Efeitos do fraturamento hidráulico em aqüiferos fissurais

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JOSÉ SÉRGIO DOS SANTOS

EFEITOS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO EM AQÜÍFEROS FISSURAIS

FORTALEZA – CEARÁ 2008

Tese submetida à coordenação do curso de Pós-graduação em Engenharia Civil, área de

concentração em Recursos Hídricos, da

Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Doutor.

(3)

(4)

iv

“E tens de golpear a

rocha, e dela tem de

sair água e o povo tem

de beber dela.”

(5)

v

DEDICATÓRIA

Em primeiro lugar, a Deus, dador de toda boa dádiva e de todo presente perfeito.

Ao meu pai José Ozório e à minha mãe Maria Nilce.

(6)

vi

AGRADECIMENTO ESPECIAL

(7)

vii

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Ernesto da Silva Pitombeira, o mais sincero reconhecimento pela confiança, atenção, incentivo e orientação durante todas as etapas desta tese.

Ao Prof. Dr. Raimundo Oliveira pelas valiosas sugestões, críticas e palavras de encorajamento durante a fase de escrita deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Frederick L. Paillet, do Department of Earth Sciences at the University of Maine, pela atenção deferida e também pelas valiosíssimas considerações sobre esta pesquisa.

Ao Dr. Marcos Rosolen por suas preciosas observações a este trabalho. Ao Eng. Civil Adízio Lima pelas sugestões que me ajudaram a conceber o modelo.

À Petrobrás S.A., na pessoa do Eng. José Altamiro dos Santos, e ao Eng. Ulysses Veloso (ex-Petrobrás S.A.) pela inestimável ajuda que permitiu imprimir a esta tese um caráter essencialmente prático.

Aos coordenadores do curso, Prof. Dr. Marco Aurélio Holanda de Casto e Prof. Dr. Horst Frischkorn, pela maneira eficiente como conduzem os rumos desta pós-graduação. Também agradeço aos demais professores e funcionários deste departamento.

Ao Diretor Geral do CEFETCE, Prof. Cláudio Ricardo Gomes de Lima, por ter permitido minha libertação para cursar esta pós-graduação.

Ao meu chefe imediato no CEFETCE, Prof. José Orlando Medeiros, e aos demais colegas do Departamento de Construção Civil do CEFETCE, na pessoa da Prof. Dra. Nájila Rejanne Cabral.

A Daniel e Isabel Mamede, Carlos e Neide Lanzoni, Edinaldo e Anália Tebaldie, Carina e James Haley, Humberto Andrade e Roberta Correia, Pedro Avellaneda e Ashlee Fuller pela amizade, companheirismo e pelo excepcional apoio emocional durante o período que estive nos EUA.

À FUNCAP pelo suporte financeiro durante o período que estive no Brasil. À CAPES pelo suporte financeiro durante o período que estive no programa de doutorado sanduíche nos Estados Unidos da América.

(8)

viii

RESUMO

A demanda das populações por mais água tem forçado o desenvolvimento de técnicas para melhorar o aproveitamento de todas as formas de recursos hídricos. Em algumas partes dos Estados Unidos da América, o fraturamento hidráulico tem sido utilizado para estimular poços perfurados no embasamento cristalino a aumentarem suas vazões. Na região Nordeste do Brasil, os poços perfurados neste tipo de formação geológica frequentemente exibem baixas vazões, o que os leva à posterior desativação ou ao simples abandono. O objetivo principal desta pesquisa é estudar, analisar e quantificar os efeitos que o fraturamento hidráulico imprime sobre a transmissividade, a conectividade e as vazões de um aqüífero fissural. Para tanto se desenvolveu um modelo de propagação de fraturas em formações rasas e de matriz impermeável. Além disso, fez-se uso de modelos de hidráulica de poços para a determinação dos parâmetros hidrodinâmicos do aqüífero. Para testar a metodologia, dados coletados em dois poços de bombeamento perfurados na Fazenda de Horticultura da University of New Hampshire, Durham, NH, foram utilizados. Estes dados incluem testes de bombeamento pré-fraturamento e pós-fraturamento, ensaio geofísicos, além dos registros da operação de fraturamento. Uma análise conjunta dos resultados dos testes de bombeamento e do modelo de propagação de fratura permitiu concluir que, o fraturamento hidráulico aumentou a transmissividade das fraturas em 46 vezes em um poço e 285 vezes em outro. A conectividade do sistema de fraturas experimentou acréscimos entre 11 e 20 vezes. O dado prático foi que um poço passou a fornecer vazões 10 vezes maiores e no outro este aumento foi de 18 vezes. Estes melhoramentos foram possíveis porque o fraturamento hidráulico alargou a abertura das fraturas e fez seu raio propagar por dezenas de metros. A distância que a fratura propagou a partir do poço juntamente com o aumento na interconexão das fraturas conectou o poço a regiões mais favoráveis à recarga.

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ix

ABSTRACT

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LIISSTTAADDEESSÍÍMMBBOOLLOOSS... XIII

1

1––IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO ...1

1.1OBJETIVOS DA PESQUISA...4

1.1.1 Objetivos específicos...5

2 2––FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSSTTEEÓÓRRIICCOOSS...6

2.1OESCOAMENTO EM AQÜÍFEROS FISSURAIS...6

2.1.1ABORDAGENS EXISTENTES...8

2.1.1.1MODELOS DISCRETOS...10

2.1.1.2MODELOS DE DUPLA POROSIDADE...21

2.1.1.2.1 O Modelo de dupla porosidade de Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960) ...22

2.1.1.2.2 O Modelo de dupla porosidade de Warren e Root (1963) ...25

2.1.1.2.3 O Modelo de dupla porosidade de Moench (1984) ...29

2.1.1.3MODELOS DE MEIO POROSO EQUIVALENTE. ...35

2.1.1.3.1 O Modelo de Fratura Única Vertical de Gringarten e Witherspoon (1972). ...35

2.1.1.3.2 O Modelo de Fratura Única Horizontal de Gringarten e Ramey (1974)...40

2.1.1.4MODELOS CONVENCIONAIS DE MEIO POROSO. ...43

2.1.1.4.1 O Modelo de Theis (1935)...43

2.1.1.4.2 O Modelo de Cooper-Jacob (1946)...45

2.1.1.4.3 O Modelo de Hantush-Jacob (1955). ...48

2.1.1.4.4 O Modelo de Papadopulos-Cooper (1967) – Rebaixamento em um poço de grande diâmetro. ...50

2.1.2DEFINIÇÃO DA VAZÃO DE INSTALAÇÃO DO POÇO...53

2.1.3IMPLICAÇÕES DA RUGOSIDADE DAS PAREDES DAS FRATURAS NO ESCOAMENTO...54

2.2OFRATURAMENTO HIDRÁULICO DE FORMAÇÕES GEOLÓGICAS...59

2.2.1CONCEITOS BÁSICOS...59

2.2.1.1 O Fraturamento Hidráulico no Brasil ...61

(11)

