MÚLTIPLAS COMPARAÇÕES

(1)

ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA

“LUIZ DE QUEIROZ”

COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

Josiane Rodrigues Lilian Emerick Fernandes

2009

(2)

INTRODUÇÃO



Comparação entre médias de tratamentos ou dos níveis de um fator de tratamentos;



Hipóteses:



Teste F – Necessidade de continuar a análise estatística

dos dados;

(3)



Níveis do fator são quantitativos: análise de regressão;



Níveis do fator são qualitativos: comparações

múltiplas;

(4)

COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

 A técnica de comparações múltiplas permite testar hipóteses do tipo:

onde:

é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator, com i = 1, ..., I;

é o número de repetições referente ao i-ésimo nível do fator ou tratamento, podendo = J para todo i;

é o coeficiente associado a , podendo assumir valores positivos ou negativos;

Impondo a restrição de que , a função linear Y denomina-se contraste.

(5)

Um estimador não tendencioso de Y é

cuja estimativa é dada por tal que:

(6)

Sob a hipótese de que

Como

(7)

com cuja a

Se é um contraste quando

estimativa é obtida através de:

(8)

MÉTODO DOS CONTRASTES ORTOGONAIS

 APLICAÇÃO DO TESTE F

O método dos contrastes ortogonais consiste em:

 Definir um conjunto de (I -1) contrastes ortogonais, representados por Y(h), com h = 1,…,(I -1).

Obs.: Define-se que dois contrastes:

e para

(9)

 Decompor os (I - 1) graus de liberdade associado à SQTratamentos, em (I - 1) componentes com um grau de liberdade, referente a soma de quadrados devido a Y(h), representada por SQY(h), de tal forma que:

onde:

(10)

 Seja um estimador não viezado de , cuja estimativa é dada por^:

tal que e independentes.

Se para todo i = 1,…,I então:

(11)

 E a soma dos quadrados para Y(h) é:

como , então:

(12)

 Este método permite testar as seguintes hipóteses:

através da aplicação do teste F (Snedecor), da seguinte maneira:

 Assim, pelo teste F, rejeita-se H₀, ao nível α de significância,

quando F_h ≥ F_(α,1,n)onde n é o número de graus de liberdade do resíduo.

(13)

Exemplo - teste F

 Os dados apresentados a seguir referem-se ao enchimento de latas por seis máquinas, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualisado.

Testemos o seguinte conjunto de contrates:

A B C D E F

11,95 12.18 12,16 12,25 12,1 12,24

12 12,11 12,15 12,3 12,04 12.5

12,25 12,30 12,08 12,1 12,02 12,69

12,10 12,5 12,1 12,25 12,02 12,33

(14)

 Que podem ser escritas da seguinte maneira:

 As suas estimativas são obtidas de:

 Hipóteses:

 Temos que:

h

1 -0,55

2 -0,79

3 -0,55

4 -0,41

5 -1,58

(15)

 Assim:

 Análise de Variância com Aplicação de Contrastes Ortogonais para as Maquinas

 Como não há evidências para aceitar e e concluindo-se que:

 De e de

h SQY(h)

1 0,006

2 0,078

3 0,0189

4 0,021

5 0,312

Causas de Variação

GL SQ QM F

Y(1) 1 0,006 0,390

Y(2) 1 0,078 4,844

Y(3) 1 0,0189 1,174

Y(4) 1 0,021 1,304

Y(5) 1 0,312 19,379

Maquinas 5 0.439

Resíduo 18 0,289 0,0161

(16)

 APLICAÇÃO DO TESTE T

 Este método é recomendado, também, quando se deseja testar:

para h = 1,…,(I - 1).

E, ainda, os contrastes de interesse devem ser ortogonais.

 Um estimador não tendencioso de é:

e independentes.

(17)

 Além disso:

 Para o caso de para todo i, então:

 A estatística do teste é:

 Que segue distribuição “t” de Student com n graus de liberdade.

(18)

 Se , rejeita-se H₀, ao nível α de significância, e conclui- se que o valor obtido para é significativo.

(19)

Exemplo - teste T

 Consideremos o conjunto de contrastes do exemplo do teste F. Vamos testar as hipóteses:

 Pela aplicação do teste t:

 Como , não há evidências para aceitar

 e e conclui-se que:

 De e de

h

1 0.63

2 2.20

3 1.08

4 1.14

5 4.41

(20)

MÉTODO DE SCHEFFÉ

 O Método de Scheffé, utilizado para testar contrastes, mesmo que estabelecidos “a posteriori” deve ser aplicado apenas nos casos em que o valor de F for significativo.

 É indicado para testar as hipóteses:

 Onde:

(21)

 Um estimador não tendencioso de Y é:

 Onde é um estimador não tendencioso de e independentes. Temos que:

 Para o caso de para todo i, então:

(22)

 Os intervalos de confiança para todos os contrastes Y, com coeficiente de confiança 100(1- α)%, são obtidos de:

 Quando para todo i, então:

 Rejeita-se H₀, ao nível α de significância quando

(23)

Exemplo - teste de Scheffé

 Um experimento completamente casualisado foi conduzido para investigar o efeito da vitamina b12 e antibióticos na alimentação de suínos. A resposta foi a média de ganho de peso diário.

