DISTRIBUIÇÃO DE ENCOMENDAS POR MEIO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM ARRUMAÇÃO DE CARGA EM TRÊS
DIMENSÕES COM POSSIBILIDADE DE ROTAÇÃO NOS TRÊS EIXOS Dahlen Siqueira Silva
Rodrigo de Alvarenga Rosa
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - Transportes Universidade Federal do Espírito Santo
RESUMO
A mobilidade urbana tornou-se um dos principais desafios das cidades. Empresas de logística buscam alternativas que atendam a demanda por produtos sem agravar as condições da mobilidade das cidades. A máxima utilização da capacidade volumétrica dos veículos pode levar a uma redução do número de veículos circulando nas vias melhorando a mobilidade. Assim, é proposto um modelo matemático baseado no Capacitated Vehicle Routing Problem with Three-dimensional Loading Constraints para resolver de forma integrada a elaboração de rotas e a arrumação da carga em três dimensões incorporando a possibilidade da rotação da carga nos três eixos ortogonalmente, o que ainda não foi proposto na literatura. Para testar o modelo, ele foi aplicado à empresa Correios na região metropolitana de Vitória-ES. Utilizou-se o CPLEX-12.6 para rodar instâncias com até 20 clientes e 40 caixas. Os resultados mostraram ganhos na ocupação dos veículos quando é permitido rotacionar as caixas em três dimensões.
ABSTRACT
Urban mobility has become one of the cities’ main challenges. Logistics companies seek alternatives to meet the demand for products without disturbing cities’ mobility. Maximum utilization of the volume capacity of the vehicle may lead to a reduction in the number of vehicles circulating on the roads improving mobility.. Thus, it is proposed a mathematical model based on the Capacitated Vehicle Routing Problem with Three-Dimensional Loading Constraints to solve in an integrated manner the routes and cargo stowing in three dimensions considering the possibility of cargo rotation around the three orthogonal axes, which has not yet been proposed in the literature.
To test the model, it was applied to Correios company in the metropolitan area of Vitória-ES. It was used CPLEX- 12.6 to run instances with up to 20 customers and 40 boxes. The results showed gains in the vehicle’s occupancy when it is allowed to rotate the boxes in three dimensions.
1. INTRODUÇÃO
Devido ao aumento da demanda por bens e à falta de investimentos em infraestrutura e mobilidade urbana, a intensa circulação de mercadorias transportadas por veículos de carga agrava problemas existentes como congestionamentos, poluição e acidentes. Para que a qualidade do serviço de entrega de mercadorias não seja prejudicada e esse serviço não prejudique a mobilidade urbana, é necessário que o planejamento da logística da empresa seja ajustado a essa nova realidade, ou seja, são necessárias análises sobre a diminuição do número de veículos circulando nas vias, sobre as rotas a serem percorridas e sobre os tipos de veículos a serem utilizados nesse transporte.
Além disso, aumentar a ocupação da capacidade volumétrica do compartimento de carga de um veículo pode levar a um número menor de veículos para a distribuição das encomendas, o que beneficiaria a sociedade pela redução da interferência no espaço urbano e a empresa pela redução dos custos em adquirir novos veículos para atender a demanda crescente de mercadorias. Assim, uma possibilidade de otimizar a utilização do volume do compartimento de carga é permitir que as encomendas armazenadas em caixas possam ser rotacionadas ortogonalmente nos três eixos para preencher os espaços disponíveis.
A empresa Correios possui diversos tipos de veículos para a entrega de encomendas SEDEX.
Este artigo tem foco na distribuição de encomendas SEDEX feita pelos Correios. As
encomendas SEDEX dos Correios são embaladas em caixas paralelepipédicas que podem ser empilhadas e rotacionadas nas três dimensões, o que permite que elas sejam posicionadas de maneira a aumentar a utilização da capacidade volumétrica do compartimento de carga.
Este artigo propõe um modelo matemático baseado no Capacitated Vehicle Routing Problem with Three-dimensional Loading Constraints (3L-CVRP) (Gendreau, 2006). O modelo matemático proposto elabora para cada veículo uma rota e a arrumação das cargas dos clientes atendidos por ele e considera ainda a disposição em três dimensões das cargas, área de suporte, entrega de produtos de um mesmo cliente de uma única vez e rotação das caixas ortogonalmente em torno dos três eixos. Sua função objetivo visa a minimização do número de veículos utilizados para o serviço e da distância percorrida por todos os veículos. Além disso, o modelo considera frota heterogênea e janela de tempo. A principal diferença do modelo proposto em relação aos modelos existentes na literatura é que as caixas podem ser rotacionadas ortogonalmente em torno dos três eixos (X-Y-Z), sendo que os outros artigos que trataram o 3L-CVRP consideraram rotação das caixas em dois e/ou nenhum eixo, i.e., rotação horizontal ou sem rotação das caixas.