xi

2.2.1.3 Outras aplicações do Fraturamento Hidráulico ...67

2.3MECÂNICA DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO...68

2.3.1GEOMETRIA DA FRATURA...69

2.3.1.1 A Orientação da Fratura ...69

2.3.1.2MODELOS DE PROPAGAÇÃO DE FRATURAS HORIZONTAIS...73

2.3.1.2.1 Modelo GdK para Fratura Circular ...74

2.3.1.2.2 Modelo de Placa Fina para Fratura Circular ...77

2.3.1.2.3 Modelo de Abé, Mura e Keer (1976) ...80

2.3.2PROPAGAÇÃO DE FRATURAS EM FORMAÇÕES IMPERMEÁVEIS NATURALMENTE FRATURADAS...82

3 3––MMEETTOODDOOLLOOGGIIA ...85A 3.1LOCAL DA PESQUISA...86

3.1.1SÍTIO DA PESQUISA...87

3.2TESTES DE BOMBEAMENTO...89

3.2.1TESTES DE BOMBEAMENTO NO POÇO A...92

3.2.2TESTES DE BOMBEAMENTO NO POÇO B...97

3.2.3AVALIAÇÃO DOS TESTES DE BOMBEAMENTO...102

3.3FRATURAMENTO HIDRÁULICO DOS POÇOS A E B...103

3.4SONDAGENS GEOFÍSICAS...107

3.5MODELAGEM DA GEOMETRIA DA FRATURA...109

3.6CÁLCULO DA EXPECTATIVA DE SUCESSO DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO DE FORMAÇÕES IMPERMEÁVEIS...111

3.7PROPOSIÇÃO DO MODELO DE PROPAGAÇÃO DE FRATURA POR ANALOGIA DE PLACA CIRCULAR ENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA NO CENTRO (APLAC) ...114

3.7.1ANÁLISE...116

3.7.1.1DETERMINAÇÃO DO VOLUME DA FRATURA...116

3.7.1.2CRITÉRIO DE PROPAGAÇÃO DE FRATURA...117

3.7.1.3DETERMINAÇÃO DAS PRESSÕES...118

3.7.1.3.1 Pressão na superfície...119

3.7.1.4DETERMINAÇÃO DA CARGA CONCENTRADA EQUIVALENTE...120

(12)

xii

3.7.1.6EQUAÇÕES EM FUNÇÃO DO TEMPO...122

3.7.1.7EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO MODELO APLAC:...123

3.8ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DOS PARÂMETROS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO...124

4 4––RREESSUULLTTAADDOOSSEEDDIISSCCUUSSSSÃÃOO...125

4.1ANÁLISE DOS TESTES DE BOMBEAMENTO...125

4.1.1EFEITOS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO NA TRANSMISSIVIDADE DO AQÜÍFERO...159

4.2EFEITOS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO NA CONECTIVIDADE DO SISTEMA DE FRATURAS...160

4.3EFEITOS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO NA VAZÃO DE INSTALAÇÃO DOS POÇOS...161

4.4ANÁLISE DOS RESULTADOS DA MODELAGEM DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO...163

4.4.1POÇO A ...163

4.4.2POÇO B ...167

4.4.3COMPARATIVO ENTRE MODELOS GDK E APLAC ...170

4.4.4PROVÁVEL CONFIGURAÇÃO DO AQÜÍFERO APÓS O FRATURAMENTO HIDRÁULICO...172

4.5ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO APLAC ...174

4.6PERSPECTIVAS DO FRATURAMENTO HIDRÁULICO DE POÇOS DE ÁGUA EM FORMAÇÕES CRISTALINAS RASAS...182

5 5––CCOONNCCLLUUSSÕÕEESS ...185

6 6––RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASSBBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS ...188

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l

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s

A Área da seção transversal da fratura

b Abertura hidráulica da fratura

B Fator de drenagem de Hantush

b' Espessura do aqüítardo

bb Metade da espessura média dos blocos

bp Espessura média da pele da fratura

D Módulo de rigidez de placas à flexão

Da Difusividade aparente

E Módulo de Young

E’ Módulo de elasticidade no estado plano de deformação

E1 ( ) Função exponencial integral

Eh Módulo de elasticidade longitudinal da rocha

f Fator de correção da rugosidade das paredes das fraturas

F Força resultante

FP Profundidade da fratura mais produtora

g Aceleração da gravidade

G Módulo de elasticidade transversal da rocha

H Espessura do aqüífero

HD Espessura adimensional

hf Nível da água na formação

hw Nível da água no poço

I0( ) Função modificada de Bessel do segundo tipo e ordem zero

I1( ) Função modificada de Bessel do segundo tipo e ordem um

J0( ) Função Bessel de primeiro tipo e ordem zero

J1( ) Função Bessel de primeiro tipo e ordem um

k Fator de forma do modelo de Warren e Root

K' Condutividade hidráulica vertical do aqüítardo

K0 Função Bessel modificada de ordem zero

K1 Condutividade hidráulica da fratura em sistema de dupla porosidade

Kb Condutividade hidráulica do sistema de blocos

Kf Condutividade hidráulica da fratura

KI Fator de intensidade de tensões no modo I

KIC Tenacidade à fratura da formação

Kp Condutividade hidráulica da pele da fratura

Kr Condutividade hidráulica na direção radial

Kz Condutividade hidráulica na direção vertical

N Freqüências de fraturas

Ncr Número de cruzamentos de fraturas

(14)

xiv

p Pressão local do fluido

p1 Pressão líquida média nas fraturas

p2 Pressão líquida média nos poros do bloco matriz

PC Profundidade do crivo da bomba ou injetor

pf Pressão no interior da fratura

pi Pressão na origem

Pliq Pressão líquida

psup Pressão na superfície

pw Pressão dentro da fratura em r=rw

Q Vazão

q Vazão de inter-porosidade por unidade de volume

Qesp Vazão específica

Qi Vazão de injeção

r Raio

R Raio da fratura

rc Raio interno do revestimento do poço (casing)

rD Raio adimensional

RD Rebaixamento disponível

Re Número de Reynolds

rf Raio da fratura do modelo de Gringarten e Ramey

rw Raio do poço

s Rebaixamento (diferença na carga hidráulica)

s1 Rebaixamento na fratura (diferença na carga hidráulica)

S1 Coeficiente de armazenamento do sistema de fraturas

s2 Rebaixamento no bloco (diferença na carga hidráulica)

