pg. 02 pg. 04 pg. 06 pg. 08 pg. 10 A macaxeira é fonte de alimentação e geração de renda para milhares de famílias de ribeirinhos na Amazônia

Ponte Rio Nit erói, 13,9km e 210 mil met

ros quadrados de concreto e asfalto em equilíbrio sobre a Baía da Guanabara A macaxeira é fonte de alimentação e geração de renda

para milhares de famílias de ribeirinhos na Amazônia

•• Matemática – Funções trigonométricas

pg. 02

•• Matemática – Operações com arcos

pg. 04

•• Física – Equilíbrio de corpos

pg. 06

•• Física – Hidrostática

pg. 08

•• Português – Concordância nominal I

pg. 10

Funções trigonométricas

1. Introdução

Funções trigonométricas na circunferência trigonométrica

Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitário.

Escolhemos também um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA, e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido anti- horário, de 90° ou π/2 radianos.

Dado um número real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o comprimento do arco AP é x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x radianos. Também podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ângulo central AÔP tem (180 – x)°.

––––––––

Definimos as funções seno, cosseno e tangenteπ do número real x da seguinte maneira:

cos x: é a abscissa de P sen x: é a ordenada de P tgx = ––––––– , se cosx senxcosx ≠0

Desse modo, dado um número x real, fica determinado, na circunferência trigonométrica, o ponto: P=P(x)=(cos x, sen x).

Como conseqüência das definições de sen x, cos x e tg x, temos que:

• P(0)= A =(1,0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0, tg 0 = 0.

• P(π/2)= (0,1) e, portanto, cos π/2 = 0, sen π/2=1, enquanto tg π/2 não existe, pois cos π/2= 0.

Propriedades:

i)sen(π/2 + x)=cos x e cos(π/2 + x)=–senx;

ii)sen(π– x)=sen x e cos(π– x)=–cosx;

iii)sen(π+ x)=–sen x e cos(π+ x)=–cosx;

iv)sen(2π– x)=–sen x e cos(2π– x)=cosx;

v)sen(2π+ x)=sen x e cos(2π+ x)=cosx.

Função Seno

Consideremos a função f(x)=sen x. Cada ponto do gráfico é da forma (x, senx), pois a ordenada é sempre igual ao seno da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.

unidade de medida de comprimento O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função seno é IR e a imagem é o intervalo [-1,1].

Trata-se de uma função de período P=2π. Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y=sen x, a partir das transformações sofridas pelo gráfico dessa função.

Função co-seno

Consideremos a função f(x)=cosx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, cosx), pois a ordenada é sempre igual ao cosseno da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.

unidades de medida de comprimento.

O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função co-seno é IR e a imagem é o intervalo [-1,1].

Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=2π.

Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função co-seno mais geral,

y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo gráfico dessa função.

Consideremos a função f(x)= cos x. Cada ponto do gráfico é da forma (x, cos x), pois a ordenada é sempre igual ao cosseno da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.

unidades de medida de comprimento.

O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função co-seno é IR e a imagem é o intervalo [-1,1].

Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=2π.

Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função co-seno mais geral,

y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo gráfico dessa função.

Aplicações

(UFMG) Calcular o valor da expressão

9π 13π

sen –––– + sen –––––

4 2 Solução:

2. Equações Trigonométricas Introdução

Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma senx = sena, cosx = cosa e tgx = tga, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer.

Caro estudante,

Chegamos ao número 18 e nos aproxima- mos da marca de 2 milhões de apostilas distribuídas. Se você está incluído entre os mais de 30 mil finalistas do Ensino Médio da rede pública de ensino, não esqueça de retirar a apostila do Aprovar na sua escola, seja na capital, seja no interior. Todas as edições do primeiro e segundo módulos do projeto estão nas secretarias.

As apostilas também estão disponíveis na internet, nos endereços www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br. Acompanhar as aulas a partir da apostila é importante, pois ela serve de apoio para as aulas que são veiculadas de segunda a sábado, pela televisão (TV Cultura, Amazonsat e RBN)e pelo rádio (Rio Mar, Seis Irmãos do São Raimundo, Panorama de Itacoatiara, Difusora de Itacoatiara, Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara, Santo Antônio de Borba, Estação Rural de Tefé, Indepen- dência de Maués, Rádio Cultura).

Simuladão– A data do primeiro Simulado do Aprovar já está definida. Será no 28 de abril, em 13 escolas estaduais da capital e em todos os municípios do interior. Durante a prova, serão explorados os conteúdos das disciplinas referentes aos dois primeiros módulos: Língua Portuguesa, Literatura Brasileira, História e Geografia. A entrada é gratuita e você ainda confere o seu desem- penho logo após o teste. As respostas e comentários dos professores serão exibidos em telões instalados nos locais de prova.

Definitivamente incorporado à vida estudan- til do Amazonas, o Aprovar segue com ótimos índices no vestibular da UEA. Nos últimos três anos, aproximadamente 2 mil alunos aprovados no concurso afirmaram ter estudado pelo Aprovar.

Em 2006, por exemplo, das 3.709 vagas oferecidas, 600 foram preenchidas por alunos que estudaram pelo Aprovar, o que representa um índice de aprovação de 16%. Na primeira etapa, o índice de apro- vação foi de 19%. Dos 8.815 estudantes que informaram ter estudado pelo Aprovar, 1.729 foram classificados para a segunda etapa.

Em 2007, você pode fazer parte desta estatística. Ainda temos uma longa jornada até o vestibular. Portanto, é hora de estudar. Retire a apostila em sua escola, ou no PAC mais próximo de sua casa.

Você ainda pode consultar e imprimir números anteriores pela internet

(www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br).

Vamos em frente!

Simuladão do Aprovar no dia

28 de abril

Matemática

Professor CLÍCIO

Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, por meio do uso das relações trigonométricas usuais.

Nota: os arcos ae a + k.2ππonde ké um número inteiro, possuem as mesmas

extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja:

a + k.2ππ– a = k.2ππ

Observação: 2π=360°= uma volta completa.

Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir:

Arcos de mesmo seno

Já sabemos que sen(π– a) = sena.

Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma:

x = (π– a) + k.2πou x = a + k.2π. x = π+ 2k.π– a ou x = a + k.2π x = (2k + 1)π– a ou x = 2kπ+ a

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo senx = sena, será x = (2k + 1)π– a ou x = 2kπ + a.

Exemplo:

Seja a equação elementar sen x = 0,5.

Como 0,5 = sen 30° = senπ/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: senx = sen π/6, de onde conclui-se:

x = (2k + 1).π– π/6 ou x = 2kπ+π/6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.

Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima, x = – π/6 ou x = π/6; fazendo k = 1, obteremos x = 17π/6 ou x = 13π/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em IR.

Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral:

S = {x|x

∈

R; x =(2k + 1)π– π/6 ou x = 2kπ+ π/6, k

∈

^Z}

Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:

S = { ..., –π/6, π/6, 17π/6, 13π/6, ... } Arcos de mesmo co-seno

Já sabemos que cos (-a) = cos a.

Poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:

x = (–a) + 2kπou x = a + 2kπ, sendo k um número inteiro.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo cosx = cosa, será dada por:

x = 2kπ+ a ou x = 2kπ– a, sendo k um inteiro.

Aplicações

(UEA) Resolva a equação trigonométrica cos 3x = –1, no intervalo 0< x < 2π. Solução:

cos a = –1, então a = π. Porém a = 3x. Então 3x = π Logo x = π/3

3. Inequações Trigonométricas

Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x >1/2 e sen²x+tgx ≤2 são inequações trigonométricas.

2) ( sen 30°) . (x²– 1) > 0

Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo selementos do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).

O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é uma solução da inequação.

Assim, na inequação sen x >–1/2, os números 0, π/4, π/2 são algumas de suas soluções e os números 5π/4 e 3π/2 não o são.

Resolução de inequação trigonométrica Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais.

Vamos conhecê-las, a seguir, por meio de exemplos.

1.° caso : senx < sena (senx ≤sena)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação senx < senπ/6 ou senx < 1/2 encontramos, inicialmente, 0 ≤x ≤ π/6 ou 5π/6 <x ≤2π, que é uma solução particular no intervalo [0;2].

Acrescentando 2k(k

∈

Z) às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

2kπ ≤x < π/6 + 2kπ(k

∈

^{Z) ou}

5π/6 + 2kπ< x ≤ 2π+ 2kπ(k

∈

^Z)

O conjunto solução é, portanto:

S={x

∈

^IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ ou 5π/6 + 2kπ< x ≤2π+2kπ (k

∈

^Z)}

Por outro lado, se a inequação fosse senx ≤sen π/6 ou senx ≤1/2, então, bastaria incluir as extremidades de π/6 e 5π/6 e o conjunto solução seria:

S={x

∈

^IR/2kπ ≤x<π/6 + 2kπ≤x ≤2π+2kπ (k

∈

^Z)}

Aplicações

(UFAM) Resolva a inequação trigonométrica sen x > 1/2, para 0 < x < 2π.

sen x > 1/2 ⇒ π/6 < x< 5π/6 Observe o gráfico abaixo:

S={x

∈

^IR/ π/6 < x< 5π/6}

01.Calcule o valor de sen 7π/2:

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

02.Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen4x e g(x)= x/100, para x no intervalo [0, 2π[. Determine o número de pontos comuns aos dois gráficos.

a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 8

03.Calcule o valor da expressão:

sen 330° + sen(–450°) –––––––––––––––––––––– .

tg120°.cotg(–210°) a) –1/2 b) 1/2 c) 1/3 d) –1/3 e) 1

04.Sendo x um ângulo do primeiro quadrante e tgx = 3, calcule senx.

a) b) c)

d) e) 05.Dado cos x = –1/2, com π/2 < x < π,

determine secx.

a) 2 b) 1 c) 3 d) –2 e) –1

06.Sendo senx = 1/3, com 0 _≤x _≤π/2, calcule:

senx . cosx – tgx y = ––––––––––––––– .

1 – cosecx

a) b) c)

d) e)

07.Calcule m, de modo que se tenha, simultaneamente,

senx = e cos x = .

a) m = 0 b) m = 1 c) m = 2 d) m = –1 e) m = 3

08.Sabendo que 2tg²x + ––––––– = 11 cotgx e que x

∈

]π/2, π[, calcule o valor de A, sendo A = sen x + cos x.

a) 3 b) 6 c) 1 d) 2 e) 0

09.Sendo cosx = 1/m e senx= , determine m.

a) { 1, 2 } b) { –1, 3 } c) { –2, 3 } d) { –1, 2 } e) { 2, 3 }

Desafio

Matemático

Operações com arcos 1. Adição e Subtração de arcos Cosseno da diferença de arcos

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b.

Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a – b.

Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:

AB²= OB²+ OA²– 2. OB . OA . cos(a – b).

(Equação 1)

Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).

AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb).

Já vimos nesta página, a fórmula da distancia entre dois pontos; se você não se lembra, revise os textos sobre geometria analítica. Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem:

(cosa – cosb)²+ (sena – senb)²= 1²+ 1²– 2.1.1.cos(a – b)

Desenvolvendo, vem:

cos²a – 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a – 2.sena.senb + sen²b=

= 2 – 2cos(a – b)

Lembrando que cos²a + sen²a = cos²b + sen²b

= 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:

1+1 – 2cosa.cosb – 2sena.senb=2 – 2cos(a–b) Simplificando, fica:

-2[cosa.cosb + sena.senb] = –2.cos(a – b) Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb Exemplo:

cos(x – 90°) = cosx . cos90° + senx . sen90°

Ora, como já sabemos que cos90° = 0 e sen90° = 1, substituindo, vem finalmente:

cos(x – 90°) = senx.

Se fizermos a = 0° na fórmula do cosseno da diferença, teremos:

cos(0 – b) = cos0 . cosb + sen0 . senb E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(– b) = cosb Portanto:

cos(–60°)=cos60°=1/2, cos(–90°)=cos90°=0,

cos (–180°) = cos 180° = –1, etc.

Se considerarmos a função y = cosx, como cos(–x ) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções.

Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão:

y = cos(x – 90°) – cos(x - 270°).

Resposta: 2senx

Vimos a dedução da fórmula do co-seno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos(a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso.

Sejam a e b dois arcos trigonométricos, temos que:

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

tga + tgb tg (a + b) = –––––––––––

1 – tga.tgb tga – tgb tg (a – b) = –––––––––––

1 + tga.tgb

Aplicações

01.(UEA) Calcular o valor de sen 15°.

a) b) c)

d) Solução:

sen 15° = sen (30° + 45°)

= sen 30°.cos 45° + sen 45°.cos30° =

=

02.(USP) Sendo tgA = 2 e tgB = 1, calcular tg(A – B).

a) 1/3 b) 2 c) –1/3 d) –2 Solução:

tgA – tgB 2 – 1 1 tg(A – B) = ––––––––––– + –––––––– = –––

1 + tgA.tgB 1 + 2.1 3 2. Arco duplo

Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:

sen 2a = 2 . sen a . cos a

Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a

cos(a + b) = cosa . cosb – sena .senb e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:

cos 2a = cos²a – sen²a

Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

2.tgA tg2a = ––––––––

1 – tg²a

A fórmula acima somente é válida para tga ≠1 e tga ≠–1, já que nestes casos o denominador seria nulo!

Exemplos:

sen4x = 2.sen2x.cos2x senx = 2.sen(x/2).cos(x/2) cosx = cos²(x/2) – sen²(x/2) cos4x = cos²2x – sen²2x, ... , etc.

