Probabilidade,
Estatística e Processos Estocásticos
Aulas 02 Probabilidade
Probabilidade Condicional
• Um evento conjunto ocorre com probabilidade P(A,B).
• O evento B ocorreu. Qual a probabilidade de ocorrência do evento A?
)
| ( A B P
Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem reposição. Dado que a primeira carta foi um rei, qual a probabilidade da segunda carta ser um rei?
Probabilidade Condicional - Definição
B P
AB B P
A
P |
Propriedades:
P A B
P A B P
A P B
A
B A P A
B
| então
Se
1
| então
Se
Interpretação
B A
AB
C
BC
n AB n n P
B n n P
A n
P
A B AB
BAB B
AB
n n n n
n n B
P AB B P
A
P |
Se nós descartarmos todas as tentativas em que o evento B não ocorreu e retermos apenas as tentativas em que o evento B ocorreu, P(A|B) é a frequência relativa de ocorrência do evento A na subsequência retida.
Exemplo
Em uma caixa há 100 resistores cujas resistências e tolerâncias são mostradas na tabela a seguir. Um resistor é selecionado da caixa ao acaso.
100 38
Total
62
32 8
24 100
44 16
28 47
24 14
10 22
Total Toler = 10%
Toler = 5%
Resistência
Qual a probabilidade do resistor ser de 47 ohms dado que ele tem tolerância de 5% e qual a probabilidade dele ter tolerância de 5% dado que a resistência é de 100 ohms
Exemplo 2-10
Determinar a probabilidade do resultado da jogada de um dado ser igual a 2, dado que o resultado foi par.
Importante
Os axiomas continuam valendo
AB com C
B P C A P C B A P
B S P
B A P
|
|
| 1
|
0
|
Todos os resultados envolvendo probabilidades se mantêm para probabilidades condicionais.
Teorema da Probabilidade Total
Se U= [A1,A2,...,An] é uma partição de Se Bé um evento arbitrário, então
B P B A P A P B A
n P A
nP |
1 1 |
Prova na página 32 - Papoulis
Prova
A A A
n BA BA BA
nB BS
B
1
2
1
2
Mas os eventos BA
1, BA
2, ...BA
nsão mutuamente exclusivos porque A
1, A
2, ...A
nsão mutuamente exclusivos. Portanto,
B P BA P BA P BA n
P 1 2
Teorema de Bayes
Ai, i=1,2,...,n:eventos mutuamente exclusivos tais que
ni
i
S
A
1
e um evento arbitrário Bcom probabilidade não nula
n
j j j
i i i
i
A P A B P
A P A B P B
P B A B P
A P
1
( | ) ( )
) ( )
| ( )
( ) , ) (
| (
) ( )
| ( ) ( )
| ( )
( AB P A B P B P B A P A
P
Exemplo
Em um canal de comunicação binário um transmissor envia um bit zero (evento A0) ou um bit 1 (evento A1). O canal ocasionalmente causa erro, de modo que um zero transmitido pode ser recebido como 1 e um 1 transmitido pode ser recebido como 0. A probabilidade de erro é p = 0.1, independente do bit transmitido. A probabilidade de um bit 0 ser transmitido é 0.6. Sejam B0e B1os eventos:
um bit 0 foi recebido e um bit 1 foi recebido,
respectivamente. Calcule as seguintes probabilidades:
P(B0), P(B1), P(B1|A0), P(A0|B0), P(A0|B1), P(A1|B0), P(A1|B1).
Exemplo 2-14
• Uma caixa contém a bolas brancas e b
bolas pretas e uma segunda caixa contém
c bolas brancas e d bolas pretas. Uma
bola é transferida da primeira para a
segunda caixa. Após isto, uma bola é
retirada da segunda caixa, qual a
probabilidade dela ser branca?
Exemplo 2-15
• O teste para um certo tipo de câncer acerta 95% das vezes. Uma pessoa se submete ao teste e o resultado é positivo.
Suponha que esta pessoa venha de uma população de 100.000 pessoas, das quais sabidamente 2.000 sofrem da doença.
Qual a probabilidade da pessoa que se submeteu ao teste realmente ter a
doença?
Eventos independentes
Um evento Aé dito independente de Bse
) ( )
|
( A B P A
P
Se Ae Bsão independentes
) ( ) ( )
( AB P A P B
P
Extensão para mais eventos
Os eventos Ai , i=1,2,...,n são estatisticamente independentes se as probabilidades dos eventos conjuntos tomados 2,3,...,n eventos de cada vez possam ser fatoradas no produto das probabilidades dos eventos individuais.
Exemplo: A1, A2e A3 são independentes se
) ( ) ( ) ( ) , , (
) ( ) ( ) , (
) ( ) ( ) , (
) ( ) ( ) , (
3 2
1 3
2 1
3 2
3 2
3 1
3 1
2 1
2 1
A P A P A P A A A P
A P A P A A P
A P A P A
A P
A P A P A
A P
Diagrama em árvore
• Exemplo 1: Jogo do Três. Você embaralha um baralho de três cartas: 1 (ás), 2 e 3.
Você retira cartas do baralho em
seqüência. Se conseguir fazer exatamente
3 pontos (somando os valores de cada
carta retirada), ganha.
Diagrama em árvore
Venceu A
2
3 Venceu 1/3
1/3 1/3
2
3
3
Venceu A
1/2 1/2 1/2
1/2
Diagrama em árvore
• Coordenação entre sinais de trânsito. Dois sinais em seqüência. Para o primeiro sinal há 50% de chance para cada cor. Para o segundo sinal, a probabilidade do mesmo estar com a mesma cor do primeiro é 0.8.
Calcular as diversas probabilidades.
Diagrama em árvore
VD VM 0.8
0.2
0.2 0.8
VD VM VD
VM 0.5
0.5
VD,VD : 0.4
VD,VM : 0.1 VM,VD : 0.1
VM,VM : 0.4
Exemplo 2-18
• Trens X e Y chegam aleatoriamente a uma estação entre 8 e 8:20 hs. O trem X para por 4 minutos e o trem Y para por 5 minutos.
Assumindo que os trens chegam
independentemente um do outro, determine: A:
a probabilidade de X chegar entre t1 e t2; B: a probabilidade de Y chegar entre t3 e t4; a probabilidade conjunta de A e B; C: a
probabilidade de X chegar antes de Y; D: a probabilidade de X e Y se encontrarem na
estação; admitindo que os trens se encontram, a
probabilidade de X chegar antes de Y.
Exemplo 2-18
t1 t2
0 20
20
t3 t4
0 20
20
X Y
0 20
20
4
5
X – 5 Y X + 4 D
C
A
B AB
