Regularidade para equações quase lineares em conjuntos singulares degenerados

(1)

a

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´A CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

NARC´ELIO SILVA DE OLIVEIRA FILHO

REGULARIDADE PARA EQUAC¸ ˜OES QUASE LINEARES EM CONJUNTOS SINGULARES DEGENERADOS

(2)

NARC´ELIO SILVA DE OLIVEIRA FILHO

REGULARIDADE PARA EQUAC¸ ˜OES QUASE LINEARES EM CONJUNTOS SINGULARES DEGENERADOS

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da Uni-versidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática. Area de concentra¸cão:´ Análise.

Orientador: Prof. Dr. Gleydson Chaves Ricarte

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matemática

O47r Oliveira Filho, Narcélio Silva de

Regularidade para equações quase lineares em conjuntos singulares degenerados / Narcélio Silva de Oliveira Filho. – 2015.

34 f. : enc. ; 31 cm

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2015.

Área de Concentração: Análise.

Orientação: Prof. Dr. Gleydson Chaves Ricarte.

1. Regularidade. 2. Estimativa universal. 3. Soluções de equações quase lineares. I. Título.

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1

`

A minha fam´ılia.

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AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Narcélio Silva de Oliveira e Ivanilde Lima de Oliveira por todo apoio e dedica¸cão ao logo de minha vida acadêmica.

Ao meu orientador do projeto de inicia¸c˜ao cient´ıfica e monografia Francisco R´egis Vieira Alves.

Ao professor Dr. Gleydson Chaves Ricarte pala orienta¸c˜ao.

Agrade¸co aos professores Dr. José Fábio Beserra Montenegro e Dr. Damião Junio Gonsalves Araújo por terem aceitado participar da minha banca.

Agrade¸co aos professores Gleydson Ricarte, Luquésio, Fábio Montenegro, João Lucas, Alexandre, Alberto Maia e José Othon que contribu´ıram para o meu desenvolvi-mento em Matemática de qualidade.

Aos meus colegas de Pós Gradua¸cão: Elaine, Diego Sousa, Diego Eloi, Wan-derley, Edson Gama, Edson Sampaio, Elano Caio, Daminana, João Luiz, Rui Brasileiro, Raimundo, Henrique, Marlon, Léo Ivo, Gilson, José Eduardo, Renan Santos, Roger, Ra-fael Alves, Rodrigo, RaRa-fael Eufrásio, Janniely, Renivaldo e Fabiana.

Agrade¸co também a quem não citei diretamente. Pe¸co desculpas, afinal a quan-tidade de pessoas quem devo agradecer é enorme assim como não sou nenhum computador fatalmente eu esquecerei de escrever alguns nomes, logo minhas sinceras desculpas.

`

A Andrea e à Jessyca pela aten¸cão, competência e agilidade. `

(7)

RESUMO

Neste trabalho estudaremos uma nova estimativa universal para a continuidade do gra-diente de solu¸cões para equa¸cões quase lineares com coeficientes variáveis em conjuntos singulares degenerados que serão denotados por

S(u) :=_{X :_∇u(X) = 0_}.

O resultado principal deste trabalho revela que ao longo de S(u), u é assintoticamente tão regular quanto as solu¸cões das equa¸cões com coeficientes constantes. Em particu-lar, ao longo do conjunto S(u), _∇u tem um módulo de continuidade superior a baixa caracter´ıstica de continuidade de seus coeficientes. Os resultados são novos e mesmo no contexto de equa¸cões diferenciais lineares onde se mostra que as solu¸cões H1-fracas da equa¸cãodiv(a(X,_∇u)) = 0 com osaij el´ıpicos e Dini-Cont´ınuos são realmenteC1,1

−

longo deS(u). Os resultados e as perspectivas deste trabalho promovem um novo entendimento sobre as propriedades de suavidade de solu¸cões para equa¸cões singulares, ou degeneradas, além de estimativas t´ıpicas sobre regularidade el´ıpticas, precisamente onde temos os atri-butos de difusão do equa¸cão do colapso.

(8)

ABSTRACT

We will study a new universal gradient continuity estimate for solutions to quasi-linear equations with varying coefficients at singular set of degeneracy:

S(u) :=_{X :_∇u(X) = 0_}.

Ourmain Theorem reveals that along S(u), u is asymptotically as regular as solutions to constant coefficient equations. In particular, along the critical set S(u) _∇u enjoys a modulus of continuity much superior than the, possibly low, continuity feature of the coefficients. The results are new even in the context of linear elliptic equations, where it is herein shown that H1_{-weak solutions to} _div₍_a₍_X,_∇_u_{)) = 0, with} _a

ij elliptic and

Dini-continuous are actuallyC1,1− alongS(u) The results and insights of this work foster a new understanding on smoothness properties of solutions to degenerate or singular equations, beyond typical elliptic regularity estimates, precisely where the diffusion attributes of the equation collapse.

(9)

SUM ´ARIO

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 PRELIMINARES . . . 11

2.1 Espa¸cos H¨older . . . 11

2.2 Condi¸c˜oes Extruturais . . . 13

2.3 Resultado Principal . . . 14

3 COMPACIDADE UNIVERSAL . . . 17

3.1 Aproxima¸cão por Fun¸cões Harmônicas . . . 17

3.2 Lema de Compacidade . . . 19

3.3 Aproxima¸c˜ao singular . . . 21

4 MELHORIA DA SUAVIDADE UNIVERSAL . . . 24

4.1 Melhoria da Suavidade Universal . . . 24

4.2 A Natureza do ”Scaling”da Equa¸c˜ao (1) . . . 25

4.3 Redu¸c˜ao ao Regime de Pequenez . . . 27

5 O RESULTADO PRINCIPAL . . . 29

5.1 A Demonstra¸c˜ao do Resultado Principal . . . 29

6 CONCLUS ˜AO . . . 32

(10)

9

1 INTRODUC¸ ˜AO

Neste trabalho vamos investigar o comportamento da continuidade local do gradiente de solu¸cões ao longo do conjunto de zeros, para equa¸cões el´ıpticas singulares ou degeneradas com coeficientes variáveis:

−div(a(X,_∇u)) =µ (1)

em um dom´ınio Ω _⊂ Rn_{, com} _n _≥ _{2, onde} _µ_{é uma fun¸cão de medida finita} ou de massa total _|µ_| < +_∞. O modelo para a classe de equa¸cões que tratamos neste trabalho é a equa¸cão não-homogênea p-laplaciano com coeficientes variáveis