Para testá-lo, ele foi aplicado na empresa Correios na região metropolitana de Vitória-ES e instâncias de até 20 clientes e 40 caixas paralelepipédicas foram elaboradas. Os resultados mostraram que a aplicação do modelo levou a uma melhor ocupação dos compartimentos de carga dos veículos.
Este artigo está estruturado da seguinte forma: Na Seção 2 são apresentados os conceitos relevantes e uma revisão bibliográfica sobre o 3L-CVRP. Na Seção 3, o modelo matemático é apresentado. A Seção 4 apresenta as informações levantadas e as instâncias propostas. Na Seção 5 são apresentados os resultados e análises e na Seção 6 são apresentadas as conclusões.
2. REFERENCIAL TEÓRICO
O Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) tem por objetivo determinar um conjunto ótimo de rotas para uma frota de veículos, de tal forma que a capacidade do veículo não seja excedida e que todos os clientes sejam atendidos. Isto deve ser realizado percorrendo rotas com a menor distância total (Eksioglu et al., 2009).
O problema Capacitated Vehicle Routing Problem with Three-dimensional Loading Constraints (3L-CVRP), introduzido por Gendreau et al. (2006), é a combinação da roteirização de veículo com a arrumação da carga em três dimensões no compartimento de carga desse veículo. Caixas paralelepipédicas de dimensões conhecidas são transportadas em compartimentos de carga também paralelepipédicos e a solução do problema é dada por um conjunto de rotas para atendimento dos clientes e sua respectiva arrumação da carga, obedecendo às restrições impostas do problema (Bortfeldt, 2012). O 3L-CVRP é um problema prático de grande interesse para empresas de logística porque pode incorporar características reais do transporte de mercadorias. O 3L-CVRP une dois problemas de otimização combinatória: o CVRP e o Three-dimensional Bin Packing Problem (3D-BPP) (Fuellerer et al., 2010). O 3L-CVRP é considerado um problema NP-hard porque combina dois problemas NP- hard: a roteirização de veículos e a arrumação das caixas em três dimensões. As principais referências bibliográficas em relação ao 3L-CVRP são apresentadas a seguir.
Gendreau et al. (2006) elaboraram uma meta-heurística Tabu Search (TS) para resolver o 3L- CVRP que tinha uma sub-rotina TS para resolver o carregamento (tratado como subproblema).
O problema considerava as restrições de fragilidade, área de suporte, LIFO e orientação fixa.
Tarantilis et al. (2009) apresentaram uma meta-heurística híbrida, Guided Tabu Search (GTS), composta pela TS e pela Guided Local Search (GLS). Em relação ao carregamento, eles criaram seis heurísticas para aumentar a probabilidade de encontrar a melhor solução para o posicionamento das caixas sem violar as restrições de fragilidade, área de suporte, LIFO e permissão de rotação no plano horizontal.
Fuellerer et al. (2010) propuseram um algoritmo Ant Colony Optimization (ACO) que combina duas heurísticas (uma para roteamento e outro para o carregamento), a fim de resolver o 3L- CVRP. O estudo trouxe bons resultados em todas as instâncias de teste disponíveis publicamente e melhorou o custo total de roteamento, em média, mais de 6%. Zhu et al. (2012) consideraram as restrições de fragilidade, estabilidade da carga, LIFO e rotação das caixas no plano horizontal e os resultados desse estudo foram comparados com Gendreau et al. (2006), Tarantilis et al. (2009) e Fuellerer et al. (2010), obtendo resultados melhores em mais de 70%
das instâncias.
Bortfeldt (2012) apresentou um algoritmo híbrido eficiente para resolver o 3L-CVRP com rotações das caixas no plano horizontal, o qual incluiu uma TS para o roteamento de veículos e uma TS em Árvore para carregar as caixas de todos os clientes de uma rota em um compartimento de carga de um veículo. Miao et al. (2012) propuseram um Genetic Algorithm (GA) híbrido para o 3L-CVRP, o qual considerava rotação no plano horizontal e combinava um GA com a TS. Junqueira et al. (2013) propuseram um modelo matemático de Programação Linear Inteiro para o 3L-CVRP. Esse modelo considerava orientação fixa das caixas, estabilidade vertical da carga, multi-drop sessions, e a capacidade de suporte da caixa, inclusive sua fragilidade. Ruan et al. (2013) apresentaram para o 3L-CVRP uma abordagem híbrida que combina Honey Bee Mating Optimization (HBMO) para o roteamento de veículos e as seis heurísticas de carregamento tridimensional de Tarantilis et al. (2009) com o intuito de resolver o problema de forma integrada.
