PROVA DE MATEMÁTICA ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2018/2019 ENUNCIADOS

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2018/2019 ENUNCIADOS

1) Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática são números inteiros tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as questões.

Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença entre a maior e a menor nota é um número que é divisor de

a) 14 b) 15 c) 16 d) 18

2) Seja a equação trigonométrica tg x

³

 2 tg x

²

 tg x   2 0, com

   

 ³ 

x 0, 2 , .

2 2

    

Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,

a) três. b) quatro. c) cinco. d) seis.

3) Sobre a inequação

2 3

3x 2x

x x ,

  considerando o conjunto universo

U ,

é INCORRETO afirmar que possui conjunto solução

a) unitário se U   x  | x  0 e x  2k, k 

^*_

 . b) vazio se

^{U }



^2,



^.

c) com infinitas soluções se U   x  | x  2k 1, k    . d) com infinitas soluções se U   x 

^*

| x  2 . 

4) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo

A  x 2i, x

e

B 1 i.

Se no produto

A B

tem-se Re A B

^



^

 Im A B ,

^



^

então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que

a) seus afixos formam uma reta.

b) nenhum deles é imaginário puro.

c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.

d) existe A tal que

A  B .

5) O domínio mais amplo da função real f definida por _{f x}

^{ }

_{ log}

_a

 _x

²

_{ 3 ,}  _{em que}

 

a 0,1 ,

é

a)   2, 2  b) 

2, 2



c) 

^{  , 2}

 

^2,

 ^d) 

 2, 3

 

 3, 2



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6) Considere no plano cartesiano os pontos A 2,0 e   B 6, 4    que são simétricos em relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência x

²

 y

²

 12x  4y  32  0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo

a) 

^4,5

 ^b) 

^{3, 4}

 ^c) 

^2,3

 ^d)  

^{1, 2}

7) Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos horizontais são paralelos ao eixo Ox e os segmentos verticais são paralelos ao eixo Oy.

Sabe-se que:

• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem

 

O 0, 0 e termina em Q, formam uma progressão aritmética decrescente de razão r e primeiro termo a , em que

₁

 ^ ₁₅ ^{1   r 0 ;} 

• dois segmentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares;

• OA  a ,

₁

AB  a ,

₂ BCa ,₃

e, assim sucessivamente, até PQ  a .

₁₆

Suponha que uma formiga parta da origem O 0, 0 , e percorra a trajetória descrita pela   poligonal até chegar ao ponto Q.

Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo.

I. Se a

₁

 1 e 1

r ,

  16 então a distância d percorrida pela formiga até chegar ao ponto Q é tal que 17

₁

d a .

 2

II. Quando a formiga estiver na posição do ponto L x, y , então x     6r.

III. Se a

₁

 1, então de A até C, a formiga percorrerá a distância d   2 3r.

Quanto à veracidade das proposições, tem-se a) apenas uma delas é verdadeira.

b) apenas duas são verdadeiras.

c) todas são verdadeiras.

d) nenhuma delas é verdadeira.

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8) Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3º ano do CPCAR vendem bombons no horário do intervalo das aulas.

Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, perceberam que vendiam, em média, 50 bombons por dia.

A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram que para cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom (não podendo conceder mais que 70 descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia.

Considera:

• p o preço de cada bombom;

• n o número de bombons vendidos, em média, por dia;

• x  o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço unitário de cada bombom; e

• y a arrecadação diária com a venda dos bombons.

Com base nessas informações, analise as proposições abaixo.

(02) O gráfico que expressa n em função de p está contido no segmento

AB

do gráfico abaixo.

(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, considerando os descontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 5 centavos.

(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos mais de 100 bombons por dia.

A soma das proposições verdadeiras é igual a

a) 6 b) 10 c) 12 d) 14

9) Considere a  e os polinômios

^{ }

a

^{6 3}

P x x 26x 27

 2   e

  ²

A x  2x  4x  a, tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, A x tangencia o eixo

^{ } Ox,

analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa.

  O gráfico de P x corta o eixo Ox em dois pontos.

^{ }

  Os afixos das raízes de P x que possuem menor módulo formam um triângulo

^{ }

cujo perímetro mede

3 3

unidades de comprimento.

  A soma das raízes imaginárias de P x é igual a 2.

