 4j ¶− 12 µ j 3 2 p−1 2j p 3 − 12 (2j p)3 C(T ) 2 ≤ Ci kui (·, tj−1 )k 2j−1 p 2 j L (R) 2 p µ ¶¾ µ ¶ 1 ½ 3t 3t − 2 B(T )2 j−1 p(2 p) · exp 2 2j 4j ½ ¾ µ ¶− 1 2 3 B(T )2 2 3t 2j p 3 j 3 . ≤ Ci kui (·, tj−1 )k 2j−1 p (2 p) C(T ) 2 exp p 3t L (R) 4 4j 29.

(40) Consequentemente, 3 2k p. kui (·, t)kL2k p (R) ≤ Ci. k. kui (·, tk−1 )kL2k−1 p (R) (2 p). 3 2k p. C(T ). 3 2k+1 p. ½ exp. B(T )2 1 p3t k 4 2. ¾µ. 3t 4k. ¶−. 1 2k+1 p. ≤ ········· ½ ¾ k k k k 3 Y Y Y 3 Y 3 B(T )2 1 2j p j 2j p j+1 p 2 Ci kui (·, t0 )kLp (R) (2 p) C(T ) exp ≤ p3t j 4 2 j=1. ·. j=1. k µ Y j=1 3 p. ≤ Ci. ¶−. 3t 4j. k X 1 2j j=1. j=1. j=1. 1 2j+1 p. kui (·, t0 )kLp (R). k Y. 3 2j p. (2j p). 3 2p. k X 1 2j j=1. C(T ). exp. j=1. ·. k µ Y j=1 3 p. ≤ Ci. 3t 4j. j=1. ≤ Ci. 3 p. k X 1 2j. 1 p. 2. 1 − 2p. j=1. k X j 2j j=1. kui (·, t0 )kLp (R) 2 k X 1 2j. 3 p. k X 1 2j j=1. p. 3 2p. k X 1 2j j=1. C(T ). exp.   B(T )2 . 4.  k X 1 p3t 2j  j=1. j=1. 4 p. j=1. · (3t). 4. k X j 2j. k X 1 2j j=1. k X j 2j j=1. kui (·, t0 )kLp (R) 2. j=1. · (3t). .  k X 1 p3t 2j . 1 2j+1 p. k X 1 2j. 1 − 2p. 3 p. ¶−.   B(T )2. 3 p. p. k X 1 2j j=1. 3 2p. C(T ). k X 1 2j j=1. exp.   B(T )2 . 4.  k X 1 p3t 2j  j=1. .. Dessa forma, passando ao limite quando k → ∞, conclu´ımos que 3 p. 8 p. 1 − 2p. kui (·, t)kL∞ (R) ≤ Ci kui0 kLp (R) 2 3. 3 p. p C(T ). 3 2p. ½ exp. ¾ B(T )2 −1 3pt t 2p . 4. Utilizando a defini¸c˜ao (2.2), obtemos 3 p. 8 p. 1 − 2p. ku(·, t)kL∞ (R) ≤ C ku0 kLp (R) 2 3. 3 p. p C(T ). onde C = C(n) ´e uma constante positiva.. 30. 3 2p. ½ exp. ¾ B(T )2 −1 3pt t 2p , ∀ t ∈ (0, T ], 4. (4.11).

