Cortes em grafos G

(1)

Cortes em grafos

G: grafo (não orientado) sem laços, G: possivelmente com arestas paralelas.

Conjunto de arestasC é um cortese existe um conjuntoS ⊆V_G não vazio tal que

C ={e ∈E_G|e tem uma ponta em S e outra fora deS.} Ou seja,C =δG(S) =δG(VG \S).

(2)

Cortes em grafos

G: grafo (não orientado) sem laços, G: possivelmente com arestas paralelas.

Conjunto de arestasC é um cortese existe um conjuntoS ⊆V_G não vazio tal que

C ={e ∈E_G|e tem uma ponta em S e outra fora deS.}

Ou seja,C =δ_G(S) =δ_G(V_G \S).

(3)

Corte mínimo

G: grafo sem laços, possivelmente com arestas paralelas.

C ⊆E_G é umcortese existeS ⊆V_G não vazio tal que

C ={e ∈E_G|e tem uma ponta em S e outra fora deS}

Problema: Dado G, encontrar um corteC com |C|mínimo.

corte minimo

Esta aula: algoritmo aleatorizado que devolve Esta aula: um corte mínimo com alta probabilidade.

(4)

Corte mínimo

C ={e ∈E_G|e tem uma ponta em S e outra fora deS} Problema: Dado G, encontrar um corteC com |C|mínimo.

corte minimo

(5)

Corte mínimo

C ={e ∈E_G|e tem uma ponta em S e outra fora deS} Problema: Dado G, encontrar um corteC com |C|mínimo.

corte minimo

(6)

Contração de arestas

Dado um grafoG e uma arestae =uv, acontraçãoG|e é o grafo (V⁰,E⁰) onde. . .

e

V⁰ =V \ {u,v} ∪ {w}e E⁰=E_G \ {f|pontas(f) ={u,v}}

e cada arestaf em E⁰ tem as mesmas pontas quef em EG exceto por u e v, que são substituídos porw.

w

Proposição: Se C é corte de G|e, então C é corte de G.

(7)

Contração de arestas

e

V⁰ =V \ {u,v} ∪ {w} e E⁰ =E_G \ {f|pontas(f) ={u,v}}

w

(8)

Contração de arestas

e

V⁰ =V \ {u,v} ∪ {w} e E⁰ =E_G \ {f|pontas(f) ={u,v}}

w

(9)

Algoritmo de Karger

KARGER(G)

1 enquanto |V_G|>2 faça 2 e ←RANDOM-E(E_G)

3 G ←G|e

4 devolvaE_G

Pela proposição, o algoritmo devolve de fato um corte deG. Claramente ele consume tempo polinomial.

(O número de iteração é|V_G| −2.)

(10)

Algoritmo de Karger

KARGER(G)

3 G ←G|e

4 devolvaE_G

(11)

Algoritmo de Karger

KARGER(G)

3 G ←G|e

4 devolvaE_G

Pela proposição, o algoritmo devolve de fato um corte deG.

Claramente ele consume tempo polinomial. (O número de iteração é|V_G| −2.)

(12)

Algoritmo de Karger

KARGER(G)

3 G ←G|e

4 devolvaE_G

(13)

Análise do algoritmo

SejaCK o corte devolvido porKARGER(G).

Vamos mostrar que

Pr{C_K não é um corte mínimo}<q(n)<1, onden=|V_G|.

Executa-se o algoritmor vezes e devolve-se o menor corte produzido.

A chance do corte devolvido não ser mínimo será<q(n)^r.

(14)

Análise do algoritmo

SejaCK o corte devolvido porKARGER(G).

Vamos mostrar que

Pr{C_K não é um corte mínimo}<q(n)<1, onden=|V_G|.

Executa-se o algoritmor vezes e devolve-se o menor corte produzido.

A chance do corte devolvido não ser mínimo será<q(n)^r.

(15)

Análise do algoritmo

SejaC um corte mínimo deG.

O corteC não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta deC foi contraída.

