tga sen º120

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

TRIGONOMETRIA: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS - GABARITO 1) Utilize as fórmulas de adição e subtração de arcos e calcule:

a) sen75º b) sen120º c) cos105º Solução. Utilizando as fórmulas de adição ou subtração de arcos, temos:

a)

 

4 6 2 4

6 4 º 2 75 sen

2 . 3 2

2 2

. 2 2 º 1 30 cos º 45 sen º 45 cos º 30 sen º 45 º 30 sen º 75 sen

 















































 













.

b)

     

) conhecido 2 (

º 3 120 sen

0 2 . 1 2

. 3 1 º 90 cos º 30 sen º 30 cos º 90 sen º

30 º 90 sen º 120 sen







 



 















 









.

c)

 

4 6 2 4

6 4 º 2 105 cos

2 . 2 2 1 2

. 2 2 º 3 45 sen º 150 sen º 45 cos º 150 cos º 45 º 150 cos º 105 cos

 























 







































.

2) Se tg(ab) 0,98 e ^tgb^¹, calcule tga.

Solução. Aplicando a fórmula da tangente da diferença entre arcos, temos:

02 99 , 0

98 , tga 1

1 98 , 0 tga 98 , 0 tga 1 tga tga . 98 , 0 98 , tga 0 1

1 98 tga

, ) 0 1 ).(

tga ( 1

1 ) tga

b a ( tg



















 

 

 

 



.

3) Sabendo que

5 2a 4

sen , calcule ^tga^^cot^ga.

Solução. Desenvolvendo a expressão ^tga^^cot^ga e substituindo os valores, temos:

2 5 5 2 ga 1 cot tga 5

2 10 a 4 cos 5 sena a 4 cos sena 2

a cos sena

1 a

cos sena

a cos a sen sena

a cos a cos ga sena cot tga

2 2







 



 









 









.

4) Sejam



um arco do 1º quadrante e ^ um arco do 2º quadrante, tais que ^cos^ ^⁰^,⁸ e ^sen^^⁰^,⁶. Determine o valor de sen







.

Solução. Encontrando o seno e o cosseno que falta de acordo com os quadrantes, temos:

(2)

0 48 ,0 48 ,0 )8 ,0 ).(

6, 0(

)8 ,0 ).(

6, 0(

) ( sen , Logo

Quadrante º2

8, 0 64 ,0 36 ,0 1 )6 ,0 ( 1 cos 6, 0 sen

Quadrante º1

6, 0 36 ,0 64 ,0 1 )8 ,0 ( 1 sen 8,

0 cos

2 2























 













































.

5) Sendo

2 cos  5

 a

sena , calcule o valor de sen2 .a

Solução. Elevando a equação ao quadrado nos dois membros e simplificando, vem:

4 1 4

4 1 5 4 a2 5 sen

4 a2 5 sen 1 4

5 2 )a 5 cos sena (

a2 sen 1 a cos sena 2 1 a cos a cos sena 2 a sen )a cos sena (

a cos sena 2 a2 sen

2 2

2

 















 



 



 







 



 

















.

6) (CESGRANRIO) Se

2 cos  1

 x

senx , calcule o valor de

senx . cos x

.

Solução. Elevando a equação ao quadrado nos dois membros e simplificando, vem:

8 x 3 cos 4 senx 3 4

1 4 4 1 1 x cos senx 2

4 x 1 cos senx 2 1 4

1 2 )x 1 cos senx (

x cos senx 2 1 x cos x cos senx 2 x sen )x cos senx (

x cos . senx 2 x2 sen

2 2

2





 













 



 



 



 

 















.

7) (FUVEST) No triângulo ABC, os catetos AB e AC medem 2 3 e 1, respectivamente. Seja D um ponto de AB tal que AD = AC. Calcule tg()onde



e ^ são as medidas ADˆC e ABˆC, respectivamente.

