UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA – 2019.1
⋆ GEOMETRIA ANAL´ITICA ⋆ 2 o EXERC´ICIO ESCOLAR ⋆ 10/05/2019
GABARITO
1 a Quest˜ ao(2, 0) Considere os planos α : 2x − y + 5z = 2 e β : x + 5y − 2z = 3 (a) Determine o ˆ angulo θ entre α e β.
R. O ˆ angulo entre os planos ´ e o menor ˆ angulo entre seus vetores normais. Escolhendo → n α = (2, − 1, 5) e
→ n β = (1, 5, − 2) temos
cos θ = | → n α . → n β |
∥ → n α ∥ . ∥ → n β ∥ = | 2 √ − 5 − 10 | 30 √
30 = 13 30 θ = arccos 13
30
(b) Escreva uma equa¸c˜ ao vetorial para a reta ℓ que cont´ em a origem e ´ e paralela aos planos α e β.
R. Um vetor diretor para ℓ ´ e perpendicular a → n α = (2, − 1, 5) e a → n β = (1, 5, − 2), portanto, paralelo a
→ n α ∧ → n β .
→ n α ∧ → n β =
→ i → j → k 2 − 1 5 1 5 − 2
= ( − 23, 9, 11)
Uma equa¸c˜ ao vetorial para ℓ ´ e
ℓ : X = (0, 0, 0) + λ( − 23, 9, 11)
2 a Quest˜ ao(3, 0) Considere as retas r : X = (1, 2, 3) + λ( − 1, 0, 1) e s : X = (3, − 2, 3) + λ(1, 1, 0).
(a) Mostre que r e s s˜ ao reversas.
R. Sejam A = (1, 2, 3) ∈ r, B = (3, − 2, 3) ∈ s, → v = ( − 1, 0, 1) ∥ r e → u= (1, 1, 0) ∥ s. Basta mostrar que a sequˆ encia [ AB, → → v , → u] ´ e LI:
2 − 4 0
− 1 0 1
1 1 0
= − 6 ̸ = 0 ⇒ [ AB, → → v , → u] ´ e LI ⇒ r e s s˜ ao reversas (b) Escreva a equa¸c˜ ao geral do plano que cont´ em r e ´ e paralelo a s.
R. O ponto A = (1, 2, 3) ∈ r est´ a nesse plano π que ´ e paralelo a → v = ( − 1, 0, 1) e a → u = (1, 1, 0).
X = (x, y, z) ∈ π ⇐⇒ [ AX, → → v , → u] = 0
x − 1 y − 2 z − 3
− 1 0 1
1 1 0
= 0 ⇐⇒ − (x − 1) + y − 2 − (z − 3) = 0 π : x − y + z − 2 = 0
(c) Calcule a distˆ ancia entre r e s.
R. A distˆ ancia entre r e s ´ e a distˆ ancia de B = (3, − 2, 3) ∈ s a π:
d(r, s) = | 3 + 2 + 3 √ − 2 |
3 = 6
√ 3 = 2 √
3
3 a Quest˜ ao(3, 0) Dados o ponto P = ( − 1, 1, − 2) e a reta r : X = (3, 0, − 3) + λ(1, − 1, − 1).
(a) Escreva uma equa¸c˜ ao vetorial para a reta ℓ perpendicular a r que cont´ em P .
R. A reta ℓ intersecta r no ponto P ′ que ´ e a proje¸c˜ ao ortogonal de P sobre r. Para encontrar P ′ , escolhemos A = (3, 0, − 3) ∈ r e projetamos o vetor AP → = ( − 4, 1, 1) sobre o vetor diretor de r,
→ v = (1, − 1, − 1), obtendo AP → ′ :
→
AP ′ =
AP . → → v
→ v . → v . → v = − 4 − 1 − 1
1 + 1 + 1 (1, − 1, − 1) = − 2(1, − 1, − 1) = ( − 2, 2, 2) P ′ = A+
→
AP ′ = (3, 0, − 3) + ( − 2, 2, 2) = (1, 2, − 1) A reta ℓ ´ e paralela a P P → ′ = (2, 1, 1). Uma equa¸c˜ ao vetorial para ℓ ´ e
ℓ : X = ( − 1, 1, − 2) + λ(2, 1, 1)
R. Outra solu¸c˜ ao. Como P = ( − 1, 1, − 2) ∈ ℓ e ℓ ⊥ r, temos que um vetor diretor de ℓ ´ e
→ u = −→
P Q, onde Q ∈ r, da´ı Q = (3 + λ, − λ, − 3 − λ), e −→
P Q · → v = 0.
Assim −→
P Q = (4 + λ, − 1 − λ, − 1 − λ) e (4 + λ, − 1 − λ, − 1 − λ) · (1, − 1, − 1) = 0 ⇒
⇒ 4 + λ + 1 + λ + 1 + λ = 0 ⇒ λ = − 2 ⇒ −→ P Q = (2, 1, 1).
Logo
ℓ : X = ( − 1, 1, − 2) + λ(2, 1, 1)
(b) Determine as coordenadas de todos os pontos R ∈ r que distam 3 de P .
R. P = ( − 1, 1, − 2). Seja R = (3 + λ, − λ, − 3 − λ) ∈ r. Precisamos determinar λ para que d(R, P ) = 3 ou d 2 (R, P ) = 9:
(4 + λ) 2 + ( − λ − 1) 2 + ( − 1 − λ) 2 = 9 ⇐⇒ λ 2 + 8λ + 16 + 2(λ 2 + 2λ + 1) = 9 ⇐⇒ 3λ 2 + 12λ + 9 = 0 λ 2 + 4λ + 3 = 0 ⇐⇒ (λ + 1)(λ + 3) = 0 ⇐⇒ λ = − 1 ou λ = − 3
Cada um desses valores corresponde a um ponto de r que dista 3 de P
λ = − 1 ⇒ R = (2, 1, − 2) e λ = − 3 ⇒ R = (0, 3, 0)
4 a Quest˜ ao(2, 0) No plano R 2 , considere o ponto F = (0, 5) e a reta ℓ : y = 9 5 . Mostre que o lugar geom´ etrico C dos pontos X tais que
d(X, F ) = 5
3 .d(X, ℓ)
´
e uma cˆ onica.
(a) Identifique C .
R. Pela defini¸c˜ ao unificada das cˆ onicas temos que C ´ e uma cˆ onica de excentricidade e = 5 3 > 1, portanto, uma hip´ erbole. Vejamos a equa¸c˜ ao: X = (x, y)
√ x 2 + (y − 5) 2 = 5 3
y − 9 5
⇐⇒ x 2 + y 2 − 10y + 25 = 25 9
(
y 2 − 18
5 y + 81 25
)
9x 2 + 9y 2 − 90y + 25.9 = 25y 2 − 90y + 81 9x 2 − 16y 2 + 9(25 − 9) = 0
9x 2 − 16y 2 + 9.16 = 0 ( ÷ 9.16) x 2
16 − y 2
9 + 1 = 0
− x 2 16 + y 2
9 = 1 C ´ e de fato uma hip´ erbole (b) Determine o(s) parˆ ametro(s) geom´ etrico(s) de C .
R. Pela equa¸c˜ ao obtida no item (a)
a 2 = 9, b 2 = 16 ⇒ c 2 = 9 + 16 = 25 Eixo transverso 2a = 6. Eixo conjugado 2b = 8. Distˆ ancia focal 2c = 10.
(c) Determine a excentricidade de C . R. e = c a = 5 3 .
(d) Fa¸ca um esbo¸co de C . R.
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
x y