Wei et al. (2014) introduziram uma nova variante, o Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem with Three-Dimensional Loading Constraints (3L-HFVRP). Tao e Wang (2015) aprimoraram seus próprios estudos sobre o 3L-CVRP e afirmaram que a rapidez com que um problema é resolvido e a boa qualidade da solução são aspectos influenciados pela maneira como o subproblema de carregamento é solucionado. Assim, o 3L-CVRP era resolvido utilizando uma TS, a qual possuía duas heurísticas para o subproblema de carregamento chamadas de least waste e touching area. Esse estudo considerou as restrições de fragilidade, área de suporte, LIFO e a possibilidade de rotação das caixas no plano horizontal. Assim, apresentou bons resultados com maior rapidez de execução quando comparado com outras heurísticas. Junqueira e Morabito (2015) aplicaram o 3L-CVRP a uma transportadora brasileira e consideraram restrições relacionadas à estabilidade vertical da carga e a situações multi-drop, além de considerar restrições comuns como as caixas não podem ocupar o mesmo espaço e caixas de um mesmo cliente têm que estar dentro do mesmo veículo.
Após a revisão bibliográfica, pode-se dizer que a proposta deste artigo de um modelo matemático para o 3L-CVRP com frota heterogênea e janela de tempo que resolva a roteirização e a arrumação da carga de forma integrada incluindo a possibilidade de rotação da carga em
torno dos três eixos ortogonalmente é inovadora entre as mais diversas publicações sobre o assunto.
3. MODELO MATEMÁTICO PROPOSTO
O modelo matemático proposto tem foco na roteirização de veículos e na arrumação das caixas no compartimento de carga com possibilidade de rotação em torno dos três eixos ortogonalmente. A rota mais adequada é elaborada de forma integrada à arrumação das caixas no compartimento de carga. O modelo matemático foi desenvolvido considerando problemas com frota heterogênea, ou seja, os compartimentos de carga possuem diferentes dimensões (comprimento, largura e altura) e janela de tempo.
O modelo matemático satisfaz as seguintes restrições: 1) a capacidade volumétrica de cada veículo não pode ser excedida; 2) as posições das caixas dentro do compartimento de carga não podem ser coincidentes; 3) as caixas têm que ser posicionadas ortogonalmente ao compartimento de carga, podendo ser rotacionadas nas três dimensões; 4) a estabilidade das caixas deve ser garantida por uma área de suporte que pode ser o piso do compartimento de carga ou a face superior de outra caixa; 5) as caixas de um mesmo cliente devem estar dentro de um mesmo veículo. Com essas restrições, o modelo consegue resolver situações semelhantes às encontradas na realidade pelos Correios.
No modelo proposto são considerados clientes, caixas e veículos. São considerados ainda os seguintes conjuntos: , conjunto de caixas i, variando de 1 a nb; , conjunto de veículos j, variando de 1 a nv; , conjunto de clientes variando de 1 a nc; 0 , conjunto auxiliar de clientes variando de 0 a nc; 1 , conjunto auxiliar de clientes, variando de 1 a (nc+1); , conjunto auxiliar de clientes, variando de 0 a (nc+1).
Os parâmetros são: , distância entre dois clientes α e β da rota realizada pelo veículo j; , tempo para percorrer a distância entre dois clientes α e β da rota realizada por qualquer veículo;
e , início e fim da janela de tempo para o cliente α, respectivamente; , tem o valor 1 se a caixa i pertence ao cliente α e 0 caso contrário; , custo por quilômetro percorrido e , custo fixo de utilização do veículo e e , números para a lógica do modelo, respectivamente, número muito grande e muito pequeno; , área de suporte a ser considerada no modelo, a qual pode assumir valores entre 0 e 1. 0 indica 0% de área de suporte e 1 garante 100% de área de suporte para a caixa, sendo o último valor a área de suporte considerada no modelo; , , , comprimento, largura e altura da caixa i; , , , comprimento, largura e altura do compartimento do veículo j. Por fim, tem-se os pesos das 2ª, 3ª e 4ª parcelas da função objetivo Ω, ! ", respectivamente.
