RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula 9 – Parte 1

Juros . ... 2

Regimes de Capitalização ... 5

Juros Simples . ... 6

Disposição gráfica do montante no regime simples ... 14

Descontos Simples . ... 15

Desconto Racional Simples (por dentro) ... 18

Desconto Comercial Simples (por fora) ... 24

Relação entre os descontos simples por fora e por dentro . ... 35

Mais questões de Juros Simples para aprofundamento ... 39

Juro Exato e Juro Comercial . 67 Prazo, Taxa e Capital Médios . 74 Fórmula do Prazo Médio . 77 Fórmula da Taxa Média . 77 Fórmula do Capital Médio . 78 Equivalência Simples de Capitais . 81 Relação das questões comentadas. 90 Gabaritos . ... 102

Juros

Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar certa importância, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado.

O conceito de juros pode ser fixado através das expressões:

i) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição.

ii) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplic-ado.

Em suma, o juro corresponde ao “aluguel” recebido ou pago pelo uso de certo capital financeiro.

Ilustrarei através de um pergunta uma observação importantíssima que todo estudante de matemática financeira deve saber:

Você prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos?

É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida.

Um aspecto muito relevante é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. O s juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Exemplo:

24% ao ano

24% . .

6% ao trimestre

6% . .

2, 5% ao dia

2, 5% . .

i

a a

i

a t

i

a d

=

=

=

=

=

=

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

Logo, o grande objetivo da MATEMÁTICA FINANCEIRA é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a

comparação destes valores é a taxa de juros. Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um valor datado de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou pagamento.

Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?

Ora, se a taxa de juros é de 6% ao mês e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, então para saldar a minha dívida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que irei pagar daqui a um mês será 6% de 2.000.

Ou seja,

6

6% de 2000

2000 120

100

j =

=

⋅

=

O valor total que devo depositar na minha conta para saldar a minha dívida é igual a 2.000+120 = 2.120.

É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.

ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 6 0, 06 100=

A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal.

Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros.

“Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?” Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que peguei emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o

Juros (J) → Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros.

Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se eu vou ao banco tomar um empréstimo e o gerente me diz: Ok! O seu empréstimo foi liberado!! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo!!! E se essa taxa de juros for ao dia?? Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL.

Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se eu ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nosso número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se você demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses é composto por 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um mês.

Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros.

Podemos então escrever que M=C+J.

As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo.

C=R$2.000,00

J=R$ 120,00

i=6% a.m.

n = 1 mês

Regimes de Capitalização

Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização.

Capitalização Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os

mesmos.

Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação.

Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ 10.000,00!!

Os juros gerados no primeiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no segundo ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no terceiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no quarto ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no quinto ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital

Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Exemplo: Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são

10.000

20

2.000

100

⋅

=

Os juros gerados no segundo ano são

12.000

20

2.400

100

⋅

=

segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são

14.400

20

2.880

100

⋅

=

Os juros gerados no quarto ano são

17.280

20

3.456

100

⋅

=

ano é 17.280+3.456=20.736.

Os juros gerados no quinto ano são

20.736

20

4.147, 20

100

⋅

=

Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalização. Verifique!

Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados.

Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será:

3

3% de 5.000

5.000 150

100

=

⋅

=

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.

A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações:

O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será:

J

= ⋅ ⋅

C i n

E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo:

M

= +

C

J

Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão:

M

= + ⋅ ⋅

C

C i n

Em álgebra,

C

1 C

⋅

i →→→ taxa de juros simples n →→→ tempo de aplicação

J →→→ juro simples produzido durante o período de aplicação. M →→→ montante ao final da aplicação

Colocando o C em evidência,

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

Devemos saber memorizadas as fórmulas (1), (2) e (3)!!!

J

= ⋅ ⋅

C i n

M

= +

C

J

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

E devemos estar atentos a algumas observações importantíssimas... Para começar, deve-se utilizar a taxa na forma fracionária ou unitária.

Assim, por exemplo, se a taxa for de 10% , utilizamos

10

ou 0,1.

100

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;

E assim sucessivamente.

