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Que espaço ocupa um Fractal? *
Andresa Fontana e Andréia Collin
**Resumo:
A geometria é muito utilizada nas mais diversas áreas. A chamada Geometria Euclidiana é própria para descrever “fenômenos ordenados e artefatos da civilização”
1. Porém, quando nos deparamos com formas irregulares, imperfeitas, como as nuvens, os ramos das árvores, os alvéolos pulmonares, entre outros, esta geometria é inadequada, sendo necessário buscar objetos da
“Geometria da Natureza”, chamada de “Geometria Fractal”, dentre eles, a Dimensionalidade que dependerá da forma do objeto analisado e será esta característica o objeto de estudo para este artigo, fazendo um comparativo entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Fractal.
Palavras-chave: Mandelbrot, Geometria Fractal, Fractais, Dimensão.
“Alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são troncos de cones, árvores não são hexágonos e muito menos os rios desenham espirais”
2Mandelbrot, 1983.
A questão da Geometria dos Fractais ainda é pouco conhecida, hoje, pela maioria das pessoas.
Desde que as primeiras concepções surgiram até hoje passaram-se mais de 350 anos, sendo que foi pelas mãos de Benoit Mandelbrot
3e graças ao surgimento dos computadores que esta geometria criou seus alicerces e se expandiu pelo mundo inteiro como uma nova forma de se observar e entender a natureza. Esta nova geometria originou-se de estudos e pesquisas baseados em fenômenos como “estrutura do ruído nas comunicações telefônicas, a flutuação dos preços nas operações do mercado, no estudo empírico da geometria dos litorais”
4.
Os fractais são formas geométricas que podem ser geradas por fórmulas matemáticas complexas e recursivas, ou seja, que repetem continuadamente um modelo padrão, como por ex., z = x + iy:
z
n+1= z
n+ c, onde c = a + ib e n = 0, 1, 2, ...
*
Artigo Acadêmico para a disciplina de Estudos Acerca do Conhecimento Matemático, no semestre 02/4
**
Graduandas do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade de Caxias do Sul - UCS
1
Ver referência bibliográfica [1], p. 9
2
Ver referência bibliográfica [4], p. 58
3
Benoit Mandelbrot nasceu na Varsóvia (Polônia) em 1924 e mudou-se para Paris em 1936. Em 1948, foi para os EUA onde, até hoje, dedica-se a vários campos do conhecimento, entre eles economia, termodinâmica, geologia, comunicação, meteorologia, computação e biologia. Sempre possuiu uma intuição geométrica muito aguçada.
4
Ver referência bibliográfica [1], p. 10
As formas geradas são caracterizadas por auto-semelhança (parte da figura é semelhante a toda ela), complexidade infinita e dimensionalidade. Mas o que entendemos por dimensão?
A toda hora usamos medidas de largura, comprimento e altura consideradas na geometria de Euclides. Estas medidas expressam o “tamanho” de um objeto. Então, analisemos alguns objetos:
» um ponto não possui altura, largura nem comprimento; logo, não tem dimensão (adimensional);
•
» uma reta possui somente comprimento, ou seja, tem uma só dimensão; assim, é unidimensional;
__________________________
» um plano possui comprimento e altura, o que caracteriza duas dimensões; então, é bidimensional;
» já, uma caixa ou um cubo é tridimensional porque possui altura, largura e comprimento.
Pudemos verificar que, na Geometria Euclidiana, estas três medidas é que remetem ao conceito associado à dimensão e que estes objetos não apresentam irregularidades em suas formas. Porém, a verdadeira dimensão de um objeto é diferente das citadas acima.
No caso dos fractais, ao contrário do que ocorre com os objetos euclidianos ( “perfeitos”), cada objeto tem sua dimensão própria. As curvas irregulares têm dimensão que varia entre um e dois, de modo que uma superfície irregular tem dimensão entre dois e três .
Segundo Mandelbrot, “Um conjunto é dito fractal se a Dimensão Hausdorff
5deste conjunto for maior do que a sua dimensão topológica”
6. A dimensão de um fractal indica o espaço ocupado por ele que está relacionado com o seu grau de aspereza, irregularidade (igual em diferentes escalas) ou fragmentação. Daí o fato de os fractais possuírem dimensão fracionária e não inteira (como na Geometria de Euclides), por não serem figuras perfeitas.
Assim, a dimensão de qualquer fractal pode ser obtida utilizando o método que segue:
Tomamos uma linha de comprimento L (unitário, ou seja, L = 1). Esta linha pode ser dividida em N partes iguais (elementos), sendo que cada segmento desta “reta”(escala) é u =
N
1 (ver fig.1).
Assim, N = L/u. Da mesma forma, para medir um quadrado (ou cubo) de lado L (unitário), tomamos um quadrado (ou cubo) de lado u e contamos o número N = L
2/ u
2(ou N = L
3/u
3) que precisamos para cobrir o objeto. De um modo geral, este processo leva a N = (L/u)
d, ou, tomando o logaritmo de ambos os membros, d =
u ) log( L
logN .