3. Arco Metade

Vamos agora achar as funções trigonométricas

Desafio Matemático

01.Sabendo que sen x = 1/2, com 0 < x < π/2, calcule sen(π/3 – x).

a) 1/3 b) –1/2 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/5 02.Calcule:

L=sen(π/2+x)sen(π +x)+cos(π/2+x) cos(_π– x).

a) L = 2 b) L = 1 c) L= 3 d) L = 0 e) L= -2

03.Se tg (x+y) = 33 e tgx = 3, calcule tg y.

a) 4/10 b) 3/10 c) 7/10 d) 3 e) 3/2

04.Sabendo que tgα=1/3 e tgβ=–1/7, calcule tg(_α– _β):

a) 1/4 b) 7/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 2/11

05.Calcule sen 2x, sabendo que tgx + cotgx = 3.

a) 1/3 b) 2/6 c) 3/2 d) 1/5 e) 2/3

06.Se sen x – cos x = 1/5, calcule sen 2x.

a) 12/15 b) 32/33 c) 24/25 d) 23/27 e) 17/25

07.Calcule sen15°+cos15°.

a) b) c)

d) e)

08.Sendo tgA = 2 e tgB = 1, ache tg(A – B).

a) 2/3 b) 2/5 c) 1/3 d) 2/5 e) 1/6

Matemática

Professor CLÍCIO

da metade de um arco, partindo das anteriores.

Co-seno do arco metade

Ora, sabemos que cos2a = cos²a – sen²a Substituindo sen²a, por 1 – cos²a, já que sen²a + cos²a = 1, vem:

cos²a = 2.cos²a – 1. Daí, vem:

cos²a = (1+cos2a) / 2

Fazendo a = x/2, vem, cos²(x/2) = [1+cosx]/2.

Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Seno do arco metade Podemos escrever:

cos2a = (1 – sen²a) – sen²a = 1 – 2sen²a Daí vem: sen2a = (1 – cos²a)/2

Fazendo a = x/2 , vem: sen²(x/2) = (1 – cosx)/2.

Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Tangente do arco metade

Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que

tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Aplicações

01.(UFPA) Sabendo que sena =1/2 e cosa

= , calcular o valor de cos2a.

a) 1 b) 1/2 c) –1 d) –1/2 Solução:

Sabemos que cos2a = cos²a – sen²a =

02.(PUC) Se tgx + cotgx = 3, calcule sen2x.

a) 2 b) 3/2 c) 2/3 d) –2 Solução:

tgx + cotgx = 3

03.(UFAM) Se senx + cosx = 2, então o valor de se2x é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução:

senx + cosx = 2 (senx + cosx)²= 2²

sen²x + 2senx.cosx + cos²x = 4 sen²x + cos²x + 2senx.cosx = 4 1 + sen2x = 4

sen2x = 3

4. Transformação de somas em produto Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.

As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:

sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

sen (a – b) = sena . cosb – senb . cosa Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:

sen(a + b)+ sen(a – b) = 2.sena . cosb.

Fazendo:

a + b = p a – b = q

teremos, somando membro a membro:

2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q)/2 Agora, subtraindo membro a membro, fica:

2b = p – q, de onde tiramos b = (p – q)/2 Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

p + q p – q senp + senq = 2.sen –––––– . cos ––––––

2 2 Exemplo: sen50° + sen40° = 2.sen45°.cos5°

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

p – q p + q senp – senq = 2.sen –––––– . cos ––––––

2 2 p + q p – q cosp + cosq = 2.cos –––––– . cos ––––––

2 2 p + q p – q cosp – cosq = –2.sen –––––– . sen ––––––

2 2 Exemplos:

cos 30° + cos 10° = 2.cos20°.cos10°

cos 60° – cos 40° = –2.sen50°.sen10°

sen 70° – sen 30° = 2.sen20°.cos50°.

Aplicações

01.(UTAM)Determine o valor da expressão y =cos70° + cos20°.

a) .cos25° b) cos25° c) .sen25°

d) .cos25°

Solução:

70°+20° 70°–20°

y =cos70° + cos20° = 2cos –––––– . –––––– = 2 2

= 2cos45°.cos25°=

02.(UEA) Transforme em produto a expressão y = sen(135°+ x) + sen(135°– x)

a) .cosx b) cosx c) .senx d) senx

Solução:

135°+x+135°– x 135°+x –135°+x y=2sen(–––––––––––––––)cos(––––––––––––––––)

2 2 y= 2sen135° .cosx

y= 2 .cosx= .cosx

03.(UFAM) Simplificando- se a expressão y = cos80° + cos40° – cos20°, obtém- se:

a) 2 b) 1 c) –1 d) 0 Solução:

y = cos80° + cos40° – cos20°

80°+40° 80°– 40 y= 2cos ––––––– . cos ––––––– =

2 2

= 2cos 60°.cos20° – 20°

= 2. 1/2 cos20° – cos20°= 0

04.(UTAM) Determine o conjunto solução da equação sen2x + senx = 0, no intervalo de [0,2π].

Solução:

sen2x + senx = 0 2x+x 2x–x 2sen –––––– .cos ––––– =0

2 2 3x x 2sen –––– . cos ––– = 0

2 2

3x 3x 2kπ sen ––– =0 ⇒––– =kπ ⇒x= –––– ou

2 2 3 x x π

cos––– =0 2 2 2 ⇒–––= –––+kπ ⇒x= π+2kπ, ∀k

∈

^Z

Desafio Matemático

01. Calcule o valor de M, sabendo que M =(senx – cosy)²+(seny – cosx )²e x + y = π/6.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. Determine um valor de n

∈

IN*, tal que π/n seja solução da equação:

8cos⁴θ– 8cos²θ+1=0.

a) n = 2 b) n = 4 c) n = 16 d) n = 8 e) n = 1

03. Resolva a equação tg x – 2 senx=0; 0

≤x ≤π/2.

a) {0, π/3}

b) {1, π/6}

c) {0, π/4}

d) {2, π/2}

e) {1, π/8}

04. Se x é um número real, tal que sen²x – 3 senx = –2, para 0 _≤x _≤π, então x é igual a:

a) π/2 ^{b) 3}π/2 ^{c) 3}π/4 d) π/4 e) π

05. Determine o menor valor de x tal que 0° ≤x ≤ 360°e cosx – senx= . a) x = 45° b) x = 90° c) x = 30°

d) x = 60° e) x = 180°

06. Sabendo-se que cos x = 2cos². x/2 – 1 e cos²x + sen²x = 1, para quais valores de x no intervalo [0, 2π]é válida a igualdade 2senx.cos².x/2+ cos²x – senx.cosx+1=0?

a) S={2π/4}

b) S={3π/2}

c) S={4π/2}

d) S={3π/4}

e) S={4π/3}

07. Resolva a equação 2cos³x – cosx = 0, sendo 0 _≤x _≤π.

a) S={π/4, π/2, ³π/4}

b) S={2π/4, π/2, π/4}

c) S={π/4, 2π/2, 3π/4}

d) S={π/2, 3π/2, ³π/4}

e) S={2π/4, π/2, ³π/4}

08. Considere a função f real, de variável real, f(x)=2cos(2π– x)+1. Calcule:

f(3π) + f(π/3) – f(5π/2).

a) 3 b) 5 c) 1 d) 4 e) 0

Equilíbrio de corpos

Edifícios, pontes, automóveis e embarcações são exemplos de estruturas equilibradas.

