José Lásaro Cotta
Elasticidade - Demanda e Preço
Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Matemática Para Professores, elaborado pelo Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais como requisito para a conclusão da disciplina Monografia.
Orientador: ANTÔNIO ZUMPANO
Belo Horizonte
Deptº de Matemática - UFMG 2005
José Lásaro Cotta
Elasticidade - Demanda e Preço
Ao Grande Arquiteto do Universo, a quem chamamos Deus, pela saúde e ânimo. Aos meus colegas, principalmente Getúlio e Kelson, que se fizeram grandes amigos. Um carinho especial a minha mulher, Marcilene, que dedicou horas como escriba, me reforçando o ânimo e embelezando este trabalho. Ao prof. Zumpano, que com disponibilidade e interesse em ensinar coisas novas tornou-se um ícone de minha admiração.
Belo Horizonte
Deptº de Matemática - UFMG 2005
SUMÁRIO
I INTRODUÇÃO ... 4 Reflexão sobre a matemática; o papel da matemática nos problemas da
administração; o conceito de elasticidade; uma proposta para análise.
II DESENVOLVIMENTO
ELASTICIDADE, DEMANDA E PREÇO
A) A teoria econômica da elasticidade ...
B) Desenvolvimento Matemático ...
C) Problemas Práticos – desenvolvimento ...
06 07 14
III APONTAMENTOS FINAIS... 20 IV REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 22
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”.
George Polya
I
INTRODUÇÃO
Quando o homem sentiu a necessidade de explicar a natureza e seus fenômenos, tornou-se necessário a criação de símbolos representativos. Com o passar do tempo, à medida em que se desenvolvia determinada área, mais sofisticados e abstratos tornaram-se estes símbolos. Grandes vultos da humanidade dedicaram preciosas horas em estudos de teoremas para formular outros, objetivando acrescentar cada vez mais conteúdo neste complexo e perfeito modelo de representação da natureza.
Neste contexto, a matemática surgiu para servir de suporte de análise no que se refere à conceitos quantitativos, já que em se tratando de conceitos qualitativos, a representação ocorrerá através da lógica conceitual.
A aplicação da matemática nos diversos ramos científicos baseia-se em variáveis do mundo real, podendo essas variáveis ser determinadas por observação e hipóteses cujas conclusões são obtidas através do método empírico, por dedução.
No que se refere à matemática aplicada à administração, os conceitos matemáticos são essenciais para definir o referencial lógico e sistemático das relações quantitativas, já que estas prevalecem no segundo ramo científico, como por exemplo as noções de custo, demanda, preço, investimento, lucro, dentre outras variáveis relevantes, além de imprimir validade e precisão lógica aos trabalhos e hipóteses definidas pelo administrador. Não se pode olvidar que a matemática aplicada à economia ou à administração retornará conceitos válidos no âmbito da lógica, o que não é verdadeiro quanto à precisão empírica.
Numa abordagem matemática da teoria econômica, interessa-nos neste trabalho relacionar os benefícios da aplicação do conceito de “elasticidade -demanda x preço” ao aumento da receita, ou mesmo na diminuição desta, pelo reflexo no faturamento das alterações sofridas em decorrência de variações no preço de uma mercadoria.
Temos que a elasticidade pode ser definida como a razão entre a variação relativa da variável dependente “y” e a variação relativa da variável independente
“x”. Essa variação demonstra a maneira como “y” responde à variações de “x”, sendo freqüentemente usadas para medir o modo pelo qual a demanda ou a oferta respondem às variações no preço ou na renda. Conclui-se que, como as variações envolvidas são relativas, a elasticidade de uma função é uma grandeza adimensional, ou seja, traduz uma grandeza escalar pura, e não quantitativa.
Assim, a proposta do presente trabalho é, em primeiro plano, a apresentação do estudo e aplicação da elasticidade em dadas situações em se que conhece previamente a equação da demanda em função do preço, utilizando para tal os recursos do cálculo infinitesimal, com aplicação de limites e derivadas, dentre outros.
Em segundo plano, em análise superficial, será demonstrada interpretação geométrica nos casos em que a equação da demanda e preço não se apresenta explícita, e as conclusões teóricas também poderão ser conseguidas por essa análise geométrica. A curva de demanda e preço será elaborada por meio de coleta de dados em que a elasticidade será obtida por processos gráficos para aplicação prática, sem necessidade de recurso à matemática diferencial, tratando-se de curva experimental.