^{ }

 A sequência correta é

a) V – V – V b) V – F – F c) F – V – F d) F – V – V

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10) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).

Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2°

esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2°

esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.

Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:

• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que receberam medalha;

• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e

• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.

Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.

a)

^72^9!

b)

^144^9!

c)

^288^9!

d)

^864^9!

11) Considere o sistema abaixo.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2 1

9

a b c

2 1 1

3

a b c

3 1 2

4

a b c

   

 

   

 

    



Sabendo-se que a, b e c são números reais não nulos, é INCORRETO afirmar que a) a  b  c    

b)

a² b² c² 2

c) O determinante da matriz

2 2

2

a 1 3

0 b 4

0 0 c

 

 

 

 

 

é igual a 1 6 .

d)

2 2 2

1 1 1

a  b  c é par.

12) No plano cartesiano, os focos F e

₁

F da elipse

₂

2 2

x y

: 1

36 32

   são pontos diametralmente opostos da circunferência  e coincidem com as extremidades do eixo real de uma hipérbole equilátera

.

É INCORRETO afirmar que

a)

      

b)     F , F

_{1 2}



c)     A, B,C, D ,  sendo A, B, C, D pontos distintos.

d)     

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13) Considere as matrizes

A ^{sen x 1} 1 sen x

  

   

e

B ^{sen x sen x} .

1 3

 

   

Se o determinante do produto matricial

AB

é um número real positivo ou nulo, então os valores de x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados em

14) Considere, no plano cartesiano abaixo, representadas as funções reais

 

f : m, m 

e

g : m, m







^{ }v  .

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Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para falsa.

  O conjunto imagem da função g é dado por

^{Im g}

 





^{p, m .}



  A função h definida por h x

^{ }

 f x

^{ }

 g x

^{ }

assume valores não negativos somente se x   t, b    r,0 . 

  A função j definida por j x

^{ }

 g x

^{ }

 p é maior que zero para todo

 

^{ }

 

x m, m  v .

A sequência correta é

a) F – F – V b) F – V – V c) V – V – F d) V – F – F

15) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar.

Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora.

Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6.

Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prêmio.

Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12.

Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é a) menor que 3%.

b) maior que 8% e menor que 10%.

c) maior que 11% e menor que 13%.

d) superior a 13%.

16) Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um estudante de matemática.

Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 19683 cm .

³

Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois

troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema da figura a

seguir.

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Sabe-se que:

• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo;

• as bases dos troncos são quadradas;

• a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça parte;

• a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco; e

• os troncos e o prisma têm alturas iguais.

Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido esquematizado na figura acima, em cm , é um número do intervalo

³

a)  17200,17800  b) 

17800,18400



c) 

18400,19000

 d) 

19000,19600



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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) a (Estatística – medidas de tendência central) 2) d (Equações trigonométrica)

3) b (Inequação produto-quociente e polinômios) 4) c (Números complexos)

5) d (Logaritmo)

6) a (Geometria analítica – circunferência e reta) 7) c (Progressão aritmética)

8) d (Função quadrática e afim)

9) a (Polinômios e números complexos) 10) d (Análise combinatória)

11) b (Sistemas lineares)

12) d (Geometria analítica – cônicas)

13) b (Inequação trigonométrica e determinantes) 14) a (Função)

15) c (Probabilidade)

16) c (Geometria espacial – tronco de pirâmide)

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ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2018/2019 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática são números inteiros tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as questões.

Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença entre a maior e a menor nota é um número que é divisor de

a) 14 b) 15 c) 16 d) 18

RESOLUÇÃO: a

Sejam a      b c d e 0 as 5 notas ordenadas, então a mediana é c  5.

Se a média aritmética das notas é 5, então a b 5 d e

5 a b d e 20.

5

         

Para que o conjunto seja unimodal de moda 8, devemos ter a   b 8.

Assim, temos: 8 8     d e 20    d e 4.

Como o sistema é unimodal, então

d e,

o que implica d  3 e e  1.

Portanto, a diferença entre a maior e a menor nota é

8 1 7,

que é divisor de 14.

2) Seja a equação trigonométrica tg x

³

 2 tg x

²

 tg x   2 0, com

   

 ³ 

x 0, 2 , .