As variáveis de decisão são: # , $ , % , coordenadas do canto frontal inferior esquerdo da caixa i; &# , &$ , &% , define se o comprimento da caixa i é paralelo aos eixos X, Y ou Z. Por exemplo, lxi é igual a 1 se o comprimento da caixa i é paralelo ao eixo X, caso contrário, lxi é igual a 0;
'# , '$ , '%, define se a largura da caixa i é paralela aos eixos X, Y ou Z. Por exemplo, wxi é igual a 1 se a largura da caixa i é paralela ao eixo X, caso contrário, wxi é igual a 0; ℎ# , ℎ$ , ℎ% , define se a altura da caixa i é paralela aos eixos X, Y ou Z. Por exemplo, hxi é igual a 1 se a altura da caixa i é paralela ao eixo X, caso contrário, hxi é igual a 0; # , variável binária que indica se o veículo j viaja diretamente do cliente α até o cliente β. É igual a 1 se o veículo j viaja diretamente de α a β e 0 caso contrário; ) , momento de chegada do veículo j no cliente α; ,
variável binária que indica se a caixa i é colocada no veículo j. É igual a 1 se a caixa i foi colocada no veículo j e 0 caso contrário. % , variável binária que indica se o cliente α está sendo atendido pelo veículo j. É igual a 1 se o cliente α é atendido e 0 caso contrário; *+ , variável binária que indica se a caixa i e a caixa k estão carregadas no mesmo veículo j. É igual a 0 se a caixa i e a caixa k são colocadas no mesmo veículo j e 1 caso contrário;
+, +, +, +, !+, + são variáveis binárias que indicam a posição relativa entre as duas caixas. A variável aik é igual a 1 se a caixa i está à esquerda da caixa k. Da mesma forma, as variáveis +, +, +, !+, + indicam se a caixa i está à direita, atrás, em frente, abaixo ou acima da caixa k, respectivamente. Essas variáveis são necessárias somente quando i ≠ k. A seguir são apresentadas a função objetivo e as restrições do modelo matemático proposto.
Função Objetivo Minimizar
Ω , , # -
∈/0
∈10
+ ,
∈10
, , #
∈30
∈30
+ , #
∈/
+ " , %
∈/
(1)
Restrições
, , # = 1
510
530 |∶ 8 ∀ : ∈ (2)
, # - = 1
5/;0 ∀ < ∈ (3)
, # Ɣ
5/-0 | 8Ɣ
− , # Ɣ
5/;0 | 8Ɣ
= 0 ∀ Ɣ ∈ , < ∈ (4)
, # (@0A;) = 1
5/-0 ∀ < ∈ (5)
# (@0A;) = 0 ∀ C ∈ , < ∈ (6)
# - = 0 ∀ : ∈ , < ∈ (7)
, , #
5/ | DEFG H ; 530
= , %
5/ | DEFG H ; ∀ : ∈ ; < ∈ (8)
# + &# + (&% − '$ + ℎ% ) + (1 − &# − &% + '$ − ℎ% ) − *+ ≤ #++ (1 − +)
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (9)
#++ + &#++ +(&%+− '$++ ℎ%+) + + (1 − &#+− &%++ '$+− ℎ%+) − *+ ≤ # + (1 − +)
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (10)
$ + '$ + (1 − &# − &% ) + (&# + &% − '$ ) − *+ ≤ $++ (1 − +)
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (11)
$++ +'$++ + (1 − &#+− &%+) + + (&#++ &%+− '$+)
− *+ ≤ $ + (1 − +) ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (12)
% + ℎ% + (1 − &% − ℎ% ) + &% − *+ ≤ %++ (1 − !+)
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (13)
%++ + ℎ%++ + (1 − &%+− ℎ%+) + + &%+− *+ ≤
% + (1 − +)
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (14)
+ H + ∀ , ∈ (15)
+ H + ∀ , ∈ (16)
!+ H + ∀ , ∈ (17)
++ ++ ++ ++ !++ + ≥ 1 − *+ ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (18)
, = 1
∈10 ∀ ∈ (19)
, ≤ , # -
∈/0
∈/ ∀ < ∈ (20)
# + &# + (&% − '$ +ℎ% ) + (1 − &# − &% +
'$ − ℎ% ) ≤ + (1 − ) ∀ ∈ , < ∈ (21)
$ + '$ + (1 − &# − &% ) + (&# + &% − '$ ) ≤
+ (1 − ) ∀ ∈ , < ∈ (22)
% + ℎ% + (1 − &% − ℎ% ) + &% ≤ + (1 − ) ∀ ∈ , < ∈ (23)
&# + &$ + &% = 1 ∀ ∈ (24)
'# + '$ + '% = 1 ∀ ∈ (25)
ℎ# + ℎ$ + ℎ% = 1 ∀ ∈ (26)
&# + '# + ℎ# = 1 ∀ ∈ (27)
&$ + '$ + ℎ$ = 1 ∀ ∈ (28)
&% + '% + ℎ% = 1 ∀ ∈ (29)
2 − − + ≥ *+ ∀ , ∈ ; < ∈ (30)
2 − − + ≤ *+ ∀ , ∈ ; < ∈ (31)
# + &# + (&% − '$ +ℎ% ) + (1 − &# − &% + '$ − ℎ% ) + (1 − !+) + *+ ≥ #+
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (32)
# + &# + (&% − '$ + ℎ% ) + (1 − &# − &% + '$ − ℎ% ) − #++ (1 − !+) + *+ ≥ N + &#++
+ (&%+− '$+ + ℎ%+) + + (1 − &#+− &%++ '$+− ℎ%+)O
∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (33)
# − (1 − !+) − *+ ≤ #+ ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (34)
$ + '$ + (1 − &# − &% ) + (&# + &% − '$ )
