QUESTÕES DE SALA
01. (UNICAMP) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão a
b é igual
a
a) 3 1. b) 2 1.
c) 3. d) 2.
02. (UPE) O retângulo ABCD, representado a seguir, tem área cuja medida é de 18 cm2. Qual é a razão entre a medida da área da parte pintada e a medida da área total do retângulo?
Considere π 3,0.
a) 1/4 b) 1/5 c) 1/6
d) 1/7 e) 1/8
03. (UECE) Considere a circunferência com centro no ponto O e cuja medida do raio é 2 m. Se AB é um diâmetro desta circunferência e C é um ponto sobre a circunferência tal que a medida do ângulo CÔB é 60 , então, a medida da área da região interior à circunferência, limitada pela corda AC e pelo menor arco determinado por A e C, é
a) 4 3 6π c) 4 3 3π b) 4 3 6π d) 4 3 3π
04. (PUC) Na figura, T e 1 T representam duas torres de 2 transmissão de sinal de conectividade de internet. Cada torre transmite sinal até o raio de 6 km. Os pontos P e Q estão localizados no limite do raio de transmissão das duas torres, e distam 6 km um do outro.
Sabendo-se que T , 1 T , P e Q são pontos coplanares, a 2 área desse plano atendida pelo sinal das duas torres, em km2, é igual a
a) 9π 12 3. b) 12π 18 3. c) 12π 8 3. d) 18π 12 3. e) 24π 12 3.
TAREFA DO DIA SEGUINTE
T01. (FUVEST) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.
Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é:
a) π sen (2x) sen (2y) b) π sen (2x) sen (2y) c) π cos (2x) cos (2y) d) cos (2x) cos (2y)
2
π
e) sen (2x) sen (2y) 2
π
T02. (IFPE) A imagem abaixo reproduz a bandeira de uma das nações mais desenvolvidas em todo o mundo, o Japão.
Sabendo que a bandeira tem formato retangular de dimensões 8 cm e 12 cm, e um círculo central de 2 cm de raio, usando π 3, podemos afirmar que a área da bandeira pintada de branco, em centímetros quadrados, é
a) 96. b) 84. c) 12.
d) 72. e) 90.
T03. (UFRGS) Considere um triângulo equilátero circunscrito a um círculo. Se a distância de cada vértice do triângulo ao centro do círculo é 2 cm, a área da região do triângulo não ocupada pelo círculo, em cm , é 2
a) 4 32 .π b) 3 3 π. c) 3 π. d) π. e) 3 2.
T04. (IFAL) No centro de uma praça retangular de dimensões 40 metros e 60 metros, é construída uma fonte circular de raio 8 metros, único lugar da praça em que as pessoas não podem entrar. Qual a área da praça a que as pessoas podem ter acesso? (considere π 3,14)
a) 200,96 m .2 b) 2.400 m .2 c) 2.199,04 m .2
d) 50,24 m .2 e) 149,76 m .2
T05. (FAMERP) As tomografias computadorizadas envolvem sobreposição de imagens e, em algumas situações, é necessário conhecer a área da região de intersecção das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N e raio NBNCNM, com M e N sendo pontos médios, respectivamente, de AB e BC.
Sendo a área de triângulo equilátero de lado igual a
2 3
4 e a área de círculo de raio r igual a 2
r ,
π se o lado do triângulo ABC medir 4 cm, então, a área de intersecção entre o triângulo e o círculo, em cm2, será igual a
a) π 3 3 b) 3 3 2 π c) π 3 d) 2 6 3 3 π e) π 2 3
T06. Observe o quadro a seguir, que representa um barco à vela e, ao fundo, a lua cheia. A vela desse barco tem forma de triângulo equilátero com 2 dm de lado e a lua é um círculo cujo centro coincide com um dos vértices desse triângulo. A área da parte da lua escondida atrás da vela é exatamente metade da área da vela.
