1.2 O Teorema de Gelfand-Naimark para C

Índice

Introdução 1

1 C^∗-álgebras 5

1.1 Preliminares . . . 5 1.2 O Teorema de Gelfand-Naimark para C^∗-álgebras comutativas . . . . 14 1.3 Aproximação da Unidade e Elementos Positivos . . . 18 1.4 Teorema de Gelfand-Naimark-Segal e a Teoria das Representações . . 20 1.5 Multiplicadores e Centralizadores de uma C^∗-álgebra . . . 28

2 Grupos Topológicos e Medida de Haar 33

2.1 Grupos Topológicos . . . 33 2.2 Medida de Haar . . . 37

3 Produtos Cruzados 49

3.1 Produto Cruzado . . . 49 3.2 Produto Cruzado Reduzido . . . 72 4 Mediabilidade e o Produto Cruzado Discreto 75 4.1 Mediabilidade . . . 76

4.2 O Produto Cruzado Discreto . . . 78 4.3 O Produto Cruzado de um Grupo Mediável Discreto pela C^∗-álgebra

dos Complexos . . . 80 4.4 O Produto Cruzado de um Grupo Mediável Discreto por uma C^∗-

álgebra qualquer . . . 88

Apêndice A 93

A Integração de Funções a Valores Vetoriais 93

Referências Bibliográficas 101

Introdução

Um C^∗-sistema dinâmico é uma tripla{A, G, α}, ondeA é uma C^∗-álgebra,Gé um grupo topológico localmente compacto eαé um homomorfismo contínuo deGno grupo dos automorfismos de A, equipado com a topologia da convergência pontual.

Podemos construir a partir de um C^∗-sistema dinâmico {A, G, α} uma C^∗-álgebra chamada de Produto Cruzado e denotada por Go

α A.

Uma representação covariante de um C^∗-sistema dinâmico{A, G, α}é uma terna (π, u, H), onde H é um espaço de Hilbert, π é uma representação de A em B(H) e u é uma representação unitária de G em B(H), tal que u_tπ(a)u^∗_t = π α_t(a)

. Es- tas representações desempenham um papel fundamental na construção do Produto Cruzado Go

α

A, uma vez que existe uma relação bijetiva entre as representações covariantes do C^∗-sistema dinâmico {A, G, α} e as representações não-degeneradas deL1(G, A). Através dessa bijetividade podemos obter a representação(πu, Hu)de L₁(G, A), chamada de representação universal por ser a soma direta de todas as representações não degeneradas de L₁(G, A), e utilizar esta representação, (π_u, H_u), para definir o Produto Cruzado G o

α A como sendo o fecho de π_u L₁(G, A) em B(H_u).

Tomando-se a representação covariante π˜_u, λ, L₂(G, H_u)

, onde π˜_u, L₂(G, H_u) é uma representação de A, construída a partir da representação universal (π_u, H_u)e λé a representação regular deG, isto é,λ_s(t) =s⁻¹t,∀s, t∈G, pode-se obter a par- tir da bijetividade citada no parágrafo anterior, a representação π˜u×λ, L2(G, Hu)

, chamada de representação regular deGo

α A. E assim, definimos o Produto Cruzado Reduzido, Go

αrA, como sendo a imagem de Go

α A via representação regular, isto é, Go

αrA= ˜π_u×λ(Go

α A).

Estas novas estruturas possuem propriedades especiais quando passamos a par- ticularizar o C^∗-sistema dinâmico inicial {A, G, α}. Um exemplo é o caso em que o grupo G é mediável, esta é uma tradução não literal do termo inglês "amenable", pois se G é medíavel então, π˜u ×λ é uma representação fiel e conseqüentemente o Produto Cruzado Go

α A será isometricamente isomorfo ao Produto Cruzado Re- duzido Go

αrA. Temos também o exemplo em que a C^∗-álgebra A, em {A, G, α}, é o conjunto do números complexos, C, neste caso a representação regular é fiel se, e somente se, o grupo G é mediável.

Neste trabalho desenvolveremos o que foi dito acima como a construção do Produto Cruzado (Go

α

A) e do Produto Cruzado Reduzido (Go

αr

A) para o caso geral, assim como, a bijetividade entre as representações covariantes de um C^∗- sistema dinâmico {A, G, α} e as representações não-degeneradas de L₁(G, A), ou melhor, de Go

α A. Faremos também a demonstração dos dois teoremas envolvendo grupos mediáveis que foram descritos anteriormente, contudo, neste caso trataremos somente dos grupos mediáveis discretos a fim de simplificar um pouco as demons- trações de tais teoremas.

Para que pudéssemos desenvolver os resultados acima citados precisamos pre- liminarmente desenvolver um capítulo sobre C^∗-álgebras onde apresentamos algumas das principais definições e exemplos de tal teoria e também alguns de seus principais resultados que serão de fundamental importância para o desenvolvimento dos dois últimos capítulos desta dissertação.

Assim como o primeiro capítulo, fez-se necessário um segundo capítulo que abrangesse tópicos como Grupos Topológicos e Medida de Haar para que conseguis- semos trabalhar com maior segurança nos capítulos posteriores. Em meio a este capítulo nos deparamos com algumas integrais de funções a valores vetoriais e por este motivo foi necessária a inclusão de um apêndice ao final da dissertação sobre este tópico, Integração de Funções a Valores Vetoriais, que será muito utilizado nos capítulos dois e três deste trabalho.

No terceiro capítulo mostramos a bijetividade existente entre as representações covariantes (π, u, H) de um C^∗-sistema dinâmico {A, G, α}qualquer, e as represen- tações não-degeneradas de L₁(G, A) e logo após isto, definimos o Produto Cruzado

Go

α A, e o Produto Cruzado ReduzidoGo

αrA, mostrando também alguns exemplos e propriedades de tais estruturas.

Para finalizar este texto trazemos o capítulo quatro onde definimos o que é um grupo mediável e damos alguns exemplos de tais grupos, visto isto, faremos um pequeno insejo sobre o Produto CruzadoGo

α

Ae o Produto Cruzado ReduzidoGo

αr

A nos casos em que o grupo G é discreto. Tal insejo tem a finalidade de auxiliar no desenvolvimento dos dois principais teoremas deste capítulo, que já foram descritos anteriormente.

Capítulo 1 C ^∗ -álgebras

Neste primeiro capítulo trataremos de alguns resultados de C^∗-álgebras que serão necessários ao desenvolvimento deste trabalho. Servirá, não só, como um capítulo preliminar para orientar e dar referência sobre resultados que serão úteis no decorrer do texto, como também, realizará um trabalho de fixação da notação que será utilizada em toda a dissertação. Contudo, alguns dos resultados deste capítulo não serão desenvolvidos, deixando-se apenas uma referência ou uma idéia de como fazê-los, com a finalidade de não tornar o capítulo muito longo, o que fugiria de seu propósito.

1.1 Preliminares

Definição 1.1 Uma álgebra A é um espaço vetorial, sobre um corpo K, R ou C, munido de uma aplicação bilinear, aqui chamada de multiplicação, onde para todo a, b e c∈A vale

a(bc) = (ab)c.

Quando essa álgebra A possui uma norma, k k, que satisfaz a desigualdade kabk6kakkbk, para todo a e b ∈A,

chamaremos ao par (A,k k) de álgebra normada. Se A for completo, segundo essa norma, diz-se que A é uma álgebra de Banach.