−div ζ(X)_|∇u_|p−2Du=µ (2)

ondeζ é limitada ao longo de 0 até +_∞ e satisfaz as hipóteses de continuidade, para ser espec´ıfico, as hipóteses de continuidade em (9). A equa¸cão (2), ou mais geralmente, a equa¸cão (1) aparece em vários contextos, pois representam a lei quase-linear anisotrópica para difusão. A existência e as propriedades da fina regularidade de solu¸cões para equa¸cão (2) têm sido objeto de estudo em massa através do último meio século. Sua análise matemática é um pouco mais complexo do que para o caso linear (p= 2), principalmente devido ao seu comportamento singular ou degenerado ao longo do conjunto do gradiente de zeros, ou seja, os pontos cr´ıticos ( pontos singulares) deu:

S(u) = _{X _∈Ω;_∇u(X) = 0_} (3)

No caso em que 0< p <2 os coeficientes da equa¸c˜ao (2) podem explodir no pontoX0 ∈S

ou degenerar no caso em que p > 2. Tais caracter´ısticas podem impulsionar efeitos de suaviza¸cão menos eficientes da difusão do operador e da teoria regularidade de solu¸cões fracas a equa¸cão (2), tornando-se assim um problema de matemática um pouco desafiador. O primeiro grande resultado na área é devido ao Uraltseva, que provou em [17], para o caso degenerado ondep_≥2 que as solu¸cões homogêneas das equa¸cões p - harmônicas:

−∆pu:=₋div _|∇u_|p−2_∇u= 0, (4)

s˜ao localmente de classe C1,αp _{para algum expoente 0} _{< αp} _<_{1. Uhlenbeck, fez em [16]}

outras extensões. Uma estimativa similar foi estabelecida para o caso 1< p < 2 em [1] e [8]. Além disso, é bastante interessante observar que as solu¸cões fora do conjunto singular, as fun¸cõesp-harmônicas são de fato fun¸cões reais anal´ıticas suaves. Tal conclusão decorre da teoria regularidade el´ıptica padrão. Contudo, o resultadoC1,αp

loc que obtemos para esse

tipo de situa¸cão é ideal, pois em geral, fun¸cões p-harmônicas não são de classe C2_{, nem}

(11)

10

é ainda mais interessante, quando consideramos a continuidade dos coeficientes de ζ(X) em (2). A teoria correspondente parap= 2 em (2) remonta a teoria clássica de Schauder (estimativas a priori) que afirma que as solu¸cões da equa¸cão:

−div(aij(X)∇u) = 0, λId≤aij ≤ΛId, aij ∈C0,α, (5)

são localmente de classe C1,α_{. Este é um resultado, ótimo. Claro que se} _a

ij ∈ C0,α a

literatura para teoria da regularidade para equa¸cões da forma (5) nos dá que as solu¸cões não são mais suaves queC1,α. Além disso, podemos ver em [9] que a continuidade de aij

não é suficiente para assegurar a limita¸cão do gradiente de solu¸cões. A teoria geral da regularidade para equa¸cões com coeficientes variáveis em (1) tornou-se acess´ıvel apenas muito recentemente, através de uma teoria do potencial não-linear bastante sofisticada veja [4,7,12,14]. Os resultados dos trabalhos mais recentes é uma teoria completa para equa¸cões quase lineares como em (1). Em termos de propriedades do potencial não linear deµem (1) (chamado potencial não linear de Wolff) onde há a continuidade dos coefici-entesX _→a(X,_·). Além disso, se o campo vetorial a tem os coeficientes C0,ε_,para_p_≥₂

ent˜ao,

−div(a(X, Du)) = 0 implica que h_∈C_loc1,β_∀β < 2ε

2 , (6)

No cap´ıtulo 3 esporemos um método de compacidade que garante a apro-xima¸cão na norma L2 entre o espa¸co das fun¸cões harmônicas e o conjunto das solu¸cões da equa¸cão de Poisson

∆u=f (7)

com a norma_kf_k_L2 pequena. Al´em disso, comentaremos sobre a regularidade

C1,α _{para as solu¸c˜oes fracas de}

Div(aij(X)∇u) =f(X) em B1 (8)

sob a hipótese de algumas condi¸cões que serão expostas na se¸cão 2 do cap´ıtulo 3. Ainda no cap´ıtulo 3, exporemos um lema de compacidade universal que terá um papel fundamental na demonstra¸cão do resultado principal. Já no cap´ıtulo 4 exporemos um resultado que fornece uma aproxima¸cão C1,αM _{para fun¸cões suaves perto de uma solu¸cão da equa¸cão}

(12)

2 PRELIMINARES 2.1 Espa¸cos H¨older

Nesta se¸cão do cap´ıtulo, faremos uma breve descri¸cão sobre os espa¸cos de Hölder. Come¸cemos descrevendo a continuidade de Hölder que é basicamente uma medida quantitativa de continuidade e, é bastante apropriada para o estudo de equa¸cões diferenci-ais parcidiferenci-ais. Na verdade, esse estudo sugere uma amplia¸cão dos espa¸cosCk, α_(Ω)_⊂_Ck_(Ω),

onde

Ck(Ω) =_{u: Ω_→R_:_Dγ_u _{´e cont´ınua em Ω para todo} _|_γ_{| ≤}_k_}_.

Como Ω é aberto, fun¸cões em Ck_{(Ω) (e suas derivadas) não precisam ser limitadas em}

Ω, por isso não podemos adotar a norma do sup para transformar Ck(Ω) em um espa¸co normado. Mas sabendo que fun¸cões limitadas e uniformente cont´ınuas em Ω possuem uma única extensão cont´ınua para ¯Ω podemos considerar o espa¸co

Ck( ¯Ω) =_{u_∈Ck(Ω) :Dγu ´e uniformemente cont´ınua em Ω para todo _|γ_{| ≤}k_}

com a norma _ku_k_Ck_{( ¯}_Ω)= max

|α|≤kkD α_u

kL∞_(Ω).

Defini¸cão 2.1 Os espa¸cos de Hölder Ck,α_(Ω) _s˜_{ao subespa¸cos de} _Ck_(Ω) _{consistindo de} fun¸cões cujas derivadas parciais até a ordem k são todas α-H¨older cont´ınuas em Ω, ou seja,

Ck,α(Ω) =_{u_∈Ck(Ω) : Dγu_∈Cαpara todo_|γ_{| ≤}k_}.