No entanto tais estruturas não permanecem equilibradas para sempre. Elas podem estar sujeitas a esforços dinâmicos de grande intensidade: terremotos, estradas esburacadas (no caso dos automóveis), mar agitado (no caso das embarcações).

EQUILÍBRIOS ESTÁTICO E DINÂMICO Conforme já estudamos na Apostila 16, um ponto material está em equilíbrio se a soma das forças que agem nele é nula. Um carro parado em uma estrada está em equilíbrio estático.

Um carro em movimento, com velocidade vetorial constante em pista horizontal, está em equilíbrio dinâmico. Em ambos os casos, as forças estão equilibradas, ou seja, a força resultante é nula.

Σ^→F = ^→0⇒^→R = ^→0

1. Método da linha poligonal

Se um ponto material encontra-se em equilíbrio, a linha poligonal das forças que agem sobre ele é fechada (figura 1).

Caso especial – No caso específico de equilíbrio de um ponto material sob a ação de três forças, a linha poligonal determina um triângulo (figura 2).

Como as três forças representam os lados de um triângulo, as relações entre as suas intensidades obedecem às propriedades dos triângulos. Aplicando a Lei dos Senos, temos:

F₁ F₂ F₃

––––– = ––––– = –––––

senα senβ senγ

Como αα+ A = 180°, temos sen αα = sen A; ββ+ B = 180°, temos sen ββ= sen B; γγ+ C = 180°, temos sen γγ= sen C, a expressão anterior pode ser escrita assim:

F₁ F₂ F₃

––––– = ––––– = –––––

senA senB senC

2. Método dos componentes vetoriais Consideremos um ponto material em equilíbrio sob a ação de três forças (figura 4).

Devemos, inicialmente, obter as componentes vetoriais de cada força nos eixos retangulares x e y(figura 5):

F_1x= F₁.cos αα F_2x= F₂.cos ββ F_3x= 0 F_1y= F₁.sen αα F_2y= F₂.sen ββ F_3y= F₃ Se o ponto material está em equilíbrio, obrigatoriamente há equilíbrio tanto na direção horizontal quanto na vertical:

Σ^→F = ^→0→ F₁.cos αα – F₂.cos ββ= 0 Σ^→F = ^→0→F₁.sen αα + F₂.sen ββ – F₃= 0 Importante:

1.O método dos componentes vetoriais vale para qualquer número de forças.

2.O componente vertical de uma força horizontal é nulo.

3.O componente horizontal de uma força vertical é nulo.

Aplicação

As cordas A, B e C da figura têm massa desprezível e são inextensíveis. As cordas A e B estão presas ao teto e unem-se à corda C no ponto P. Um objeto de massa igual a 10kg está preso na extremidade da corda C.

Considerando o sistema em equilíbrio:

a) Quais são as forças, em módulo, direção e sentido, que agem no objeto?

b) Determine as trações nos fios A e B.

Dados: g=10m/s²; sen60° = cos30°= /2;

sen 30°=cos60°= 1/2

Solução:

a) Forças atuantes no objeto:

→R = ^→0→T_C= P = m . g T_C= P = 10 . 10 = 100N b) Diagrama de forças:

Física

Professor CARLOS Jennings

01.(Enem) Um portão está fixo em um muro por duas dobradiças, A e B, conforme a figura, sendo P o peso do portão. Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais:

a) é mais provável que a dobradiça A arrebente antes de B;

b) é mais provável que a dobradiça B arrebente antes de A;

c) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente;

d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço;

e) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.

Arapuca

Duas crianças de massas 30kg e 45kg usam uma tábua de 2,5m de compri- mento como gangorra. Desprezando a massa da tábua, determine a que distância da criança de 30kg deve ser colocado o apoio para que elas fiquem em equilíbrio na horizontal, quando sentadas nas extremidades.

a) 2m b) 1,4 c) 1m d) 1,5m e) 3 Solução:

Diagrama de forças:

Peso de cada criança:

P = mg

P1 = 30 . 10 = 300N P2 = 45 . 10 = 450N Condição de equilíbrio:

|M1|=|M2|

P1 . d = P2 . (2,5 – d) 300 . d = 450 . (2,5 – d) 2d = 3 . 2,5 – 3d 5d = 7,5 →d = 1,5m

Desafio

Físico

T_B 1 sen30° = –––– = ––– →T

B= 50N 100 2

T_A

sen60° = –––– = ––– →T_B= 50 N 100 2

TIPOS DE EQUILÍBRIO

Equilíbrio estável – Qualquer pequeno deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo corpo resulta em tendência de retorno à posição de equilíbrio inicial.

Equilíbrio instável – Qualquer pequeno deslocamento (angular ou linear) sofrido pelo corpo resulta em tendência de continuar afastando-se da posição inicial.

Equilíbrio indiferente – Qualquer pequeno deslocamento da posição de equilíbrio resulta em uma nova situação de equilíbrio.

EQUILÍBRIO DE CORPOS

Corpos simplesmente apoiados – Nessa situação, um corpo está sob a ação de apenas duas forças: a força peso, devido à sua interação com a Terra, e a força de reação do apoio, devido à sua interação com a superfície sobre a qual está apoiado. Para que ocorra o equilíbrio, essas duas forças devem ser colineares e opostas. Como o apoio aplica uma força na base do corpo, a reta vertical que passa pelo centro de massa do corpo também deve passar pela base de apoio para que o corpo não tombe.

MOMENTO DE UMA FORÇA

Seja uma força de intensidade F, aplicada no ponto Ade uma barra que pode girar livremente em torno do ponto O, chamado de pólo (figura 8):

O momento de ^→F em relação a O, ou a tendência de rotação que a força ^→F produz na barra em relação ao ponto O, é dado por:

M = F.d

Fé a intensidade da força, e dé a distância da linha de ação da força ao eixo de rotação. A distância drecebe o nome de braço da força.

Atenção: no caso em que a força não é perpendicular ao segmento de reta que une o ponto de aplicação da força ao pólo:

No triângulo ABC, obtemos:

sen αα= d / a →d = a . sen αα E o momento da força é dado por:

M = F . d →M = Fa . sen αα Importante:

1.O momento de uma força em relação a um ponto é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção e sentido. Mas como utilizare- mos somente forças coplanares, basta adotar uma convenção de sinais para os sentidos dos momentos.