2 2

    

Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,

a) três. b) quatro. c) cinco. d) seis.

RESOLUÇÃO: d

   

       

3 2 2

2

tg x 2 tg x tg x 2 0 tg x tg x 2 tg x 2 0

tg x 2 tg x 1 0 tg x 2 tg x 1 tg x 1 0

        

        

tg x 2 tg x 1 tg x 1

      

Cada uma das duas desigualdades tem duas soluções na primeira volta, então o número de elementos do conjunto solução é 6.

Não é necessário explicitar as soluções para resolver esse problema, mas a seguir apresentamos as seis soluções.

   

tg x    2 x arctg 2  x  arctg 2  

tg x 1 x x 5

4 4 4

  

       

3 3 7

tg x 1 x x

4 4 4

  

        

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3) Sobre a inequação

2 3

3x 2x

x x ,

  considerando o conjunto universo

U ,

é INCORRETO afirmar que possui conjunto solução

a) unitário se U   x  | x  0 e x  2k, k 

^*_

 . b) vazio se

^{U }



^2,



^.

c) com infinitas soluções se U   x  | x  2k 1, k    . d) com infinitas soluções se U   x 

^*

| x  2 . 

RESOLUÇÃO: b

 

2 3 3 3

3x 2x x 3x 2

x x 0 3x 2 x 0 x 0

x x

  

         

Por inspeção, observamos que

x  1

é raiz de

x³3x 2 0.

Aplicando o algoritmo de Briott-Rufinni, temos:

1

1

0 3 2

1

1 2 0

 

 

      ² 

3 2

x 3x 2 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2

                

A inequação original é equivalente a

   

 

 

x 1

2

x 2 0 x 0 x 1 x 2 0 x 0

x 2 x 0

             

   

Se

U  ,

o conjunto solução é S   x 

^*

| x  2 

a) CORRETO, pois, nesse caso,

S^{ }2 .

b) INCORRETO, pois, nesse caso,

S^{ }2 .

c) CORRETO, pois nesse caso, S tem como elementos todos os números ímpares negativos e o 1.

d) CORRETO, pois, nesse caso, U é igual ao próprio conjunto solução.

4) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo

A  x 2i, x

e

B 1 i.

Se no produto

A B

tem-se Re A B

^



^

 Im A B ,

^



^

então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que

a) seus afixos formam uma reta.

b) nenhum deles é imaginário puro.

c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.

d) existe A tal que

A  B .

RESOLUÇÃO: c

A  x 2i  x A  x 2i B  1 i B 1 i

    ²    

A B   x  2i       1 i x xi 2i 2i  x  2  2  x i

   

Re A B  Im A B      x 2 2 x x 0

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Assim,

A x 2i,

onde x 

^*_

. Vamos representar esses números complexos no plano de Argand-Gauss.

a) INCORRETO, pois os afixos de A formam uma semirreta.

b) INCORRETO, pois

2i

é um possível valor de A e é imaginário puro.

c) CORRETO, pois o que possui menor módulo é

2i

que possui argumento principal 2 .

 Note que os argumentos principais dos possíveis valores de A pertencem ao

intervalo 0, . 2

  

 

 

d) INCORRETO, pois

A  x² 2²  x²  4 2

e

B  1²  ^ 1^2  2,

então A  B para qualquer valor de x.

5) O domínio mais amplo da função real f definida por _{f x}

^{ }

_{ log}

_a

 _x

²

_{ 3 ,}  _{em que}

 

a 0,1 ,

é

a)   2, 2  b) 

^{2, 2}



c) 

  , 2

 

2,

 d) 

 2, 3

 

 3, 2

 RESOLUÇÃO: d

Para que a função _{f x}

^{ }

_{ log}

_a

 _x

²

_{ 3}  esteja definida, o radicando da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero e o logaritmando no logaritmo deve ser positivo. A base

 

a 0,1

já tende a condição de existência. Assim, temos:

x

2

     3 0 x 3 ou x  3



²



^{2 0 2}

log

a

x  3   0 x   3 a   1 x       4 0 2 x 2

Fazendo a interseção dos resultados de cada uma das condições, obtemos o domínio

mais amplo de f: D

_f

    2, 3    3, 2 . 