Definimos tamb´em

Ck,α( ¯Ω) =_{u_∈Ck( ¯Ω) : Dγu_∈Cα(Ω) para todo_|γ_{| ≤}k_}

e consideramos a norma

ku_k_Ck,α_{( ¯}_Ω)=kuk_Ck_{( ¯}_Ω)+ max

|γ|≤k[D γ_u_]

Cα_(Ω),

onde

[Dγu]_Cα_(Ω) = sup X,Y∈Ω

X6=Y

|Dγu(X)₋Dγu(Y)_| |X₋Y_|α .

Observa¸cão 2.1 Os espa¸cos de Hölder Ck,α(Ω) são subespa¸cos de Ck(Ω) consistindo de fun¸cões cujas derivadas parciais até a ordem k são todas α-H¨older cont´ınuas em Ω, ou seja,

(13)

12

O seguinte teorema ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do Lema de compacidade no cap´ıtulo 4.

Teorema 2.1 (Arzelá-Ascoli) Seja _{fn:K →R}_n_∈N uma sequência de fun¸cões defi-nida em um compactoK _⊂Rn. Assuma que exista uma constante M tal que_|fn(x)| ≤M para todon_∈Ne para todox_∈K _{. Al´}_{em disso, assuma que a sequˆ}_encia_{_f_n _:K _→R_}

n∈N ´e equicont´ınua em todo ponto deK _{. Ent˜}_{ao existe uma subsequˆ}_{encia que converge}

unifor-memente em K _.

Proposi¸c˜ao 2.1 Se u: Br _→R _´_e _C1,α _{na origem, ent˜}_{ao existe um polinˆ}_omio _ℓ _{de grau} 1 tal que

|u(X)₋ℓ(X)_{| ≤}C_|X_|1+α, para alguma constanteC > 0.

Demonstra¸cão: Sendo u de classe C1,α na origem temos, por defini¸cão, que existem as fun¸cões _∂x∂u₁, ...,_∂x∂u_n :Br _→R_e _u_,∂u

∂xi s˜ao C

α _{na origem, ou seja,}

|u(X)₋u(0)_{| ≤}C_|X_|α e

∂u

∂xi(X)− ∂u ∂xi(0)

≤C|X|α para todo X ∈Br.

Por outro lado, a f´ormula de Taylor com resto de Lagrange nos permite escrever

u(X) =u(0) +_∇u(θX)_·X, para todo X _∈Br,

e para algum θ _∈(0,1). Agora, definindoℓ(X) :=u(0) +_∇u(0)_·X temos que

|u(X)₋ℓ(X)_| = _|(_∇u(θX)_{− ∇}u(0))_·X_|

≤ k∇u(θX)_{− ∇}u(0)_{k · k}X_k

= max

1≤i≤n

∂u ∂xi

(θX)₋ ∂u

∂xi (0)

kX_k

≤ C_kθX_kα_kX_k

≤ C_kX_k1+α,

onde estamos considerando a norma do máximo. Lembre-se que em um espa¸co de di-mensão finita, qualquer duas normas são equivalentes.

Proposi¸c˜ao 2.2 Se u : Br _→R _´_{e de classe} _C2,α _{na origem, ent˜}_{ao existe um polinˆ}_omio

℘ de grau 2 tal que

|u(X)₋℘(X)_{| ≤}C_|X_|2+α, para todo X _∈Br.

Proposi¸cão 2.3 Temos por defini¸cão queDγueĆα na origem para todo _|γ_{| ≤}2. Assim, temos que

∂2u

∂xi∂xj(X)− ∂2u ∂xi∂xj(0)

(14)

13

Usando a f´ormula de Taylor com resto de Lagrange temos

u(X) = u(0) +_∇u(0)_·X+1 2X

t_D2_u₍_θX₎_X, _{para todo} _X

∈Br,

e para algum θ _∈ (0,1). Ent˜ao, definindo ℘(X) := u(0) + _∇u(0)_· X + 1₂Xt_D2_u₍₀₎_X

obtemos

|u(X)₋℘(X)_| =

1 2X

t₍_D2₍_θX₎

−D2u(0))X

≤ 1₂kX_k2_kD2u(θX)₋D2u(0)_k

= 1 2kXk

2 _max

1≤i,j≤n

∂2u ∂xi∂xj

(θX)₋ ∂

2_u

∂xi∂xj

(0)

≤ 1₂kX_k2_·C_kθX_kα

≤ C0kXk2+α.

2.2 Condi¸c˜oes Extruturais

Iniciamos esta se¸cão comentando as condi¸coes extruturais que serão usadas ao longo deste trabalho como uma premissa padrão a respeito da equa¸cão (1). Além disso, também vamos expor alguns resultados pertinentes a este trabalho satisfazendo tais condi¸cões estuturais sem a peocupa¸cão de demonstra-los. Desse modo, consideremos

a: Ω_×Rn _→R_{tal que:}

|a(X, ξ)_|+_|∂ξa(X, ξ).ξ| ≤Λ.|ξ|p−1; λ._|ξ1|p−2.|ξ2|2 ≤ h∂ξa(X, ξ1).ξ2, ξ2i;

|a(X, ξ)₋a(Y, ξ)_{| ≤}Λeω(_|X₋Y_|)._|ξ_|p−1.

(9)

Ondep, λ,Λ,Λ s˜ao constantes positivas tais que 2e ₋1

n < p, 0< λ≤Λ <+∞

e Λe _≥ 1. Além disso, vamos incluir um parâmetro s _≥ 0 com o objetivo de distinguir equa¸coes singulares/degeneradas de equa¸cões não singulares/não degeneradas. Em nossa motiva¸cão principal optamos por trabalhar no caso singular/degenerado, caso em que

s = 0 Inicialmente, lembremos que para equa¸c˜oes com coeficientes contantes, i.e, ω _≡0, podemos simplesmente escever:

−div(a(_∇h)) = 0 (10)

Além disso, já sabemos da literatura que uma fun¸cão a-harmônica é localmente uma fun¸cão de classeC1,αM _{para algum} _αM _∈ ₍₀_,_{1) dependendo somente de} _{n, p, λ} _{e Λ (veja}

[1]). O valor de αM ´e determinado pelo modelo de equa¸c˜ao,−∆pu = 0 em um espa¸co

(15)

14

do gradiente de uma fun¸cão a-harmônica, i.e, solu¸cão de (1). Verificaremos ao longo deste trabalho queαM terá um papel importante na teoria da regularidade para equa¸cões satisfazendo (1) e as condi¸coes extruturais em (9). Além disso, da teoria de regularidade temos que nenhuma solu¸cão não homogênea de equa¸cões com coeficientes variáveis tem melhor regularidade do que as fun¸cõesa-harmônicas com exponte maximalαM. Ademais,

para toda estimativa α da teoria de regularidade C1,α tem-se que α < αM.

