Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 4 (entregar no dia )

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

TPC nº 4 (entregar no dia 17 – 11 – 2010) 1. Na figura está representado um relógio de uma

estação de caminho-de-ferro. O mostrador é um cículo e está apoiado numa barra.

Sabe-se que, t segundos após as zero horas, • A distância (em metros) da extremidade

do ponteiro das horas à barra é dada por:

( )

1 h t 1 cos t 2 21600 π   = +    

• A distância (em metros) da extremidade do ponteiro dos minutos à barra é dada por: m t

( )

1 7 cos t 10 1800 π   = +    

(Nota: Tanto em h como em m o argumento da função co-seno está expresso em radianos.) 1.1. Determine h 0 e

( )

m 0 e interprete estes valores.

( )

1.2. Mostre que o ponteiro dos minutos tem mais 20 cm do que o ponteiro das horas.

1.3. Verifique que 3600 é o período da função m e 43200 é o período da função h. Interprete estes valores no contexto da situação apresentada. 1.4. Seja A a extremidade do ponteiro das horas e

seja B a extremidade do ponteiro dos minutos. Tal como a figura sugere, alguns minutos depois das zero horas, a recta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado.

Pouco antes da 1 hora da manhã, há outro instante em que isso acontece. Determine-o,

apresentando o resultado em horas, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades).

2. Um jovem foi tomar banho numa praia sem vigilância. Sentiu-se mal e começou a pedir ajuda. Foi visto, como ilustra a figura, simultaneamente pelos

nadadores salvadores de duas praias próximas que entraram no mar no mesmo instante. Em virtude das correntes, o nadador salvador da esquerda nada 50 metros num minuto e o da direita nada 60 metros num minuto. Qual deles chega primeiro ao banhista?

3. Considere a função f x

( )

=sen x2 +

(

cos x 1−

)

2−2, para x definido em radianos. 3.1. Mostre que f x

( )

= −2 cos x.

3.2. Calcule os zeros de f no intervalo 0,3 2 π      . 3.3. Calcule f 0 , f

( )

6 π       e 11 f 3 π      .

4. Considere o cubo representado na figura e mostre, utilizando produto escalar, que a diagonal facial [AC] e a diagonal espacial [HB] são perpendiculares.

5. Na figura está representado um rectângulo [ABCD]. Mostre que o produto escalar AB AC⋅




 é igual a AB 2 D C G H B A E F A D C B

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

TPC nº 4 – Proposta de resolução 1. Na figura está representado um relógio de uma

estação de caminho-de-ferro. O mostrador é um cículo e está apoiado numa barra.

Sabe-se que, t segundos após as zero horas, • A distância (em metros) da extremidade

do ponteiro das horas à barra é dada por:

( )

1 h t 1 cos t 2 21600 π   = +    

• A distância (em metros) da extremidade do ponteiro dos minutos à barra é dada por: m t

( )

1 7 cos t 10 1800 π   = +    

(Nota: Tanto em h como em m o argumento da função co-seno está expresso em radianos.) 1.1. Determinemos h 0

( )

1 1cos 0 1,5 m

2

= + = e m 0

( )

1 7 cos 0 1,7 m 10

= + = e interpretemos estes valores: h 0

( )

=1,5m representa a distância máxima da ponta do ponteiro das horas à barra onde está apoiado o relógio que é atingida quando o ponteiro atinge o 12 e

( )

m 0 =1,7m representa a distância máxima da ponta do ponteiro dos minutos à barra onde está apoiado o relógio que é atingida quando o ponteiro atinge o 12.

1.2. Mostremos que o ponteiro dos minutos tem mais 20 cm do que o ponteiro das horas. Às zero horas os dois ponteiros coincidem e a diferença entre as distâncias das pontas dos ponteiros (dos minutos e das horas) à barra, dá-nos a diferença de comprimentos assim

1,7 1,5− =0,2m=20 cm

1.3. Verifiquemos que 3600 é o período da função m e 43200 é o período da função h. Interprete estes valores no contexto da situação apresentada. De facto

(

)

7

(

)

7

( )

m t 3600 1 cos t 3600 1 cos t 2 m t 10 1800 10 1800 π π     + = +  + = +  + π =     e ao fim de

h será h t

(

43200

)

1 1cos

(

t 43200

)

1 1cos t 2 h t

( )

2 21600 2 21600 π π     + = +  + = +  + π =     e ao

fim de 43200 segundos decorreram 12 horas e o ponteiro das horas termina uma volta completa, voltando a repetir os valores da

distância entre a sua ponta e a barra.

1.4. Seja A a extremidade do ponteiro das horas e seja B a extremidade do ponteiro dos minutos. Tal como a figura sugere, alguns minutos depois das zero horas, a recta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado.

Pouco antes da 1 hora da manhã, há outro instante em que isso acontece. Determinemo-lo, apresentando o resultado em horas, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades). Pretendemos encontrar uma

nova solução para a equação m t

( ) ( )

=n t no intervalo

[

0,3600

]

que corresponde a uma hora.

O outro instante a que se refere o problema acontece às 0h 51 m e 40 segundos

2. Um jovem foi tomar banho numa praia sem vigilância. Sentiu-se mal e começou a pedir ajuda. Foi visto, como ilustra a figura, simultaneamente pelos

nadadores salvadores de duas praias próximas que entraram no mar no mesmo instante. Em virtude das correntes, o nadador salvador da esquerda nada 50 metros num minuto e o da direita nada 60 metros num minuto. Qual deles chega primeiro ao banhista?

