O USO DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU:
UMA PROPOSTA DE ATIVIDADES UTILIZANDO O WINPLOT
Silvio Pereira1
Universidade do Sul de Santa Catarina
RESUMO
Considerando a importância do estudo da Função Polinomial do 2° grau no currículo escolar e na compreensão de fenômenos relacionados a diversas áreas do conhecimento, o presente artigo tem como objetivos apresentar uma proposta para a exploração dos principais conceitos presentes no estudo dessa função, com o auxílio do software Winplot, através da elaboração e observação de seus gráficos e de investigar as possíveis potencialidades do software selecionado na elaboração dos conceitos matemáticos relacionados à função do 2º grau, normalmente ensinado no Ensino Médio.
Palavras-chave: Informática. Software livre. Gráficos. Função do 2° grau. Winplot.
1. INTRODUÇÃO
As dificuldades de aprendizagem bem como as deficiências no ensino da Matemática, quando se referem a gráficos e função de uma forma geral, constituem, já há algum tempo, grande preocupação aos educadores. Isso se reflete tanto para o ensino, quando se refere a preocupação do professor no seu planejamento de aula que tenha uma abordagem significativa para os alunos, quanto para a aprendizagem, visto que os alunos estão diante de assuntos que são considerados de difícil entendimento.
Uma proposta para minimizar esses conflitos no ensino-aprendizagem dessa disciplina, que tem como foco os conteúdos acima elencados, é a utilização de softwares que possam facilitar a produção das aulas, criando momentos dinâmicos e diferenciados para o bom entendimento dos alunos.
O uso de ambientes informatizados possibilita ao aluno experimentar, interpretar, visualizar, conjecturar e generalizar, sendo que cabe ao professor ser agora responsável pela preparação de atividades que proporcionem ao aluno, este novo papel dentro do processo ensino-aprendizagem (GRAVINA E SANTAROSA, 1998).
Nesse caso, o professor atua como um mediador e orientador do processo ensino- aprendizagem, sistematizando o novo conhecimento que o aluno vai construindo.
Nesse sentido, surge a necessidade de modernizar, criar alternativas novas para a construção do conhecimento, pois o momento atual é de transição, de domínio da tecnologia, o que modifica as relações entre os indivíduos e o comportamento social.
Autores como Bicudo (2001), Borba e Penteado (2001), entre outros, descrevem sobre a questão da utilização de Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) no ensino de tópicos da Matemática e seu trânsito dentro da Educação Matemática, tratando esse novo instrumento como uma possibilidade de transformação da prática educativa.
Dessa forma, se torna indispensável à utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) como ferramenta de apoio para que se consiga alcançar um ensino significativo da matemática. Partiu-se, então, da hipótese de que o ensino da função do 2º grau, por meio do software WINPLOT, contribui para melhor aprendizagem de conceitos básicos desse conteúdo, a partir de uma visualização mais rápida dos gráficos.
Não espera-se que as tecnologias de informação e comunicação operem milagres na cultura profissional do professor de matemática, mas parece evidente que esta mídia traz novos elementos a já atribulada vida do professor. Daí a importância de suportes para que o professor de matemática não se intimide com as máquinas informáticas, mas, ao contrário, possa utilizá-las na formação do estudante deste tempo. (COSTA, 2004, p.79).
Portanto, é fundamental que professores estejam atualizados e planejem com cautela para atingir os objetivos desejados.
2. OS SOFTWARES EDUCACIONAIS
Atualmente, a grande variedade de softwares disponíveis na internet pode contribuir de forma significativa para facilitar o processo ensino-aprendizagem e oferecer aos professores alternativas didáticas auxiliares.
“O objetivo de um software educativo é favorecer os processos de ensino-aprendizagem;
são desenvolvidos especialmente para construir o conhecimento relativo a um conteúdo didático. Entre as características principais de um software educativo está o seu caráter didático que possibilita a construção do conhecimento em uma determinada área com ou sem a mediação de um professor”. (ROMERO, 2006, p. 06)
É perceptível uma constante evolução nos recursos tecnológicos, haja vista que os alunos fazem uso contínuo dos mais variados hardwares e softwares que estão surgindo.
