Resumo. Pretende-se com este trabalho divulgar as principais ideias e princi- pios f´ısicos da Teoria de Gravidade Quˆantica de Loops e analisar as mudan¸cas que esta imp˜oe sobre a nossa usual interpreta¸c˜ao da natureza do Espa¸co e do Tempo.
Agradecimentos
Professor Alfredo Barbosa Henriques Professor Jos´e Sande e Lemos
1 - O que ´e o Espa¸co ? O que ´e o Tempo? - Ideias Cl´assicas
2 - Breve exposi¸c˜ao das principais ideias e conceitos da relatividade geral; Espa¸co- Tempo dinˆamico; Compara¸c˜ao das equa¸c˜oes deNewton com as deEinstein
3 - Car´acter n˜ao determinista da Mecˆanica Quˆantica. Escala de Planck. Dificul- dades na conjuga¸c˜ao com aRelatividade Geral; Ideia deGravita¸c˜ao Quˆantica
4 - Teorias Perturbativas/N˜ao-Perturbativas 5 -Dependˆencia/independˆencia do Fundo 6 - Gravidade Quˆantica - A ideia dosLoops
7 - Redes e Espumas de Spin - A Natureza do Espa¸co-Tempo 9 - Aplica¸c˜oes da teoria - Modelos Cosmol´ogicos e Singularidades
10 - Outras teorias candidatas `a gravita¸c˜ao quˆantica -Twistor Theory,Geometria n˜ao-comutativa eM-Theory
1
de experimentar nele acontecimentos. O Espa¸co fisico ´e Euclideano” -Kant
“O intervalo de tempo entre dois acontecimentos depende dos observadores. N˜ao existem referenciais absolutos” -Einstein
1.1. Tempo Relativo e Tempo Absoluto.
Numa vis˜ao Newtoniana, o tempo existe independentemente dos acontecimentos que nele ocorrem. Serve apenas de pano de fundo. No entanto cada acontecimento
´e definido pela sua posi¸c˜ao especial, num dado valor de tempo. Na relatividade, o espa¸co e o tempo unem-se formando uma entidade denominada espa¸co-tempo sobre a qual as quantidades s˜ao invariantes. Cada acontecimento continua a ser identificado pela sua posi¸c˜ao nesta entidade.
2. Breve exposic¸˜ao das principais ideias e conceitos da relatividade geral; Espac¸o-Tempo dinˆamico, Comparac¸˜ao das equac¸˜oes de
Newton com as de Einstein
2.1. Equa¸c˜oes da Gravita¸c˜ao de Newton.
Suponha-se um potencial grav´ıtico denominado V,numa regi˜ao do espa¸co com simetria esf´erica e um sistema de coordenadas radial. Este potencial, tal como apresentado na formula¸c˜ao newtoniana, ´e igual a GMr sendo~ro vector posi¸c˜ao, M a massa que origina o campo eGa Constante de Gravita¸c˜ao Universal de Newton.
Temos ent˜ao que dVdr =φ~ representa o valor do campo gravitacional em cada ponto do espa¸co considerado. Tendo em conta a defini¸c˜ao de V tomada:
(2.1) dV
dr =φ~= d dr(GM
r ) =−GM r2 e~r
Pode-se ainda calcular o varia¸c˜ao deste vector em ordem `a distˆancia radial r, dφdr. Seja A esta quantidade.
Figura 1
(2.2) A= dφ
dr = d dr(−GM
r2 ) =2GM
r3 =2G43πr3ρ
r3 =8πG 3 ρ
Demonstra-se assim que a varia¸c˜ao do campo gravitico depende da densidade do corpo que origina o campo.
Suponha-se agora um outro sistema de coordenadas, ortonormado, Oxyz, e um corpo de massaM na origem do referencial. Tem-se que o vector campo gravitico ter´a agora componentes sobre cada uma das direc¸c˜oes e tem-se a igualdade r = px2+y2+z2. Numa nota¸c˜ao mais compacta, ponha-se x1=x;x2 =y;x3=z; e obt´em-ser=
q P3
1xi.
