Geometria do espaço-tempo no interior de um sistema em transição de fases

(1)

Geometria do Espaço - Tempo no Interior de um

Sistema em Transição de Fases.

José Luis Bernardo Diaz Polan o

Orientador: Patri io Anibal Letelier Sotomayor

UNICAMP

IFGW

Campinas, São Paulo

(2)

(3)

(4)

(5)

O esforço dedi o a minha mãe.

A beleza matemáti a nela, para minha amada

Beatriz.

(6)

Umeternoagrade imentoaquemtantosesa ri ounestaaventura,minhaamadaesposa

e amiga, Betty. Sem elaestas folhasnão existiriam.

À minhafamília,pelaedu açãoeoapoioquere ebideles: meupaiBernardo,minhamãe

Luisa, meus irmãos Pedro e Sandra, minhas avós Lasteniae Charito e todos meus tios e

primos.

Fundamental foi Patri io, que om sua orientação direta e heia de onhe imento,

on-seguiu que neste momento possa sentir-me em ompleta onformidade om tudo o que

aprendi de meu trabalho... `Gra ias Profe'.

Um espe ial agrade imento para aprofessora Carolapelasua ajudana orreção da tese.

Para todos meus amigos, om os quais ompartilhei momentos muito agradáveis. Em

espe ial, para meus amigos Max e Seba, que em grande parte, são responsáveis diretos

pela minha aventura aqui no Brasil. Para Andres e José, por sua amizade e todas suas

derrotas no futbolin´´. Para os ompanheiros de grupo, Duda, Rafael Pi in, Cristian

Ghezzi, Cristiano,Daniel,Rafael,Max, eSamuel,pelo onhe imento ompartilhado

nes-tes dois últimos anos.

Para meus amigos do IFGW, Walter, Pedro, Enver, Roddy, Ali, Rogério, Julio, Pablo,

Carlos,Ri ardo,R.Sato,F.Sato, Nury,Felipe,Alberto,agaleraesportivadassextasfeiras,

e tantosoutros omo meus ' ompadres' eamigos Sara eCristian, pelasua amizade.

Quero agrade er sin eramente ao CNPQ que me apoiou e onomi amente para que eu

(7)

Resumo ix

Abstra t x

Introdução 1

1 Relatividade geral 3

1.1 Equação de Einsteinpara o espaçolivre. . . 3

1.2 Tensor de Energia-Momentum . . . 4

1.2.1 Tensor parao Campode Energia . . . 4

1.2.2 In lusão de forças . . . 6

1.2.3 Equações de amponum espaçonão vazio. . . 8

1.3 Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkov . . . 11

2 Gases Reais 16 2.1 Equação de estadopara um sistemade partí ulas idênti as. . . 17

2.2 Poten ial de interaçãode Sutherland. . . 20

2.3 Lei dos estados orrespondentes . . . 22

2.4 Cál ulo dapressão de oexistên ia de fases.. . . 24

2.5 Equação de estadopara um sistemaemtransição de fase gás-líquido . . . . 26

2.5.1 Região do gás . . . 26

2.5.2 Região da interfa e gás- oexistên ia . . . 27

2.5.3 Região de oexistên iagás-líquido . . . 28

2.5.4 Região da interfa e líquido- oexistên ia . . . 29

2.5.5 Região do líquido . . . 29

(8)

3.1 Colo ação doproblema e pro edimento . . . 32

3.2 Resumo doPro edimento . . . 33

3.3 Validaçãodo Código.Exemplodo gás ideal. . . 34

3.4 Resoluçãoda equação TOV para um sistemaem transição de fases. . . 38

3.4.1 Distribuição de matériano interior daestrela emtransição de fases 41 3.4.2 Geometria do espaço-tempo no interior da estrela em transição de fases . . . 44

3.5 Análise de um sistemaa pressão onstante . . . 49

3.5.1 Resultados nais . . . 52

4 Con lusão 59

(9)

São apresentadas soluções numéri as do sistema de equações diferen iais de T

olman-Oppenheimer-Volkov para um gás de partí ulas em transição de fases, no ontexto da

relatividade geral, en ontrando a estrutura do espaço-tempo asso iada om a transição

de fases. Para isto assumimos que o gás está formado por partí ulas autogravitantes,

idênti as, om simetriaesféri a, e ujo tensorde energia-momentum édotipo uido

per-feito. As interações internas do gás são representadas por uma equação de estado apaz

de des rever uma transição de fase do tipo gás-líquido. Um gás esta ionário deste tipo

poderia representaruma estrela emequilíbrio hidrodinâmi o.

