Teste de Direção 03
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ PRF
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima
Sumário
SUMÁRIO ...2
TESTE A SUA DIREÇÃO ... 3
QUESTÕES ... 4
GABARITO ... 6
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES ... 7
Teste a sua Direção
Olá, tudo bem? Preparei uma pequena bateria para que você possa avaliar se compreendeu bem os temas abordados nas últimas aulas. O objetivo deste teste é permitir um excelente diagnóstico da sua preparação até aqui. Só assim você saberá se está realmente evoluindo, ou seja, se está caminhando na Direção correta.
É provável que, ao resolver as questões, você perceba “lacunas de conhecimento”, aspectos que precisa reforçar, assuntos que precisa reler etc. Não hesite em voltar às aulas anteriores e relembrar tudo aquilo que julgar necessário. Mais importante do que terminar logo o curso é avançar de maneira sólida, consistente. Se ainda assim alguma dúvida permanecer, lembre que você pode me procurar por meio do nosso fórum, ok?
Faça um excelente teste de Direção!
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:
Questões
Julgue as assertivas abaixo como Certo ou Errado.
01. Um técnico de futebol tem a seu dispor 22 jogadores para formar um time. Dentre esses jogadores, 2 são goleiros, 9 são zagueiros, 6 são meio-campistas e 5 são atacantes. O técnico pretende formar um time com 4 zagueiros, 4 meio-campistas e 2 atacantes, além do goleiro. O número de formas distintas segundo as quais ele pode formar o time é de 37.800.
02. Em um seminário, todos os participantes se cumprimentaram exatamente uma vez por meio de um abraço. Ao todo foram dados 120 abraços. O número de pessoas no seminário era igual a 16.
03. O exame final de semestre de determinada matéria do curso de engenharia é composto por 30 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas de resposta. Sabendo que nenhuma questão pode ser deixada em branco, o número de maneiras pelas quais um estudante pode zerar o exame é igual a 430.
04. Cinco amigos combinam de ir a um restaurante. Para isso, eles se encontram na casa de um deles e, de lá, partem de carro para o restaurante, onde uma mesa redonda foi reservada para eles. A razão entre o número de formas distintas que esses 5 amigos têm de sentar no carro e ao redor da mesa é igual a 20.
05. O número de anagramas da palavra AUDITOR em que as letras A e D não aparecem juntas é igual a 3600.
06. Tício é um chefe muito legal e resolveu sortear três ingressos de cinema entre os cinco colaboradores que ele lidera. Os colaboradores são Marisa, Antônio, Caio, Mévio e Tarcísio. A probabilidade de que Marisa e Antônio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Caio e Tarcísio, ambos, estejam entre os sorteados ou que sejam sorteados Antônio, Caio e Mévio é igual a 0,9.
07. Sílvio é muito rico. Ele possui nove carros em sua garagem, dos quais 4 são esportivos. Por conta disso, ele criou um método diferente para escolher quais carros ele e sua esposa vão utilizar: toda noite, ele guarda todas as chaves dentro de uma urna e, na manhã do dia seguinte, antes de sair, ele escolhe aleatoriamente duas das chaves da urna. A probabilidade de Sílvio e sua esposa usarem, cada um, apenas carros esportivos, em três dias seguidos, é igual a 3/8.
08. Um promoter de eventos teve a ideia de distribuir senhas distintas de 4 dígitos que davam direito a um brinde para o seu portador. Escolhendo ao acaso uma dessas senhas, a probabilidade de que ela tenha dois ou três dígitos repetidos é de 49,5%.
09. Em uma caixa existem bolas de sinuca numeradas de 1 a 10. Se quatro bolas são retiradas aleatoriamente com reposição, a probabilidade de que, dentre os números sorteados três sejam ímpares e um seja par é igual a 1/4.
10. João comprou três dados comuns para jogar jogos de tabuleiro com seus amigos. Antes, porém, ele fez um teste e lançou os três dados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números dos três dados seja igual ou superior a 16 é igual a 1/12.
11. O próximo termo da sequência 7, 9, 12, 12, 17, 15, 22,... é múltiplo de 6.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
12. O próximo termo da sequência 2, 6, 5, 15, 14, 42, 41, ... é menor do que 100.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
13. O vigésimo termo da série infinita {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...} é maior do que 80.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
14. A soma dos 20 primeiros termos da série infinita {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...} é maior do que 700.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
15. Em uma progressão aritmética com sete termos, sabe-se que a soma dos termos é igual a 140, e a soma dos dois primeiros termos é igual a 30. Desta forma, o terceiro termo é igual a 18.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
Gabarito
1. C 2. C 3. E 4. E 5. C 6. E 7. E 8. C 9. C 10. E 11. V 12. F 13. F 14. V 15. V
Resoluções das Questões
Julgue as assertivas abaixo como Certo ou Errado.
