Conceitos iniciais de probabilidade

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Conceitos iniciais de probabilidade

Gilberto Pereira Sassi

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica

Departamento de Estat´ıstica

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Introduç ão: fen ômeno aleat ório, espaço amostral e evento.

Objetivo

Apresentar a teoria matem ática para avaliar/estimar/decidir usando as Informaç ões dispon´ıveis.

Definic¸ ˜ao

1 Fen ômeno aleat ório: situaç ões ou acontecimentos que n ão podem ser previstos com certeza. Por exemplo: condiç ões clim áticas em dois dias;

2 Espaço amostral: conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um fen ômeno aleat ório.

Por exemplo:Ω ={cara,coroa}no lanc¸amento de uma moeda;

3 Os elementos deΩs ˜ao denominados depontos amostraise usamos a letra gregaωpara represent ´a-lo;

4 Eventos: subconjuntos deΩ. Representamos eventos por letras do alfabeto latino em mai ´usculas.

Por exemplo: Em um lançamento de dado, o espaço amostral é

Ω ={1,2,3,4,5,6}e podemos considerar o eventoA={A face ´e par}.

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Eventos

Operac¸ ˜ao com eventos

i. Uni ˜ao:A∪B={ω∈Ω|ω∈Aouω∈B};

ii. Intersecc¸ ˜ao:A∩B={ω∈Ω|ω∈Aeω∈B};

iii. Complementac¸ ˜ao:A^c={ω∈Ω|ω6∈A};

iv. SeA∩B=∅, ent ˜aoAeBs ˜ao disjuntos;

v. SeA∩B=∅eA∪B= Ω, ent ˜aoAeBs ˜ao complementares.

Probabilidade de eventos

O objetivo da teoria de probabilidade é atribuir um valor entre 0 e 1 que corresponde a chance do eventoAocorrer. Este valor é chamado de probabilidade e é denotado por P(A).

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Probabilidade

Definic¸ ˜ao

Uma funç ãoP(·) é denominada de probabilidade se satisfaz as seguintes condiç ões:

i. 0≤P(A)≤1 para todos os eventosA⊂Ω;

ii. P(Ω) =1 eP(∅) =0;

iii. P(A1∪A2∪ · · · ∪An) =P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An)seAieAj s ˜ao disjuntos.

Observac¸ ˜ao: Note quenemiii.pode ser infinito.

Observac¸ ˜ao

Note queA∪A^c = ΩeA∩A^c=∅, ent ão, usando o itemiii.da definiç ão de probabilidade, temos que

P(Ω) =1=P(A∪A^c) =P(A) +P(A^c) e, consequentemente,P(A^c) =1−P(A).

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Maneira de construir probabilidade Princ´ıpio da equiprobabilidade

Princ´ıpio da equiprobabilidade

Quando as caracter´ısticas de um fen ômeno aleat ório sugeremNresultados poss´ıveis, todos com igual probabilidade de ocorrer, a probabilidade de um eventoA, comn pontos amostrais, é dada por

P(A) = n N.

Exemplo

Fen ômeno aleat ório: Lançamento de dados junto. Ent ão espaço amostral:Ω ={1,2,3,4,5,6};

Evento:A={face par}={2,4,6};

Usando o princ´ıpio da equiprobabilidade, temos queP(A) = 3 6 =0,5.

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Maneira de construir probabilidade Probabilidade frequentista

Probabilidade frequentista

Considere um eventoAde um fen ômeno aleat ório e assuma que podemos realizar v árias vezes esse fen ômeno. Sejam N N úmero de repetiç ões do fen ômenos aleat ório;

n N úmero de vezes que o eventoAfoi resultado do fen ômeno aleat ório.

Ent ˜ao, a probabilidade do eventoA´eP(A) = n N.

