6º
Aula
Juros Simples
Os juros simples têm algumas aplicações reais no dia a dia, principalmente para períodos menores que um. Em alguns casos, os bancos utilizam o regime de juros simples para o cálculo dos juros, tais como: juros do cheque especial dentro do mês, juros para os dias de atraso para a fatura do cartão de crédito. Para troca de cheques e duplicatas o banco também se baseia no regime de juros simples.
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio - Versão 1.3: Juro [Do lat. jure.] S. m. 1. Lucro, calculado
sobre determinada taxa, de dinheiro emprestado ou de capital empregado; rendimento, interesse. [Sin.
(bras., RJ, gír.): jurema.] 2. Fam. Recompensa (2). 3.
Ant. Jus, direito.
Juro composto: O que se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes. Juro simples: O que não se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes. Pagar com juros. Bras.: Pagar caro.
Boa aula!
Matemática Financeira I
Objetivos de
aprendizagem
1 - Juros simples
2 - Exercícios de aplicação
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• fazer aplicações adequadas no regime de juros simples;
• calcular o juro do cheque especial referente ao saldo devedor no mês;
• entender alguns conceitos e aplicações do regime de juros simples;
• diferenciar juros comercial e exato.
Seções de
estudo
1 - Juros simples
“A matemática fi nanceira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo”.
Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/
ABAAABjeQAK/juros-composto. Acesso em 22/05/2012.
Nesse regime, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial aplicado. Destacando que tais juros não são capitalizados e, portanto, não rende juros. Assim só o capital que rende juros.
• O Juro é a remuneração pelo uso do capital;
• O Juro é o castigo pelo uso do crédito.
Juro e tempo andam juntos, uma vez que o juro:
• O juro é determinado por meio de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo.
• O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa.
Exemplo: 6% ao ano.
Forma porcentual
• Na forma porcentual, a taxa de juros é aplicada a centos do capital.
Exemplo: 6% ao ano.
Forma unitária
• Na forma unitária, a taxa de juros é aplicada às unidades do capital.
Exemplo: 0,06 ao ano.
Juro simples
• A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:
→ Ao valor aplicado
→ Ao tempo de aplicação.
J = C . i . n Onde:
J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10%
a.a. Qual será o valor a ser pago como juro?
Mesma unidade que a taxa
• Resolução:
Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, temos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 . 0,10 . 1 = $ 100,00 No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 . 0,10 . 1 = $ 100,00
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2) J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou, então, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 . 0,10 . 1 + 1.000,00 . 0,10 . 1
Juro simples
• Variações da fórmula básica J = C . i . n
Com essa fórmula, podemos calcular qualquer uma das variáveis pedidas juros, capital, tempo ou taxa,
Capital
• Capital é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro, também é denominado de capital inicial ou principal.
• Juros é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por certo período de tempo.
• Taxa de Juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.
Montante
Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).
Montante é a soma do juro mais o capital aplicado.
M = C + J M = C(1 + in) Exemplo:
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de dois anos ?
• Resolução:
Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a.
Número de períodos (n) = 2 anos E sendo:
M = C(1 + in)
M = 1.000(1 + 0,10 . 2) M = 1.000(1 + 0,20) M = 1.000 . 1,20 M = $ 1.200,00
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por montante:
a) Calculando o juro devido:
J = C.i.n
J = 1.000,00 . 0,10 . 2 = $200,00 b) Somando-se o juro com o principal:
M = C + J
M = 1.000,00 + 2000,00 = $1.200,00 Taxa proporcional
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:
= =
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
• Resolução:
Temos:
i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.
n1 = 3 meses n2 = 12 meses Como:
Que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 . 3) é igual ao produto dos extremos (0,05 . 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal.