Calculando as componentes do campo grav´ıtico sobre cada uma das direc¸c˜oesxi
(2.3) φi= ∂V
∂xi = ∂
∂xi( GM q
P3 1xi
) =−GM xi
r3
Repetindo o c´alculo da varia¸c˜ao do vector campo grav´ıtico, mas agora em rela¸c˜ao a cada uma das componentes, tem-se que:
(2.4) ∂φi
∂xj
= ∂
∂xj
(∂V
∂xi
) =−Aij = ∂
∂xj
(−GM xi
r3 ) = GM
r3 (1−3xixj r2 )
Pela demonstra¸c˜ao feita acima para o referencial radial e considerando uma den- sidade de mat´eria para cada componentexj
(2.5) Aij =−GM
r3 (1−3xixj
r2 )e~j =8πG 3 ρj
A entidadeAij ´e um tensor, denominado tensor de mar´e, pois descreve a forma como um corpo e a sua forma s˜ao afectadas pelos diferentes valores do campo grav´ıtico, de ponto para ponto. Tal como mostrado na imagem, um corpo pode ser dilatado ou contra´ıdo, perdendo a sua morfologia inicial.
movimentos uniformes, ou referenciais Inerciais, assumindo de forma axiom´atica a invariˆancia da velocidade da luz e o principio de que as leis da f´ısica deve ser as mesmas para todos os observadores em referenciais inerciais. Chegou a uma formula¸c˜ao de algum modo similar `a equa¸c˜ao de Poisson, da gravita¸c˜ao newtoniana, na qual a fonte do campo gravitico ´e a densidade de m´ateria.
(2.6) Gij =kTij
sendok= 8πGc3
Gij´e o tensor de Einstein, formado apartir do Tensor de Riemann ( que contem informa¸c˜oes sobre a curvatura) e da m´etrica eTabo tensor energia-da-mat´eria.
(2.7) Gij =Rij−1
2gijR=8πG c3 Tij
No segundo membro da equa¸c˜ao,Tijsubstitui o parˆametroρda densidade (Ten- sor Energia-da-Mat´eria) da equa¸c˜ao de Newton. Tij cont´em informa¸c˜ao acerca da densidade de Mat´eria e Energia num dado Local do Espa¸co-Tempo.
Come¸caremos primeiro pelo lado esquerdo da equa¸c˜ao procurando explicar, de forma nao muito detalhada, os pormenores geom´etricos da equa¸c˜ao e a rela¸c˜ao alcan¸cada por Einstein.
Considere-se uma superficie bidimensional “cont´ınua” mergulhada num espa¸co tridimensional. Esta analogia ´e, no entanto, arriscada pois o Espa¸co-Tempo n˜ao se encontra mergulhado em nada e ´e uma superficie quadridimensional. A Teoria est´a formulada de forma a que n˜ao seja necess´aria tal suposi¸c˜ao mas assumiremos, para uma maior clareza, esta hip´otese. Cada ponto dessa superficie poder´a ser dado por um vector posi¸c˜ao do espa¸co tridimensional.
(2.8) xα=
x1
x2
x3
Figura 2
Tal como a traj´ectoria unidimensional de uma particula pode ser descrita por um vector posi¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo, uma vez que a superficie ´e bidimensional, ser´a dada em fun¸c˜ao de dois parˆametros, u e v (que mais tarde ser˜ao identificados), e teremosxα(u, v)
Pode-se assim determinar um vector que seja tangente a essa superf´ıcie num ponto xα. Tal vector ser´a dado pordxα que se obt´em derivando parcialmente em rela¸c˜ao a cada um dos parˆametros.
(2.9) dxα= ∂xα
∂u du+∂xα
∂v dv
Temos ent˜ao que os vectores∂x∂uα =e~ue∂x∂vα =e~vs˜ao linearmente independentes, pois dependem de parˆametros diferentes. Desta forma, podem constituir uma base para o conjunto dos vectores tangentes `a superf´ıcie no pontoxα, denominado Espa¸co Tangente.
Se considerarmos agora um vector ds~ neste espa¸co tangente, de m´odulo infini- tamente pequeno e sem especificar, por enquanto, nenhum produto interno sobre este espa¸co,ds~ ´e dado como combina¸c˜ao linear dos vectores de base
(2.10) ds~ =du ~eu+dv ~ev=
2
X
1
dxie~i
Sem perda de generalidade
(2.11) ||ds||~ 2=ds2=<
2
X
1
dxie~i,
2
X
1
dxje~j >=
2
X
1
dxi
2
X
1
dxj< ~ei, ~ej >
onde < ~ei, ~ej >= gij. Esta matriz (neste caso de ordem 2x2 pois trata-se de uma superficie bidimensional) representa a m´etrica, que no fundo traduz o produto interno utilizado neste espa¸co.