S2 Coeficiente de armazenamento da matriz da rocha

Sa Coeficiente armazenamento aparente

Sb Armazenamento do sistema de blocos

sD1 Rebaixamento adimensional na fratura

sD2 Rebaixamento adimensional na matriz

Sf Coeficiente de armazenamento do sistema de fraturas

SF Efeito de pele de fratura

Ss2 Armazenamento específico da matriz da rocha

Ssb Armazenamento específico médio do sistema de blocos

Ssf Armazenamento específico médio do sistema de fraturas

SW Efeito de pele no poço

t Tempo de bombeamento

T Transmissividade efetiva

T1 Transmissividade da fratura em sistema de dupla porosidade

(15)

xv

T1y Transmissividade principal da rede de fratura na direção y

Tb Transmissividade do sistema de blocos

tD1 Tempo adimensional

Tf Transmissividade da fratura

Velocidade média de propagação do fluido

V Volume da fratura

w Abertura mecânica da fratura

W(u) Função poço de Theis

wméd Abertura média da fratura

ww Abertura mecânica máxima da fratura

xD Comprimento adimensional na direção x

xf Metade do comprimento da fratura vertical

Y0( ) Função Bessel de segundo tipo e ordem zero

Y1( ) Função Bessel de segundo tipo e ordem um

yD Comprimento adimensional na direção y

Z Profundidade

Dh Difusividade hidráulica

α α α

α Característica adimensional da rocha fraturada

εεεε Rugosidade absoluta da parede das fraturas

λ λ λ

λ Parâmetro adimensional de escoamento inter-porosidade λ

λ λ

λ3333 Fator de fricção (coeficiente de perda de carga) λ

λ λ

λ4 Taxa ocorrência de fraturas produtoras

µ µ µ

µ Viscosidade dinâmica do fluido

µ µ µ

µff Viscosidade dinâmica do fluido de fraturamento

µ µ µ

µλλλλ Média dos comprimentos das fraturas µ

µ µ

µθθθθ Média dos ângulos das fraturas ν

νν

ν Coeficiente de Poisson da rocha

∇ ∇ ∇

∇h Gradiente hidráulico na direção do escoamento

ρ ρ ρ

ρ Massa específica do fluido ρ

ρ ρ

ρff Massa específica do fluido de fraturamento

ρ ρ ρ

ρR Massa específica da rocha

σ σ σ

σh,med Tensão média horizontal

σ σ σ

σλλλλ Desvio padrão dos comprimentos das fraturas σ

σ σ

σmin Tensão normal mínima in situ

σ σ σ

σθθθθ Desvio padrão dos ângulos das fraturas σ

σ σ

σv,med Tensão média vertical

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A água subterrânea é um dos mais importantes recursos naturais deste país. Ela provê água de beber para as comunidades, abastece a indústria e a agricultura, e em algumas regiões também alimenta rios e regiões pantaneiras. Há muito se busca entender o seu movimento nos aqüíferos. Do ponto de vista histórico, os aqüíferos porosos foram os primeiros a serem investigados, provavelmente por serem mais facilmente acessíveis e vantajosos. Hoje, sua caracterização é de fácil determinação e o seu comportamento está plenamente compreendido. Posteriormente, o aumento da demanda forçou as comunidades a procurar água também em aqüíferos fissurais, onde a água move-se através de descontinuidades existentes na rocha. Porém, neste tipo de aqüífero o escoamento e os processos de transporte diferem daqueles que ocorrem nos aqüíferos porosos.

De fato, contrastes na condutividade hidráulica entre a fratura1 e a matriz da rocha podem ser extremos e localizados. Em um caso a permeabilidade da fratura pode ser muitas ordens de magnitude maiores que a da matriz. Em outro, a fratura pode estar completamente selada com diferentes tipos de material. Ademais, o entendimento de como as fraturas se distribuem e se conectam uma com as outras dentro da formação é condição sine qua non para o pleno entendimento do escoamento neste tipo de aqüífero. Por isso, há um consenso de que entre os problemas que atualmente se defronta em hidrogeologia nenhum é mais desafiador que aqueles que se relacionam com a caracterização das rochas fraturadas e sua capacidade de conduzir fluidos.

• Aqüíferos fissurais do estado do Ceará

Para o Estado do Ceará, cujo território está quase que completamente inserido no polígono das secas2_{, é importante conhecer o potencial hídrico de seus}

aqüíferos fissurais, visto que predominam em quantidade e estão distribuídos em três quartos do território (Figura 1.1). Embora não sejam aqüíferos por excelência, a sua capacidade como reserva de água não pode ser desprezada, pois constituem

1_{Nesta tese o termo fratura é sinônimo de fissura, ou seja, uma descontinuidade do maciço rochoso.}

(17)

2

uma importante reserva complementar aos armazenamentos superficiais (Santiago, 1996, p. 232). Além disso, estes aqüíferos podem tornar-se o meio mais econômico e eficaz para abastecer pequenas comunidades isoladas, difusamente distribuídas por toda a extensão do Estado.

Figura 1.1 – Geologia Simplificada do Ceará: Cristalino e Coberturas Sedimentares.

(18)

3

possuem dados disponíveis apresentam profundidade média de 63,40 metros e

produzem uma vazão média de 3,1 m3_/h.

Um retrato da situação de operação dos poços do Estado pode ser vista na Figura 1.2. Os dados revelam que 56% deste total encontram-se equipados e em operação, 16% foram fechados, 14% não chegaram a ser instalados, 11% foram abandonados e 3% estão parados, secos, obstruídos ou operam em estado precário. Destes em situação desfavorável é bastante provável que a maioria tenha sido perfurada no embasamento cristalino.

11%

56% 16%

14%

3%

Abandonado

Equipado

Fechado

Não instalado

Parado, Seco, Obstruído, Não utilizável, Precário

Figura 1.2 – Situação dos poços do Estado do Ceará. Baseado em CPRM (2007).

Uma das principais razões para o baixo índice de aproveitamento destes poços está relacionada a problemas de locação. Fracalossi Jr. (2001, p.50-51) relata que, embora se tenha pesquisado o uso de métodos qualitativos3_{para a locação de}

poços no Estado do Ceará, o índice de insucesso é ainda bastante expressivo. Assim, ele recomenda que a forma como estas técnicas têm sido aplicadas sejam revistas e sugere o uso conjunto de mapeamento geofísico associado à fotointerpretação para a definição dos pontos ou faixas preferenciais de perfuração. Mesmo assim, há de se levar em conta que cada um destes métodos tem suas próprias limitações e sempre restarão incertezas quanto ao sucesso do empreendimento.

(19)

4

Isto posto, fica o questionamento do que se poderia fazer para ajudar a reverter este quadro, não apenas no que diz respeito às novas perfurações, mas também naquilo que envolve as centenas de poços que se tornaram inoperantes por serem secos ou produzirem baixas vazões. Em outras palavras, haveria como intervir na estrutura da formação rochosa de modo que se consiga alterar as suas propriedades hidráulicas na vizinhança do poço e que com isso se possa revitalizá-lo?

• O Fraturamento Hidráulico

Foi num cenário de incertezas e de insucessos semelhante a este que nos Estados Unidos da América surgiu, na segunda década do século XX, a idéia de se criar fraturas hidraulicamente induzidas para se melhorar a eficiência de poços de óleo e gás. Contudo, foi somente em 1947 que uma operação de fraturamento hidráulico de um poço foi realizada pela primeira vez. Isto aconteceu num poço de gás localizado na localidade de Grant County, Kansas. A melhora na produção do poço não foi muito significativa, mas a técnica mostrou-se bastante promissora. Dois anos depois, a empresa Halliburton Oil Well Cementing Company obteve a licença para usar o processo e então realizou o primeiro fraturamento comercial, aumentando a produção de dois poços de maneira extraordinária. Como conseqüência, o método se popularizou e por volta de 1955 as operações alcançaram a cifra de 3000 poços por mês. Em 1968, mais de meio milhão de tratamentos haviam sido realizados. Hoje, o fraturamento hidráulico é usado em 30 a 40% dos poços de óleo e gás, e nos Estados Unidos, onde este procedimento é largamente difundido, possibilitou um aumento de 25 a 30% das reservas exploráveis de óleo (Brady et al., 1992, p.4-5).