2.O momento resultante de um sistema de forças coplanares, em relação a um ponto, é obtido pela soma algébrica dos momentos de cada uma das forças em relação ao ponto:

M_R= Σ M

3.O momento de uma força recebe também o nome de torque da força.

EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Quando um corpo rígido, sujeito à ação simultânea de vária s forças coplanares, encontra-se em equilíbrio, temos:

Σ^→F = ^→0→Equilíbrio de translação (centro de massa em repouso ou em MRU).

Σ^→M = ^→0→Equilíbrio de rotação (em relação a qualquer ponto do corpo).

Aplicação

Uma barra AB, homogênea, de 2m de comprimento e peso 100N, está em equilíbrio.

Sendo 200N o peso do bloco C, determine a tração no fio DEe a força na barra no ponto A.

Solução:

Diagrama de forças:

Σ^→F = ^→0→ F_A+ T_DE– P_B– T_BC= 0 ( I ) Fixando o ponto A como pólo:

Σ M_{A= 0} →– T_BC. D_AB– P_B. d_AF+ T_DE. d_AD= 0 ( II ) Como T_BC= P_C= 200N, e substituindo os valores em (II):

– 200 . 2 – 100 . 1 + T_DE. 1,7 = 0 →T_DE= 294N Substituindo os valores em (I):

F_A+ 294 – 100 – 200 = 0 →F_A= 6N

01. Duas forças de módulo F e 2F, que formam entre si um ângulo de 60°, agem sobre uma partícula. Para anular a ação dessas forças é necessário aplicar, convenientemente, sobre a partícula uma força de módulo igual a:

a) F b) F

c) F d) 3F e) 3,5F 02. (UERJ) Para abrir uma porta, você

aplica sobre a maçaneta, colocada a uma distância d da dobradiça, conforme a figura, uma força de módulo Fperpendicular à porta. Para obter o mesmo efeito, o módulo da força que você deve aplicar em uma maçaneta colocada a uma distância d/2 da dobradiça, dessa mesma porta, é:

a) F/2 b) F c) 2F d) 4F

03. (Unicamp–SP) Uma escada homogênea de 40kg apóia-se sobre uma parede, no ponto P, e sobre o chão, no ponto C. Adote g = 10m/s². a) Desenhe o diagrama com as forças

peso, normal e de atrito em seus pontos de aplicação.

b) É possível manter a escada estacio- nária não havendo atrito em P?

04. A figura mostra uma barra homogênea de comprimento le peso 12N, apoiada em um ponto situado a uma distância l /4 de uma das extremidades, e equili- brada por uma força F. Determine a intensidade dessa força.

Desafio

Físico

Hidrostática

De maneira simples, pode-se dizer que um fluido adquire o formato do recipiente que o contém.

São considerados fluidos os líquidose os gases.

Nesta aula, estudaremos as propriedades dos líquidos em equilíbrio estático, embora tais propriedades possam ser estendidas aos fluidos em geral.

Massa específica de uma substância – É a razão entre a massa de uma quantidade da substância e o correspondente volume ocupado por essa substância:

µµ= –––m v

Uma unidade muito usada para massa específica é g/cm³. No S.I., utiliza-se kg/m³. A relação entre essas duas unidades é:

g 10^–6kg kg 1 = –––– = ––––––– = 103 –––

cm³ 10^–6m³ m³

Densidade de um corpo – É a razão entre a massa do corpo (porção limitada de matéria) e o correspondente volume que ele ocupa:

d = ––––m v

Pressão – Conceito que relaciona a força aplicada sobre uma superfície com a área dessa superfície. Assim, a pressão de uma força sobre uma superfície é a razão entre a componente normal da força e a área da superfície na qual ela atua:

p = ––––F A

No S.I., a unidade de pressão é N/m², também conhecida como pascal (Pa).

Pressão atmosférica – A atmosfera, composta de vários gases, exerce pressão sobre a superfície da Terra. Ao nível do mar, tem-se:

patm = 1,01 .10⁵N/m²= 1,01 .10⁵Pa.

Pressão hidrostática (ou efetiva) – É a pressão exercida pelo peso de uma coluna fluida em equilíbrio. Considere um cilindro com um líquido até a altura he um ponto B marcado no fundo de área A. O líquido exerce uma pressão no ponto B, dada por:

p = ––––,como P = mg, temos:P A

mg m

p = ––––,como d= –––– ∴m =dV, temos:

A V

P= –––––, como V=AhdVg (volume do cilindro), temos:

A

p = –––––– p = dhgdAhg A

Importante!

A pressão hidrostáticaou efetivadepende da densidade do fluido (d), da altura do fluido acima do ponto considerado (h) e do lugar da experiência (g),independendo do formato e do tamanho do recipiente.

Pressão absoluta (ou total) – No fundo do reci- piente, a pressão total leva em conta a pressão atmosférica:

p_abs= p_atm+ p_ef∴p_abs= p_atm+dgh

Aplicações

01.(FAAP–SP) Calcular, em N/m², a pressão que exerce uma determinada quantidade de petróleo sobre o fundo de um poço, se a altura do petróleo no poço for igual a 10m e a sua densidade 800kg/m³. Dado: g = 10m/s². Solução:

d = 800kg/m³; h = 10m; g = 10m/s². A pressão pedida é hidrostática (ou efetiva):

p = d . h . g p = 800 . 10 . 10 p = 80.000N/m²

02.No interior do Amazonas, é comum a prática da pesca do bodó com as mãos. Se um pescador mergulhar a 10m de profundidade, em relação à superfície de um lago, para capturar alguns desses peixes, qual será a pressão a que ele estará submetido?

Dados: patm = 10⁵N/m²(pressão atmosférica local); dágua = 10³kg/m³.

Solução:

Deseja-se calcular a pressão total (ou absoluta) sobre o mergulhador:

p_abs= p_atm+ p_ef∴p_abs= p_atm+dgh p_abs= 10⁵+ 10³. 10 . 10

p_abs= 2,0 .10⁵Pa LEI DE STEVIN

As pressões em A e B são:

p_A= po + dghA p_B= po + dghB

Então, a diferença de pressão (∆p) entre A e B é:

p_A– p_B= dg (h_A– h_B) ou ∆p = dg∆h

Conclusão: dois pontos na mesma horizontal dentro de um fluido em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão.

Aplicação

No tubo em U da figura, tem-se água e óleo em equilíbrio. Sendo hA= 10cm a altura da água, determine a altura hB do óleo, sendo dados: dA

= 1,0g/cm³(densidade da água); dB = 0,8g/cm³ (densidade do óleo).