Exemplo

i. Fen ômeno aleat ório:lançamento de um dado;

ii. Suponha que um indiv´ıduo repetiu esse fen ˆomeno aleat ´orio 100.000 vezes

Face Frequ ência Proporç ão Porcentagem

1 16665 0,1666 16,66%

2 16622 0,1662 16,62%

3 16835 0,1683 16,83%

4 16545 0,1655 16,54%

5 16631 0,1663 16,63%

6 16702 0,1670 16,70%

Total 100.000 1,0000 100,00%

iii. P(A) =16.622+16.545+16.702

100.000 = 49.869

100.000=0,4987, em queA={face par}={2,4,6}.

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Maneira de construir probabilidade Probabilidade subjetiva

Probabilidade subjetiva

O pesquisador utiliza sua experi ência, seu conhecimento e sua cogniç ão para determinar a probabilidade de um evento ocorrer.

Exemplo

Um especialista em conflitos armados pode atribuir um valor entre 0 e 1 para a tens ão entre a Ir ã e os Estados Unidos se escalar at é a guerra total.

Exemplo

Um m ´edico pode atribuir uma medida entre 0 e 1 para a plausibilidade de um paciente se recuperar completamente.

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Maneira de construir probabilidade Suposiç ão te órica

Suposiç ão te órica

Supomos um modelo matem ´atico para a

probabilidade dos eventos de um fen ˆomeno aleat ´orio

com notaç ão matem ática P

θ

(·), em que θ ´e um valor

real inferido usando a amostra, como veremos nas

pr ´oximas aulas.

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Propriedades de probabilidade Regra da adic¸ ˜ao de probabilidades

Regra da adic¸ ˜ao de probabilidades P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

Exemplo

Considere os calouros de engenharia divididos em duas turmas:

Sexo Turma

Total

A B

F 21 16 37

M 5 8 13

Total 26 24 50

i. Fen ˆomeno aleat ´orio: Selecione ao acaso um calouro;

ii. Eventos:F ={Calouro do sexo feminino}e{Calouro da turma B}

iii. Usando princ´ıpio da equiprobabilidade:P(F) = 37

50,P(B) =24

50eP(F∩B) = 16 50;

iv. Usando a regra da adic¸ ˜ao:

P(F∪B) =P(B) +P(F)−P(B∩F) = 37+24−16 50 =0,9.

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Probabilidade condicional e independ ˆencia

Ideia

Alguns fen ômenos aleat órios podem acontecer ou ser estudados em etapas. A informaç ão do que ocorreu em um determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorr ência das etapas sucessivas.

Definic¸ ˜ao

SeP(B)>0, ent ˜aoP(A|B) = P(A∩B) P(B) ; SeP(B) =0, ent ˜aoP(A|B) =P(A).

Observac¸ ˜ao

Pela definic¸ ˜ao de probabilidade condicional, temos que P(A∩B) =P(A|B)P(B) =P(B|A)P(A).

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Exemplo - continuac¸ ˜ao

Sabendo que o calouro de engenharia ´e do sexo feminino, qual a probabilidade dele ser da turmaA?

Resposta:

Eventos:F ={Calouro do sexo feminino}eA={Calouro da turma A}.

Usando o princ´ıpio da equiprobabilidade, temos queP(A∩F) = 21

50eP(F) = 37 50. Usando probabilidade condicional, temos que

P(A|F) = P(A∩F) P(F) =

21 50 37 50

=21

37 =0,57.

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Exemplo

Um restaurante oferece apenas tr ês opç ões de pratos: salada Caesar, prato executivo com carne e prato executivo com peixe. O propriet ário sabe que 25% dos clientes preferem salada Caesar, 40% dos clientes preferem o prato executivo com carne e 60% dos clientes s ão homens. Qual a probabilidade de um cliente escolher um prato executivo com peixe? Sabendo que entre os clientes que preferem o prato executivo com peixe 56% s ão mulheres, qual a probabilidade de um homem escolher o prato executivo com peixe?