Muitos softwares educacionais estão se tornando uma solução moderna e envolvente, à medida que são empregados nos mais variados casos, por exemplo: em simulações, que substituem sistemas físicos reais da vida profissional e testam diferentes alternativas de otimização desses sistemas. Além disto, podem também contribuir na estimulação do raciocínio lógico e, assim sendo, da autonomia, à medida que os alunos podem propor hipóteses, fazer dedução e tirar conclusões, a partir dos resultados anunciados.
De acordo com Dall’Anese (2006), estudos relacionados ao uso da tecnologia no ensino e na aprendizagem da Matemática mostram que o computador é uma ferramenta que facilita a visualização de conteúdos abstratos trabalhados em sala de aula.
Nesse contexto, a mídia é apontada como uma ferramenta promissora para a discussão e aprofundamento desses conceitos.
Para Tedesco (2004), a incorporação das novas tecnologias à educação deveria ser considerada como parte de uma estratégia global de política educativa, e que essas estratégias priorizem os professores, uma vez que “as novas tecnologias modificam significativamente o papel do professor no processo de aprendizagem e as pesquisas disponíveis não indicam caminhos claros para enfrentar o desafio da formação e do desempenho docente nesse novo contexto” (TEDESCO, 2004, p. 11).
Isto posto, a inclusão da tecnologia na educação traz em seu poder novas possibilidades para o processo de ensino e aprendizagem, assim como desafiam o professor a fugir do conceito de que estes recursos, por si só, provocam mudanças na educação. Entende-se que se faz necessária uma mudança na prática do docente, estimulada por uma formação que lhe garanta, além do acesso, a interação com seus pares e o desenvolvimento de novas experiências que busquem se apropriar da capacidade da utilização destas novas tecnologias.
Declaram Gravina e Santarosa (1998) que o ambiente informatizado pode acelerar o processo de apropriação de conhecimento, auxiliando na superação dos obstáculos da aprendizagem, por meio da visualização, experimentação, interpretação, demonstração, resultando em ações que desafiem a capacidade cognitiva do aluno.
Logo, o incremento da tecnologia no ensino de Matemática se faz necessário para que ocorra a formação de um indivíduo historicamente situado e, para tanto, o professor de matemática não pode ficar alheio a esta nova realidade. É nesse contexto que a utilização das tecnologias no processo ensino-aprendizagem permite a interação de todos os envolvidos.
3. O SOFTWARE LIVRE WINPLOT
O software Winplot é utilizado na área educacional, especificamente, na matemática, por ser um programa simples, consumir pouca memória e ter grande importância para a aprendizagem.
Sua função é a de auxiliar no desenvolvimento de gráficos de funções matemáticas.
Para a sua escolha, considerou-se os seguintes fatores: gratuidade, acessibilidade, aplicabilidade e facilidade de manuseio, viabilizando o uso por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior.
O software Winplot foi desenvolvido pelo professor Richard Parris ("Rick"), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Chamava-se PLOT e rodava no antigo DOS. Com o lançamento do Windows 3.1, o programa foi rebatizado de "Winplot". A versão para o Windows 98 surgiu em 2001.
De acordo com o tutorial Winplot-Gregory Baldasso Gianeri (2004), além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. No Brasil, o trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho de Adelmo Ribeiro de Jesus.
Esse software é livre e pode ser obtido, na versão em Português, através de download pela Internet no seguinte endereço: http://math.exeter.edu/rparris.
Em Fanti (2008) já foi apresentado um breve relato de como o Winplot foi utilizado no estudo de gráficos de funções de segundo grau, explorando os zeros/raízes reais (quando existem), pontos de máximo e mínimo, e auxiliando no estudo de fatoração, através do comando adivinhar.
