Teoria diagramática em

(1)

Universidade Federal do Cear´a Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Departamento de F´ısica

Curso de Pós-Graduação em F´ısica

Teoria Diagram´

atica Em Semicondutores

Antˆ

onio Neudson Lima Marques

Disserta¸c˜

ao de Mestrado

Fortaleza

(2)

Antˆ

onio Neudson Lima Marques

Teoria Diagram´

atica Em Semicondutores

Disserta¸cão apresentada ao Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Fed-eral do Ceará como parte dos requisitos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.

Orientador:

Prof. Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho

Co-orientador:

Prof. Dr. Jo˜ao Milton Pereira Jr.

Fortaleza

(3)

Antˆ

onio Neudson Lima Marques

Teoria Diagram´

atica Em Semicondutores

Disserta¸cão apresentada ao Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal

do Cear´a como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.

Prof. Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho Prof. Orientador

Prof. Dr. Jo˜ao Milton Pereira Junior Universidade Federal do Cear´a

Prof. XX Universidade de YY

(4)

(5)

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho, pela amizade, compreen¸cão, paciência e, pelo trabalho de orienta¸cão.

Ao Prof. Jósue Mendes pela confian¸ca e apoio aos estudantes da Pós-Gradua¸cão. Ao amigo Raimundo Valmir Leite Filho, por seu companheirismo em todas as horas. Aos amigos Tayroni, cuja ajuda de valia inestimável nos assuntos do Linux, como também ao Prof. Antony Donegan pelos aux´ılios sem reservas nos assuntos do nosso sistema computacional.

Ao querido amigo Araras, vugo Luis, pelas agradabil´ıssimas risadas e apoio. Aos meus pais e, amigos n˜ao citados.

(6)

Resumo

(7)

Abstract

(8)

Procuram-se homens para jornada arriscada.

Baixa renumera¸c˜ao, frio cortante, longos meses

de completa escurid˜ao, perigo constante, retorno

em seguran¸ca duvidoso. Honra e reconhecimento

em caso de sucesso.

– An´uncio de jornal de Ernest Shackleton,

convocando exploradores para a Ant´artica, 1900.

(9)

Sum´

ario

Lista de Figuras

1 Teoria das Fun¸c˜oes de Green p. 10

1.1 Introdu¸cão . . . p. 10 1.2 A Representa¸cão de Schrödinger . . . p. 10

1.3 A Representa¸cão de Heisenberg . . . p. 11 1.4 O Ensemble Grão Canônico e a Média Térmica . . . p. 13 1.5 As Fun¸cões de Green . . . p. 14 1.5.1 Dependência Temporal . . . p. 15

1.5.2 Equa¸cão de Movimento . . . p. 16 1.5.3 Fun¸cões de Correla¸cão Temporal . . . p. 17 1.5.4 Representa¸cão Espectral e Intensidade Espectral . . . p. 17 1.5.5 Representa¸cão Espectral para as Fun¸cões de Green . . . p. 19

2 Teoria Diagram´atica p. 22

2.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 22 2.2 A MatrizS . . . p. 24 2.3 Teorema de Wick . . . p. 25 2.4 As Fun¸c˜oes de Green . . . p. 26

2.5 A Fun¸cão de Green de Ordem Zero . . . p. 26 2.6 Representa¸cão Diagramática . . . p. 27 2.6.1 Auto Energia Própria . . . p. 29

Apˆendice A -- Diagramas p. 30

A.1 A Fun¸c˜ao de Green de Ordem Zero . . . p. 30

Apˆendice B -- Diagramas p. 31

B.1 A Fun¸cão de Green de Ordem Zero . . . p. 31 B.2 Representa¸cão Diagramática . . . p. 32

(10)

Lista de Figuras

2.1 Diagrama representativo do termo de intera¸c˜ao do Hamiltoniano em

se-gunda quantiza¸cão. . . p. 23 2.2 A linha representa a fun¸cão de Green de ordem zero. . . p. 28 B.1 A linha representa a fun¸cão de Green de ordem zero. . . p. 33

(11)

10

1 Teoria das Fun¸

c˜

oes de Green

1.1 Introdu¸c˜

ao

Neste cap´ıtulo apresentaremos a teoria das fun¸cões de Green através do formalismo de Zubarev,usado no cálculo da taxa de transi¸cão pelo método da equa¸cão de movimento da fun¸cão de Green, no próximo cap´ıtulo. As fun¸cões de têm grande importância teórica,

tanto em mat´eria condensada, quanto em teoria de campos. Essa poderosa ferramenta foi introduzida primeiramente por Green em 1828 na teoria eletromagn´etica.

1.2 A Representa¸c˜

ao de Schr¨

odinger

Discutiremos nesta se¸cão algumas representa¸cões adequadas aos nossos propósitos, pois queremos descrever convenientemente nossas equacões de evolu¸cão para algum sis-tema f´ısico de interesse. Iniciaremos com a representa¸cão de Schrödinger. Nesta

repre-senta¸cão a fun¸cão de onda possui uma dependência temporal e denotaremos por |Ψs(t)i

e os operadores são considerados independentes do tempo, de modo que a equa¸cão de movimento(~_{= 1) é escrita como}

i∂

∂t|Ψs(t)i=H|Ψs(t)i (1.1)

A solu¸c˜ao formal da equa¸c˜ao eq(2.1), tendo o hamiltoniano explicitamente independente

do tempo ´e a fun¸c˜ao denotada por

|ΨS(t)i=e−iHt|ΨS(0)i (1.2)

