Matemática Intervalar Aplicada ao Problema do Fluxo de Potência com Incertezas em Redes de Energia Elétrica

(1)

UNIVERSIDADE CAT ´

OLICA DE PELOTAS

ESCOLA DE INFORM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM INFORM ´

ATICA

Matem´atica Intervalar Aplicada ao

Problema do Fluxo de Potˆencia com

Incertezas em Redes de Energia El´etrica

por

Rog´erio Rodrigues de Vargas

Trabalho Individual I

TI-2006/2-07

Orientador: Prof. Dr. Luciano Vitoria Barboza

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AGRADECIMENTOS

Ao professor Luciano Vitoria Barboza a excelente orientação até o momento, o cont´ınuo apoio em todas as fases de realização deste trabalho, as discussões cr´ıticas que tanto contribuiram para o meu crescimento intelectual e pessoal, a amizade que pude desfrutar e por estar constituindo-me um pesquisador.

Ao professor Adenauer Corrêa Yamin pelos contatos iniciais para realização deste mestrado.

`

A Deus, aos meus pais Jesus Prieto de Vargas e Élida Conceição Rodrigues de Vargas, à minha namorada Daiane Conrad Fernandes, ao meu irmão Alexandre por todo amor, compreensão, incentivo, suporte e carinho que me motivaram a prosseguir, mesmos nos momentos mais dif´ıceis.

`

A secretária do curso de Ciência da Computação, Kátia, pelo suporte e apoio e amizade que conquistamos.

Aos meus amigos, em especial, Marcus, grande amigo de infˆancia, ao Charles, por aprender junto a biblioteca C-XSC, ao Eduardo e Conrado, pelos almoc¸os, jantas e risadas.

`

A todos os colegas, professores e funcionários da Escola de Informática da Universidade Católica de Pelotas.

`

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SUM ´

ARIO

LISTA DE FIGURAS . . . 7

LISTA DE TABELAS . . . 8

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS . . . 9

RESUMO . . . 10 RESUMO . . . 11 1 INTRODUÇ ÃO . . . 12 1.1 Motivação . . . 12 1.2 Contexto e histórico . . . 13 1.3 Objetivos . . . 13 1.4 Organização do texto . . . 14

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . 15

2.1 Matem´atica Intervalar . . . 15

2.1.1 Conjunto IR . . . 15

2.1.2 Operações básicas . . . 16

2.1.3 União e intersecção intervalar . . . 16

2.1.4 Funções intervalares . . . 17 2.2 Biblioteca C-XSC . . . 21 2.2.1 Tipos de dados . . . 22 2.2.2 Operações em C-XSC . . . 22 2.2.3 Funções de arredondamento . . . 23 2.3 Fluxo de potência . . . 23

2.3.1 Classificac¸˜ao das barras . . . 24

2.3.2 Formulac¸˜ao do problema . . . 25

3 ESTUDO DE CASO . . . 27

3.1 Escolha da Matem´atica Intervalar . . . 27

3.2 Modelagem matem´atica do problema do fluxo de potˆencia . . . 27

3.3 Métodos para Resolução do Fluxo de Potência . . . 28

3.3.1 M´etodo de Newton-Raphson (Abordagem pontual) . . . 28

3.3.2 M´etodo de Krawczyk (Abordagem intervalar) . . . 29

3.4 Diagrama Unifilar . . . 30

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Representação geométrica IR . . . 16

Figura 2.2 Representação geométrica da união de dois intervalos . . . 17

Figura 2.3 Representação geométrica da intersecção de dois intervalos . . . 17

Figura 2.4 Func¸˜ao Seno Intervalar . . . 18

Figura 2.5 Func¸˜ao Cosseno Intervalar . . . 18

Figura 2.6 Func¸˜ao Raiz Quadrada Intervalar . . . 19

Figura 2.7 Func¸˜ao Exponencial Intervalar . . . 20

Figura 2.8 Func¸˜ao Logaritmo Intervalar . . . 21

Figura 2.9 Esquema de Distribuic¸˜ao de Energia . . . 24

Figura 2.10 Usina Geradora, Barra P V . . . 25

Figura 2.11 Subestac¸˜ao, Barra P Q . . . 25

Figura 3.1 Codificação em C-XSC: Cálculo do produto entre matrizes intervalares 28 Figura 3.2 Codificação em C-XSC: Cálculo da inversa de uma matriz de pontos médios . . . 30

Figura 3.3 Representação do Diagrama Unifilar da Rede Elétrica . . . 30

Figura 3.4 Arquivo de leitura . . . 31

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Tabela 2.1 Operadores em C-XSC . . . 23

Tabela 2.2 Func¸˜oes de Arredondamento Direcionados do C-XSC . . . 23

Tabela 4.1 Principais caracter´ısticas para os sistemas testes . . . 33

Tabela 4.2 Sistema de 6 barras pontual . . . 33

Tabela 4.3 MatLab: Sistema de 6 barras . . . 34

Tabela 4.4 C++: Sistema de 6 barras . . . 34

Tabela 4.5 Sistema de 14 barras pontual . . . 36

Tabela 4.6 MatLab: Sistema de 14 barras . . . 36

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

C-XSC C for eXtended Scientific Computation

FAPERGS Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul IEEE Institute of Electrical and Eletronic Engineers