 Sejam os contrastes e as hipóteses a serem testadas são:

 A tabela de análise de variância é:

Vitamina B12

0 5

1,30 1,26

0 1,19 1,21

1,08 1,19

Antibióticos

1,05 1,52

40 1,00 1,56

1,05 1,55

Causas de Variação GL SQ QM F p-valor

Antibiotico 1 0.020833 0.020833 5.6818 0.0442922

Vitamina 1 0.218700 0.218700 59.6455 0.00005622

Antibiotico:Vitamina 1 0.172800 0.172800 47.1273 0.0001290

Residuo 8 0.029333 0.003667

(24)

 Para o primeiro contraste temos que:

 Assim, um intervalo de confiança para Y é:

 E, portanto:

 Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar , ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

,

(25)

 Para o segundo contraste temos que:

 E, portanto:

 Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para aceitar , ou seja, se identificou diferença entre o tratamento com antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

(26)

 Para o terceiro contraste temos que:

 E, portanto:

 Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar , ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico e sem vitamina com o tratamento com antibiótico e sem vitamina.

(27)



Portanto, a combinação do tratamento com antibiótico e do tratamento com vitamina foi o que produziu

melhores resultados.

(28)

MÉTODO DE TUKEY

 É recomendado quando se deseja testar todos os contrastes

do tipo , para , cujas hipóteses são:

ou ou

 Considerando um estimador não tendencioso de , tal que e independentes, demostra-se que :

para os contrastes.

2 ) 1 (I  I

' i

Y  i  1i i' I 0

: _'

0 _i  _i 

H  

0 : _i  _i_'  Ha  

'

0 : _i _i

H    : _i _i'

Ha   

2 ) 1 (I  I





 _

         



 ˆ( )]] 1

2 ) 1

[(

] ) ˆ(

2 ) 1

[[(y_i y_i_' q₍ _,₁_,_n₎ V y_i y_i_' _i _i_' y_i y_i_' q₍ _,₁_,_n₎ V y_i y_i_' P

(29)

 Onde é a amplitude total estudentizada, encontrada na

tabela de Tukey, com nível α de significância, I médias envolvidas e n graus de liberdade associado a .

 A diferença mínima significativa (DMS) obtida para o teste, ao nível α de significância é:

 Rejeita-se H₀, ao nível α de significância, quando

) ˆ(

' i

i y

y V 

DMS y

y

Yˆ  _i  _i_' 

(30)

Exemplo - Teste de Tukey

 Os dados apresentados a seguir referem-se a produção (Kg/100 m²), de 4 variedades de milho, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento em blocos ao acaso.

 Fazendo a análise de variância:

 Como p-valor é significativo a um nível de 5%, temos, pelo teste de Tukey:

Variedade

Blocos A B C D Totais

I 34 26 37 23 120

II 26 37 45 28 136

III 33 42 39 30 144

IV 36 34 41 37 148

V 31 36 53 32 152

Totais 160 175 215 150 700

Causas de variação

GL SQ QM F p-valor

Blocos 4 160 40

Variedades 3 490 163,33 6,5333 0.007219

Resíduo 12 300 25

(31)

 Fazendo a diferença entre as médias dos tratamentos vem que:

 Assim, temos que as médias dos tratamentos A e D são significativamente diferentes da média do tratamento C a um nível de significância de 5%.

 Ou seja, a variedade C é a mais produtiva.

Tratamento Média

A 32

B 35

C 43

D 30

Médias comparadas Diferença entre as médias

A-D 2

B-D 5

C-D 13

B-A 3

C-A 11

C-B 8

(32)

MÉTODO DE DUNCAN

 É indicado para testar qualquer contraste entre duas médias de tratamentos, ou seja:

ou ou

 Leva em consideração o número de médias ordenadas em ordem crescente ou decrescente e abrangidas pelo contraste,

representado por k.

0 :

_'

0 _i



_i



H  

0 :

_i



_i_'

 H

a

 

'

0

:

_i _i

H   

:

_i _i'

H

a

  

(33)

 A diferença mínima significativa (D_k) obtida para o teste, ao nível α de significância é:

onde é a amplitude total estudentizada, a nível de proteção α, para k médias abrangidas e n graus de liberdade

associado ao QMResíduo, obtida nas tabelas do teste de Duncan.

 Rejeita-se H₀, ao nível α de significância quando

Onde e são estimadores não tendenciosos de e respectivamente, além de serem independentes.

i _i_'

(34)

Exemplo - teste de Duncan

 Consideremos os dados apresentados na tabela abaixo, para comparar o efeito de cinco drogas na diminuição da pressão arterial:

 Para fazer esse experimento um médico tomou 30 pacientes e dividiu-os ao acaso em seis grupos: o grupo controle recebeu um placebo e os outros grupos receberam, cada um, uma das drogas. Os valores apresentados na tabela são a diminuição da pressão arterial, dada pela diferença entre a pressão arterial no início e no fim do experimento.