SejaE_i o evento:

uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi. Vamos delimitarinferiormentePr{E₁∩E2∩ · · · ∩En−2}. Tal probabilidade é igual a

Pr{E₁} ·Pr{E₂|E₁} · · ·Pr{E_n−2|E₁∩E2∩ · · · ∩En−3}. Para começar, como delimitarPr{E₁}?

(16)

Análise do algoritmo

SejaE_i o evento:

uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi. Vamos delimitarinferiormentePr{E₁∩E2∩ · · · ∩En−2}. Tal probabilidade é igual a

(17)

Análise do algoritmo

SejaE_i o evento:

uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi.

Vamos delimitarinferiormentePr{E₁∩E2∩ · · · ∩En−2}. Tal probabilidade é igual a

(18)

Análise do algoritmo

SejaE_i o evento:

uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi. Vamos delimitarinferiormentePr{E₁∩E2∩ · · · ∩En−2}.

Tal probabilidade é igual a

(19)

Análise do algoritmo

SejaE_i o evento:

Pr{E₁} ·Pr{E₂|E₁} · · ·Pr{E_n−2|E₁∩E2∩ · · · ∩En−3}.

Para começar, como delimitarPr{E₁}?

(20)

Análise do algoritmo

SejaE_i o evento:

Pr{E₁} ·Pr{E₂|E₁} · · ·Pr{E_n−2|E₁∩E2∩ · · · ∩En−3}.

Para começar, como delimitarPr{E₁}?

(21)

Análise do algoritmo

C: um corte mínimo de G e k=|C|.

E_i: uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi. Como delimitarPr{E₁}?

ComoC é mínimo, δ_G(v)≥k para todo vértice v. Logo|E_G| ≥kn/2.

PortantoPr{E¯1} ≤ _kn^k

2

= ²_n.

Ou seja,Pr{E₁} ≥1−²_n.

Como delimitarPr{E_i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩E_i}?

(22)

Análise do algoritmo

ComoC é mínimo, δ_G(v)≥k para todo vértice v.

Logo|E_G| ≥kn/2.

2

= ²_n.

(23)

Análise do algoritmo

Logo|E_G| ≥kn/2.

2

= ²_n.

(24)

Análise do algoritmo

Logo|E_G| ≥kn/2.

2

= ²_n.

(25)

Análise do algoritmo

Logo|E_G| ≥kn/2.

2

= ²_n.

(26)

Análise do algoritmo

E_i: uma aresta de C não é sorteada na iteraçãoi. Vimos quePr{E₁} ≥1−_n².

Como delimitarPr{E_i+1|E₁∩E₂∩ · · · ∩E_i}?

No começo da iteraçãoi+1, temos que|E_G| ≥k(n−i)/2. LogoPr{E¯i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩Ei} ≤ _k(n−i)^k

2

= _n−i² .

Ou seja,Pr{E_i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩E_i} ≥1−_n−i² .

(27)

Análise do algoritmo

No começo da iteraçãoi+1, temos que|E_G| ≥k(n−i)/2.

LogoPr{E¯i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩Ei} ≤ _k(n−i)^k

2

= _n−i² .

(28)

Análise do algoritmo

2

= _n−i² .

(29)

Análise do algoritmo

2

= _n−i² .

(30)

Análise do algoritmo

SejaC_K o corte devolvido porKARGER(G).

C: um corte mínimo de G.

Queremos delimitarinferiormentePr{C_K =C}.

Ou seja, delimitarPr{E₁∩E2∩ · · · ∩En−2}.

Já sabemos quePr{E_i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩E_i} ≥1−_n−i² . Então

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1

3 = 2

n(n−1).

(31)

Análise do algoritmo

Já sabemos quePr{E_i+1|E₁∩E2∩ · · · ∩E_i} ≥1−_n−i² .

Então

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1

3 = 2

n(n−1).

(32)

Análise do algoritmo

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1

3 = 2

n(n−1).

(33)

Análise do algoritmo

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1

3 = 2

n(n−1).

(34)

Análise do algoritmo

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1 3

= 2

n(n−1).

(35)

Análise do algoritmo

Pr{C_K =C} ≥

n−3

Y

i=0

1− 2 n−i

= 1− 2 n

1− 2 n−1

1− 2 n−2

· · · 1−2 4

1−2 3

= n−2

n ·n−3

n−1·n−4 n−2· · ·2

4 ·1

3 = 2

n(n−1).