UCPel Universidade Cat´olica de Pelotas

UTE Usina Termel´etrica

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O fluxo de potência em uma rede de energia elétrica é representado por um con-junto de equações algébricas não-lineares. Na solução deste sistema não-linear, pode ocorrer uma inexatidão ou incerteza na resposta estimada visto que os dados obtidos po-dem apresentar erros, tanto por falha humana, como por instrumentos de medições. A análise do erro pode ser extensa, dispendiosa e nem sempre viável.

Para contornar esse problema, buscou-se na Computação Cient´ıfica o uso da Ma-temática Intervalar, que considera um conjunto de métodos para manipulação de interva-los numéricos que aproximam dados incertos.

Assim, desenvolveu-se um software para o sistema operacional Linux, na lingua-gem de programação C++, para o problema das incertezas no fluxo de potência em re-des de energia elétrica com a utilização da biblioteca intervalar de alta exatidão denomi-nada C-XSC. Para validar a solução proposta, foram realizados testes básicos de cálculos, incluindo operações com matrizes. A partir destes testes, foram realizadas análises e comparações a respeito do desempenho e da exatidão obtidos, utilizando ou não a biblio-teca C-XSC.

Com a combinação da Matemática Intervalar com a biblioteca C-XSC, propõe-se um software para o tratamento de incertezas em rede de energia elétrica aplicado ao fluxo de potência.

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RESUMO

TITLE: “INTERVAL MATHEMATICS APPLIED TO POWER FLOW PROBLEMS WITH UNCERTAINTIES IN ELECTRIC POWER SYSTEMS”

The power flow problem in electric power systems is represented by a set of non-linear algebraic equations. Solving this nonnon-linear system the solution can present inaccu-racy due to the initial data which can have some uncertainty, even by either human fail or measurement instruments which have a certain tolerance degree. The error analysis is not trivial and it can be very expensive from the point of view of computational techniques.

In order to deal with those errors we propose the use of the Interval Mathematics in Scientific Computation. It takes into account a set of methods to handle numeric intervals that approximate uncertain data.

It was developed a software in Linux operational system using C language to work with uncertain data in electric power systems, especially in power flow studies. We used the high accuracy interval library routine called C-XSC. To assess the performance of the C-XSC routines, calculus basic tests were performed including matrix operations. From these tests on, analysis and comparisons related to both performance and accuracy obtained were performed, with and without the use of the C-XSC routines.

Combining Interval Mathematics with the C-XSC library routine we implemented a software to deal with uncertain power flow in electric power systems.

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1 INTRODUC

¸ ˜

AO

1.1 Motivac¸˜ao

Para a solução matemático-computacional de um problema f´ısico, é poss´ıvel ocor-rer diversas fontes de erros que podem alterar profundamente os resultados obtidos. Tor-nando assim, fundamental o conhecimento das causas desses erros para minimizar as suas conseqüências. Consideram-se basicamente três tipos de erros, os erros de dados, os de modelagem e os erros numéricos.

Quando se utiliza um equipamento de medição, acredita-se que o valor verificado está correto. Em princ´ıpio este instrumento está calibrado, então a medida realizada está correta. Será mesmo? Supondo que duas pessoas realizem a mesma verificação, quais serão os resultados? É poss´ıvel afirmar que dificilmente ambos os resultados serão exa-tamente iguais, apesar de virem do mesmo equipamento. O que poderia estar errado? Os erros de dados podem ocorrer por estimativas de medições, por falha humana ou por instrumentos de medição. Os próprios instrumentos de medição possuem uma tolerância, onde o valor medido possui um determinado grau de certeza, mas conhece-se o valor da imprecisão obtida.

Na etapa da modelagem de um problema real, os dados obtidos são feitos por medidas experimentais, podendo ocorrer uma modelagem incorreta, na qual o modelo matemático escolhido não represente a melhor solução do fenômeno f´ısico em estudo. Também pode ocorrer um erro no desenvolvimento e/ou escolha do algoritmo. Para am-bos os casos, o resultado final obtido pode apresentar uma informação com baixa exatidão. Os computadores erram? Imagina-se que eles jamais irão cometer erros. Entre-tanto, os computadores nem sempre geram uma informação correta, exata. O estudo da aritmética do ponto de vista computacional apresenta algumas diferenças consideráveis em relação à aritmética real. Algumas propriedades básicas da aritmética real não va-lem mais quando executadas no computador, pois enquanto na matemática real alguns números são representados por infinitos d´ıgitos, no computador isso não é poss´ıvel, pois a própria memória é finita. Então, os computadores possuem limitações e muitas vezes, necessita-se de resultados precisos e exatos.