Con luímos que a termodinâmi a não perde sentido no ontexto da relatividade geral,

apresentando laramente que a transição de fases a onte e só numa superfí ie esféri a e

on êntri a nointeriordaestrela, naquala urvatura doespaço-temporeete, mais uma

vez, omesmo omportamentoqueadistribuiçãointernade matérianaestrela,neste aso,

(10)

We present numeri al solutions for the dieren ial equations the T

olman-Oppenheimer-Voltov for a gas parti les in phase transition in the general relativity ba kground,

ob-taining the spa e-time stru ture involved inthe phase transition. For this purpouse, we

onsider the gas as formed by identi al self-gravitating parti les with spheri al simetry

and whose momentum- energy tensor is do like perfe t uid type. The internal

intera -tions of the gas are represented by a state equation that has the property of des ribing

gas-liquid phases transition. A sta ionary gas likethis is supposed to represent a star in

hydrodynami equilibrium. We on lude that there is no oni t of using

thermodyna-mi s ingeneralrelativity ontext, showing learythat thephase transtitionhappens only

in a spheri al shell entered in the star geometri al enter, about what the spa e-time

urvature ilustrates, on e more, the samebehaviour expe t by the distributionof matter

(11)

Ahistóriadeumapartí ulanonosso universoémuito ativante. Assimtambémépensar

queela traz onsigo asinformaçõesde que pre isamos para entender o que a onte eu no

suposto omeço e talvez que ela poderia nos falar o que a ontererá no futuro remoto.

Os aminhos que ela per orreu no de orrer de sua vida não foram aleatórios, eles foram

estabele idos, a ada instante, pelas restantes partí ulas no universo, movimentando-se

através de geodési as que a onduzem inapelavelmente aoen ontro de outras partí ulas,

omose fosse uma reuniãomar adadesde o omeçodotempo.

Umnúmero su ientementegrandede partí ulas reunidas noespaço, omo nuvens de

gás, interagem gravita ionalmente, atraindo-se ada vez mais, dando origem ao que se

onhe e omo olapso gravita ional. O olapso se vê interrompido quando as pressões

internas equilibram a força gravita ional, fazendo om que o sistema que

hidrodinami- amenteestável,pelo menos poralgum tempo, assim que houvesse nas ido. É aqui onde

vamo-nos deter. A estrela em equilíbrio hidrodinâmi o apresenta regiões, que podem

ser ara terizadas pelas suas diferentes densidades. Assim podemos onsiderar que para

diferençassu ientemente grandes nas densidades das regiões, estas ara terizam regiões

líquidasougasosas,porexemplo,umnú leoeuma oroa. Nestadissertação,modelaremos

umaestrela omose seus onstituintes fossem partí ulas de um gás real,que sofrem uma

transição de fase do tipogás-líquido, distinguindoas regiõesdensas daestrela(o nú leo),

das menos densas(a oroa).

Oobjetivofundamentalseráestudaroquea onte e omageometriadoespaço-tempo

no interior de um sistema de partí ulas em transição de fases de matéria, por exemplo,

tipogás-líquido.

Para isso, o apítulo1 estará destinado a onhe er as bases da teoriane essária para

(12)

dedu-das equaçõesdeNewtonparaahidrodinâmi anoequilíbrio. Assim,suasoluçãomostraria

tanto aestrutura interna daestrelaquanto aestrutura doespaço-tempo nointerior dela.

Dado quea equação TOV pre isa da formaexplí ita de uma equação de estado para

ser resolvida, no apítulo2 revisamos brevemente a teoria dos gases reais, napro ura de

uma equaçãode estadoque modele as fasesgasosa, líquidae de oexistên ia líquido-gás.

No apítulo3, mostramos omo fun ionao ódigo omputa ionaldesenvolvido,

expli- ando osmétodos numéri os empregadospara solu ionar nosso problema. Apresentamos

a solução numéri a do sistema TOV para o aso do gás ideal, a m de testar o

fun io-namentodo ódigo desenvolvido. Finalmente, resolvemos numeri amenteo sistemaTOV

para o aso do gás emtransição de fases.

(13)

Relatividade geral

No presente apítulo, faremos uma breve revisão da teoria ne essária para des rever a

estrutura doespaço-temponointeriorde um sistema de partí ulas om simetriaesféri a,

no ontexto da relatividade geral, a m de obter um aminho para desenvolver modelos

estrelares,apresentandoanomen laturausadanestadissertação. Dadoquenossointeresse

éanalisarageometriadoespaço-tempoparao asoparti ularondeosistemadepartí ulas

está emtransição de fase, omeçamos estudando asleis bási asda relatividadegeral.