Solução. Observando a figura que representa as informações, temos:

2 3 3 ) 2

( tg

3 1

3 3 3 3 3 3 1

3 . 1 3 1

3 3 3 1

3 ) 3

( tg

3 1

3 . 2 3 2

3 3 3 2

3 1

3 2

3 3

3 2 ). 1 1 ( 1

3 2 1 1 ) ( tg

3 2

1 AB tg AC e AD 1 tg AC

 

 









 





 















 















 



 

























 















 







 





 

 









 









.

(3)

8) (PUC) Se

3

 1



tg , calcular ^tg²^ .

Solução. Tangente do arco duplo: ⁴

3 8 .9 3 2 9 8 3 2

9 1 1

3 2

3 1 1

3 . 1 2 tg

1 tg ) 2 ( tg 2

tg ₂ ₂   







 







 





 



 









 .

9) (PUC) Se tg(x y)33e ^tgx^³, determine o valor de ^tg²^y. Solução. Tangente de adição de arcos:

91 60 91 .100 10

6 9100 1

610 10

1 3 10 2 3 y 2 tg

10 3 100 tgy 30 30 tgy 100 tgy 3 tgy 99 tgy 33

. 3 1

tgy 33 3

2  

 



 







 



















 

 

.

10) (UNESP) Se o ângulo (2x) pertence ao primeiro quadrante e ^tg²^x^ ², calcule o valor de tgx. Solução. Desenvolvendo a tangente do arco duplo, temos:

2 1 tgx 5

inválida 2 0

5 tgx 1

Quadrante º1

2 0 5 tgx 1

2 5 1 2

4 1 1 )1

(2

)1 )(

1(

4 )1 ( tgx 1

grau º2 do equação 0

1 tgx x tg tgx 2 x tg 2 x 2

tg 1

tgx 2 2

x tg 1

tgx )x 2

x(

tg x 2 tg

2

2 2

 



 



 





 

 



 

 

 

 





 





 















 



 







.

11) (UNESP) O seno de um ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 4

1 . Determine o valor da tangente

do ângulo do vértice desse triângulo.

Solução. A soma dos ângulos internos do triângulo vale 180º. Como é isósceles, o ângulo do vértice vale a diferença entre 180º e a soma dos ângulos da base (dobro de um ângulo da base). Considerando o ângulo da base como “x” e o do vértice como “y”, temos:

7 15 14

.16 8 15 16

148 15

4 1 4

15 4 . 15 4 2 1 x

sen x cos

x cos senx 2 x

2 cos

x 2 x sen 2 tg tgy

4 15 16

15 16

1 1 4

1 1 x 4 cos senx 1

x 2 tg ) x 2 º 180 ( tg tgy ) x 2 º 180 ( y

2 2 2

2 2















 































 







 















 



 

























.

12) (MACK) Se secx4, com

0 x2 , quanto vale ^tg²^x?

Solução. Encontrando os valores apropriados para o cálculo da tangente, temos:

(4)

7 15 14

.16 8 15 16

14 8 15

4 15 4

1

4 . 15 4 2 1 x sen x cos

x cos senx 2 x 2 cos

x 2 x sen 2 tg

4 15 4

1 1 4 senx

x 1 cos 4

x sec

2 2 2

2



























 



















 





 



 



 















.

13) (FUVEST) Calcule o valor de



tg10ºcotg10º



.sen20º.

Solução. Desenvolvendo a soma nos parênteses e sabendo que sen20º = 2sen10ºcos10º, temos:

2 º 10 cos º 10 sen 2 º . 10 cos º 10 sen º 1 20 sen º .

10 cos º 10 sen

º 10 cos º 10 º sen

20 sen º . 10 sen

º 10 cos º 10 cos

º 10

sen ² ²  



 







 



 

 



 



  .

14) (FGV) Na figura, ACˆBé um ângulo reto, ABˆD DBˆC  , AD x, DC 1 e BC3. Com as informações dadas, determine o valor de x.

Solução. Identificando os valores das tangentes e utilizando a fórmula da tangente do arco duplo, temos:

4 5 4

4 x 9 9 x4 4 4 3 3

x 1

3 x 2tg 1

4 3 8 . 9 3 2 3 1 1

3 2 1 3 2tg

tg 1

₂

 











 



 





 







 



 

 

 

 

 











.