Caso a taxa e o período de aplicação não estejam expressos na mesma unidade de tempo, é preciso primeiro expressá-los na mesma unidade, antes de utilizar as fórmulas. Exemplo

i=3% a.m. n=150 dias.

Neste caso, antes de utilizarmos as fórmulas, devemos expressar i e n na mesma unidade. O mais simples, neste, é expressar ambos em meses. Assim, teremos:

i=3% a.m. n= 5 meses

Observe que no exemplo acima, para converter “dias” em meses, consideramos que 1 mês equivale a 30 dias (mês comercial).

Vamos praticar um pouco.

01. (Petrobras – Auditor Jr – 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de

a) 12.600,00 b) 12.800,00 c) 13.200,00 d) 13.600,00 e) 13.800,00 Resolução

A questão é muito clara: o regime é de juros simples, o capital é de R$ 12.000,00, a taxa é de 5% ao mês e o prazo é de 90 dias (3 meses).

Lembre-se que SEMPRE deve haver conformidade entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Como a taxa é mensal, o tempo deve ser trabalhado em meses.

Vamos calcular o juro simples utilizando a sua fórmula básica. = ∙ ∙

= 12.000 ∙ 5

100 ∙ 3 = 1.800 O montante é a soma do capital inicial com o juro. Portanto:

= + = 12.000 + 1.800 = 13.800 Letra E

02. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 meses, o valor original da aplicação foi, em reais, de

a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 Resolução

Observe que o período de aplicação e taxa de juros já estão em conformidade em termos de unidade.

= ∙ (1 + ∙ )

O montante é igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros é de 5% = 0,05 ao mês e o tempo de aplicação é de 6 meses.

30.000 = ∙ (1 + 0,05 ∙ 6) 30.000 = ∙ 1,3

= 23.076,93 Letra D

03. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada?

(A) 1,04% a.m. (B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m. (D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a. Resolução

Para facilitar nossos cálculos, vamos estipular um valor para o montante. Já que o capital é 2/3 do montante, então escolherei um montante que seja múltiplo de 3. Vamos considerar que o montante seja de R$ 90,00. Desta forma:

= 2 3 ∙ =

2

3 ∙ 90 = 60

O capital aplicado é, portanto, de R$ 60,00. Como o juro é a diferença entre o montante e o capital aplicado, então:

= 90 − 60 = 30 Sabemos, portanto que:

= 30, = 60, = 2

Estamos prontos para aplicar a fórmula de juros simples. Note que como o tempo dado é em anos, a taxa calculada será anual.

= ∙ ∙ 30 = 60 ∙ ∙ 2

30 = 120

= 30

Letra E

04. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicação de R$20.000,00 que propiciou juros de R$

9.240,00 à taxa de juros simples de 26,4% ao ano. (A) 21 (B) 12 (C) 5 (D) 4,41 (E) 1,75 Resolução

A questão pede o prazo em meses. A taxa dada foi de 26,4% ao ano. Para calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Assim:

= 26,4% = 26,4%

12 ê = 2,2% ê

O capital aplicado foi de R$ 20.000,00 e os juros auferidos são iguais a R$ 9.240,00. Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙ 9.240 = 20.000 ∙ 2,2 100 ∙ 9.240 = 440 ∙ = 9.240 440 = 21 Letra A

05. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

(A) menor do que R$ 500,00.

(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00.

Resolução

Vamos aplicar diretamente a fórmula dos juros simples. = ∙ ∙

156 = ∙ 6 100 ∙ 4 156 = ∙ 0,24 = 156 0,24 = 650,00 Letra B

06. (Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) Joana aplicou R$ 10.000,00 por um período de 5 meses, a uma taxa de juros simples de 8% a.m. No vencimento da aplicação, ela sacou 30% do montante recebido nesta aplicação, e reaplicou a diferença por mais um período de 3 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.t. O montante da segunda aplicação, em reais, é igual a

(A) 4.410,00 (B) 10.290,00 (C) 11.270,00 (D) 14.700,00 (E) 16.100,00 Resolução

Vejamos a primeira aplicação: Há um capital de R$ 10.000,00 que será aplicado durante 5 meses a uma taxa de juros simples de 8% a.m..