E ainda, para equa¸cões com coeficientes variáveis, a fun¸cão ω representa um determinado módulo de continuidade para os coeficientes do operadora. Daqui em diante assumiremos também as seguintes condi¸cões:

Z R

0

ω2pdτ

τ <∞no caso em que p≥2; (11)

e ainda,

Z R

0

ω1−σdτ

τ <∞para algumσ > 0, no caso em que 2−

1

n ≤2. (12)

Observe que as condi¸coes (11) e (12) s˜ao imediatamente satisfeitas em equa¸c˜oes com coeficientesC0,ǫ, i.e, paraω(t) =tǫ. Ou seja, p_≥2 ou 2₋ 1

n ≤2 s˜ao essenciais para

a regularidade Cα de equa¸cões com coeficientes variáveis, veja a proposi¸cão (2.4) abaixo. Além disso, é bem estabelecido que nenhum controle do gradiente pode ser obtido para as solu¸cões das equa¸cões não-homogêneos, a menos que seja aplicada uma condi¸cão m´ınima integrabilidade emµ. Para ser mais preciso, ao longo deste trabalho vamos supor que

µ(X)_∈Lq(Ω), q > n. (13)

Proposi¸cão 2.4 Seja u _∈ W1,p(Ω) uma solu¸cão fraca da equa¸cão (1) satisfazendo as condi¸cões (9), (11) e (12). Suponhamos ainda que µ satisfaz (13). Então, u _∈ C_loc1 (Ω). Além disso, para todo subdom´ınio Ω′ _⊂_Ω _{existe um m´}_{odulo de continuidade universal} _τ,

dependendo somente de Ω′_, _Ω_, _k_u_k

Lq, λ, Λ,Λe, ω e kµk_Lq, tal que

|∇u(X)_{− ∇}u(Y)_{| ≤}τ(X₋Y) _∀ X, Y _∈Ω′ (14)

2.3 Resultado Principal

(16)

15

Proposi¸cão 2.5 Seja u_∈W1,p(Ω) uma solu¸cão fraca da equa¸cão

−div(a(X,_∇u)) = 0,

onde u satisfaz as condi¸c˜oes estruturais (9), (11), (12). Se X0 ´e um ponto do conjunto

singular de u:

S(u) =_{Y _∈Ω;_∇u(Y) = 0_}

Ent˜ao, u _∈ C1,αM _{mais precisamente, dado} _α _∈₍₀_{, αM}₎ _{existe uma constante}

C >0 dependendo somente de _ku_k_Lp, dist(X0, ∂Ω), λ, n, p, Λ, Λe, ω e α tal que

sup

Y∈Br(X0)

|u(X)₋u(X0)| ≤Cr1+α.

A proposi¸cão (2.5) revela um ganho surpreendente da suavidade de u e da continuidade dos coeficientes, mais precisamente ao longo do conjunto singular da equa¸cão acima que é a região mais delicada a ser analisada. Além disso, o mesmo resultado de regularidade é garantida para solu¸cões da equa¸cão

−div(a(X,_∇u)) =f(X)_∈L∞(Ω),

ou, mais geralmente, para equa¸cões com BMO. Ademais, quando projetamos essa pro-posi¸cão para equa¸cões lineares não degeneradas em que p = 2, a propro-posi¸cão nos fornece uma estimativa notável:

Proposi¸cão 2.6 Se u_∈H1(Ω) é uma solu¸cão fraca da equa¸cão

−div(aij(X)_∇u) = 0,

onde os coeficientes aij s˜ao matrizes Dini-cont´ınuas e positivos definidos. Ent˜ao, em

qualquer ponto de S(u), u ´e de classe C1,α para _∀α_∈(0,1).

Note que a proposi¸cão (2.6) é na verdade um corolário da proposi¸cão (2.5), pois fun¸cões harmônicas ∆h= 0 são de classeC1,1. Estes resultados seguem como consequência de um resultado mais geral, não homogêneo que será estudado neste trabalho:

Proposi¸cão 2.7 Seja u _∈ W1,p(Ω) uma solu¸cão da equa¸cão (1) onde u satisfaz as condi¸cões estruturais (9), (11), (12) e µ satisfaz (13). Além disso, seja X0 um ponto

arbitr´ario no conjuntoS(u) Ent˜ao,

u_∈C1,min{α−M, q−n

(p−1)q}_.

(17)

16

de _ku_k_Lp, dist(X0, ∂Ω), λ, n, p, Λ,Λe, ω e α tal que

sup

Y∈Br(X0)

|u(X)₋u(X0| ≤Cr1+α.

(18)

3 COMPACIDADE UNIVERSAL

Neste cap´ıtulo, o nosso objetivo será expor um resultado necessário para pro-varmos o resultado principal. Além disso, o refinado resultado que exporemos ao final deste cap´ıtulo será beseado em um lema de compacidade que exporemos ao longo deste cap´ıtulo.

3.1 Aproxima¸cão por Fun¸cões Harmônicas

Nesta se¸cão do cap´ıtulo, vamos estabelecer um resultado que garante a apro-xima¸cão na norma L2 _{entre o espa¸co das fun¸cões harmônicas e o conjunto das solu¸cões}

da equa¸c˜ao de Poisson.

Lema 3.1 Suponha que u satisfaz

∆u=f em B1.