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13

geram seu pr´oprio controle de precis˜ao.

Como uma aplicação prática, onde podem aparecer os erros citados e se pode aplicar a teoria da Matemática Intervalar, tem-se o fluxo de potência em redes de energia elétrica. A demanda do sistema, ou seja, o consumo de energia é obtido por instrumentos de medição e por estimativas de consumo. A exatidão destes dados é de fundamental importância para que se possa realizar uma estimativa do perfil de tensões do sistema elétrico. Desta estimação, dependerá toda a operação da rede de uma forma segura e confiável. Sendo assim, realizar-se uma análise de fluxo de carga confiável, rigorosa e automática é essencial para que se tente evitar a propagação dos erros durante o processo computacional bem como realizar-se um controle dos erros de arredondamento e trunca-mento inerentes ao processo matemático. Uma das formas encontradas para representar esses dados incertos é a sua utilização através de dados na forma de intervalos. Por-tanto, a Matemática Intervalar pode ser utilizada para a representação dessas demandas energéticas das quais não se detém uma certeza completa de seus valores.

1.2 Contexto e hist´orico

A utilização da Aritmética Intervalar foi desenvolvida inicialmente por Moore (MOORE, 1966) e (MOORE, 1979). Por outro lado, a Matemática Intervalar foi pro-posta por Leslie Fox em 1974, agrupando diferentes áreas como a Aritmética Intervalar, Análise Intervalar, Topologia Intervalar, Álgebra Intervalar e outras.

Inicialmente, algumas cr´ıticas foram feitas à técnica da Matemática Intervalar, a qual segundo os cr´ıticos apresentava dois problemas:

• fornecia resultados com intervalos pessimistas, ou seja, demasiadamente grandes, os quais não retornavam uma informação relevante

• necessitava de um grande tempo de processamento computacional

Atualmente, tem-se que, com a aritmética avançada os resultados são produzidos com a máxima exatidão. E, quanto ao tempo de processamento, depende da forma como o algoritmo é implementado, existindo várias possibilidades tanto via software quanto via hardware (para exemplificar essa afirmação ver (RUMP, 1999)).

1.3 Objetivos

O objetivo geral do trabalho individual é analisar um algoritmo para o tratamento das incertezas em fluxo de potência em redes de energia elétrica utilizando como meto-dologia a Matemática Intervalar. Posteriormente, implementar uma aplicação (software) para o sistema operacional Linux utilizando como recurso de implementação a biblioteca C-XSC. Por outro lado, os objetivos espec´ıficos são:

• Estudar a Matem´atica Intervalar

• Analisar um algoritmo baseado na Matemática Intervalar para tratamento de incer-tezas em sistema elétrico de potência

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15

2 REVIS ˜

AO BIBLIOGR ´

AFICA

2.1 Matem´atica Intervalar

A Matemática Intervalar considera um conjunto de métodos para manipulação de intervalos numéricos que aproximam dados incertos. Segundo (OLIVEIRA; DIVERIO; CLAUDIO, 2001), na Computação Cient´ıfica, os intervalos podem ser aplicados para re-presentar valores desconhecidos e, também para rere-presentar valores cont´ınuos. Servem para controlar o erro de arredondamento e para representar dados inexatos, aproximações e erros de truncamento de procedimentos. Estes métodos baseiam-se na definição da Aritmética Intervalar e do produto escalar ótimo (KULISCH, 2003). Para (DIMURO; CL ÁUDIO, 1991), resultados intervalares carregam consigo a segurança de sua quali-dade e o grau de sua incerteza, pois o diâmetro do intervalo solução é um indicativo da influência dos erros dos dados de entrada e dos erros de arredondamento e truncamento no erro do resultado final obtido.

2.1.1 _{Conjunto IR}

Define-se IR como sendo o conjunto de todos os intervalos reais.

IR = {[x1; x2] |x1; x2 ∈ R, x1 ≤ x2} (2.1)

Observe na figura 2.1 que associando-se a cada intervalo [x1; x2] ∈ IR, um ponto

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Figura 2.1: Representação geométrica IR

Destacam-se a seguir, as principais operações na Matemática Intervalar.

2.1.2 Operações básicas

Sejam, X, Y ∈ IR dois intervalos reais, com X = [x1; x2] e Y = [y1; y2]. As

operações intervalares de adição, subtração, multiplicação e divisão, estão assim defini-das: • Adição X + Y = [(x1 + y1) ; (x2+ y2)] (2.2) • Subtração X − Y = [(x1− y2) ; (x2 − y1)] (2.3) • Multiplicação

X.Y = [min {x1.y1, x1.y2, x2.y1, x2.y2} ; max {x1.y1, x1.y2, x2.y1, x2.y2}] (2.4)

• Divis˜ao X/Y = min x1 y1 ,x1 y2 ,x2 y1 ,x2 y2 ; max x1 y1 ,x1 y2 ,x2 y1 ,x2 y2 (2.5) com 0 /∈ [y1; y2].