II
DESENVOLVIMENTO – ELASTICIDADE - DEMANDA E PREÇO
A) A teoria econômica da elasticidade
Necessário recordar os conceitos básicos da curva de demanda x preço.
A quantidade demandada de uma determinada mercadoria, depende de uma série de fatores. Entre esses fatores, um dos mais relevantes é o preço da mercadoria.
Quando o preço de uma mercadoria aumenta, mantidos constantes outros fatores, a quantidade demandada da mesma diminui, uma vez que um preço mais elevado constitui um estímulo para que os compradores da mercadoria economizem seu uso.
Vejamos um esboço da curva representativa desta relação.
Pelo exposto, vimos que quando o preço de uma mercadoria sobe, a demanda pela mesma deve cair. Mas, não sabemos a magnitude desta variação, ou seja, qual o resultado na demanda quando o preço é majorado em 5% (cinco por
p q
0
cento), por exemplo. Essa resposta veremos na análise matemática do conceito de elasticidade, a seguir.
B) Desenvolvimento Matemático
Consideremos uma equação de demanda envolvendo p e q, onde p é o preço para o qual q unidades são demandas àquele preço. Se a equação de demanda for explicitada em q, obtemos a função de demanda g dada por
q= g( )p
Assumimos que p é um número real não negativo e que a função de demanda é contínua.
Se o preço p sofre uma variação ∆p isto implica numa variação na demanda de ∆d . As variações relativas do preço e da demanda expressam-se respectivamente por ∆p/p, ∆d/d. A variação relativa média em d (quantidade demandada) por unidade de variação relativa em p (preço) é dada por
p q q ou p p
p q
q
∆
∆
÷ ∆
∆ .
Mas,
(p p) ( )g p
g
q= + ∆ −
∆ logo,
( ) ( )
p p g p p g q p p q q p
∆
−
∆
= +
∆ .∆
Fazendo o limite da expressão acima quando ∆p tende a zero,
( ) ( ) ( ) ( )
p p g p p g q
p p
p g p p g q p
p
p ∆
−
∆
= +
∆
−
∆ +
→
∆
→
∆ 0 . .lim 0
lim
Mas,
( ) ( ) ( )
dp p dq p g
p g p p g
p = =
∆
−
∆ +
→
∆ '
lim 0 , logo
( ) ( ) ( )
dp dq q p p q g p p
p g p p g q p q
p
p . . .
lim 0 = ' =
∆
−
∆ +
→
∆
A essa expressão denominados elasticidade de demanda em relação ao preço e será representada pela letra grega “η”, cuja definição formal apresentamos:
A elasticidade de demanda em relação ao preço dá a variação percentual aproximada na demanda que corresponde à variação de 1% (um por cento) no preço. Se a equação de demanda q=g(p) e “η” é a elasticidade, então,
dp dq q
p. η =
A elasticidade é definida como uma propriedade de qualquer função diferenciável, porém, seu uso mais comum ocorre na análise de como a demanda por uma mercadoria responde a variações de seu preço.
Sabemos que a curva de demanda tem declividade negativa, logo sua derivada primeira também será negativa, e por conseguinte, a elasticidade será menor ou igual a zero (η ≤ 0).
Como a elasticidade é adimensional, podemos comparar o comportamento das elasticidades de vários produtos. Para isso curvas de demanda são agrupadas em categorias, como sendo:
1) DEMANDA ELÁSTICA: Se | η| > 1, dizemos que a demanda é elástica. Isto indica que a variação percentual na quantidade demandada é maior que a variação percentual no preço. Em outras palavras, elevação no preço provoca redução na quantidade demandada relativamente maior do que a elevação no preço. Interpreta-se como a sensibilidade relativamente alta da demanda em relação ao preço.
2) DEMANDA INELÁSTICA: Se | η| < 1, dizemos que a demanda é inelástica.
Isto indica que a variação percentual na quantidade demandada é menor que a variação percentual no preço. Em outras palavras, elevação no preço provoca redução na quantidade demandada relativamente menor que a elevação no preço. Interpreta-se como a sensibilidade relativamente baixa da demanda em relação ao preço.