Ent˜ao, para qualquer fun¸c˜ao ψ suave com suporte compacto em B1, temos que:

Z

B1

ψ2_|∇u_|2dX _≤ Z

B1

ψ2f2+

Z

B1

(4_|∇u_|2+ψ)u2dX

Prova: Primeiro, vamos multiplicar a equa¸c˜ao ∆u=f por ψ2u. Assim, temos que

∆u_·ψ2_·u=f_·ψ2_·u em B1,

e integrando em B1 a express˜ao acima, obtemos o seguinte resultado:

Z

B1

∇u_∇(ψ2u)dX =₋

Z

B1

ψ2u_∇udX+

Z

∂B1

∂ψ2u

∂ν udS, (15)

onde ν é o vetor normal. Além disso, como ψ tem suporte compaco em B1, da última

express˜ao obtemos:

Z

B1

∇u_∇(ψ2u)dX =₋

Z

B1

ψ2u_∇udX =₋

Z

B1

ψ2uf dX. (16)

Por outro lado,

Z

B1

∇u_∇(ψ2u)dX =

Z

B1

∇u(2ψ_∇ψu+ψ2_∇u)dX =

Z

B1

2ψ_∇u_∇ψ_·udX+

Z

B1

ψ2(_∇u)2dX

(19)

18

Z

B1

ψ2(_∇u)2dX =₋

Z

B1

ψ2uf dX ₋ Z

B1

2ψ_{· ∇}u_∇ψ_·udX. (18)

Em vista da desigualdade cl´assica

2ab_≤a2+b2 com a, b_≥0, (19)

e de (18) podemos concluir a seguinte desigualdade:

Z

B1

ψ2_|∇u_|2dX _≤ Z

B1 1 2(f

2₊_u2₎_ψ2_dX₊

Z

B1

2_|ψ_{| |∇}u_{| · |}u_{| |∇}ψ_|dX (20)

Al´em disso, aplicando novamente (19) obtemos a seguinte estimativa:

2_|ψ_{| |∇}u_{| · |}u_{| |∇}ψ_|= 2_√1

2|ψ| |∇u| · √

2_|u_{| |∇}ψ_{| ≤} 1

2|ψ|

2

|∇u_|2+ 2_|u_|2_|∇ψ_|2. (21)

Agora, combinando (20) e (21), conclu´ımos a prova do lema. Proposi¸c˜ao 3.1 Para cada ε >0 dado, existe δ > 0 tal que para qualquer solu¸c˜ao fraca de ∆u=f em B1 com

Z

B1

u2dX _≤1 e Z

B1

f2dX _≤δ2

existe uma fun¸c˜ao harmˆonica h em B1/2 tal que

Z

B1/2

|u₋h_|2 _≤ε

Prova : Suponhamos com o prop´osito de contradi¸c˜ao que exista um ε0 > 0,

unefn satisfazendo,

∆un=fn, Z

B1

u2_ndX _≤1, e

Z

B1

f_n2dX _≤ 1

n, (22)

tais que para qualquer fun¸c˜ao harmˆonica h em B1/2 temos

Z

B1/2

|un₋h_|2dX _≥ε0. (23)

Pelo lema (3.1), un ´e uma sequˆencia limitada H1(B1/2); assim, passando a uma

sub-sequˆencia se necess´ario, podemos assumir que un ⇀ u0 em H1(B1/2) e un → u0 em

L2₍_B

(20)

19

suporte compacto em B1/2, em vista de (22), temos que:

Z

B1∇

ϕ(X)_·u0(X)dX = lim

n→∞

Z

B1/2

∇ϕ_{· ∇}undX =₋ lim

n→∞

Z

B1/2

ϕ_·fndX = 0.

Mas assim, paran suficiente grande, (23) estaria violada para h=u0.

3.2 Lema de Compacidade

Nesta se¸c˜ao, vamos estabelecer alguns resultados da teoria de regularidade

C1,α _{para solu¸c˜oes fracas de problemas na forma divegente.}

div(aij(X)∇u) = f(X) em B1, (24)

sob as condi¸c˜oes de elipticidade eα-H¨older continuidade deaij(X) ef(X). Mais precisa-mente, vamos assumir:

• Elipticidade: Existem constantes 0 < λ_≤Λ<+_∞ tais que:

λ_|ξ_|2 _{≤ h}aij(X)ξ, ξ_{i ≤}Λ_|ξ_|2, _∀ X _∈B1, ∀ ξ∈Rn.

• Lipschitz continuidade dos coeficientes: Os coeficientes aij(X), isto ´e:

[aij]_Lip₍_B₁₎ := sup Br(X)⊂B1

1

r Z

Br(X)|

aij −aij(X)|2dX 1/2

<+_∞.

• Limita¸c˜ao de f: A fun¸c˜aof(X) pertence ao L∞₍_B

1).

Motivado por considera¸c˜oes did´aticas, optamos por desenvolver a teoria da re-gularidadeC1,α_{para operadores que apresentam apenas os coeficientes lideres, i.e, iremos}

considerar apenas equa¸cões da forma (24) A teoria da regularidade para operadores mais gerais, não homogêneos

Lu:=div(aij(X)∇u+b(X)∇u+c(X)u=f0(X) +div(f1(X))

é estabelecida de forma bastante similar. Ainda motivado por considera¸cões didáticas, estabeleceremos um lema de compacidade:

Lema 3.2 Fixados 0 < λ _≤ Λ e dado δ > 0, existe um ε > 0 tal que para qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (24) com:

Z

B1

(21)

20

existe uma fun¸c˜ao harmˆonica h em B1/2 tal que:

ku₋h_k_L2₍_B

1/2) ≤δ

Prova: Suponhamos com o propósito de contradi¸cão, que a tese do lema seja falsa. Portanto, existiria um δ0 > 0, e sequências fk,euk ∈ L2(B1) e akij ∈ Sn com a

seguinte propriedade:

div(ak_ij(X)_∇uk) = fk(X) em B1. (25)

Ademais, as seguintes desigualdades seriam verificadas:

Z

B1

u2_k_≤1, _kfk_k_L2 +

ak_ij(X)₋Id_L2₍_B₁₎ →≤ε0 e λId≤a

k

ij(X)≤ΛId; (26)

mas,

kuk₋h_{k ≥}δ0 ∀h harmˆonica em B1/2 e todo k ≥1. (27)

Seguindo a demonstra¸c˜ao do lema (3.1) podemos concluir que dado ψ _∈ C∞

0 (B1), existe

uma constante C dependendo apenas da dimens˜ao e de ψ, λ e Λ tais que se:

div(aij(X)_∇ξ) = f, (28)

no sentido das distribui¸c˜oes, ent˜ao,

Z

B1

ψ(X)2_|∇ξ(X)_|2dX _≤C Z

B1

ψ2f2(X)dX+

Z

B1

ξ(X)2dX

.