Vamos calcular o juro referente a esta aplicação. Como a taxa e o tempo estão na mesma unidade (meses), podemos aplicar diretamente a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙

= 10.000 ∙ 8 100 ∙ 5 = 4.000

Assim, o montante da primeira aplicação é de R$ 10.000,00 + R$ 4.000,00. = 14.000,00

Joana faz um saque correspondente a 30% deste valor. Ora, se ela saca 30% do montante, então ainda sobram 70% do montante.

! " # $% &# → 70% ( 14.000 70

100 ∙ 14.000 = 9.800

Joana aplicará estes R$ 9.800,00 por um período de 3 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.t.

Ora, a taxa é de 5% ao trimestre. O tempo de aplicação é igual a 3 meses (1

trimestre). Para que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade, o tempo que será substituído na fórmula será 1 trimestre.

O juro da segunda aplicação é igual a:

= 9.800 ∙ 5 100 ∙ 1 = 490,00

O montante desta aplicação é igual a R$ 9.800,00 + R$ 490,00 = R$ 10.290,00. Letra B

07. (Técnico de Contabilidade/ Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 15.000,00 em uma instituição financeira. Ao final de 6

meses,

resgatou R$ 18.600,00. A taxa de juros simples anual que produziu esse montante foi (A) 48,00% (B) 42,66% (C) 40,00% (D) 36,00% (E) 32,56% Resolução

Se um investidor aplica R$ 15.000,00 e resgata R$ 18.600,00, então os juros auferidos no período são igual a 18.600,00 − 15.000,00 = 3.600,00 # .

O problema pede a taxa anual de juros simples.

O tempo de aplicação é igual a 6 meses. Para que exista conformidade entre a unidade da taxa e a unidade do tempo, utilizarei o tempo igual a 0,5 ano (já que 6 meses é a metade de um ano).

Vamos aplicar a fórmula de juros simples.

= ∙ ∙ 3.600 = 15.000 ∙ ∙ 0,5 3.600 = 7.500 ∙ = 3.600 7.500 = 36 75 = 0,48 = 48% . . Letra A

ficou combinado que o montante devido em relação a essa compra seria pago de uma só vez, dois anos após a celebração do contrato, e não incidiria correção monetária sobre a quantia devida. Estabeleceu-se, todavia, que o referido montante seria acrescido de juros que convencionaram em meio por cento ao mês sobre o regime de juros simples. Assim, atingindo-se o prazo combinado, a empresa pagou a seu fornecedor a quantia total de R$ 5.600,00. Considerando essas informações, o valor, em reais, da compra realizada foi (A) 2.545,45 (B) 2.800,00 (C) 4.516,13 (D) 5.000,00 (E) 5.533,60 Resolução Resumindo o problema...

Determinado capital foi emprestado a juros simples a uma taxa de 0,5% ao mês durante 2 anos (24 meses). O montante no final do período foi de R$ 5.600,00. Qual o valor do capital emprestado?

Podemos aplicar diretamente a fórmula do montante simples. = ∙ (1 + ∙ ) = 1 + ∙ = 5.600 1 + 0,5_{100 ∙ 24} = 5.600 1 + 0,12 = 5.600 1,12 = 5.000 # Letra D

Disposição gráfica do montante no regime simples

Coloquei este tópico na aula apenas para que possamos fazer uma comparação entre o regime simples e o regime composto. É um assunto de pouca relevância e praticamente não há questões de concursos com envolvendo este tópico. Recordo-me de apenas uma questão da CESGRANRIO em um concurso da Caixa Econômica em que aparece um gráfico para que o aluno faça a comparação entre o Regime Simples e o Composto. Resolveremos esta questão na aula de Juros Compostos.

É fato que no Regime Simples o montante cresce a uma taxa de variação constante. Lembremos a fórmula do montante simples:

= + ∙ ∙

Ora, o capital aplicado é constante e a taxa de juros também. O único elemento que pode variar é o tempo.

Temos então uma função polinomial do 1º grau (função afim) do tipo ) = ∙ + &. Basta fazer = ∙ & = .

É fato também que o gráfico de uma função afim é uma reta não-perpendicular aos eixos. Portanto, o gráfico do montante em função do tempo, no regime simples, tem o seguinte aspecto.