(2.12) ds2= du dv
g11 g12 g21 g22
du dv
=
2
X
1 2
X
1
gijdxidxj =gijdxidxj
Surge ainda algo ainda mais inovador: os efeitos gravitacionais e campos gravi- ticos, n˜ao s˜ao mais do que “deforma¸c˜oes” do Espa¸co-Tempo em que uma particula menor ´e atra´ıda para outra de massa superior, n˜ao por qualqer tipo de for¸ca ou mecanismo `a distˆancia, mas porque a energia dessa particula deforma o espa¸co- tempo em seu redor, que acaba por adquirir uma geometria curva. A particula menor limita-se a cair, seguindo o caminho mais curto (a geod´esica) nessa curva.
Esta Equa¸c˜ao ´e em alguns aspectos an´aloga `a formulada em cima para a gra- vita¸c˜ao Newtonina. Pode-se fazer uma analogia entre o tensor de Efeito de Mar´e e o Tensor de Einstein
(2.13) Aij= 8πG
3 ρ
(2.14) Gij =8πG
c3 Tij
Uma vez que para Einstein a deforma¸c˜ao do espa¸co-tempo ´e a gravidade, a forma como a geometria deste se altera ´e a forma como o campo gravitico varia de ponto para ponto. Na primeira equa¸c˜ao sup˜oem-se apenas varia¸c˜oes espaciais enquanto que na equa¸c˜ao de einstein encara-se o tempo n˜ao apenas como um parˆametro de medida mas como uma dimens˜ao adicional. O termo c2 surge da incorpora¸c˜ao na relatividade restrita do axioma de que a velocidade da luz ´e uma constante universal. Finalmente, a densidade de mat´eria ´e substitu´ıda por um tensor que cont´em informa¸c˜oes relativas `as densidades de energia e de mat´eria, incorporando a rela¸c˜ao de que a massa ´e um estado de Energia (E = mc2). Poder-se-ia, para uma melhor percep¸c˜ao, imaginar uma imagem an´aloga `a mostrada acima e a sua deforma¸c˜ao num espa¸co de 4 dimens˜oes.
3. Car´acter n˜ao determinista da Mecˆanica Quˆantica. Escala de Planck. Dificuldades na conjugac¸˜ao com a Relatividade Geral 3.1. Fundamentos da Teoria.
Desde a antiguidade at´e ao s´eculo XX que, primeiramente os fil´osofos, e poste- riormente os f´ısicos, ponderaram a hip´otese da mat´eria ter uma estrutura discreta, isto ´e, granular. No in´ıcio do s´eculo XX foi finalmente provado que a mat´eria n˜ao
´e infinitamente divis´ıvel mas sim que existem estruturas b´asicas que a constituem - os ´atomos. Com o estudo desses ´atomos, percebeu-se que seriam feitos de outras particulas que actualmente se julgam ser fundamentais (quarks e electr˜oes). Para explicar a f´ısica a esse n´ıvel e as suas rela¸c˜oes com a fisica das radia¸c˜oes desenvolveu- se a Mecˆanica Quˆantica, em que a energia de um fot˜ao se encontra quantificada em m´ultiplos da sua frequˆencia (E =hν) e as particulas tˆem propriedades ondulat´orias Chegou-se, portanto, `a conclus˜ao de que as part´ıculas podem ser estudadas como ondas e existem quantidades minimas no Universo.
3.2. Fun¸c˜ao de Onda.
Esta fun¸c˜ao Ψ(xi, t) pode-se indentificar como a base de toda a Mecˆanica Quˆantica.
De uma forma simples, esta fun¸c˜ao fornece a probabilidade de uma part´ıcula se en- contrar numa dada posi¸c˜ao no espa¸coxi, num dado valor de tempo t, incorporando o princ´ıpio da Incerteza de Heinsenberg, segundo o qual ´e imposs´ıvel determinar com elevada precis˜ao o momento e a posi¸c˜ao de uma part´ıcula. O aumento de precis˜ao na medi¸c˜ao da velocidade conduz obrigatoriamente a uma imprecis˜ao na medi¸c˜ao da sua posi¸c˜ao e vice-versa (3.1).
(3.1) ∆xi∆pi≃h
3.3. Escala De Planck.
A quantifica¸c˜ao da Energia conduziu a uma discretiza¸c˜ao de todos os parˆametros que normalmente s˜ao utilizados nas medi¸c˜oes f´ısicas. Surgem quantidades m´ınimas de distˆancia lp e tempo tp, deduzidas apartir do Raio de Compton e do Raio de Schwarzschild.
