1. Leia a tirinha:Suponha que existam exatamente

GIO PARANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946 MATÉRIA: MATEMÁTICA PROF.(A).: Emanuel Jaconiano SÉRIE

: 3ª EM

ALUNO(A): TURMA: TURNO:

1. Leia a tirinha:

Suponha que existam exatamente ⁷⁰⁰ milhões de analfabetos no mundo e que esse número seja reduzido, a uma taxa constante, em 10% ao ano, totalizando ⁿ milhões daqui a três anos.

Calcule o valor de ^n.

2. Uma garota diz que pode multiplicar qualquer número de três dígitos por 1001 instantaneamente. Se um colega diz “715” ela fornece a resposta da multiplicação imediatamente. Determine o valor encontrado e explique o segredo da garota.

3. Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo cujos vértices são os pontos 2,0 , 2,0 e 0,3    , e R o retângulo de vértices x,0 , x,0 ,0    x 2, e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T. Determine o valor de ^x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.

4. Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto B, como mostra a figura.

Rio de Janeiro, ________ de _____________________________ de 2016.

SIMULADO 1– ESPECÍFICO UERJ

RANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

Calcule a distância, em metros, percorrida pela formiga.

5. Um agricultor pretende dividir um terreno em duas partes que possuam a mesma área. A figura a seguir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao longo da linha vertical tracejada.

Considerando-se o exposto, determine o valor de x, com precisão de uma casa decimal. Dado:

345,83

6. Considere uma lata, com o formato de um cilindro reto de altura h cm e raio r cm (Figura 1), completamente cheia de doce de leite. Parte do doce dessa lata foi transferido para dois

recipientes (Figura 2), iguais entre si e em forma de cone, que têm a mesma altura da lata e o raio da base igual à metade do raio da base da lata. Considere também que os dois recipientes ficaram completamente cheios de doce de leite.

Desprezando a espessura do material de que são feitos os recipientes e a lata, determine quantos outros recipientes, também em forma de cone, mas com a altura igual à metade da altura da lata e de mesmo raio da lata (Figura 3), podem ser totalmente preenchidos com o doce de leite que restou na lata.

Observação: Na lata e nos recipientes completamente cheios de doce de leite, o doce não

GIO PARANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

7. Conta a lenda:

Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no dia do seu aniversário.

Em certa ocasião levou três condenados a um quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros. Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas não o seu.

Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube responder.

O mesmo aconteceu com o prisioneiro B.

Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois.

“Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco.”

Foi colocado em liberdade assim que todos observaram que havia acertado a resposta.

Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das cores dos chapéus colocados nos prisioneiros. Explique por que o condenado C somente podia estar com o chapéu branco.

8. As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7 possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova pedra do dominó.

9. Resolva a equação log10





10. Para cada ⁿ natural, seja o número n    

n vezes n vezes

K  3 3 3 ...  3  2 2 2 ...  2 .

  Se ^{n ,} para que valor se aproxima K ?n

RANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

Gabarito:

Resposta da questão 1:

n 700000000 (0,9)  3510300000 Resposta da questão 2:

Podemos escrever 1001 1000 1.  Logo, temos

715 1001 715 (1000 1) 715715.    

Seja ^abc, com ^{a, b, c{0, 1, 2,}^{, 9}} e ^{a 0.}

O segredo é que todo número ^abc multiplicado por ¹⁰⁰¹ resulta em

abc (1000 1) abc000 abc    abcabc.

Resposta da questão 3:

Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que:

2x 3 h 3.x

h 3

4 3 2

     

Considere A, a área do retângulo R.

2

V

A 2x. 3.x 3 2

A 3x 6x

b 6

x 1

2.a 2.( 3)

 

   

  

    



Portanto, x = 1.

Resposta da questão 4:

GIO PARANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

Calculando x e y nos triângulos assinalados.

2 1 2

sen30 x 4

x 2 x

    



1 3 1

tg30 y 3

y 3 y

    



Logo, a distância percorrida pela formiga é:

2 x 1 y 2 3       2 4 1 3 2 3 (7 3 3)m Resposta da questão 5:

O triângulo CGF é isósceles, logo CG = GF = x.

O triângulo ADE é isósceles, logo CD = DE = 300.

Igualando as áreas dos dois trapézios, temos a seguinte equação:

RANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

2 2

2 2

(100 x 100) x (400 100) (300 x)

2 2

200x x 150000 500x 300x x 2x 400x 150000 0

x 200x 75000 0

      

    

  

  

Logo,

200 100 34

x 2

x 100 50 5,83 x 191,5m

 



   



Resposta da questão 6:

Volume da figura 1: V₁ π r²h

Volume da figura 2: V₂ ^{1 r 2} h ^{r2 h V1}

3 2 12 12

π   π 

      

Volume da figura 3: V₃ ¹ r^{2 h r2 h V1}

3 2 6 6

π π 

    

Número de recipientes da figura 3:

1 1

1 2

3 1

V 2 V

V 2 V 12 5

V V

6

   

 

Resposta da questão 7:

Considere a tabela, em que ^b significa branco e ⁿ significa negro.

Prisioneiros

A B C

CordoChapéu

b b b

b b n

b n b

n b b

n n b

n b n

b n n

Para que A não saiba a cor do seu chapéu, os chapéus de B e ^C não podem ser ambos negros. Logo, B detém essa informação. Analogamente, como B também não soube

responder, os chapéus de A e ^C não podem ser ambos negros. Finalmente, o chapéu de ^C não pode ser negro, pois, após a resposta de ^A, o prisioneiro B saberia que o seu chapéu só poderia ser branco. Portanto, o chapéu de ^C só pode ser branco.

Resposta da questão 8:

55.

1ª Solução:

GIO PARANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946

Como cada quadrado pode ter até ⁹ pontos, existem ¹⁰ pedras com pontos iguais e

10 10! 45 2! 8!

2

 

 

  

  pedras com pontos diferentes. Portanto, um dominó de 9 pontos possui

10 45 55  pedras.

2ª Solução:

O número de pedras de um dominó de ⁹ pontos é dado pelo número de combinações completas de ¹⁰ objetos tomados 2 a ^2, ou seja,

2 2

10 10 2 1

11 11!

CR C 55.

2 2! 9!

   

     

3ª solução:

Existem ¹⁰ escolhas para o 1º número e ⁹ para o 2º. Como a ordem dessas escolhas é indiferente, temos ^{10 9} 45

2

  pedras com números diferentes. Além disso, temos 10 pedras com números iguais.

Portanto, um dominó de 9 pontos possui 45 10 55  pedras.

Resposta da questão 9:

3 3

10 10 10 10 10 3 2

2

x 1

log( log x log x) 1 log x log x 10 log 10 100

x x

1 1

x x

100 10

          

   

. x é positivo pela condição de existência do logaritmo;

Resposta da questão 10:

Tem-se que

n n

n n

n n

1 1

1 1 1 1

2 4 2 2 4 2

n

1 1

1 1

1 2 1 2

1 1

2 1 2 1

2 2

1 1

1 1

2 2

K 3 3 3 2 2 2

3 2

3 2 .

   

     

 

 

   

     

       

 

 

 

Se ^{n ,} então ^{1 n} 0

  2

   e, portanto, segue que Kn   3 2 1.

RANAPUÃ Rua Jaime Perdigão, 438 – Moneró Tel.: 2462-4946