A função é crescente, pois à medida que o tempo vai passando, o montante vai aumentando.

Descontos Simples

Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas você foi aprovado no seu tão sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ 10.000,00?

Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores:

n M

Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento.

Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A)

O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é

negociada antes da data de

vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo de antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado pela letra “n”. E já que estamos “transportando” uma quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa percentual que fará esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra “i”.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos:

Desconto Racional Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto

Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos simples.

Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a convenção de usar o regime simples.

E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto é na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se de uma operação de desconto comercial. Essa convenção também será utilizada quando estudarmos os descontos compostos.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. Esse raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto.

A

=

N

−

D

Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E quando você foi ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que você ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, você irá pagar R$ 8.000,00.

10.000

2.000

8.000

A

=

N

−

D

=

−

=

Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os valores nominal e atual.

D

=

N

−

A

Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi ao banco e eles disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00.

10.000 8.000

2.000

D

=

N

− =

A

−

=

Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida resolverei questões diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto simples por dentro.

Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em alguma data futura. O valor dessa dívida é chamado de VALOR NOMINAL (N). Quero antecipar o pagamento dessa dívida. Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei

seja antecipado será denominado VALOR ATUAL (A). A diferença entre o valor nominal e o valor atual é denominada DESCONTO (D).

Desconto Racional Simples (por dentro)

A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.

O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples.

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples.

O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da operação de juros simples.

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!

Correspondência entre os elementos das operações

Juros Simples Desconto Racional Simples (por dentro)

Capital Inicial (C) Valor Atual (A)

Montante (M) Valor Nominal (N)

Juro (J) Desconto (D)

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Simples:

J

= ⋅ ⋅

C i n

Juros Simples:

M

= ⋅ + ⋅

C

(1

i n

)

E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma unidade!

D

= ⋅ ⋅

A i n

(1

)

De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos então deduzir uma fórmula para calcular o desconto racional simples em função do valor nominal.

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

O fator (1+i.n) que está “multiplicando” no segundo membro, “passará dividindo” para o primeiro membro.

(1

)

N

A

i n

=

+ ⋅

Devemos agora substituir essa expressão na fórmula

D

= ⋅ ⋅

A i n

1

N

D

i n

i n

=

⋅ ⋅

+ ⋅

Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma operação de desconto racional simples. São elas:

Vejamos um exemplo:

09. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o valor de face desse título, em reais, era (A) menor do que 5.400,00.

(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. (C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. (D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00.

1

N i n

D

i n

⋅ ⋅

=

+ ⋅

D

= ⋅ ⋅

A i n

N

= ⋅ + ⋅

A

(1

i n

)

1

N i n

D

i n

⋅ ⋅

=

+ ⋅

(E) maior do que 6.000,00. Resolução

A questão exige uma aplicação direta da fórmula do desconto racional simples. * = + ∙ ∙

798 = + ∙ 5 100 ∙ 3 798 = 0,15 ∙ +

+ = 5.320

O problema pede o valor de face (valor nominal). Lembre-se que o valor nominal é igual a soma do valor atual com o desconto.

, = + + * = 5.320 + 798 = 6.118 Letra E

10. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título?

a) R$ 10.000,00 b) R$ 10.666,67 c) R$ 32.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 160.000,00 Resolução

Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a uma operação de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante.

Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor nominal. Vamos relembrar:

Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A)

Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor nominal. Já os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado nós estamos acostumados a chamá-lo de valor atual.

De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo.

Utilizaremos a fórmula

N

= ⋅ + ⋅

A

(1

i n

)

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

8.000 (1 0, 05 5)

N =

⋅ +

⋅

10.000, 00

N =

11. (BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? a) R$ 16.000,00 b) R$ 13.800,00 c) R$ 17.600,00 d) R$ 14545,45 e) R$ 14.800,00 Resolução

Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado.

Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a.

Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos.

Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses Taxa de desconto racional: 24% a.a.

O próximo passo é saber quanto José se comprometeu a pagar daqui a 2 anos. Queremos saber o montante em uma operação de juros simples. Esse valor do montante será o valor nominal da dívida (que depois será renegociada).