(41) Cap´ıtulo 5. Sistema de Equa¸c˜ oes de Advec¸c˜ ao-difus˜ ao Unidimensional Neste cap´ıtulo, estamos interessados em obter estimativas para um sistema de equa¸c˜ oes de advec¸c˜ao-difus˜ao unidimensional que estenda os resultados obtidos no cap´ıtulo 3 para a equa¸c˜ ao ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))f (x, t, u(x, t))]x = µ(t)uxx (x, t) + c(x, t, u(x, t))u(x, t). Al´em da convers˜ao a sistema, acrescentaremos uma matriz diagonal definida positiva A(x, t, u), substituindo a fun¸c˜ao µ. Ou seja, provaremos algumas propriedades para solu¸c˜ oes u(·, t) do sistema ut + [b(x, t, u)u]x = [A(x, t, u)ux ]x + c(x, t, u)u, supondo que o dado inicial u(·, 0) = u0 ∈ Lp (R), para 1 ≤ p < ∞. A condi¸c˜ao inicial ´e satisfeita no sentido Lp . Mais precisamente, estudaremos estimativas para a norma do sup de uma solu¸c˜ ao u(·, t) do problema ut (x, t) + [b(x, t, u(x, t))u(x, t)]x = [A(x, t, u(x, t))ux (x, t)]x + c(x, t, u(x, t))u(x, t) (5.1) u(·, 0) = u0 , onde x ∈ R, t > 0, u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), ..., un (x, t)) e µ ∈ C 0 ([0, ∞)) , b, c s˜ ao fun¸c˜oes tais que aii (x, t, u(x, t)) ≥ µ(t), ∀ i = 1, 2, ..., n, |b(x, t, u(x, t))| ≤ B(t),. (5.2). |c(x, t, u(x, t))| ≤ C(t), µ(t) > 0, onde A(x, t, u(x, t)) = diag(aii (x, t, u(x, t)))1≤i≤n ´e uma matriz diagonal constitu´ıda de fun¸c˜ oes suaves reais, b ´e de classe C 1 e as fun¸c˜ oes B, C ∈ C 0 ([0, ∞)).. 31.

(42) 5.1. Estimativa para a Norma Lp. Sob as hip´oteses estabelecidas© acima, mostraremos que existe uma constante Cγ > 0, dependendo ª somente dos parˆametros γ = n, p, ku0 kLp (R) tal que 3. ku(·, t)kL2p (R) ≤ Cγ F (t) 4p t. − p1. , ∀ t > 0,. (5.3). onde µZ F (t) = 2. t. 1. 1. τ 2 K(τ )2p µ(τ )− 2 dτ. ¶ 23. ÃZ +. 0. t. · 1. τ 2 K(τ )2p µ(τ )− 2. B(τ )2 2µ(τ ). 0. 2p(2p − 1) + 2pC(τ ). ¸ 32. ! 23 dτ. Primeiramente, provemos o Teorema 5.1 (Estimativa para a Norma Lp ). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)) solu¸c˜ ao do sistema (5.1) sob as mesmas hip´ oteses em (5.2). Ent˜ ao, ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0, ¸ ¾ ½Z t · (p − 1)B(τ )2 + C(τ ) dτ . onde K(t) = K(t, p) = exp 2µ(τ ) 0. (5.4). Demonstra¸c˜ ao. Seja Lδ uma fun¸c˜ao sinal regularizada (ver se¸c˜ ao 2.6). Seja Φδ (·) = Lδ (·)p . A i-´esima equa¸c˜ao do sistema (5.1) ´e dada por uit + [b(u)ui ]x = [aii (u)uix ]x + c(u)ui . Ent˜ao Z tZ t0. R. Φ0δ (ui )uiτ dxdτ +. Z tZ. + t0. R. Z tZ t0. R. Φ0δ (ui )[b(u)ui ]x dxdτ =. Z tZ t0. R. Φ0δ (ui ) [aii (u)uix ]x dxdτ. Φ0δ (ui )c(u)ui dxdτ.. Vimos na se¸c˜ao 4.1 que Z. t. t0. Φ0δ (ui )uiτ dτ. = Φδ (ui (·, t)) − Φδ (ui (·, t0 )).. Integrando por partes, obtemos Z Z 0 − Φδ (ui )[b(u)ui ]x dx = Φ00δ (ui )b(u)ui uix dx R ZR ≤ Φ00δ (ui )|b(u)||ui ||uix |dx. R Z ≤ Φ00δ (ui )B(τ )|ui ||uix |dx R Z Z µ(τ )u2ix B(τ )2 u2i dx + Φ00δ (ui ) dx. ≤ Φ00δ (ui ) 2µ(τ ) 2 R R 32. ..