Assim como na prova da proposi¸cão (3.1), temos que a sequência uk é limitada em H1(B1/2); portanto, passando a uma subsequência se necessário, podemos assumir que

uk⇀ u em L2(B1/2). Em virtude de (25), para qualquerϕ ∈C0∞(B1/2) temos que:

−

Z

B1

∇u(X)_{· ∇}ϕ(X)dX =₋

Z

B1

ak_ij(X)_{· ∇}uk(X),_∇ϕ(X)dX+o(1) =

Z

B1

fk(X)ϕ(X)dX+o(1) =o(1)

O cálculo acima, verifica que a fun¸cão u é harmônica em B1/2. E como uk → u em

(22)

21

3.3 Aproxima¸c˜ao singular

Nesta se¸cão, o nosso objetivo será expor um resultado necessário para provar-mos o resultado principal. Além disso, o refinado resultado que exporeprovar-mos a seguir será baseado no lema de compacidade em (3.2).

Lema 3.3 Seja u _∈ W1,p(B1) uma solu¸c˜ao fraca de (1) satisfazendo as condi¸c˜oes (9) e

(11) onde Z

B1

|u_|pdX _≤ 1. Ent˜ao, dado δ > 0, existe uma constante ε > 0 dependendo apenas de δ, η, p, λ,Λ,Λe e ω tal que se:

|∇u(0)_{| ≤}ε (29)

ku_k_q _≤ε (30)

|a(x, ξ)₋a(0, ξ)_{| ≤}ε (31)

Ent˜ao, existe uma fun¸c˜ao h_∈W1,p₍_B

1/2) satisfazendo:

−div(a(_∇h) = 0 em B1/2. (32)

E ainda,

∇h(0) = 0em B1/2. (33)

para algum campo de vetores a satisfazendo (9) tal que Z

B1/2

|u₋h_|pdX _≤δp (34)

Prova : Suponhamos com o propósito de contradi¸cão que a tese do lema não seja ver-dadeira. Desse modo, existiria um δ0 > 0 e sequências uk ∈ W1,p(B1) e ak tal que ∀

k_≥1, _Z

B1

|uk(X)_|pdX _≤1 e ainda, (35)

−div(X,_∇uk) = uk em B1, (36)

com ak satisfazendo (9) e (10) e ainda,

|∇uk(0)|=o(1) (37)

kukkLq =o(1), (38)

(23)

22

onde o(1)_→0 quando k _{→ ∞}. Al´em disso,

Z

B1/2

|uk(X)−h(X)|pdX ≥δ0 (40)

Para qualquer fun¸c˜ao h com coeficientes constantes satisfazendo (32) e (33) em B1/2, e

pelas estimativas de energia de Caccioppoli tem-se que

Z

B1/2

|∇uk|pdX ≤C, (41)

Por compacidade vai existir uma fun¸c˜aou_∈W1,p(B1/2) com:

uk ⇀ u∞ ∈W1,p(B1/2). (42)

uk _→ u∞ ∈Lp(B1/2) (43)

∇uk → ∇u∞ qtp X∈B1/2 (44)

Al´em disso, pelo teorema de Ascoli, existe uma subesˆequenciaakj tal quea(0, .)→a(0, .)

localmente uniformemente. Ademais, de (38), temos que para todo X _∈ B1/2 e ξ ∈ Br

para r >0 fixado, vale:

akj(X, ξ)−akj(0, ξ)

=akj(X, ξ)−akj(0, ξ)

+akj(0, ξ)−akj(0, ξ)

=o(1). (45)

Donde segue que

akj(X, ξ)→akj(0, ξ). (46)

Assim, dado uma fun¸c˜ao testeϕ_∈W₀1,p(B1/2), tendo em vista (36), (40), (41), (42) e (43)

temos que:

Z

B1/2

a(0,_∇u∞)∇ϕdX =

Z

B1/2

a(X,_∇uk)· ∇ϕdX+o(1) = o(1) (47)

com k _{→ ∞}. Assim, como ϕ é arbitrária, podemos concluir que u é solu¸cão da equa¸cão com coeficientes constantes emB1/2 i.e,

−div(a(0,_∇u∞) em B1/2. (48)

Ademais, de (37), temos que

(24)

23

Assim, tomandoh=u em (40) temos que

Z

B1/2

|uk(X)−u(X)|pdX ≥δ0 (50)

(25)

4 MELHORIA DA SUAVIDADE UNIVERSAL 4.1 Melhoria da Suavidade Universal

Nesta se¸c˜ao, estabeleceremos um resultado que garante uma aproxima¸c˜ao

C1,αM _{para fun¸cões suaves perto de uma solu¸cão da equa¸cão (1) fornecida por} _∇_u₍₀₎

desde queµ esteja perto de zero ea(X, ξ)_∼a(0, ξ). Lema 4.1 Seja u _∈ W1,p₍_B

1) uma solu¸c˜ao fraca de (1) satisfazendo as condi¸c˜oes

ex-truturais (9) e (13). E ainda, suponhamos tamb´em que Z

B1

|u_|pdX _≤ 1. Ent˜ao, dado

0< α < αM, existem constantes 0< ε0 <1 e 0< η <

1

2 dependendo de δ, η, p, λ, Λ,Λe e

ω tal que se:

|∇u(0)_{| ≤}ε0 (51)

kµ_{k ≤}ε0 (52)

|a(x, ξ)₋a(x,0)_{| ≤}ε0.|ξ|p−1 (53)

Ent˜ao existe uma constante τ _∈R universalmente limitada tal que _|τ_|< C(n, ρ, λ, Λ) tal que

Z

B1

|u(X)₋τ_|pdX _≤ηp(1+α) (54)

Prova : Para algum δ > 0 a ser escolhido posteriomente considere uma solu¸c˜ao h da equa¸c˜ao de coeficientes constantes

−div(a(_∇h)) = 0 em B1/2 (55)

satisfazendo 0 _∈ S(h) e δ é próximo de u na norma Lp. A existência de tal fun¸cão é garantida pelo lema (3.3). Além disso, da teoria da regularidade C1,αM para equa¸cões

com coeficientes constantes existe um C >0 dependendo apenas dos parˆametros tal que

|h(X)₋h(0)_{| ≤}C_|X_|1+aM ₍₅₆₎

Além disso, como _kh_k_Lp ≤C pela limita¸cão de L∞, então,

(26)

25

Agora vamos estimar um ̺ >0 a ser ajustado a posteriore,

Z

Bρ

|u(X)₋h(0)_|pdX =

Z

Bρ

|u(X)₋h(0)₋h(X) +h(X)_|pdX

≤ 2p−1

Z

Bρ

|u(X)₋h(0)₋h(X) +h(X)_|pdX !