01. Um técnico de futebol tem a seu dispor 22 jogadores para formar um time. Dentre esses jogadores, 2 são goleiros, 9 são zagueiros, 6 são meio-campistas e 5 são atacantes. O técnico pretende formar um time com 4 zagueiros, 4 meio-campistas e 2 atacantes, além do goleiro. O número de formas distintas segundo as quais ele pode formar o time é de 37.800.
RESOLUÇÃO:
Estamos diante de uma típica questão de formação de grupos ou equipes. Nesses casos, a equipe formada por A, B, C e D, é a mesma equipe formada por D, B, A e C, visto que a ordem não é relevante. Assim, temos uma questão de combinação.
Dos dois goleiros, precisamos escolher 1: C(2;1) = 2 Dos 9 zagueiros, precisamos escolher 4: C(9; 4) = 126 Dos 6 meio-campistas, precisamos escolher 4: C(6; 4) = 15 Dos 5 atacantes, precisamos escolher 2: C(5; 2) = 10 O total de formas distintas de formar o time é dado por:
2 x 126 x 10 x 15 = 37.800 RESPOSTA: C
02. Em um seminário, todos os participantes se cumprimentaram exatamente uma vez por meio de um abraço. Ao todo foram dados 120 abraços. O número de pessoas no seminário era igual a 16.
RESOLUÇÃO:
Seja n o número de pessoas no seminário. O número de abraços é dado pela combinação das n pessoas, 2 a 2, ou seja:
Aqui você tem dois caminhos: ou você encontra um número n que, multiplicado por seu antecessor (n – 1), é igual a 240, ou resolve a equação de segundo grau n2 – n – 240 = 0.
( 1) ( , 2)
2!
n n C n = −
( 1)
120 2
n −n
=
( 1) 240 n − =n
Optando pelo primeiro caminho, veja que, se n = 16, temos que 16 x 15 = 240. Portanto, o gabarito é CORRETO.
Se decidíssemos resolver a equação de segundo grau, teríamos:
Assim, teríamos n1 = 16 e n2 = -15. Como o número de pessoas não pode ser negativo, devemos optar por n = 16.
RESPOSTA: C
03. O exame final de semestre de determinada matéria do curso de engenharia é composto por 30 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas de resposta. Sabendo que nenhuma questão pode ser deixada em branco, o número de maneiras pelas quais um estudante pode zerar o exame é igual a 430.
RESOLUÇÃO:
Para errar a primeira questão, o aluno tem 3 opções para marcar. E tem outras 3 formas de errar a segunda.
E mais 3 formas de errar a terceira. E assim por diante.
Note que errar a primeira questão é um evento independente de errar a segunda, que por sua vez é independente de errar a terceira etc. Portanto, podemos usar o princípio fundamental da contagem para calcular quantas formas existem para errar as 30 questões:
3 x 3 x 3 x 3 ... x 3 = 330 Resposta: E
04. Cinco amigos combinam de ir a um restaurante. Para isso, eles se encontram na casa de um deles e, de lá, partem de carro para o restaurante, onde uma mesa redonda foi reservada para eles. A razão entre o número de formas distintas que esses 5 amigos têm de sentar no carro e ao redor da mesa é igual a 20.
RESOLUÇÃO:
A chave da questão está em saber que os assentos no carro são diferentes entre si, ao contrário dos assentos ao redor da mesa.
No carro, temos o assento do motorista, o assento do passageiro da frente, o assento atrás do motorista, o assento atrás do passageiro da frente e o assento do meio na parte de trás. Ou seja, os assentos são diferentes entre si. O número de formas de sentar os 5 amigos no carro é dado pela permutação de 5 pessoas em 5 assentos:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
Na mesa redonda, todos os assentos são iguais entre si. Não há qualquer diferenciação. Portanto, devemos usar a fórmula da permutação circular:
Pc(n) = (n-1)!
Pc(5) = (5-1)!
− − +
= ( 1) 1 4 240 =1 31
2 2
n
Pc(5) = (4)!
Pc(5) = 24
Assim, a razão entre o número de formas distintas que esses 5 amigos têm de sentar no carro e ao redor da mesa é dado por 120/24 = 5.
RESPOSTA: E
05. O número de anagramas da palavra AUDITOR em que as letras A e D não aparecem juntas é igual a 3600.
RESOLUÇÃO:
O número de anagramas da palavra AUDITOR em que as letras A e D não aparecem juntas pode ser obtido a partir do total de anagramas subtraído daqueles em que as letras A e D aparecem juntas.
