COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA MA - INFO – 2012 - GABARITO
1. Obtenha a P.A. em que a10 = 7 e a12 = –8.
Solução. Escrevendo os termos em função de a1 e da razão r, temos:
2 ...;
;104 2
;119 2
;134 2 PA 149
2 149 2
135 14 2 7 135 2 .97 15 a
2 r 15 15r 8r 2 11 a
7r9 a )1(
8 r11 a
7r9 a r11 a a
r9 a a
1
1 1 1
1 1 12
1 10
.
2. Determine a P.A. em que se verificam as relações a12 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446.
Solução. Escrevendo os termos em função de a1 e da razão r, temos:
89 93; 97; 101; ...;
PA
2 89 178 2
124 a) 302
4.(31 302 a2, Logo 36 .4
r 144 144 r36
446 r67 a2
302 r31 a2 446
r67 a2
)1(
302 r31 a2 446 r45 ar 22 a
302 r20 ar 11 a 446 a a
302 a a
1 1
1 1 1
1 1
1
1 1
46 23
21 12
.
3. Quantos números ímpares há entre 14 e 192?
Solução. Para que os termos da sequência estejam com a mesma regra o primeiro e o último termo precisam pertencer a essa regra. Logo, a1 = 15 e an = 191. Ambos ímpares. A razão é r = 2, pois, os ímpares diferem entre si de duas unidades. Utilizando a fórmula do termo geral, vem:
2 89 n 178 13 191 n2 2 n2 15 191 2).1 n(
15 191 191
a 15 a
n
1
.
4. Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60, 53, 46,...)?
Solução. Escrevendo o termo geral da progressão e resolvendo a inequação an < 0, com n natural, vem:
3 70 67 )10 .(7 67 a 10 n) iii
10 IN nº1 7 5,9
n 67 67 n7 )1(
67 n7 0 n7 n7 67
67 a
0 )ii a
n7 67 a 7 n7 60 a )7 ).(1 n(
60 7 a
60 53 r
60 )i a
10 n
n
n n
n 1
.
5. Calcule a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1, 7, 13,...).
Solução. Encontrando o último termo (a25) e aplicando a fórmula da soma dos termos, vem:
1825 ) 25 ).(
73 2 (
25 ).
146 ( 2
25 ).
145 1(
2 n).
a S a(
)ii
145 144 1 6).
24 ( 1 a )6 ).(
1 25 ( 1 a 6 1 7 r
25 n
1 a )i
n 1 25
25 25
1
.
6. Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350?
Solução. Como os números são consecutivos há 350 termos. Aplicando a fórmula da soma, temos:
61425 )
175 ).(
351 2 (
350 ).
351 ( 2
350 ).
350 1 S (
) ii
135 n 1 n 1 350 1
).
1 n ( 1 350 ) i
135
.
7. Qual é a soma dos 120 primeiros números pares positivos?
Solução. Para que os termos da sequência estejam com a mesma regra o primeiro precisa ser par.
Logo, a1 = 2 e n = 120. A razão é r = 2, pois, os pares diferem entre si de duas unidades. Utilizando a fórmula do termo geral e da soma, vem:
14520 )
60 ).(
242 2 (
120 ).
240 S 2(
)ii
240 238 2 )2 ).(
119 ( 2 a )2 ).(
1 120 ( 2 a 2 r
120 n
2 a )i
120
120 120
1
.
8. Determine a P.A. em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.
Solução. Utilizando a fórmula do termo geral e da soma, vem:
;36 ;34 ;32 30...;
PA
36 )2.(
19 2 a, Logo 11 .2 r 22 22 26 r11
r49 a2
4 r38 a2 26
r49 a2
)2(
2r 19 )iii a
26 r49 50 a2
r49 1300 a2 2 650
50).r 49 a a(
650 S
2 50).
a S a(
)ii
2r 19 2 a
a
r19 a )i a
1 1
1 1
1
1 1
1 1
50
50 1 50
1 20
1 20
.
9. Qual é o 23º elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255?
Solução. Utilizando a fórmula do termo geral e da soma, vem:
31 66 35 3).
22 ( 35 3).
1 23 ( 35 a) iii
2 35 87 a 17
17 87 30 a2
87 510 a2 2 255
30 ).
87 a a(
255 S
2 30 ).
a S a(
)ii
87 a a 3).
29 ( a a 3).
1 30 ( a a)i
23
1 1
1 1
1 30
30 1 30
1 30 1
30 1
30
.