(12)

1.3 A Representa¸c˜ao de Heisenberg 11

1.3 A Representa¸c˜

ao de Heisenberg

Aqui, os operadores possuem dependência explicita com o tempo e as fun¸cões de onda são denotadas por |ΨH(t)i. Essa fun¸cão de onda é agora representada como

|ΨH(t)i=eiHt|ΨS(0)i (1.3)

Tal defini¸c˜ao leva-nos a concluir que

|ΨH(t)i=|ΨS(0)i (1.4)

Um resultado fundamental é que o valor esperado de qualquer operador nas duas representa¸cões tem o mesmo valor, de modo que as representa¸cões são equivalentes e a escolha de uma ou outra, é mera conveniência. Sendo as fun¸cões de onda independentes do tempo, pode-se mostrar que a rela¸cão entre quaisquer operadores ÂH e Â é dada por

ˆ AH =ei

ˆ

Ht_Ae_ˆ −iHtˆ _(1.5)

Da rela¸c˜ao acima, deriva que a equa¸c˜ao de movimento tem a forma

∂

∂tAbH =i[ ˆH,A]ˆ (1.6)

Em mecânica estat´ıstica clássica a evolu¸cão dinâmica de um sistema f´ısico é descrita por suas variáveis cinemátcas no espa¸co de fase, de modo que a sua configura¸cão

in-stantânea para algum instante t é dada pela sua fun¸cão distribui¸cão f = f(q, p, t) no espa¸co de fase Γ e isto corresponde a uma cópia completa do sistema. A este conjunto de pontos ou configura¸cões do sistema é que denominamos ensemble. A equa¸cão de evolu¸cão dinâmica de um sistema f´ısico é dada pela equa¸cão de Liouville

df dt =

∂f

∂t +{f, H}= 0 (1.7)

onde [,] ´e o parentese de poisson e H o Hamiltoniano.

Em mecânica quântica tal equa¸cão expressa a evolu¸cão do operador estat´ıstico ou matriz densidadeρ,

∂ρ

∂t =−i[H, ρ] (1.8)

O valor médio ou macroscópico de uma grandeza A pode ser encontrado através da

fun¸c˜ao f de forma cl´assica por

hAi=

R

f AdΓ

R

(13)

1.3 A Representa¸c˜ao de Heisenberg 12

onde

dΓ =dp1· · ·dpndq1· · ·dqn (1.10)

Para um observável qualquer A podemos encontrar o seu valor final, através da mecânica quântica estat´ıstica, usando a fun¸cão de onda definida no espa¸co de Hilbert Ψ(x) =hx|ψi para o estado |ψi. Esse valor médio é dado por

hAi= (Ψ, AΨ) (Ψ,Ψ) =

P

n,m(cn, cm)(Φn, AΦm)

P

n(cn, cm)

(1.11)

Quando o sistema isolado evolui no tempo, sua fun¸cão de onda também se modifica através da expressão

Ψ(x, t) =X

n

cn(t)Φn(x) (1.12)

sendo os n´umeros cn as densidades de probabilidade e |cn|2 indica a probabilidade de se

encontrar o sistema isolado na posi¸cão x. Φn(x) são as autofun¸cões ortonormalizadas de

um operadorA. Podemos reescrever a média para um operadorAfazendo-se as seguintes considera¸cões de acordo com os postulados da mecânica quântica estat´ıstica:

(i) Igualdade da probabilidade a priori

(cn, cm) =

 



1, para E ≤En≤E+ ∆E

0, para n6=m

(1.13)

(ii) Fases randˆomicas

(cn, cm) = 0 (1.14)

Os coeficientes (cn, cm) referem-se a um sistema macrosc´opico em equil´ıbrio termodinˆamico

que interage t˜ao fracamente com o meio exterior que, sua energiaEnpode ser considerada

aproximadamente constante, isto ´e, ela se encontra em um intervalo infinitesimal, entre E e E+ ∆E, sendo (∆E ≪E).

Assim as expressões para a fun¸cão de onda e o valor médio, tornam-se

Ψ(x, t) =X

n

bn(t)Φn(x) (1.15)

hAi=

P

n|bn|2(Φn, AΦn)

P

n|bn|2

(1.16)

Podemos ainda escrever a m´edia termodinˆamica em termos do operador matriz den-sidadeρ, definido por:

ρ=X

i

(14)

1.4 O Ensemble Grão Canônico e a Média Térmica 13

lembrando que P_i|ΦiihΦi|= 1 e cujos elementos de matriz s˜ao dados por:

ρij =hΦi|ρ|Φji (1.18)

Portanto a m´edia tomar´a a forma seguinte

hAi=

P

i(Φi, AρΦi)

P

i(Φi, ρΦi)

= T r(Aρ)

T r(ρ) (1.19)

1.4 O Ensemble Gr˜

ao Canˆ

onico e a M´

edia T´

ermica

Neste ensemble o operador número atua sobre um espa¸co de Hilbert com número indefinido de part´ıculas. Contudo, sua utiliza¸cão transcende, pois mesmo quando estamos

interessados em um sistema com número fixo de part´ıculas, como elétrons num metal ou sistemas em que é imposs´ıvel fixar o número de part´ıculas, como no caso de gases formados por quasi-part´ıculas que, são cont´ınuamente criadas ou absorvida pela matéria, esse ensemble é fundamental. Queremos escrever a média térmica para este ensemble,

para tal escrevemos a densidade de estados como

Ωi =

e−β(Ei−µNi)

P

ie−β(Ei−µNi)

(1.20)

onde o denominador é a fun¸cão parti¸cãoZ, ou seja:

Z(µ, V, T) =X

i

e−β(Ei−µNi) _(1.21)

sendoµ o potencial qu´ımico e β= 1 κBT

.