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6) Considere no plano cartesiano os pontos A 2,0 e   B 6, 4    que são simétricos em relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência x

²

 y

²

 12x  4y  32  0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo

a) 

^4,5

 ^b) 

^{3, 4}

 ^c) 

^2,3

 ^d)  

^{1, 2}

RESOLUÇÃO: a

Se os pontos A 2,0 e   B 6, 4    são simétricos em relação à reta r, então o ponto médio de A e B está sobre r e a reta r é perpendicular à reta que passa por A e B.

O ponto médio de _{A 2,0 e}   _{B 6, 4}  _  é ^{M }  ^{2 } ₂ ^{6 0 ,  }

^

₂ ⁴

^

 ^{  4, 2 .  }

O coeficiente angular da reta que passa por A e B é

_AB

4 0

m 1.

6 2

    

 Como a reta r é perpendicular a essa reta, então seus coeficientes angulares devem ter produto

1,

o que implica que o coeficiente deve ser m

_r

 1.

Vamos obter a equação da reta r de coeficiente angular m

_r

 1 e que passa pelo ponto

 

M 4, 2 . 

 

y 2

1 y x 6 x y 6 0

x 4

         



Vamos identificar as características da circunferência x

²

 y

²

 12x  4y  32  0.

 

  ^{ }

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y 12x 4y 32 0 x 2 6 x 6 y 2 2 y 2 32 6 2

x 6 y 2 2 2

                  

    

Assim, conclui-se que a circunferência tem centro O   6, 2  e raio

R 2 2.

A distância do centro da circunferência à reta r é

_{ }

 

O,r 2 2

6 2 6 2

d 2.

1 1 2

    

 

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A figura anterior apresenta as informações obtidas até aqui. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DOE, temos:

 

²

 

²

2 2

DE  2  2 2  DE   6 DE  6.

Portanto, a medida da corda é

ⁿ ^CD ^{2 DE}^{2 6}



^{4,5 .}



Alternativamente, poderíamos obter o comprimento da corda CD, fazendo a interseção da reta r com a circunferência, como segue:

r : y x 6



x  6

²

  y  2 

²

  8

^

x  6

^2



^

x  6

^

 2

^2

  8 x

²

 14x  46  0

14 12

x 7 3

2

    

C C C

x  7 3 y x   6 1 3

D D D

x  7 3 y x   6 1 3

O comprimento da corda CD pode ser calculado agora usando a expressão da distância entre pontos.

   

       

   

2 2

2 2

n CD 7 3 7 3 1 3 1 3

2 3 2 3 2 6.

         

  

7) Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos horizontais são paralelos ao eixo Ox e os segmentos verticais são paralelos ao eixo Oy.

Sabe-se que:

• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem

 

O 0, 0 e termina em Q, formam uma progressão aritmética decrescente de razão r e primeiro termo a , em que

₁

 ^ ₁₅ ^{1   r 0 ;} 

• dois segmentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares;

• OA  a ,

₁

AB  a ,

₂ BCa ,₃

e, assim sucessivamente, até PQ  a .

₁₆

Suponha que uma formiga parta da origem O 0, 0 , e percorra a trajetória descrita pela   poligonal até chegar ao ponto Q.

Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

I. Se a

₁

 1 e 1

r ,

  16 então a distância d percorrida pela formiga até chegar ao ponto Q é tal que 17

₁

d a .

 2

II. Quando a formiga estiver na posição do ponto L x, y , então x     6r.

III. Se a

₁

 1, então de A até C, a formiga percorrerá a distância d   2 3r.

Quanto à veracidade das proposições, tem-se a) apenas uma delas é verdadeira.

b) apenas duas são verdadeiras.

c) todas são verdadeiras.

d) nenhuma delas é verdadeira.

RESOLUÇÃO: c I. VERDADEIRA

A distância d percorrida pela formiga de O até Q é a soma dos termos da progressão aritmética, então



^{1 16}

  

16 1

a a 16

d S 8 2a 15r .

2

 

    

Se a

₁

 1 e 1

r ,

  16 então ^{d   8}  ^{2 1 15    }   ₁₆ ¹  ^{ 17} ₂ ^{ 17} ₂ ^{ a .}

¹

II. VERDADEIRA

L 1 3 5 7 9 11

2r 2r 2r

x OA OB DE GF HI KJ a a a a a a 6r.