(36)

Conclusão

LogoPr{C_K 6=C} ≤ 1−_n(n−1)² = q(n)

ePr{C_K não é um corte mínimo} ≤ q(n).

Se executarmos o algoritmor =cⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ lnn vezes, então

Pr{C_K^∗ não é um corte mínimo} ≤ q(n)^r

= 1− 2

n(n−1)

cⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ lnn

< 1 e

clnn

= 1 n^c. Erra com probabilidade exponencialmente pequena emc. Comor é polinomial emn e em c, o algoritmo é polinomial.

(37)

Conclusão

LogoPr{C_K 6=C} ≤ 1−_n(n−1)² = q(n) ePr{C_K não é um corte mínimo}

≤ q(n).

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

(38)

Conclusão

LogoPr{C_K 6=C} ≤ 1−_n(n−1)² = q(n) ePr{C_K não é um corte mínimo} ≤ q(n).

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

(39)

Conclusão

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

(40)

Conclusão

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

= 1 n^c.

Erra com probabilidade exponencialmente pequena emc. Comor é polinomial emn e em c, o algoritmo é polinomial.

(41)

Conclusão

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

= 1 n^c. Erra com probabilidade exponencialmente pequena emc.

Comor é polinomial emn e em c, o algoritmo é polinomial.

(42)

Conclusão

= 1− 2

n(n−1)

< 1 e

clnn

(43)

Uma pergunta...

Quantosst-cortes mínimos diferentes podem existir em G?

...

s t

Um número exponencial emn...

Quantos cortes mínimos diferentes podem existir? ComoPr{C_K =C} ≥ _n(n−1)² =1/ n

2 , há no máximo n

2

cortes mínimos emG. SeG for por exemplo um circuito comn vértices...

(44)

Uma pergunta...

...

s t

Quantos cortes mínimos diferentes podem existir? ComoPr{C_K =C} ≥ _n(n−1)² =1/ n

2 , há no máximo n

2

(45)

Uma pergunta...

...

s t

Quantos cortes mínimos diferentes podem existir?

ComoPr{C_K =C} ≥ _n(n−1)² =1/ n 2

, há no máximo n

2

(46)

Uma pergunta...

...

s t

ComoPr{C_K =C} ≥ _n(n−1)² =1/ n 2

, há no máximo n

2

cortes mínimos em G.

SeG for por exemplo um circuito comn vértices...

(47)

Uma pergunta...

...

s t

ComoPr{C_K =C} ≥ _n(n−1)² =1/ n 2

, há no máximo n

2

cortes mínimos em G. SeG for por exemplo um circuito com n vértices...

(48)

Hashing universal

U: conjunto universo (contém todas as possíveis chaves).

n: um número muito menor que|U|.

H: conjunto de funções de U em{0, . . . ,n−1}.

Se, para cada par de chavesk,` emU, o número de funçõesh emH tais queh(k) =h(`)é no máximo |H|/n, então Hé uma coleção universalde hashing (paraU en).

Teorema: Seja H uma coleção universal de hashing paraU e n, seja S ⊆U tal que|S| ≤n e u∈U. Se h é escolhida aleatoriamente deH eX é o número de elementoss em S tais queh(s) =h(u),

entãoE[X]≤1 seu 6∈S e E[X]≤2 se u ∈S.

Esboço da prova: Seja X_s a variável binária que vale 1 seh(s) =h(u). Note quePr{X_u =1}=1 ePr{X_s =1} ≤1/n ses 6=u.

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(49)

Hashing universal

Teorema: Seja H uma coleção universal de hashing paraU e n, seja S ⊆U tal que|S| ≤n e u∈U. Se h é escolhida aleatoriamente deH eX é o número de elementoss em S tais queh(s) =h(u),

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(50)

Hashing universal

Teorema: Seja Huma coleção universal de hashing para U e n, seja S ⊆U tal que|S| ≤n e u∈U. Se h é escolhida aleatoriamente deH eX é o número de elementoss em S tais queh(s) =h(u),

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(51)

Hashing universal

Esboço da prova: Seja X_s a variável binária que vale 1 seh(s) =h(u).