Portanto podemos escrever a seguinte express˜ao para a matriz densidade ρ

ρ=X

i

|iiΩihi| (1.22)

De forma que usando-se a defini¸c˜ao de Ω, temos:

ρ= e

−β(H−µNi)

Z(µ, V, T) (1.23)

A média termodinâmica de qualquer operadorA, em equil´ıbrio termodinâmico é dada pela expressão

hAi= T r(Aρ)

(15)

1.5 As Fun¸c˜oes de Green 14

Assim para o ensemble grão canônico, encontramos que a média térmica é dada por

hAi= T r

Ae−β(H−µN)

T r[e−β(H−µN)_] =Z

−1_{T r}_Ae−β(H−µN) _(1.25)

1.5 As Fun¸c˜

oes de Green

Para sistemas interagentes ´e fundamental encontrar o espectro de excita¸c˜ao de uma

part´ıcula, o qual tem uma conexão com o limite não interagente. Tais excita¸cões são descritas por meio de fun¸cões de Green. Ainda mais, é corretodizer que as fun¸cões de Green representam a capacidade de resposta de um sistemaf´ısico a um excita¸cão ex-terna, sendo poss´ıvel obter a fun¸cão distribui¸cão paraesse sistema, ou ainda, as grandezas

macroscópicas termodinâmicas de interesse. Nesta se¸cão introduziremos tais fun¸cões seguindo o formalismo proposto por Zubarev(1). A fun¸cão de Green clássica aparece naturalmente emequa¸cões diferenciais como a equa¸cão de Poisson

∇2φ(r) = −ρ(r)/ǫ0 (1.26)

onde a fun¸cão de Green representa uma solu¸cão, sendo o potencial para uma carga unitária

G(R) = (4πǫ0R)−1 (1.27)

A resposta linear de um sistema quântico, pode de forma análoga ser obtida através da fun¸cão de Green. Essa resposta pode ser encontrada da resolu¸cão da equa¸cão de Schrödinger, ou equivalentemente para um sistema macroscópico, pela resolu¸cão da equa¸cão

de evolu¸c˜ao da matriz densidade

ıℏ∂ρ

∂t = [H+H0, ρ] (1.28)

(16)

Fun¸c˜ao de Green Retardada

Gr(t, t′) =≪A(t);B(t′)≫r≡ −iθ(t−t′)h[A(t), B(t′)]ηi (1.29)

Fun¸c˜ao de Green Avan¸cada

Ga(t, t′) =≪A(t);B(t′)≫a≡iθ(t−t′)h[A(t);B(t′)]i (1.30)

Fun¸c˜ao de Green Causal

Gc(t, t′) =≪A(t);B(t′)≫c≡ −ihT A(t)B(t′)i (1.31)

onde θ(t−t′_{) ´e a fun¸c˜ao degrau ou de Heaviside}

θ(t−t′_{) =}

(

1, se t−t′ _>_0. 0, se t−t′ _<_0.

e o comutador com ´ındice η carrega a estat´ıstica adequada, ou seja, a sua natureza-comutativa ou antinatureza-comutativa, respectivamente para b´osons e f´ermions.

[A, B]η =AB−ηBA (1.32)

Adotaremos η= +1. O valor médio que aparece na defini¸cão deve ser interpretado como uma média de ensemble. Como estaremos interessados em trabalharcom operadores que mudam o número de part´ıculas, o ensemble apropriado égrão-canônico. Neste caso, a média é definida como

hXi=Z−1T r(e−βH′X), Z−1 =T re−βH′ (1.33)

onde H′ ₌_H₋_µN_{, sendo}_µ _{o potencial qu´ımico.}

1.5.1 Dependˆ

encia Temporal

A primeira propriedade importante das fun¸cões de Green, é sua dependência da diferen¸ca de tempos. Tomando a média que aparece na defini¸cão da fun¸cão de Green, definida com dois tempos, tal como

hA(t)B(t′₎_i₌_Z−1_{T r(e}−βH′

AB) =Z−1_{T re}−βH′

eiH′tAe−iH′_t

eiH′t′Be−iH′_t′

(1.34)

e pela propriedade c´ıclica do tra¸co e a comuta¸c˜ao de quaisquer fun¸c˜oes deH′

(17)

obtemos que a m´edia acima s´o depende da diferen¸ca de tempo t−t′_.

hA(t)B(t′)i=Z−1T r(e−βH′eiH(t−t′)Ae−iH′(t−t′)B) =hA(t−t′)B(0)i (1.36)

Assim vemos que todas as fun¸cões de Green de tempo duplo dependem somente da diferen¸ca de tempo. Outras propriedades estão relacionadas a transformada de Fourier da fun¸cão de Green as quais examinaremos adiante.