E ainda, se a álgebra de Banach A admite uma unidade 1_A, isto é, se para todo a ∈ A temos 1_Aa = a1_A = a e k1_Ak = 1, então dizemos que A é uma álgebra de Banach com unidade.

No decorrer deste trabalho estaremos sempre utilizando álgebras definidas a partir de espaços vetoriais sobre o corpo dos números complexos e por este motivo iremos sempre nos referir a um espaço como sendo uma álgebra, ou uma álgebra de Banach ao invés de uma álgebra complexa ou uma álgebra de Banach complexa.

Da definição de álgebra normada, ou melhor, da desigualdade anterior podemos obter

kab−a⁰b⁰k6kakkb−b⁰k+ka−a⁰kkb⁰k para a, b, a⁰ e b⁰ em A, donde decorre a continuidade da multiplicação na álgebra normada A.

Definição 1.2 Seja A uma álgebra, uma involução em A é um operador ∗ tal que

∗: A−→A a7−→a^∗ e para todo a e b em A e λ em K, vale

(a+b)^∗ =a^∗+b^∗ (λa)^∗ =λa^∗

(a^∗)^∗ =a (ab)^∗ =b^∗a^∗.

Uma álgebra com uma involução é dita uma álgebra involutiva ou uma ∗-álgebra e uma álgebra de Banach A com uma involução que satisfaz a igualdade ka^∗k=kak, para todo a∈A, é chamada de ∗-álgebra de Banach.

Definição 1.3 Uma C^∗-álgebra A é uma ∗-álgebra de Banach onde ka^∗ak =kak², para todo a ∈A. Se A possui unidade, 1_A, então dizemos que A é uma C^∗-álgebra com unidade.

Observe que numa C^∗-álgebra A, para cada elemento a∈A temos kak= sup

ka⁰k61

kaa⁰k.

De fato, comoka⁰k61então,kaa⁰k6kake assumindo quekak= 1temoska^∗k= 1 e assim sup

ka⁰k61

kaa⁰k>kaa^∗k=kak² = 1.

Não é necessário supor que k1_Ak= 1 quando A for uma C^∗-álgebra não-nula e com unidade, porque segue automaticamente do fato anterior que k1_Ak= 1.

Exemplo 1.4 O conjunto dos números complexos Cmunido da involução dada pela conjugação complexa,λ 7→λ, e da norma obtida pelo módulo,¯ |.|, é uma C^∗-álgebra.

Exemplo 1.5 O conjunto C₀(X) das funções contínuas que tendem a zero fora de um subconjunto compacto de X, onde X é um espaço topológico Hausdorff e localmente compacto (mais precisamente podemos definir C₀(X) como o conjunto das funções f que tornam o conjunto {x ∈ X : |f(x)| > } compacto para todo >0), munido das operações pontuais

(f +g)(x) = f(x) +g(x) (f g)(x) = f(x)g(x) (λf)(x) = λf(x), da norma do supremo

kfk∞ = sup

x∈X

|f(x)|.

E da involução dada por f 7→f¯, onde f(x) =¯ f(x), também é uma C^∗-álgebra.

Exemplo 1.6 Seja H um espaço de Hilbert então B(H), conjunto dos operadores limitados de H, é uma C^∗-álgebra quando consideradas as operações

(T +S)(h) = T(h) +S(h) (T S)(h) = T S(h)

(λT)(h) = λT(h), a norma usual de operadores

kTk= sup{kT hk:h∈H, khk61},

e a involução obtida através do produto interno,

hT h, ki = hh, T^∗ki para h e k em H.

Exemplo 1.7 O conjunto das matrizes quadradasn×na valores complexos,M_n(C), também é uma C^∗-álgebra, basta identificarmos este espaço com B(Cⁿ) e temos um caso particular do exemplo anterior.

Exemplo 1.8 As subálgebras fechadas e auto-adjuntas de B(H), H um espaço de Hilbert, como no exemplo (1.6) também são C^∗-álgebras.

O exemplo (1.6) acima sugere algumas definições para elementos com pro- priedades especiais dentro de uma C^∗-álgebra, dentre elas podemos destacar.

Definição 1.9 Seja A uma álgebra involutiva e a um elemento de Aentão dizemos que:

(i) a é hermetiano, ou auto-adjunto, quando a^∗ =a.

(ii) a é normal, se a^∗a=aa^∗.

(iii) se A possui unidade e a^∗a=aa^∗ = 1_A então, dizemos que a é unitário.

Definição 1.10 Um aplicação linear φ de uma ∗-álgebra A a uma ∗-álgebra B é chamada de ∗-homomorfismo se

φ(xy) = φ(x)φ(y) e

φ(x^∗) = φ(x)^∗ ∀x, y ∈A.

Se A e B possuem unidade exigimos que φ(1_A) = 1_B. Um ∗-homomorfismo bijetivo φ é chamado∗-isomorfismo. Se φ é um ∗-isomorfismo de A em A dizemos que φ é um ∗-automorfismo de A.

Como no decorrer do texto estaremos sempre utilizando a involução, abusare- mos algumas vezes da linguagem e escreveremos apenas Álgebra de Banach, homo- morfismo, isomorfismos, etc. ao invés de ∗-álgebra de Banach, ∗-homomorfismos,

∗-isomorfismos.

Se uma álgebraAnão possui unidade é freqüentemente conveniente e necessário construir, a partir de A, uma álgebra que possua uma unidade. Isso pode ser feito se construirmos A, chamada de unitização dee A ¹, da seguinte forma:

Ae=A⊕C

(a, λ)(b, µ) = (ab+λb+µa, λµ)

e teremos como unidade de Ae o elemento (0,1). Além disso, teremos uma identi- ficação, através de um homomorfismo injetivo, de A com um ideal maximal de Ae através dos elementos (a,0), para todo a∈A.

SeAé uma∗-álgebra entãoAetambém é uma∗-álgebra considerando a involução (a, λ)^∗ = (a^∗, λ).

E seAfor uma álgebra normada podemos tornarAeuma álgebra normada utilizando como uma das possíveis normas

k(a, λ)k=kak+|λ|

que satisfaz, para todo a e b em A eλ e µem C, as condições

k(a, λ)(b, µ)k=k(ab+λb+µa, λµ)k=kab+λb+µak+|λµ|

6kakkbk+|λ|kbk+|µ|kak+|λ||µ|

= (kak+|λ|)(kbk+|µ|)6k(a, λ)kk(b, µ)k e

k(a, λ)^∗k=k(a^∗,λ)k¯ =ka^∗k+|λ|¯ =kak+|λ|=k(a, λ)k.

ComoA pode ser identificado com uma subálgebra fechada² deAeentão,Aeserá uma ∗-álgebra de Banach se A de fato for uma ∗-álgebra de Banach.

Por fim, se Aé uma C^∗-álgebra podemos definir emAeuma norma de tal forma que Ae se torna uma C^∗-álgebra, a demonstração desse fato está feita mais adiante em (1.15).

1A unitizaçãoAede uma álgebraApode ser feita mesmo nos casos em queAjá possui unidade.

2A verificação de que é um espaço fechado se torna simples simples, basta notar que uma seqüência convergente de elementos da forma(a,0)converge para um elemento deste mesmo tipo.

A unitização de uma álgebra descrita acima, serve para vários propósitos, entre eles, o de definir o espectro de um elementoa em uma álgebraAqualquer. Observe que a partir da definição de espectro para o caso em que A possui unidade dada a seguir, definimos com o auxílio da unitização o espectro quando A não possui unidade.