1.1 Objetivos da Pesquisa

(20)

5

1.1.1 Objetivos específicos

• Investigar as peculiaridades do fraturamento hidráulico de formações

impermeáveis em contraponto ao que é realizado em formações sedimentares.

• Investigar que modelos de hidráulica de poços são os mais recomendados

para a determinação dos parâmetros hidrodinâmicos do aqüífero.

• Desenvolver um modelo analítico de propagação de fraturas em formações

impermeáveis que permita estimar o raio, a abertura e as transmissividades da fratura hidráulica.

• Testar o modelo utilizando dados do fraturamento hidráulico de dois poços de

água perfurados no embasamento cristalino do estado americano de New Hampshire.

• Determinar, com o auxilio do modelo, os parâmetros mais significativos a

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O fraturamento hidráulico encontra-se posicionado na interface entre a mecânica dos fluidos e a mecânica das rochas. Por este motivo este capítulo foi dividido em duas partes principais. A primeira trata da hidrologia dos aqüíferos fissurais e das abordagens comumente aceitas em sua modelagem. A segunda parte discorre sobre a mecânica dos sólidos e a mecânica da fratura aplicadas ao fraturamento hidráulico de formações geológicas. Contudo, tal é o grau de permeabilidade com que este tema transita nestes dois campos da engenharia que em certos momentos o conteúdo tratado na parte A confunde-se com aquele tratado na parte B e vice-versa.

PARTE A

2.1 O Escoamento em Aqüíferos Fissurais

O escoamento em aqüíferos fissurais é fortemente dependente da geometria das fraturas. Em outras palavras, isto significa que quanto maior o entendimento a respeito da natureza das fraturas maior será a capacidade de analisar os processos hidráulicos que ocorrem neste tipo de formação. Infelizmente, devido à sua constituição muito complexa, os aqüíferos fissurais não podem ser caracterizados deterministicamente. Apesar de algumas informações poderem ser obtidas a partir de afloramentos e de sondagens geofísicas de poços, a resolução e a continuidade espacial destes dados não são suficientes para descrever completamente o sistema de fraturas. Assim, métodos de caracterização estocástica precisam ser aplicados à geometria das fraturas para prever o comportamento do sistema (Streltsova, 1988, p.370; Renshaw, 1996).

(22)

7

condutividade hidráulica que sistemas com fraturas paralelas. Já o comprimento das fraturas desempenha um papel importante na determinação da permeabilidade porque é mais provável que fraturas longas interceptem outras fraturas do que o façam as fraturas curtas. E por último, a abertura hidráulica (ou efetiva) é considerada um dos mais importantes parâmetros a afetarem o escoamento em reservatórios fissurados (Long et al., 1982). Pesquisas teóricas e experimentais têm demonstrado que a vazão em meio fraturado é proporcional à abertura ao cubo (Witherspoon et al., 1980). Isto significa que pequenas mudanças na abertura produzem grandes mudanças na transmissividade da fratura.

Esta relação entre a vazão e a abertura é conhecida como “Lei Cúbica” e foi obtida pela aplicação das equações de Navier-Stokes e da Lei de Darcy a um sistema de placas paralelas (Snow, 1965, p. 89-92). Visto que a Lei de Darcy é usada na derivação da Lei Cúbica, o escoamento tem que ser laminar. Em comparação com o meio poroso, para o qual números de Reynolds abaixo de 10 implicam em escoamento laminar, no caso de placas com superfície relativamente lisa a transição de escoamento laminar para turbulento ocorre em número de Reynolds em torno de 2300 (Todd, 1959, p.67-68; Fetter, 1988, p.143-144; Kruseman; de Rider,1990, p.19). Contudo, pesquisas mostram que ao passo que o fator de rugosidade aumenta, o número de Reynolds crítico cai significantemente para menos de 2300 (Schlichting, 1955, p. 432-434; Louis, 1976; Witherspoon et al., 1980, p.1017). Geertsma e de Klerk (1969, p.1572) sugerem um número de Reynolds crítico para escoamento em fraturas igual a 1000, ao passo que Meyer (2004, p. 86-88) propõe Reynolds igual a 750 como limite entre regime laminar e regime de transição.

Para escoamento laminar entre duas placas paralelas, a vazão volumétrica Q [L3T-1] para uma largura unitária, na direção do escoamento, é dada por (Renshaw, 1995, p. 24629):

3

12

g

Q b ρ h

µ

= − ∇ _(2.1)

onde b [L] é a abertura hidráulica da fratura; µ [ML-1T-1] é a viscosidade dinâmica do fluido; ρρρρ [ML-3_{] é a massa específica do fluído;}_∇

∇ ∇

(23)

8

2.1.1 Abordagens Existentes

A modelagem dos aqüíferos fissurais pode seguir três abordagens distintas. A primeira baseia-se na idéia de que o conceito de escoamento em

placas paralelas pode ser aplicado para se desenvolver modelos de escoamento de

fluidos em uma fratura simples ou em um sistema de fraturas. Neste caso, as fraturas podem ser geradas estocasticamente, uma a uma, a partir do levantamento em campo de certas propriedades métricas de seus conjuntos tais como freqüência de ocorrência, densidade, orientação, comprimento e abertura.

Os modelos discretos são especialmente projetados para modelagem em rochas duras com pouca porosidade ou permeabilidade intrínsecas, mas podem incluir micro-fissuras que possam existir ao longo das fraturas principais para se simular efeitos de dupla porosidade. A maior vantagem destes modelos é que a explicita representação das propriedades geométricas e físicas das fraturas da formação fissurada permite o cálculo dos gradientes hidráulicos ao longo de cada fratura e as trocas de fluxos entre as descontinuidades. Também, redes de fraturas de várias escalas podem ser tratadas por estes modelos. Suas maiores desvantagens são: (1) a difícil obtenção de dados geométricos das fraturas, especialmente em grandes profundidades, (2) quando os sítios de amostragem não são bem distribuídos, são necessárias extrapolações e (3) o modelo pode ser complexo e o esforço computacional intenso para densidades de fraturas realísticas (Lim, 2002, p.7).

A segunda abordagem é denominada de dupla porosidade. Os

fundamentos dos sistemas de dupla porosidade foram originalmente desenvolvidos por Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960). Nela, o aqüífero é considerado com sendo composto de fraturas e de blocos da matriz rochosa. As fraturas são admitidas como possuindo alta permeabilidade, mas baixa (secundária) porosidade e capacidade de armazenamento. Os blocos da matriz da rocha, por outro lado, são tidos com possuindo baixa permeabilidade e alta (primária) porosidade e capacidade de armazenamento. Somente as fraturas produzem escoamento diretamente para o poço e a matriz atua com a fonte que fornece água para dentro das fraturas (Bäumle, 2003, p.9).

