DICAS DO ENEM MATEMÁTICA. TEMA 2: Porcentagem AUTOR: Marco Antonio Oliveira da Silva. Mais próxima, para você ir mais longe.

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DICAS DO ENEM

MATEMÁTICA

TEMA 2:

Porcentagem

AUTOR:

Marco Antonio Oliveira da Silva

Mais próxima, para

você ir mais longe.

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localizado aqui!

Índice

ENEM.2014

Matemática

1. Interpretação

2. Porcentagem

4. Geometria

3. Cálculo simples

6. Equações e

problemas

5. Probabilidade e

Estatística

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TEMA 2:

Porcentagem

Autor: Marco Antonio Oliveira da Silva

TEXTO

E

CONTEXTO

GLOSSÁRIO

VOCÊ

ESTÁ

PRONTO?

REFERÊNCIAS

GABARITO

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4 A porcentagem e a proporção

Uma aplicação da matemática muito utilizada no nosso dia a dia financeiro é a porcentagem. Além das finanças, ela pode ser empregada em diversos casos em que a proporção é relevante para uma análise ou conclusão de um contexto. Notícias sobre pesquisa de intenções de voto, aumento (ou decrescimento) de inflação, taxas de juros na economia, crescimento populacional, desemprego, etc., geralmente são representadas por porcentagem. Grande parte das pesquisas é realizada por estatística descritiva, e alguns de seus resultados podem ser representados por porcentagem.

A seguir, temos uma tabela de pesquisa de opinião sobre as intenções de votos para cada candidato à presidência da República, assim como os brancos e nulos, e também para quem não soube responder.

Essa tabela mostra em porcentagem os resultados dessa pesquisa, realizada três meses seguidos.

Pesquisa de opinião!

Intenções de votos (%) para presidência da República

maio/14 jun/14 jul/14

Candidato A 35 35,5 32 Candidato B 8,2 10 15 Candidato C 25 20 18,3 Candidato D 22 22 22 Candidato E 1 1,5 1 Brancos e nulos 5 8 8 Não sabem 3,8 3 3,7 Total 100 100 100

Tabela fictícia construída no MS-Excel.

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CONTEXTO

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5

Nessa tabela se encontra um exemplo de pesquisa eleitoral realizada nos meses

de maio, junho e julho de 2014. Note que acima da tabela consta o símbolo de porcentagem (%), dispensando seu uso a cada número dentro dela.

Essa tabela é útil para os eleitores porque é possível perceber a estabilidade, o crescimento ou o decrescimento das intenções de votos para cada candidato ao decorrer do tempo.

Claro que essa pesquisa foi realizada por uma amostra pequena em relação ao país todo. Supondo que foram entrevistadas 2.000 pessoas, se formos calcular 10% de intenção em um determinado candidato, teremos 200 pessoas. Isso quer dizer que provavelmente, por volta de 10% em 200.000.000 de pessoas votarão nesse candidato, o que seria 20.000.000! Note que há uma proporção de 200 para 20.000.000, porém calculados com o mesmo percentual.

Normalmente, essas pesquisas determinam um percentual de erro de 2% para cima ou para baixo (± 2%). Isso quer dizer que a previsão pode estar entre 8 e 12% nesse exemplo.

Para entendermos o que significa porcentagem, vamos começar a pensar como funciona a ideia de proporção. Quando comemos 4 pedaços de uma pizza de 8 pedaços, comemos 4/8 de uma pizza inteira, ou 2/4, ou 1/2. Ou seja, comemos meia pizza.

Vamos comer pizza!

Pizzas fictícias construídas no MS-Excel..

TEXTO

E

CONTEXTO

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6

Veja que nesses exemplos, para comer a metade de uma pizza, podemos cortá-la

em 8, 4 ou 2 pedaços, mas sempre conseguiremos comer exatamente a metade (50%) dela nos três jeitos, independentemente se os tamanhos são iguais ou diferentes!