1.1 Equação de Einstein para o espaço livre

Arelaçãoentreageometriadoespaço-tempoeadistribuiçãodeenergia,desenvolvidapor

Einstein e seus olaboradores, que se resume nas equações de ampo, teve omo ponto

departidaaanálise uidadosa dageometria deum espaço-temponaausên ia dematéria.

Daquelaanálise seobtém a equação de Einstein para oespaço livre de matéria eenergia

omo

R

αβ

= 0

, (1.1)

onde

R

αβ

é o tensorde Ri i, eque se dene omo

R

αβ

=

(

ξ

αξ

)

|β

−

(

ξ

αβ

)

|ξ

+

(

τ

αξ

) (

ξ

τ β

)

−

(

τ

αβ

) (

ξ

τ ξ

)

= 0

, (1.2)

naqual,apare e uma ombinação dos símbolosde Christoele suas derivadas(onde

usa-mos anotação

| β

representando a derivada par ial om respeito à oordenada

x

β

(14)

(

α

βγ

)

=

1

2 g

αξ

_g

ξβ|γ

+ g

ξγ|β

− g

βγ|ξ

,

onde apare em o tensor métri o

g

αβ

, suas derivadas e a inversa do tensor métri o

g

αβ

.

Lembremos que aequação (1.2) éa ondição para que asequações do ampo admitama

métri a de Lorentz omo solução parti ular.

1.2 Tensor de Energia-Momentum

Na seção anteriorforamapresentadas asequações de ampo parao espaçolivre. No aso

de estar empresença de matéria,a seguinte igualdade empíri aé satisfeita:

Tensor que representa

ageometria doespaço

=

Tensor que representa aenergia ontida noespaço

. (1.3)

Além disso, aequação do ampo satisfaz dois requerimentoslimites:

1. É equivalenteà equação de Poisson,no limite de amposfra os.

2. Deve ser equivalenteà equação de ampode Einstein para espaçoslivres, nolimite

da densidade tendendo para zero.

A equaçãode ampo édo tipotensorial de segunda ordem.

1.2.1 Tensor para o Campo de Energia

Consideraremos o asode amposde energia. Tais ampospodemser ara terizadospelo

ampo es alar de densidade própria

ρ

0 (x)

e um ampo quadrivetorial de uxo

u

ν

. A

densidade própria

ρ

0 (x)

émedidaporum observadormovimentando-se juntoaouxo. A quadrivelo idade de uxo

u

ν

_(x)

pode ser interpretada omo se um elemento de matéria

que o upa a posição ara terizada pelo ponto

x

µ

do espaço-tempo tem uma equação de

movimento

x

µ

_(s)

,talque

dx

µ

ds

= u

µ

(x)

. (1.4)

Usando tais ara terísti as, podemos onstruiro tensorde energia-momentum(ou tensor

de matéria) omo

T

µν

_{= ρ}

(15)

darelatividaderestrita,

(ct, x, y, z)

,e o tensorusual da métri ade Lorentz, dado por

ds

2 = c

2 _{dt − dx}

2 + dy

2 + dz

2

,

de talformaque a omponente

T

00

do tensorde matériaestá dada por

T

00 = ρ

0 u

0 = ρ

0 dx

0 ds

dx

0 ds

= c

2 _ρ

0 dt

ds

2 = γ

2 ρ

0

, (1.6)

onde denimos

s

, omo a longitude de ar o da trajetória e

γ =

h

1 −

v

2 c

2 i

−

1

2

. Segundo

a relatividade restrita, um observador xo observa que a massa da partí ula aumenta

om avelo idade, talque,

m = m

0 γ

, porém, observa que ovolume dapartí ulamaterial se ontrai na direção da velo idade, tal que,

V = V

0 γ

−1

. Assim, a densidade medida

pelo observador xo será

ρ = γ

2 _ρ

0

. Portanto,

T

00

representa si amente a densidade

medida por um observador xo om respeito do uxo, hamada densidade de energia

relativista. As outras omponentes são al uladas damesma forma;se

i

e

j

representam as oordenadasespa iais(1,2,3),então,vemosqueas omponentesmistas(espaçoetempo)

dotensor de energia-momentum são

T

0i

= ρ

0 dx

0 ds

dx

i

ds

= cρ

0 dt

ds

v

i

_{= cγρ}

0 v

i

=

1 c

ρv

i

, (1.7)

epara o aso de omponentes espaço-espaço temos que

T

ij

_{= ρ}

0 dx

i

ds

dx

j

ds

= ρ

0 γ

2 v

i

v

j

c

2 =

1 c

2 ρv

i

_v

j

. (1.8)