A terceira abordagem, considerada a mais simples, é a do meio poroso

(24)

9

de rochas fraturadas como se fosse um meio poroso não consolidado. Nele as complexidades dos sistemas matriz/fratura são representadas por valores de armazenamento e por parâmetros de transporte. Este tipo de modelo é considerado como sendo mais apropriado para estudos regionais de águas subterrâneas. (Schmelling; Ross, 1989). Corroborando, Bear, Tsang e de Marsily (1993, p.27) declaram que “o escoamento em rochas porosas fraturadas difere daquele em um meio poroso comum somente durante os estágios iniciais de escoamento transiente, e somente na vizinhança do poço de bombeamento. Depois de um período de tempo relativamente curto, o regime de escoamento é idêntico ao de um contínuo simples”. Long et al. (1982) diz que, “o meio fraturado tende a se comportar como meio poroso quando as aberturas das fraturas são constantes, as orientações das fraturas são aleatoriamente distribuídas e o espaçamento das fraturas é pequeno em relação à escala de investigação do sistema”.

Versões mais sofisticadas de modelos matemáticos de meio poroso equivalente foram desenvolvidas especialmente para a situação de aqüíferos hidraulicamente fraturados. São modelos que prevêem a existência de uma fratura única vertical ou horizontal.

De qualquer modo, nenhuma das três abordagens pode ser considerada “melhor” em termos absolutos. Em vez disso, cada uma pode ser apropriada para uma situação específica. Modelos que são conceitualmente simples têm a vantagem de serem facilmente implementados, mas ao mesmo tempo podem simplificar em demasia a realidade do problema e não contabilizar importantes fenômenos que se desenvolvem nos processos como, por exemplo, a formação de canais de escoamento dentro do plano das fraturas. Modelos mais complexos, por outro lado, têm o potencial de prover uma descrição mais detalhada do que acontece no sítio que está sendo modelado, mas eles são mais difíceis de implementar e podem requerer dados que não podem ser coletados com as atuais técnicas disponíveis (Schmelling; Ross, 1989).

(25)

10

2.1.1.1 Modelos Discretos

Medições de campo revelam que as fraturas presentes nas formações são de dimensões finitas. O fato de as fraturas serem finitas significa que uma dada fratura só contribui para a permeabilidade total da rocha na medida em que ela intercepta outras fraturas condutoras. Se uma fratura é isolada, ou seja, não se comunica com nenhuma outra, então ela não contribui para a permeabilidade total da formação. Isto também implica que o escoamento em certa fratura não é independente do escoamento em outras fraturas (Long et al., 1982). Assim, nos modelos discretos as fraturas são geradas uma a uma com base nas propriedades apresentadas pelas formações. Contudo a complexidade da realidade não permite uma completa descrição do que é encontrado no campo visto que os parâmetros descritivos não são únicos, mas distribuídos. Assim, torna-se necessário o uso de modelos estocásticos.

Neste caso, o primeiro procedimento é o estudo geo-estatístico da população de fraturas, ou seja, a identificação dos conjuntos e de suas respectivas propriedades métricas tais como: distribuição da orientação, do comprimento, e da abertura. O segundo procedimento envolve a escolha do modelo do sistema, se tridimensional composto de discos aleatórios (Figura 2.1) ou bidimensional (Figura 2.3) composto por planos verticais ou horizontais aleatórios. O terceiro passo relaciona-se com o estudo propriamente dito da geometria da fratura, que envolve a forma das paredes das fraturas, sua rugosidade e tortuosidade. O quarto passo é a derivação de equações que descrevem o escoamento dos fluidos na malha gerada. (Bear; Tsang; de Marsily,1993, p.169).

(26)

11

Para se gerar um padrão de fratura projetado para reproduzir a geometria de um sistema real, os modelos discretos têm assumido as seguintes condições:

1. Um sistema bidimensional tem os centros das fraturas localizados aleatoriamente no plano: Verificou-se que o número de fraturas interceptadas por poços de igual comprimento aleatoriamente posicionados em determinada área de estudo diferia de lugar para lugar, e que os números seguiam a distribuição Poisson. O mesmo foi constatado em amostragens bidimensionais feitas em afloramentos e em paredes de túneis. Seguir este tipo de distribuição indica que as fraturas não têm a tendência de se congregar (Snow,1968, p.76; Beacher; Lanney; Einstein,1977, p.5C1-1,2).

2. As orientações dos conjuntos de fraturas seguem a distribuição normal: A orientação das fraturas, apesar de não ser regular, não é puramente aleatória. Usualmente, fraturas observadas em afloramentos são aproximadamente paralelas a um ou a vários planos. Estas fraturas, que têm aproximadamente a mesma orientação constituem um conjunto ou grupo de fraturas. A existência destes conjuntos é devido ao fato de que a orientação das fraturas está relacionada à história tectônica da região. Convencionou-se identificar os vários grupos separadamente (geralmente dois), visto que espera-se que os grupos sejam mais homogêneos que todos os conjuntos combinados. De qualquer modo, as estatísticas relativas às orientações das fraturas são possivelmente as mais bem compreendidas de todas as suas propriedades geométricas, haja em vista que são de fácil medição (Bear; Tsang; de Marsily, 1993, p.173; Long et al.,1982, p.648).

3. Os comprimentos das fraturas são log-normal ou exponencialmente distribuídos: A determinação do padrão de distribuição seguido pelo comprimento das fraturas é crucial, pois este é um dos mais importantes parâmetros a influenciar a conectividade da rede de fraturas, a freqüência na qual as fraturas se interceptam umas com as outras e até mesmo as características da rede fluxo como um todo. Por exemplo, poucas fraturas longas podem criar um melhor caminho para o escoamento que muitas fraturas curtas. (Sahimi ,1995, p. 105; Long et al.,1982, p. 648; Lim, 2002, p. 10-12).

Lim (2002, p.10) resume alguns valores de média (µ) e desvio padrão (σ)

(27)

12

relação às suas respectivas médias e que, na falta de dados mais precisos, poder-se-ia adotar valores iguais de média e desvio padrão na geração estatística de regiões fissuradas.

TABELA 2.1 – Média (µλ) e desvio padrão (σλ) de traços de fraturas encontrados em

embasamentos cristalinos em profundidades abaixo de 150 m. Baseado em: Lim (2002, p. 10-11)

Trabalho Sítio µµµµλλλλ (m) σσσσλλλλ (m)

Cacas et al. (1990a) França 0,74 2,34

Cacas et al. (1990a) França 1,16 2,72

Kulatilake et al. (1993) Suécia 1,01 0,31

Kulatilake et al. (1993) Suécia 1,64 1,47

Long et al. (1987) França 1,44 1,33

Long et al. (1987) França 0,53 0,50

Niemi et al. (2000) Finlândia 0,65 0,70

Niemi et al. (2000) Finlândia 1,50 0,45

4. As aberturas são log-normalmente distribuídas: Esta asserção foi confirmada por inúmeras pesquisas experimentais tais como as realizadas por Beacher, Lanney e Einstein (1977), Keller (1997), Lanaro (2001), Alfred (2003), e Price e Indraratna (2005). Para as fraturas dois tipos de abertura são definidos: A abertura mecânica e a abertura hidráulica (ou efetiva). A abertura mecânica é definida como a distância média entre as paredes da fratura ao passo que a abertura hidráulica é calculada através da transmissividade e da lei cúbica. Observou-se que as aberturas hidráulicas são aproximadamente uma ordem de magnitude menores que as aberturas mecânicas (Long et al., 1987; Lim, 2002, p.12-13, Cook, 2003, p.31).