  

             

III. VERDADEIRA

A distância d percorrida pela formiga de A até C é

   

2 3 1 1 1

d ABBCa a  a r  a 2r 2a 3r.

Se a

₁

 1, então d    2 1 3r   2 3r.

8) Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3º ano do CPCAR vendem bombons no horário do intervalo das aulas.

Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, perceberam que vendiam, em média, 50 bombons por dia.

A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram que para cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom (não podendo conceder mais que 70 descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia.

Considera:

• p o preço de cada bombom;

• n o número de bombons vendidos, em média, por dia;

• x  o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço unitário de cada bombom; e

• y a arrecadação diária com a venda dos bombons.

Com base nessas informações, analise as proposições abaixo.

(02) O gráfico que expressa n em função de p está contido no segmento

AB

do gráfico

abaixo.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, considerando os descontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 5 centavos.

(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos mais de 100 bombons por dia.

A soma das proposições verdadeiras é igual a

a) 6 b) 10 c) 12 d) 14

RESOLUÇÃO: d

Quando são concedidos x  descontos, são vendidos, em média, n  50  5x bombons por dia ao preço de

p4, 000, 05 x.

A arrecadação diária com a venda de bombons é _{y    n p}

^

_{50  5x}

^

_  _{4,00  0,05x .} 

(02) VERDADEIRA n 50

n 50 5x x

5

    

p 4, 00 0, 05x x 4 p x 80 20p

   20     

n 50

80 20p n 100p 450

5

       

p 0,5  n 100 0,5 450400 p    4 n 100 4 45050

Logo, o gráfico de n em função de p é um segmento de reta que contém os pontos A e B e, portanto, coincide com o segmento

AB.

Note que

p4

é o preço inicial e

p0,54, 000, 05 70

é o preço após 70 reduções.

(04) VERDADEIRA

A maior arrecadação diária ocorre no vértice do trinômio o 2º grau

 

 

²

y    n p 50  5x  4, 00  0, 05x   0, 25x  17,5x  200, ou seja, ocorre

quando

^V

 

x x 17,5 35.

2 0, 25

   

 

(08) VERDADEIRA

x  20   n 50   5 20  150  100.

A soma das proposições verdadeiras é 2    4 8 14.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

9) Considere a  e os polinômios

^{ }

a

^{6 3}

P x x 26x 27

 2   e

  ²

A x  2x  4x  a, tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, A x tangencia o eixo

^{ } Ox,

analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa.

  O gráfico de P x corta o eixo Ox em dois pontos.

^{ }

  Os afixos das raízes de P x que possuem menor módulo formam um triângulo

^{ }

cujo perímetro mede

3 3

unidades de comprimento.

  A soma das raízes imaginárias de P x é igual a 2.

^{ }

 A sequência correta é

a) V – V – V b) V – F – F c) F – V – F d) F – V – V RESOLUÇÃO: a

Se a função quadrática A x tangencia o eixo Ox, então seu discriminante é nulo.

^{ } 42 4 2 a 0 a 2

       

Assim, temos:

 

  

 

 

 

 

6 3 3 3

2 2

P x x 26x 27 x 27 x 1

x 3 x 3x 9 x 1 x x 1

      

      

  ²



²



 ²

A x  2x  4x   2 2 x  2x 1   2 x 1 

Observem que P x e

^{ }

A x possuem uma raiz

^{ } x  1

em comum, o que é coerente com o fato de seus gráficos se intersectarem em um único ponto de ordenada nula.

Vamos analisar as afirmativas.

 V O gráfico de  P x corta o eixo Ox em dois pontos.

^{ }

   



²



 



²



P x  x3 x 3x9 x1 x  x 1

A equação

x² 3x 9 0

tem discriminante

 3³    4 1 9 270

e a equação

x2   x 1 0

tem discriminante   

^

1

^2

      4 1 1 3 0, então as duas equações não possuem raízes reais.

Logo, o gráfico de P x corta o eixo Ox em x

^{ }

 3 e

x  1,

ou seja, dois pontos.

 V Os afixos das raízes de  P x que possuem menor módulo formam um triângulo

^{ }

cujo perímetro mede

3 3

unidades de comprimento.