Quando temos uma relação, que pode ser um quociente resultante de uma divisão de um número por outro na mesma dimensão, podemos chamá-lo de razão. No exemplo da pizza, 4 pedaços em 8 significa que a unidade pizza foi reduzida pela metade, representada pela razão 0,5 = ½. Duas razões iguais originadas de diferentes escalas de uma mesma dimensão representam uma proporção.

Existem infinitas frações que representam a razão 0,5, como por exemplo: 8000 = 5 = 30 2 = 1,5 = 4 = 2 = 1 = ... 16000 10 _{60 2} 3 8 4 2

Se formos imaginar a proporção de um valor por outro em diferentes números a cada situação, ficaria mais complicado do que fixarmos um valor e compararmos qualquer número em relação a este valor. Por isso, por convenção, adotou-se o número 100 como base, deixando muito mais fácil mentalizar e calcular pela razão formada por esse número.

Meia pizza é equivalente a 50

100 ou seja, proporcionalmente, comer 4 pedaços em 8 é o mesmo que comer 50 pedaços em 100! Imagine um humano comendo 4 pedaços de pizza dos 8 e um gigante comendo 50 pedaços de pizza dos 100. Os dois comeram 0,5 pizza para satisfazer totalmente a fome!

Qualquer número x dividido por cem podemos chamar de “x por cento”, representando-o pelo símbolo % no lugar da divisão por cem.

x

= x% 100

Esse símbolo torna mais prática a escrita dessa divisão.

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7 Saiba Mais

Quer saber um pouco da história da porcentagem? Leia:

NOÉ, Marcos. História das porcentagens. Brasil escola, 2014. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/historia-das-porcentagens.htm>. Acesso em: 5 out. 2014.

Transformação de número em porcentagem

Para transformar qualquer número em porcentagem, basta multiplicá-lo por 100 e colocar o símbolo % após o número: 4 = 0,5 = 0,5 * 100% = 50% 8 Lembrando que: 100% 100 = 1 100

Portanto, como é multiplicado por 1, o resultado não se altera. Isso podemos confirmar em propriedades das operações aritméticas, que nesse caso se chama Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação.

Voltando ao exemplo da pizza, o humano e o gigante comeram 50% de uma pizza, mesmo que essas pizzas não sejam do mesmo tamanho! Isso se chama proporcionalidade!

Aplicações

Existe uma variedade de aplicações de porcentagem em problemas e casos. Um tema muito estudado que envolve aplicação de porcentagem é a Matemática Financeira, em que também são estudados os juros simples e os

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juros compostos, entretanto, isso não será abordado neste caderno.

Para calcularmos a porcentagem de um valor, precisamos apenas multiplicar ambos, como veremos nos exemplos a seguir: 5% de 300 5 . 300 = 15 100 3,5% de 86 3,5 . 86 = 35 . 86 = 3,01 100 1000

Veja que, neste caso, podemos multiplicar 3,5 por 86 e depois dividir por 100, ou primeiro podemos eliminar o formato decimal apenas multiplicando o numerador e o denominador da fração por 10, transformando-os em 35 e 1000. Assim, multiplicamos o 35 por 86 e depois dividimos por 1000. Faça da forma que for conveniente. Veja que, no primeiro exemplo, poderíamos primeiro dividir 300 por 100 (informalmente dizendo, podemos cortar os zeros), resultando em 3, para depois multiplicar por 5, facilitando a conta.

E se quisermos calcular o decréscimo ou acréscimo percentual de um valor? Dessa forma, podemos calcular passo a passo simplesmente encontrando esse percentual somando ou subtraindo, ou podemos usar de alguns artifícios para facilitar esse cálculo.

Vejamos mais exemplos: a) Acréscimo de 10% em 60

10% de 60

10

. 60 = 6 100

Total com acréscimo: 60 + 6 = 66

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Portanto, o acréscimo de 10% em 60 é 6 e o total é de 66.