Esse software é utilizado principalmente para confecções de gráficos 2D ou 3D, no caso do plano podem-se requerer gráficos de funções explícitas, do tipo y = f(x) e funções implícitas, escritas na forma F(x, y) = 0. É possível desenhar também curvas definidas através de uma parametrização, ou apresentadas em coordenadas polares. Pode-se ainda utilizar o software para representar pontos no plano, representar segmentos de reta, trabalhar com equações polinomiais, com sequências, calcular derivadas e integrais indefinidas.
O Winplot pode se classificar como um software educacional “de tutoria” por apresentar-se como um vídeo interativo. Trabalhando com o Winplot o aprendiz define e organiza informação que deseja aplicar. É também um software “de exercícios práticos” que enfatiza a apresentação de atividades como se fosse um livro animado cujo resultado pode ser avaliado pelo próprio computador, o qual exige um conhecimento do conteúdo prévio em estudo pelo aluno.
(VALENTE, 1999).
4. CONCEITO DE FUNÇÃO
"Uma variável y se diz função de uma variável x, se, para todo o valor atribuído a x, corresponde, por alguma lei ou regra, um único valor de y. Nesse caso, x denomina-se variável independente e y, variável dependente."
A disseminação da Teoria dos Conjuntos, em fins do século XIX tornou possível a definição formal do conceito de função da seguinte maneira:
"
:
, .
, ,
,
;
"
y x f e B A f se escreve
condições Nessas
f y x que tal B y único um
existe A
x todo para
se B em A de Função se
chama B
A de f parte uma
conjutos B
e A Sejam
Fundamentando-se na história pode-se afirmar que:
“O conceito de função foi sendo desenvolvido ao longo da história, isto é, precisou-se de vários séculos para que desde as primeiras noções intuitivas, chegássemos ao complexo estudo das funções, presente em nossos dias. Possivelmente, os babilônios tinham uma idéia, não pouco vaga, de função: sabe-se de tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por eles na Antiguidade, principalmente no campo astronômico”.
(SILVA, 2010, p.21).
Do instinto de funcionalidade à definição formal do conceito de Função, a humanidade trilhou um extenso caminho. Entretanto, os livros didáticos apresentam diretamente a definição por meio de conjuntos, dando assim um grande salto no processo de construção do conceito, desta forma pode se introduzir um obstáculo epistemológico, além disso, os textos restringem-se a trabalhar somente com números. Portanto, é preciso compreender tal processo evolutivo para oferecer ao aprendiz a oportunidade de constatar que o tempo está ligado diretamente ao espaço percorrido, que cada ovelha está relacionada a uma pedra e, imitando os babilônios, o aluno tentará construir tabelas para descobrir valores sem ser apresentada a definição formal de Função, para só então após esta ideia inicial e intuitiva ser construído o conceito e apresentada a definição formal para aplicação tanto no cotidiano como nas várias áreas da Ciência.
4.1. Função do 2º grau
Definição: função do segundo grau, também denominada função quadrática, é definida por uma expressão do tipo f(x)ax2bxc, com a,be ce a0. No caso de b e/ou
c
serem iguais a zero, a função será considerada incompleta.Nomenclaturas
Domínio D f R
Contradomínio CD f R
Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função.
Identificação de coeficientes da função quadrática
2 3 5 2
3 5
: 2
2
c b a x
x x f Exemplo
c bx ax x f
Zeros da função: zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:
a
ac b
x b c
bx ax x
f 2
0 4 0
) (
2
2
O Discriminante (representado pela letra grega delta) mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
∆ < 0 → não tem raiz real
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
Figura 1 – Raízes reais da função quadrática
Fonte: Elaborado pelo autor
Termo independente
Se c > 0, a parábola cortará o eixo y acima da origem do plano cartesiano.
Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na origem do plano cartesiano.
Se c < 0, a parábola cortará o eixo y abaixo do plano cartesiano.