As raízes de P x

^{ }

são

1,

3, 3 3 3 i 1 3

3 i

2 2 2

             e

1 3 i 1 3

1 i .

2 2 2

          

As raízes de menor módulo são

1,

1 3

i 1cis

2 2 3

   e 1 3 5 i 1cis ,

2 2 3

   que são raízes cúbicas de

1

e, portanto, formam um triângulo equilátero de lado

3 3

2  2  3 e perímetro

2p 3 3.

 V A soma das raízes imaginárias de  P x é igual a 2.

^{ }



Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

A soma das raízes imaginárias de P x é

^{ }

3

^

1

^

1 1 2.

     

10) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).

Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2°

esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2°

esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.

Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:

• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que receberam medalha;

• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e

• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.

Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.

a)

^72^9!

b)

^144^9!

c)

^288^9!

d)

^864^9!

RESOLUÇÃO: d

Devemos contar o número de posições possíveis para os 8 alunos medalhistas.

1°) O número de maneiras de posicionar os dois alunos do 1° esquadrão que ficarão nas duas extremidades é 9 8.  .

2°) Como os alunos do 1° e 3° esquadrões devem ficar juntos, então o número de maneiras de posicionar esses dois esquadrões e os 7 alunos restantes do 2º esquadrão é

1 1 7 ! 9!

(note que o 1º esquadrão e o 3º esquadrão foi cada um considerado um grupo único).

3°) Os 2 alunos do 1° esquadrão devem ser permutados entre si (2! possibilidades), assim como os 3 alunos do 3° esquadrão (3! possibilidades).

Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número de fotografias distintas possíveis é

9 8   9!  2! 3! 864 9!.

11) Considere o sistema abaixo.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2 1

9

a b c

2 1 1

a b c 3

3 1 2

4

a b c

   

 

   

 

    



Sabendo-se que a, b e c são números reais não nulos, é INCORRETO afirmar que

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

a) a  b  c     b)

a² b² c² 2

c) O determinante da matriz

2 2

2

a 1 3

0 b 4

0 0 c

 

 

 

 

 

é igual a 1 6 .

d)

2 2 2

1 1 1

a  b  c é par.

RESOLUÇÃO: b

Sejam

2

1 A,

a 

2

1 B

b  e

2

1 C,

c  então o sistema

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2 1

9

a b c

2 1 1

3

a b c

3 1 2

4

a b c

   

 

   

 

    



é equivalente

a

A 2B C 9

2A B C 3 .

3A B 2C 4

  

    

     



Vamos escalonar no novo sistema.

 

 

L2 L2 2 L1 L2 L2 3

L3 L3 3 L1 L3 L3 1

L3 L3 7 L2

A 2B C 9 A 2B C 9

2A B C 3 ~ 3B 3C 15 ~

3A B 2C 4 7B 5C 31

A 2B C 9 A 2B C 9

B C 5 ~ B C 5

7B 5C 31 2C 4

    

     

  

     

 

        

 

         

 

     

 

     

 

      

 

C 2

B 5 C 5 2 3

A 9 2B C 9 2 3 2 1

 

       

        



Retornando a substituição de variáveis feita inicialmente, temos:

2 2

1 A 1 a 1 a 1

a       

2 2

1 1 1

B 3 b b

3 3

b       

2 2

1 1 1

C 2 c c

2 2

c        a) CORRETO

1 1 1 1

a b c 1 1

3 2 3 2

           que é irracional b) INCORRETO

2 2 2

1 1 11

a b c 1 2

3 2 6

      

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

c) CORRETO

2 2

2

a 1 3 1 1 3

det 0 b 4 0 1 3 4 1

0 0 1 2 6

0 0 c

 

 

 

 

 

 

Note que a matriz é uma matriz triangular superior e por isso seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

d) CORRETO

2 2 2

1 1 1

1 3 2 6

a  b  c     que é par.

12) No plano cartesiano, os focos F e

₁

F da elipse

₂

2 2

x y

: 1

36 32

   são pontos diametralmente opostos da circunferência  e coincidem com as extremidades do eixo real de uma hipérbole equilátera

.

É INCORRETO afirmar que

a)

      

b)     F , F

_{1 2}



c)     A, B,C, D ,  sendo A, B, C, D pontos distintos.

d)      RESOLUÇÃO: d A elipse

2 2

x y

: 1

36 32

   tem centro na origem, eixo focal horizontal,

a² 36 a 6

e

b² 32 b 4 2.

