Equação de Onda

Universidade Federal do ABC [email protected]

November 5, 2015

Na aula passada, descrevemos uma onda por uma perturbação de alguma propriedade física.

Consideramos que o campo c(x,y,z,t) caracterizae quantica a perturbação na proriedade física do meio.

Como exemplo temos como proriedade física:

1 ondas mecânicas numa corda - posição vertical da corda - c(x,t) =y(x,t)

2 ondas mecânicas na superfície da água - posição da superfície em relação ao equilíbrio - c(x,y,t) =z(x,y,t)

3 ondas sonoras - variação de pressão - c(x,y,z,t) = ∆P(x,y,z,t)

c(x,t) =c₀sin[k(x −vt)]

Essa onda é caracterizada por uma amplitude c₀ e por um comprimento de ondaλ=2π/k e propaga-se para a direita +ˆx com velocidade v

Uma outra maneira de descrever a onda é c(x,t) =c₀sinh

2πx λ− t

T i

onde λf =v.

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt] busquemos a velocidade com que c(x,t)muda no tempo

vc(x,t)

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c0sin[kx−ωt] busquemos a velocidade com que c(x,t)muda no tempo

v_c(x,t) = ∂c

∂t

o símbolo ∂ é usado para dizer que a derivada é em t mantendo x como constante.

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt]

busquemos a velocidade com que c(x,t)muda no tempo vc(x,t) = ∂c

∂t =−ωc0cos[kx−ωt]

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt] busquemos a velocidade com que c(x,t)muda no tempo

v_c(x,t) = ∂c

∂t =−ωc₀cos[kx−ωt] e a aceleração

a_c(x,t) = ∂v_c

∂t = ∂²c

∂t²

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt] a aceleração

a_c(x,t) = ∂²c

∂t² =−ω²c₀sin[kx−ωt] pode ser reescrita como

a_c(x,t) =−ω²c(x,t) ou seja, temos um resultado de um M. H. S.

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt]

busquemos a inclinação do campo c(x,t) em relação a x ic(x,t) = ∂c

∂x

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt]

busquemos a inclinação do campo c(x,t) em relação a x ic(x,t) = ∂c

∂x =kc0cos[kx −ωt]

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c₀sin[kx−ωt] busquemos a inclinação do campo c(x,t) em relação a x

i_c(x,t) = ∂c

∂x =kc₀cos[kx −ωt] e a curvatura

u_c(x,t) = ∂i_c

∂x = ∂²c

∂x²

Conhecendo a onda senoidal

c(x,t) =c0sin[kx−ωt] a curvatura

u_c(x,t) = ∂i_c

∂x = ∂²c

∂x² =−k²c₀sin[kx −ωt] pode ser reescrita como

u_c(x,t) =−k²c(x,t)

ac =−ω²c

e u_c =−k²c

dividindo uma pela outra, temos a_c u_c = ω²

k² =v² pois

v =λf = 2π

k f = 2π k

ω 2π = ω

k

Com a_c u_c =v² temos

ac =v²uc

u_c = 1 v²a_c e, por m, chegamos a equação de onda

∂²c

∂x² = 1 v²

∂²c

∂t²

A equação de onda

∂²c

∂x² = 1 v²

∂²c

∂t²

é uma equação diferencial parcial de segunda ordem que tem como solução mais geral

c(x,t) =f(x−vt) +g(x +vt)

onde f e g são funções quaisquer que denem um perl de onda.

Portanto, a solução da equação de onda é a superposição de dois movimentos ondulatórios que se propagam em sentido opostos.

Vamos considerar vibrações transversais de uma corda distendida.

Tomemos a posição de equilíbrio horizzontal da corda na direção ˆx.

A corda por estar distendida, está sob a ação de uma tração T constante ao longo da corda que supomos ser uniforme com densidade linear µ.

dm=µdx

Ao perturbar a posição de equilíbrio da corda, esse pedacinho da corda sofre a ação de duas forças na direção vertical de ˆy.

T sinα≈T tanα=T y

∂x

A força resultante vertical será:

F_R =T∂y

∂x(x +dx)−T∂y

∂x(x) =Tdx

"_∂y

∂x(x +dx)−^∂y_∂x(x) dx

#

A força resultante vertical será:

F_R =T∂y

∂x(x +dx)−T∂y

∂x(x) =Tdx

"_∂y

∂x(x +dx)−^∂_∂^y_x(x) dx

#

assim no limite de dx →0, temos

F_R =Tdx∂²y

∂x²

dma=F_R como

a= ∂²y

∂t² e

F_R =Tdx∂²y

∂x² temos

dm∂²y

∂t² =Tdx∂²y

∂x²

dm∂²y

∂t² =Tdx∂²y

∂x² temos

µdx∂²y

∂t² =Tdx∂²y

∂x² e, portanto,

µ∂²y

∂t² =T∂²y

∂x² ou seja,

∂²y

∂t² = T µ

∂²y

∂x²

∂t² = µ∂x² ao comparar com a equação de onda

∂²c

∂t² =v²∂²c

∂x²

Temos como campo de perturbação a posição vertical da corda c(x,t) =y(x,t)

e temos como velocidade de propagação sT

∂t² = µ∂x² temos

y(x,t) =f(x −vt) +g(x +vt) Exemplicando em termos de onda harmônicas, temos para

f(x−vt) =y₀sin[kx−ωt]

e g(x +vt) =0

a seguinte onda harmônica

y(x,t) =y₀sin[kx −ωt]

com

y(x,t) =f(x −vt) +g(x +vt) é o pulso triangular.

Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de ondaλda onda progressiva gerada na corda.