≤ 2p−1

Z

Bρ

|u(X)₋h(X)_|pdX+

Z

Bρ

|h(X)₋h(0)_|pdX !

≤ 2p−1.δp.ρ−n+ 2p−1.C._|X_|1+aM

≤ 2p−1_.δp_.ρ−n_{+ 2}p−1_.C.ρp(1+aM)_.

Além disso, como 0< α < αM então é poss´ıvel selecionar umρ >0

suficiente-mente pequeno, tal que:

2p−1.C.ρp(1+αM) _≤ 1

2.ρ

p(1+α)_. ₍₅₈₎

Agora ponhamos

δ= 1 2ρ

n

p+1+α. (59)

Assim, podemos concluir que:

Z

Bρ

|u(X)₋h(0)_|pdX _≤ 2p−1_·δp_·ρ−n+ 2p−1_·δpρp(1+a)

= 2p−1_·

1 2ρ

n p+1+α

p

·ρ−n+ 1 2·ρ

p(1+α)

= ρp(1+α)

4.2 A Natureza do ”Scaling”da Equa¸c˜ao (1)

Vamos come¸car esta se¸cão comentando a natureza do Scaling da equa¸cão (1) para isso, considere que u _∈ W1,p(B1) que resolva a equa¸cão (1) em B1, então para um

X0 ∈ B1 considere 0 < ρ <1− |X0| e κ >0 ser escolhido posteriormente e ainda, defina

v _∈W1,p₍_B

1) pondo:

v(x) := u(X0+ρX)

κ ; (60)

satisfazendo,

−div(_ea(X0+ρX,∇v) =µ.e (61)

Onde,

e µ:= ρ

p

(27)

26

ea(x, ξ) :=

κ ρ

1−p

.a(X0+ρX,

κ

ρ.ξ.) (63)

E ainda, o novo operador_ea(X, µ) definido em (63) satifaz (9) com as mesmas constantes. Da defini¸c˜ao de _eµem (62) temos que:

kµe_k_Lq =

Z

B1

|eµ(X)_|qdX 1 q = Z B1 ρp

κp−1µ(X0+ρX)

q dX 1 q

Agora fa¸camos a seguinte mudan¸ca de vari´avel: Y = X0 +ρX desse modo,

temos que:

kµe_k_Lq ≤

ρp κp−1

1

ζ

n/qZ

B1

|µ(Y)_|qdY 1

q

= ρ

p

κp−1ρ

−n/q Z

B1

|µ(Y)_|q

1

q

= ρ

p

κp−1ρ

−n/q

keµ_k_Lq.

E portanto, podemos concluir a seguinte propriedade:

kµe_k_Lq ≤

ρp κ(p−1)ρ

−n

q (64)

Al´em disso,

Z

B1

|v(X)_|pdX =

Z

B1

|u(X0+X)|p

κp dX (65)

De forrma an´aloga, fazendo a seguinte mudan¸ca de vari´avelX0+ρX =Y em (65) temos

que

Z

B1

|v(X)_|pdX =

Z

B1

|u(X0+ρX)|p

κp dX

≤ _κ_p1_ρ_n

Z

B1

|u(Y)_|pdY.

Portanto, a menos de uma mudan¸ca de vari´avel, temos que:

Z

B1

|v(X)_|pdX _≤ 1 κp_ρn

Z

B1

(28)

27

Finalmente a hip´otese sobre a continuidade dos coeficientes a em (9) nos diz que:

|ea(X, ξ)₋ea(0, ξ)_| =

κ ρ

1−p

.a(X0+ρX,

κ ρ.ξ.)−

κ ρ

1−p .a(X0,

κ ρ.ξ)

≤ κ ρ

1−p

a(X0+ρX,

κ

ρ.ξ)−a(X0, κ ρ.ξ)

= κ ρ

1−p .Λe.

κ ρ

p−1

ω(_|ρX_|)_|ξ_|p−1

= Λeω(_|ρX_|)_|ξ_|p−1.

E portanto, podemos concluir que:

|ea(X, ξ)₋ea(0, ξ)_{| ≤}Λeω(_|ρX_|)_|ξ_|p−1 (67)

Assim, para provarmos o resultado principal vamos assumir as condi¸c˜oes do lema (4.1).

4.3 Redu¸c˜ao ao Regime de Pequenez

Nesta se¸c˜ao fechamos a teoria de regularidade para a equa¸c˜aes quase lineares do tipo

−div(X,_∇u) =µ

abordando estimativasC1,α _{nas condi¸c˜oes do lema (4}_._1).

Proposi¸cão 4.1 Assuma sob as condi¸cões do lema (4.1) que se 0_∈S(v), então

|v(X)₋v(0)_{| ≤}C_|X_|1+α. (68)

Nessas condi¸coes, para toda fun¸cão u _∈W1,p(Ω) solu¸cão da equa¸cão (1) satifazendo (9),

(11), (12) e µ satisfazendo (13), vale que:

|u(Y)₋u(Y0| ≤Ce|Y −Y0| (69)

onde Y0 ∈S(u)e C >e 0 depende de kukLp_(Ω), dist(Y0, ∂Ω), n, p, λ,Λ,Λe, ω,kukLq_(Ω) e α.