A semidistância focal é dada por

c² a² b² 3632  4 c 2.

Os focos da elipse são, a menos da ordem, F

₁

   2,0  e F 2,0 .  

Se _F

₁

_{ }  _2,0  e F 2, 0 são pontos diametralmente opostos da circunferência  

,

então  tem centro na origem e raio r  2.

Como o raio

r 2

da circunferência é menor que o eixo menor da elipse

b 4 2,

então      .

Se F

₁

   2,0  e F 2, 0 coincidem com as extremidades do eixo real de uma   hipérbole equilátera

,

então a hipérbole tem centro na origem, eixo real horizontal, semieixos real e imaginário a '  b '  2.

Como, os vértices F e

₁

F da hipérbole estão no interior da elipse, então a interseção da

₂

elipse e da hipérbole possui 4 pontos distintos.

Além disso, F e

₁

F são os pontos de interseção da hipérbole e da circunferência .

₂



A figura a seguir apresenta um esboço das três curvas.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Vamos analisar as alternativas.

a) CORRETO, pois      . b) CORRETO, vide figura.

c) CORRETO, vide figura.

d) INCORRETO, pois      .

Bizu: Hipérbole equilátera

A hipérbole equilátera e aquela que possui eixos real e imaginário de mesmo tamanho, ou seja, a  b. Isso implica que suas assíntotas têm inclinação de   45 e são perpendiculares entre si.

13) Considere as matrizes

A ^{sen x 1} 1 sen x

  

   

e

B ^{sen x sen x} .

1 3

 

   

Se o

determinante do produto matricial

AB

é um número real positivo ou nulo, então os

valores de x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados

em

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

RESOLUÇÃO: b

Pelo teorema de Binet, temos:

 



²



 



²



sen x 1 sen x sen x det AB det A det B

1 sen x 1 3

sen x 1 3sen x sen x 4sen x sen x 1

     

 

       

Mas o determinante de

AB

deve ser real positivo ou nulo, então



²

 

²



4sen x sen x 1 0 4sen x sen x 1 0 sen x 1 sen x 0

          

Note que usamos que

 1 sen x  1 sen x²  1 0.

Os valores acima, representados no ciclo trigonométrico, correspondem aos pontos

 0,1 e  

0 1,



,

e a todos os pontos do 1° e 2° quadrantes, incluindo suas extremidades, conforme figura a seguir.

14) Considere, no plano cartesiano abaixo, representadas as funções reais

 

f : m, m 

e

^{g : m, m}







^{ v}  ^.

Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para falsa.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

  O conjunto imagem da função g é dado por

Im g

 





p, m .



  A função h definida por h x

^{ }

 f x

^{ }

 g x

^{ }

assume valores não negativos somente se x   t, b    r,0 . 

  A função j definida por j x

^{ }

 g x

^{ }

 p é maior que zero para todo

 

^{ }

 

x m, m  v .

A sequência correta é

a) F – F – V b) F – V – V c) V – V – F d) V – F – F RESOLUÇÃO: a

Vamos analisar cada uma das afirmativas.

 F O conjunto imagem da função g é dado por 

^{Im g}

 

^



^{p, m .}



A abscissa x  v não está no domínio de g. Isso resulta no ponto aberto  v, j . Note  ainda que

x m

não está no domínio de g, o que indica que a “bola fechada” sobre a abscissa

x m

é um ponto do gráfico de f e não de g. Assim, no gráfico de g não há nenhum ponto de ordenada j. Portanto, a imagem da função g é 

p, m





 

j .

A “bola fechada” que aparece no ponto de abscissa

x m

na ordenada

yj

corresponde a f

^

 m

^

 j.

 F A função h definida por  h x

^{ }

 f x

^{ }

 g x

^{ }

assume valores não negativos somente se x   t, b    r,0 . 

Para que tenhamos h x

^{ }

 f x

^{ }

 g x

^{ }

 0, devemos identificar os intervalos no gráfico em que f e g possuem o mesmo sinal ou são nulas. Assim,

     

     

h x f x g x   0 x t, b  r, 0  n, v .