Definição 1.11 Dada uma álgebra A com unidade e um elemento a∈A definimos como o espectro de a em A o conjunto

σ_A(a) ={λ∈C:a−λ1_A∈/ inv(A)}

onde inv(A) é o conjunto dos elementos inversíveis de A. Definimos também o raio espectral de um elemento a de A como sendo

r(a) = sup{|λ|:λ∈σ_A(a)}.

Mas para o caso em queAnão possui unidade utilizamos o auxílio da unitização deA, como segue.

Definição 1.12 Dada uma álgebra A sem unidade dizemos que o espectro de um elemento a∈A é o conjunto

σ_A(a) =σ_Ae(a).

E da mesma forma o raio espectral de a será

r(a) = sup{|λ|:λ∈σ_A(a)}.

O espectro de um elementoaem uma∗-álgebra de BanachA é um subconjunto compacto de C e diferente do vazio, por 1.2.4 e 1.2.5 de [10]. E pelo Teorema de Beurling, 1.2.7 de [10], temos para todo a∈A,

r(a) = lim

n→∞kaⁿk^1/n 6kak.

Lema 1.13 Se a é um elemento auto-adjunto de uma C^∗-álgebra A então, r(a) =kak.

Demonstração: Como estamos numa C^∗-álgebra e a é auto-adjunto entãoa^∗ =a e kak² = ka^∗ak = ka²k, indutivamente temos ka²ⁿk = kak²ⁿ e pelo Teorema de Beurling

r(a) = lim

n→∞kaⁿk^1/n= lim

n→∞ka²ⁿk^1/2n =kak.

Corolário 1.14 Existe no máximo uma norma sobre uma ∗-álgebra que a torna uma C^∗-álgebra.

Demonstração: Decorre imediatamente do Lema anterior que se tivessemos duas normas,k k₁ e k k₂, na ∗-álgebra A tornando-a uma C^∗-álgebra então,

kak²₁ =ka^∗ak₁ =r(a^∗a) kak²₂ =ka^∗ak₂ =r(a^∗a) ou seja, kak₁ =kak₂, para todo a em A.

Antes de enunciarmos e provarmos o próximo teorema faremos alguns esclare- cimentos, a fim de tornar sua demonstração mais clara e simples.

Dado um espaço de Banach A definimos B(A) como sendo o conjunto dos operadores lineares limitados de A, isto é φ ∈B(A) se, e somente se, φ : A → A e também kφk<∞, segundo a norma usual de operadores.

Sendo assim, podemos definir, para cada elemento (x, λ) de A, um operadore L_(x,λ) dado por

L_(x,λ)(y) =xy+λy ∀ y∈A, que claramente está emB(A)pois,

kL_(x,λ)k= sup

kyk61

kxy+λyk6 sup

kyk61

kx+λkkyk6kx+λk < ∞.

Mais detalhes sobre este tipo de operadores podem ser vistos na última seção deste capítulo.

Teorema 1.15 Seja A uma C^∗-álgebra sem unidade então existe uma única norma em Aeque o torna uma C^∗-álgebra e que estende a norma de A.

Demonstração: A unicidade dessa norma decorre imediatamente de (1.14) e sua existência será demonstrada a seguir.

Seja (x, λ)∈Aedefinimos

k(x, λ)k_c= sup{kxy+λyk:kyk61, y ∈A}, ou de forma equivalente

k(x, λ)kc=kL(x,λ)k.

Observe que k(x, λ)k_c<∞ pois,k(x, λ)k_c=kL_(x,λ)k < ∞.

De fato k k_c é uma norma, já que, pela própria definição

k(x, λ) + (z, µ)k_c6k(x, λ)k_c+k(z, µ)k_c e kα(x, λ)k_c=|α|k(x, λ)k_c para quaisquer x e z em A eλ,µ eα em C.

E também ao assumirmos que k(x, λ)k_c = 0, para x ∈ A e λ ∈ C, temos xy+λy = 0, para todo y ∈ A com kyk 6 1. Supondo λ 6= 0, temos −λ⁻¹xy = y para todoy∈Ae dessa formau=−λ⁻¹xé uma unidade à esquerda deA eu^∗ uma unidade à direita. Como u = uu^∗ =u^∗ então u é uma unidade de A, o que é uma contradição e portanto λ= 0 e conseqüentemente x= 0.

Observe que como kxk= sup{kxyk:kyk61, y ∈A}, para todo x∈A, então k kc estende a norma de A ( kxk=k(x,0)kc, ∀x∈A).

Vejamos agora que k k_c de fato torna Aeuma C^∗-álgebra. Dados (x, λ) e (y, µ) elementos de A, comoe k(x, λ)kc =kL(x,λ)k então,

k(x, λ)(y, µ)k_c6k(x, λ)k_ck(y, µ)k_c

é válida.

E assim é suficiente mostrar que

k(x, λ)k²_c 6k(x, λ)^∗(x, λ)kc.

Podemos escrever os elementos (x, λ)∈Aena forma x+λ1_Ae, ondexse lê (x,0) e 1

Ae é a unidade(0,1)de A.e

Seja r um número real, 0< r < 1. Pela definição da norma k k_c existe y∈ A, comkyk61e tal querk(x, λ)k_c<kxy+λyk. Utilizando-se o fato de quekyk=kyk_c e a identificação anterior temos

r²k(x, λ)k²_c 6kxy+λyk² =k(xy+λy)^∗(xy+λy)k

=ky^∗(x+λ1_Ae)^∗(x+λ1_Ae)yk_c 6ky^∗kck(x+λ1_Ae)^∗(x+λ1_Ae)kckykc

6k(x+λ1

Ae)^∗(x+λ1

Ae)k_c

=k(x, λ)^∗(x, λ)k_c e fazendo r→1 temosk(x, λ)k²_c 6k(x, λ)^∗(x, λ)k_c.

Para mostrar que Aeé completo tomemos uma seqüência de Cauchy(xn, λn)em A. Então a seqüênciae (λ_n)n∈N é limitada pois, caso contrário poderíamos assumir que existe uma subseqüência (λ_ni)i∈I com |λ_ni| → ∞. Mas como (x_ni, λ_ni)i∈I é limitada, teríamos

(1/λ_ni)x_ni+ 1_Ae= (1/λ_ni)(x_ni+λ_ni1_Ae)→0,

e como A é completo e fechado em Ae então −x_ni/λ_ni → 1_Ae e assim 1_Ae ∈ A, uma contradição. Dessa forma (λ_n)n∈N é limitada e podemos assumir que existe uma subseqüência (λ_ni)i∈I onde λ_ni →λ,λ∈C.

Com isso escrevemos x_ni = (x_ni, λ_ni)−(0, λ_ni) o que nos mostra que (x_ni)i∈I é uma seqüência de Cauchy e portanto x_ni → x, x ∈ A. E assim (x_ni, λ_ni) →(x, λ), com (x, λ)∈A. Portantoe (x_n, λ_n)−→(x, λ).

Para finalizar esta parte relativa a unitização vale ressaltar que podemos tam- bém estender um ∗-homomorfismo φ : A → B, A e B ∗-álgebras, de forma única para um ∗-homomorfismo φ, da˜ ∗-álgebra Aepara a ∗-álgebra B. Para mostrarmose esta extensão teríamos que dividi-la em vários casos, como quando A eB não pos- suem unidade onde fazendo a identificação dos elementos (x, λ) ∈ Ae como fizemos

anteriormente

(x, λ) =x+λ1

Ae

teremos

φ(x˜ +λ1_Ae) =φ(x) +λ1_Be.