Solução:

Na horizontal que passa pela superfície de separação dos líquidos, a pressão hidrostática é a mesma:

• Os navios modernos são metálicos, basicamente construídos de aço. Por ser um material de elevada densidade, o aço afunda rapidamente na água, quando tomado em porções maciças. No entanto os navios flutuam na água porque, sendo dotados de descontinuidades internas (partes ocas), apresentam densidade menor que a da água.

• Em algumas praias é tradicional o passeio de buggy. Esses veículos são geralmente equipados com pneus que apresentam banda de rodagem de largura maior que o normal (pneus tala- larga). Devido à maior área de contato com o solo, a pressão exercida pelos pneus sobre a areia torna-se menor, dificultando o atolamento.

• Na experiência ilustrada na figura abaixo, quando o corpo (sem porosidades) é introduzido na jarra preenchida com água até o nível do seu bico, certo volume do líquido extravasa, sendo recolhido no pequeno recipiente lateral.

O volume de água extravasado é exatamente igual ao volume do corpo, e a intensidade do empuxo recebido por ele é igual à do peso do líquido deslocado (Teorema de Arquimedes).

Física

Professor CARLOS Jennings

Anota

Aí!

p₁= p2 ∴d_B. h_B. g = d_A. h_B. g d_B. h_B = d_A. h_A

0,8 . h_B = 1,0 . 10 ∴h_B = 12,5cm EMPUXO

Quando um corpo é colocado totalmente imerso em um líquido, duas forças agem sobre ele: a força peso, devido à sua interação com a Terra, e a força de empuxo, devido à sua interação com o líquido.

• Se ele permanece parado no ponto em que foi colocado, a intensidade do empuxo é igual à intensidade da força peso (E = P).

• Se ele afunda, a intensidade do empuxo é menor do que a intensidade da força peso (E < P).

• Se ele é levado para a superfície, a intensida- de do empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E > P) durante a subida.

Aplicação

Um mergulhador e seu equipamento têm massa total de 80kg. Qual deve ser o volume total do mergulhador para que o conjunto permaneça em equilíbrio imerso na água?

Solução:

Dados: g = 10m/s²; dágua = 10³kg/m³; m = 80kg.

Como o conjunto deve estar imerso na água, o volume de líquido deslocado (V_ld) é igual ao volume do conjunto (V). Condição de equilíbrio:

E = P

d . V_ld.g = m . g 10³. V . 10 = 80 . 10 V = 8 . 10²m³

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, sofre, por parte deste, a ação de uma força vertical, para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

m_f=

µµ

f. V_f E = P_f= m_f. g E =

µµ

f . Vf. g

CORPOS IMERSOS

Para corpos totalmente imersos em um fluido, o volume de fluido deslocado pelo corpo é igual ao próprio volume do corpo.

Assim, o peso do corpo e o empuxo sofrido por ele são dados por:

P_c= m_c. g = d_c. V_c. g E = m_f. g = m_f. V_f. g

Lembrando que V_c= V_fe comparando as duas expressões, observa-se que:

• Se d >

µµ

f, o peso é maior do que o empuxo e o corpo fica sujeito a uma força resultante para baixo (R = P – E).

• Se d <

µµ

f, o peso é menor do que o empuxo e o corpo fica sujeito a uma força resultante para cima (R = E – P).

• Se d=

µµ

f, o peso é igual ao empuxo e o corpo encontra-se em equilíbrio (R = 0).

PESO REAL E PESO APARENTE Suponha que um bloco cúbico, maciço, de alumínio, imerso no ar, seja pendurado em um dinamômetro (medidor de forças) que indica um valor Ppara o peso do bloco. Em seguida, o bloco é imerso em água, e uma nova leitura é feita. Seja Paa indicação do dinamômetro para o peso do bloco na nova situação.

O valor P é o peso real. O valor P_aé o peso aparente. Assim:

P > P_a

A diferença entre o peso real e o peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:

E = P_real– P_aparente E = P – P_a

Importante: quando um corpo flutua em um líquido, o seu peso aparente é nulo:

P_a= P – E E = P →P_a= 0 PRINCÍPIO DE PASCAL

O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido.

Dois recipientes ligados pela base são preenchidos por um líquido (geralmente óleo) em equilíbrio. Sobre a superfície livre do líquido são colocados êmbolos de áreas S₁e S₂. Ao aplicar uma força F₁ao êmbolo de área menor, o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F₂, em razão da transmissão do acréscimo de pressão ∆p. Segundo o Princípio de Pascal:

F₁ F₂

∆p₁= ∆p₂∴––– = –––

S₁ S₂

Importante: o Princípio de Pascal é largamente utilizado na construção de dispositivos ampliadores de força – macaco hidráulico, prensa hidráulica, direção hidráulica, etc.

Arapuca

Numa prensa hidráulica, as áreas dos êmbolos são S_A=100cm²e S_B=20cm². Sobre o êmbolo menor, aplica-se uma força de intensidade de 30N que o desloca 15cm. Determine:

a) a intensidade da força que atua sobre o êmbolo maior;

b) o deslocamento sofrido pelo êmbolo maior.

Solução:

a) Pelo Princípio de Pascal:

F_A F_B F_A 30

––– = ––– ∴––––= –––– ∴F_A= 150N S₁ S₂ 100 20

b) O volume de líquido transferido do êmbolo menor para o maior é o mesmo:

∆V = S_A. h_A= S_B. h_B 100 . h_A= 20 . 15 ∴h_A= 3cm

01. (UFRGS) Um corpo cuja massa é 1kg flutua inteiramente submerso na água (massa específica 1g/cm³). Qual o módulo da força resultante com que o corpo afundaria no álcool (massa específica 0,8g/cm³)?

Considere g=10m/s²e despreze o atrito do corpo com o álcool.

a) 1N b) 2N c) 4N d) 8N e) 10N

02. (UFRGS) Um morador da ilha de Fernando de Noronha costuma mergulhar no mar, sem equipamento, até profundidades de 25m. Sendo poa pressão atmosférica ao nível do mar, a 25m de profundidade ele submete seu corpo a uma pressão de

aproximadamente

a) 26p_o b) 6p_o c) 3,5p_o d) 2,5p_o e) 2,0p_o

03. (UFRGS) Considere as afirmações seguintes:

I. A força de empuxo sobre um copo de vidro totalmente submerso na água (e cheio de água) é igual à soma das forças de empuxo que sofreriam os cacos desse copo, se ele se quebrasse dentro da água.

II. A força de empuxo que sofre uma canoa de alumínio que flutua sobre a água é maior do que a força de empuxo que sofreria a canoa total- mente submersa na água (e cheia de água).

III. A força de empuxo sobre uma pedra irregular totalmente submersa na água, mas suspensa por um cordão, é maior do que a força de empuxo sobre a mesma quando, livre do cordão, está depositada no fundo do recipiente.