• Resolução:
Temos:
i1 = 24% a.a. = 0,24 a.a.
n1 = 12 meses i2 = ?
n = 1 mês i1
i2 n1 n2
i1 n1
i2 n2
0,05 = 3 0,20 12
Matemática Financeira I E, como:
0,24 . 1 = i2 . 12
Taxa equivalente
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
• ambas produzem o mesmo juro.
i1 = n1 tem-se 0,24 = 12 i2 n2 i2 1
No regime de juros simples, as taxas de juros Proporcionais são igualmente equivalentes.
Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes
• Resolução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 . 0,02 . 24 = $ 4.800,00
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24%
a.a. por 2 anos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 . 0,24 . 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.
Períodos não inteiros
Quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa de juros, faz-se o seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte inteira com o juro da parte fracionária.
Qual o juro e qual o montante de um capital de
$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?
• Resolução:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
5 . 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses
Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses.
a) Cálculo do juro:
1ª etapa:
J1 = 1.000,00 . 0,12 . 11 = $ 1.320,00
2ª etapa: calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
Portanto:
J2 = 1.000,00 . 0,06 . 1 = $ 60,00 Logo, o total de juros é:
J = J1 + J2
J = 1.320,00 + 60,00 J = =$ 1.380,00
Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembrando-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições,5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:
J = 1.000,00 . 0,12 . 11,5 = 1.380,00 b) Montante:
O montante é:
M = C + J
M = 1.000,00 + 1.380,00 M = $ 2.380,00
Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado raciocinando por etapas para obter o montante.
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere à taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
i2 = 24 = 0,02 a.m 12
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a.?
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial.
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item anterior.
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comercial é maior que o juro exato.
Exemplos:
1) Um banco cobrou 3.4% de juros pelo atraso de 16 dias no pagamento de uma duplicata. Qual foi a taxa diária de juros cobrada?
• Resolução:
No regime de juros simples podemos resolver por um regra de três simples:
3,4% _____16 dias x% _______1 dia Temos,
Agora
16 . x = 3,4 então x = 3,4 /16 que x = 0,2125% ao dia.
Se a taxa diária é de 0.2125%, a taxa mensal será de 6.375%.
2) Vocês possuem uma conta corrente no banco Pepe’s S.A. vamos supor que você tenha utilizado o R$ 1.300 do limite por 13 dias. Determinem o quanto terá que pagar de juros, se a taxa do banco for de 8.61% a.m.
• Resolução:
Temos:
J = C . i . n C= 1.300 n = 13 dias i = 8.61% a.m
365
J = 48,50
3,4 = 16 x 1
Jc = Cin 360
Os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor e durante o período que a conta fi ca devedora.
Diagramas de capital no tempo
• representam o fluxo de dinheiro no tempo;
• representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro.
Valor nominal
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 meses.
20.000
12 meses 0
20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
Valor atual
É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento.
20.000
12 6
0
C
meses
c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6.
→ Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros.
Valor futuro
Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento.
Exemplo: uma pessoa possui 10.000 hoje.
¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.
Matemática Financeira I
→ Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros.
C
10.000
0 6 (meses)
1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00. Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplicação, do seguinte modo:
• Resolução:
N = C (1 + in) N = 24.000,00 C = 15.000,00 i = ?
n = 12 meses Nestas condições:
24.000 = 15.000 (1+ i . 12)
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera:
Logo: 1,6 = 1 + i . 12
Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera:
1,6 − 1 = 1 − 1 + i . 12 0,6 = i . 12
Logo: i = 0,05
Observem que, como a unidade de tempo utilizada foi o “mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tempo.
Ou seja:
i = 0,05 ao mês
Ou, o que dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Nesse caso,
podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que corresponde ao próprio valor aplicado:
N = C (1 + i . n) Onde:
N = 24.000,00 C = ?
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária)
n = 12 meses Então:
24.000 = C (1 + 0,06 . 12) 24.000 = C (1 + 0,72) 24.000 = C.1,72
2) Considerem que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ?
Temos:
N = C (1 + i . n) Onde:
N = ?