(3.2) lplanck=
rhG c3
(3.3) tplanck=
rhG c5
Todos os parˆametros resultam da utiliza¸c˜ao de ideias provenientes da relativi- dade e da Mecˆanica Quˆantica e obtˆem-se apenas por recorrˆencia `as trˆes constantes fundamentais na Natureza at´e agora descobertas. Podemos consider´a-los tamb´em como fundamentais. A introdu¸c˜ao destas entidades conduz-nos a um novo limite:
Nenhum comprimento ou intervalo de tempo poder´a ser mais pequeno que a sua unidade de Planck.
(4.1) α= e2
4πǫ0~c ∼ 1 137 Nesta equa¸c˜ao,ǫ0´e a constante diel´ectrica do v´acuo.
Generalizando, comoα´e um valor reduzido, para qualquerT(α) com significado f´ısico ´e poss´ıvel expandir o seu valor numa s´erie de potencias dadas por:
(4.2) T(α) =T0α0+T1α1+T2α2+...
de forma a que se obtenha uma boa aproxima¸c˜ao para o valor desejado atrav´es da soma dos primeiros termos da s´erie.
Esta aproxima¸c˜ao de “teoria perturbativa” como anteriormente mencionado, tem sido a forma como se tˆem estudado as teorias de supercordas (superstrings) at´e bem recentemente. O problema reside no desconhecimento dos valores para os parˆametros de expans˜ao n˜ao havendo, portanto, nenhuma raz˜ao para admitir que estes sejam pequenos.
A teoria de gravidade quˆantica de loops (Loop Quantum Gravity) tem por base uma formula¸c˜ao n˜ao-perturbativa, isto ´e, n˜ao toma como v´alidas e aplic´aveis as aproxima¸c˜oes efectuadas por perturba¸c˜ao. Ao inv´es, as bases da teoria assentam na tentativa de uma quantiza¸c˜ao do espa¸co-tempo n˜ao-perturbativa.
5. Dependˆencia/Independˆencia do Fundo
A (in)dependˆencia do fundo (background) est´a relacionada com a forma como se interpreta o espa¸co-tempo. Classicamente, na mecˆanica newtoniana, as di- mens˜oes espaciais nem sequer estavam ligadas ao tempo, facto constat´avel pelas transforma¸c˜oes de Galileu, onde o tempo era um parˆametro absoluto.
Com o aparecimento da Relatividade Restrita, no in´ıcio do s´eculo XX, compreendeu- se, no entanto, que o espa¸co e o tempo formavam um s´o tecido ao qual se passou a chamar Espa¸co-Tempo devido `a sua indissociabilidade, facto, por sua vez, eviden- ciado nas transforma¸c˜oes de Lorentz. A m´etrica de Minkowski surge da passagem
para 3+1 em vez das usuais trˆes dimens˜oes espaciais. Segundo a teoria da gra- vita¸c˜ao de Einstein, o espa¸co-tempo ´e na realidade o campo gravitacional. ´E a par- tir deste ponto que residem as mais marcantes diferen¸cas nos candidatos a teorias de gravita¸c˜ao quˆantica actuais. Posto de forma simples, o conceito de dependˆencia ou independˆencia do fundo pode ser analisado recorrendo ao conceito de m´etrica.
O procedimento consiste na divis˜ao da m´etrica em duas componentes, uma delas pr´opria do espa¸co e outra que ”cont´em”a informa¸c˜ao relativa ao campo grav´ıtico.
(5.1) gij =ηijf undo+hij
Os desenvolvimentos efectuados em teorias de supercordas s˜ao baseados na pre- missa de que o espa¸co-tempo ´e regular e plano, isto ´e, utilizam apenas um espa¸co dotado da m´etrica de Minkowski criado como consequˆencia da relatividade restrita e tratam `a parte o o campo gravitico*.
(5.2) gij =ηijf undo=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
A teoria de campo cl´assica (QFT) consegue simplesmente unir as conclus˜oes da relatividade restrita aos fen´omenos explicados pela mecˆanica quˆantica e portanto assume esta m´etrica para o espa¸co -tempo. Todavia, se h´a uma li¸c˜ao importante a retirar da teoria da relatividade geral de Einstein ´e a de que o espa¸co, na sua gene- ralidade, n˜ao ´e plano mas sim curvo, sendo esta ´e a ´unica forma de o compreender.
