Se σ eq σ adm a peça não romperá!

(1)

Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas

SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

3.8 - Tensão equivalente e tensão admissível

Se σ

_eq

≤ σ

_adm

a peça não romperá !

Peça real

Modelo matemático

cálculos

YZ XZ

XY

Z Y

X





, ,

0 , ,

_II _III

I

 



Critério de 

resistência Tensão equivalente : σ

_eq

Tensão ideal : σ

_i

Tensão de confronto : σ

_v

A3. 1

(2)

3.8.1 Peças submetidas a carregamentos em geral → Estado geral de tensões

Para se aplicar os resultados de um ensaio (tração, compressão, torção) a um elemento que esteja submetido a um carregamento multiaxial é

necessário se considerar o mecanismo real de falha.

Critérios de Resistência

A3. 2

(3)

3.8.2 Falhas

3. 3

Um componente mecânico, associado em conjunto a outros componentes, tem seu comportamento não tão bem delimitado e podem apresentar falha. São aplicados Critérios de Resistências que se utilizam de conceitos de segurança para o dimensionamento de componentes.

Resistência de uma peça mecânica (projeto)

Resistência da peça fabricada

 material;

 tratamento térmico;

 processamento.

 quantidade do lote;

 variações no processo;

 acabamento superficial;

 esforços na conformação;

 combinações com outros no conjunto.

Utiliza-se de dados de corpos de prova  mesmas condições de carregamento, fabricação, acabamento.

Falha

 quebra;

 deformação permanente;

A falha depende da:

 tipo de tensão (tração, compressão, cisalhamento);

 tipo de carregamento (estático, dinâmico).

A3. 3

(4)

Ensaio de tração: se observarmos o círculo de Mohr para tração pura aplicada lentamente nota se que há também a existência de tensão de cisalhamento, cujo valor máximo é exatamente a metade da tensão normal.

F

₁

_x

₂

₃



₁₃



QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão

normal.

A3. 4

(5)

Material Dúctil

Material Frágil

A3. 5

(6)

₁

₂

₃



_xy



_xy

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

Ensaio de torção: se observarmos o círculo de Mohr torção pura aplicada

lentamente nota-se que há também a presença de tensão normal cujo valor máximo é igual a tensão de cisalhamento.

Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão

normal.

A3. 6

(7)

a) Descrição alternativa das tensões para um eixo em torção, b) amostra de pedra arenosa após ensaio de torção

Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. AMORELLI MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978.

c)Torção em materiais de baixa resistência ao cisalhamento, quebra perpendicular ao eixo.

Acima: Ferro fundido cinzento, Abaixo: liga de alumínio 2024-T351

Fonte: Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007. p.156.

A3. 7

(8)

a) Estado simples de tensões

Tensão tangencial :

 

_^

























. 2 . .

cos 2 . .

.

2 cos 1

. . cos 2

. ²

A sen sen F

A F

A F A

F Equações

paramétricas do círculo



F

Fsen Fcos

F

F A

F τ_ _

3.8.3 Estado de tensões – Círculo de Mohr

Tensão normal :

Direção do plano onde atuam σ_α e τ_α



_ 2

_

_I



Círculo de Mohr τ

A3. 8

(9)

b) Estado duplo de tensões

Equilíbrio de forças



_xy  _yx 

) . 2 cos(

. ) . 2 ( 2 .

) . 2 ( . ) . 2 cos(

2 . 2





 

 





 



 



 



 

 



sen

Y X

X Y Y X

_x

_y

_x

_yx

_xy

_xy x

y

_xy

_

_y

_x

_

 dA

dAsin  dAcos 

Direção do plano onde atua σ_x

Direção do plano onde atua σ_y







45  2

I

x

II

2

y

x 

 



_xy 



 

 _yx

max 2

2

2  

   



 



 _x  _y

Círculo de Mohr

y

3. 9

A3. 9

(10)

Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011

(11)

• Tensões principais

•Tensão tangencial máxima

•Ângulo dos planos principais

•Tensões em

um ângulo qualquer

_{I, II}       

 

X Y X Y 

2 2

_max  ^X ^Y 

 

2  

2 2

tan( . ) .

2  2 

 

 _X  _Y

     

   

X Y, . cos( . )

. sen( . )

   

 









I II I II

I II

2 2 2

2 2

(12)

Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011

Exemplo (Shigley):

x y

80 50

50

𝜏

𝜎

50

𝜎_𝑦 = 0

0

50

(80,50)

(0,-50)

40

50 64,03

104,03 -24,03

Convenção:

- Tensões de cisalhamento “girando” o elemento no sentido horário: positivo (acima do eixo σ);

- anti-horário: negativo (abaixo do eixo σ);

𝜎_𝑥 = 80

(13)

Exemplo: refazer para as condições abaixo:

x y

80 50

50

𝜏

𝜎

20

(14)

c) Estado triplo de tensões

_I

_II

_III

_I

_II

_III

I

II 



II 



III

III _I

III

I

II 



A3. 14

(15)

3.8.4 Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações

• Pressão hidrostática biaxial

• Eixo solicitado à flexo-torção

2 2 max

2 2 II

I, ; 2

2

2     

   



 



 

 



 



 

 ^b ^b ^b

I ^II I



II



II

I 

 



A3. 15

(16)

Cada critério: σ

_eq

diferente

3.8.5 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

A3. 16

(17)

a) Critério da tensão normal máxima (Rankine): Considera que um elemento constituído de material frágil falha quando a tensão principal máxima no material atinge a tensão normal máxima que o material pode suportar em um teste de tração uniaxial.

