Matemática. Revisão: geometria plana 1. Exercícios

Revisão: geometria plana 1

Objetivos

Revisar teorema de Tales, triângulos, quadriláteros e circunferências.

Exercícios

1.

Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura.

Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a:

a) 1 + 2√3 b) 2 + 2√3 c) 2 + √3 d) 1 + √3 e) 4 + √3

2.

Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que AB = 90 m, BC = 100 m, DE = x e EF = 80 m.

Nessas condições, o valor de x é a) 62 m.

b) 60 m.

c) 72 m.

d) 74 m.

e) 68 m.

o ponto Q. Na rua A, já asfaltada, há três terrenos com frente para a rua B e para rua A. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3, para a rua A, medem respectivamente 10 m, 25 m e 30 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 32 m.

Quantos metros de asfalto serão necessários?

a) 65 m b) 72 m c) 38,4 m d) 83,2 m e) 56 m

4.

A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.

A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a a) 160.

b) 175.

c) 180.

d) 170.

e) 155.

5.

Considere os pontos da malha quadriculada da figura.

Se a soma das áreas dos polígonos indicados em vermelho é igual a 16 cm², então a medida do segmento de reta indicado em verde é igual a:

a) ^3√2

4 cm b) 4√2 cm c) ^3√3₄ cm d) ^4√2

3 cm e) ^4√3

3 cm

6.

As tomografias computadorizadas envolvem sobreposição de imagens e, em algumas situações, é necessário conhecer a área da região de intersecção das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N e raio NB = NC = NM, com M e N sendo pontos médios, respectivamente, de AB e BC.

Sendo a área de triângulo equilátero de lado ℓ igual a ^ℓ2₄^√3 e a área de círculo de raio r igual a πr², se o lado do triângulo ABC medir 4 cm, então a área de intersecção entre o triângulo e o círculo, em cm², será igual a:

a) π + 3√3 b) ^π+3√3₂ c) π + √3 d) ^2π+6√3₃ e) π + 2√3

a) √3 + 1 b) √2 + 1 c) √2 − 1 d) √3 e) √2

8.

No triângulo ABC exibido na figura a seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC. Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC é igual a:

a) 3t b) 2√3t c) 4t d) 5t e) 3√2t

9.

O retângulo PQRS é formado por seis quadrados cujos lados medem 2 cm. O triângulo ABC, em seu interior, possui os vértices definidos pela interseção das diagonais de três desses quadrados, conforme ilustra a figura.

Qual a medida da área do triângulo ABC, se tomamos como unidade de medida a área de um quadrado de lado igual a 2 cm?

a) 2 b) 1,5 c) 1,25 d) 1 e) 0,5

10.

Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido elevando-se ao quadrado ⁸₉ do seu diâmetro.

Fazer esse cálculo corresponde a substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por um número racional. Esse número é igual a:

a) ³²₉ b) ¹²⁸

9

c) ²⁵⁶₉ d) ¹²⁸

81

e) ²⁵⁶

81

1. B

A área do quadrado de riscos horizontais é, em metros quadrados, igual a x². A área de cada retângulo de linhas diagonais, também em metros quadrados, é 2 ∙ (x + 2). Se o total de área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então:

x²= 2 ∙ 2(x + 2) x²− 4x − 8 = 0

Resolvendo por Bháskara, temos: x = 2 + 2√3 2. C

Pelo teorema de Tales, segue que:

DE AB=EF

BC⇔ x 90= 80

100⇔ x = 72 m 3. D

De acordo com o teorema de Tales, podemos escrever que:

32

PQ= 25

10 + 25 + 30 25 ∙ PQ = 32 ∙ 65 PQ = 83,2 m

4. C

Vamos dividir a figura em partes conhecidas:

A área do retângulo OFCE é base x altura, logo:

AOFCE= 20 ∙ 9 = 180

A área do triângulo BFC é (base x altura)/2, logo:

ABFC=20 ∙ (15 − 9)

2 =20 ∙ 6 2 = 60

A área do triângulo ODA é (base x altura)/2, logo:

AODA=10 ∙ 3 2 = 15

A área do triângulo DEC é (base x altura)/2, logo:

A_DEC=(20 − 10) ∙ 9

2 = 45

Agora, vamos pensar na área do trapézio composta por essas figuras, temos que:

A_ABCD= A_OFCE− A_ODA− A_DEC+ A_BFC AABCD= 180 − 15 − 45 + 60

A_ABCD= 180 5. D

Calculando:

Segmento verde = x√2 4x ∙ x +x + 4x

2 ∙ 2x = 16 ⇒ 9x²= 16 ⇒ x =4 3 Segmento verde =^4√2

3

Calculando:

Striângulo=2²√3 4 = √3 Ssetor=πR²

6 =π2² 6 =4π

6

Sintersecção= 2 ∙ S_triângulo+ S_setor= 2√3 +4π

6 =6√3 + 2π 3 7. B

Se as áreas são iguais e o ângulo central é θ, então:

(a + b)²∙ θ 2 −a²∙ θ

2 =a²∙ θ (a + b)²− 2a²= 0 2

(a + b − √2a) ∙ (a + b + √2a) = 0 a(√2 − 1) = b

a

b= √2 + 1 8. C

Sendo M o ponto médio de AB e tendo os triângulos AMN e MBN a mesma altura, temos:

(AMN) = (MBN) = t.

Analogamente, sendo N o ponto médio de AC, bem (BCN) = (BAN).

Portanto a resposta é 4(MBN) = 4t.

9. E S =b ∙ h

2 =2 ∙ 2

2 = 2 cm²

1 unidade de área (u.a.) = 2 ∙ 2 = 4 cm²⇒ S = 0,5 u.a.

10. E

Se d é o diâmetro do círculo, então sua área é dada por:

π (d 2)

2

= π ∙d² 4

Por outro lado, segundo o enunciado, a área pode ser aproximada por:

(8 9d)

2

=64 81d² Desse modo, vem:

π 4≅64

81⇒ π ≅256 81