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

10.000 (1 0, 30 2)

M =

⋅ +

⋅

16.000

M =

Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00. De posse desse valor, deixe-me “recontar” o enunciado.

José tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto José deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.?

Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que existe uma dívida que será antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação de juros simples.

Temos um valor nominal N = 16.000,00 que será antecipado 5 meses a uma taxa de juros simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples.

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

1

N

A

i n

=

+ ⋅

16.000

16.000

14545, 45

1 0, 02 5

1,1

A =

=

=

+

⋅

12. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. Resolução

Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o valor atual. Assim, * = + ∙ ∙

10.000 = + ∙ 0,04 ∙ 5 10.000 = + ∙ 0,2

+ = 10.000

0,2 = 50.000 Dessa forma, o valor nominal será dado por

N = A + D = 50.000 + 10.000 = 60.000,00 Letra A

Desconto Comercial Simples (por fora)

Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Na operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece no desconto comercial simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma operação de juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor nominal (valor futuro). É justamente por isso que o desconto comercial simples não é o “teoricamente” correto, mas é usado em larga escala no mercado financeiro.

Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do desconto racional simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a taxa incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto comercial simples será dado por

Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos o desconto.

A

=

N

−

D

Substituindo a primeira expressão na segunda:

A

=

N

−

N i n

⋅ ⋅

Finalmente colocando o “N” em evidência:

13. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% ao mês?

(A) 1.600,00 (B) 1.620,00 (C) 1.680,00 (D) 1.720,00 (E) 1.800,00 Resolução

Para resolver tal problema, podemos aplicar a fórmula que está imediatamente acima do enunciado. Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal.

+ = , ∙ (1 − ∙ ) + = 2.000 ∙ (1 − 0,10 ∙ 2) = 2.000 ∙ 0,80 = 1.600,00 Letra A

D

=

N i n

⋅ ⋅

(1

)

A

=

N

⋅ − ⋅

i n

14. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

(A) 400,00 (B) 352,00 (C) 256,00 (D) 144,00 (E) 48,00 Resolução

Outra questão muito simples sobre descontos. Aplicação direta da fórmula utilizada no problema anterior.

+ = , ∙ (1 − ∙ )

+ = 400 ∙ (1 − 0,12 ∙ 3) = 400 ∙ 0,64 = 256,00 Letra C

15. (Técnico de Administração e Controle Júnior/ Petrobras 2008/CESGRANRIO) A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto comercial. Em março, ele fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu um total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto total de (A) 6.000,00 (B) 5.200,00 (C) 5.000,00 (D) 4.500,00 (E) 4.000,00 Resolução

Quando o problema não fornece informações acerca do regime (simples ou composto), devemos utilizar o regime simples.

Temos, portanto, que descontar um valor nominal de R$ 120.000,00 (este é o valor

nominal, pois ele que está escrito no cheque) 2 meses antes da data de seu vencimento a uma taxa de 2,5% (desconto comercial simples).

Para calcular o desconto, podemos utilizar diretamente a fórmula (lembre-se que a taxa do desconto comercial incide sobre o valor nominal).

* = , ∙ ∙

* = 120.000 ∙ 2,5 100 ∙ 2 * = 6.000

Letra A

16. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor descontado), em reais, será igual a

(A) 400,00 (B) 352,00 (C) 256,00 (D) 144,00 (E) 48,00 Resolução

Vamos calcular o valor do desconto, utilizando a fórmula * = , ∙ ∙ .

* = 400 ∙ 12 100 ∙ 3 * = 144 Assim, o valor descontado (valor atual) é igual a:

+ = , − * = 400 − 144 = 256 # Letra C

17. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será:

a) R$ 14.850,00 b) R$ 16.119,29 c) R$ 16.335,00 d) R$ 16.665,32 e) R$ 18.233,50 Resolução

O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula

(1

)

A

=

N

⋅ − ⋅

i n

Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, não há alterações a fazer nos dados do enunciado.

0, 02

16.500 1

50

100

A

=

⋅ −



_

⋅



_





16.335, 00

A =

18. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. Resolução

O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses.