Prova: dada uma fun¸cãougenérica emW1,p(Ω) satisfazendo (1) e as condi¸cões (9) (11) (12). Além disso, vamos também supor queµ satisfa¸ca (13). Agora vamos rede-finir v do seguinte modo:

v(X) := u(Y0+ρX)

κ (70)

Para algum ponto singular emS(v) arbitr´ario. Agora fa¸camos a seguinte escolha:

ζ :=min   1,

1

2dist(Y0, ∂Ω), p−

n q

s ε0

ku_k_Lq_(Ω)

, ω−1(Λeǫ0)

(29)

28

onde ε0 ´e a constante universal do lema (4.1). Na sequˆencia tomamos:

κ:= m´ax

1, p

r

1

ζn. Z

B1

|u(X)_|pdX

Assim, da forma comov foi redefinida (70) continua valendo as condi¸c˜oes do lema (4.1) e portanto, fa¸camos agora a seguinte mudan¸ca de vari´avel

Y =Y0+ρX (71)

desse modo, temos que

|u(Y)₋u(Y0)| = |u(Y0+Xρ)−u(Y0)|

= |u(Y0+Xρ)−u(Y0)| ·k

k

= _|v(X)₋v(0)_{| ·}k_≤C_·k_{· |}X_|1+α

= C_·k_·

1

ρ 1+α

· |Y ₋Y0|1+α=Ce· |Y −Y0|

(30)

5 O RESULTADO PRINCIPAL

5.1 A Demonstra¸c˜ao do Resultado Principal

Vamos finalmente concluir a demonstra¸cão do resultado principal. Inicial-mente, vamos assumir que 0_∈S(u). Ademais, assumiremos também queaeµsatisfazem as condi¸coes do lema (4.2), isto é,

0_∈S(u) (72)

Z

B1

|u(X)_|pdX _≤1 (73)

kµ_k_Lq ≤ε0 (74)

|a(X, ξ)₋a(0, ξ)_{| ≤}ε0.|ξ|p−1 (75)

onde ε0 ´e a constante universal do lema (4.1). Sob tais condi¸c˜oes, vamos mostrar que

existe uma sequˆencia de n´umeros reaisτk _→u(0) tal que

Z

Bζκ

|u(X)₋τk|pdX ≤ρk.p(1+α) (76)

onde ρ >0 e o raio suficientemente pequeno do lema (4.1) e α ´e o expoente fixo tal que

α_∈(0, aM)_∩

0, p−n q.(p₋1)

(77)

Para isso usaremos indu¸cão sobre k. O caso k = 1 é justamente a tese do lema (4.1) Vamos então supor que vale (76) parak. Agora definamos a fun¸cão vk :B1 →R por:

vk(X) :=

u(ρkX)₋τk

ρk(1+α) . (78)

Na sequˆencia definamos:

ak(X, ξ) := ρkα 1−p

.a(ρX, ρkαξ) e (79)

µk:=ρk[p−(1+α)(p−1)].µ(ρkX) (80)

e usando a mesma ideia empregada na se¸c˜ao (4.2) defina vk satisfazendo

−div(ak(X,∇v)) := µk (81)

No sentido das distribui¸c˜oes. Assim, temos que:

kµkkLq₍_B₁₎ =

Z

B1

(31)

30

Agora fa¸camos a seguinte mudan¸ca de vari´avelY =ρkX, desse modo, temos que:

kµkkLq₍_B₁₎ ≤ ρkq[p−(1+α)(p−1)]·ρ−kn

Z

B_ρk|

µ(Y)_|qdY

= ρkq[p−(1+α)(p−1)]_·ρ−kn_{· k}µkkLq₍_B ρk).

Donde segue que:

kµk_k_Lq₍_B

1) ≤ ρ

kq[p−(1+α)(p−1)]_ρ−knq_q

· kµk_k_Lq₍_B ρk)

= ρkq[p−(1+α)(p−1)−nq]· k_µkk

Lq₍_B ρk).

Assim, podemos concluir que:

kµk_k_Lq₍_B₁₎≤ε

q

0ρ

kq[p−(1+α)(p−1)−n

q]_. (82)

E a partir da estimativa obitida em (76) temos que:

α_≤ q−n

q(p₋1).

Portanto, podemos deduzir que:

kµk_k_Lq₍_B₁₎≤ε0 (83)

Ademais, podemos verificar que

|ak(Y, ξ)−ak(0, ξ)|=

ak(ρkX, ξ)−ak(0, ξ)

_≤Λeω(ρk_|X_|)._|ξ0|p−1

Acabamos de mostrar, que a fun¸c˜ao v da forma como foi definida, satisfaz as condi¸coes do lema (4.1), e este fato assegura a existˆencia de uma constante real τe

satisfazendo: _Z

Bρ

|v(X)₋_eτ_|pdX _≤ρp(1+α) (84)

Ora, se definirmos

τk+1 :=τk+ρk(1+α)eτ (85)

Ent˜ao, temos que

Z Bρ

u(X)₋τk ρk(1+α) −eτ

p

dX _≤ρp(1+α)

Donde segue que

Z Bρ

u(X)₋τk−eτ ρk(1+α) ρk(1+α)

p

(32)

31

E por (85) temos que

Z Bρ

u(X)₋τk+τk−τk+1

ρk(1+α)

p

dX _≤ρp(1+α)

Assim, podemos concluir que

Z

Bρ

|u(X)₋τk+1|pdX ≤ρp(1+α).ρpk(1+α)=ρp(k+1)(1+α)

Isso prova (76). Al´em disso, ainda de (85) temos que

|τk+1−τk| ≤Cρp(k+1)(1+α). (86)

Para alguma constante C > 0 universal. Em particular, a sequência _{τk_}_k_≥₀ é uma sequência de Cauchy. Além disso, de (86), temos o sequinte controle de convergência:

|τk−u(0)| ≤ |τk−τk−1|+|τk−1−τk−2|+...+|τ1−u(0)| ≤C. +∞

X

j=n

ρj(1+α) _≤ C

1₋ρ.ρ k(1+α)

(87) Finalmente, dado algum 0< r <1 suficientemente pequeno, consideremos k um n´umero real satisfazendo

ρk+1 < r < ρk. (88)

Agora vamos estimar:

Z

Br

|u(X)₋u(0)_|pdX _≤

ρk r

nZ

B_ρk|

u(X)₋u(0)_|pdX

≤ 2

p−1

ρn Z

B_ρk|

u(X)₋u(0)_|pdX+_|τk−u(0)|p !

≤ 2

p−1

ρn

1 +

C

1₋ρ p

·ρk·p(1+α) _≤

2p−1

ρn

1 +

C

1₋ρ p

1

ρp(1+α)

·rp(1+α)

(33)

32

6 CONCLUS ˜AO

Diante dos estudos realizados ao longo do desenvolvimento deste trabalho, podemos afirmar que os resultados esperados em rela¸cão as equa¸cões quase lineares em conjuntos singulares propostas nesse trabalho foram todos obtidos, e assim, cumprimos a proposta de descrever explicitamente a classe de equa¸cões estudadas nesse conjunto singular.

(34)

33

REFERˆENCIAS

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(35)

34

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