A3. 17

(18)

b) Máxima tensão tangencial (Tresca): considera que em um material dúctil sob qualquer estado de tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha ocorre quando a tensão cisalhante em qualquer plano atinge o valor de σy/2.

A3. 18

(19)

  ^K

V

  

_I

 

_II





I

II III 0

 



II _I 

K_d 

K_d

K_Z

I

K_Z< |K_d|

II

D ou

I Z

V

   K



A3. 19

(20)

c) Máxima energia de distorção (von Mises)

Elipse inclinada à 45^o com semi-eixos ^K

K .

. /

2

2 3







_I _II

 

² _II _III

 

² _III _I



²

2 .

1      

_V      

2 II II

I 2

I

 .  



_V

  

Estado triplo de tensões

Estado duplo de tensões

K K

K

K Tensão

normal

Tensão de cisalhamento

I

II

15% (dif.)

73% (dif.) 15% (dif.)

Energia de distorção

A energia total de deformação em uma peça carregada consiste em duas componentes: uma devido ao carregamento hidrostático que muda seu volume; e outra devido a distorção que muda sua forma.

A tensão de cisalhamento presente deve-se a parcela da energia de distorção.

A3. 20

(21)

A3. 21

(22)

A3. 22

(23)

COMPARAÇÃO ENTRE CRITÉRIOS

A3. 23

(24)

A3. 24

(25)

3.8.5.1 Casos estáticos

a) Tensão equivalente

z y x



tensões principais 3 2 1

,  , 

  ^ ^{ } ^{ }

3 1

^

²



2 3 2 2 2

. 1

2

1      

_e      

b) Tensão admissível

segurança de

coef.

ruptura adm

  

3.8.5.2 Casos de solicitação dinâmica (fadiga)

a) Tensão equivalente

Critério leva em conta a fadiga do material

 

fadiga fadiga K

Kt Kf

e

H

. lim

2 max

2 2 max

=

entalhe de

coef.

= s

. .

.



















b) Tensão admissível adm^ ^teoria ^de ^fadiga

Critério + usado p/ aço energia de distorção (Von Mises)

3. 25

A3. 25

(26)

3.8.6. Aplicação dos critérios de resistência

• Eixo submetido à flexo-torção

• Círculo de Mohr

Critério de Resistência

Tensão de Confronto (σ_v)

Máx. tensão normal Máx. tensão tangencial Máx. energia de distorção (Von Mises)

2 2

2 2 I

. 3

. 4

2 2









 

 











 



 



 



eq eq eq

2 2

max

2 2

II I,

2

2 2

 



 

 

 



 



 

 



 



 



f

f f

dA



f





45  2



_xy



_yx

max

f

A3. 26

M_t M_t

M_f

M_f dA

(27)

3.9 Referências

• Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.

• Niemann G. Elementos de Máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher, 1991.

• Popov EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli, M.O.C. Ed. Edgard Blücher, 1978.

• ShigleyJE, Mitchell LD. Projeto de Engenharia Mecânica, 7th ed., Bookman, Porto Alegre 2005.

A3. 27

Se σ eq σ adm a peça não romperá!

3.8 - Tensão equivalente e tensão admissível

Se σ

≤ σ

a peça não romperá !

Peça real

Modelo matemático

cálculos













, ,

, ,

0 , ,

 





Critério de 

resistência Tensão equivalente : σ

Tensão ideal : σ

Tensão de confronto : σ

3.8.1 Peças submetidas a carregamentos em geral → Estado geral de tensões

Para se aplicar os resultados de um ensaio (tração, compressão, torção) a um elemento que esteja submetido a um carregamento multiaxial é

necessário se considerar o mecanismo real de falha.

Critérios de Resistência

3.8.2 Falhas

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??

 

 

 

𝜏

𝜎

𝜏

𝜎



3.8.4 Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações





Cada critério: σ

diferente

3.8.5 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

a) Critério da tensão normal máxima (Rankine): Considera que um elemento constituído de material frágil falha quando a tensão principal máxima no material atinge a tensão normal máxima que o material pode suportar em um teste de tração uniaxial.

b) Máxima tensão tangencial (Tresca): considera que em um material dúctil sob qualquer estado de tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha ocorre quando a tensão cisalhante em qualquer plano atinge o valor de σy/2.

  K

  

 





   K



c) Máxima energia de distorção (von Mises)



 

 



 .  





  

COMPARAÇÃO ENTRE CRITÉRIOS

3.8.5.1 Casos estáticos

,  , 

      





3.8.5.2 Casos de solicitação dinâmica (fadiga)

 

3.8.6. Aplicação dos critérios de resistência

3.9 Referências

  ^K

  ^ ^{ } ^{ }

^