+ (1 − !+) + *+ ≥ $+ ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (35)
$ + '$ + (1 − &# − &% ) + (&# + &% − '$ ) − $++ (1 − !+) + *+ ≥ ( + '$++ + (1 − &#+−
&%+) + + (&#++ &%+− '$+)) ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (36)
$ − (1 − !+) − *+ ≤ $+ ∀ , ∈ ∶ ≠ ;
< ∈ (37)
≥ ,
∈/ | DEFGH;
− % ∀ : ∈ ; < ∈ (38)
≤ ,
∈/ | DEFGH;
+ N1 − % O ∀ : ∈ ; < ∈ (39)
,
∈/ DEFGH;
= % ,
∈/ | DEFGH; ∀ : ∈ ; < ∈ (40)
) ≥ ) + − N1 − # O ∀ : ∈ 0 , C ∈ 1
∶ : ≠ C; < ∈ (41)
' , #
∈/;0
≤ ) ≤ ' , #
∈/;0 ∀ : ∈ ; < ∈ (42)
1 ≤ , , # -
∈10
∈/0
≤ P (43)
# , $ , % ≥ 0 ∀ ∈ (44)
&# , &$ , &% , '# , '$ , '% , ℎ# , ℎ$ , ℎ% ∈ Q0, 1R ∀ ∈ (45)
∈ Q0, 1R ∀ ∈ , < ∈ (46)
+, +, +, +, !+, + ∈ Q0, 1R ∀ , ∈ (47)
*+ ∈ Q0, 1R ∀ , ∈ ; < ∈ (48)
# ∈ Q0, 1R ∀ :, C ∈ ; < ∈ (49)
% ∈ Q0, 1R ∀ : ∈ , < ∈ (50)
A função objetivo, Equação (1), é dividida em quatro partes. As duas primeiras representam o custo de entrega das encomendas SEDEX, respectivamente, visando a redução do número de veículos utilizados para o serviço e a distância percorrida por cada veículo. Como o objetivo maior do modelo é a redução da frota utilizada, primeira parte, foi introduzido o peso Ω = 1.000,00 para dar maior relevância a esta parte. As outras duas partes representam a ocupação do compartimento de carga do veículo onde as coordenadas # e % são minimizadas para que as caixas sejam posicionadas na parte dianteira do compartimento de carga e para que elas não flutuem, ou seja, que a face inferior encoste no piso do compartimento de carga ou na face superior da caixa abaixo. Dessa maneira, o centro de gravidade fica mais baixo e a carga não se encontra espalhada pelo compartimento de carga, conferindo maior estabilidade ao veículo.
Como estas duas partes são objetivos de menor importância da função objetivo, foram introduzidos para a 3ª e 4ª partes, respectivamente, os pesos = 0,001 e " = 0,1. Os valores dos três pesos introduzidos na função objetivo, Ω, ! ", foram definidos por meio de testes em várias instâncias.
As Restrições (2) garantem que apenas um veículo atenda cada cliente e as Restrições (3) que o veículo inicie a rota no depósito. As Restrições (4) garantem que o veículo chegue a um cliente e parta desse mesmo cliente ao encontro de outro na rota, ou seja, cada cliente só é visitado uma única vez. As Restrições (5) garantem que o veículo retorne ao depósito somente uma vez e as Restrições (6) e (7) garantem que o nó virtual (término das rotas) não seja ponto de partida do veículo em uma rota e que a saída do depósito não seja ponto de chegada. A saída do depósito é representada por zero e o retorno ao depósito é representado por um nó virtual ( + 1) que é resultado da adição de 1 ao número de clientes visitados em uma rota.
As Restrições (8) determinam que o veículo percorrerá somente os clientes aos quais pertencem as caixas que estão dentro desse veículo e, depois, retornará ao depósito. Restrições (9) a (14) garantem que se duas caixas ( e ) estão em um mesmo veículo, elas não podem esta sobrepostas. As Restrições (15) a (17) garantem a simetria de posição em relação a duas caixas.
Por exemplo, se a caixa estiver à esquerda da caixa , a caixa estará à direita da caixa e assim ocorre para as outras posições. As Restrições (18) determinam que cada caixa deve ter pelo menos uma posição relativa a outra caixa, se ambas estão no mesmo veículo.
As Restrições (19) garantem que as caixas estarão dentro de apenas um veículo e as Restrições (20), que se o veículo for utilizado em uma rota, este deverá conter caixas dentro. As Restrições (21) a (23) asseguram que todas as caixas alocadas nos veículos não excederão as dimensões (comprimento, largura e altura) do compartimento de carga. As Restrições (24) a (29) asseguram que as dimensões das caixas estarão paralelas a apenas uma dimensão do compartimento de carga.
