Teoria de órbitas periódicas no espectro e condutância de grafos quânticos

Teoria de órbitas periódicas no espectro e

condutância de grafos quânticos

Ricardo Wickert

Orientação: Profa. Dra. Sandra D. Prado Programa de Pós-Graduação em Física

Instituto de Física

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Resumo

Motivação: sistemas mesoscópicos

Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc.

Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos)

Fenômenos são ditosUniversais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

Motivação: sistemas mesoscópicos

Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos)

Fenômenos são ditosUniversais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

Motivação: sistemas mesoscópicos

Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos)

Fenômenos são ditosUniversais.

Motivação: sistemas mesoscópicos

Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos)

Fenômenos são ditosUniversais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

Descrição do problema: o limite semiclássico

Conexão: fazer h → 0 - olimite semi-clássico. Região de ’coexistência’ no limiar clássico/quântico.

Porém:

Mec. Clássica é não-linear:

hipersensibilidade às conds. iniciais.

Mec. Quântica: operador de Schrödinger élinear. Como conciliar?

Descrição do problema: o limite semiclássico

Conexão: fazer h → 0 - olimite semi-clássico. Região de ’coexistência’ no limiar clássico/quântico.

Porém:

Mec. Clássica é não-linear:

hipersensibilidade às conds. iniciais.

Mec. Quântica: operador de Schrödinger élinear. Como conciliar?

Descrição do problema: o limite semiclássico

Conexão: fazer h → 0 - olimite semi-clássico. Região de ’coexistência’ no limiar clássico/quântico.

Porém:

Mec. Clássica é não-linear:

hipersensibilidade às conds. iniciais.

Mec. Quântica: operador de Schrödinger élinear.

Descrição do problema: o limite semiclássico

Conexão: fazer h → 0 - olimite semi-clássico. Região de ’coexistência’ no limiar clássico/quântico.

Porém:

Mec. Clássica é não-linear:

hipersensibilidade às conds. iniciais.

Mec. Quântica: operador de Schrödinger élinear. Como conciliar?

Nossa proposta: grafos quânticos

Sistemas unidimensionais

Fácil implementação numérica

Nossa proposta: grafos quânticos

Sistemas unidimensionais Fácil implementação numérica

Nossa proposta: grafos quânticos

Sistemas unidimensionais Fácil implementação numérica

Resumo

Caos clássico: definições

Sistema édeterminístico

|δ~x(t)| ∼ eλt_{|δ~x(0)|: separação exponencial de trajetórias:} Conceito de mistura: embaralhamento das trajetórias

Caos clássico: definições

Sistema édeterminístico

|δ~x(t)| ∼ eλt_{|δ~x(0)|: separação exponencial de trajetórias:}

Caos clássico: definições

Sistema édeterminístico

|δ~x(t)| ∼ eλt_{|δ~x(0)|: separação exponencial de trajetórias:}

Caos clássico: bilhar de três discos

Trajetórias próximas se separam.

Porém confinadas em região finita do espaço de fase. Entropia topológica: 2n_{trajetórias de n colisões.}

Caos clássico: bilhar de três discos

Trajetórias próximas se separam.

Porém confinadas em região finita do espaço de fase.

Caos clássico: bilhar de três discos

Trajetórias próximas se separam.

Porém confinadas em região finita do espaço de fase. Entropia topológica: 2n_{trajetórias de n colisões.}

Caos quântico: evolução

Dois estados |Ψ1>e |Ψ2>

Operador de evolução temporal U(t, t₀)

Calculamos a superposição:

< Ψ2(t)|Ψ1(t) > = < Ψ2(t0)|U†(t, t0)U(t, t0)|Ψ1(t0) > = < Ψ2(t0)|Ψ1(t0) >

=⇒A sobreposição é preservada! Onde está o caos?

Caos quântico: evolução

Dois estados |Ψ1>e |Ψ2>

Operador de evolução temporal U(t, t₀)

Calculamos a superposição:

< Ψ2(t)|Ψ1(t) > = < Ψ2(t0)|U†(t, t0)U(t, t0)|Ψ1(t0) >

= < Ψ2(t0)|Ψ1(t0) >

=⇒A sobreposição é preservada!

Caos quântico: evolução

Dois estados |Ψ1>e |Ψ2>

Operador de evolução temporal U(t, t₀)

Calculamos a superposição:

< Ψ2(t)|Ψ1(t) > = < Ψ2(t0)|U†(t, t0)U(t, t0)|Ψ1(t0) >

= < Ψ2(t0)|Ψ1(t0) >

=⇒A sobreposição é preservada!