2.1.3 União e intersecção intervalar

• Uni˜ao

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17

A ∩ B 6= 0. Define-se a uni˜ao dos intervalos A e B sendo o intervalo A ∪ B = [min {a1; b1} ; max {a2; b2}].

Figura 2.2: Representação geométrica da união de dois intervalos

• Intersecc¸˜ao

Sejam, A = [a1; a2] e B = [b1; b2] dois intervalos. Define-se a intersecc¸˜ao dos

intervalos A e B como sendo o intervalo A ∩ B = [max {x1; y1} ; min {a2; b2}], se

max {x1; y1} ≤ min {x2; y2}. Se min {x2; y2} < max {x1; y1} ent˜ao A ∩ B = φ.

Figura 2.3: Representação geométrica da intersecção de dois intervalos

2.1.4 Func¸˜oes intervalares

• Seno

Para determinar a func¸˜ao seno intervalar, primeiramente calcula-se sen(x1) e

sen(x2). Se sen(x1) > sen(x2), ent˜ao sen([x1, x2]) = [sen(x2), sen(x1)]. Caso

(18)

Figura 2.4: Func¸˜ao Seno Intervalar • Cosseno

Para determinar a func¸˜ao cosseno intervalar, primeiramente calcula-se cos(x1) e

cos(x2). Se cos(x1) > cos(x2), ent˜ao cos([x1, x2]) = [cos(x2), cos(x1)]. Caso

contr´ario, cos([x1, x2]) = [cos(x1), cos(x2)].

(19)

19

• Raiz Quadrada

Define-se essa func¸˜ao intervalar sendop[x1, x2] = [p(x1),p(x2)] → x1 ≥ 0.

Figura 2.6: Func¸˜ao Raiz Quadrada Intervalar

• Exponencial

Define-se a func¸˜ao exponencial intervalar Exp :

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Figura 2.7: Func¸˜ao Exponencial Intervalar

• Logaritmo

Define-se a func¸˜ao logaritmo intervalar Ln :

Ln ([x1, x2]) = [ln (x1) , ln (x2)] (2.7)

(21)

21

Figura 2.8: Func¸˜ao Logaritmo Intervalar

2.2 Biblioteca C-XSC

De acordo com (HOFSCHUSTER; KR ÄMER; WIETHOFF, 2001), C-XSC é uma ferramenta para o desenvolvimento de algoritmos numéricos propiciando alta pre-cisão e resultados verificados automaticamente. A biblioteca C-XSC é muito aplicada na Computação Cient´ıfica como uma biblioteca numérica, para o desenvolvimento dos algo-ritmos numéricos, utilizando a linguagem de programação C++. É fornecido um grande número de tipo de dados, dispondo de extensões para a Computação Cient´ıfica que pro-picia vários benef´ıcios, dentre os quais se destacam:

• Aritm´etica real, complexa, intervalar e intervalar complexa, com propriedades ma-tematicamente definidas;

• Vetores e matrizes dinˆamicos; • Subvetores de vetores e matrizes;

• Tipo de dados dotprecision (precisão de ponto); • Operadores aritméticos pré-definidos de alta precisão; • Função padrão de alta precisão;

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Todos os operadores aritméticos predefinidos fornecem resultados com exatidão de no m´ınimo 1 ulp (erro de arredondamento na última posição da mantissa). Desta forma, eles são de máxima precisão do ponto de vista da Computação Cient´ıfica. Além de todos os tipos de dados matemáticos do C/C++, o C-XSC oferece outros tipos de dados numéricos simples:

• real

• interval (intervalo de reais) • complex (n´umero complexo) • cinterval (intervalo complexo)

Para os tipos de dados escalares apresentados acima, est˜ao dispon´ıveis tipos de dados que representam matrizes e vetores. S˜ao eles:

• rvector (vetor de reais)

• ivector (vetor de intervalos reais) • cvector (vetor de complexos)

• civector (vetor de intervalos complexos) • rmatrix (matriz de reais)

• imatrix (matriz de intervalos reais) • cmatrix (matriz de complexos)

• cimatrix (matriz de intervalos complexos)

Para os tipos de dados apresentados, o C-XSC possui uma grande variedade de funções matemáticas com suporte aos tipos de dados real, complex, interval e cinterval com seus nomes genéricos. Entre essas funções pode-se citar seno, cosseno, tangente, valor absoluto e raiz quadrada.

2.2.2 Operac¸˜oes em C-XSC

A tabela 2.1 mostra as operações aritméticas poss´ıveis entre os diferentes tipos de dados. Destaca-se o operador &, o qual realiza a intersecção entre os intervalos.