45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m.

Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês.

O valor descontado (valor atual) é igual a R$ 370.000,00.

Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que:

(1

)

A

=

N

⋅ − ⋅

i n

370.000

1

1 0, 05 1, 5

A

N

i n

=

=

− ⋅

−

⋅

400.000

N =

O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que é a taxa efetiva??? A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples que aplicada ao valor descontado do título, durante um prazo equivalente ao que falta para o vencimento, produz como montante o valor nominal do título.

???

Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se preferir, pode aplicar uma capitalização simples sobre o valor atual para gerar o valor nominal.

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

400.000

=

370.000 (1

⋅ + ⋅

i

_e

1, 5)

Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou “cortar 4 zeros”.

40

=

37 (1

⋅ + ⋅

i

1, 5)

40

=

37 55, 5

+

⋅

i

55, 5

⋅ =

i

3

3

55,5

i =

Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%.

3

300

100%

%

55, 5

55, 5

i =

⋅

=

5, 4% . .

i

≅

a m

Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu conceito, colocarei a sua disposição uma fórmula indispensável para ganhar tempo. Lembre que nos últimos 10 minutos da sua prova você vai implorar por um pouco mais de tempo. Então, vamos aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem

A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por

1

i

i

i n

=

− ⋅

Onde i é a taxa do desconto!

Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas administrativas ou impostos cobrados pelo banco!!

Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito. A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses.

0, 05

5, 4%

1

1 0, 05 1,5

i

i

i n

=

=

≅

− ⋅

−

⋅

19. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3% Resolução

Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto é dado por

D

=

N i n

⋅ ⋅

Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos “isolar” a taxa na fórmula acima. O “N” e o “n” que estão multiplicando “vão para o outro membro dividindo”. Assim,

D

i

N n

=

⋅

O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto (R$ 1.800,00) e o tempo de antecipação (três meses). Já que o tempo de antecipação é dado em meses,

obviamente a taxa será mensal. E lembre-se que para transformar a taxa em termos percentuais devemos multiplicá-la por 100%.

1.800

100%

20.000 3

i =

⋅

⋅

180.000%

60.000

i =

3% a.m.

i =

20. (Administrador BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser

(A) 5.104 (B) 5.191 (C) 5.250 (D) 5.280 (E) 5.344 Resolução

Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas.

Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas administrativas.

F B

V

=

N

−

D

−

D

administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto comercial simples (por fora) é dado por D = N.i.n,

0, 07

0, 01

V

=

N

− ⋅ ⋅ −

N i n

⋅ −

N

⋅

N

Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias (30+30+20).

Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360 dias.

Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diária deverá ser dividida por 360.

Ou seja,

0,18

360

i =

Ufa! Voltemos à nossa expressão.

7%

1%

V

=

N

− ⋅ ⋅ −

N i n

⋅ −

N

⋅

N

0,18

80 0, 07

0, 01

4.620

360

N

− ⋅

N

⋅

−

⋅ −

N

⋅

N

=

1

⋅ −

N

0, 04

⋅ −

N

0, 07

⋅ −

N

0, 01

⋅

N

=

4.620

Já que 1 – 0,04 – 0,07 – 0,01 = 0,88, temos que

0,88

⋅

N

=

4.620

4.620

5.250

0,88

N =

=

21. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$12.000,00, quatro meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês.

Sabendo que empresa pagará ainda uma tarifa de 8% sobre o valor nominal, a empresa deverá receber, em reais,

(A) 12.000,00 (B) 10.000,00 (C) 9.600,00 (D) 9.200,00 (E) 9.000,00 Resolução

Vimos na questão anterior um resumo sobre desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas administrativas.

! = , − *- − *. ! = , − , ∙ ∙ − 8 100 ∙ , ! = 12.000 − 12.000 ∙ 3 100 ∙ 4 − 8 100 ∙ 12.000 ! = 12.000 − 1.440 − 960 ! = 9.600 Letra C

22. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63% Resolução

A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de desconto simples comercial. Basta aplicar a fórmula descrita anteriormente:

0, 025

0, 025

2, 5%

100%

2, 63%

1

1 0, 025 2

0,95

0,95

i

i

i n

=

=

=

⋅

=

≅

− ⋅

−

⋅

Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, por exemplo).