(43) Utilizando (5.2), conclu´ımos que Z Z 0 |Φ0δ (ui )||c(u)||ui |dx Φδ (ui )c(u)ui dx ≤ R R Z ≤ |Φ0δ (ui )|C(τ )|ui |dx. R. Integrando por partes novamente, chegamos a Z Z 0 Φδ (ui ) [aii (u)uix ]x dx = − Φ00δ (ui )aii (u)uix uix dx R ZR ≤ − Φ00δ (ui )µ(τ )u2ix dx. R. Consequentemente, Z Z tZ Z Z tZ µ(τ )u2ix B(τ )2 u2i 00 dxdτ + dxdτ Φδ (ui (·, t))dx − Φ00δ (ui ) Φδ (ui (·, t0 ))dx ≤ Φδ (ui ) 2µ(τ ) 2 t0 R R R t0 R Z tZ Z tZ 0 + |Φδ (ui )|C(τ )|ui |dxdτ − Φ00δ (ui )µ(τ )u2ix dxdτ Z ≤. t0. t. R B(τ )2. Z. Z Φ00δ (ui )u2i dxdτ −. t0 2µ(τ ) R Z t Z + C(τ ) |Φ0δ (ui )||ui |dxdτ. Z. t0. t. ≤ t0. B(τ )2 2µ(τ ). Z R. R. Φ00δ (ui )u2i dxdτ +. t0. t. t0. Z. R. µ(τ ) 2. Z R. Z. t. C(τ ) t0. Φ00δ (ui )u2ix dxdτ. R. |Φ0δ (ui )||ui |dxdτ.. Passando ao limite quando δ → 0 e usando o Teorema da Convergˆencia Dominada, obtemos Z t Z Z t Z B(τ )2 p p p kui (·, t)kLp (R) ≤ kui (·, t0 )kLp (R) + p(p − 1)|ui | dxdτ + C(τ ) p|ui |p dxdτ 2µ(τ ) t0 R t0 R Z t Z t 2 B(τ ) kui kpLp (R) dτ + p C(τ )kui kpLp (R) dτ ≤ kui (·, t0 )kpLp (R) + p(p − 1) 2µ(τ ) t0 t0 ¸ Z t· 2 p(p − 1) B(τ ) ≤ kui (·, t0 )kpLp (R) + + pC(τ ) kui kpLp (R) dτ. 2µ(τ ) t0 Agora, passando ao limite quando t0 → 0, encontramos ¸ Z t· B(τ )2 p(p − 1) p p kui (·, t)kLp (R) ≤ kui0 kLp (R) + + pC(τ ) kui kpLp (R) dτ. 2µ(τ ) 0 Pelo Lema de Gronwall, conclu´ımos que kui (·, t)kpLp (R) ≤ K(t)p kui0 kpLp (R) , ∀ t ≥ 0, 33.

(44) ½Z t ·. ¸ ¾ (p − 1)B(τ )2 + C(τ ) dτ . Portanto, 2µ(τ ). onde K(t) = K(t, p) = exp 0. kui (·, t)kLp (R) ≤ K(t)kui0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0.. (5.5). Somando i de 1 a n (ver (2.3)), obtemos ku(·, t)kLp (R) ≤ K(t)ku0 kLp (R) , ∀ t ≥ 0.. 5.2. Estimativa de Energia. O Teorema a seguir nos permite concluir diretamente a estimativa (5.3). Teorema 5.2 (Estimativa de Energia). Seja u(·, t) ∈ C 0 ([0, ∞), Lp (R)) solu¸c˜ ao do sistema (5.1) ao, sob as mesmas hip´ oteses em (5.2). Ent˜ · ku(·, t)k2p L2p (R). ≤. 2p(2p − 1) 2p2. Cku0 k2p Lp (R). ¸− 1 2. 3. F (t) 2 t−2 , ∀ t > 0,. ! 32 ¸ 32 ¶ 23 ÃZ t · 2 1 2p(2p − 1)B(τ ) onde F (t) = 2 K(τ )2p τ µ(τ ) dτ + + 2pC(τ ) K(τ )2p τ 2 µ(τ )− 2 dτ , 2µ(τ ) 0 0 F (t) = F (t, p) e C = C(n) ´e uma constante positiva. µZ. t. 1 2. − 12. Demonstra¸c˜ ao. Seja Φδ (·) = Lδ (·)2p . Multiplique a equa¸c˜ ao uit + [b(u)ui ]x = [aii (u)uix ]x + c(u)ui por (t − t0 )2 Φ0δ (ui ) e integre sobre R × [t0 , t], onde t0 ∈ (0, t) e t > 0. Dessa forma, Z tZ t0. 2. (τ − t0 ). R Z tZ. = t0. R. Φ0δ (ui )uiτ dxdτ 2. (τ − t0 ). Z tZ + t0. R. (τ − t0 )2 Φ0δ (ui )[b(u)ui ]x dxdτ. Φ0δ (ui ) [aii (u)uix ]x dxdτ. Z tZ + t0. R. (τ − t0 )2 Φ0δ (ui )c(u)ui dxdτ.. Note que Z. t. t0. Z 2. (τ − t0 ). Φ0δ (ui )uiτ dτ. t. = t0. (τ − t0 )2 2. = (τ − t0 ). d [Φδ (ui )]dτ dτ. Φδ (ui (·, τ ))|tt0. = (t − t0 ) Φδ (ui (·, t)) − 2. 34. t. −2 Z. 2. Z. t0. (τ − t0 )Φδ (ui )dτ. t. t0. (τ − t0 )Φδ (ui )dτ..