O total de anagramas é dado pela permutação de 7 letras em 7 posições, ou seja: 7! = 5040.
Vamos agora obter o número de anagramas em que as letras A e D aparecem juntas. Podemos substituir o conjunto AD por X. Assim, temos os seguintes elementos: X U I T O R. O número de anagramas nesse caso é dado pela permutação de 6 letras em 6 posições: 6! = 720. No entanto, a ordem das letras A e D dentro do par AD é relevante, pois gera anagramas diferentes. Portanto, teremos 720 anagramas contendo AD e outros 720 contendo DA.
O número de anagramas da palavra AUDITOR em que as letras A e D não aparecem juntas é: 5040 – 720 – 720 = 3600.
RESPOSTA: C
06. Tício é um chefe muito legal e resolveu sortear três ingressos de cinema entre os cinco colaboradores que ele lidera. Os colaboradores são Marisa, Antônio, Caio, Mévio e Tarcísio. A probabilidade de que Marisa e Antônio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Caio e Tarcísio, ambos, estejam entre os sorteados ou que sejam sorteados Antônio, Caio e Mévio é igual a 0,9.
RESOLUÇÃO:
Observe que queremos montar grupos de colaboradores, onde a ordem de escolha dos mesmos não torna um grupo diferente do outro – logo estamos diante de um caso de combinação.
O total de grupos de 3 colaboradores que podemos montar a partir dos 5 colaboradores é:
Total = C(5,3) = 5 x 4 x 3 / (3 x 2 x 1) = 10 Destes grupos, vejamos quantos nos interessam:
• grupos com Marisa e Antônio: neste caso, falta apenas escolher mais 1 colaborador entre os 3 restantes.
Logo, existem 3 possibilidades.
• grupos com Caio e Tarcísio: novamente, falta apenas escolher mais 1 colaborador dentre os 3 restantes, existindo ao todo 3 possibilidades.
• grupos contendo Antônio, Caio e Mévio: neste caso já estão escolhidos os 3 colaboradores, sendo esta a única possibilidade
Assim, o número de possibilidades favoráveis é:
Favoráveis = 3 + 3 + 1 = 7
Portanto, a probabilidade de escolher um grupo com as características pedidas pelo enunciado é:
Probabilidade = Favoráveis / Total = 7 / 10 = 0,7 Resposta: E
07. Sílvio é muito rico. Ele possui nove carros em sua garagem, dos quais 4 são esportivos. Por conta disso, ele criou um método diferente para escolher quais carros ele e sua esposa vão utilizar: toda noite, ele guarda todas as chaves dentro de uma urna e, na manhã do dia seguinte, antes de sair, ele escolhe aleatoriamente duas das chaves da urna. A probabilidade de Sílvio e sua esposa usarem, cada um, apenas carros esportivos, em três dias seguidos, é igual a 3/8.
RESOLUÇÃO:
Dos 9 carros, 4 são esportivos. Ao escolher o primeiro, Sílvio tem probabilidade de 4/9 de que seja um esportivo. Ao escolher o segundo, essa probabilidade é de 3/8. Portanto, em cada dia, ele possui uma probabilidade de (4/9) x (3/8) de que o carro seja esportivo, ou seja, 1/6.
Para que isso aconteça em três dias seguidos basta multiplicar essa probabilidade por ela mesma três vezes: (1/6) x (1/6) x (1/6) = (1/63) = 6-3.
Resposta: E
08. Um promoter de eventos teve a ideia de distribuir senhas distintas de 4 dígitos que davam direito a um brinde para o seu portador. Escolhendo ao acaso uma dessas senhas, a probabilidade de que ela tenha dois ou três dígitos repetidos é de 49,5%.
RESOLUÇÃO:
Considerando que a senha é formada por 4 dígitos, e lembrando que para cada dígito temos 10 possibilidades de algarismos, o número de senhas que podemos ter é dado por:
10 x 10 x 10 x 10 = 10000 possibilidades Já o número de senhas com todos os algarismos distintos é dado por:
10 x 9 x 8 x 7 = 5040 possibilidades com algarismos distintos Já o número de senhas com todos os algarismos iguais é dado por:
10 x 1 x 1 x 1 = 10 possibilidades com algarismos idênticos Portanto, o número de senhas com 2 ou 3 algarismos repetidos é:
10000 – 5040 – 10 = 4950 senhas com 2 ou 3 algarismos repetidos A probabilidade de ser escolhida uma delas é:
P = 4950 / 10000 = 49,5%
Resposta: C
09. Em uma caixa existem bolas de sinuca numeradas de 1 a 10. Se quatro bolas são retiradas aleatoriamente com reposição, a probabilidade de que, dentre os números sorteados três sejam ímpares e um seja par é igual a 1/4.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de obter um número par é de metade, ou seja, ½. Esta também é a probabilidade de obter um número ímpar. Para que EXATAMENTE os três primeiros sejam ímpares e um seja par, temos a probabilidade de:
P = (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/16
Esta é a probabilidade de obter ÍMPAR – ÍMPAR – ÍMPAR – PAR. Temos agora que permutar esse resultado, afinal, não é preciso que obtenhamos exatamente esta ordem. Trata-se da permutação de 4 resultados, com repetição de 3 ímpares, isto é, P(4; 3) = 4! / (3!) = 4 permutações.