 V A função j definida por  j x

^{ }

 g x

^{ }

 p é maior que zero para todo

 

^{ }

 

x m, m  v .

Para todo x em seu domínio, temos g x

^{ }

 p, então j x

^{ }

 g x

^{ }

  p 0.

15) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar.

Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora.

Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6.

Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prêmio.

Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12.

Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é a) menor que 3%.

b) maior que 8% e menor que 10%.

c) maior que 11% e menor que 13%.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

d) superior a 13%.

RESOLUÇÃO: c

O número de resultados possíveis para os três lançamentos é

#^    ^ 6 6 6 216.

Os resultados em que a soma é 12 são  1,5,6 ;   2,5,5 ;   2, 4, 6 ;   3, 4,5 ;   3,3,6 ; 

 4, 4, 4 . 

Entretanto, a lista anterior desconsidera a ordem. Os resultados  1,5,6 ;   2, 4,6 e 

 3, 4,5 , com três valores distintos, podem ser obtidos de  P

₃

  3! 6 maneiras diferentes. Os resultados  2,5,5 e   3,3,6 , com 2 valores distintos, podem ser  obtidos de

₃^1,2

3!

P 3

 1!2!  maneiras diferentes. O resultado  4, 4, 4 , com apenas um  valor, só tem uma forma de ser obtido.

Assim, o número de casos favoráveis é

# A^{ }      3 6 2 3 1 1 25.

Portanto, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é

^{ }

# A

^_ ^_

25

P A 11, 6%,

# 216

  

 maior que 11% e menor que 13%.

16) Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um estudante de matemática.

Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 19683 cm .

³

Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema da figura a seguir.

Sabe-se que:

• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo;

• as bases dos troncos são quadradas;

• a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça parte;

• a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco; e

• os troncos e o prisma têm alturas iguais.

Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o

volume do sólido esquematizado na figura acima, em cm , é um número do intervalo

³

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

a)  17200,17800  b) 

17800,18400



c) 

18400,19000

 d) 

19000,19600

 RESOLUÇÃO: c

Seja x a aresta do cubo original, então seu volume é

V x³ 19683 x 27.

Se a base maior do tronco de pirâmide é quadrada e sua diagonal é um terço da diagonal de face do cubo, então a aresta B da base maior do tronco é um terço da aresta do cubo, ou seja, 27

B 9.

 3 

A diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco, então a aresta b da base menor é um terço da aresta da base maior, ou seja,

B 9

b 3.

3 3

  

Como os troncos e o prisma têm alturas iguais, então a altura de cada um deles é um terço da aresta do cubo, ou seja, 27

3  9.

O volume do sólido da figura é a soma do dobro do volume do tronco de pirâmide com o volume do prisma.

O volume do tronco de pirâmide de bases quadradas de arestas 9 e 3 e altura 9 é

  

^{2 2 2 2}



 

tronco

H 9

V B Bb b 9 9 3 3 3 81 27 9 351.

3 3

            

O volume de um prisma de bases quadradas de aresta 3 e altura 9 é

prisma 2

V  b H 3  9 81.

O volume do sólido da figura é

V_fig. 2 V_tronco V_prisma  2 35181783 cm³

e o volume do sólido de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido da figura é

^V¹⁹⁶⁸³⁷⁸³¹⁸⁹⁰⁰



18400,19000 .



Bizu: Volume do tronco de pirâmide de bases paralelas

Sejam B e b, respectivamente, as áreas das bases maior e menor de um tronco de

pirâmide de bases paralelas e altura H.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

As pirâmides de vértice V e bases b e B, respectivamente, são sólidos semelhantes e a razão de semelhança é k tal que

²

b

k .

 B

Seja h a altura da pirâmide de vértice V e base b, então a altura da pirâmide de vértice V e base B será h  H. Considerando que as duas pirâmides são sólidos semelhantes, temos:

b

h k h k H B H b H.

H h 1 k b B b

1 B

    

   

O volume do tronco é a diferença dos volumes das duas pirâmides, então

    

 

  ^{ }

tronco V B V b

1 b 1 b

V V V B H H b H

3 B b 3 B b

H b H b

B B b B B b B b

3 B b 3 B b

H H

B b B b B Bb b

3 3

 

 

           

 

 

   

             

 

   

      