(45) Na se¸c˜ao 5.1, vimos que Z − Φ0δ (ui )[b(u)ui ]x dx ≤ R. B(τ )2 2µ(τ ). Z R. Φ00δ (ui )u2i dx. Z R. Φ00δ (ui )u2ix dx,. Z. Z R. µ(τ ) + 2. Φ0δ (ui )c(u)ui dx. ≤ C(τ ) R. |Φ0δ (ui )||ui |dx. e Z R. Z Φ0δ (ui ) [aii (u)uix ]x dx. ≤ −µ(τ ) R. Φ00δ (ui )u2ix dx.. Por conseguinte, Z Z t Z Z t 2 Z 2 2 B(τ ) (t − t0 ) Φδ (ui (·, t))dx − 2 (τ − t0 ) Φδ (ui )dxdτ ≤ (τ − t0 ) Φ00δ (ui )u2i dxdτ 2µ(τ ) R t0 R t0 R Z t Z Z t Z µ(τ ) − (τ − t0 )2 Φ00δ (ui )u2ix dxdτ + (τ − t0 )2 C(τ ) |Φ0δ (ui )||ui |dxdτ. 2 t0 R t0 R Passando ao limite quando δ → 0, temos que Z t Z 2p (t − t0 )2 kui (·, t)k2p − 2 (τ − t )ku k dτ ≤ 0 i L2p (R) L2p (R) Z. t0. t. + 2p t0. 2. (τ − t0 ). C(τ )kui k2p dτ L2p (R). Z. t. − t0. t. (τ − t0 )2 B(τ )2 2p(2p − 1)kui k2p dτ L2p (R) 2µ(τ ) t0 Z (τ − t0 )2 µ(τ )2p(2p − 1) |ui |2p−2 u2ix dxdτ, ∀ t > 0. 2 R. Consequentemente, Z Z 2p(2p − 1) t (τ − t0 )2 µ(τ ) |ui |2p−2 u2ix dxdτ 2 t0 R · ¸ Z t Z t 2 B(τ ) 2p 2 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kui k2p dτ. ≤ 2 (τ − t0 )kui kL2p (R) dτ + (τ − t0 ) L2p (R) 2µ(τ ) t0 t0. (t − t0 )2 kui (·, t)k2p + L2p (R). Passando ao limite quando t0 → 0, conclu´ımos Z Z Z t 2p(2p − 1) t 2 2p 2 2p−2 2 t kui (·, t)kL2p (R) + τ µ(τ ) |ui | uix dxdτ ≤ 2 τ kui k2p dτ L2p (R) 2 0 R 0 ¸ · Z t B(τ )2 2p(2p − 1) + 2pC(τ ) kui k2p dτ. + τ2 L2p (R) 2µ(τ ) 0 Relembre a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao   ui (·, t), wi (·, t) =. . se p = 1;. |ui (·, t)|p , se p > 1. 35.

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