Temos 1/16 de probabilidade de obter cada uma das 4 permutações possíveis. Como qualquer uma delas nos serve, a probabilidade de obter 3 ímpares e 1 par, em qualquer ordem, é:
P = 4 x (1/16) = 1/4 Resposta: C
10. João comprou três dados comuns para jogar jogos de tabuleiro com seus amigos. Antes, porém, ele fez um teste e lançou os três dados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números dos três dados seja igual ou superior a 16 é igual a 1/12.
RESOLUÇÃO:
Para a soma ser maior ou igual a 16, temos as seguintes possibilidades:
Dado 1 Dado 2 Dado 3
4 6 6
5 5 6
5 6 5
5 6 6
6 4 6
6 5 6
6 5 5
6 6 4
6 6 5
6 6 6
Veja que temos 10 possibilidades de obter soma maior ou igual a 16. O total de possibilidades existentes no lançamento de 3 dados é 6 x 6 x 6 = 216. Assim, a chance de obter uma das 10 favoráveis é:
P = 10 / 216 = 5 / 108 Resposta: E
11. O próximo termo da sequência 7, 9, 12, 12, 17, 15, 22,... é múltiplo de 6.
(X) Verdadeiro ( ) Falso
COMENTÁRIO:
Repare que temos duas sequências alternadas: 7, 9, 12, 12, 17, 15, 22,...
O próximo termo será da sequência vermelha, na qual basta irmos somando 3 unidades. Chegaremos em 15+3
= 18, que é múltiplo de 6. Afirmativa VERDADEIRA.
12. O próximo termo da sequência 2, 6, 5, 15, 14, 42, 41, ... é menor do que 100.
( ) Verdadeiro (X) Falso COMENTÁRIO:
Veja que basta ir multiplicando por 3 e depois subtraindo 1 unidade, alternadamente. A próxima operação será uma multiplicação por 3, chegando em 41x3 = 123. Afirmativa FALSA.
13. O vigésimo termo da série infinita {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...} é maior do que 80.
( ) Verdadeiro (X) Falso COMENTÁRIO:
Estamos diante de uma PA com termo inicial a1 = 3 e razão r = 4. Assim, o vigésimo termo é dado por:
an = a1 + (n – 1).r a20 = 3 + (20 – 1).4
a20 = 3 + 19.4 a20 = 79 Afirmação FALSA.
14.A soma dos 20 primeiros termos da série infinita {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...} é maior do que 700.
(X) Verdadeiro ( ) Falso
COMENTÁRIO:
Estamos diante de uma PA com termo inicial a1 = 3 e razão r = 4. Assim, a soma dos 20 primeiros termos é dada por:
𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛).𝑛 2 𝑆20 = (𝑎1 + 𝑎20).20
2
O vigésimo termo é dado por:
an = a1 + (n – 1).r a20 = 3 + (20 – 1).4
a20 = 3 + 19.4 a20 = 79 Assim, a soma dos 20 primeiros termos é:
𝑆20 = (3 + 79).20 2 𝑆20 = (82). 10
𝑆20 = 820 Afirmação VERDADEIRA.
15. Em uma progressão aritmética com sete termos, sabe-se que a soma dos termos é igual a 140, e a soma dos dois primeiros termos é igual a 30. Desta forma, o terceiro termo é igual a 18.
(X) Verdadeiro ( ) Falso
COMENTÁRIO:
Podemos representar uma PA de 7 termos em função do termo do meio (quarto), da seguinte forma:
A – 3R, A – 2R, A – R, A, A + R, A + 2R, A + 3R Ao somar todos esses termos, as razões (R) se cancelam, ficando apenas:
7.A = 140 A = 140/7 A = 20 A soma dos dois primeiros termos é 30, ou seja,
A – 3R + A – 2R = 30 2.A – 5R = 30 2.20 – 5R = 30
40 – 30 = 5R 10 = 5R
R = 2 Desta forma, o terceiro termo é:
A – R = 20 – 2 = 18.
Afirmação VERDADEIRA.
Fim do teste. Até o próximo encontro!
Saudações,
Prof. Hugo Lima
Prof. Arthur Lima