Mas precisaríamos também separar os casos em queA tem unidade e B não, o caso em que B tem unidade e A não e o caso em que A e B tem unidade e por este motivo não faremos tal demonstração deixando como referência o teorema 2.1.6 de [10] e seus comentários.

Com isto podemos provar o resultado a seguir.

Lema 1.16 Todo ∗-homomorfismo φ entre uma ∗-álgebra de Banach A e uma C^∗- álgebra B é norma decrescente, isto é, contrai a norma. Ou seja, para todo a ∈ A vale

kφ(a)k6kak.

Demonstração: Pelo que foi dito anteriormente podemos suporAeB com unidade e φ(1A) = 1B, caso contrário, tomaríamos Ae e Be, e φ˜ levando a unidade de Ae na unidade de B. Sendo assim, para todoe a∈A temos σ_B φ(a)

⊆σ_A(a), logo kφ(a)k² =kφ(a)^∗φ(a)k=kφ(a^∗a)k=r φ(a^∗a)

6r(a^∗a)6ka^∗ak6kak², isto é, kφ(a)k6kak, para todo a∈A.

Este lema será utilizado em (1.21) para demonstrar que um ∗-homomorfismo injetivo entre C^∗-álgebras é sempre uma isometria.

1.2 O Teorema de Gelfand-Naimark para C

-álgebras comutativas

O teorema de Gelfand-Naimark nos diz que toda C^∗-álgebra A comutativa é isometricamente isomorfa aC0(X)onde X é um espaço Hausdorff localmente com-

pacto. Para verificarmos isto iremos ver nesta seção este isomorfismo isométrico acompanhado da construção do espaço X.

Definição 1.17 Numa C^∗-álgebra comutativaA chamamos de caracter de A a todo

∗-homomorfismos, não nulo, de A em C e denotamos por Ab ao conjunto de todos os caracteres de A, que também é chamado de espectro de A.

Através da própria definição de caracter podemos ver que kφk 6 1 para todo φ ∈ A. Além disso, existe uma relação entre os caracteres deb A e o espectro dos elementos deA, que pode ser vista no teorema a seguir, cuja demonstração pode ser encontrada em 1.3.4 de [10].

Teorema 1.18 Seja A uma ∗-álgebra de Banach:

i) Se A possui unidade então,

σ_A(a) ={φ(a) : φ ∈A}.b ii) Se A não possui unidade então,

σA(a) = {φ(a) : φ∈A} ∪ {0}.b

Notação: DadoE um espaço normado denotamos por E^∗ ao dual de E, isto é, ao conjunto de todos os funcionais lineares contínuos de E em C.

Definição 1.19 Dada uma ∗-álgebra de Banach A comutativa, para cada a ∈ A , sejaˆa(φ) =φ(a), para todo φ em A. A aplicação que a cada elementob a∈A associa a função ˆa:Ab→C é chamada de transformada de Gelfand.

A topologia em Ab é a topologia menos fina que torna todos os elementos ˆa de Abcontínuos. Essa topologia coincide quando olhamosAbcomo um subespaço de A^∗ munido da topologia fraca-∗.

Dessa forma Ab∪ {0} é um espaço fraco-∗ fechado na bola unitária fechada de A^∗ e pelo Teorema de Banach-Alaoglu, vide 3.1 de [2], sabemos que a bola unitária fechada de A^∗ é fraca-∗ compacta, ou seja, Ab∪ {0}é fraco-∗compacto e assim Abé

localmente compacto. Da mesma forma, vemos que quandoA possui unidade então Abé fraco-∗ fechado na bola unitária de A^∗ e assim sendo, é compacto.

Pelo teorema anterior podemos observar também que a transformada de Gelfand é um ∗-homomorfismo e que kˆak∞ =r(a)6kak, ou seja, é norma decrescente.

Estamos prontos, agora, para demonstrar o Teorema de Gelfand-Naimark.

Teorema 1.20 (Gelfand-Naimark) Se A é uma C^∗-álgebra comutativa e não nula então, a representação de Gelfand dada por

Φ :A→C₀(A)b a7→ˆa é um ∗-isomorfismo isométrico.

Demonstração: Já vimos que Φ é um ∗-homomorfismo norma decrescente com kˆa(φ)k∞ =kΦ(a)k∞=r(a), além disso Φé isométrico pois,

kΦ(a)k²_∞ =kΦ(a)^∗Φ(a)k∞=kΦ(a^∗a)k∞=r(a^∗a) = ka^∗ak=kak².

Como Φ(A) é uma ∗-subálgebra fechada de C0(A)b que separa os pontos de Ab e como para todo ˆa ∈ Abexiste um elemento a ∈ A tal que Φ(a)(ˆa) 6= 0 temos como conseqüência do Teorema de Stone-Weierstrass, vide V.8.3 de [2], queΦ(A) = C₀(A).b O Teorema de Gelfand-Naimark nos mostra que toda C^∗-álgebra comutativa é isometricamente isomorfa a C₀(X) para X um espaço localmente compacto, isto é, toda C^∗-álgebra comutativa é essencialmente a álgebra das funções contínuas que tendem a zero no infinito sobre um espaço topológico Hausdorff e localmente compacto. E ainda, se essa C^∗-álgebra possui unidade então ela é a álgebra das funções contínuas sobre um compacto.

Como já conhecemos o Teorema de Gelfand-Naimark podemos demonstrar um resultado importante que foi citado na seção anterior, mas que não foi demonstrado pela necessidade de tal teorema agora enunciado.

Teorema 1.21 Todo ∗-homomorfismo injetivo φ :A →B, onde A e B são ambos C^∗-álgebras, é necessariamente uma isometria.

Demonstração: Vamos mostrar que kφ(a)k² = kak² para todo a ∈ A, o que equivale a mostrar que kφ(a^∗a)k = ka^∗ak. Podemos supor A comutativo, caso contrário, tome a C^∗-álgebra gerada por a^∗a que está necessariamente contida em A. Podemos também suporB comutativo, ou então, restringirmos o contra-domínio ao fecho do conjunto gerado por φ(a^∗a) que está necessariamente contido em B. E mais, podemos também supor A e B com unidade e φ(1_A) = 1_B, como fizemos na demonstração de (1.16).

Seτ é um caracter deB então, τ◦φé um caracter deAe assim podemos definir a função

ψ :Bb →Ab τ 7→τ ◦φ

que é contínua. Dessa forma ψ(B)b é compacto, ou seja, ψ(B)b é fechado emAbque também é compacto e pelo lema de Urysohn existe uma função contínua e não nula f :Ab→Cque se anula em ψ(B).b

Pelo Teorema de Gelfand-Naimark, (1.20), f = ˆa para algum a ∈ A, ou seja, para cada τ em Bb temos τ ◦φ(a) = ˆa(τ ◦φ) = 0. Com isto, φ(a) = 0 e portanto a = 0. Mas isto implica que f = 0, o que é uma contradição, ou seja, ψ(Bb) = A.b Portanto,

kak=kˆak∞ = sup

τ∈Ab

|τ(a)|= sup

τ∈Bb

|τ ◦φ(a)|=kφ(a)k, para cada a∈A, o que nos mostra que φ é uma isometria.