1.5.2 Equa¸c˜

ao de Movimento

Na representa¸c˜ao de Heisenberg, os operadores A(t) e B(t’) satisfazem a seguinte

equa¸c˜ao de movimento

id

dtU(t) =U H ′

−H′U (1.37)

é fácil vermos isto quando derivamos a Eq.(2.6). Portanto, na Eq. (2.34), diferenciando em rela¸cão ao tempo≪A(t);B(t′₎

r ≫, decorre o seguinte resultado

d

dt ≪A(t);B(t ′₎_≫

r=−iδ(t−t′)h[A(t), B(t′)]i+i≪[H′, A(t)];B(t′)≫ (1.38)

Porém, embora tenhamos encontrado a equa¸cão de evolu¸cão de≪A(t);B(t′₎_≫

r,para

um par de operadores, esta, por sua vez, gerou um outrafun¸cão de Green de três oper-adores, ou seja, de ordem superior à fun¸cão original. Novamente para se conhecer essa nova fun¸cão é necessário utilizar sua equa¸cão de movimento e, assim de forma sucessiva, gerar-se uma cadeia infinita de fun¸cões de Green acopladas através de suas equa¸cões de

movimento. Para contornar essa dificuldade matemática e resolver o sistema é preciso reduzi-lo a um número finito de equa¸cões. O desacoplamento deve ser imposto a uma fun¸cão de Green de ordem mais alta em termos de uma de ordem mais baixa para cortar a série. Em alguns casos triviais, como para um sistema não interagente, o comutador

que aparece naprimeira equa¸cão não é muito complexo e a série se corta na primeira equa¸cão, permitindo a solu¸cão. Aqui revela-se naturalmente a base conceitual da fun¸cão de Green, pois dependendo do sistema f´ısico, para a solu¸cão da equa¸cão diferencial que envolve a fun¸cão de Green, é imprescind´ıvel a existência de condi¸cões de contorno às quais

o sistema está sujeito. Em alguns casos, por exemplo, como os que envolvem intera¸cões entre part´ıculas (bósons ou férmions fracamente interagentes), após uma conveniente mu-dan¸ca de espa¸co, a condi¸cão de contorno empregada para o desacoplamento das equa¸cões que surgem, é a aproxima¸cão HFA (Hartree-Fock Approximation)(2); ou os que envolvem

(18)

das fun¸cões de Green e das fun¸cões de Correla¸cão por intermédio das transformadas de Fourier e da´ı, dependendo do sistema, usa-se a aproxima¸cão mais conveniente. Portanto, definimos inicialmente a fun¸cão de Correla¸cão Temporal.

1.5.3 Fun¸c˜

oes de Correla¸c˜

ao Temporal

Quando desejamos calcular médias em sistemas com muitas part´ıculas devemos intro-duzir fun¸cões mais gerais que levem em conta a informa¸cão sobre correla¸cões no sistema, ou seja, fun¸cões que informem o quanto uma grandeza influencia em outra, decorridoum

certo tempo t. Em F´ısica Estat´ıstica, define-se fun¸cão de correla¸cão(3) como a média de produto de operadores. Então,da defini¸cão de média estat´ıstica no ‘ensemble grã-canônico’ para dois operadoresA(t) e B(t′_{), temos}

hA(t)B(t′₎_i₌_Z−1_{T r(e}−βH′

A(t)B(t′₎₎ _(1.39)

que como j´a demonstramos ´e

hA(t)B(t′)i=Z−1T re−βH′A(t−t′)B(0) (1.40)

Desse modo, definimos as fun¸c˜oes de Correla¸c˜ao para esses operadores da seguinte maneira

CAB(t−t′) =hA(t)B(t′)i ≡ hA(t−t′)B(0)i(1.41)

CBA(t−t′) =hB(t′)A(t)i ≡ hB(0)A(t−t′)i (1.42)

fun¸c˜oes, que no caso de equil´ıbrio termodinˆamico, dependem apenas da diferen¸ca entre os

instantest et′_{. Uma importante consequência desse fato é que quando assumimos} _t′ ₌_t, as médias temporais reduzem-se as médias estat´ısticas usuais, isto é

CAB(0) = hA(t)B(t′)i=hA(0)B(0)i (1.43)

CBA(0) = hB(t′)A(t)i=hB(0)A(0)i (1.44)

1.5.4 Representa¸c˜

ao Espectral e Intensidade Espectral

Neste ponto, iremos introduzir expans˜oes em auto-estados que representem um

(19)

Ent˜ao, considerando |νi, um auto-estado do Hamiltoniano do sistema que satisfaz a equa¸c˜ao de auto-valor

H′_|_ν_i₌_E

ν|νi (1.45)

Após algum algebrismo, a fun¸cão de Correla¸cão dada na Eq.(2.42) é agora represen-tada pelo conjunto completo desses auto-estados, na forma

CBA(t−t′) =Z−1

X

µ,ν

hν|B|µihµ|A|νiei(Eµ−Eν)(t−t′)_eβEµ _(1.46)

onde inserimos a rela¸c˜ao de completeza,P

µ

|µihµ|. Nesse ponto, ´e oportuno definirmos a seguinte transformada de Fourier

CBA(t−t′) = hB(t′)A(t)i=

Z +∞

−∞

J(ω)eiω(t−t′₎

dω (1.47)

Desse modo, expressamos a fun¸cão de Correla¸cão em termos de uma representa¸cão es-pectral, onde J(ω) é chamada de Intensidade Espectral (ou fun¸cão Espectral), definida como

J(ω) = 1 2π

Z +∞

−∞

CBA(t−t′)e−iω(t−t

′₎

dt (1.48)

Agora, substituindo a Eq.(2.46) na Eq.(2.48) e, considerando a representa¸c˜ao-δ

δ(Eµ−Eν−ω) =

1 2π

Z +∞

−∞

ei(Eµ−Eν−ω)_dt _(1.49)

obtemos, por fim

J(ω) =Z−1X

µ,ν

hν|B|µihµ|A|νieβEµ_δ(E

µ−Eν −ω) (1.50)

Deste resultado se infere naturalmente que a intensidade espectralJ(ω) est´a definida

nos pontos onde (Eµ−Eν) =ω, ou seja, das excita¸c˜oes do sistema. Por analogia, definimos

CAB(t−t′) = hA(t)B(t′)i=

Z ∞

−∞

J′_(ω)eiω(t−t′₎

dω (1.51)

onde J′_{(ω) ´e a fun¸c˜ao espectral de} _C

AB(t−t′), que goza da seguinte propriedade

J′_{(ω) =}_J_(ω)eβω _(1.52)

(20)

para as Fun¸c˜oes de Green-Gr(t−t′), via transformada de Fourier.