Podemos resolver este problema por, pelo menos, dois processos semelhantes: 1º - dividindo o triângulo pela altura relativa ao lado cuja

medida conhecemos:

( )

h h tg 30º x x 3h x 3 3 = ⇔ = ⇔ =

( )

h

( )

( )

(

( )

)

( )

tg 40º h 600tg 40º 3tg 40º h h 1 3tg 40º 600tg 40º 600 3h = ⇔ = − ⇔ + = ⇔ −

( )

( )

600tg 40º h 1 3tg 40º ⇔ = +

( )

h

_{( )}

h sen 40º a a sen 40º = ⇔ = pelo que a≃319,25m

( )

h h sen 30º b b 2h 1 b 2 = ⇔ = ⇔ = pelo que b≃410, 42m

Como a distância a é percorrida a 50 m por minuto o nadador da esquerda demora t₁ a 50 = ou seja t₁≃6m 23s

Como a distância b é percorrida a 60 m por minuto o nadador da direita demora t₂ b 60 = ou seja t₂ ≃6m 50s

Assim o nadador da esquerda chega 27 segundos antes do nadador da direita. 2º - dividindo o triângulo pela altura relativa ao lado adjacente ao ângulo de 30º.

h 1 sen30º h 600 h 300 600 2 = ⇔ = × ⇔ =

( )

h 300

_{( )}

sen 70º a a sen 70º = ⇔ = pelo que a≃319,25m

( )

300 300

_{( )}

tg 70º n n tg 70º = ⇔ =

( )

b n 3 300 cos 30º b 600 n b 300 3 600 2 tg 70º + = ⇔ = × − ⇔ = − pelo que b≃410, 42m

Como a distância a é percorrida a 50 m por minuto o nadador da esquerda demora t₁ a 50 = ou seja t₁≃6m 23s

Como a distância b é percorrida a 60 m por minuto o nadador da direita demora t₂ b 60 = ou seja t₂ ≃6m 50s

Assim o nadador da esquerda chega 27 segundos antes do nadador da direita.

30º

40º

a

b

h

600-x x

70º

40º

30º

b

h

n

a

110º 600 m

3. Consideremos a função f x

( )

=sen x2 +

(

cos x 1−

)

2−2, para x definido em radianos. 3.1. Mostremos que f x

( )

= −2 cos x.

Ora f x

( )

=sen x2 +

(

cos x 1−

)

2− ⇔2 f x

( )

=sen x2 +cos x2 −2 cos x+ −1 2 aplicando a fórmula fundamental da Trigonometria fica f x

( )

= −1 2 cos x+ − ⇔1 2 f x

( )

= −2 cos x 3.2. Calculemos os zeros de f no intervalo 0,3

2 π

 

 

 .

Ora 2 cos x 0 cos x 0 x k ,k 2 π − = ⇔ = ⇔ = + π ∈ℤ logo, no intervalo 0,3 2 π       as soluções são 3 x x 2 2 π π = ∨ = . 3.3. Calculemos: f 0

( )

= −2 cos 0= − × = −2 1 2, 3 f 2 cos 2 3 6 6 2 π π   = − = − × = −     e 11 11 1

f 2 cos 2 cos 4 2 cos 2 1

3 3 3 3 2 π π π π         = − = − π − = − = − × = −                 .

4. Consideremos o cubo representado na figura e mostremos, utilizando produto escalar, que a diagonal facial [AC] e a diagonal espacial [HB] são perpendiculares.

•••• Comecemos por considerar o referencial desenhado na figura ao lado.

•••• Considerando "a" a medida da aresta do cubo, as coordenadas dos extremos das diagonais são:

(

)

A a,0,a ; C 0,a,a ;

(

)

B a,a,a e

(

)

H 0,0,0 .

(

)

•••• As coordenadas dos vectores são: AC= −

(

a,a,0

)



e BH=

(

a,a,a

)



•••• O produto escalar AC BH⋅ = − × + × + × = − +

( )

a a a a 0 a a2 a2 =0






•••• Porque o produto escalar é zero, podemos concluir que as diagonais são perpendiculares.

5. Na figura está representado um rectângulo [ABCD]. Mostremos que o produto escalar AB AC⋅




 é igual a AB . 2 Ora AB AC⋅ =AB⋅

(

AB+BC

)

=AB AB⋅ +AB BC⋅ = AB2+ =0 AB2





























 A D C B z y x D C G H=O B A E F

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

TPC nº 4 – Critérios de classificação 1. 30 1.1. 10 • Calcularh 0

( )

2 • Interpretar o resultado 3 • Calcularm 0

( )

2 • Interpretar o resultado 3 1.2. 5 1.3. 8 • Verificar o período em m 2 • Interpretar o resultado 2 • Verificar o período em h 2 • Interpretar o resultado 2 1.4. 7

• Identificar a equação a resolver 2

• Apresentar o gráfico com a solução assinalada 3

• Dar a resposta na unidade pedida 2

2. 20

• Apresentar uma figura com o método que vai utilizar 2

• Calcular h 3

• Calcular x ou n 3

• Calcular a 3

• Calcular b 3

• Calcular o tempo para o nadador a 2

• Calcular o tempo para o nadador b 2

• Responder 2

3. 25

3.1. 9

• Desenvolver o quadrado da diferença 3

• Aplicar a fórmula fundamental da Trigonometria 3

• Concluir a igualdade 3

3.2. 8

• Escrever a equação 2 cos x− =0 2

• Resolver a equação em IR 4 • Indicar os zeros em 0,3 2 π       2 3.3. 8 • Calcular f 0

( )

2 • Calcular f 6 π       2 • Calcular f 11 3 π       4

4. 15

• Considerar o referencial 2

• Considerar a como o valor da aresta do cubo 2 • Escrever as coordenadas dos pontos A, B, C e H 4

• Escrever as coordenadas dos vectores 2

• Calcular o produto escalar dos vectores 3

• Concluir 2

5. 10