Se não houvesse o barco, a lua cheia estaria completamente visível. Nesse caso, a área da lua seria
a) 2 3 dm .2 b) 3 3 dm .2
c) 2 2 dm .2 d) 3 2 dm .2
T07. (EINSTEIN) Os pontos B e F são extremidades da circunferência de equação x2y2 81 e o segmento DE é tangente à circunferência dada no ponto C(0, 9).
No trapézio BDEF o ângulo F mede 120º e o ângulo B mede 150º, conforme mostra a figura.
A área do trapézio BDEF vale
a) 27 (3 3 1) b) 54 (2 3 1) c) 27 (2 33) d) 54 ( 33)
T08. (FAMERP) Em uma circunferência trigonométrica de centro C e origem dos arcos em O, foram marcados os pontos P e Q, sendo que as medidas dos arcos OP e OQ são iguais, respectivamente, a e 2, conforme indica a figura.
Sabendo-se que Q´ é a projeção ortogonal de Q sobre o eixo y, que λ é uma semicircunferência de diâmetro CQ' e que sen 1,
3
α a área da região colorida na figura é
a) 7 36 π b) 31 162 π c) 5 27 π d) 65 324 π e) 16 81 π
T09. (EINSTEIN) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC = 6 cm e M é ponto médio do lado AB. Se os semicírculos no interior do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, P e R, então a área de ABCD, em centímetros quadrados, é
a) 36 3 b) 36 2
c) 18 3 d) 18 2
T10. (ENEM) Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte
externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 hg cada. Use 3 como valor aproximado para π.
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é
a) 100. b) 140. c) 200.
d) 800. e) 1.000.
T11. (UERJ) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C e 1 C , pertencentes ao 2 mesmo plano α. O segmento C C mede 6 cm. 1 2
A área da região limitada pelos círculos, em cm2, possui valor aproximado de:
a) 108 b) 162 c) 182 d) 216
T12. (UFRGS) Considere o setor circular de raio 6 e ângulo central 60º da figura abaixo.
então o perímetro da região sombreada é
a) π 6. b) 2π 6. c) 3π 6.
d) π 12. e) 3π 12.
T13. (ESPM/) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ADE é um quadrante de círculo de centro D. Se o lado AB e o arco AE têm comprimentos iguais a cm, a medida da área sombreada, em cm2, é:
a) 4 b) c) 2
d) /2 e) 2
T14. (UNICAMP) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ.
a) Para θ 60 , determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cos θ no caso em que R = 4r.
T15. (CPCAR/2019) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir.
Considere que:
1. OAOBOCODOEOFOGOH R
2. Os arcos de circunferência
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no ponto
médio de cada uma das cordas
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O
3. π 3
4. 21,4
A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a
a) 1,4 R2 b) 1,6 R2 c) 1,8 R2 d) 2 R2
MICRO-REVISÃO 1
T16. (ESPCEX/2019) Considere uma circunferência de centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no ponto Q. A medida do ângulo MOQ é ˆ 30 , onde M é um ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é paralelo a OQ, a área (em cm )2 do trapézio OMPQ é
a) 1 3. 2 8 b) 3 2 . 2 c) 1 3. 2 d) 2 3. 8 e) 3. 2
T17. (UFPR/2019) Considere o círculo de centro C e raio 4 cm e o triângulo ABD representados na figura a seguir.
Sabendo que o ângulo α mede 120 e que o segmento AD passa pelo centro do círculo e mede 7 cm, calcule: a) A área do setor circular delimitado pelos segmentos CA
b) O tamanho dos lados AB e BD do triângulo ABD.
MICRO-REVISÃO 2
T18. (UECE/2019) Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio é igual a 0,5 m, um quadrado Q
circunscrito ao círculo e um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos afirmar corretamente que a medida, em
2
m , da área da região do plano interior a Q e exterior a q
é
a) 0,15 .π b) 0,25 .π
c) 0,50. d) 0,35.