1.5.5 Representa¸c˜

ao Espectral para as Fun¸c˜

oes de Green

Como as fun¸cões de Green, que no caso de equil´ıbrio termodinâmico, também

depen-dem da diferen¸ca entre os tempost et′_{, podemos relacioná-las com intensidade espectral,} J(ω), através das seguintes opera¸cões; primeiro, escrevemos a transformada

Gr(t−t′) =

Z +∞

−∞

Gr(E)e−iE(t−t

′₎

dE (1.53)

e a anti-transformada,

Gr(E) =

1 2π

Z +∞

−∞

Gr(t−t′)eiE(t−t

′₎

dt (1.54)

depois substituimos na Eq. (2.33) a defini¸cão da Fun¸cão de Green, dada pela Eq. (2.29), ficando com a seguinte expressão:

Gr(E) =

1 2πi

Z +∞

−∞

eiE(t−t′)θ(t−t′)[FAB(t−t′)−FBA(t−t′)]dt (1.55)

Por ´ultimo, substituindo CAB(t−t′) e CBA(t−t′) pelas Eqs.(2.41) e (2.42),

respecti-vamente, obtemos

Gr(E) =

Z +∞

−∞

dωJ(ω)(eβω−1) 1 2πi

Z +∞

−∞

dtei(E−ω)(t−t′₎

θ(t−t′₎ _(1.56)

Devemos obter valores de E que satisfa¸cam a equa¸cão de Gr(E). A solu¸cão é

simpli-ficada quando escrevemos a fun¸c˜ao descont´ınua θ(t−t′_{) na forma}

θ(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

e−ix(t)

x+iεdx (1.57)

que pode ser resolvida usando o m´etodo de res´ıduos. Ent˜ao, considerando ǫ como uma

quantidade infinitesimal positiva (ǫ→ 0+_{), a express˜ao acima pode ser facilmente}

verifi-cada usando uma integra¸c˜ao cujo contorno ´e mostrado na figura abaixo.

Em (a), o integrando possui um pólo no semi-plano inferior para x =−iε. Quando t >0 o contorno é fechado nessa região e a integral na Eq.(2.57) é igual a unidade. Em

(b), parat <0, o contorno é fechado no semi-plano superior. Neste caso a integral é nula, pois o pólo está fora do contorno. Usando este resultado, temos que

Z +∞

−∞

dtei(E−ω)(t−t′)θ(t) = i

(21)

Portanto, a Eq. (2.35) reduz-se simplesmente `a forma

Gr(E) =

1 2π

Z +∞

−∞

J(ω)(eβω₋₁₎

E−ω+iε dω (1.59)

isto é, uma expressão que relaciona a fun¸cão de Green Retardada com a Intensidade Espectral. Por outro lado, fazendo uso da identidade

1

x+iε =P( 1

x)−iπδ(x) (1.60)

Gr(E), pode ser descrita por interm´edio de suas partes real e imagin´aria, ou seja

ReGr(E) =

1 2πP

Z +∞

−∞

J(ω)(eβω−1)

E −ω dω (1.61)

ImGr(E) =−

1 2(e

βE

−1)J(E) (1.62)

Disso decorre um resultado muito importante para a análise f´ısica dos sistemas ter-modinâmicos de que trata a Mecânica Estat´ıstica, em particular a F´ısica da Matéria Condensada, o Teorema da Flutua¸cão-Dissipa¸cão(4)

J(E) = −2

(eβE₋₁₎ImGr(E) (1.63)

pois, conhecida a parte imaginária da Fun¸cão de Green, a menos de um “fator térmico”

multiplicativo, encontramos a intensidade espectral e consequentemente a fun¸cão de cor-rela¸cão temporal que, também, uma vez conhecida, podemos determinar as grandezas termodinâmicas mensuráveis de interesse.

Em conjunto, como j´a mencionamos, podemos igualmente encontrar a fun¸c˜ao de Green

avan¸cada-Ga(E), tal como foi feito para Gr(E), e escrever uma express˜ao geral para

ambas, da seguinte maneira

Gr,a(E) =

1 2π

Z +∞

−∞

E−ω±iε dω (1.64)

Assim, utilizando o método das variáveis complexas que, afortunadamente, embora E seja uma quantidade real, as fun¸cões de Green Retardada e Avan¸cada podem ser

esten-didas analiticamente num plano complexo E; onde a primeira, só está definida para os valores positivos da parte imaginária da energia, e a segunda, para valores negativos da parte imaginária da energia. Então, como essas fun¸cões têm dom´ınios complementares, é poss´ıvel definir uma única fun¸cão de Green válida para todo o plano complexoE, com

