MAP0214 C´ alculo Num´ erico com Aplica¸ c˜ oes em F´ısica
2o Semestre de 2006.
June 19, 2007
1 M´ etodo dos M´ınimos Quadrados em duas vari´ aveis
1.1 Introdu¸ c˜ ao.
O objetivo deste texto ´e apresentar aplica¸c˜oes do o M´etodo dos M´ınimos Quadra- dos para aproximar uma fun¸c˜aoF : [a, b]×[c, d]→R no caso discreto.
1.2 Aproxima¸ c˜ ao de F se conhecemos uma tabela de F
Suponha que queremos aproximar uma fun¸c˜aoF que est´a tabelada nos pontos (N1+ 1)(N2+ 1) pontos (xi, tj)∈[a, b]×[c, d] definidos por
xi = a+ih=a+ib−a N1
=a+i(b−a) N1
, i= 0,1, . . . , N1, tj = c+jh=c+jd−c
N =c+j(d−c) N2
, j= 0,1, . . . , N2, pelo M´etodo dos M´ınimos Quadrados por uma fun¸c˜ao da forma
G(x, t) =
K
X
`=1
c`G`(x, t) ondeG`(x, t), `= 1, . . . , k s˜ao fun¸c˜oes dadas.
O produto escalar natural numa situa¸c˜ao destas ´e
hhH1|H2ii= X i= 0, . . . , N1, j= 0, . . . , N2
H1(xi, tj)H2(xi, tj) =
N1
X
i=0 N2
X
j=0
H1(xi, tj)H2(xi, tj).
2 Nosso problema
Estamos interessados em aplicar essa teoria ao estudo do movimento de uma corda vibrante de comprimentoL num planoxz com extremidades fixadas no eixoxemx= 0 ex=L, que vibra transversalmente ao eixox.
Isto significa quez=u(x, t) d´a a posi¸c˜ao do pontoxda corda no instantet.
Note queu(0, t) = 0,∀teu(L, t) = 0,∀t.
Sob certas condi¸c˜oes, o movimento da corda pode ser modelado pela equa¸c˜ao
∂2u
∂t2 =c2∂2u
∂x2 (1)
ondec >0, segue da teoria de EDP que ´e razo´avel buscar uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao da forma
u(x, t) =e
k
X
`=1
a`g`(x, t) +b`h`(x, t) (2) onde
g`(x, t) = cos(`π
Lct) sin(`π
Lx) (3)
h`(x, t) = sin(`π
Lct) sin`(π
Lx), `= 1, . . . , k.
Se temos uma tabela da solu¸c˜aou(x, t) em pontos (xi, tj)∈[0, L]×[0, T] da forma
xi = iL
N, i= 0,1, . . . , N, (4) tj = jT
M, j= 0,1, . . . , M,
´e razo´avel (devido a considera¸c˜oes f´ısicas endo¸cadas pela teoria matem´atica) considerar uma tabela maior, obtida fazendo-se a reflex˜ao ´ımpar na vari´avelx.
Assim, passamos a ter pontos (xi, tj) da forma
xi = iL
N, i=−N+ 1,−N+ 2, . . . ,0,1, . . . , N, (5) tj = jT
M, j= 0,1, . . . , M.
(N˜ao usamos o valor i=−N porque a extens˜ao deu teria o mesmo valor em (−L, t) e em(L, t), e usar ambos seria privilegiar o valor de una extremidade x=L.)
Note que para definir a extens˜ao ´ımpar de u na vari´avel x nos pontos da tabela basta tomar
u(xi, tj) :=u(x−i, tj), i=−N+ 1,−N+ 2, . . . ,−1, e para os outros valores deiusar a tabela original.
Adaptando os ´ındices ao nosso caso, o produto escalar fica hhH1|H2ii=
N
X
i=−N+1 M
X
j=0
H1(xi, tj)H2(xi, tj).