A partir deste resultado podemos concluir outros muito importantes dentre eles o de que um ∗-homomorfismo, φ : A → B, entre C^∗-álgebras, nos dá sempre φ(A) ⊂ B é uma C^∗-álgebra. Alguns outros resultados sobre este assunto podem ser encontrados no capítulo 3 de [10].

1.3 Aproximação da Unidade e Elementos Positivos

Definição 1.22 Um elemento a de uma C^∗-álgebra A, qualquer, é dito positivo se a é auto-adjunto e σ_A(a)⊆R+. Escrevemos a >0 para dizer que a é um elemento positivo e denotamos por A⁺ o conjunto de todos elementos positivos de A. Para simplificar escreve-se que a>b ou b6a se a−b ∈A⁺.

Existe uma série de equivalências em relação a definição de elementos positivos e por isso descreveremos algumas delas na próxima proposição, cuja demonstração pode ser encontrada em 1.6.1 de [4].

Proposição 1.23 SeA é uma C^∗-álgebra ea é um elemento auto-adjunto qualquer de A então as afirmações abaixo são equivalentes:

i) a é positivo;

ii) a é da forma b^∗b para algum b∈A;

iii) existe algum h auto-adjunto de A tal que a=h²;

e ainda o conjuntoA⁺ forma um cone convexo e fechado tal queA⁺∩(−A⁺) = {0}.

A afirmação (iii), anterior, possui uma outra formulação que nos diz que todo elemento positivo a em A⁺ possui uma única raiz quadrada positiva, ou seja, dado a ∈ A⁺ existe b ∈ A⁺ tal que a = b^1/2. Utilizando esta outra formulação podemos demonstrar o lema a seguir que nos será útil, na última seção deste cápitulo, para provar a limitação de um centralizador, que ainda será definido.

Lema 1.24 Sejam a e b elementos de uma C^∗-álgebra A tal que a > 0 e b^∗b 6 a.

Existe um elemento u∈A tal que kuk6ka^1/4k e b=ua^1/4.

Demonstração: Por conveniência utilizaremos A como se tivesse unidade, caso contrário poderíamos utilizar o artíficio de identificar A em Ae que possui uma unidade e teríamos os mesmos resultados que temos abaixo inclusive a existência deu em A.

Definindo-se para todo n ∈N, u_n =b(a+ 1

n1_A)^−1/2a^1/4 , f_n(t) =t^3/4(t+ 1 n)^−1/2

e d_nm = (a+ 1

n1_A)^−1/2−(a+ 1

m1_A)^−1/2.

Observe que u_n, d_mn e f_n estão bem definidos pois, comoa e ¹_n1_A são positivos sua soma também será um elemento positivo, ou seja, (a+ _n¹1_A)^1/2 existe e esta bem definido. Note também quea+_n¹1_Aé inversível porque pela positividade deatemos σ_A(a) ⊂ R+, no entanto, se olharmos a+ _n¹1_A como a−λ1_A onde λ = −_n¹ vemos que λ não pertence aσ_A(a), ou seja, a+ ¹_n1_A é inversível.

Temos também a convergência uniforme de f_n para t^1/4 quando t ∈ [0,kak].

Dessa forma,

ku_n−u_mk² =kbd_nma^1/4k² =ka^1/4d_nmb^∗bd_nma^1/4k 6ka^1/4dnmadnma^1/4k=kdnma^3/4k²

=kf_n(a)−f_m(a)k² 6 sup

t∈[0,kak]

kf_n(t)−f_m(t)k² =kf_n−f_mk²_∞ e como f_n é de Cauchy então, u_n também é.

E assim, tomando-se u= limn→∞u_n teremos ua^1/4 = lim

n→∞u_na^1/4 = lim

n→∞b(a+ 1

n1_A)^−1/2a^1/2 =b.

Para terminar vejamos que ku_nk=kb(a+ 1

n1_A)^−1/2a^1/4k6ka^1/2(a+ 1

n1_A)^−1/2a^1/4k e assim kuk6ka^1/4k.

Definição 1.25 Uma aproximação da unidade numa álgebra normadaAé uma rede (xλ)λ∈Λ em A que satisfaz limλxλa =a = limλaxλ, para todo a∈A.

Se existe M ∈R tal que kx_λk< M, para todo λ∈Λ, diz-se que a aproximação da unidade é limitada.

Para o caso em que A é uma C^∗-álgebra dizemos que a aproximação da unidade é crescente se x_λ for positivo para todo λ e se λ6γ implicar em x_λ 6x_γ.

Enunciaremos agora um teorema, muito útil para o restante deste trabalho, que garante a existência de uma aproximação da unidade crescente em uma C^∗-álgebra.

A demonstração deste teorema pode ser encontrada em 13.1 de [6] e também em 3.1.1 de [10].

Teorema 1.26 Dada uma C^∗-ágebra A e um ideal denso I de A, então existe uma aproximação da unidade(u_λ)λ∈Λ emI, crescente e tal queku_λk61. E ainda, seAé separável a aproximação da unidade pode ser indexada por um conjunto enumerável como N.

1.4 Teorema de Gelfand-Naimark-Segal e a Teoria das Representações

Definição 1.27 Uma representação numa ∗-álgebra A é um par (π, H), onde H é um espaço de Hilbert e π : A → B(H) é um ∗-homomorfismo. Quando A possui unidade exigimos que π(1_A) = I_B(H). Uma representação π é dita fiel se o homo- morfismo π é injetor, isto é, π(a) = 0 se, e somente se, a = 0.

Definição 1.28 Uma representação (π, H) de uma ∗-álgebra A é dita cíclica se existe um vetor ξ ∈ H tal que o subespaço π(A)ξ = {π(a)ξ : a ∈ A} é denso em H. O vetor ξ é chamado de vetor cíclico.

Observemos que como B(H) é uma C^∗-álgebra então, uma representação π de uma C^∗-álgebra A, é um ∗-homomorfismo entre C^∗-álgebras e portanto, por (1.16), temos kπ(a)k 6kak, para todo a ∈ A, isto é π é limitado. Se π for fiel então, por (1.21), π é uma isometria de A em uma C^∗-subálgebra de B(H).

A soma direta de representações de uma C^∗-álgebra A também é uma repre- sentação de A. De fato dada uma família de representações (π_λ, H_λ)_λ∈Λ podemos construir a representação(π, H)deA, onde H =⊕λHλ eπ(a) (ξλ)λ

= πλ(a)ξλ

λ, para todo a∈A eξ_λ ∈H_λ.

Definição 1.29 SejaAuma C^∗-álgebra, dizemos que um funcionalφdeAé positivo se ele leva elementos positivos em números positivos ou equivalentemente, por (1.23), se

φ(a^∗a)>0 ∀ a∈A.

Um funcional linear positivo φ é chamado de estado se kφk = 1. O conjunto de todos os estados de A é denotado por S(A) ³.

Lema 1.30 Todo funcional linear positivo φ de uma C^∗-álgebra A é contínuo. E seja (u_λ)λ∈Λ uma aproximação da unidade de A então kφk = lim_λφ(u_λ). No caso em que A possui unidade temos kφk=φ(1_A)⁴.

Esse é um resultado bastante conhecido e sua demonstração pode ser encontrada em I.9.5 de [3] ou em3.3.1 e 3.3.3 de [10].