Quais estão corretas?

a)Apenas I b) Apenas II c)Apenas I e II d) Apenas I e III e)Apenas II e III

04. (UFRGS) Duas esferas maciças, X e Y, de mesmo volume, flutuam em equilíbrio na água. Se X tem o dobro da massa de Y, a) X está menos submerso do que Y b) X e Y possuem pesos iguais.

c) X e Y possuem massas específicas iguais.

d) X e Y sofrem forças de empuxo iguais.

e) X desloca mais água do que Y.

Desafio

Físico

Concordância Nominal I

1. ANEXO, INCLUSO, JUNTO

a)Anexo, inclusoe juntosão adjetivos; por isso, concordam em gênero e número com o substantivo a que se referem.

b) A expressão em anexo, apesar de muito empregada na redação comercial e/ou oficial, não é aceita pela norma culta da língua.

c)Juntoé invariável quando faz parte das locuções prepositivas junto com, junto a, junto de.

Veja construções certase erradas:

1. Anexaà presente carta vai a relação das mercadorias. (certo)

2. Vão anexosos pareceres da comissão técnica. (certo)

3. Segue anexa, para sua apreciação, a cópia do contrato. (certo)

4. Seguem inclusosos nomes dos alunos faltosos. (certo)

5. Inclusoao processo vai a fotografia do réu. (errado)

6. Em anexo, vão as cartas do cliente.

(errado)

7. Anexas, vão as cartas do cliente. (certo) 8. As certidões negativas seguem junto

coma documentação oficial. (certo) 9. Quero que todos fiquem bem juntos de

mim. (errado) 2. MESMO

a) Mesmo, no papel de palavra expletiva (=

próprio), concorda com o substantivo.

b) Mesmo= realmente, de fato, de verdade, passa a ser advérbio, portanto invariável.

Veja construções certase erradas:

1. Eles mesmosfarão a apreensão dos pro- dutos contrabandeados. (certo) 2. Vocês mesmospodem resolver esses pro-

blemas, meninas. (errado)

3. Eles estavam namorando mesmo? (certo) 4. Estas histórias são verídicas: aconteceram

mesmo! (certo)

5. Os dois acusados são mesmocriminosos.

(certo)

3. TODO O, TODA A

a)Todo, toda(sem artigo depois) significam qualquer; têm valor de pronome indefi- nido.

b)Todo, toda– seguidos de artigo – (todo o, toda a) significam inteiro, completo;

têm valor de adjetivo.

Veja construções certase erradas:

1. Toda família, até os empregados, viajaram para o interior. (errado)

2. Toda a família, até os empregados, viaja- ram para o interior. (certo)

3. Todacriança tem direito à escola. (certo) 4. Toda acriança tem direito à escola.

(errado)

5. Quando adolescente, eu lia todolivro que me dessem. (certo)

6. Todo ocolégio vai participar dos jogos es- taduais. (certo)

7. Todocolégio vai participar dos jogos es- taduais. (certo)

4. TODO + NUMERAL

a)Numeral+ substantivo– Usa-se o artigo obrigatoriamente.

b)Numeral sem substantivo– Não se usa o artigo.

Veja construções certase erradas:

1. Todos os trêsalunos estavam envolvidos com drogas. (certo)

2. Todos trêsalunos estavam envolvidos com drogas. (errado)

3. Todos os cincodeputados presentes vo- taram contra o projeto. (certo)

4. Todos cincodeputados presentes vota- ram contra o projeto. (errado) 5. Por serem réus primários, todos quatro

receberam penas leves. (certo) 5. TODO O MUNDO, TODO MUNDO

a) No sentido de todas as pessoas, toda a gente, deve-se preferir a expressão “todo o mundo”, mas não se pode condenar o emprego de “todo mundo”.

b) Quando “mundo” equivale a “Terra”, o uso do artigo é obrigatório.

Veja construções certase erradas:

1. Hoje em dia, todo mundogosta de nove- las. (certo)

2. Hoje em dia, todo o mundogosta de no- velas. (certo)

3. Ela fala mal de todo mundo. (certo) 4. Ela fala mal de todo o mundo. (certo) 5. A poluição da água é o grande problema

de todo mundo. (errado)

6. A poluição da água é o grande problema de todo o mundo. (certo)

6. SÓ

a)Só = adjetivo– Equivale a sozinho, soli- tário, único, ermo, deserto; é variárvel:

concorda com o substantivo a que se re- fere.

b)Só = advérbio– Equivale a somente, apenas; é palavra invariável.

c)A sós– É locução adverbial invariável.

Significa “sem mais companhia;

consigo”.

Veja construções certase erradas:

1. O pai era a sócompanhia que Deus lhe deixou. (certo)

2. Durante muitos anos, eles viveram só.

(errado)

3. Durante muitos anos, eles viveram sópa- ra os estudos. (certo)

4. Ele e ela viajaram sós. (certo) 5. Sóele e ela viajaram. (certo) 7. BASTANTE, MUITO, POUCO

a)Advérbios– Bastantee muitoequivalem a abundantemente, em alto grau, com in- tensidade; poucoequivale a não muito, insuficientemente. Modificam um verboou um adjetivo; são, pois, invariáveis.

b)Pronomes indefinidos– Bastantee mui- toequivalem a algo(coisa ou indivíduo) em grande quantidade; poucoequivale a algo(coisa ou indivíduo) em quantidade inferior ao desejado. Modificam um subs- tantivo e com ele devem concordar.

c)Mui – É forma reduzida de muito; só po- de ser empregada antes de adjetivos ou de advérbios terminados em -mente.

Português

Professor João BATISTA Gomes

Arapuca

(FGV) Assinale a alternativa aceitável segundo a norma culta.

a) Ela mesmo quis se apresentar para a diretoria.

b) Há bastante coisas a serem feitas antes da chegada do nosso diretor.

c) Aqueles funcionários são o mais capacitados possível.

d) Eles pediram emprestado a caixa de documentos.

e) Anexo segue os documentos.

Caiu no vestibular

01.(FGV) Leia o estrofe seguinte.

Quando será que todaa vasta Esfera, Toda esta constelada e azul Quimera, Todo este firmamento estranho e mudo, Tudo que nos abraça e nos esmaga, quando será que uma resposta vaga, Mas tremenda, hão de dar de tudo, tudo?!

(Cruz e Souza)

Assinale a alternativa em que a palavra todatenha o mesmo significado que o da ocorrência grifada no primeiro verso.

a)Todasala foi limpa.

b) A campanha foi realizada por toda empresa.

c)Todaa natureza se revolta contra os ataques do homem.

d)Todavez que você vier, não se esqueça de falar com o secretário.

e)Todacriança tem direito a ser tratada com respeito.