(22)

represent´a-la do seguinte modo

G(E) = 1

2π

Z +∞

−∞

E−ω dω (1.65)

Dessa forma, G(E) passa a ser então uma fun¸cão de variável complexa, definida no plano complexo-E com singularidade no eixo real. Logo, a descontinuidade da fun¸cão G(E) sobre este eixo pode ser relacionada à fun¸cão espectral quando usamos a seguinte

representa¸c˜ao para a fun¸c˜ao delta

2πiδ(x) =

1 x−iε −

1 x+iε

(1.66)

tal que

G(E−iε)−G(E+iε) = 1 2π

Z +∞

−∞

dω(eβω−1)J(ω)

1

E−ω+iε −

1 E−ω−iε

(1.67)

ou,

G(E−iε)−G(E+iε) =−i(eβω−1)J(ω) (1.68) Esta técnica será usada no estudo da luminescência emitida por um semicondutor, no proximo cap´ıtulo. Devemos conhecer a forma explic´ıta do Hamiltoniano e determinar a fun¸cão de Green pelo método da equa¸cão de movimento. As aplica¸cões das fun¸cões de Green se estende por vários tipos de sistemas em matéria condesada, da´ı sua importância

(23)

22

2 Teoria Diagram´

atica

2.1 Introdu¸c˜

ao

O mundo f´ısico consiste de intera¸cões de sistemas de muitos corpos. Uma descri¸cão adequada é dada pela teoria de muitos corpos, a qual descreve um tal sistema através da fun¸cão de onda de um sistema de N part´ıculas Ψ(x1· · ·xN, t). Na prática a equa¸cão

de Schrodinger dependente do tempo i~∂

∂tΨ(x1· · ·xN, t) =HΨ(x1· · ·xN, t) n˜ao pode ser

resolvida. A formula¸cão de segunda quantiza¸cão nos permite obter uma solu¸cão aprox-imada. O Hamiltoniano escrito convenientemente em tal formalismo é geralmente dado na forma(6)

H=

N

X

k=1

T(xk) +

1 2

N

X

k6=l=1

V(xk, xl) (2.1)

ondeT é a energia cinética de cada part´ıcula eV a energia de intera¸cão entre as part´ıculas. Dado o tratamento de segunda quantiza¸cão a equa¸cão (eq2.1), o Hamiltoniano para bosons e fermions pode ser escrito como

H =H0+HI (2.2)

onde H0 ´e o termo para as part´ıculas n˜ao interagentes

H0 =

X

k

ǫka

†

kak (2.3)

eHI ´e o termo para as intera¸c˜oes do sistema

HI =

1 2

X

k1,k2,q

V(q)a†_k1a

†

k2ak2+qak1−q (2.4)

(24)

2.1 Introdu¸c˜ao 23

(25)

2.2 A MatrizS 24

2.2 A Matriz

S

Podemos definir um operador de maneira que a fun¸cão de parti¸cão pode ser obtida para o sistema através do Hamiltoniano não perturbado H0. Definimos o operador S(β)

por

e−βH ₌_e−βH0

S(β) (2.5)

A informa¸c˜ao sobre H est´a toda contida em S(β) ou S(τ), logo qualquer tratamento

perturbativo envolve o cálculo deS(β). Podemos encontrarS(β) diferenciando a equa¸cão acima em rela¸cão a β, portanto

∂ ∂βe

−βH ₌₋_H

0e−βH0S+e−βH0

∂

∂βS (2.6)

Devemos observar aqui que os operadores H0 e HI n˜ao comutam e, da equa¸c˜ao acima

obtemos

∂

∂β =−e −βH0

H1e−βH0S (2.7)

onde o termoH1 é o Hamiltoniano de intera¸cão. Da representa¸cão de Heisenberg, sabe-se

queH1(β) =e−βH0H1e−βH0, logo

∂

∂βS =−H1S(β) (2.8)

Da defini¸c˜ao de S, temos a seguinte condi¸c˜ao inicial

S = 1 para β = 0 (2.9)

Integrando-se a equa¸c˜ao (eq2.61) encontramos a solu¸c˜ao formal

S(β) = 1−

Z β

0

H1(τ)S(τ)dτ (2.10)

Nesse ponto devemos lembrar que H0 e HI n˜ao comutam, dois operadores HI(τ) e

HI(τ′) calculados em tempos diferentes também não comutam. A exponêncial (como

qualquer outra fun¸c˜ao)para operadores deve ser interpretada como a soma de sua s´erie, o que obriga a que o ordenamento dos produtos dos HI’s apresentem-se ordenados no

tempo.Por itera¸c˜ao obtemos a seguinte expans˜ao para a matrizS

S(β) = 1 + ∞

X

n=1

(−1)n

n!