Perceba que neste caso podemos calcular mentalmente sem recorrer ao lápis e papel ou calculadora. 10% é equivalente a 0,1, ou seja, um décimo. Sabemos que um décimo de 60 é 6 (é só eliminar um zero, movimentando uma vírgula de 60,0 para a esquerda, encontrando 6,0) e a soma resultante é 66. Viu como é fácil?

b) Decréscimo de 5% em 90 5% de 90

0,05 . 90 = 5 . 90 = 4,5

100

Total com decréscimo: 90 – 4,5 = 85,5

Portanto, o decréscimo de 5% em 90 é 4,5 e o total é de 85,5. Multiplicamos 0,05 por 90 ou 5

100 por 90. Note que podemos “cortar” o zero de 90 com um zero de 100. 5

. 90 = 5 . 9 = 45 = 4,5

100 10 10

Neste caso, também podemos calcular mentalmente. 5% é metade de 10%, sabendo que um décimo de 90 é 9, então sua metade é 4,5! Logo, 5% de 90 é 4,5!

A seguir, vamos ver como podemos calcular acréscimo e decréscimo de outra forma. Quando queremos aumentar um valor y dele mesmo, podemos pensar que será acrescido x% mais os 100% que ele já tem. Portanto, somente é necessário multiplicar nosso valor y por essa soma:

y .

(

100 + x

)

= y .

(

1+ x

)

100

100 100

Assim como para diminuir um valor de y é só multiplicar ele mesmo pela subtração em 100% dele mesmo por x%

(10)

10

y .

(

100 + x

)

= y .

(

1- x

)

100

100 100

A continuação de nossos exemplos esclarecerá melhor esse raciocínio: c) Acréscimo de 33% em 250

250 .

(

100 + 33

)

= 250 . (1+0,33) = 250 . 1,33 = 332,5

100 100

Resumindo, se quisermos aumentar 33% em 250, é só multiplicar 250 por 1,33! d) Decréscimo de 75% em 1000

1000 .

(

100 - 75

)

= 1000 . (1+0,75) = 1000 . 0,25 = 250

100 100

Perceba que tirar 75% de 1000 é o mesmo que descobrir quanto é 25% de 1000!

Para facilitar o entendimento das aplicações de porcentagem, vamos resolver detalhadamente algumas questões passadas do ENEM (2011):

e) (ENEM - 2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto

de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações.

Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de:

a) R$ 900,00.

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b) R$ 1.200,00.

c) R$ 2.100,00. d) R$ 3.900,00. e) R$ 5.100,00.

Sabemos que lucro é um ganho resultante da subtração Venda – Custo. 34000 - 26000 = 8000

Para calcular o imposto de 15%, precisamos multiplicá-lo pelo lucro, 8000 . 15 = 80 . 15 = 1200

100

Portanto, o imposto a ser pago para a Receita Federal é de R$ 1.200,00. Resposta B.

f) (ENEM – 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias

propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.

Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em: a) 4%.

b) 20%. c) 36%. d) 64%.

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12

e) 96%.

Vamos desenhar a base retangular da peça. Não podemos esquecer que as dimensões devem ser as mesmas, que no caso é em centímetros (cm)! Caso estivessem diferentes, deveríamos deixá-las iguais.

30 15

Há redução nas dimensões lineares da peça. Isso quer dizer que tanto a base quanto a altura do retângulo sofrem redução.

Atenção!

20% de redução da área não é o mesmo que 20% de redução em cada um dos lados (base e altura)! (Área x 0,80) ≠ (Lado x 0,80 x Lado x 0,80)

30 x 0,8

15 x 0,8

Redução (decréscimo) de 20% é o mesmo que multiplicar por (1 - 0,20 = 0,80)!

Área inicial = 30 x 15 = 450

Área final = 30 x 15 x 0,80 x 0,80 = 450 x 0,64

Redução total = 1 – 0,64 = 0,36 = 36% Resposta C.

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Estatística descritiva:análise de dados em forma organizada e resumida. Ela descreve uma população após a coleta e a organização de dados e (geralmente por tabelas) expõe informações através de algumas técnicas, tais como medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de variabilidade (variância).