Figura 1
7Temos: L = 1, N = 5 e u = 5 1
Temos: L = 1, N = 16 e u =
24
1
Temos: L = 1, N = 64 e u =
34
1
A figura acima mostra que podemos determinar a dimensão das figuras euclidianas da mesma forma que a determinamos para os fractais. Se pensarmos em dobrar, por exemplo, uma reta, um plano ou um cubo notamos que ocorrerá um crescimento exponencial.
Para os fractais (curvas) mais simples, como a Curva de Koch (floco de neve) e a Poeira de Cantor, determinamos suas dimensões pela fórmula descrita anteriormente. Vejamos:
7
Ver referência bibliográfica [2].
• Poeira ou Conjunto de Cantor
Dividimos o segmento em 3 partes iguais e não consideramos o segmento do meio. Assim, L = 1, N = 2 e u = 1/3: D =
3 log
2
log ≅ 0,6309...
• Curva de Koch
Cada lado do triângulo é dividido, continuadamente, em três partes.
Cada triângulo formado é eqüilátero. Tem-se L = 1, N = 4 e u = 1/3:
D = log 3 4
log ≅ 1,2618...
Outros fractais, como o Triângulo de Sierpinski, a Curva de Peano e a Curva de Hilbert, possuem características semelhantes aos mencionados anteriormente. Outras informações, conforme seu interesse, poderão ser obtidas consultando a referência bibliográfica [1]. Porém, é importante deixar claro que estes fractais continuam a ser construídos indefinidamente.
Já para os fractais (curvas) mais complexos, como os Conjuntos de Julia e o Conjunto de Mandelbrot, não é possível explicitar de uma maneira tão clara a sua escala e a semelhança entre todas as partes que os constituem. Assim, as respectivas dimensões serão determinadas através de equações diferenciais. Para conhecer mais fractais dos conjuntos mencionados acima, click nos nomes
8abaixo:
Mandelbrot
1 Mandelbrot 3 Julia 1 Julia 3 Fractal 2 Mandelbrot 2 Snowflake Julia 2 Fractal 1 Fractal 3
Com o auxílio do programa Qbasic, linguagem de programação que opera com o sistema DOS, podemos gerar figuras (matricialmente) como conjunto de Mandelbrot e conjuntos de Julia.
Experimente gerar, neste programa, conjuntos de Julia com c = 0.360284 + 0.100376i; c = -1; c
= 0.3 – 0.4i; c = -0.1 + 0.8i (com 10 iterações); c = 0.66i.
Como uma forma de interação da disciplina, todos os grupos fizeram a apresentação das idéias principais dos “artigos”, sendo que os mesmos foram disponibilizados no ambiente desta onde os colegas puderam acessar e avaliar melhor o seu conteúdo. Neste ambiente, como ferramenta de discussão, perguntas e respostas foram trocadas através de um fórum.
Algumas das perguntas que foram realizadas e direcionadas ao nosso artigo:
Por que o uso dos computadores é tão imprescindível para visualizar os fractais?
Como seria um objeto fractal de dimensão 4?
É possível calcular área e volume de fractais?
Os fractais servem para modelar alguma curva simples e conhecida?
O aspecto mais destacado pelos colegas na nossa apresentação foi o fato de poderem visualizar a construção dos fractais com um recurso computacional.
Procuramos responder todos os questionamentos, com isso, aprimorando as informações por nós obtidas, despertando ainda mais o interesse sobre a Geometria dos Fractais. E assim, ao concluirmos este trabalho percebemos que, enquanto a Geometria Euclidiana se utiliza de fórmulas e equações que descrevem apenas curvas e superfícies lisas, a Geometria Fractal prefere algoritmos e as fórmulas iterativas (de recursão), tendo como ferramenta indispensável o uso de computadores, para descrever muitos elementos da natureza que possuem irregularidades. Isso para mostrar que
“os matemáticos e os físicos não estão limitados ao estudo de sistemas simples e lineares: têm diante de si o mundo real, bem mais complexo e fascinante”
9.
No entanto, o que nos surpreendeu foi que o questionamento das "formas" que nos rodeiam iniciou pela simples observação de fenômenos naturais de onde descobriu-se as figuras denominadas fractais, de extrema beleza e que têm dimensão menor ou igual a dimensão do espaço Euclidiano. E depois de tudo o que conhecemos, pesquisamos e estudamos sobre fractais e sua dimensão, ainda nos ficam perguntas como: O que mais pode ser descoberto sobre estes objetos quase que “invisíveis” a nossa percepção? Poderão ser úteis para a realização de algo?
Antes, conhecíamos apenas a Geometria Euclidiana e sua figuras perfeitas, existente há mais de 2.000 anos. Agora, tomamos conhecimento de estudos sobre novas geometrias, como por exemplo, a Fractal que apresenta figuras irregulares, formas que não podem ser estudadas na geometria tradicional e não podem ser consideradas perfeitas.
9