Z β

0

dτ1· · ·

Z β

0

dτnTˆω[H1(τ1)· · ·H1(τn)] (2.11)

O operador ˆTw ´e denominado operador de ordenamento temporal, que rearranja a ordem

(26)

2.3 Teorema de Wick 25

para a direita, levando em conta também o número de ...No caso da fun¸cão parti¸cão para o sistema em intera¸cão, temos a seguinte expressão

Z =T re−βH = T re−βH0

S(β) (2.12)

= T re−βH0 T r

e−βH0S(β)

T r{e−βH0}

Portanto em termos de S(β) escrevemos

Z =Z0hS(β)i0 (2.13)

A dependência de Z em rela¸cão aS(β) implica no cálculo da média do termo

D

ˆ

Tw{HI(τ1)...HI(τn)}

E

0 (2.14)

2.3 Teorema de Wick

Este teorema é de fundamental importância no desenvolvimento da teoria dia-gramática e,portanto apresentaremos com algum rigor seus principais aspectos. Pela forma do Hamiltoniano de intera¸cão HI na representa¸cão de segunda quantiza¸cão, as

médias que precisam ser calculadas são médias deprodutos de operadores de cria¸cão e destrui¸cão em números iguais calculadas em tempos diversos. Para operadores de cada tipo, temos um propagador (ou fun¸cão de Green) de N part´ıculas. Mas a média é feita no sistema não interagente, ou seja, tomamos a médiahS(β)i₀, a propaga¸cão das N part´ıculas é feita de maneira independente, o que significa que a média se desacopla em N propa-gadores de uma part´ıcula, devendo-se somar sobre todas as poss´ıveis combina¸cões desses N propagadores, ou seja, todasas formas de dividir os 2N operadores originais em N pares de produtos com um operador de cria¸cão e um de aniquila¸cão. Este desacoplamento

pode ser demonstrado e constitui o Teorema de Wick. O desacoplamento das médias em produtos de fun¸cões de Green de ordem zero nos imprime a necessidadede conhecê-las. Desde queHI contenha um número par de operadores de cria¸cãoe aniquila¸cão poderemos

expressar a m´edia DTˆw

E

como

D

ˆ

Tw(b1b2...bm)

E

0 (2.15)

onde cada bi denota algum operador ak ou a

†

k e, m ´e algum inteiro par positivo. Cada

bi est´a associado a um ´ındiceτ. O teorema de Wick permite expandir essa m´edia de

operadores em termos que s˜ao m´edias do tipoDTˆw(bibj)

E

(27)

2.4 As Fun¸c˜

oes de Green

2.5 A Fun¸c˜

ao de Green de Ordem Zero

Vimos que ao escrever a fun¸c˜ao de Green, Gkσ, para uma part´ıcula devemos usar o

teorema de Wick para desacoplar todas as m´edias em produtos de fun¸c˜oes de Green de

ordem zero. Pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green, temos

G0_k(τ) = −DTˆwakσ(τ)a

†

kσ(0)

E

0 (2.16)

= −θ(τ)Da_k_σ(τ)a†_k_σ(τ)E

0+θ(−τ)

D

a†_k_σ(0)a_k_σ(τ)E

0

A parti daqui omitiremos os ´ındices de spin, pois esta fun¸cão é independente de spin. Escrevendo agora os operadores com separa¸cão na dependência temporal, temos

ak(τ) =e

−¯ǫkτ_a

k (2.17)

a†_k(τ) =e−¯ǫkτ_a†

k (2.18)

Ent˜ao fazendo acima, temos

G0_k = e−ǫ¯kτ

h

θ(−τ)Da†_ka_kE

0 −θ(τ)

D

a_ka†_kE

0

i

(2.19)

= e−ǫ¯kτ_{_θ(₋_τ_)f(ǫ

k)−θ(τ) [1−f(ǫk)]}

Escrevendo tal fun¸c˜ao no espa¸co das frequˆencias, bastando para isso, tomar a sua transformada de Fourier, tem-se

G0k(ωn) =

Z β

0

dτ eiωnτ_G0

k(τ) =−[1−fǫk]

Z β

0

dτ e(iωn−ǫk)τ _(2.20)

cujo resultado ´e

G0k(ωn) =

1 iωn−ǫk+µ

(2.21)

(28)

2.6 Representa¸c˜ao Diagram´atica 27

2.6 Representa¸c˜

ao Diagram´

atica

Na representacão diagramática (diagramas de Feynman) a fun¸cão de Green de ordem zero passa a ser representada por uma linha, figura(B.1) onde tem-se dois vértices internos. E as outras estruturas diagramáticas de linhas e intera¸cões de vértices serão representadas de acordo com a figura (), que é denominada de autoenergia de renormaliza¸cão do sistema.

As regras para se efetuar o cálculo das séries de diagramas são descritas abaixo.

(i) Para cada diagrama os ´ındices correspondentes ao momento e frequência são con-servados em cada vértice.

(ii) A cada v´ertice assicia-se um fator β(vq), onde q´e o momento transferido.

(iii) Para cada linha cheia devemos tamb´em incluir o fator

− 1

β

₁

iωm−ǫk

(2.22)

ondek eiωm são o momentum e a frequência ao longo de uma linha. Também inclu´ımos

o fator adicional exp(iωmO+) se a linha ´e auto-contra´ıda.

(iv) Incluir também o fator (−1)(n+nl)/pondené o número de vértices, n

l´e o n´umero

de loops fechados de férmions e pé o número de simetria.

(29)

(30)

2.6.1 Auto Energia Pr´

opria

A representa¸cão de algumas intera¸cões não pode ser separada em duas partes pela

quebra de uma linha de fun¸c˜ao de Green. A soma de tais diagramas representadas por

P

(k, iωm) é chamada de auto energia própria. A série de contribui¸cões para a fun¸cão

de Green de intera¸c˜ao G(k, iωm) pode ser substitu´ıda pela soma de todos os diagramas

envolvendo uma estrutura particular de vértice que são as auto energias próprias como

na figura (). Esta soma é conhecida como a equa¸cão de Dyson que relaciona a fun¸cão de Green de intera¸cão G com a fun¸cão sem intera¸cão G0 _{para alguma auto energia própia}

P

(k, iωm)

(31)

30

AP ˆ

ENDICE A -- Diagramas

A.1 A Fun¸c˜

ao de Green de Ordem Zero

(32)

31

AP ˆ

ENDICE B -- Diagramas

B.1 A Fun¸c˜

ao de Green de Ordem Zero

teorema de Wick para desacoplar todas as médias em produtos de fun¸cões de Green de ordem zero. Pela defini¸cão da fun¸cão de Green, temos

G0

k(τ) = −

D

ˆ

Twakσ(τ)a

†

kσ(0)

E

0 (B.1)

= −θ(τ)Da_k_σ(τ)a†_k_σ(τ)E

0+θ(−τ)

D

a†_k_σ(0)a_k_σ(τ)E

0

A partir daqui omitiremos os ´ındices de spin, pois esta fun¸c˜ao ´e independente de spin.