Tanto a abertura mecânica, w [L], quanto abertura hidráulica, b [L], são parâmetros cruciais na determinação da permeabilidade do sistema. A vazão volumétrica Q através de uma fratura simples é dada por: Q ∼∼∼∼ b3, o que implica em o escoamento ser extremamente sensível à mudanças na abertura. Contudo, a determinação de valores efetivos para a abertura mecânica é de difícil obtenção, pois ela não é constante ao longo da fratura. Ademais, as tensões confinantes do embasamento tornam as aberturas medidas em profundidade menores que na superfície (Sahimi, 1995, p. 104; Uhl, Sharma, 1978, p.194).

(28)

13

tipo de distribuição de probabilidades. Obviamente anomalias locais podem não ser preditas por estas representações estatísticas.

TABELA 2.2 – Média (µb) e desvio padrão (σb) de abertura hidráulica encontrados em

embasamentos cristalinos. Baseado em: Lim (2002, p. 12-13)

Trabalho µµµµb (mm) σσσσb (mm)

Keller et al. (1999) 0,586 0,864

Keller et al. (1999) 0,825 0,683

Long et al. (1987) 0,312 0,402

Long et al. (1987) 0,294 0,146

Tsang et al. (1998) 0,080 0,019

Tsang et al. (1998) 0,080 0,133

Todavia, além das propriedades ditas métricas (porque podem ser medidas) o sistema de fraturas apresenta propriedades que não podem ser medidas em unidades. Estas propriedade são ditas topológicas (Jing; Stephansson, 1997, p.193-202).

Uma importante propriedade topológica de um sistema de fraturas é a conectividade. Knudby e Carrera (2006) declaram que “em hidrogeologia, o termo conectividade é utilizado em referência à presença física de zonas de alta ou de baixa condutividade hidráulica”. Em outras palavras, se um sistema possui um caminho de alta condutividade hidráulica que aumenta o escoamento, este sistema é admitido como possuindo boa conectividade.

Constatou-se que a conectividade da rede de fraturas cresce com o aumento do comprimento e da freqüência de ocorrência das fraturas, pois a probabilidade de intersecção aumenta (Cook, 2003, p.11). Uma rede com grande conectividade pode fornecer uma grande vazão. Para rede de fraturas com a mesma conectividade, mas com comprimentos de fraturas diferentes, a descarga total será maior para a rede com comprimentos maiores. (Lim, 2002, p.47).

(29)

14

fluxo se dá numa pequena parcela da rede de total de fraturas e que este efeito expressa a importância da conectividade para se definir o modelo de transporte”.

É importante destacar a diferença entre conectividade e a pura existência de interseção entre fraturas. De fato, pode-se dizer que a primeira é função da segunda e de mais outras variáveis tais como densidade de fratura, comprimento, abertura, rugosidade, e escala (de Dreuzy; Davy; Bour, 2001; Renshaw, 1999).

Interseção é uma relação geométrica entre duas (ou várias) fraturas, enquanto a conectividade é uma propriedade topológica, i.e., não quantitativa do inteiro sistema de fraturas. Assim, um sistema com alto grau de interseção entre fraturas não necessariamente apresenta alta conectividade, conforme é exemplificado na Figura 2.2.a (Jing; Stephansson, 1997, p.193).

Nota-se na Figura 2.2.a que embora haja um grande número interseções entre fraturas, caso a rocha matriz seja impermeável a permeabilidade da formação é nula. Assim, para efeito de escoamento, o sistema não é muito diferente do apresentado na Figura 2.2.b, que não apresenta cruzamentos entre fraturas. De qualquer modo, estes são exemplos extremos e sistemas com grande número de interseções (cruzamentos) tendem a apresentar maior condutividade que sistemas com baixo número de cruzamentos.

(30)

15

Para ilustrar como estes parâmetros influenciam na conexão entre as fraturas simulou-se a geração de várias regiões fissuradas com o auxílio do software

MeioFr.exe escrito por José Sérgio dos Santos, com base no modelo desenvolvido

por Pitombeira (1994). Os dados de entrada são: tamanho da região de geração, freqüência de fraturas, média e desvio padrão da orientação, do comprimento e da abertura, sendo a freqüência de fraturas definida como o número de fraturas por unidade de área.

As fraturas são então geradas segundo as seguintes distribuições de probabilidade: Centro das fraturas, distribuição poisson; orientação, distribuição normal; comprimento e abertura, distribuição lognormal. Os comprimentos de fraturas que se estendam para além da região de geração são truncados. A Figura 2.3 é um exemplo didático que mostra o que é gerado pelo programa.

(a) (b) (c)

FIGURA 2.3 – Meio fissurado gerado pelo programa MeioFr.exe. (a) Vista em planta, (b) e (c) Perspectivas.

Para a verificação da influência das variáveis no número de cruzamentos entre fraturas, definiu-se uma região de geração de 10,0 m x 10,0 m (Figuras 2.4 e 2.5), e num primeiro momento gerou-se regiões fissuradas mantendo-se constante a média dos comprimentos das fraturas (µλ) igual a 1,0 m, o desvio padrão dos

comprimentos (σλ) igual a 0,0 m e a média dos ângulos (µθ) dos grupos 1 e 2 como

iguais a 135o e 45o, respectivamente (Figura 2.5). Variou-se o desvio padrão dos ângulos (σθ) dos grupos nos valores 0o, 11,25o, 22,5o e 45o para as seguintes

(31)

16

apresentam um resumo dos resultados. A esta primeira série de gerações deu-se o nome G1.

Na segunda simulação, utilizou-se as mesmas freqüências de fraturas e manteve-se constantes a média e o desvio padrão dos ângulos dos grupos de fraturas. Para o grupo 1: µθ1=135o e σθ1=0o e para o grupo 2: µθ2=45o e σθ2=0o.

Variou-se a média dos comprimentos nos valores 0,50 m, 1,0m, e 2,0 m com desvios padrões constantes igual a 0,0 m. Para esta segunda série de gerações deu-se o nome G2.

Gerou-se dez regiões para cada situação, computou-se o número de cruzamentos em cada uma delas e no final calculou-se a média do número de cruzamentos (Ncr). Ao todo 350 regiões diferentes foram geradas.

FIGURA 2.4 – Tela principal do software MeioFr.exe. O desenho é a vista em planta da região

gerada.

(32)

17

No campo, a separação das fraturas em dois grupos é feita com base na tendência natural que os conjuntos de fraturas têm de se dispor em determinada orientação. Nas regiões geradas do tipo G1 observa-se que para um dado desvio padrão de orientação o número de cruzamentos de fraturas cresce com o quadrado da freqüência de fraturas, indicando boa sensibilidade a este parâmetro (Figura 2.6). Um outro aspecto indicado nas Figuras 2.6 e 2.7 é que ao passo que o desvio padrão das orientações aumenta, os conjuntos vão sendo descaracterizados por perderem sua direção preferencial. Também indicam que para uma dada freqüência de fraturas o número de cruzamentos tende para um determinado valor constante ao passo que o desvio padrão dos ângulos aumenta. Mesmo assim, grandes variações no desvio padrão das orientações não repercute em grandes variações no número de cruzamentos. De um sistema com grupos de fraturas paralelas para um grupo com orientação completamente errática, o número de cruzamentos aumenta apenas em 30%.