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23 Tabela 2.1: Operadores em C-XSC TIPOS de DADOS integer real complex interval cinterval rvector cvector ivector ci-vector rmatrix cmatrix imatrix ci-matrix integer real complex +, −, ∗, /, | +, −, ∗, /, | ∗ ∗ ∗ ∗ interval cinterval +, −, ∗, /, | +, −, ∗, /, |, & ∗ ∗ ∗ ∗ rvector cvector ∗, / ∗, / ∗, −, ∗1_{, /, | ∗, −, ∗}1_{, /} ivector ci-vector ∗, / ∗, / ∗, −, ∗1_{, /, | ∗, −, ∗}1_{, /, |,} & rmatrix cmatrix ∗, / ∗, / ∗1 _∗1 _{∗, −, ∗}1_{, /, | ∗, −, ∗}1_{, /, |} rmatrix cmatrix ∗, / ∗, / ∗1 _∗1 _{∗, −, ∗}1_{, /, | ∗, −, ∗}1_{, /, |,} &

2.2.3 Func¸˜oes de arredondamento

No C-XSC, é poss´ıvel realizar arredondamentos direcionados, ou seja, dada de-terminada operação conforme a tabela 2.2 é possivel arredondar o resultado para cima ou para baixo, tornando assim, uma biblioteca de alta exatidão.

Tabela 2.2: Func¸˜oes de Arredondamento Direcionados do C-XSC

Descrição Função

adição com arredondamento para cima addu() adição com arredondamento para baixo addd() subtração com arredondamento para cima subu() subtração com arredondamento para baixo subd() multiplicação com arredondamento para cima mulu() multiplicação com arredondamento para baixo muld() divisão com arredondamento para cima divu() divisão com arredondamento para baixo divd()

2.3 Fluxo de potˆencia

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Figura 2.9: Esquema de Distribuic¸˜ao de Energia

Para este modelo de fluxo de potência, é necessário conhecer a distribuição de energia, isto é, necessita-se obter as respostas às seguintes perguntas:

• Ser´a que a rede el´etrica vai suprir a demanda da cidade ou bairro?

• As linhas de transmissão serão capazes de transportar a energia elétrica solicitada pelas demandas?

O fluxo de potência visa determinar as tensões em todas as partes da rede elétrica. ´

E necessário verificar se a tensão está dentro de limites aceitáveis.

A demanda do sistema, ou seja, o consumo de energia é obtido por instrumentos de medição, nos quais existe certa limitação, isto é, os dados informados podem variar, sendo assim, imprecisos ou inexatos. Também, em determinados casos, o consumo de energia é obtido por estimativa, sendo mais impreciso do que os providos pelos instrumentos de medição.

O fluxo de potência em redes de energia elétrica é representado por equações algébricas não-lineares. Por isso, pode-se aplicar técnicas numéricas de modo a solucio-nar o sistema de equação resultante da modelagem matemática.

2.3.1 Classificac¸˜ao das barras

(25)

25

Figura 2.10: Usina Geradora, Barra P V

Figura 2.11: Subestac¸˜ao, Barra P Q

2.3.2 Formulac¸˜ao do problema

Para cada barra do sistema são associadas quatro variáveis, sendo que duas são incógnitas e duas são dados.

• ek- parte real da tens˜ao complexa na barra k

• fk- parte imagin´aria da tens˜ao complexa na barra k

• Pk- injeção l´ıquida de potência ativa na barra k

• Qk - injeção l´ıquida de potência reativa na barra k

O cálculo do fluxo de potência corresponde à aplicacação da primeira lei de Kir-chhoff a cada barra do sistema elétrico e são expressas por:

Pk = X m∈Ωk Pkm(ek, em, fk, fm) (2.8) Qk+ Qshk = X m∈Ωk Qkm(ek, em, fk, fm) (2.9)

(26)

• fke fm são as partes imaginárias das tensões complexas nas barras k e m

• Pkm ´e o fluxo de potˆencia ativa no circuito k − m

• Qkm ´e o fluxo de potˆencia reativa no circuito k − m

• Qsh

k é o componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt

(27)

27

3 ESTUDO DE CASO

Este cap´ıtulo apresenta as principais definições matemático-computacionais rela-tivas ao problema do fluxo de potência em redes de energia elétrica. Este problema foi escolhido por se tratar de uma aplicação prática da teoria da Matemática Intervalar e ainda possibilitar a exploração dos recursos e funcionalidades da biblioteca intervalar C-XSC.

3.1 Escolha da Matem´atica Intervalar

A Matemática Intervalar foi escolhida para modelar o problema do fluxo de potência devido a sua caracter´ıstica de tratar os números não como valores pontuais, mas sim através de um conjunto de valores (intervalo).

