 93.331332333213q1a.G.PS  ,...98,34,2,3.G.P

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE REVISÃO DE GEOMETRIA PLANA – 2012 - GABARITO

1. (Mackenzie) Na figura a seguir, pelo ponto O, foram traçadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triângulo ABC é:

a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81 Solução. Como os triângulos obtidos possuem lados paralelos aos lados do triângulo ABC são congruentes a este. Valendo a relação de áreas proporcionais aos quadrados dos lados. Estabelecendo o triângulo de área 1 e lado “x” como parâmetro, temos:

i) ^{y 4 x y 2 x}

y x 4 1 y x ) 4 área ( T

) 1 área (

T

2 2

2 2 2

2

     

 .

ii) z 9 x z 3 x

z x 9 1 z x ) 9 área ( T

) 1 área (

T

2 2

2 2 2

2













 .

O triângulo ABC então possui base igual a (x + y + z) = x + 2x + 3x = 6x. Considerando a área de ABC, pedida, igual a S e relacionando novamente com o triângulo de área 1, temos:

  6 x ^{S 1 36 x x Sx 36 x S 36}

x ) ABC ( T

) 1 área (

T

2 2

2 2 2

2

     

 .

2. (FUVEST) Na figura a seguir, A

1

B

1

= 3 e B

1

A

2

= 2. Calcule a soma dos infinitos segmentos A

1

B

1

+ B

1

A

2

+ A

2

B

2

+ B

1

A

3

+...

Solução. Observe que os triângulos retângulos são semelhantes. Estabelecendo a relação de semelhança de acordo com os lados opostos aos ângulos de mesma medida, temos:

i) 3

x 4 4 x x 3 2 2

3      ; ii)

9 8 18 y 16 3

y 4 y 2 x x

2 

²

  



 



 



 .

Repare que a sequência gerada é uma P.G. infinita de razão 2/3, iniciando por

3:   

 

  ,...

9 , 8 3 , 4 2 , 3 . G .

P . Aplicando a fórmula da PG infinita, temos:

9 3 . 3 3 1 3 3

2 3

3 3 1 2

3 q 1 . a G . P

S

¹

  

 



 



 .

3. (FUVEST) a) Calcule sen15°.

Solução. Aplicando a fórmula da subtração de arcos com 15º = 45º - 30º, temos:

 

4 2 6 4

2 4

6 2 . 2 2 1 2 . 3 2 º 2 15 sen

º 45 cos º 30 sen º 30 cos º 45 sen º 30 º 45 sen º 15 sen a

cos . senb b

cos . sena )

b a ( sen

 



























.

b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.

Solução. A área do polígono será 24 vezes a área do triângulo isósceles indicado na figura. São conhecidos dois lados (raios valendo 1) e ângulo entre eles. Temos:

 

  ³  ^{6 2} 

8 2 . 6

24 Polígono Área

8 2 6 2

4 2 . 6

1 2

º 15 sen ).

1 ).(

1 Triângulo ( Área



 







 



 



 

 





 



 



 .

4. (UFSC) A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em metros é h. Se a base for aumentada em 22m e a altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h.

Solução. A área do triângulo inicial será S = (132)(h)/2 = 66h. A área do novo triângulo será S’. Sua base será (132+22) = 154 e a altura (h + 55). Pela informação, S’ = 2S. Temos:

m 110 77

h 8470 8470

h 154 h 264 h

264 8470 h

154 )

h 66 ( 2 2

) 55 h )(

154

(           

. 5. Na figura, o ponto G é o baricentro do triângulo, e a área de S

1

é 6cm

²

. A Área do triângulo ABC é:

a) 72 cm² b) 62 cm² c) 50 cm² d) 42 cm² e) 36 cm² Solução. Uma das propriedades das medianas em um triângulo é dividi-

lo em seis áreas iguais. Repare que S

1

e “x” são áreas iguais, pois as bases são de mesma medida (metade de AC) e mesma altura. O mesmo acontece com BGC, divido em áreas iguais a “y”, pois BMG e MCG possuem mesma base e altura. Observe ainda que AMC possui a metade da área de ABC. O mesmo acontece com BCN. Logo ás áreas BCN e AMC são de mesma medida.

Temos: ^S

AMC

 ^S

BNC

 ^{2 x}  ^y  ^{2 y}  ^x  ^y  ^x . Da mesma forma concluímos que z = y = x. Logo, cada um desses triângulos é a sexta parte da área de ABC. Como S

1

= 6cm

²

, ABC possui área 36cm

²

.

6. (PUC) Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 25m e cuja área é 25m

²

?

Solução. Considerando as dimensões do retângulo como ”x” e “y”, temos para área a expressão S = x.y e para perímetro 2p = 2x + 2y. Relacionando essas expressões, temos:

 



 











 











 



 

 

 





 













 



 



  



 





 

 

 







5,2 10 x 25 4 5,2

10 4

15 y 25

10 5,2 x 25 4 10 40 4

15 y 25

4 225 25 4

400 625 25 )2(2

)50)(

2(4 )25 ( )25 y (

0 50 y25 y2 50 y25 y2 2 25

y2 .y 25 25

xy 2

y2 x 25 25

xy 25 y2 x2

2

2 2

.

Logo, as dimensões são 10m e 2,5m.

7. (FUVEST) Na figura, ABCD é um trapézio com BC = 2 e BD = 4 e o ângulo A B ˆ C é reto.

a) Determine a área do triângulo ACD

Solução. Se ABCD é um trapeio, então DC//AB. Logo, B C ˆ D também é reto. A hipotenusa BD vale 4 e o cateto BC mede 2. Calculando DC temos:

3 2 12 4 16 2

4

DC 

²



²

    .