Assim, o número de cruzamentos computados nas regiões demonstra o que já se esperava intuitivamente: sistemas densamente fraturados têm uma melhor rede de escoamento que sistemas com baixa freqüência de fraturas. Relevante também é o fato de que a orientação, apesar de influir no número de cruzamentos, não altera tão significativamente as conexões do sistema quanto a freqüência de fraturas.

0 5000 10000 15000 20000 25000

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Freqüência de Fratura (1/m2)

N

ú

m

er

o

d

e

C

ru

za

m

en

to

s

Desvio Padrão = 0 grau

Desvio Padrão = 11,25 graus

(33)

18

ff = 2 /m2 ff = 4 /m2 ff = 6 /m2 ff = 8 /m2 ff = 10 /m2

σσσσθθθθ

=

0

o

Ncr= 621 Ncr= 2516 Ncr= 5652 Ncr= 9941 Ncr= 15607

σσσσθθθθ

=

1

1,

25

o

σσσσθθθθ

=

2

2,

5

o

σσσσθθθθ

=

4

5

o

FIGURA 2.7 – Geração Tipo G1, Número de cruzamentos de fraturas em função de freqüência e ângulo. Parâmetros: Ângulos: µθ1=45o, µθ2=135o, Comprim.: µλ1=1 m, σλ1=0 m; µλ2=1 m, σλ2=0 m.

(34)

19

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Freqüência de Fraturas (1/m2)

N

ú

m

er

o

d

e

C

ru

za

m

en

to

s

L=2,0 m L=1,0 m L=0,50 m

FIGURA 2.8 – Freqüência de Fraturas x Número de Cruzamentos. Parâmetros: Ângulos:

µθ1=45º, σθ1=0o; µθ 2=135º, σθ1=0o; Comprimentos: σλ1=0 m; σλ2=0 m.

ff = 2 /m2 ff = 4 /m2 ff = 6 /m2 ff = 8 /m2 ff = 10 /m2

µµµµλλλλ

=

0

,5

m

µµµµλλλλ

=

1

,0

m

µµµµλλλλ

=

2

,0

m

FIGURA 2.9 – Número de cruzamentos de fraturas em função de freqüência e comprimento. Parâmetros: Área de geração = (10 m x 10 m); Ângulos: µθ1=45o, σθ1=0o; µθ 2=135o, σθ2=0o;

(35)

20

Outra verificação foi efetuada no intuito de se quantificar como o número de cruzamentos varia com o comprimento das fraturas. Obviamente, para uma dada freqüência de fraturas, o número de cruzamentos tende a um número constante ao passo que se aumenta o tamanho das fraturas rumo ao infinito, pois neste caso as extremidades de todas as fraturas alcançam as fronteiras do sistema. A simulação foi feita para uma região de geração de 10 m x 10 m, com grupos de fraturas ortogonais. Em todas as freqüências verificadas, quando a média dos comprimentos atinge algo em torno de 3 metros praticamente o número de cruzamentos se estabiliza. A Figura 2.10 mostra isso graficamente.

0 50000 100000 150000 200000 250000

0 1 2 3 4 5 6

Média dos Comprimentos das Fraturas (m)

N

ú

m

er

o

d

e

C

ru

za

m

en

to

s

Ff= 2 /m2 Ff= 4 /m2 Ff= 6 /m2 Ff= 8 /m2 Ff= 10 /m2

FIGURA 2.10 – Número de Cruzamentos x Média dos Comprimentos das Fraturas. Parâmetros: Área de geração = (10 m x 10 m); Ângulos: µθ1=45o, σθ1=0o; µθ 2=135o, σθ2=0o.

(36)

21

2.1.1.2 Modelos de Dupla Porosidade

O completo entendimento do mecanismo de escoamento de fluidos em reservatórios naturalmente fraturados foi expresso já em 1937 “como sendo aquele no qual o corpo principal do reservatório abastece de seu fluido as fraturas altamente permeáveis, que subsequentemente conduzem o fluido diretamente ou por meio de uma complexa interconexão para os poços de bombeamento”. Deste modo, para se considerar mecanicamente uma formação naturalmente fraturada, um meio com dois componentes coexistentes – os blocos rígidos da matriz e fraturas as adjacentes, altamente permeáveis – precisa ser assumido. Uma abordagem contínua é então aplicada a este meio com a suposição de que dentro de cada componente a pressão do fluido é uma função contínua da posição e do tempo (Streltsova, 1988, p.370).

As suposições feitas sobre o escoamento da matriz de baixa difusividade para fraturas com alta difusividade resultaram, basicamente, em três modelos de dupla-porosidade de formações naturalmente fraturadas.

O primeiro modelo, usualmente referido como modelo de estado quase-permanente não permite nenhum retardo na resposta da pressão dentro da matriz dos blocos que seja induzido por algum tipo de armazenamento. O modelo assume que o escoamento entre o bloco da matriz e as fraturas adjacentes ocorre na proporção da diferença entre suas pressões. Tal modelo inicialmente concebido por Barenblatt, Zheltov, e Kochina (1960) e por Warren e Root (1963).

O segundo modelo de dupla porosidade, referido como modelo de escoamento gradiente, assume que a distribuição de pressões dentro da matriz é sujeita a equações de difusividade que resultam em um escoamento transiente matriz-fratura. Este modelo é uma representação mais realística do comportamento de formações naturalmente fraturadas em tempos de transição.

O terceiro modelo, desenvolvido por Moench (1984), é também baseado na suposição do escoamento difusivo matriz-fratura, mas introduz uma resistência ao fluxo na interface do bloco da matriz com a fratura na forma de efeito de parede. Se a condutividade da superfície da parede da fratura é consideravelmente menor que o da matriz da rocha, o intercâmbio de fluidos entre matriz e fratura não ocorre, e a variação espacial da pressão dentro dos blocos da matriz torna-se desprezível.

(37)

22

no bloco da matriz e na fratura se equaliza) é idêntico para os três modelos. Este comportamento é o mesmo daqueles em uma formação homogênea, no qual a carga hidráulica varia linearmente com o logaritmo do tempo. O período a partir do qual o escoamento dentro da matriz começa a afetar a resposta da carga depende, não obstante, das suposições do modelo (Streltsova, 1988, p.370).

Inúmeras soluções têm sido apresentadas para descrever o escoamento transiente de uma formação de dupla porosidade para dentro de um poço. Os próximos tópicos consideram brevemente alguns destes modelos.

2.1.1.2.1 O Modelo de dupla porosidade de Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960)

Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960) consideraram a formação naturalmente fissurada como sendo um volume rochoso dividido pelas fraturas interconectadas em blocos de tamanho e forma irregulares (Figura 2.11). Dois meios contínuos sobrepostos, um poroso e o outro fraturado, cada um preenchendo por completo o inteiro domínio do escoamento foram assumidos para representar o meio fraturado.

Figura 2.11 – Concepção do modelo de dupla porosidade de Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960).

(38)

23

pressão p1 representa a pressão líquida média nas fraturas na vizinhança de um

dado ponto, enquanto que a pressão p2 é a pressão líquida média nos poros [do

bloco matriz] na vizinhança de um dado ponto. Para se obter médias confiáveis, o volume considerado deve incluir um número de blocos suficientemente grande (Barenblatt; Zheltov; Kochina, 1960, p. 1288).