Antes de construirmos a representação de GNS desenvolveremos uma desigual- dade que será necessária à construção. Seja φ um funcional linear positivo de uma C^∗-álgebra A qualquer, podemos então definir um outro funcional linear positivo f de A da seguinte formaf(c) = ^φ(b_φ(b^∗∗^cb)b) para um b∈A fixo. Cabe notar que, de fato, f é funcional e linear e sua positividade decorre de f(c^∗c) = ^φ(b_φ(b^∗c∗^∗b)^cb) >0, para todo c∈A.

Utilizando-se a continuidade de f, (1.30), temos kfk= lim

λ f(u_λ) = lim

λ

φ(b^∗u_λb)

φ(b^∗b) = φ(b^∗b) φ(b^∗b) = 1,

para (u_λ) uma aproximação da unidade de A. Com isso, f(a^∗a) 6 ka^∗ak, ou seja, φ(b^∗a^∗ab)6ka^∗akφ(b^∗b).

Teorema 1.31 Todo funcional linear positivoφde uma C^∗-álgebraApode ser asso- ciado a uma representação(π_φ, H_φ)deA, chamada de representação GNS associada

3Existe também uma generalização dessa definição para A uma ∗-álgebra qualquer, onde um funcional é dito positivo seφ(a^∗a)>0, para todoa∈A.

4Assim como a definição de funcional positivo pode ser estendida para A uma ∗-álgebra de Banach, podemos estender este lema paraA uma∗-álgebra de Banach com uma aproximação da unidade (uλ)_λ∈Λ, uma demonstração deste fato pode ser vista em 2.1.5 de [4].

a φ, de forma que exista um vetor ξ_φ∈H_φ cíclico, tal que φ(a) = hπ_φ(a)ξ_φ, ξ_φi.

Demonstração: Seja φ um funcional positivo de A. Verifica-se facilmente pela desigualdade anterior que

N_φ={a ∈A:φ(a^∗a) = 0}

é um ideal à esquerda fechado de A.

Definimos então um produto interno em A/N_φ como sendo, ha+N_φ, b+N_φi = φ(b^∗a)

e denotaremos por H_φ ao espaço de Hilbert obtido através do completamento do espaço pré-hilbertiano A/N_φ.

Para todo a ∈A definimos o operadorπ(a)em A/N_φ dado por π(a)(b+N_φ) = ab+N_φ

de tal forma que

kπ(a)(b+N_φ)k² =hab+N_φ, ab+N_φi=φ(b^∗a^∗ab) 6ka^∗akφ(b^∗b) = kak²kb+N_φk²

ou seja,kπ(a)k6kake assim o operador π(a)∈B(A/N_φ)tem uma única extensão contínua a um operador π_φ(a)∈B(H_φ).

É imediato que π_φ é um ∗-homomorfismo e dessa forma fica demonstrado que dado uma funcional linear positivo φ de uma C^∗-álgebra A podemos construir uma representação (π_φ, H_φ)associada a esse funcional.

Observe que se a C^∗-álgebra A possui unidade podemos definir um vetorξ_φem H_φ, com ξ_φ = 1 +N_φ, e assim teremos para todo a ∈A,

φ(a) =φ(1^∗a) = ha+n_φ,1 +N_φi=hπ_φ(a)(1 +N_φ),(1 +N_φ)i=hπ_φ(a)ξ_φ, ξ_φi e ainda, como ξ_φ = 1 +N_φ temos π(A)ξ_φ = A/N_φ que é denso em H e assim fica provado que ξφ é cíclico.

Se a C^∗-álgebra A não possui unidade podemos proceder da mesma forma só que ao invés de utilizarmos a unidade, para obtermos ξ_φ, utilizamos a aproximação da unidade (u_λ)_λ∈Λ, isto é, tomamos ξ_φ = lim_λ(u_λ+N_φ).

Observe que a seqüência (u_λ +N_φ)λ∈Λ é de Cauchy pois, por (1.30) sabemos que φ(u_λ) = kφk e assim dado > 0existem índices α e β em Λ com α6β,

φ(u_α) > kφk − ku_λu_α−u_αk < para todo λ>β.

Logo,

Reφ(u_λu_α) = φ(u_α)−Reφ(u_λu_α−u_α)>kφk −2 e então,

k(u_λ+N_φ)−(u_α+N_φ)k² =φ (u_λ−u_α)²

=φ(u²_λ) +φ(u²_α)−2Reφ(uλuα) 6φ(u_λ) +φ(u_α)−2(kφk −2)64.

Portanto, para λ, µ>β temos

k(u_λ+N_φ)−(u_µ+N_φ)k6k(u_λ+N_φ)−(u_α+N_φ)k+k(u_α+N_φ)−(u_µ+N_φ)k64^1/2. E assim tomando-se ξ_φ = lim_λ(u_λ+N_φ) teremos,

φ(a) = lim

λ φ(u^∗_λau_λ) = lim

λ hau_λ +N_φ, u_λ +N_φi

= lim

λ hπ_φ(a)(u_λ+N_φ),(u_λ+N_φ)i=hπ_φ(a)ξ_φ, ξ_φi.

Analogamente, como ξ_φ= lim_λ(u_λ +N_φ)temos π(A)ξ_φ =A/N_φ que é denso em H e portanto ξ_φ é um vetor cíclico.

Mais uma vez gostaria de ressaltar que o teorema anterior se aplica também para o caso de A ser uma ∗-álgebra de Banach com uma aproximação da unidade (u_λ)λ∈Λ, como o próprio leitor pode verificar.

Definição 1.32 Seja A uma C^∗-álgebra não nula, definimos (π_u, H_u) a represen- tação universal de A como sendo a soma direta de todas as representações(π_φ, H_φ), onde φ ∈S(A).

Antes de enunciarmos e provarmos o Teorema de Gelfand-Naimark-Segal, um dos principais de toda a Teoria de C^∗-álgebra, se não o principal, vejamos um lema bastante importante para esta demonstração que pode ser encontrado em 5.1.11 de [10].

Lema 1.33 Seja A uma C^∗-álgebra não nula e a um elemento positivo de A então existe um estado φ de A tal que φ(a) = kak.

Teorema 1.34 (Gelfand-Naimark-Segal) Se A é uma C^∗-álgebra não nula en- tão a representação universal (π_u, H_u) é fiel.

Demonstração: Sendo (π_u, H_u) a representação universal de A e supondo que πu(a) = 0, sabemos por (1.33) que existe um estadoφ tal queφ(a^∗a) = ka^∗ake pelo que vimos anteriormente

φ(a^∗a) = hπ_φ(a^∗a)ξ_φ, ξ_φi=kπ_φ(a)ξ_φk

e assim como π_u(a) = 0 então, π_φ(a) = 0 e por conseqüência da equação anterior 0 = φ(a^∗a) = ka^∗ak = kak², ou seja, kak = 0. E dessa forma concluímos que a representação universal é fiel.

Por (1.21) sabemos queπ_u ser fiel implica automaticamente queπ_ué uma isome- tria, e portanto o que acabamos de provar é que toda C^∗-álgebra é isometricamente isomorfa a uma C^∗-subálgebra deB(H), paraH um espaço de Hilbert, isto é, pode- mos sempre enxergar uma C^∗-álgebra como uma subálgebra de operadores de um espaço de Hilbert.

Enunciaremos e daremos a idéia da demonstração de um teorema que será necessário para a demonstração de um teorema importante do capítulo 3, mas para isto precisaremos, antes de enunciá-lo, definir algumas ferramentas importantes para a teoria das representações como as representações irredutíveis, os estados puros, etc..