A altura de ACD mede h = 2. A área pedida será:   _{2 3}

2 2 . 3 ) 2

ACD (

S   .

b) Determine a medida de AB, sabendo que BV = 3VD.

Solução. Os triângulos DVC e AVB são semelhantes. Os ângulos ACD e BAC são alternos internos. Logo,

por semelhança, temos: AB 6 3

3 1 AB

3 2 3 1 AB

DC      .

8. Calcule a área da região hachurada em cm

²

.

Solução. A área será a diferença entre a área do setor e a área do triângulo OBC:

12 3 75 50 4

3 25 6 ) 25 hachurada (A

4 3 25 2

3 2 25 2

º60 sen ).5)(

) 5(

T(A

6 25 6 ) )5(

Setor (A

OBC 2

 

 





 



 







 

 









 

 

.

9. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo, respectivamente, de 15% e 20%, sua área aumentará em:

a) 35% b) 36% c) 37% d) 38% e) 39%

Solução. Considerando a área S como a original e S’ a com lados aumentados e analisando as alterações,

temos:

   ^{a 0 15, a b. 0 20, b 1( 15, a ).( ,1 )b2 1 38, b.a 'S 1( 0 38, S).}

'S:

) aumentada (A

b.a S:

) original

(A   

 















.

Logo a área aumenta em 38%.

10. (CESGRANRIO) Na figura, OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a/b.

Solução. A área da região S, riscada, é a diferença entre as áreas do setor que por sua vez é a quarta parte da circunferência de raio “x”, e do triângulo retângulo OAN.

A área “a” será o dobro desse valor:

 

   

2 2 . x 4

2 . 2 x S 2 a

4 2 . x 4

x 2 x . 2

x . x 4

x S .

2 2

2 2 2 2



 

 

 



  







 



 

 



.

A área “b” será a diferença entre a área da quarta parte do setor de raio “2x” e a soma das áreas das semicircunferências ONQ e ONP, retirando-se ainda a área “a” (interseção de ONQ e ONP).

 

 

 

 

    ^{   }

2 2 . x 2

2 . x. x 2 x.

2 . x 2

x.

2 x. x.

b

2 2 . a x

2 x.

2 ) x.

SemiCirc (A

2 x.

2 ) x.

SemiCirc (A

4 x.

x4 . 4

x2 ) . Setor (A

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 ONP

2 2 ONQ

2 2 2

OQP



 



 





 



 



  

 

 









 

 







 









 

 

 

 

 



 

 



.

Repare que a = b. Logo, a/b = 1.

11. A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente.

A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio

r = 5cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60°, calcule a medida do raio R da circunferência maior.

Solução. O triângulo OPQ é retângulo e o cateto 5 é metade da hipotenusa OP. Logo, OP mede 10cm. O raio da maior será 10 + 5 = 15cm.

12. Um polígono circunscreve um círculo, conforme figura a seguir. Sabendo-se que AB = 4

cm, CD = 5 cm, DE = 6 cm e FA

= 3 cm, calcule BC – EF.

Solução. Observe que os segmentos tangentes de mesmo vértices possuem mesma medida. Atribuindo variáveis aos segmentos desconhecidos e efetuando as operações, temos:

cm0 EF BC 0) z w(

EF )z w(

BC

9 BC )z w(

9) ut () z 5u w(

z 4t w

9) z w(

EF 9) z w(

)x 6z y(

x 3 w y





















 



 



















 

 





















 

 







13. Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada.

Solução. A região hachurada corresponde ao quádruplo da diferença entre a área da semicircunferência de raio “r” e o segmento circular B limitado pelo setor de ângulo central de 90º e o triângulo retângulo isósceles de cateto “R”. O raio “R” é a metade da diagonal do quadrado e o raio “r” a metade do lado do quadrado. Calculando cada área, temos:

i) Semicircunferência de raio “r”:  

8 49 2 2

7 2

S r

2



2

 

 

 ^.

ii) Segmento circular B:

4 49 8 49 2

2 2 . 7 2 2 7 16 98 4

2 2 7 2

R . R 4 B R

2 2

 

 



 



 



 





 

 



 



 



 

 ^.

iii) Região hachurada: ^{49 cm}

²

4 4 49 4

49 8 49 8

4 49 ) B S ( 4 A .

4  



 



 

 

 



 



 



  

 





 .

14. Na figura seguinte estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma circunferência de raio 2. Calcule a área d região hachurada.

Solução. A região hachurada “d” será a soma das áreas “a” e “b”.

i) A área “a” é a área do triângulo retângulo isósceles de catetos 2 e 2. Logo a área

vale: 2

2 ) 2 ).(

2

a  (  .

ii) A área “b” é do setor circular de ângulo central de 90º com raio 2:     4

) 2 ).(

b (

2

. Logo, d = (π + 2).

15. Na figura a seguir, os círculos internos são iguais e a região assinalada tem área igual a 8(π – 2). Calcule a área do círculo externo.

Solução. A área da região hachurada será 8 vezes a área do segmento circular limitado pelo setor de 90º e o triângulo retângulo isósceles de cateto “x”.

Temos:    

2 x 4 x )2 4 (

)2 (x

)2 4 (

x2 2 x

2 .8 x 4 .8 x 2

.8 A

2 x 4 .8 x A

2 2

2 2 2

2 2

2











 





 

 

 



 



  

 



 







 

 



  



.

O diâmetro da circunferência menor é o raio da maior. Logo, o raio do círculo externo vale 4. Sua área,

então, será: A   ( 4 )

²

 16  .