Em um dado ponto, as fraturas altamente difusivas respondem às mudanças de pressão impostas muito mais rapidamente que as pouco difusivas matrizes da rocha, causando um desequilíbrio de pressão entre as duas. Este desequilíbrio resulta em uma transferência de líquido no sentido matriz-fratura que subsequentemente tende a equiparar as pressões da matriz e das fraturas (Streltsova, 1988, p.371).

Para uma análise dimensional, eles propuseram que a taxa de drenagem de blocos para as fraturas por unidade de volume de rocha é proporcional à diferença de pressão entre os dois componentes do modelo. O trabalho original apresenta os resultados no formato comumente empregado na engenharia de petróleo. Sauvenplane (1986, p.174-176) sumariza as suposições do modelo e as põe no formato comumente adotado por hidrogeólogos:

1 – O escoamento dos blocos para as fraturas se dá em estado permanente;

2 – A mudança em volume de líquido resultante da compressibilidade das fraturas é desprezível quando comparados com a mudança de volume causado pelo escoamento dos blocos;

3 – Nenhum fluxo entra nos blocos;

4 – A mudança de volume nos blocos causada pela saída de líquido é desprezível quando comparada com a mudança de volume devido à expansão do líquido;

5 – Os blocos são isotrópicos e o aqüífero é confinado e de infinita extensão lateral.

Com estas suposições, o rebaixamento na fratura s1 [L] em um ponto

localizado a uma distância r [L] de um poço completamente penetrante

(39)

24

( )

2

1 1

1 1 2 1

( )

s s

K s Ss B

t t

∂ ∂ ∆ ∆ = −

∂ ∂ , (2.2)

onde 2 1 1

1 2

1

s s

s

r r r

∂ ∂ ∆ = +

∂ ∂ é o Laplaciano de s1 e (2.2a)

( )

2 ₁

1 K B g µ α ρ

= , _(2.2b)

onde [B1] = [L] e αααα é uma característica adimensional da rocha fraturada definida

por:

2 1 1 2

( ) g( )

q α p p α ρ s s

µ µ

= − = − _(2.3)

sendo q [T-1_{] a vazão de inter-porosidade por unidade de volume.}

As condições iniciais e de contorno para a variável s1(r,t) na Equação 2.2

são:

1( , 0) 0

s r = , para qualquer r (2.4)

1( , ) 0

s ∞ t = , para qualquer t (2.4a)

1 0 lim 0 w w r s r r → ∂ = ∂ (2.4b)

Quando t 0+, a vazão inicial vem inteiramente dos blocos, assim:

2 1 ( / ) 1 0 1

lim (1 )

2 w t B w r s Q r e r T β π − → ∂ = − ∂ (2.5)

onde: 1

2 K Ss

β = _(2.5a)

A solução conjunta das equações 2.2 e 2.4 é obtida por meio de sucessivas transformações de Laplace e Hankel, que fornecem para s1:

2

1 2 2

1 0 1

( )

( , ) 1 exp( )

4 1

o

J xr

Q tx

s r t dx

T x B x

(40)

25

Onde x é uma variável de integração auxiliar e Jo( ) é a função Bessel de

primeiro tipo e ordem zero.

A Equação 2.6 gera uma família de curvas pela plotagem de valores de

sD1 =(4ππππT1s1)/Q versus tD1=(4ββββt)/r2. Cada curva típica é caracterizada pelo

parâmetro adimensional r/B1 como mostrado no gráfico semi-logarítmico da Figura

2.12. De posse de uma curva de rebaixamento de dados observados, pode-se usar o método da superposição e determinar T1=K1b, Ss2 e αααα a partir dos valores de r/B1.

A Figura 2.12 mostra uma tendência assintótica em direção à condições de Theis (linha reta no gráfico semi-logarítmico) para tempos grandes. Pode ser demonstrado por meio da Equação 2.6 que quando r/B1 se torna grande, i.e., B1

0, SD1 E1(1/tD1), que é a solução de Theis.

s

=

(4

T

s

)/

Q

D

1

π

t =(4 t)/rD1 β 2

r/B1

Figura 2.12 – Curvas padrão do modelo de Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960) adaptado para uso em hidrogeologia. Baseado em: Sauveplane (1986, p.175).

2.1.1.2.2 O Modelo de dupla porosidade de Warren e Root (1963)

Warren e Root (1963) mantiveram as mesmas suposições básicas de Barenblatt, Zheltov e Kochina (1960), mas consideraram a compressibilidade das fraturas (S1 0) e solucionaram o problema para uma rede idealizada de fraturas que

(41)

26

delimitavam uma matriz sistemática de paralelepípedos idênticos (Figura 2.13.b). Cada fratura é paralela a um dos eixos principais de condutividade hidráulica. O aqüífero assumido isotrópico com respeito à condutividade hidráulica das fraturas. O escoamento entre os blocos e as fraturas se dá em estado permanente e o escoamento para o poço através das fraturas é somente transiente. Kazemi et al. (1969) propuseram uma solução para o modelo de Warren e Root para poços de observação (Sauvenplane, 1986, p. 176).

FIGURA 2.13 – Formações Fissuradas. (A) Formação naturalmente fissurada, (B) Idealização tridimensional de Warren-Root, (C) Idealização de um sistema de fraturas horizontal. Fonte:

Kruseman e de Rider (1990, p.249).

Kazemi et al. (1969) escreveram um sistema de equações diferenciais parciais em forma adimensional conforme segue:

2

2 2 1 2

2

1

(1 )

D D D D

D D D D D

s s s s

r r r ω t ω t

∂ ∂ ∂ ∂

+ − − =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.7)

1

2 1

(1 ) D ( )

D D

D

s

s s

t

ω ∂ λ

− = −

∂ (2.7a)

(42)

27 1 1 2 D Ts s Q π

= _(2.7b)

2 2 2 D Ts s Q π

= _(2.7c)

2 1 2 ( ) D w Tt t

S S r

=

+ (2.7d)

D w

r r

r

= _(2.7e)

1

1 2

S

S S

ω=

+ (2.7f)

2 2 3 w T k r T

λ = (2.7g)

k é o fator de forma [L-2] e λλλλ é o parâmetro adimensional de escoamento inter-porosidade. T [L2T-1] é definida com a transmissividade efetiva expressa por:

1x 1y

T = T T (2.8)

onde T1x e T1y são as transmissividades principais da rede de fratura.

As condições iniciais e de contorno associadas à Equação 2.7 são:

1( , 0) 2( , 0) 0

D D D D

s r =s r = , | rD _(2.9)

1 0 lim 1 D D D r D s r r → ∂ = −

∂ , | tD (2.9a)

(

1

)

lim 0

D

r →∞ s = , | tD (2.9b)

No plano real a solução para sD1 é obtida com transformações de

Laplace, que fornece:

(

)

(

)

1 1 2

1 2 1 2

0

( )

1

1 exp( ) 1 1 exp( ) 1

2 D

D D D

Jo r x

s ω γ t γ t dx

∞

= + Λ − − + Λ −