3.2 Modelagem matem´atica do problema do fluxo de

potˆencia

As equações estáticas para a resolução do problema do fluxo de carga neste estudo, estão expressas em coordenadas retangulares. Neste sistema de coordenadas, as equações a serem resolvidas são:

P_icalc = n X k=1 [ei(ekGik− fkBik) + fi(fkGik− ekBik) = (e2_i + f_i2)Gii+ n X k=1 k6=1 [ei(ekGikfkBik) + fi(fkGik+ ekBik)] Qcalc_i = n X k=1 [fi(ekGik− fkBik) − ei(fkGik− ekBik)] = −(e2_i + f_i2)Bii+ n X k=1 k6=1 [fi(ekGikfkBik) − ei(fkGik+ ekBik)]

(28)

∆Pi = (e2i + fi2)Gii−

X

k=1

k6=1

[ei(ekGik− fkBik) + fi(fkGik− ekBik) − Pgi + Pdi (3.1)

e os res´ıduos de potˆencia reativa para as barras P Q s˜ao:

∆Qi = −(e2i + f 2 i)Bii− n X k=1 k6=1 [fi(ekGik− fkBik) − ei(fkGik+ ekBik) − Qgi+ Qdi (3.2)

Considerando ainda que a barra i seja uma barra P V , ent˜ao os valores de ei e fi

devem satisfazer a relac¸˜ao:

e2_i + f_i2 = (V_iesp)2 (3.3)

e, portanto, os res´ıduos dos quadrados das magnitudes das tens˜oes nas barras P V s˜ao:

∆|V_iesp|2 = e2_i − f_i2− |V_iesp|2 (3.4)

3.3 Métodos para Resolução do Fluxo de Potência

Para resolver o problema do fluxo de potência, foram empregados dois métodos. Para os cálculos pontuais foi utilizado o método de Newton-Raphson; para o fluxo de potência intervalar utilizou-se o método de Krawczyk. A solução do fluxo fluxo de potência via Newton-Raphson é utilizada como inicialização para o fluxo de potência intervalar. Este procedimento foi adotado visto que no método de Newton-Raphson, a cada iteração, é resolvido um sistema linear, enquanto no método de Krawczyk o sistema não-linear é resolvido somente pelo produto de matrizes.

Em C++ juntamente com a biblioteca C-XSC, o produto de duas matrizes ´e dado conforme a figura 3.1.

Figura 3.1: Codificação em C-XSC: Cálculo do produto entre matrizes intervalares

3.3.1 M´etodo de Newton-Raphson (Abordagem pontual)

Expandindo a função f (x) em série de Taylor em torno do ponto xk e truncado-a no termo de primeira ordem, obtém-se:

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29

onde ∂f (x)_∂x é a matriz Jacobiana de f (x). Assim, a cada iteração sucessivas aproximações são obtidas como:

∆xk+1= − ∂f (x k₎ ∂x x=xk −1 f (xk) (3.6) xk+1 = xk+ ∆xk+1 (3.7)

No problema em estudo, as incógnitas podem ser agrupadas no vetor x como x = e f (3.8) onde e é o vetor das partes reais das tensões complexas e f é o vetor com as partes imaginárias das tensões complexas em todas as barrasdo sistema, exceto na barra de folga.

Seja f (x) o vetor de func¸˜oes

f = ∆P ∆Q

(3.9) com ∆P e ∆Q correspondendo aos mismatches de potˆencias ativa e reativa em cada barra do sistema, exceto na barra de folga.

Dessa forma, o sistema de equações algébricas não-lineares a ser resolvido pode ser colocado na seguinte forma:

f (x) = 0 (3.10)

Portanto, a matriz Jacobiana do sistema ´e:

J (x) = " _{∂(∆P )} ∂e ∂(∆P ) ∂f ∂(∆Q) ∂e ∂(∆Q) ∂f # (3.11)

As submatrizes que compõem a matriz Jacobiana são H, N, M, e L. Então a matriz Jacobiana pode ser expressa como:

J (x) = H N M L (3.12)

3.3.2 M´etodo de Krawczyk (Abordagem intervalar)

De acordo com (BARBOZA; DIMURO; REISER, 2004), a vantagem deste ope-rador é que nenhum sistema de equações lineares necessita ser resolvido para determinar a atualização da próxima iteração. O operador de Krawczyk K : Rn× IRn _{→ IR}n _é

definido por (KRAWCZYK, 1969):

K(_ex, X =x − Cf (_e x) − (I − CJ (X))(_e x − X)_e (3.13) onde C é uma matriz de pré-condicionamento, a inversa do ponto médio de J (X), I é a matriz identidade ex ∈ X._e

(30)

Figura 3.2: Codificação em C-XSC: Cálculo da inversa de uma matriz de pontos médios

3.4 Diagrama Unifilar

Um sistema de energia elétrica pode ser visualizado graficamente através de um diagrama unifilar. Este consiste na representação das barras no sistema elétrico e dos elementos de interconexão entre elas (linhas de transmissão e transformadores).

A figura 3.3 apresenta o diagrama unifilar de um sistema el´etrico hipot´etico com 6 barras.

Figura 3.3: Representação do Diagrama Unifilar da Rede Elétrica

Observe que na figura acima, a rede elétrica em questão, possui uma barra P V (barra 2) e quatro barras P Q (barras 3, 4 5 e 6). A barra de folga é a barra 1. Observa-se também a existência de sete linhas de transmissão (1,4), (1,5), (2,5), (2,3), (3,4), (4,5) e (5,6).