As Restrições (30) e (31) são necessárias para encontrar o valor da variável *+ , que assume o valor 1 quando as caixas e não estão em um mesmo veículo j e zero, caso contrário. As Restrições (32) a (37) garantem que as caixas sejam posicionadas sobre uma área de suporte necessária à sua estabilidade. As Restrições (38) e (39) são necessárias para encontrar o valor da variável % , que assume o valor 1 quando as caixas do cliente : estão dentro do veículo <
e zero, caso contrário. As Restrições (40) garantem que a quantidade de caixas dentro de um veículo deve ser igual a quantidade de caixas a serem entregues aos clientes presentes em uma rota.
As Restrições (41) e (42) garantem que o horário de chegada em um determinado cliente deve ser maior que o horário de atendimento ao cliente anterior mais o tempo de deslocamento entre os dois clientes e que o horário de chegada deve estar entre o intervalo de tempo escolhido pelo cliente para a entrega das encomendas SEDEX. As Restrições (43) garantem que no mínimo um veículo e no máximo veículos serão utilizados para a entrega das encomendas. As Restrições (44) determinam que as coordenadas da posição do canto inferior frontal de cada caixa sejam a partir da origem dos eixos do compartimento de carga. E finalmente, as Restrições (45) a (50) garantem que as variáveis apresentadas são binárias.
4. LEVANTAMENTO DE DADOS
Foram realizadas visitas à empresa Correios para levantar dados e informações sobre as rotas de distribuição das encomendas SEDEX, as dimensões das caixas e as dimensões dos compartimentos de carga dos veículos. As instâncias foram criadas com base em dados reais.
Optou-se por adotar tipos de caixas com dimensões que abrangessem caixas pequenas, médias
e grandes, respeitando as dimensões mínimas e máximas permitidas pelos Correios. A respeito das dimensões do compartimento de carga, adotou-se para o Renault Kangoo Z.E. as dimensões 145x110x120cm (comprimento, largura e altura). Assim, foram consideradas entregas para 10, 15 e 20 clientes. Os clientes estão localizados na região metropolitana de Vitória-ES e foram escolhidos de maneira aleatória dentre os atuais clientes dos Correios. Para cada uma destas entregas, percebeu-se que cada cliente recebia de 1 até no máximo 2 caixas. Assim, foram criadas instâncias com somente 1 caixa por cliente e somente com 2 caixas por cliente. Foi considerada a possibilidade de rotação das caixas no plano horizontal (X-Y) e em torno dos três eixos (X-Y-Z), proposta deste artigo, ou seja, foram consideradas doze instâncias neste estudo.
O nome das instâncias é composto pelo número de clientes seguido da letra C, pelo número de caixas seguido pela letra X e pela possibilidade de rotação em torno dos eixos (R3 – rotação nos três eixos, R2- rotação no plano horizontal).
5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS
Utilizou-se o solver CPLEX 12.6 para rodar as instâncias propostas na Seção 4. A Tabela 1 apresenta o resultado alcançado pelo CPLEX para todas as instâncias.
Tabela 1: Resultados das instâncias
Como era de se esperar, modelos matemáticos que envolvem dois problemas NP-Hard são, de fato, muito difíceis de serem resolvidos de forma ótima e, assim, pode-se ver que mesmo para instâncias menores o CPLEX não alcançou a solução ótima apresentando gaps de até 85,7%.
Pode-se perceber que o modelo matemático proposto, que permite a rotação nos três eixos, X- Y-Z, apresenta maior dificuldade para o CPLEX alcançar a solução ótima, pois possui mais varáveis e mais opções para serem testadas. Apesar do gap apresentado, como espera-se comparar o ganho de ocupação do veículo utilizando a proposta do modelo que é permitir o giro da caixa nos três eixos em relação à maneira atual de girar em dois eixos, decidiu-se prosseguir a comparação, pois ambas as soluções apresentaram gaps. As Tabelas 2 e 3 mostram os resultados operacionais alcançados.
Entre as instâncias em que há possibilidade de rotação em torno dos eixos X-Y, a porcentagem de ocorrência de rotação da carga no plano horizontal é igual ou maior que a porcentagem de carga não rotacionada (orientação fixa) em 75% dos veículos utilizados, ou seja, a carga foi posicionada sem qualquer giro. Já para as instâncias em que há a possibilidade de rotação em torno dos três eixos, X-Y-Z, em apenas 19% dos veículos há ocorrência de carga não rotacionada e em todas as instâncias a porcentagem de carga rotacionada em torno dos três eixos é igual ou superior a 75%.
Com base na Tabela 2 apresentada a seguir, algumas análises podem ser realizadas.