Escrevendo agora os operadores com separa¸c˜ao na dependˆencia temporal, temos

ak(τ) =e

−¯ǫkτ_a

k (B.2)

a†_k(τ) =e−¯ǫkτ_a†

k (B.3)

Ent˜ao fazendo acima, temos

G0_k = e−ǫ¯kτ

h

θ(−τ)Da†_ka_kE

0 −θ(τ)

D

a_ka†_kE

0

i

(B.4)

= e−ǫ¯kτ_{_θ(₋_τ_)f(ǫ

k)−θ(τ) [1−f(ǫk)]}

Escrevendo tal fun¸c˜ao no espa¸co das frequˆencias, bastando para isso, tomar a sua transformada de Fourier, tem-se

G0_k(ωn) =

Z β

0

dτ eiωnτ_G0

k(τ) =−[1−fǫk]

Z β

0

dτ e(iωn−ǫk)τ _(B.5)

cujo resultado ´e

G0_k(ωn) =

1 iωn−ǫk+µ

(B.6)

(33)

B.2 Representa¸c˜ao Diagram´atica 32

B.2 Representa¸c˜

ao Diagram´

atica

(34)

(35)

Figura B.2: Diagramas da equa¸c˜ao de Dyson para os pares E-H.

Energia nas bandas ´e dada por

ǫ(k) =

            

ǫc(k) =

~2_k2

2mc

+ǫg−µc

ǫv(k) =−

~2_k2

2mv

−µv

(B.7)

Ent˜ao, para os el´etrons e buracos na esfera de Fermi, temos

ǫe(k+q) =

~2₍_k₊_q₎2

2me

+ǫg−µc =

~2

2me

(k2+q2+ 2k·q) +ǫg−µc (B.8)

ǫh(k) = −

~2_k2

2mh

−µv (B.9)

A diferen¸ca de energia ∆ǫ ´e portanto igual a

∆ǫ=ǫk−ǫk+q =− ~2_k2

2

me+mh

memh

− ~

2

2me

(q2+ 2k·q)−ǫg+ (µc−µv) (B.10)

que pode ser simplicada, usando m∗ _{como a massa reduzida ou a massa do par} _E ₋_H, dando

∆ǫ=ǫk−ǫk+q=− ~2_k2

2m∗ −

~2

2me

(q2 + 2k·q)−ǫg+ (µc −µv) (B.11)

O termoF0₍_q_{, iω}

m) representa a cria¸c˜ao de um parE−H, ondeq´e o momentum de

transferˆencia.

Usando as regras para a constru¸c˜ao dos diagramas de Feynman, obtemos paraF0₍_q_{, iω}

(36)

Figura B.3: Diagrama (bal˜ao) representativo da cria¸c˜ao de um par E-H.

a express˜ao

F0(q, iωm) =−

1 β

X

k

n0

k−n0k+q

iωm−

_~₂

k2

2m∗ +

~2

2me

(q2_{+ 2}_k_·_q_{) +}_ǫ

g−∆µ

(B.12)

A frequência de excita¸cão externaiωm aparece aqui, observando um pólo no denominador

acima (iωm−∆ǫ= 0). Portanto,

ω0(k,q) = ~2_k2

2m∗ +

~2

2me

(q2+ 2k·q) +ǫg−∆µ (B.13)

(37)

(38)

Para calcular a renormaliza¸cão da energia do par E-H, devemos considerar a seguinte série de diagramas que contém os efeitos plasmons

F(q, iωm) = F0(q, iωm)−F0(q, iωm)βv(q)F0(q, iωm) +. . . (B.14)

= F

0₍_q_{, iω}

m)

1 +βv(q)F0₍_q_{, iω}

m)

As solu¸cões para as frequências da séria acima podem ser obtidas através de seus pólos, nesse caso obtém-se uma nova equa¸cão para a rela¸cão de dispersão do parE-H consideran-do-se as intera¸cões. Tais excita¸cões são denominadas plasmons. Os pólos podem ser obtidos com a condi¸cão

βv(q)F0(q, iωm) =−1 (B.15)

ou seja,

F0(q, iωm) =

1

v(q) (B.16)

Substituindo-se a express˜ao anterior para F0₍_q_{, iω}

m), obtemos

X

k

n0

k−n0k+q

iωm+ǫk−ǫk+q

= 1

v(q) (B.17)

Neste caso, a frequência de plasma Ω(0) é obtida de forma análoga ao caso de um gás de elétrons, que é dada por

Ω(0) =N e

2

ǫ0m

1/2

(39)

38

Referˆ

encias

1 N.ZUBAREV, D. Double-time green function.Modern Physics Letters B, v. 10, n. 22, p. 1077–1083, 1996.

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