3.5 Entrada de dados

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para o cálculo do fluxo de potência. Estas informações são referentes às barras e às linhas de transmissão do sistema. Neste arquivo, os códigos 4 e 5 representam, respectivamente, os dados de linha e os dados das barras. Além disso, o código 9999 representa o fim das informações referentes às linhas de transmissão ou às barras do sistema.

Figura 3.4: Arquivo de leitura

O arquivo de entrada de dados mostrado na Figura 3.4 corresponde a um sistema elétrico de 6 barras. O arquivo texto tem uma formatação padronizada e tem posições fixas de leitura, conforme a informação que se necessita. Isso facilita o armazenamento de suas informações em diversas variáveis. Suas informações são dispostas da seguinte forma:

Dados de Linha (C´odigo 4)

• Campos 1 - 4 : número da barra de origem • Campos 9 - 12 : número barra destino • Campo 14 : número do circuito

• Campos 18 - 23: resistência do circuito em porcentagem • Campos 24 - 29: reatância do circuito em porcentagem • Campos 30 - 35: capacitância total do circuito em MVA • Campos 36 - 40: tap dos transformadores

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∗ 0: barra PQ ∗ 1: barra PV

∗ 2: barra de referˆencia • Campos 10 - 21: nome da barra

• Campos 27 - 30: ângulo de fase da tensão em graus • Campos 31 - 35: potência ativa gerada em M W • Campos 36 - 40: potência reativa gerada em M V Ar • Campos 56 - 60: potência ativa na carga em M W • Campos 61 - 65: potência reativa na carga em M V Ar • Campos 66 - 70: shunt reativo em M V Ar

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4 RESULTADOS

Este cap´ıtulo apresenta os resultados obtidos utilizando o software computacional MatLab versão 6.5 juntamente com a biblioteca intervalar IntLab versão 5.3 e a linguagem de programação C++ sendo a versão do compilador g++ 4.0 para o sistema operacional Linux (Ubuntu 6.06), utilizando a biblioteca intervalar C-XSC versão 2.0.

Para a realização dos testes, foram selecionadas duas redes elétricas da IEEE: uma com seis barras e outra com quatorze barras. Ambos os sistemas foram testados utilizando o MatLab e o C++.

A tabela 4.1 mostra as principais caracter´ısticas dos sistemas a serem testados. As colunas 2, 3 e 4 apresentam, respectivamente, o número total de barras, de circuitos e de geradores que existe em cada sistema-teste. As demandas de potência estão mostradas nas últimas duas colunas, respectivamente, ativa e reativa.

Tabela 4.1: Principais caracter´ısticas para os sistemas testes

Sistema Barras Circuitos Geradores Potˆencia M W Demanda M V Ar

IEEE-6 6 7 2 135.0 36.0

IEEE-14 14 20 4 277.8 103.8

4.1 Sistema de 6 barras

A tabela 4.2 refere-se aos resultados obtidos para o fluxo de potˆencia pontual, ou seja, sem intervalos.

Tabela 4.2: Sistema de 6 barras pontual Barra Magnitude Anguloˆ

1 1.1000 0 2 1.1000 −3.1890 3 0.9051 −11.7277 4 1.0089 −8.8368 5 0.9384 −11.5112 6 0.9880 −11.0893

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Tabela 4.3: MatLab: Sistema de 6 barras

Barra Magnitude Anguloˆ

1 [1.0999, 1.1001] [0.0000, 0.0000] 2 [1.0988, 1.1012] [−3.1954, −3.1826] 3 [0.8930, 0.9174] [−12.0675, −11.3934] 4 [0.9983, 1.0195] [−9.0777, −8.5992] 5 [0.9226, 0.9542] [−11.8858, −11.1450] 6 [0.9749, 1.0011] [−11.4116, −10.7724]

Tabela 4.4: C++: Sistema de 6 barras

1 [1.099999, 1.100001] [0.000000, 0.000000] 2 [1.099394, 1.100001] [−3.195720, −3.185855] 3 [0.899846, 0.910438] [−12.164576, −11.294236] 4 [1.004332, 1.013491] [−9.163962, −8.512311] 5 [0.931897, 0.944862] [−12.058238, −10.969591] 6 [0.982002, 0.993952] [−11.510828, −10.671804]

Por exemplo, analisando a tabela 4.3, para a barra dois, as magnitudes de tensão no MatLab estão compreendidas entre [1.0988, 1.1012] e este valor na tabela 4.4 é [1.099394, 1.100001]. Observe que o diâmetro da magnitude de tensão do intervalo obtido no C++ é menor do que o obtido no MatLab. Entretanto, se a comparação for realizada em termos do ângulo de fase da tensão complexa na barra dois, o diâmetro do inter-valo obtido no MatLab é menor do que o do C++ ([−3.195720, −3.185855] no MatLab, [−3.1954, −3.1826]) no C++).