3) ELASTICIDADE UNITÁRIA: Se | η| = 1, dizemos que a demanda é unitária.
Isto indica que a variação percentual na quantidade demandada é igual à variação percentual no preço.
Importa ressaltar que, em geral, a elasticidade de uma função não é constante ao longo de todo seu domínio. Entretanto, a hipérbole equilátera, tem elasticidade constante ao longo de seu domínio.
Se a função de demanda é dada pela hipérbole equilátera generalizada, temos:
( ) m
p p a q = Então,
( )
dp dq q p dp amp p
dq m
.
1
=
−
= − −
η
( )
m
amp p
p a m
m
−
=
−
= − −
η
η 1
Daqui, conclui-se, que a elasticidade de demanda é a constante “-m”, o que indica que um acréscimo de 1% (um por cento) no preço do produto resulta num decréscimo de “m” por cento na demanda, em qualquer faixa de preço.
Apenas uma hipérbole equilátera tem elasticidade constante ao longo de seu domínio.
Muitas vezes torna-se importante analisarmos a elasticidade de demanda e preço de determinada mercadoria em relação à outra. Ou seja, a elasticidade de demanda e preço cruzada da mercadoria “x” em relação à mercadoria
“y” é dada pela relação entre as variações percentuais na quantidade demandada do bem “x” e a variação percentual no preço da mercadoria “y”, mantidos inalterados outros fatores.
Assim, podemos expressar:
y x x y y x
y x x y y x
dp dq q p
p ou q q p
. .
, ,
=
∆
= ∆ η η
Também aqui podemos levar em consideração três situações:
1) η x,y > 0 – Com este resultado concluímos que um aumento no preço da mercadoria “y” leva a um aumento na demanda da mercadoria “x”, isto é, as duas mercadorias são substitutas.
2) η x,y < 0 – Neste caso, quando ocorre um aumento no preço da mercadoria “y”, a demanda pela mercadoria “x” diminui, ou seja, “x” e
“y” são mercadorias complementares.
3) η x,y = 0 – Isso só pode ocorrer se o preço da mercadoria “y” não
exercer nenhuma influência sobre a demanda da mercadoria “x”. Dizemos que as mercadorias “x” e “y” são independentes.
Um emprego muito interessante do estudo da elasticidade de demanda e preço é aquele usado para verificar qual seria o impacto sobre a receita de venda no caso de uma variação no preço da mercadoria. Se R é a função
“receita total”, logo, R(p) é a receita total para uma demanda de “q” unidades ao preço unitário “p”. Isto é:
R( )p = q.p ( )1
onde “q” é uma função de “p” (q = g(p)).
Diferenciando ambos os lados da equação (1) em relação à “p”, teremos:
( )
dp p dq dp q
p
dR = + .
Multiplicando e dividindo por “q ” a segunda parcela do segundo membro, teremos:
( )
( )
+
=
+
=
dp dq q q p dp
p dR
qp dq q q p dp q
p dR
1 .
mas,
dp dq q p.
η =
então,
( ) = q
(
1− η)
dp p dR
ou melhor:
( )=
(
1− η)
' p q
R
Da expressão acima verifica-se que a variação da receita marginal terá o mesmo sentido da variação do preço se η< 1 (regime inelástico). Será contrária à variação do preço se η> 1 (regime elástico). Será igual a zero se η= 1 (elasticidade unitária).
Em outras palavras, uma redução no preço do produto fará com que sua receita de venda diminua, aumente ou permaneça constante conforme a demanda dessa mercadoria seja inelástica, elástica ou tenha elasticidade unitária.
Veremos agora um artifício geométrico do qual extrairemos uma forma fácil de calcularmos a elasticidade de demanda e preço quando já se conhece o traçado da curva “demanda vs preço”. Este processo torna-se prático naquelas situações em que a relação entre a demanda e o preço é dificilmente expressa numa equação. Ou seja, naqueles casos em que usualmente a curva de demanda vs preço é conseguida por experimentação.
Consideremos a curva de demanda x preço conforme figura abaixo:
Pelo ponto “A” da curva onde desejamos calcular o valor da elasticidade de demanda x preço (η) tracemos uma reta tangente à curva, de maneira que cruze os eixos “q” no ponto “E” e o eixo “p” no ponto “C”.