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Exemplo - Resposta

Eventos:S={Cliente prefere salada Caesar}, C={Cliente prefere executivo com carne}, P={Cliente prefere prato executivo com peixe}, F ={Cliente do sexo feminino},

M ={Cliente do sexo masculino};

Usando a propriedade iii. da definiç ão de probabilidade, temos que P(Ω) =1=P(S) +P(C) +P(P) =0,25+0,4+P(P) e, ent ão,P(P) =1−0,65=0,35.

Usando probabilidade condicional, temos que P(P|M) = P(P∩M)

P(M) =P(M|P)P(P)

P(M) =0,44·0,35

0,6 =0,25.

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Probabilidade condicional e independ ˆencia Independ ˆencia de eventos

Independ ˆencia de eventos

Ideia

As vezes, a acorr ência (ou n ão) do eventoBde um fen ômeno aleat ório n ão afeta a ocorr ência (ou n ão) de eventoAde um fen ômeno aleat ório seguinte. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos s ão independentes.

Definic¸ ˜ao

Dois eventos s ão independentes se a informaç ão da ocorr ência (ou n ão) do eventoB n ão altera a probabilidade deA, ou seja,

P(A|B) =P(A).

Observac¸ ˜ao

SeAeBs ˜ao independentes, ent ˜ao

P(A|B)P(B) =P(A)P(B) =P(A∩B)

e

P(B|A)=P(A∩B)

P(A) = P(A)P(B)

P(A) =P(B).

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Exemplo

Uma empresa produz peças em duas m áquinas (IeII) que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. No in´ıcio do dia de operaç ão, um teste é realizado e, caso a m áquina esteja desajustada, ela ficar á sem operar nesse dia passando por revis ão t écnica. Suponha que as duas n ão sofrem interfer ência uma da outra. Qual a probabilidade de pelo menos uma m áquina funcionar? Qual a probabilidade das duas m áquinas precisarem de ajuste no mesmo dia?

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Exemplo - soluc¸ ˜ao

Eventos:O1={M áquina I est á desajustada}e O2={M áquina II est á desajustada};

Probabilidade:P(O1) =0,05 eP(O2) =0,1;

O evento pelo menos uma m áquina funciona é descrito porO₁^c∪O₂^c, isto é, P[O1^c∪O2^c)] =P(O1^c) +P(O2^c)−P(O1²∩O2^c)

= (1−P(O1)) + (1−P(O2))−P(O₁^c)P(O₂^c)

= (1−0,05) + (1−0,1)−(1−0,05)·(1−0,1) =0,995.

Note que

P(Ω) =1=P

O₁^c∪O₂^c [

O₁^c∪O^c₂c

=P O₁^c∪O₂^c

+P((O1∩O2))

e, ent ˜ao,P(O1∩O2) =1−0,995=0,005.

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Probabilidade condicional e independ ˆencia Teorema da probabilidade total

Partic¸ ˜ao

Os eventosC1, . . . ,Ck formam uma partiç ão do espaço amostralΩse

i. Ci∩Cj=∅sei6=j, ou seja,CieCjs ˜ao disjuntos;

ii. C1∪C1∪ · · · ∪Ck = Ω.

Figura 1:Ilustraç ão de uma partiç ão.

C₁

C₂ C₃

C₄

Ω

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Teorema da probabilidade total

ConsidereC1,C2, . . . ,Ck uma partiç ão deΩe o eventosA⊂Ω, ent ão P(A) =P(A|C1)P(C1) +P(A|C2)P(C2) +· · ·+P(A|Ck)P(Ck).

Figura 2:Ilustrac¸ ˜ao – Teorema de probabilidade total.