Para a barra cinco, as magnitudes de tensão no MatLab estão compreendidas entre [0.9226, 0.9542] e no C++ entre [0.931897, 0.944862]. O intervalo do ângulo de fase da tensão complexa nesta barra no MatLab está entre [−11.8858, −11.1450] e no C++ entre [−12.058238, −10.969591]. Note que o intervalo da magnitude de tensão no C++ é menor do que no MatLab e que o intervalo do ângulo de fase da tensão complexa no MatLab, é menor do que no C++.

Por fim, analisando a barra 6, sendo os intervalos [0.9749, 1.0011] e [0.982002, 0.993952], os valores das magnitudes de tensão, respectivamente, no MatLab e C++. Para os intervalos do ângulo de fase da tensão complexa, obteve-se no MatLab [−11.4116, −10.7724] e no C++ [−11.510828, −10.671804]. Assim, as mesmas con-clusões anteriores são novamente encontradas.

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Figura 4.1: Diˆametros da magnitude

O s´ımbolo ◦ indica os limites inferiores dos intervalos e o s´ımbolo ∆, os limites superiores dos intervalos. Observa-se também que os valores obtidos na magnitude e ângulo de fase da tensão complexa na forma pontual (veja tabela 4.2) estão compreendidos entre os valores obtidos na forma intervalar, tabelas 4.3 e 4.4.

4.2 Sistema de 14 barras

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Barra Magnitude Anguloˆ 1 0.9500 0 2 0.9500 −7.1604 3 0.9600 −17.6051 4 0.9136 −14.1075 5 0.9117 −12.1990 6 0.9500 −21.1531 7 0.9364 −18.4360 8 0.9500 −18.4345 9 0.9312 −20.7189 10 0.9263 −21.1594 11 0.9343 −21.3142 12 0.9328 −22.1558 13 0.9276 −22.1594 14 0.9091 −22.6360

As próximas duas tabelas apresentam, respectivamente, os resultados obtidos pelo MatLab e pelo C++ . Esses resultados correspondem as magnitudes e ângulos de fase das tensões complexas em todas as barras da rede elétrica do sistema de quatorze barras.

Tabela 4.6: MatLab: Sistema de 14 barras

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Tabela 4.7: C++: Sistema de 14 barras

1 [0.949999, 0.950001] [0.000000, 0.000000] 2 [0.949619, 0.950381] [−7.171258, −7.151542] 3 [0.959040, 0.960960] [−17.639945, −17.573868] 4 [0.910415, 0.916747] [−14.434632, −13.783448] 5 [0.909054, 0.914227] [−12.482243, −11.919021] 6 [0.949050, 0.950950] [−21.198073, −21.120923] 7 [0.931767, 0.941006] [−18.855232, −18.021135] 8 [0.949050, 0.950951] [−18.472299, −18.403534] 9 [0.925433, 0.936968] [−21.194661, −20.248064] 10 [0.920346, 0.932239] [−21.648966, −20.675278] 11 [0.928609, 0.939979] [−21.796268, −20.838795] 12 [0.926861, 0.938737] [−22.658980, −21.659449] 13 [0.921472, 0.933543] [−22.665919, −21.659409] 14 [0.902353, 0.915765] [−23.166555, −22.110889]

Por exemplo, analisando a tabela 4.6, para a barra sete, as magnitudes de tensão no MatLab estão compreendidas entre [0.9199, 0.9529] e este valor na tabela 4.7 é [0.931767, 0.941006]. Observe que o diâmetro da magnitude de tensão do intervalo ob-tido no C++ é menor do que o obob-tido no MatLab. Também, se a comparação for re-alizada em termos do ângulo de fase da tensão complexa na barra sete, o diâmetro do intervalo obtido no MatLab é maior do que o do C++ ([−18.9312, −17.9503] no MatLab, [−18.855232, −18.021135]) no C++).

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5 CONCLUS ˜

AO

No presente trabalho foi estudada uma metodologia baseada na Matemática Inter-valar com importante aplicação ao problema do fluxo de potência em redes de energia elétrica: a influência da inexatidão de dados e de erros de modelagem e numéricos sobre o perfil de tensões do sistema elétrico. Técnicas da Matemática Intervalar foram utiliza-das para resolver o problema do fluxo de potência com incerteza de dados, apresentando uma comparação entre os resultados obtidos com o ambiente de programação do software MatLab utilizando a biblioteca intervalar IntLab e com a linguagem de programação C++ utilizando a biblioteca intervalar de alta precisão chamada C-XSC.

Concluiu-se que é poss´ıvel aplicar a Matemática Intervalar ao problema do fluxo de potência com a utilização da biblioteca C-XSC a sistemas elétricos reais de grande porte para produzir resultados mais realistas. Dessa forma, pode-se conhecer a influência das incertezas sobre a magnitude e o ângulo de fase das tensões complexas nas barras do sistema elétrico. O C-XSC possui confiabilidade e exatidão nos seus cálculos aritméticos. O uso da biblioteca intervalar é de fácil operação, diversas soluções já estão pre-viamente codificadas como, por exemplo, os algoritmos de Newton e de Krawczyk.

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REFER ˆ

ENCIAS

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