TESTES PARA A PROPORÇÃO E O TESTE DO QUI-QUADRADO

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TESTES PARA A PROPORC ¸ ˜ AO E O TESTE DO QUI-QUADRADO

Departamento de Matem´atica 2021

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Teste do Qui-quadrado: associa¸ c˜ ao ou de independˆ encia

Considere duas variáveis aleatóriasX eY categóricas provenientes de uma popula¸cão bivariada, pretende-se testar:

H0: X eY s˜ao independentes;

H1: X eY n˜ao s˜ao independentes.

Em alternativa, as hip´oteses podem ser formuladas da seguinte forma:

H0: Não existe associa¸cão entreX eY; H1: Existe associa¸cão entreX eY.

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Teste do Qui-quadrado

A metodologia a seguir ´e :

. Agrupar os dados da vari´avel X em I categorias mutuamente exclusivas;

. Agrupar os dados da vari´avel Y em J categorias mutuamente exclusivas;

. Calcular as frequˆencias observadas,nij, para a categoria i de X e j de Y;

. SupondoH0verdadeira, calcular as frequˆencias esperadas,eij= ⁿ^i.^×n_n ^.j comni.=PJ

j=1nij,n.j=PI

i=1nij en=PI

i=1

PJ j=1nij; . SupondoH0verdadeira, calcular

ET=

I

X

i=1 J

X

j=1

(nij−eij)² eij

∼χ²((I−1)(J−1));

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Teste do Qui-quadrado

Requisitos exigidos:

. N˜ao existirem mais de 20% de categorias com frequˆencias esperadas inferiores a 5;

. Todas as categorias devem ter frequˆencias esperadas superiores ou iguais a 1.

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Teste do Qui-quadrado

Inconvenientes:

. Para amostras pequenas, o p-valor poder´a conter um erro apreci´avel. No caso de tabelas 2×2 e sempre quen<20 deve-se recorrer ao teste de Fisher;

. Devido à natureza discreta da contagem das frequências, o valor da estat´ıstica do qui-quadrado vem acrescida de um erro. No caso de tabelas 2×2 deve-se utilizar uma correçcão da continuidade (fornecida pelo SPSS e R).

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Exemplo (birthwt):

Pretende-se testar, ao n´ıvel de significância de 5%, a associa¸cão entre as variáveisSMOKE eLOW:

H0: O estatuto fumador da m˜ae (SMOKE) e o estatuto de baixo peso ao nascer (LOW) s˜ao independentes;

ou

H0: Não existe associa¸cão entre o estatuto fumador da mãe e o nascimento de crian¸cas com baixo peso ;

H1: O estatuto fumador da mãe (SMOKE) e o estatuto de baixo peso ao nascer (LOW) não são independentes.

ET= 4.236 df = 1

p−valor=P(ET>4.236) = 0.040

Rejeita-se a hip´otese nula ao n´ıvel de significˆancia de 5%.

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Teste Qui-Quadrado de homogeneidade

O teste Qui-Quadrado de homogeneidade pode ser utilizado para testar a afirma¸cão de que diferentes popula¸cões têm a mesma propor¸cão de indiv´ıduos com alguma caracter´ıstica.

B1 ... Bs

A1 O11 ... O1s O1.

A2 O21 ... O2s O2.

... ... ... ... ...

Ar Or1 ... Ors Or.

O.1 ... O.s O..

A hipótese de homogeneidade é: H0:pj|1=pj|2=...=pj|r,j= 1, ...,s. A ET segue uma distribui¸cão qui-quadrado com (r−1)(s−1) graus de liberdade.

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Exemplo (birthwt):

O teste Qui-Quadrado de homogeneidade pode ser utilizado para averiguar:

Baixo Peso

ra¸ca N˜ao Sim

White 73 23

Black 15 11

Other 42 25

A hip´otese de homogeneidade ´e neste caso: H0:P(Baixo peso|Raca¸ =⁰ White⁰) =P(Baixo peso|Raca¸ =⁰Black⁰) =P(Baixo peso|Raca¸ =⁰Other⁰).