Consideremos as coordenadas do ponto “A” como sendo pA = B e qA = F Usando a definição de elasticidade, para a curva de demanda x preço teremos:
p q q p
∆
= .∆ η
No ponto “A” o preço “p” é dado pelo segmento OB e a quantidade demandada “q” pelo segmento OF. A inclinação da reta tangente à curva no ponto
“A” é dada por
BC OF p
q = −
∆
∆
Logo, teremos que:
BC OB BC
OF OF
OB = −
−
= .
η q
p A
E
F
B C
0
Mas os triângulos ∆AEF e ∆CAB são, logo, vale a relação.
AC BC AE
OB = que equivale a
AC AE BC OB =
Portanto o valor de η fica assim concluído:
AC
− AE η =
C) Problemas Práticos – Desenvolvimento
Vamos trabalhar agora exemplificando situações em que podemos utilizar a teoria de elasticidade de demanda e preço aproximando do cotidiano das empresas.
Este é o grande mérito dessa teoria da qual podemos tirar conclusão para efetivo emprego.
Consideremos um empreendedor do segmento de aparelhos de barbear, que como qualquer outro empresário, busca incessantemente maximizar seus lucros. Para tal, contratou uma empresa de estatística e com o auxílio de matemáticos, conseguiram, depois de alguma tempo, equacionar a relação que melhor representa o comportamento da demanda em função dos preços.
Ora, de posse dessa relação, o empreendedor poderá, se conhecendo a teoria da elasticidade, simular variações no preço de seu produto e avaliar qual será, teoricamente, a reação da demanda. Em se tratando de empreendedor bem sucedido, pois sabe usar das ferramentas que a matemática aplicada lhe oferece, saberá conjugar tal informação com a realidade do mercado.
Vejamos, minuciosamente, os passos dessa aplicação.
Consideremos a equação que representa a variação da demanda em função do preço como sendo: q = 18 – 2p2 , onde
q = quantidade demandada em milhões de unidades p = preço por unidade demandada
O questionamento do empreendedor, a priori, é saber quanto diminuiria a demanda se ele majorasse o preço do barbeador de R$2,00 (dois reais) para R$2,06 (dois reais e seis centavos), ou seja, em 3% (três pontos percentuais).
Com a aplicação direta da equação da demanda versus preço, ele obteve:
Quando p = 2, teremos q = 10
Já quando p = 2,06, teremos q = 9,513
Logo, o decréscimo na demanda será de ∆q = 0,487 e o decréscimo relativo será ∆q/q = 0,487/10 = 0,0487. Ou seja, 4,87%
Analisando desta maneira, o empreendedor pode concluir que, majorando o preço do produto (barbeador) em 3% (três pontos percentuais) acarretará um decréscimo na demanda de 4,87% (quatro vírgula oitenta e sete pontos percentuais).
De posse da variação da demanda quando alterou-se o preço, o empreendedor, fazendo uso da equação da demanda versus preço, obtém a estimativa em primeira aproximação, da elasticidade – demanda e preço:
633 , 1
3 87 , 4
3 87 , 4
−
=
=
∆ =
∆ =
∆
∆
=
η η η
p p q
q p
p q
q
(que deve ser negativo, pois as variações de p e q são contrárias).
Ora, pelas análises preliminares, nosso empreendedor obteve uma noção do comportamento da demanda em função da variação no preço, mas é necessário algo tecnicamente mais apurado.
Assim, vejamos o comportamento da elasticidade – demanda e preço, quando utilizamos para a análise do caso particular, em que o preço do aparelho de barbear é de R$2,00, o emprego do cálculo diferencial e seus resultados:
dp p dq
p q
dp onde dq q p
4
2 18 ,
. 2
−
=
−
= η =
Logo,
( )
q p p
q
p 4 2
4 .− = − η =
Substituindo os valores de p = 2 e q = 10,
60 , 10 1 . 4 4 = −
− η =
Relacionando o valor de η encontrado pela aplicação direta da equação
q = 18 – 2p2 e aquele encontrado pela aplicação do cálculo diferencial η = qp.dpdq , identificamos uma diferença, onde no primeiro caso, a elasticidade no ponto
p = 2 era η = - 1,633 e no segundo, η = - 1,60.