Note quePr{X_u =1}=1 ePr{X_s =1} ≤1/n ses 6=u. LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(52)

Hashing universal

Note quePr{X_u =1}=1 ePr{X_s =1} ≤1/n ses 6=u.

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(53)

Hashing universal

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e

E[X] =1+P

s∈S\{u}1

n <1+|S|/n≤2 seu ∈S.

(54)

Hashing universal

LogoE[X] =P

s∈SE[Xs] =P

s∈S 1

n =|S|/n≤1 se u6∈S e E[X] =1+P

s∈S\{u} 1

n <1+|S|/n ≤2 seu ∈S.

(55)

Exemplo de coleção universal de hashing

Sejap um primo tal queU ⊆ {0, . . . ,p−1}.

ZZ_p: conjunto {0, . . . ,p−1}.

ZZ^∗_p: conjunto {1, . . . ,p−1}.

Para todoaem ZZ^∗_p e b emZZ_p, seja

ha,b(k) = ((ak+b)modp)modn, para todok em U.

A coleçãoH = {h_a,b:a∈ZZ^∗_p e b ∈ZZ_p}é universal. Esboço da prova no próximo slide.

(KT Sec 13.6para hashing)

(56)

Exemplo de coleção universal de hashing

ZZ_p: conjunto {0, . . . ,p−1}.

ZZ^∗_p: conjunto {1, . . . ,p−1}.

Para todoaem ZZ^∗_p eb emZZ_p, seja

A coleçãoH = {h_a,b:a∈ZZ^∗_p e b ∈ZZ_p}é universal. Esboço da prova no próximo slide.

(57)

Exemplo de coleção universal de hashing

ZZ_p: conjunto {0, . . . ,p−1}.

ZZ^∗_p: conjunto {1, . . . ,p−1}.

A coleçãoH = {h_a,b:a∈ZZ^∗_p e b ∈ZZ_p}é universal.

Esboço da prova no próximo slide.

(58)

Exemplo de coleção universal de hashing

ZZ_p: conjunto {0, . . . ,p−1}.

ZZ^∗_p: conjunto {1, . . . ,p−1}.

Esboço da prova no próximo slide.

(59)

Exemplo de coleção universal de hashing

h_a,b(k) = ((ak+b)modp)modn, para todok em U.

Esboço da prova: Sejamk,`∈U tais que ak+b =a`+bmodp.

Entãoa(k−`) =0 modp, o que implica quea=0 ou k =`.

Logo, comoa6=0, sek 6=`, então r =ak+b 6=a`+b =s. Ademais, para cada par(a,b) está associado um par distinto (r,s), comr 6=s, já que a= (r−s)(k−`)⁻¹modp e b=r−akmodp. Para cadar, temos p−1 valores possíveis para s emZZ_p.

Destes, não mais quep/n são iguais armodn.

Ou seja,h(k) =h(`) para no máximo|H|/n das funçõesh deH.

(60)

Exemplo de coleção universal de hashing

Logo, comoa6=0, sek 6=`, então r =ak+b 6=a`+b=s.

Ademais, para cada par(a,b) está associado um par distinto (r,s), comr 6=s, já que a= (r−s)(k−`)⁻¹modp e b=r−akmodp. Para cadar, temos p−1 valores possíveis para s emZZ_p.

Destes, não mais quep/n são iguais armodn.

(61)

Exemplo de coleção universal de hashing

Ademais, para cada par(a,b) está associado um par distinto (r,s), comr 6=s, já que a= (r−s)(k−`)⁻¹modp eb =r−akmodp.

Para cadar, temos p−1 valores possíveis para s emZZ_p. Destes, não mais quep/n são iguais armodn.

(62)

Exemplo de coleção universal de hashing

Ademais, para cada par(a,b) está associado um par distinto (r,s), comr 6=s, já que a= (r−s)(k−`)⁻¹modp eb =r−akmodp.

Para cadar, temos p−1 valores possíveis para s emZZ_p. Destes, não mais quep/n são iguais armodn.