T19. Daniela desenhou em seu caderno um triângulo equilátero ABC de lado 8 cm (Figura 1). A seguir, tomando como referência os pontos médios dos lados desse triângulo, traçou outro triângulo equilátero DEF, congruente a ABC, em que D é ponto médio de BC e A é ponto médio de EF (Figura 2). Para finalizar, desenhou um coração com dois semicírculos (de mesmo raio e centros sobre EF) e quatro arcos congruentes (dois deles com centro em A, outro com centro em B e outro com centro em C), conforme a Figura 3.
Considere: π 3 e 31,7
A área do coração, em centímetros quadrados, é a) 15,2
b) 39,2
c) 55,2
d) 66,2
MICRO-REVISÃO 3
T20. (UNIFESP/2019) A figura representa um trapézio retângulo UNFE de altura UE e uma circunferência de centro P inscrita no triângulo SNF, com S pertencente à UE. Sabe-se que SI é perpendicular a NF, que I é o ponto médio de NF e que UN8 cm, EF6 cm e ES8 cm.
a) Calcule NS e a área do trapézio UNFE.
b) Calcule a área da região destacada em verde na figura.
T21. (CFTMG/2019) Arquimedes (212 a.C.), em uma de suas obras, descreve que um arbelos é uma região plana, delimitada por três semicírculos. Na figura a seguir, a região destacada é um arbelos, delimitado por três semicircunferências cujos diâmetros são AB, AC e BC.
Se med(AB)6 cm, med(AC)4 cm e ABCD, a razão
entre a área desse arbelos e a área do círculo de diâmetro CD é a) 1. 2 b) 1. c) 3. 2 d) 2.
GABARITO - TAREFA DO DIA SEGUINTE T01: B T02: B T03: B T04: C T05: D T06: B T07: D T08: D T09: B T10: A T11: C T12: C T13: B T14: a) 2/3 b) 7/9 T15: B GABARITO - MICRO-REVISÃO 1 T16: A T17:
a) A área do setor é igual a
2 2 120 16 4 cm . 360 3 π π
b) Como CACB4cm, tem-se que o triângulo ABC é isósceles de base AB. Logo, se α 120 , então
180 120
BAC CBA 30 .
2
Daí, pela Lei dos Senos, vem
AB AC AB 4
1
sen sen ABC 3
2 2
AB 4 3 cm.
α
Ademais, pela Lei dos Cossenos, no triângulo ABD, encontramos 2 2 2 2 2 2 BD AB AD 2 AB AD cosBAD 3 BD (4 3 ) 7 2 4 3 7 2 BD 13 cm. GABARITO - MICRO-REVISÃO 2 T18: C T19: B GABARITO - MICRO-REVISÃO 3 T20:
a) Se EF6cm, ES8cm e FES90 , então o triângulo retângulo EFS é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Em consequência, temos FS 10cm. Considere a figura.
Sendo FI e FA segmentos tangentes à circunferência de centro em P e raio PI, temos FIFA. Além disso, de modo inteiramente análogo, concluímos que NINB e SASB. Adicionalmente, sabendo que I é ponto médio de FN, podemos afirmar que FS NS 10cm.
Como UN8cm e NUS90 , os triângulos EFS e USN
são congruentes, com US6cm. Daí, segue que a área do trapézio UNFE é igual a
2 (UN EF) 8 6 (US ES) 14 98 cm . 2 2
b) Uma vez que NSU FSE 90 , temos ASB90 e, portanto, APBS é quadrado. Logo, vem FN 10 2 cm e, assim, obtemos FI 5 2 cm. Ademais, PAAS implica em
FS PA FAPA10 5 2 cm. A resposta é dada por
2 2 2 1 1 FS NS PA 10 10 (10 5 2) 2 2 50(1 (3 2 2)) cm . π π π T21: B