Esta diferença evidenciada pelo cálculo diferencial pode parecer irrisória, mas, na prática, onde estão envolvidas milhões de unidades do produto, torna-se relevante para a maior ou menor rentabilidade do empreendimento.
Por isso, para maior clareza, comparando, no caso da aplicação direta da equação, um aumento de 3% (três pontos percentuais) no preço, acarretaria uma diminuição na demanda de 4,87% (quatro vírgula oitenta e sete pontos percentuais).
Já com a teoria diferencial, fácil perceber que a mesma variação acarretaria uma diminuição na demanda de 4,9% (quatro vírgula nove pontos percentuais). Ou seja, uma diferença de 0,03% (três centésimos percentuais), que num universo de milhões de unidades, torna-se significante.
Entusiasmado com seus cálculos, nosso empreendedor quer saber mais. Ele pretende aumentar a demanda pelo barbeador em 5% (cinco por cento) e precisa, para isso, estimar, teoricamente, a necessária redução, considerando que o preço atual do produto é R$2,00 (dois reais).
Fácil!
De posse do valor da elasticidade no ponto, p=2, que é η = - 1,60, ele pode efetuar o cálculo:
Considerando que a variação de 1% (um por cento) no preço acarreta uma alteração de 1,60 na demanda, para uma variação de 5% (cinco por cento) no preço, teremos: 5/-1,60 = -3,125 ≅ 3,13%
Então, conclui-se que reduzindo em 3,13% (três vírgula treze por cento) no preço do barbeador, em tese, sua demanda será alavancada em 5% (cinco por cento). Sem os cálculos matemáticos essa conclusão não seria óbvia.
Avançando, o empreendedor pretende pesquisar se para qualquer valor atribuído ao produto, o comportamento matemático acima relatado trará valores equivalentes.
Caso isso não ocorra, como pode ele saber?
Basta verificar os intervalos no domínio da função q(p) = 18 – 2p2 nos quais ela comporta-se de forma elástica (|η| > 1), unitária (|η| = 1) ou inelasticamente (|
η| < 1).
Para tanto, tem-se:
dp p dq
p q
dp onde dq q p
4
2 18 ,
. 2
−
=
−
= η =
Logo,
( )
( ) ( 2)2
2 18 2
4 4 2 .
18 p
p p p
p
−
= −
− − η =
Então:
Para |η| = 1
teremos 4p2 = 18− 2p2 ou seja, p=1,73
Conclui-se que para valores do preço p > 1,73 a demanda se comportará elasticamente em relação ao preço. Ou seja, um aumento relativo no preço ocasionará um decréscimo relativamente maior na demanda.
Para o valor de p=1,73 a elasticidade será unitária, ou seja, aumentos de preço provocarão diminuição na demanda na mesma proporção.
Por último, para valores de p<1,73 a demanda se comportará inelasticamente, o que quer dizer que aumentos relativos nos preços provocarão diminuição relativamente menor na demanda.
Por derradeiro, concluiu o empreendedor que a variação da demanda provocada por alteração no preço não significa aumento de receita e consequentemente lucro, pois, em sendo a receita R(p)= p.q(p), necessário avaliar sua alteração em função da variação nos preços e verificar se é válida a expressão
( ) = q
(
1− η)
.dp p dR
Então, temos:
( )p p.q( )p onde q( )p 18 2p2
R = = −
R( )p = p.q( )p onde q( )p = 18− 2p2
( ) q
dp p dq dp
p
dR = . + Mas,
dp p
dq = −4 logo,
( )
( ) 2
(
2)
22
6 18 2
18 4
4
p p
dp p p dR
q dp p
p dR
−
=
− +
−
=
+
−
=
Pela equação dRdp( )p = q
(
1− η)
, teremos:Como
q p2
= 4 η
( ) 2 2
4 4
1 q p
q q p dp
p
dR = −
−
= Mas, q(p)=18-2p2
( ) 18 2p2 18 6p2
dp p
dR = − = −
Logo, é válida a receita marginal quando se conhece a elasticidade para um dado valor da demanda.