Finanças: gestão de movimentação monetária (dinheiro) entre pessoas, empresas, Estados, por investimento, financiamento, política fiscal, entre outros.

Juros compostos: são acréscimos sobre um capital que, a cada período, incide sobre o montante composto pelo acréscimo anterior. Se o acréscimo for mensal, ele é calculado sobre o montante do mês anterior e depois somado. Por exemplo: R$ 100,00 de capital inicial para incidir juros compostos de 10% por 2 meses. Montante no final do 1º mês: R$ 110,00 (cálculo sobre R$ 100,00); Montante no final do 2º mês: R$ 121,00 (cálculo sobre R$ 110,00).

Juros simples: são acréscimos sobre o capital inicial que não se alteram ao passar do tempo. Se o acréscimo for mensal, ele é somado ao montante mês a mês. Por exemplo: R$ 100,00 de capital inicial para incidir juros simples de 10% por 2 meses. Montante no final do 1º mês: R$ 110,00 (cálculo sobre R$ 100,00); Montante no final do 2º mês: R$120,00 (cálculo sobre R$ 100,00).

Matemática Financeira: é o estudo da variação monetária ao passar do tempo. Ela pode ser aplicada em várias situações econômicas, tais como, investimentos, empréstimos, entre outros. Os juros são exemplos clássicos de cálculos envolvidos.

Proporção: é a igualdade entre as razões. A

= C

D

B , onde A, B, C e D são números diferentes de zero. Uma miniatura

fiel de um carro tem o pneu na mesma proporção que o pneu do carro original. O pneuzinho está para o carrinho assim como o pneu está para o carro.

Quociente: resultado da divisão entre dois números.

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Instruções

Agora, chegou a sua vez de exercitar seu aprendizado. A seguir, você encontrará algumas questões de múltipla escolha e dissertativas. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido.

Questão 1

(ENEM - 2013) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.

Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, a) A, A, A, A.

b) A, B, A, B. c) A, B, B, A. d) B, A, A, B.

e) B, B, B, B.

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15 Questão 2

(ENEM - 2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28. b) 64,09. c) 56,95. d) 45,76. e) 30,07.

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16 Questão 3

(ENEM - 2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.

Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.

Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de: a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00.

Questão 4

(ENEM - 2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00.

• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00 e mais uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a

6 meses.

• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6

meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra.

• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando

R$ 39 000,00.

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• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.

Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção:

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Questão 5

(ENEM - 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é:

a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 − 0,2)a)2.

c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)3.

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d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.

e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

REFERÊNCIAS

ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. Provas e Gabaritos. Ministério da Educação. INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Brasília: Inep, 2011.

Disponível em: <http://inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos>. Acesso em: 6 out. 2014.

GABARITO

Questão 1

Resposta: Alternativa “D”. Comparando os valores, conclui-se que os menores custo/benefício é B, A, A, B (1,70; 4,05;

3,42; 5,30).

Questão 2

Resposta: Alternativa “C”. 60,52% - 3,57% = 56,95%.

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Questão 3

Resposta: Alternativa “E”.

Primeiro desconto (remarcação de preço em R$): 50 x (1 - 0,20) = 50 x 0,80 = 40. Segundo desconto em R$ (cartão fidelidade): 40 x 0,90 = 36

Economia adicional: 40 – 36 = 4. Ou seja, R$ 4,00.

Questão 4

Resposta: Alternativa “D”. Resposta de lucros em R$:

1ª opção: 0. 2ª opção: 1.600. 3ª opção: 2.350 4ª opção: 9.400 5ª opção: 6.550. Questão 5 Resposta: Alternativa “C”.

Volume = a.a.a (multiplicação dos lados das 3 dimensões) = a3_{. Como a retração é linear, então o tamanho final é de}

a.0,80.a.0,80.a.0,80 = (a.0,8)3 = a3.0,512 (tamanho final de 51,2%, portanto retração de 1 – 0,512 = 0,488 = 48,8%).

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