Assim, usando os produtos escalares auxiliares h | i1 na vari´avel x e h | i2 na vari´aveltdefinidos por
hv1 |v2i1 =
N
X
i=−N+1
v1(xi)v2(xi) (6)
hw1 |w2i2 =
M
X
j=0
w1(tj)w2(tj), (7) temos
hhgr |gsii = hhcos(rπ
Lct) sin(rπ
Lx)| cos(sπ
Lct) sin(sπ Lx)ii
=
N
X
i=−N+1 M
X
j=0
cos(rπ
Lctj) sin(rπ
Lxi) cos(sπ
Lctj) sin(sπ Lxi)
=
N
X
i=−N+1 M
X
j=0
[cos(rπ
Lctj) cos(s π
cLtj)][sin(rπ
Lxi) sin(sπ Lxi)]
=
N
X
i=−N+1
[sin(rπ
Lxi) sin(sπ Lxi)]
M
X
j=0
[cos(rπ
Lctj) cos(sπ Lctj)]
= hsin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lx)i1 hcos(rπ
Lct)|cos(sπ Lct)i2. Logo,
hhgr |gs ii = hhcos(rπ
Lct) sin(rπ
Lx)|cos(sπ
Lct) sin(sπ
Lx)ii (8)
= hsin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lx)i1 hcos(rπ
Lct)|cos(sπ Lct)i2. Analogamente,
hhhr |hs ii = hhsin(rπ
Lct) sin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lct) sin(sπ
Lx)ii (9)
= hsin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lx)i1 hsin(rπ
Lct)|sin(sπ Lct)i2,
e
hhgr|hsii = hhcos(rπ
Lct) sin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lct) sin(sπ
Lx)ii (10)
= hsin(rπ
Lx)|sin(sπ
Lx)i1hcos(rπ
Lct)|sin(sπ Lct)i2. Da An´alise Harmˆonica Discreta sabemos que sek < N −1 ent˜ao
hsin(rπ
Lx)| sin(sπ
Lx)i1=
N, ses=r= 1, . . . , k 0, se 1≤r, s≤k, r6=s.
Em consequˆencia, hhgr|gsii =
Nhcos(rπLct)|cos(sLπct)i2, ses=r= 1, . . . , k
0, se 1≤r, s≤k, r6=s.
hhhr |hsii =
Nhsin(rLπct)|sin(sπLct)i2, ses=r= 1, . . . , k
0, se 1≤r, s≤k, r6=s.
hhgr |hsii =
Nhcos(rπLct)|sin(sπLct)i2, ses=r= 1, . . . , k
0, se 1≤r, s≤k, r6=s.
Assim, g1, . . . , gk, h1, . . . , hk s˜ao ortogonais e consequentemente os coefi- cientes da fun¸c˜ao aproximadoraeus˜ao dados por
a`= hhu|g` ii
hhg` |g` ii, b`= hhu|h`ii
hhh` |h` ii. (11)
3 EXERC´ ICIO PROGRAMA
3.1 O que programar
Seu programa pode ser feito numa linguagem de programa¸c˜ao como“C”, “For- tran”, “Pascal”, ou ser desenvolvido usando um programa espec´ıfico para com- puta¸c˜ao cient´ıfica como “MAPLE”, “MATHEMATICA” ou “MATLAB”, e deve conter
(a) Leitura dos valores dec, do comprimentoLda corda e do instante de tempo finalT.
(b) Leitura dos n´umeros M e N que definem os pontos da malha em que a fun¸c˜aou´e conhecida.
(c) C´alculo ou Leitura dos valoresuij =u(xi, tj), i= 0,1, . . . , N, j= 0,1, . . . , M nos pontos (xi, yj) da malha.
(d) Leitura do valor kque deve ser usado ao procurar a fun¸c˜ao aproximadora u.e
(e) Fun¸c˜oesg`, h`.
(g) Obten¸c˜ao dos coeficientesa`, b`, `= 0,1, . . . , kda fun¸c˜ao aproximadora eu.
(h) Gr´afico da fun¸c˜ao aproximadora obtida e da fun¸c˜ao tabelada que foi apro- ximada.
3.2 Dados para os testes
Vocˆe deve testar seu programa em dois casos, para valores dos parˆametros c, L, T, M eN dados, e para diversos valores do parˆametrok.
I. Primeiro teste: a tabelauij =u(xi, tj) deve ser gerada a partir de uma solu¸c˜ao exata do problema da corda finita com extremidades fixas,
u(x, t) = 1
2(f(x+ct) +f(x−ct)) + 1 2c
Z x+ct x−ct
g(s)ds,
com f(x) = x(L−x) (posi¸c˜ao inicial) e g(x) = x(L−x) (velocidade inicial).
Tome c = 1, L= 2, T = 3, M = 30, N = 20 e fa¸ca aproxima¸c˜oes usando k= 1, k= 2, k= 3, k= 6, k= 9.
II. Segundo teste: A tabela uij = u(xi, tj), em arquivo, e os valores dos parˆametros, ser˜ao disponibilizados em breve. Fique atento!
4 Observa¸ c˜ ao
O Exerc´ıcio Programa pode ser feito individualmente ou em grupos de 2 alunos.
Sobre o Exerc´ıcio Programa, devem ser entregues: disquete, impress˜ao da listagem e da sa´ıda.
5 Testes Complementares Interessantes
(a)f(x) =x(L−x), g(x) = 0.
(b)f(x) = 0, g(x) =x(L−x).
(c)g(x) = 0 e
f(x) =
− |x−| sex∈[0,2],
0, sex∈[2, L] ou seja, f(x) =
x, sex∈[0,2], 2−x, sex∈[,2], 0, sex∈[2, L]
onde 0< << L.
6 Data de Entrega e Coment´ arios
Ser˜ao disponibilizados em breve. Fique atento!
