1 a Quest˜ ao(2, 0) Considere os planos α : 2x − y + 5z = 2 e β : x + 5y − 2z = 3 (a) Determine o ˆ angulo θ entre α e β.

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA – 2019.1

⋆ GEOMETRIA ANAL´ITICA ⋆ 2 ^o EXERC´ICIO ESCOLAR ⋆ 10/05/2019

GABARITO

1 ^a Quest˜ ao(2, 0) Considere os planos α : 2x − y + 5z = 2 e β : x + 5y − 2z = 3 (a) Determine o ˆ angulo θ entre α e β.

R. O ˆ angulo entre os planos ´ e o menor ˆ angulo entre seus vetores normais. Escolhendo ^→ n _α = (2, − 1, 5) e

→ n _β = (1, 5, − 2) temos

cos θ = | ^→ n _α . ^→ n _β |

∥ ^→ n _α ∥ . ∥ ^→ n _β ∥ = | 2 √ − 5 − 10 | 30 √

30 = 13 30 θ = arccos 13

30

(b) Escreva uma equa¸c˜ ao vetorial para a reta ℓ que cont´ em a origem e ´ e paralela aos planos α e β.

R. Um vetor diretor para ℓ ´ e perpendicular a ^→ n _α = (2, − 1, 5) e a ^→ n _β = (1, 5, − 2), portanto, paralelo a

→ n _α ∧ ^→ n _β .

→ n _α ∧ ^→ n _β =

→ i ^→ j ^→ k 2 − 1 5 1 5 − 2

= ( − 23, 9, 11)

Uma equa¸c˜ ao vetorial para ℓ ´ e

ℓ : X = (0, 0, 0) + λ( − 23, 9, 11)

2 ^a Quest˜ ao(3, 0) Considere as retas r : X = (1, 2, 3) + λ( − 1, 0, 1) e s : X = (3, − 2, 3) + λ(1, 1, 0).

(a) Mostre que r e s s˜ ao reversas.

R. Sejam A = (1, 2, 3) ∈ r, B = (3, − 2, 3) ∈ s, ^→ v = ( − 1, 0, 1) ∥ r e ^→ u= (1, 1, 0) ∥ s. Basta mostrar que a sequˆ encia [ AB, ^{→ →} v , ^→ u] ´ e LI:

2 − 4 0

− 1 0 1

1 1 0

= − 6 ̸ = 0 ⇒ [ AB, ^{→ →} v , ^→ u] ´ e LI ⇒ r e s s˜ ao reversas (b) Escreva a equa¸c˜ ao geral do plano que cont´ em r e ´ e paralelo a s.

R. O ponto A = (1, 2, 3) ∈ r est´ a nesse plano π que ´ e paralelo a ^→ v = ( − 1, 0, 1) e a ^→ u = (1, 1, 0).

X = (x, y, z) ∈ π ⇐⇒ [ AX, ^{→ →} v , ^→ u] = 0

x − 1 y − 2 z − 3

− 1 0 1

1 1 0

= 0 ⇐⇒ − (x − 1) + y − 2 − (z − 3) = 0 π : x − y + z − 2 = 0

(c) Calcule a distˆ ancia entre r e s.

R. A distˆ ancia entre r e s ´ e a distˆ ancia de B = (3, − 2, 3) ∈ s a π:

d(r, s) = | 3 + 2 + 3 √ − 2 |

3 = 6

√ 3 = 2 √

3

3 ^a Quest˜ ao(3, 0) Dados o ponto P = ( − 1, 1, − 2) e a reta r : X = (3, 0, − 3) + λ(1, − 1, − 1).

(a) Escreva uma equa¸c˜ ao vetorial para a reta ℓ perpendicular a r que cont´ em P .