C = 10.000,00 i = 0,05 n = 3 meses Logo:
N = 10.000 (1 + 0,05 . 3) N = 10.000 (1,15) N = 11.500,00
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses
Passemos, então, para os exercícios resolvidos!
2 - Exercícios resolvidos
1) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00.
O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?
• Resolução:
Em primeiro lugar, devemos calcular o valor
do capital (R$ 27.000,00):
Observem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.
Nestas condições, devemos converter uma das unidades.
Montando uma regra de três simples diretas, temos:
Resolvendo:
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Logo:
n = 15 anos
Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos.
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio:
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:
27.000,00 . 0,288 = 7.776,00
Dessa forma, basta-nos dividir o valor de R$
11.664,00, referente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:
(Disponível em www.matematicadidatica.com.br, acessado em 14 de maio de 2012, às 18 horas)
2) Aninha retirou de uma aplicação o total R$
74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?
n = j C.i
n = 11.664,00 27.000,00 . 0,288
11.664,00 = 1,5 7.776,00
subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):
Perceba que, nesse caso, a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.
Sendo assim, devemos converter uma das unidades.
Montando uma regra de três simples direta, temos:
Resolvendo:
Identificando-se os termos disponíveis, temos:
C = R$ 52.000,00 j = R$ 22.932,00
n = 3,5 semestre = 10,5 bimestres
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Logo:
Portanto:
4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu. Alternativamente, poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:
Dividindo-se, então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5 bimestres, obteríamos a taxa desejada:
(Disponível em www.somatematica.com.br.
i = j C.n
22.932,00 = 0,441 52.000,00
0,441 = 0,042 10,5
i = 0,042 = 4,2 = 4,2 % a.b 100
i = 22.932,00 = 0,042 52.000,00 . 10,5
Matemática Financeira I
3) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá- lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m.
Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?
• Resolução:
Primeiramente, iremos calcular o valor do capital.
A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:
Veja que, nesse caso, a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:
Resolvendo:
Identificando-se os termos disponíveis, temos:
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Logo:
n = 2 anos Portanto:
O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, pelo seguinte raciocínio:
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, iremos obter o juro referente a cada período:
2.500,00 . 0,36 = 900,00
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo, assim, o período de tempo procurado:
n = j C.i
n = 1.800,00 2.500,00 . 0,36
1.800,00 = 2 900,00
(Disponível em www.somatematica.com.br.
Acessado em 14 de abril de 2012, às 19 horas)
4) O valor principal de uma aplicação é de R$
2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?
• Resolução:
Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00):
Esteja atento que, neste caso, a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.
Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades.
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:
C = R$ 2.000,00 j = R$ 450,00 n = 1 mës = 30 dias
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:
Substituindo o valor dos termos temos:
Logo:
Portanto:
A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d.
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encontrar a taxa de juros total do período:
Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada:
i = j C.n
i = 450,00 = 0,0075 2.000,00 . 30
i = 0,0075 = 0,75 = 0,75% a.d 100
450,00 = 0,225 = 2,25% ao mês 2.000,00
Disponível em www.somatematica.com.br.
Acessado em 14 de abril de 2012, às 19 horas)
Retomando a
aula
Chegamos, assim, ao fi nal da sexta aula.
Espera-se que agora tenha fi cado mais claro o entendimento de vocês sobre o conceito juros e descontos simples e equivalência de capitais. Vamos, então, recordar:
1 - Juros simples
Nesse regime, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial aplicado. Os juros não são capitalizados e, portanto, não rende juros. Assim, só o capital que rende juros. Sempre se aplica a períodos de capitalizações inferiores a um, como, por exemplo, a taxa de juros do cheque especial cobrada dentro do mês.
2 - Exercícios resolvidos
Resoluções de alguns exercícios importantes relacionados com a prática do dia a dia.
OBS: Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.
Matemática Financeira com HP 12C e Excel. Uma Abordagem descomplicada. Cristiano Marchi Gimenes . PERSON- prentice hall.
www.matematicadidatica.com.br Vale a
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