Figura 2 – Ponto em que a parábola toca no eixo y
Fonte: Elaborado pelo autor
O gráfico de uma função do segundo grau é representado por uma parábola. Seguem dois exemplos de função quadrática:
Quando a0 a concavidade da parábola fica voltada para baixo e seu vértice representa o maior ponto da função.
Quando a0 a concavidade da parábola fica voltada para cima e seu vértice representa o menor ponto da função.
Figura 3 – Gráficos de função quadrática
Gráfico da função f(x) = x2 - 3x +2 Gráfico da função f(x) = - x2 + 2x +1
x y
x y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vértice da função
Coordenadas do Vértice
c bx x
y
2Figura 4 – Ponto de mínimo e de máximo da função quadrática
Ponto mínimo Ponto máximo
Fonte: Elaborado pelo autor.
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:
a x
Vb
2
y
Va
4
Esboço do gráfico
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter:
Figura 5 – Esboço do gráfico da função quadrática
Concavidade
Ponto c
Zeros
Vértice
Fonte: Elaborado pelo autor.
Resumindo
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:
Determinar as raízes da função (se existirem);
Marcar os valores das raízes sobre o eixo x;
Calcular o vértice
a a
V b
, 4
2 da parábola e marcar no plano cartesiano;
Marcar no eixo y o valor do coeficiente c; e
Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.
5. UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Esta proposta foi preparada para alunos dos anos finais do Ensino Fundamental, mais especificamente alunos do último ano, momento em que eles têm um primeiro contato com algum conhecimento de funções. Estende-se também para alunos do primeiro ano do Ensino Médio, em que o estudo de funções é mais aprofundado.
Porém, todas as atividades desenvolvidas neste trabalho poderão ser realizadas, mesmo com pouco conhecimento sobre funções, no caso de alunos que não tiveram contato com esse conteúdo no Ensino Fundamental.
No que dizem respeito às principais ferramentas do Winplot, elas poderão ser facilmente aprendidas antes de iniciadas as atividades ou mesmo durante seu processo de realização.
5.1. Atividades utilizando o software Winplot Atividade 1
Objetivo: Desenvolver no aluno a capacidade de explorar algumas propriedades da função do 2º grau na construção de gráficos com o auxílio do Winplot.
Observe e identifique as diferenças e as semelhanças que encontrar nos gráficos das funções abaixo.
f(x) = x²
f(x) = 0,6x²
f(x) = 2x²
f(x) = - 3x²
f(x) = - 1,4x²
f(x) = - 1/5x²
De que forma a variação do parâmetro “a” afeta os gráficos da família de funções definidas por f(x) = ax²?
Figura 6 – Gráfico da Atividade 1
x y = xx y
y = 0.6xx y = 2xx y = -3xx y = -1.4xx y = -1/5xx
Fonte: Elaborado pelo autor.
Conclusão
Espera-se que o aluno consiga verificar as seguintes semelhanças e diferenças das funções quadráticas, conforme segue:
as semelhanças são que todas são parábolas tem seus vértices passando pelo ponto zero, pois os “cs” das funções são todos iguais a zero.
as diferenças são:
quando o valor de “a” é positivo a parábola tem a concavidade voltada para cima;
quando o valor de “a” é negativo a concavidade é voltada para baixo;
conforme aumenta o valor de “a” a concavidade diminui; e
conforme diminui o valor de “a” a concavidade aumenta.
Atividade 2
Objetivo: Fazer com que o aluno identifique o comportamento dos gráficos à medida que trabalhe com a função quadrática e explore algumas propriedades da função com o auxílio do Winplot.
Plote os gráficos das funções abaixo relacionadas e compare-os com o gráfico da função anterior definida por f(x) = ax².
y(x) = x²
y(x) = x² + 3
y(x) = - 3x² + 1
y(x)= - 3x² - 2
De que forma as variações dos parâmetros “a” e “c” afetam os gráficos da família de funções definida por f(x) = ax².+ c?