Definição 1.35 Um subespaço fechado K de H , H espaço de Hilbert, é invariante para um subconjunto Q de B(H), se φ(K)⊂K para todo operador φ de Q.

Uma representação (π, H)de uma∗-álgebra Aé dita topologicamente irredutível se os únicos subespaços fechados invariantes por π(A) de H são os triviais, isto é, 0 e o próprio H. Ou equivalentemente, uma representação (π, H) não-nula é dita topologicamente irredutível se todo vetor não-nulo de H é cíclico.

Definição 1.36 Seja φ um estado de uma∗-álgebra de Banach Aqualquer dizemos queφ é um estado puro se, para todo funcional linear positivoρ deA, tal que ρ6φ, necessariamente existe t∈[0,1] tal que ρ=tφ.

Como vimos anteriormente, na construção da representação GNS, todo fun- cionalφ pode ser associado a uma representação(π_φ, H_φ)e através dessa associação veremos que os dois novos conceitos anteriormente definidos, representações irre- dutíveis e estados puros, estão estreitamente associados como nos sugere o teorema a seguir, cuja demonstração pode ser encontrada em 2.5.4 de [4], ou em V.5.16 de [10], ou também em I.9.8 de [3].

Teorema 1.37 Seja A uma ∗-álgebra de Banach então φ é um estado puro se, e somente se, (π_φ, H_φ) é topologicamente irredutível.

Um ponto xnum conjunto convexo C é dito ponto extremo de C se a condição de que x=ty+ (1−t)z, para y e z em C e algumt tal que 0< t <1, implica que x=y=z. Ou equivalente, xé um ponto extremo deC se , e somente se, para todo y e z em C tais quex= ^y+z₂ temosx=y=z.

Definição 1.38 Dado um espaço vetorial E e um conjunto C ⊂ E, chamamos de convexificado de C ao menor subconjunto convexo de E que contém C. E represen- tamos este conjunto por co(C).

Um dos grandes resultados de Análise Funcional que tem inúmeras aplicações é o Teorema de Krein-Milman que envolve os pontos extremos de um conjunto e que nos diz.

Teorema 1.39 (Krein-Milman) Seja C um conjunto convexo, compacto e não vazio num espaço vetorial Hausdorff e localmente convexo X. Então o conjunto dos pontos extremos de C, denotado por E, é não vazio e C = co(E). E ainda se um subconjunto fechado E⁰ de C é tal que co(E⁰) =C, então E ⊂E⁰.

Uma das aplicações do Teorema de Krein-Milman é o teorema a seguir que será de fundamental importância para a demonstração do último resultado desta seção.

Teorema 1.40 Seja Auma∗-álgebra de Banach com uma aproximação da unidade e seja P o conjunto dos funcionais lineares positivos com norma menor ou igual a um, então:

i) o conjunto P é convexo e compacto segundo a topologia fraca-∗ relativa a A^∗, ii) os pontos extremos de P são o funcional nulo e os estados puros de A

iii) P é o fecho do convexificado do conjunto formado pelos estados puros de A e o funcional nulo.

As demonstrações desses teoremas, (1.39) e (1.40), podem ser vistas, respecti- vamente, em A.14 de [10] e em 2.5.5 de [4].

Para um maior aprofundamento nesse assunto sobre representações topologica- mente irredutíveis e estados puros recomendamos que o leitor veja o capítulo 5 de [10] pois, existem muitos resultados bonitos e importantes que não serão feitos aqui porque tornariam este capítulo introdutório muito extenso.

Teorema 1.41 Seja Auma∗-álgebra de Banach com uma aproximação da unidade e sejam R o conjunto de todas as representações de A, R⁰ o conjunto de todas as representações irredutíveis de A, P o conjunto dos funcionais positivos com norma menor ou igual a 1 de A e P⁰ o conjunto de todos os estados puros de A. Então para cada a∈A temos:

sup

π∈R

kπ(a)k= sup

π∈R⁰

kπ(a)k= sup

f∈P

f(a^∗a)^1/2 = sup

f∈P⁰

f(a^∗a)^1/2. Se kak⁰ = sup

π∈R

kπ(a)k, para todo a ∈A, teremoskak⁰ 6kak, para todo a∈A, e com isto, a7→ kak⁰ é uma seminorma para A tal que

kabk⁰ 6kak⁰kbk⁰ ka^∗k⁰ =kak⁰ ka^∗ak⁰ =kak⁰²

para todo a e b∈A.

Demonstração: Para facilitar denotemossup_π∈Rkπ(a)kporα, sup_π∈R0kπ(a)kpor β, sup_f∈P f(a^∗a)^1/2 por γ esup_f∈P0f(a^∗a)^1/2 porδ.

(δ 6 β) Seja π uma representação irredutível (π ∈ R⁰) e f um estado puro associado a π (f ∈P⁰), isto é, f(a^∗a) =hπ(a^∗a)ξ, ξipara algum ξ unitário. E como

kπ(a)k² = sup

kξk61

hπ(a)ξ, π(a)ξi = sup

kξk61

hπ(a^∗a)ξ, ξi então, kπ(a)k>f(a^∗a)^1/2.

(α6γ) Como no caso anterior, podemos ver que kπ(a)k² = sup

kξk61

hπ(a)ξ, π(a)ξi = sup

kξk61

hπ(a^∗a)ξ, ξi =φ_ξ,π(a^∗a).

E assim kπ(a)k = φξ,π(a^∗a)^1/2, onde kφk 6 1, já que kπ(a)k 6 kak. Portanto sup_π∈Rkπ(a)k6sup_f∈Pf(a^∗a)^1/2.

(β 6α) É óbvio, já que R⁰ ⊂R.

(γ 6 δ) Como os estados puros (P⁰) e o o funcional nulo (0) são os pontos extremos de P (1.40) temos, para todo g ∈P, que 06g(a^∗a)6f(a^∗a)para algum f ∈P⁰. Então sup_f∈P f(a^∗a)^1/2 = sup_f∈P⁰f(a^∗a)^1/2.

Unindo-se todas as desigualdades anteirores teremos δ 6 β 6 α 6 γ 6 δ, ou seja, δ=β =α =γ que será designado por k k⁰.

Como kπ(a)k 6 kak para todo a ∈ A então kak⁰ 6 kak. Temos também kπ(ab)k 6 kπ(a)kkπ(b)k, kπ(a^∗)k = kπ(a)^∗k = kπ(a)k^∗ e kπ(a^∗a)k = kπ(a)k², ou seja,kabk⁰ 6kak⁰kbk⁰, ka^∗k⁰ =kak⁰ eka^∗ak⁰ = (kak⁰)² para todo a eb ∈A. E assim k k⁰ é uma seminorma em A.

E como feito anteriormente, podemos tomar um ideal I ={a∈A : kak⁰ = 0}

e passarmos Aao quociente com I, isto é, tomarmos A/I e assim teremosk k⁰ uma norma de A/I.

Observe que quando A é uma C^∗-ágebra teremos kak⁰ =kak para todoa∈A.

1.5 Multiplicadores e Centralizadores de uma C

- álgebra

Definição 1.42 Uma representação (π, H) é dita não degenerada se π(A) é não degenerada , isto é, se ∀h∈H, h6= 0, existe T ∈π(A) tal que T(h)6= 0.