C₁

A

C₂ C₃

C₄

Ω

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Exemplo

Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza fazenda F1, 30% da fazendaF2e 50% da fazendaF3. A ANVISA inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido porF1estava adulterado com água, enquanto queF2eF3essa era de 5% e 2%, respectivamente. Na planta industrial da fabricante de sorvetes, os gal ões de leite s ão armazenados sem identificaç ão de origem. Para um gal ão escolhido ao acaso, qual a probabilidade do leite estar adulterado?

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Exemplo - soluc¸ ˜ao

Eventos:A={Gal ão adulterado},F1={Gal ão da fazendaF1}, F2={Gal ão da fazendaF2}eF3={Gal ão da fazendaF3};

Probabilidades:

P(A|F1) =0,2 P(F1) =0,2 P(A|F2) =0,05 P(F1) =0,3 P(A|F3) =0,02 P(F3) =0,5 Usando o teorema da probabilidade total, temos que

P(A) =P(A|F1)P(F1) +P(A|F2)P(F2) +P(A|F2)P(F3)

=0,2·0,2+0,05·0,3+0,02·0,5

=0,065.

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Probabilidade condicional e independ ˆencia Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Ideia

Conhecendo as probabilidadesP(A|B),P(A)eP(B), desejamos calcular a probabilidadeP(B|A).Interpretaç ão: seAé um sintoma eBé um doença, um m édico deseja calcular a probabilidade do paciente ter a doençaBse o paciente tem o sintomaA, isto é,P(B|A).

Teorema de Bayes

ConsidereC1,C2, . . . ,Ckuma partiç ão do espaço amostralΩe sejaA⊂Ωum evento. Assuma que conhecemos as probabilidades P(A|C1),P(A|C2), . . . ,P(A|Ck),P(C1),P(C2), . . . ,P(Ck). Ent ão,

P(Cj|A) =

P(A|Cj)P(Cj)

P(A|C1)P(C1) +P(A|C2)P(C2) +· · ·+P(A|Ck)P(Ck) .

em quej=1, . . . ,k.

Interpretac¸ ˜ao

Suponha queC1, . . . ,Cks ˜ao defeitos ou falhas que apresentam o mal funcionamentoAde um determinado equipamento. Assuma que conhecemos as probabilidades do equipamento com o defeitoCiter o mal funcionamentoA:P(A|C1), . . . ,P(A|Ck)e a probabilidade do equipamento ter o defeito Ci:P(C1), . . . ,P(Ck). Ent ˜ao, se o equipamento tem o mal funcionamentoA, ele tem o defeitoCicom probabilidade

P(Ci|A) = P(A|Ci)P(Ci)

P(A|C1)P(C1) +P(A|C2)P(C2) +· · ·+P(A|Ck)P(Ck) ,

parai=1, . . . ,k.

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Probabilidade condicional e independ ˆencia Teorema de Bayes

Exemplo

Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza fazendaF₁, 30% da fazendaF₂e 50% da fazenda F₃. A ANVISA inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido porF₁estava adulterado com água, enquanto queF₂eF₃essa porcentagem era de 5% e 2%, respectivamente. Na planta industrial da fabricante de sorvetes, os gal ões de leite s ão armazenados sem identificaç ão de origem. A equipe do controle de qualidade testou um gal ão e verificou que ele est á adulterado, qual a probabilidade dele ser proveniente da fazendaF₁?

Soluc¸ ˜ao:

Eventos:A={Gal ão adulterado},F₁={Gal ão da fazendaF₁},F₂={Gal ão da fazendaF₂}e F₃={Gal ão da fazendaF₃};

Probabilidades:

P(A|F₁) =0,2 P(F₁) =0,2 P(A|F₂) =0,05 P(F₁) =0,3 P(A|F₃) =0,02 P(F₃) =0,5 Usando o Teorema de Bayes, temos que

P(F₁|A) = P(A|F₁)P(F₁)

P(A|F₁)P(F₁) +P(A|F₂)P(F₂) +P(A|F₃)P(F₃)

= 0,2·0,2

0,2·0,2+0,05·0,3+0,02·0,5=0,62.