Caos quântico: níveis de energia

Manifestações ’indiretas’ do caos no nível quântico,

por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia

Origens: estudo do espectro atômico por Wigner, assumindo matrizes com elementos aleatórios → RMT Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

Caos quântico: níveis de energia

Manifestações ’indiretas’ do caos no nível quântico,

por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia Origens: estudo do espectro atômico por Wigner,

assumindo matrizes com elementos aleatórios → RMT

Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

Caos quântico: níveis de energia

Manifestações ’indiretas’ do caos no nível quântico,

por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia Origens: estudo do espectro atômico por Wigner,

assumindo matrizes com elementos aleatórios → RMT Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

Caos quântico: níveis de energia (2)

Sistemas com análogo clássico regular: P(X ) = e−X. Sistemas com análogo clássico caótico: P(X ) = π₂Xe−π4X

2

Caos quântico: fórmula do traço

Fórmula do traço de Gutzwiller:

d (E ) ' ˜d (E ) + 1 i~Re X p X n Tp(E )Anp(E )e » n „ iSn_{p (E )} ~ − νp π 2 «–

Tp(E ) é o período da órbita primitiva p;

An_p é o coeficiente de estabilidade da órbita;

S_pn=H ~p.d~q é a ação da órbita p e suas repetições n; e νpé a fase de Maslov

Resumo

Grafos: definições

Grafos: definições (2)

Matriz de conectividade Ci,j (V × V ):

Ci,j =Cj,i =

  

m se i 6= j, i e j conectados por m elos 2m se i = j e existem m laços no vértice i 0 se não há conexão entre i e j.

Métrica:

xb=xi,j denota a distância x do vértice i ao longo do elo b.

Elo b tem comprimento Lb.

Comprimentos dos elos sãoincomensuráveis: P mbLb=0 só possui solução trivial

Grafos: eq. de Schrödinger

Operador de Schrödinger em um elo b:

Hb= "  −i d dxb +Ab 2 +Vb(xb) # Equação de Schrödinger: d2 dx2ψb(x ) = −k 2 bψb(x ), kb= p k2_{− V} b

Soluções: ondas planas contra-propagantes:

Grafos: condições de contorno

ψdeve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices:

lim_x b→xbi ψb(xb) = φi , ∀ b ∈ S (i) P d dxbψb     i =0 , ∀ 1 ≤ i ≤ V

Grafos: condições de contorno

ψdeve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices:

lim_x b→xbi ψb(xb) = φi , ∀ b ∈ S (i) P d dxbψb     i =0 , ∀ 1 ≤ i ≤ V

Grafos: condições de contorno

ψdeve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices:

lim_x b→xbi ψb(xb) = φi , ∀ b ∈ S (i) P d dxbψb     i =0 , ∀ 1 ≤ i ≤ V

Grafos Abertos

Adicionamos M (≤ V ) fios estendendo-se ao infinito:

Grafos Abertos

Adicionamos M (≤ V ) fios estendendo-se ao infinito:

Grafos Abertos (2)

As amplitudes no fio e nos elos se relacionam-se conforme:

     Oi ai,j1 .. . ai,j_vi      = Σ(i)      Ii cj1,i .. . cj_vi,i      Σ(i)=        ρ(i) τ_j(i) 1 · · · τ (i) j_vi τ_j(i) 1 σ˜ (i) j1,j1 · · · σ˜ (i) j1,j_vi .. . ... . .. ... τ_j(i) vi σ˜ (i) j_vi,j1 · · · σ˜ (i) j_vi,j_vi       

ρ(i): coeficiente de reflexão da onda no fio; τ_j(i): amplitudes de transmissão fio-elo/elo-fio; ˜

Grafos Abertos: matriz de espalhamento

Dij,i0_j0(k ) = δ_i,i0δ_j,j0eikbLb é responsável pelas fases

˜

Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2)

Combinando todos os fios, obtemos a matriz V × V :

S_i,j(V ) = δi,jρ(i)+

X r ,s τ_r(i)1 − ˜SB(k ) −1 (i,r ),(s,j)D(s,j)τ (j) s = δi,jρ(i)+X r ,s τr(i) ∞ X n=0 ˜ S_Bn(k ) !−1 (i,r ),(s,j) D_(s,j)τs(j) = δi,jρ(i)+ X p∈Ti→j Bpei(Sp+νp)

Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2)

Combinando todos os fios, obtemos a matriz V × V :

S_i,j(V ) = δi,jρ(i)+

X r ,s τ_r(i)1 − ˜SB(k ) −1 (i,r ),(s,j)D(s,j)τ (j) s = δi,jρ(i)+ X r ,s τr(i) ∞ X n=0 ˜ S_Bn(k ) !−1 (i,r ),(s,j) D_(s,j)τs(j) = δi,jρ(i)+ X p∈Ti→j Bpei(Sp+νp)

Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2)

Combinando todos os fios, obtemos a matriz V × V :

S_i,j(V ) = δi,jρ(i)+

X r ,s τ_r(i)1 − ˜SB(k ) −1 (i,r ),(s,j)D(s,j)τ (j) s = δi,jρ(i)+ X r ,s τr(i) ∞ X n=0 ˜ S_Bn(k ) !−1 (i,r ),(s,j) D_(s,j)τs(j) = δi,jρ(i)+ X p∈Ti→j Bpei(Sp+νp)

Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2)

Combinando todos os fios, obtemos a matriz V × V :

S_i,j(V ) = δi,jρ(i)+

X r ,s τ_r(i)1 − ˜SB(k ) −1 (i,r ),(s,j)D(s,j)τ (j) s = δi,jρ(i)+ X r ,s τr(i) ∞ X n=0 ˜ S_Bn(k ) !−1 (i,r ),(s,j) D_(s,j)τs(j) = δi,jρ(i)+ X p∈Ti→j Bpei(Sp+νp)

Resumo

Grafo duplo-degrau fechado

Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energiasacimado potencial

Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de:

tan k1L1+tan k2L2=0

Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L1=

√

3, L2=5, V1=1.0 e V2=2.0.

Grafo duplo-degrau fechado

Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energiasacimado potencial

Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de:

tan k1L1+tan k2L2=0

Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L1=

√

3, L2=5, V1=1.0 e V2=2.0.

Grafo duplo-degrau fechado

Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energiasacimado potencial

Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de:

tan k1L1+tan k2L2=0

Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L1=

√

3, L2=5,

Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão

Variação aberta para estudar problema de espalhamento

Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial

t = −8k1e

−ik (L1+L2)_k

2k

den (1)

den = −k₁2ei(k2L2+k1L1)_{k − k}2

1e−i(k2L2+k1L1)k − k12ei(k2L2−k1L1)k2+ei(k2L2+k1L1))k22k1 −ei(k2L2−k1L1)_k2_k

2+e−i(k2L2−k1L1)k2k2+k12e−i(k2L2−k1L1)k + k1ei(k2L2−k1L1)k2 +k₂2e−i(k2L2−k1L1)_{k − k}2 2e−i(k2 L2+k1L1)_k 1+k12e i(k2L2−k1L1)_{k + e}i(k2L2−k1L1)_k2 2k1 +ei(k2L2+k1L1)_k2_k

2− e−i(k2L2+k1L1)k2k2− k22e−i(k2L2−k1L1)k1+k12e−i(k2L2−k1L1)k2 −k1e−i(k2L2−k1L1)k2− k22e−i(k2L2+k1L1)k + k12ei(k2L2+k1L1)k2+ei(k2L2−k1L1)k22k −ei(k2L2+k1L1)_k2

2k − k1e−i(k2L2+k1L1)k2− k12e−i(k2L2+k1L1)k2− 2e−i(k2L2−k1L1)kk2k1 +k1ei(k2L2+k1L1)k2− 2ei(k2L2+k1L1)kk2k1− 2ei(k2L2−k1L1)kk2k1− 2e−i(k2L2+k1L1)kk2k1

Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão

Variação aberta para estudar problema de espalhamento Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial

t = −8k1e

−ik (L1+L2)_k

2k

den (1)

den = −k₁2ei(k2L2+k1L1)_{k − k}2

1e−i(k2L2+k1L1)k − k12ei(k2L2−k1L1)k2+ei(k2L2+k1L1))k22k1 −ei(k2L2−k1L1)_k2_k

2+e−i(k2L2−k1L1)k2k2+k12e−i(k2L2−k1L1)k + k1ei(k2L2−k1L1)k2 +k₂2e−i(k2L2−k1L1)_{k − k}2 2e−i(k2 L2+k1L1)_k 1+k12e i(k2L2−k1L1)_{k + e}i(k2L2−k1L1)_k2 2k1 +ei(k2L2+k1L1)_k2_k

2− e−i(k2L2+k1L1)k2k2− k22e−i(k2L2−k1L1)k1+k12e−i(k2L2−k1L1)k2 −k1e−i(k2L2−k1L1)k2− k22e−i(k2L2+k1L1)k + k12ei(k2L2+k1L1)k2+ei(k2L2−k1L1)k22k −ei(k2L2+k1L1)_k2

2k − k1e−i(k2L2+k1L1)k2− k12e−i(k2L2+k1L1)k2− 2e−i(k2L2−k1L1)kk2k1 +k1ei(k2L2+k1L1)k2− 2ei(k2L2+k1L1)kk2k1− 2ei(k2L2−k1L1)kk2k1− 2e−i(k2L2+k1L1)kk2k1

Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão

Variação aberta para estudar problema de espalhamento Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial

t = −8k1e

−ik (L1+L2)_k

2k

den (1)

den = −k₁2ei(k2L2+k1L1)_{k − k}2

1e−i(k2L2+k1L1)k − k12ei(k2L2−k1L1)k2+ei(k2L2+k1L1))k22k1

−ei(k2L2−k1L1)_k2_k

2+e−i(k2L2−k1L1)k2k2+k12e−i(k2L2−k1L1)k + k1ei(k2L2−k1L1)k2

+k₂2e−i(k2L2−k1L1)_{k − k}2 2e−i(k2 L2+k1L1)_k 1+k12e i(k2L2−k1L1)_{k + e}i(k2L2−k1L1)_k2 2k1 +ei(k2L2+k1L1)_k2_k

2− e−i(k2L2+k1L1)k2k2− k22e−i(k2L2−k1L1)k1+k12e−i(k2L2−k1L1)k2

−k1e−i(k2L2−k1L1)k2− k22e−i(k2L2+k1L1)k + k12ei(k2L2+k1L1)k2+ei(k2L2−k1L1)k22k

−ei(k2L2+k1L1)_k2

2k − k1e−i(k2L2+k1L1)k2− k12e−i(k2L2+k1L1)k2− 2e−i(k2L2−k1L1)kk2k1

Grafo duplo-degrau aberto: Condutância

G = e htr(t t

†

Grafo duplo-degrau aberto: transformada de Fourier

Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço

Seguindo o formalismo matricial, obtemos:

G(k ) = G(k ) + 1 2πRe X p ∞ X ν=1 Bν_peiν(Sp+µp) ₍₂₎ Bp = τ₁₃(1)σ_13,31(3) A σ_13,32(3) B σ_23,31(3) C σ_23,32(3) D σ(1) E_31,13σ(2) F_32,23τ₃₂(2)

σ(V )_ij,nm: coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia

A, B, . . . F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão.

Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço

Seguindo o formalismo matricial, obtemos:

G(k ) = G(k ) + 1 2πRe X p ∞ X ν=1 Bν_peiν(Sp+µp) ₍₂₎ Bp = τ₁₃(1)σ_13,31(3) A σ_13,32(3) B σ_23,31(3) C σ_23,32(3) D σ(1) E_31,13σ(2) F_32,23τ₃₂(2)

σ(V )_ij,nm: coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia

A, B, . . . F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão.

Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço

Seguindo o formalismo matricial, obtemos:

G(k ) = G(k ) + 1 2πRe X p ∞ X ν=1 Bν_peiν(Sp+µp) ₍₂₎ Bp = τ₁₃(1)σ_13,31(3) A σ_13,32(3) B σ_23,31(3) C σ_23,32(3) D σ(1) E_31,13σ(2) F_32,23τ₃₂(2)

σ(V )_ij,nm: coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia

A, B, . . . F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão.

Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço

Seguindo o formalismo matricial, obtemos:

G(k ) = G(k ) + 1 2πRe X p ∞ X ν=1 Bν_peiν(Sp+µp) ₍₂₎ Bp = τ₁₃(1)σ_13,31(3) A σ_13,32(3) B σ_23,31(3) C σ_23,32(3) D σ(1) E_31,13σ(2) F_32,23τ₃₂(2)

σ(V )_ij,nm: coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia

A, B, . . . F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão.

Conclusões

Evidência de caos em um modelounidimensional.

Menor esforço numérico

Simplificado ao ponto da integrabilidade

Conceito de ray splitting

Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas.

Coeficientes r e t dependentes da energia

Melhor estudo do limite semiclássico

Conclusões

Evidência de caos em um modelounidimensional.

Menor esforço numérico

Simplificado ao ponto da integrabilidade

Conceito de ray splitting

Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas.

Coeficientes r e t dependentes da energia

Melhor estudo do limite semiclássico

Conclusões

Evidência de caos em um modelounidimensional.

Menor esforço numérico

Simplificado ao ponto da integrabilidade

Conceito de ray splitting

Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas.

Coeficientes r e t dependentes da energia

Melhor estudo do limite semiclássico

Conclusões

Evidência de caos em um modelounidimensional.

Menor esforço numérico

Simplificado ao ponto da integrabilidade

Conceito de ray splitting

Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas.

Coeficientes r e t dependentes da energia

Melhor estudo do limite semiclássico

Conclusões

Evidência de caos em um modelounidimensional.

Menor esforço numérico

Simplificado ao ponto da integrabilidade

Conceito de ray splitting

Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas.

Coeficientes r e t dependentes da energia

Melhor estudo do limite semiclássico