R. A reta ℓ intersecta r no ponto P ^′ que ´ e a proje¸c˜ ao ortogonal de P sobre r. Para encontrar P ^′ , escolhemos A = (3, 0, − 3) ∈ r e projetamos o vetor AP ^→ = ( − 4, 1, 1) sobre o vetor diretor de r,

→ v = (1, − 1, − 1), obtendo AP ^{→ ′} :

→

AP ^′ =

AP . → ^→ v

→ v . ^→ v . ^→ v = − 4 − 1 − 1

1 + 1 + 1 (1, − 1, − 1) = − 2(1, − 1, − 1) = ( − 2, 2, 2) P ^′ = A+

→

AP ^′ = (3, 0, − 3) + ( − 2, 2, 2) = (1, 2, − 1) A reta ℓ ´ e paralela a P P ^{→ ′} = (2, 1, 1). Uma equa¸c˜ ao vetorial para ℓ ´ e

ℓ : X = ( − 1, 1, − 2) + λ(2, 1, 1)

R. Outra solu¸c˜ ao. Como P = ( − 1, 1, − 2) ∈ ℓ e ℓ ⊥ r, temos que um vetor diretor de ℓ ´ e

→ u = −→

P Q, onde Q ∈ r, da´ı Q = (3 + λ, − λ, − 3 − λ), e −→

P Q · ^→ v = 0.

Assim −→

P Q = (4 + λ, − 1 − λ, − 1 − λ) e (4 + λ, − 1 − λ, − 1 − λ) · (1, − 1, − 1) = 0 ⇒

⇒ 4 + λ + 1 + λ + 1 + λ = 0 ⇒ λ = − 2 ⇒ −→ P Q = (2, 1, 1).

Logo

ℓ : X = ( − 1, 1, − 2) + λ(2, 1, 1)

(b) Determine as coordenadas de todos os pontos R ∈ r que distam 3 de P .

R. P = ( − 1, 1, − 2). Seja R = (3 + λ, − λ, − 3 − λ) ∈ r. Precisamos determinar λ para que d(R, P ) = 3 ou d ² (R, P ) = 9:

(4 + λ) ² + ( − λ − 1) ² + ( − 1 − λ) ² = 9 ⇐⇒ λ ² + 8λ + 16 + 2(λ ² + 2λ + 1) = 9 ⇐⇒ 3λ ² + 12λ + 9 = 0 λ ² + 4λ + 3 = 0 ⇐⇒ (λ + 1)(λ + 3) = 0 ⇐⇒ λ = − 1 ou λ = − 3

Cada um desses valores corresponde a um ponto de r que dista 3 de P

λ = − 1 ⇒ R = (2, 1, − 2) e λ = − 3 ⇒ R = (0, 3, 0)

4 ^a Quest˜ ao(2, 0) No plano R ² , considere o ponto F = (0, 5) e a reta ℓ : y = ⁹ ₅ . Mostre que o lugar geom´ etrico C dos pontos X tais que

d(X, F ) = 5

3 .d(X, ℓ)

´

e uma cˆ onica.

(a) Identifique C .

R. Pela defini¸c˜ ao unificada das cˆ onicas temos que C ´ e uma cˆ onica de excentricidade e = ⁵ ₃ > 1, portanto, uma hip´ erbole. Vejamos a equa¸c˜ ao: X = (x, y)

√ x ² + (y − 5) ² = 5 3

y − 9 5

⇐⇒ x ² + y ² − 10y + 25 = 25 9

(

y ² − 18

5 y + 81 25

)

9x ² + 9y ² − 90y + 25.9 = 25y ² − 90y + 81 9x ² − 16y ² + 9(25 − 9) = 0

9x ² − 16y ² + 9.16 = 0 ( ÷ 9.16) x ²

16 − y ²

9 + 1 = 0

− x ² 16 + y ²

9 = 1 C ´ e de fato uma hip´ erbole (b) Determine o(s) parˆ ametro(s) geom´ etrico(s) de C .

R. Pela equa¸c˜ ao obtida no item (a)

a ² = 9, b ² = 16 ⇒ c ² = 9 + 16 = 25 Eixo transverso 2a = 6. Eixo conjugado 2b = 8. Distˆ ancia focal 2c = 10.

(c) Determine a excentricidade de C . R. e = ^c _a = ⁵ ₃ .

(d) Fa¸ca um esbo¸co de C . R.

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4 5 6 7

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−2

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−4

−5

−6

−7

−8

x y