Assim, de posse dos resultados de todas as indagações anteriormente apresentadas, o empreendedor poderá obter duas importantes conclusões:
1) Trabalhando com valores em que a demanda se comporta de forma elástica (|η|>1), ou seja, preços acima de R$ 1,73 (um real e setenta e três centavos), qualquer majoração acarretaria queda de receita. Interpretação a contrário sensu permite concluir que uma redução em qualquer preço que esteja sendo praticado acima de R$1,73 (um real e setenta e três centavos) acarretaria aumento de demanda e, consequentemente, de receita.
2) Por outro lado, trabalhando no regime inelástico (|η|<1), ou seja, preços abaixo de R$1,73 (um real e setenta e três centavos), temos que a variação da receita apresenta o mesmo sentido da variação do preço, significando dizer
que variar positivamente o preço provoca aumento de receita e, redução de preço acarreta queda de receita. Este regime traduz uma zona de conforto para o empreendedor, pois a variabilidade no preço para mais sempre acarretará aumento de receita, ficando sua atividade apenas limitada pela concorrência do mercado, sem riscos matemáticos que possam provocar queda de receita.
III - APONTAMENTOS FINAIS
Através da elaboração deste trabalho restou evidenciada a importância da inter-relação entre as disciplinas como forma de gerar a autoprodutividade científica.
Assim, o acoplamento da matemática a outros ramos normativos, como por exemplo, à economia e à administração, podem gerar benefícios mercadológicos, que impulsionam a economia.
Essa perspectiva atende ao sistema de mercado capitalista reforçada pela atual era da globalização econômica. É certo que a globalização procura transformar o globo terrestre em um imenso e único mercado, sem contemplação de fronteiras e diferenças nacionais e locais. Tende a uma padronização e uniformização de condutas, procedimentos e relevâncias relativamente aos objetivos de maximização econômica e de lucros, a partir dos interesses das nações centrais e empresas transnacionais que, efetivamente, controlam o poder econômico mundial, sem precedentes na história.
Se a globalização possui aspectos positivos, como os apresentados acima, eles são normalmente ofuscados pelos efeitos negativos que um mercado global desregulamentado ocasiona para as economias nacionais. A inserção de países em desenvolvimento na globalização sem qualquer proteção à suas empresas incipientes, já que a regra é que o mercado por si só regularia as transações e proporcionaria um equilíbrio entre os agentes macroeconômicos, tem gerado uma grave crise econômica e social em tais países.
Essas medidas econômicas descritas acima são adotadas em todo o mundo e representam um consenso no sentido de ser tal política macroeconômica neoliberal inafastável e necessária, ainda que alguns países do dito Primeiro Mundo, contraditoriamente, mantenham certos subsídios para suas empresas quando as mesmas atuam no mercado global.
Entretanto, é com vistas ao mercado que a heteroreferência matemática é buscada neste trabalho. A simplicidade da abordagem não limita as possibilidades oferecidas pela aplicação científica da matemática aos empreendimentos, considerando que é através de seu emprego que as economias ditas desenvolvidas
atingiram o ápice do controle mercadológico.
Resta lembrar que apresenta-se aqui uma pequena mostra do que a aplicação técnica da matemática pode gerar em termos de economia de mercado. Essa aplicação retorna conceitos válidos no âmbito da lógica, o que não é verdadeiro quanto à precisão empírica.
Numa abordagem matemática da teoria econômica, possível demonstrar os benefícios da aplicação do conceito de “elasticidade -demanda x preço” ao aumento da receita, ou mesmo na diminuição desta, pelo reflexo no faturamento das alterações sofridas em decorrência de variações no preço de uma mercadoria.
Assim, a análise minudenciada dos parâmetros econômicos de qualquer empreendimento aliada às ferramentas matemáticas são capazes de reduzir os riscos do investimento, tornando possível ao empreendedor uma visão antecipada dos rumos de seu negócio, e, tornando-o apto a participar do mercado de forma competitiva.
A matemática é um sistema auto-referente!!!
IV
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 2 ed. São Paulo: Ed.
Harbra Ltda, 2001.
LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à Economia e Administração. São Paulo:
Harbra Ltda, 1998.
VASCONCELLOS, Marco Antônio Sandoval ; OLIVEIRA, Roberto Guena. Manual de Microeconomia. 2ª ed. São Paulo: Ed. Atlas,