10. Numa progressão aritmética limitada em que o 1º termo é 3 e o último 31, a soma de seus termos é 136.
Determine o número de termos dessa progressão.
Solução. Aplicando a fórmula da soma dos termos, vem:
34 8 n 272 272 n34 2 136
n).
31 3(
136 S
2 n).
31 S 3(
n
n
.
11. Calcule o quociente entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par da P.A.
finita (4, 7, 10,..., 517).
Solução. A razão entre os termos é 3. Entre os termos de índices ímpares (a1, a3,...) a razão é 6. O mesmo ocorre com os termos de ordem pares (a2, a4,...). Dessa forma, o último termo de ordem ímpar é 514 e o último termo de ordem par é 517. Calculando as somas para cada caso, temos:
262 259 ) 524 (
) 518 ( 22532 22274 ) OP ( S
) OI ( )iii S
22532 ) 43 ).(
524 2 (
86 ).
517 ) 7(
OP ( S
6 86 516 6
1 n 517 6 n6 7 517 6 ).1 n(
7 517 :) pares ( Ordens )ii
22274 ) 43 ).(
518 2 (
86 ).
514 ) 4(
OI ( S
6 86 516 6
2 n 514 6 n6 4 514 6).
1 n(
4 514 :) ímpares ( Ordens )i
n n
n n
.
12. (ESFAO) Marcos e Paulo vão fazer um concurso e para isso resolveram estudar todos os dias. Marcos vai estudar 2 horas por dia, a partir de hoje. Paulo vai estudar hoje apenas uma hora e, nos dias que se seguem, vai aumentar o tempo de estudo em meia hora a cada dia. Considerando esses dados, determine o número de horas que:
a) Paulo estudará no décimo sexto dia, a partir de hoje;
Solução. O tempo de Paulo segue uma PA de razão igual a 1/2 e a1 = 1.
min 30 h 8 h 5 , 8 5 , 7 2 1
). 1 15 ( 1 2 a
). 1 1 16 ( 1
a16 16
.
b) Paulo deverá ter estudado em 16 dias consecutivos, a partir de hoje.
Solução. Calculando a soma da progressão, temos: (9,5).(8) 76,0h 2
16 ).
5 , 8 1
S16 ( .
13. (UENF) Um incêndio no Parque Nacional da Serra dos Órgãos, que durou exatamente 6 dias, devastou 60 hectares nos três primeiros dias. Suponha que, a partir do segundo dia, o fogo tenha destruído sempre 8 hectares a mais do que no dia anterior. A partir desses dados, calcule, em hectares, a área que foi destruída pelo incêndio:
a) no primeiro dia; b) nos seis dias.
Solução. Considere que no 1º dia foi devastado x hectares. No 2º dia foi devastado então (x + 8) hectares. Utilizando as fórmulas da PA, temos:
a)
hectares 12:
dia imeiro Pr.
6 12 x 72
120 48 x6 2 60
3.
16 x x
60 S
2 3.
a S a 16 x )8(
2 x a 3 n
8 r
x a
3 3 1 3 3
1
. b)
32().( )6 192hectares
2 6.
64 2
6.
52 S)ii 12
52 40 12 )8(
5 12 a 6 n
8 r
12 a )i
6 6 1
.
14. (UERJ) Observe a tabela de Pitágoras:
A soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha é:
Solução. Cada coluna da esquerda para a direita é uma PA de razões respectivamente, 3, 4 e 5.
Calculando as somas dos vinte termos de cada coluna, temos:
2520 1050 840 630:
Total
1050 )10).(
2 105(
20).
100 S 5(
100 95 55 ).19(
5 5).1 20(
5 a :ª3)iii
840 )10).(
2 84(
20).
80 S 4(
80 76 44 ).19(
4 4).1 20(
4 a :ª2)ii
630 ; )10).(
2 63(
20).
60 S 3(
60 57 33 ).19(
3 3).1 20(
3 a :ª1)i
20 20 20 20 20 20
.
15. (ENEM) O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
(A) 465 (B) 493 (C) 498 (D) 538 (E) 699
Solução. Os números das espécies formam uma PA de sete termos com a1 = 239 e a7 = 461. Temos:
6 37 r 222 r
6 239 461 r
).
1 7 ( 239
461 .
Os valores são calculados de 4 em 4 anos.
Logo em 2011, haverá 461 + 37 = 498 espécies.