Comparando a Instância 10C10XR3 com a 10C10XR2, pode-se perceber que os valores de ocupação com rotação nos três eixos e em dois eixos ficou igual, 47,0%. Comparando a
Instância Te mpo (s) FO UB LB Gap (%) Instância Te mpo (s) FO UB LB Gap (%)
10C10XR3 115 50.070,4 - - 0,0 10C10XR2 111 50.083,4 - - 0,0
10C20XR3 86.400 100.096,8 100.096,8 50.121,6 49,9 10C20XR2 1.114 100.122,7 - - 0,0
15C15XR3 473 50.110,0 - - 0,0 15C15XR2 70.522 100.120,3 - - 0,0
15C30XR3 86.400 200.254,9 200.254,9 50.086,3 75,0 15C30XR2 86.400 250.330,4 250.330,4 50.097,4 80,0 20C20XR3 86.400 100.118,4 100.118,4 50.105,4 50,0 20C20XR2 53.011 150.134,6 - - 0,0 20C40XR3 86.400 300.287,0 300.287,0 50.107,6 83,3 20C40XR2 86.400 350.455,5 350.455,5 50.112,3 85,7
Com possibilidade de rotação nos e ixos X-Y-Z Com possibilidade de rotação nos e ixos X-Y
Instância 10C20XR3 com a 10C20XR2, pode se perceber que houve uma inversão da ocupação dos dois veículos utilizados, porém com valores muito próximos, 54,2% e 41,5% versus 41,8%
e 53,8%. Já no caso das Instâncias 15C15XR3 com a 15C15XR2, a rotação nos três eixos permitiu a redução de um veículo para atender a demanda. A redução de um veículo também ocorreu quando se compara as Instâncias 15C15XR3 com a 15C15XR2. Na Tabela 3, as duas instâncias com rotação em torno dos três eixos tiveram redução de um veículo quando comparadas às instâncias com possibilidade de rotação no plano horizontal.
Tabela 2: Resultados da ocupação dos veículos – 1ª parte
Tabela 3: Resultados da ocupação dos veículos – 2ª parte
O Gráfico 1 apresenta um comparativo da quantidade de veículos utilizados em cada instância (com possibilidade de rotação em torno dos três eixos (X-Y-Z) e com possibilidade de rotação no plano horizontal (X-Y).
Outro benefício apresentado nas instâncias em que há possibilidade de rotação da carga em torno dos três eixos é a melhor estabilidade da arrumação da carga. Verifica-se que pelo fato de o modelo minimizar as coordenadas # ! %, há uma tendência das caixas serem posicionadas sobre o piso do compartimento de carga e na parte dianteira e serem menos empilhadas. Aliada a isso, a rotação em torno dos três eixos aumenta as possibilidades de encaixe da carga nos espaços disponíveis e, assim, confere maior estabilidade no transporte. Ademais, uma maior quantidade de caixas armazenadas num mesmo compartimento de carga diminui os espaços vazios e impede o deslocamento da carga durante o transporte. Isto pode ser visto para a Instância 10C10XR3, Figura 1a, onde por ter sido permitida a rotação da carga nos três eixos,
Instância HO10C10XR3
Veículos utilizados V1 V1 V2 V1 V2 V1 V2 V3 V4 V5
Perc. caixas rotacionadas nos três eixos (X-Y-Z) [%] 90,0 100,0 100,0 80,0 - 100,0 75,0 100,0 100,0 - Perc. caixas rotacionadas nos dois eixos (X-Y) (plano
horizontal) [%] 10,0 0,0 0,0 13,3 - 0,0 0,0 0,0 0,0 -
Perc. Caixas não rotacionadas [%] 0,0 0,0 0,0 6,7 - 0,0 25,0 0,0 0,0 -
Ocupação [%] 47,0 54,2 41,5 81,3 - 56,5 25,8 34,7 44,4 -
Instância HO10C10XR2
Veículos utilizados V1 V1 V2 V1 V2 V1 V2 V3 V4 V5
Perc. caixas rotacionadas nos três eixos (X-Y-Z) [%] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Perc. caixas rotacionadas nos dois eixos (X-Y) (plano
horizontal) [%] 90,0 50,0 30,0 36,4 75,0 41,7 50,0 75,0 50,0 66,7
Perc. Caixas não rotacionadas [%] 10,0 50,0 70,0 63,6 25,0 58,3 50,0 25,0 50,0 33,3
Ocupação [%] 47,0 41,8 53,8 48,8 32,5 48,8 27,6 39,2 12,9 19,0
HO10C20XR2 HO15C15XR2 HO15C30XR2
Frota homogênea com possibilidade de rotação nos eixos X-Y-Z
HO10C20XR3 HO15C15XR3 HO15C30XR3
Frota homogênea com possibilidade de rotação nos eixos X-Y
Instância
Veículos utilizados V1 V2 V3 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
Perc. caixas rotacionadas nos três eixos (X-Y-Z) [%] 100,0 91,7 - 100,0 100,0 100,0 83,3 100,0 100,0 - Perc. caixas rotacionadas nos dois eixos (X-Y) (plano
horizontal) [%] 0,0 0,0 - 0,0 0,0 0,0 16,7 0,0 0,0 -