A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido gera um montante igual ao valor de face.

Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é dada por

(1

)

A

=

N

⋅ − ⋅

i n

2, 5

1

2

100

A

=

N

⋅ −



_

⋅



_





0, 95

A

=

⋅

N

Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A e o montante é igual a N.

(1

)

M

= ⋅ + ⋅

C

i n

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

0,95

(1

2)

N

=

⋅

N

+ ⋅

i

1 0, 95 (1

=

⋅ + ⋅

i

2)

1 0,95 1,9 i

=

+

⋅

1,9

⋅ =

i

0, 05

0, 05

5%

100%

1,9

1,9

i =

⋅

=

2, 63%

i ≅

Um pouco mais trabalhoso, não !?

Relação entre os descontos simples por fora e por dentro

Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o valor nominal, ao passo que o desconto simples racional é calculado sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados nas mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre maior do que o por dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o valor atual.

Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do título. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples comercial é sempre menor do que no desconto simples por dentro (por isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde é incidida a taxa – no valor nominal).

Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso para o adquirente do título (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o “apelido” do desconto comercial) do que o desconto racional. Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é a relação entre os descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas condições, ou seja, à mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do título.

Para diferenciar, chamarei de DF o desconto simples por fora (comercial) e DD o desconto

simples por dentro (racional). Vimos anteriormente que

e

1

N i n

D

D

N i n

i n

⋅ ⋅

=

=

⋅ ⋅

+ ⋅

1

D

D

i n

=

+ ⋅

(

1

)

D

=

D

⋅ + ⋅

i n

23. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa.

a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 Resolução

Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é facílima!!

(

1

)

F D

D

=

D

⋅ + ⋅

i n

O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que é igual a R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o tempo de antecipação que é igual a 3 meses.

(

)

981

=

D

⋅ +

1 0, 03 3

⋅

981

=

D

⋅

1, 09

981

900

1, 09

D =

=

24. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia

uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 Resolução

A taxa de desconto será igual nas duas operações.

A primeira operação é um desconto comercial simples com valor nominal R$ 10.900,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipação igual a 3 meses. Como sabemos que

o desconto comercial simples é dado por

D

=

N i n

⋅ ⋅

981 10.900

=

⋅ ⋅

i

3

981 32.700 i

=

⋅

981

0, 03

32700

i =

=

Já que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão trocou o desconto comercial simples por um desconto racional simples, podemos calcular esse novo desconto com a fórmula

(

1

)

D

=

D

⋅ + ⋅

i n

(

)

981

=

D

⋅ +

1 0, 03 3

⋅

981

=

D

⋅

1, 09

981

900

1, 09

D =

=

Mais questões de Juros Simples para aprofundamento

A partir de agora resolverei questões de Juros Simples de outras bancas. Isto servirá de treino e para ensinar algumas “técnicas” de resolução em algumas questões mais “espinhosas”.

25. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Sobre o tema Capitalização Simples e Composta assinale a alternativa incorreta.

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

Resolução

Vamos comentar cada uma das alternativas.

a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período “n” se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente.

Absolutamente verdadeira é a alternativa!! Comentamos praticamente a mesma coisa anteriormente... Com outras palavras... ”No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período.”

Essa foi fácil demais!! Vamos para a próxima...

b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta.

Basta dar uma olhada no nosso exemplo (do início da aula) para constatar que se trata de uma alternativa falsa. No nosso exemplo, em que a taxa era de 20% a.a. e o capital

Portanto, a resposta da questão é a letra B. Analisemos as outras alternativas.

c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado.

Praticamente a definição de capitalização simples. A alternativa c. está perfeitamente correta.

d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00.

Lembre-se que de acordo com o regime simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos.

Dessa forma, os juros gerados no primeiro mês são

1.000

10

100

100

⋅

=

Temos então que os juros gerados em qualquer outro mês serão iguais aos juros gerados no primeiro mês.