A gravidade ´e, efectivamente, geometria e a relatividade geral fornece as equa¸c˜oes para o c´alculo de como a geometria do espa¸co-tempo (e portanto a m´etrica) ´e afec- tada pela massa dos corpos. Uma vez que a geometria,per se, ´e dinˆamica, seria de esperar que uma teoria satisfat´oria de gravita¸c˜ao quˆantica fosse igualmentelivrede uma m´etrica de fundo.
Teorias que assumam uma m´etrica pr´opria do espa¸co ηijf undo, imut´avel e fixa - caracter´ısticas de um espa¸co-tempo n˜ao relativista - s˜ao dependentes do fundo (background dependent). Pelo contr´ario, teorias (como a LQG) que compreendem a ausˆencia de m´etrica de fundo, tratando as duas componentes η e h como um todo, e cujas equa¸c˜oes consideram as varia¸c˜oes da geometria do espa¸co-tempo como meras ac¸c˜oes dinˆamicas causadas pela mat´eria s˜ao ditas independentes do fundo (background independent oubackground free).
6. Gravidade Quˆantica - A ideia dos Loops
As v´arias tentativas de explica¸c˜ao dos fen´omenos grav´ıticos a um n´ıvel quˆantico tˆem-se revelado um fracasso. O tratamento normalmente utilizado consiste em estudar o Espa¸co-Tempo, e portanto a gravita¸c˜ao, como uma entidade geom´etrica cont´ınua (variedade) sobre a qual ocorrem as interac¸c˜oes quˆanticas (dependentes do fundo).
S´o como exemplo,na d´ecada de 60, Wheeler e DeWitt chegariam a uma equa¸c˜ao que se considera ser a base da gravita¸c˜ao quˆantica (equa¸c˜ao de Wheeler-DeWitt):
uma geometria dinˆamica e assumindo que uma eventual teoria de gravidade quˆantica, n˜ao poderia de modo alguem depender de um espa¸co-tempo fixo, o f´ısico indiano Abhay Ashtekar efectuou uma reformula¸c˜ao das equa¸c˜oes de campo de Einstein usando o que mais tarde viria a ser reconhecido como as vari´aveis de Ashte- kar.Tentou formular a teoria assumindo o Espa¸co-Tempo n˜ao como uma variedade cont´ınua, mas discreta, chegando a uma quantifica¸c˜ao da Geometria Riemanniana (Geometria Quˆantica). Assim, atrav´es das j´a referidas teorias da medida, Ashtekar conseguiu estabelecer os princ´ıpios b´asicos para uma eventual quantiza¸c˜ao da gra- vidade. Uma vez que as formula¸c˜oes de Ashtekar eram independentes do fundo foi poss´ıvel a aplica¸c˜ao de loops de Wilson (o que deu um teor n˜ao-perturbativo `a teo- ria). Na d´ecada de 90 foram obtidos resultados que permitiram uma generaliza¸c˜ao do conceito de loops atrav´es do qual era poss´ıvel efectuar c´alculos considerando intersec¸c˜oes entre diversos loops. Os resultados mostravam que esses loops e as suas interac¸c˜oes poderia ser estudados como objectos matem´aticos denominados redes de spin (spin networks) desenvolvidos por Roger Penrose baseada em teoria de grafos (em meados do s´eculo XX). O estudo destes Loops n˜ao depende da sua posi¸c˜ao face ao espa¸co em que se encontra mas apenas face aos outros loops. Uma estrutura de Loops poder´a ser melhor entendida como um grafo que ´e uma estrutura matem´atica em que s˜ao estabelecidas rela¸c˜oes entre os seus v´arios elementos, sendo cada um desses elementos um n´o. A posi¸c˜ao de cada elemento ´e apenas importante face ´a posi¸c˜ao de outro elemento e das conex˜oes entre os elementos.
❥A C
❥B
❥
❅❅ ✄✄✄✄✄
E❈
❈❈
❈❈F
❥
❥
❅❅
❅❅
❅❅
❅❅
❥I
❥H
❥K
❥J
❥M
Os loops de Wilson ou holonomias, nos quais se baseou a ideia de gravidade quˆantica de loops, n˜ao s˜ao mais de que uma invariˆancia de transforma¸c˜oes ao n´ıvel das teorias de medida (gauge theories). Estas teorias de medida s˜ao uma classe da