02.(FGV) Há má construção gramatical quanto à concordância em:

a) Os médicos consideravam inevitável nos pacientes pequenas alterações psicológicas.

b) As internações por si sós já causam certos distúrbios psicológicos aos pacientes.

c) Uma e outra alteração psicológica podem afetar os pacientes hospitalizados.

d) Distúrbios e alterações psicológicos são normais em pacientes hospitalares.

Desafio

gramatical

Aplicação 1

Assinale a opção comerrode concor- dância nominal.

a) O juiz tinha razões bastantepara conde- nar o réu.

b) Promotores públicos granjeiam bastantes inimizades.

c) Vezes bastantesconversamos a esse respeito.

d) Vivia de renda; tinha bastantesprédios alugados.

e) Depois de muita insistência, recebeu-nos muizangado.

8. BARATO E CARO

a)Adjetivos– Modificam um substantivo;

estão, quase sempre, em construções com verbos de ligação(ser, estar, parecer, permanecer, continuar, ficar), exercendo a função de predicativo.

b)Advérbios– Modificam um verbo (invariá- veis, portanto). Aparecem em construções com os verbos alugar, cobrar, comprar, custar, vender.

c)Preço barato, preço caro– Expressões sem sentido. O substantivo preçotem que ser modificado pelos adjetivos alto, eleva- do, baixo, módico.

Aplicação 2

Assinale a opção comerrode concor- dância nominal.

a) Vendeu as duas casas por um preço muito barato.

b) Produtos importados, mesmo na Zona Franca, são caros.

c) Produtos importados, mesmo na Zona Franca, custam caro.

d) No Sul, roupas de algodão são baratas.

e) Mesmo no interior, os peixes nobres cus- tam muito caro.

9. QUITE

Quiteé adjetivo; por isso, concorda em nú- mero com o substantivo ou pronome a que se refere. Significa livre, desobrigado, de- sembaraçado.

Veja construções certase erradas:

1. Só pode inscrever-se para o concurso quem estiver quitescom o Serviço Militar Obrigatório. (errado).

2. Aqui, todos estão quitescom as mensali- dades escolares. (certo)

3. Finalmente, a família conseguiu ficar qui- tescom o Sistema Financeiro de Habita- ção. (errado)

10. LESO

a)Que ofende– Significando “que ofende”, é adjetivo, provoca hífen e concorda com a palavra a que se refere.

1. Agindo assim, você comete crime de lesa-pátria.

2. Suas atitudes de leso-matrimôniopo- dem magoar muita gente.

3. Contratar maus professores é crime de lesa-cultura.

b)Tolo, idiota– Significando idiota, amalu- cado, tolo, é adjetivo: concorda com o substantivo ou pronome a que se refere.

1. Ou tu és muilo lesaou então te finges disso, Gabriela.

2. Ele nos trata como se fôssemos lesos.

11. EM DIA

Em diaé locução adverbial, portanto invariável. Significa sem atraso, pontualmente.

1. Eu estou em diacom as prestações da casa própria.

2. Nós estamos em diacom as prestações da casa própria.

3. Com essa crise, há poucas pessoas em diacom o pagamento de impostos.

12. MENOS

Não existe a palavra menas. Menos– sempre invariável – tem várias classes gramaticais.

a) Pronome indefinido– Opõe-se a pouco;

significa inferior em número, quantidade, condição ou posição.

1. Há menosvestibulandos aqui do que no Sudeste.

2. Não sou menoshumano só porque me coloco a favor da pena de morte.

b) Advérbio– Significa em número ou quanti- dade menor; com menos intensidade.

1. Hoje em dia, chove menosna Região Norte.

2. Depois do infarto, passou a comer menos.

c) Substantivo– Sugere aquilo que tem a menor importância; o que é mínimo; o menor preço.

1. O menosque pode acontecer-me é não ser aprovado.

2. Se você fizer um menos, levo logo uma dúzia de sapotis.

d) Preposição– Equivale à exceção de;

exceto, afora, salvo.

1. Esqueço tudo que ele me fez, menos as agressões físicas.

2. Todos foram ao rio Uatumã, menoseu.

e) A menos que– É locução conjuntiva condicional. Equivale a salvo se, a não ser que.

13. É BOM, É PROIBIDO, É NECESSÁRIO a) Sujeito determinado por adjunto adno-

minal– O adjetivo predicativo (bom, proi- bido,necessário) concorda com o núcleo do sujeito.

1. Aentrada de menor será proibida.

2. É necessáriamuita paciência.

b) Sujeito sem determinação– O adjetivo predicativo (bom, proibido, necessário) fica no masculino.

1. Entradade menor será proibido.

2. É necessário paciência.

Aplicação 3

Assinale a opção comerrode concor- dância nominal.

a) Não é permitidaa permanência de me- nores aqui.

b) Toda cerveja é muito boapara o fígado.

c) É necessáriomuita paciência para traba- lhar com alcoólatras.

d) Toda entrada de menor, neste Carnaval, será proibida.

e) É necessáriopaciência para suportar in- gratidões.

01. (ACAFE) Preencha as lacunas das frases abaixo.

1. Vocês estão ... com a tesouraria.

2. As janelas ... abertas deixavam entrar a leve brisa.

3. Vai ... à presente a relação dos livros solicitados.

4. As matas foram ...

danificadas pelo fogo.

5. É ... a entrada de animais.

A alternativa contendo a seqüência verdadeira, de cima para baixo, é:

a) quite – meia – anexa – bastantes – proibida;

b) quites – meia – anexa – bastantes – proibida;

c) quite – meio – anexo – bastante – proibido;

d) quites – meio – anexa – bastante – proibida;

e) quites – meio – anexo – bastante – proibido.

02.(F. C. Chagas) (Desafio da TV) Elas (...) providenciaram os atestados, que enviaram (...) às procurações, como instrumentos (...) para fins colimados.

a) mesmas, anexos, bastantes b) mesmo, anexo, bastante c) mesmas, anexo, bastante d) mesmo, anexos, bastante e) mesmas, anexos, bastante 03.(Mackenzie) (Desafio do Rádio)

Assinale a alternativa incorreta quanto à concordância nominal:

a) O narrador pulou longos páginas e capítulos.

b) Ele pulou longos capítulos e páginas.

c) Ele escreveu capítulos e páginas compactas.

d) Ele escreveu capítulos e páginas compactos.

e) Ele escreveu páginas e capítulos compactos.

04. (MACK-SP) Identifique a frase em que a palavra sósé invariável.

a) Elas partiram sós, deixando-me para trás aborrecida e bastante magoada.

b) Chegaram sós, com o mesmo ar exuberante de sempre.

c) Sós, aquelas moças desapareceram, cheias de preocupações.

d) Aqueles jovens rebeldes provocaram sós essa movimentação.

e) Depois de tão pesadas ofensas, prefiro ficar a sós a conviver com essa agressiva companhia.

Desafio

gramatical