Portanto, o montante no final da aplicação de 3 meses será o capital investido (R$ 1.000,00) mais os juros (3 x R$ 100,00 = R$ 300,00). O montante é igual a R$ 1.000,00+R$ 300,00 = R$ 1.300,00. A alternativa D é verdadeira.

E finalmente a última alternativa.

e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00.

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período.”

Dessa forma,

os juros gerados no primeiro mês são

1.000

10

100

100

⋅

=

Os juros gerados no segundo mês são

1.100

10

110

100

⋅

=

Os juros gerados no terceiro mês são

1.210

10

121

100

⋅

=

O total de juros é igual a R$ 100,00 + R$ 110,00 + R$ 121,00 = R$ 331,00.

Podemos obter os juros da seguinte maneira: Se aplicamos R$ 1.000,00 durante três meses e obtemos um montante igual a R$ 1.331,00, o juro total será igual a R$ 1.331,00 – R$ 1.000,00 = R$ 331,00.

Portanto, a alternativa E é verdadeira!!

Como a questão nos perguntou quem é a incorreta... LETRA B

26. (Agente Administrativo – SAAE – Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) João aplicou R$ 13.000,00 pelo tempo de um ano e três meses à taxa de 36% ao ano. O valor total recebido por João após o vencimento da aplicação foi de:

(A) R$ 5.860,00 (B) R$ 18.850,00 (C) R$ 15.000,00 (D) R$ 26.000,00 (E) R$ 13.869,00 Resolução

Quando a questão não diz o regime de capitalização, por convenção, adotamos o regime simples. O capital aplicado é de R$ 13.000,00, durante um ano e três meses (12 + 3 = 15 meses), à taxa de 36% ao ano.

Devemos entrar em um consenso com relação às unidades da taxa de juros e do número de períodos. Uma taxa de 36% ao ano gera 3% ao mês (36%/12). Podemos simplesmente dividir a taxa anual por 12, pois no regime de juros simples, para fazer a conversão de taxas utilizamos o conceito de taxas proporcionais. Lembre-se também que 3% = 3/100 = 0,03.

= ∙ ∙ = 13.000 ∙ 0,03 ∙ 15

= 5.850

E como o montante é a soma do capital com o juro gerado... M = C + J = 13.000 + 5.850 = 18.850,00.

27. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 Resolução

Calcular o valor da dívida hoje significa calcular o montante da operação de juros simples. A taxa e o período estão em conformidade quanto à unidade (mês), portanto podemos aplicar diretamente a fórmula de juros simples. O capital é R$ 1.200,00 , a taxa de juros é de 5% ao mês e o tempo é igual a três meses.

J

= ⋅ ⋅

C i n

5

1.200

3

100

J =

⋅

⋅

180

J =

Como o montante é a soma do capital inicial com os juros,

1.200 180

1.380

M

C

J

M

M

= +

=

+

=

28. (Prefeitura de Ituporanga – 2009 – FEPESE) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses?

a. R$ 4.488,75 b. R$ 1.023,75 c. R$ 3.780,00 d. R$ 1.496,25 e. R$ 5.386,50 Resolução

As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais.

Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. E quem disse que isso é problema? Devemos traçar a nossa estratégia. Devemos escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização.

Sabemos que um ano é a mesma coisa que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a 48 + 9 = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para sabermos a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12. Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicarmos a fórmula de juros simples!

J

= ⋅ ⋅

C i n

Temos que o capital é igual a R$ 12.600,00, a taxa é igual a

0, 075

12

0, 075

12.600

57

12

J

=

⋅

⋅

Como 12.600 dividido por 12 é igual a 1.050,

1.050 0, 075 57

J =

⋅

⋅

4.488, 75

J =

Letra A

29. (UnB/CESPE – PMCE 2008) No regime de juros simples, R$ 10.000,00 investidos durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$

21.000,00. Resolução

Devemos estar sempre atentos quanto à conformidade da unidade da taxa de juros com a unidade do tempo de investimento do capital. O tempo de aplicação foi dado em meses. A taxa de 15% ao semestre poderá ser escrita em meses, utilizando o conceito de taxas proporcionais.

Ou seja, para calcular taxas equivalentes no regime simples podemos fazê-lo utilizando uma regra de três simples e direta.