Perc. Caixas não rotacionadas [%] 0,0 8,3 - 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -
Ocupação [%] 45,3 50,4 - 47,0 19,5 27,8 39,7 53,8 46,4 -
Instância
Veículos utilizados V1 V2 V3 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
Perc. caixas rotacionadas nos três eixos (X-Y-Z) [%] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Perc. caixas rotacionadas nos dois eixos (X-Y) (plano
horizontal) [%] 77,8 50,0 44,4 62,5 87,5 50,0 75,0 50,0 33,3 50,0
Perc. Caixas não rotacionadas [%] 22,2 50,0 55,6 37,5 12,5 50,0 25,0 50,0 66,7 50,0
Ocupação [%] 45,4 19,3 31,0 39,5 48,3 39,3 20,0 27,0 32,4 27,8
Frota homogênea com possibilidade de rotação nos eixos X-Y-Z
HO20C20XR3 HO20C40XR3
Frota homogênea com possibilidade de rotação nos eixos X-Y
HO20C20XR2 HO20C40XR2
todas as cargas foram posicionadas no piso do caminhão e, em contrapartida, na Instância 10C10XR2 (igual, porém sem permitir a rotação nos três eixos), Figura 1b, nem todas as caixas foram posicionadas no piso havendo a necessidade de empilhar uma caixa sobre a outra, no total três caixas foram empilhadas sobre outras caixas.
Gráfico 1: Número de veículos utilizados
Figura 1: Ocupação dos veículos: a) 10C10XR3 (rotação X-Y-Z) e b) 10C10XR2 (rotação X-Y)
.
Como visto pelos resultados, pode-se afirmar que o modelo matemático proposto com sua estratégia de rotacionar a carga nos três eixos trouxe ganhos para as instâncias estudadas, pois conseguiu reduzir o número de veículos para todas instâncias para atender a mesma demanda.
Além disso, conseguiu elaborar uma arrumação mais estável, compacta e, por assim dizer, mais segura para a condução do veículo e para a preservação da integridade da carga. Se adotado fosse o modelo proposto, é possível que a empresa estudada pudesse reduzir seu investimento em capital reduzindo a aquisição de veículos para atender a demanda de distribuição de encomendas.
6. CONCLUSÃO
Pela primeira vez foi elaborado e proposto um modelo matemático para o 3L-CVRP que considera a possibilidade de rotação das cargas nos três eixos (X-Y-Z). Além de permitir o giro nos três eixos, o modelo prevê frota heterogênea e janela de tempo. Os resultados apresentados
mostraram que a possibilidade de girar a carga nos três eixos leva a ganhos em termos de ocupação do veículo e, por conseguinte, leva a uma redução do tamanho da frota necessária para fazer a distribuição de encomendas. Aliado a isso, a arrumação quando se considera a rotação nos três eixos é mais compacta, com menos empilhamento, levando a uma maior segurança na direção por conta de um menor centro de gravidade do veículo. Aliado a isso, a diminuição do empilhamento da carga tende a garantir maior segurança da carga, diminuindo a possibilidade de avarias.
O modelo matemático foi aplicado à distribuição de encomendas SEDEX dos Correios e foram testadas 12 instâncias que utilizavam veículos de pequeno porte, mas é importante ressaltar que este modelo é aplicável também a empresas de outros setores que realizem atividades logísticas com planejamento de rotas e necessidade de arrumação em três dimensões de cargas paralelepipédicas. O modelo assegura que a capacidade volumétrica dos veículos é respeitada, que não há caixas sobrepostas e que as encomendas são entregues de uma só vez e pelo mesmo veículo a um cliente específico, além de garantir uma área de suporte das caixas para melhor estabilidade da carga. Como trabalhos futuros, sugere-se a elaboração de uma meta-heurística ou matheuristic para resolver o modelo matemático proposto.
Agradecimentos
Os autores agradecem à FAPES (458/2013, 0271/2016, 524/2016) e ao CNPq (477357/2013-0) pelo apoio financeiro.
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Dahlen Siqueira Silva (dahlen.ss@gmail.com); Rodrigo de Alvarenga Rosa (rodrigo.a.rosa@ufes.br).
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - Transportes, Universidade Federal do Espírito Santo - Av.
Fernando Ferrari, 514, Goiabeiras – Vitória, ES, Brasil