Figura 7 – Gráfico da Atividade 2
x y = x^2 y
y = x^2+3 y = -3x^2+1 y = -3x^2-1
Fonte: Elaborado pelo autor.
Conclusão
Espera-se que o aluno, ao fazer a comparação dos gráficos, observe que:
a função f(x) = ax² tem o valor de “c” igual a zero, pois seus vértices estão no ponto zero;
na função f(x)=ax²+c seus vértices variam de posição no eixo “y”, conforme os valores assumidos por “c”;
a variação dos parâmetros “as” afetará no gráfico a abertura da sua concavidade; e
a parábola será voltada para cima ou para baixo dependendo de “a” ser positivo ou negativo.
Atividade 3
Objetivo: Estimular a atividade matemática de investigação na construção de gráficos à medida que o aluno trabalhe com a função quadrática e explorar algumas de suas propriedades com o auxílio do Winplot.
Plote o gráfico de cada uma das funções definidas por:
f(x) = 2(x+3)²
f(x) = 2(x+3/2)²
f(x) = 2x²
f(x) = 2(x-1)²
f(x) = 2(x-2)²
f(x) = 2(x-3)²
De que forma a variação do parâmetro “k” afeta os gráficos da família das funções definidas por f(x) = 2(x+k)²?
Figura 8 – Gráfico da Atividade 3
x y
y = 2x^2 y = 2(x-1)^2 y = 2(x+3)^2
y = 2(x-2)^2 y = 2(x-3)^2 y = 2(x+3/2)^2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Conclusão: Espera-se que o aluno verifique que o parâmetro do valor “k” afeta no deslocamento da parábola, no eixo “x”, sendo para direita ou para esquerda, onde será definido seu vértice.
Atividade 4
Objetivos: Fazer que o aluno se familiarize com o software e identifique o comportamento dos gráficos com o auxílio do Winplot.
Faça a inserção de funções da família f(x) = x2+c, inserindo no lugar do parâmetro “c”, os seguintes valores:
c = - 3
c = - 2
c = - 1
c = 0
c = 1
c = 2
c = 3
Após a plotagem, faça uma observação dos mesmos e descreva o que você verificou.
Figura 9 – Gráfico da Atividade 4
x y
y = x^2+3 y = x^2+2 y = x^2+1
y = x^2 y = x^2-1 y = x^2-2 y = x^2-3
Fonte: Elaborado pelo autor.
Conclusão: Espera-se que o aluno verifique que as parábolas têm concavidades voltadas para cima devido ao valor do coeficiente “x” ser positivo, e também, que o número que foi inserido no coeficiente “c” é justamente onde a parábola irá cortar o eixo “y”.
6. CONCLUSÕES
Esta pesquisa propõe que o software Winplot, se aplicado como uma ferramenta e com a intermediação do professor, pode colaborar no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos, sendo possível estudar, simular, exercitar e verificar situações matemáticas, por meio da visualização, o que ajuda na construção dos conceitos abordados.
No tratamento dessas atividades, o professor tem a chance de investigar com os alunos conceitos matemáticos, na medida em que o aluno vai, passo a passo, construindo o conjunto de ideias e estabelecendo relações entre os conceitos apresentados. Desse modo, considerou-se que os exemplos apresentados ilustram as contribuições que as novas tecnologias podem trazer para a compreensão dos conceitos da função quadrática.
No entanto, é necessário que o professor, ao fazer uso do Winplot nas aulas de matemática, tenha a preocupação de preparar suas aulas, pois o software é uma ferramenta para ajudar no processo de ensino-aprendizagem, objetivando reforçar por meio da manipulação, visualização e construção de gráficos a aprendizagem, e, em nenhum momento, de sobrepor à função do professor de expor, explicar e mediar o conhecimento.
Sugere-se que outras funções matemáticas sejam exploradas com o uso dessa tecnologia, como, por exemplo, as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
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