A B C D E Controle

25 10 18 23 11 8

17 -2 8 29 23 -6

27 12 4 25 5 6

21 4 14 35 17 0

15 16 6 33 9 2

(35)

 Os dados da tabela foram submetidos à análise de variância:

Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância).

 A ordem dos tratamentos, segundo a grandeza das médias apresentadas é:

Controle B C E A D (2) (8) (10) (13) (21) (29)

 Para comparar a média do controle com a média do tratamento D temos:

 Como , então a média de D é significantemente maior que a média do controle ao nível de 5%.

GL SQ QM F p-valor

Tratamentos 5 2354,17 470,83 13,08 0.000003318

Resíduo 24 864,00 36,00

Total 29 3218,17

79 , 5 8

276 36 ,

3 

k  D

27 29 2 

(36)

 Podem ser feitas agora as comparações entre controle e A, e entre B e D:

 Como e , então a média de A é significantemente maior que a média do controle, e a média de D também é significantemente maior que a média de B.

 Podem ser testadas agora as diferenças de médias entre controle e E, entre B e A e entre C e D:

 As diferenças de médias entre controle e E(11), entre B e A(13) e entre C e D(19) são todas significantes ao nível de 5%.

66 , 5 8 226 36 ,

3 

k  D 19

21

2  829 21

48 , 5 8

160 36 ,

3 

k  D

(37)

 Podem ser então comparadas as médias de tratamentos

correspondendo a intervalos que abrangem três médias. Nesse caso:

 As diferenças de médias entre controle e C(8), e entre B e E(5) não são significantes. Esses resultados são indicados sublinhando os respectivos intervalos:

Controle B C E A D __________________

_____________

(38)

 As diferenças de médias entre C e A(11) e entre E e D(16) são significantes.

 Para comparar médias duas a duas calcula-se:

que pode ser utilizada para comparar E com A e A com D. As diferenças entre médias são, nos dois casos, iguais a 8, e são, portanto, significantes.

 O resultado final da aplicação do teste de Duncan é representado da seguinte maneira:

Controle B C E A D ________________

_____________ ____ ___

83 , 5 7

919 36 ,

2 

k  D

(39)

MÉTODO DE DUNNETT

 Este método é recomendado quando se deseja testar um contraste do tipo:

 Onde: é a média populacional do tratamento testemunha ou controle e é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator.

 As hipóteses são do tipo:

 Para i = 1,…, p; sendo p o número de tratamentos excluindo o controle ou a testemunha.

i

Y  

c

 



c



i

0 :

0

0 :









i c

a

i c

H H



(40)

 Para a totalidade dos contrastes Y tem-se:

 Onde:

sendo e estimadores não tendenciosos de e respectivamente, além de serem independentes.

associadas a n graus de liberdade.

 Rejeita-se H₀, ao nível α de significância quando:

 onde é obtido nas tabelas do teste de Dunnett.

 

     

 ˆ( ˆ)] [ ˆ ˆ( ˆ)]] 1 [[Yˆ t₍ _; _, ₎ V Y Y Y t₍ _; _, ₎ V Y

P _p _n _p _n

(41)

Exemplo - teste de Dunnett

 Suponhamos que queremos comparar, no mesmo exemplo do teste de Duncan, as médias dos tratamentos apenas com a média do controle. A análise de variância está, mais uma vez, apresentada na tabela abaixo:

 Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância).

 As médias dos grupos tratados podem ser comparadas com a média do grupo controle através do teste de Dunnett. Para isso, temos que :

GL SQ QM F p-valor

Tratamentos 5 2354,17 470,83 13,08 0.000003318

Resíduo 24 864,00 36,00

Total 29 3218,17

25 , 5 10

70 72 , 5 2

) 72 (ˆ

ˆ (0.05,5,24) )

, ,

( V Y t  

t _ _p_n

(42)

 As médias dos grupos tratados e a média do grupo controle estão apresentados na tabela abaixo:

 Fazendo os valores absolutos das diferenças entre as médias dos grupos tratados e a média do grupo controle:

 Controle e A:

 Controle e B:

 Controle e C:

 Controle e D:

 Controle e E:

 Temos que as médias dos tratamentos A, D e E diferem, a um nível de significância de 5%, da média do grupo do controle.

 Assim, podemos concluir que os tratamentos A, D e E apresentaram, em média, resultados melhores que o do controle.

19 21

2 

6 8

2  8 10 2 

27 29

2 

11 13

2 

Tratamento Média

A 21

B 8

C 10

D 29

E 13

Controle 2

(43)

Bibliografia

 NOGUEIRA, M. C. S., Experimentação Agronômica I – conceitos, planejamentos e análise estatística.

Piracicaba. São Paulo. 2007.

 PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental, Livraria Nobel. São Paulo. São Paulo. 1990.

 VIEIRA, Sonia. Estatística Experimental.- 2ª ed. ATLAS – São Paulo. São Paulo. 1999