Definição 1.43 Seja A uma C^∗-subálgebra não degenerada de B(H) dizemos que um operador x ∈B(H) é um multiplicador à esquerda (à direita) de A se xA ⊂ A (Ax⊂A). Se x é ao mesmo tempo multiplicador à esquerda e à direita dizemos que x é um duplo multiplicador de A.

Denotaremos por LM(A), RM(A) e M(A), respectivamente, o conjunto dos multiplicadores à esquerda, à direita e duplo multiplicadores de A. Observe que LM(A), RM(A) eM(A) são subconjuntos de B(H) e para mostrar que estes mul- tiplicadores não dependem da particular representação π em B(H), introduziremos a noção de centralizadores de uma C^∗-álgebra.

Definição 1.44 Uma função linear L:A →A é chamada centralizador à esquerda de A se L(xy) = L(x)y, para todo x e y em A. Analogamente uma função linear R : A → A é chamada centralizador à direita de A se R(xy) = xR(y). Um par (L, R) é dito duplo centralizador de A se L e R são respectivamente centralizadores à esquerda e à direita de A e ainda xL(y) = R(x)y para todo x e y em A.

Um fato importante e que será necessário no decorrer do texto é o de que todo centralizador à esquerda ( à direita, ou duplo) é um operador limitado. Para demonstrarmos tal resultado utilizaremos o lema 1.24, já provado neste capítulo.

Proposição 1.45 Todo centralizador à esquerda L de uma C^∗-álgebra é limitado.

Demonstração: Supondo que L é ilimitado então podemos tomar uma sequência (x_n)n∈NemAcomkx_nk<1/nekL(x_n)k> n. Mas para cadan∈Npodemos definir a =

n

P

i=1

x^∗_ix_i e pelo lema (1.24) existe y_n em A tal que ky_nk 6ka^1/4k e x_n =a^1/4y_n, mas

n <kL(xn)k=kL(a^1/4)ynk6kL(a^1/4)kka^1/4k,

o que é uma contradição.

De modo análogo podemos demonstrar que o centralizador à direita e também o duplo centralizador são operadores limitados.

Proposição 1.46 Seja A uma C^∗-subálgebra não degenerada de B(H) existe uma correspondência bijetiva entre os multiplicadores à esquerda, à direita e duplo mul- tiplicador e os centralizadores respectivamente à esquerda, à direita e duplo centra- lizador.

Demonstração: Seja L um centralizador à esquerda de A e (u_λ)λ∈Λ uma aproxi- mação da unidade de A então a rede L(u_λ)

λ∈Λ é limitada, por (1.45), e portanto existe uma sub-rede que converge fracamente para um elemento x em B(H).

Como para todoyemAa rede(yu_λ)converge na norma parayentão, por (1.45), temos L(yu_λ) convergindo para L(y), e como L(u_λy) = L(u_λ)y temos xy = L(y).

Ou seja, x é o multiplicador à esquerda correspondente ao centralizadorL.

Supondo que exista outro multiplicador à esquerdax₁ correspondente aLentão x₁y=L(y), logo (x−x₁)y= 0e como estamos numa C^∗-álgebra não degenerada e y é qualquer em A então, x=x₁. Observemos também que

kLk= sup

kyk61

kL(y)k= sup

kyk61

kxyk=kxk.

Mostramos assim a bijetividade da correspondência entre os multiplicadores à esquerda e os centralizadores à esquerda de A. Analogamente podemos demonstrar a correspondência existente entre os multiplicadores à direita e os centralizadores à direita.

Para o duplo centralizador (L, R) temos seus respectivos correspondentes(l, r) multiplicadores à esquerda e à direita de A, mas para todo x e y em A temos xry =R(x)y =xL(y) = xly, ou seja, r =l e portanto é um duplo multiplicador.

Com base na proposição anterior trataremos sem muita distinção os multipli- cadores e os centralizadores. Além disso, denotaremos sem restriçõesM(A),LM(A) eRM(A)também como o conjunto, respectivamente, dos duplo centralizadores, cen- tralizadores à esquerda e à direita deA.

Teorema 1.47 Se A é uma C^∗-álgebra então, M(A) também é uma C^∗-álgebra sob a multiplicação, involução e norma, dadas por

(L, R)(L₁, R₁) = (LL₁, R₁R) k(L, R)k=kLk=kRk (L, R)^∗ = (R^∗, L^∗) onde L^∗(a) = L(a^∗)∗

e R^∗(a) = R(a^∗)∗

para todo (L, R) e (L₁, R₁) em M(A) e a em A.

Demonstração: Apesar desta demonstração parecer obvia via multiplicadores fare- mos uma demonstração utilizando apenas a definição de multiplicadores sem precisar da analogia entre multiplicadores e centralizadores.

Em primeiro lugar vamos provar que kLk=kRk, para isto vejamos que kaL(b)k=kR(a)bk6kRkkakkbk,

e assim

kL(b)k= sup

kak61

kaL(b)k6kRkkbk

e assimkLk6kRk, e de modo análogo (kR(a)bk=kaL(b)k6kLkkakkbk) podemos demonstrar quekRk6kLk, ou seja,kLk=kRk.

Alguns cálculos imediatos nos mostram que o produto de dois duplo centra- lizadores, (L, R)(L₁, R₁) = (LL₁, R₁R), é de fato um duplo centralizador, que k(LL₁, R₁R)k 6 k(L, R)kk(L₁, R₁)k e também que (L, R)^∗ como definida acima é uma involução em M(A) que preserva a norma.

Nos resta mostrar que o duplo centralizador (L, R) ∈ M(A) de fato satisfaz a condição k(L, R)^∗(L, R)k=k(L, R)k².

Seja a∈A com kak61 então, kR(a)k² =k R(a)∗

R(a)k=kR^∗(a^∗)R(a)k=ka^∗L^∗ R(a) k

=ka^∗L^∗R(a)k6kL^∗R(a)k6kL^∗Rk=kR^∗Lk

=k(R^∗L, RL^∗)k=k(R^∗, L^∗)(L, R)k=k(L, R)^∗(L, R)k

e

k(L, R)k² = sup

kak61

kR(a)k² 6k(L, R)^∗(L, R)k6k(L, R)k²

e assim temos k(L, R)k² =k(L, R)^∗(L, R)k. Ou seja, M(A)é uma C^∗-álgebra.

Além deM(A)ser uma C^∗-álgebra com unidade basta tomar(id_A, id_A)

temos a propriedade de que dado a ∈ A, o par (L_a, R_a), onde L_a(x) = ax e R_a(x) = xa para todo x∈A, é um duplo centralizador deA e ainda

kak= sup

kxk61

kaxk= sup

kxk61

kxak,

ou seja, kak = kL_ak = kR_ak e com isto, A pode ser visto em M(A) através do

∗-isomorfismo isométrico a7→(L_a, R_a).

Assim como A pode ser identificado a uma C^∗-subálgebra de M(A), Ae pode ser identificado a uma C^∗-subálgebra de M(A) através do∗-isomorfismo isométrico (a, λ)7→(L_(a,λ), R_(a,λ)), para todo (a, λ)∈A, ondee L_(a,λ) e R_(a,λ) são dados por:

L_(a,λ)(b) =ab+λb R_(a,λ)(b) =ba+λb para todo b em A.

Verifica-se que de fato(L_(a,λ),R_(a,λ))é um duplo centralizador deA. E também vemos quekL_(a,λ)k= sup

kbk61

kab+λbk=k(a, λ)k_Ae. Isto nos mostra a identificação que queremos de Aeem M(A).