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Amostras emparelhadas: o teste de McNemar

O teste de McNemar é um teste estat´ıstico utilizado em dados nominais emparelhados. É utilizado em tabelas de contingência 2×2, ou seja para duas variáveis binárias.

Neste caso, conv´em registar pares de observa¸c˜oes, que correspondem a contagens que referem pares de respostas correlacionadas (do mesmo indiv´ıduo).

O teste ´e aplicado a uma tabela de contingˆencia que apresenta os resultados como segue:

Depois: presente Depois: ausente

Antes: presente a b a+b

Antes: ausente c d c+d

a+c b+d n=a+b+c+d

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Amostras emparelhadas: o teste de McNemar

O teste de Mcnenar centra a aten¸c˜ao apenas nas altera¸c˜oes (pares discordantes): ausente−→presente; presente−→ausente.

H0:P(ausente−→presente) =P(presente−→ausente) H1:P(ausente−→presente)6=P(presente−→ausente) O teste estat´ıstico de McNemar ´e:

χ²=(b−c)² b+c

Sob a hipótese nula, com um número suficientemente grande de discordantes (células b e c),χ²tem uma distribui¸cão qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

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Amostras emparelhadas: o teste de McNemar

Exemplo: Um investigador pretende determinar se um medicamento tem um efeito sobre uma determinada doen¸ca. As contagens de indiv´ıduos

encontram-se na tabela, com o diagnóstico (doen¸ca: presente ou ausente), antes do tratamento dado nas linhas, e o diagnóstico após o tratamento nas colunas. O teste requer os mesmos indiv´ıduos a serem testados nas medi¸cões, antes e depois.

Depois: presente Depois: ausente Total da linha

Antes: presente 101 121 222

Antes: ausente 59 33 92

Total da coluna 160 154 314

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Amostras emparelhadas: o teste de McNemar

Um investigador pretende estudar o impacto de um tratamento sobre a dor nas articula¸c˜oes. Neste estudo, foram recrutados 1455 participantes. Os resultados reportados pelos indiv´ıduos antes e depois de um tratamento est˜ao referidos na tabela em baixo.

Depois: presente Depois: ausente Total

Antes: presente 380 785 1165

Antes: ausente 75 215 290

Total 455 1000 1455

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Teste correla¸ c˜ ao ordinal de Spearman

Considere duas variáveis aleatóriasX eY provenientes de uma popula¸cão bivariada, pretende-se testar:

H0: As vari´aveisX eY s˜ao independentes;

H1: As variáveisX eY não são independentes;

A metodologia a seguir ´e :

. Atribuir um número de ordem a cada observa¸cão para cada uma das variáveis. Quando existem valores repetidos atribui-se a cada um dos valores repetidos a ordem média das ordens correspondentes a esses valores;

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. Calcular, para cada observa¸c˜ao, a diferen¸ca,di, dos n´umeros de ordem;

. Calcular a estat´ıstica de teste:

rs= 1−6Pn i=1di²

n(n²−1) onden−n´umero total de observa¸c˜oes;

. Para amostras de pequena dimensão recorre-se à distribui¸cão exacta ders

que se encontra tabelada;

. SupondoH0verdadeira, quandon>30, ET= rs

p(1−rs²)/(n−2) ∼t(n−2).

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Exemplo (birthwt):

Pretende-se testar, ao n´ıvel de significância de 5%, a associa¸cão entre o peso das mães (variávelLWT) e o peso das crian¸cas no nascimento (variávelBWT):

H0: O peso da mãe na última menstrua¸cão (LWT) e o peso das crian¸cas ao nascer (BWT) são independentes;

ou

H0: Não existe associa¸cão entre o peso da mãe na última menstrua¸cão e o peso das crian¸cas ao nascer;

H1: O peso da mãe na última menstrua¸cão (LWT) e o peso das crian¸cas ao nascer (BWT) não são independentes.

rs= 0.249 p−valor= 0.001

Rejeita-se a hip´otese nula ao n´ıvel de significˆancia de 5%.

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Exemplos de bases de dados a trabalhar

. Bases de dados trabalhadas em ANOVA (bronch-react, deemice, smoking-moms).

. anorexia . BMI . evans . framimgham . titanic