Daquivemos que otensor de energia-momentumpode ser es rito omo:

T

ij

_{= ρ}







1

1 _c

v

x

1 _c

v

y

1 _c

v

z

1 c

v

x

1 c

2 v

2 _x

1 c

2 v

_x

v

_y

1 c

2 v

_x

v

_z

1 c

v

y

1 c

2 v

_y

v

_x

1 c

2 v

_y

2

1 c

2 v

_y

v

_z

1 c

v

z

1 c

2 v

z

v

j

1 c

2 v

z

v

y

1 c

2 v

2 _z







. (1.9)

Pode-se provar fa ilmente que as leis da hidrodinâmi a são satisfeitas na ausên ia de

forças,e queelas podemser es ritas emformatensorialsimples. Neste aso,elas

podem-seresumir àequação

(16)

que expressa a onservação de energia e momentum no uido. Vemos que, se

α = 0

, então, aequação( 1.10), nos onduz àequação da ontinuidade

T

0ν

_||ν

= T

0η

_|η

=

1 c

∂ρ

∂t

+

−

→

∇ · ρ−

→

v

= 0

, (1.11)

e se

α = i 6= 0

, então, a equação( 1.10) nos onduz à onhe ida relação da derivada Euleriana para ouxo de matéria,igual a zero, ouseja,

T

iν

_||ν

= T

iν

_|ν

=

ρ

c

2 ∂v

i

∂t

+ −

→

v · ∇v

i

= 0 =⇒

Dv

i

Dt

=

∂v

i

∂t

+ −

→

v · ∇v

i

= 0

. (1.12) 1.2.2 In lusão de forças

Agora queremos fazer as modi ações orrespondentes, para obter o tensor de

energia-momentum para o aso no qual tanto as forças internas, quanto as pressões estejam

presentes nouido. Espe i amente, trataremos om uidos perfeitos, os quais são, por

denição, ara terizados pelo ampo de densidade própria

ρ

0 (x)

, um ampo de quadri-velo idade douido

u

a

_(x)

e um ampoes alar de pressão

p(x)

M

ab

éda forma

M

ab

_{= ρ}

0 (x) u

a

(x)u

b

(x)

, (1.13) assim, para en ontrar um tensor energia-momentum quein lua o efeitodaforça interna,

bastaen ontrarumtensorapropriado, ujadivergên iaézero,easequaçõesdemovimento

obtidas dele têm que satisfazer a lei de onservação da energia. Além da anterior, as

relações nolimitede baixas velo idadestêm queser satisfeitas.

Assumimos que estamos no limite de baixas velo idades, ou seja, velo idades pequenas

omparadas om

c

,baixaspressõeseadensidadede energiaelásti apequena, omparada om a densidade de energia dada pela matéria. Com todas estas onsiderações, vemos

que a leide onservação daenergia pode ser es rita em termos da densidade própria

ρ

0

, ou seja

∂ρ

0 ∂t

+

−

→

∇ · (ρ

0 −

→

v ) = 0

. (1.14)

(17)

uidos,temos que

ρ

0 Dv

a

Dt

= ρ

0 ∂v

a

∂t

+ −

→

v · ∇v

a

= f

a

= −

_∂x

∂P

a

. (1.15)

Notamosque aequação( 1.14) é satisfeita peladivergên ia de

M

0ν

, de fato

M

0b

_|b

=

1 c

∂ρ

0 ∂t

+

−

→

∇ · (ρ

0 −

→

v )

= 0

. (1.16)

mas aequação( 1.15) não é obtidapela divergên ia do tensor

M

ab

,já que

M

ab

|b

=

ρ

0 c

2 Dv

a

Dt

=

ρ

0 c

2 ∂v

a

∂t

+ −

→

v · ∇v

a

= −

_∂x

∂P

a

6= 0

. (1.17)

Assim, para ompensar esta situação,denimos otensor

S

ab

, talque

S

ab

|b

=

1 c

2 ∂p

∂x

a

=

p

c

2 





T

µν

_{= ρ}

0 





1

1 _c

v

x

1 _c

v

y

1 _c

v

z

1 c

v

x

0

1 c

v

y

0

1 c

v

z

0

0 





+

p

c

2 





0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







, (1.21)

onde notamos que

T

µν

não é um tensor. Para generalizar (1.21), vemos que os úni os

c

2 





A







1

1 _c

v

x

1 _c

v

y

1 _c

v

z

1 c

v

x

1 c

2 v

_x

2

1 c

2 v

_x

v

_y

1 c

2 v

_x

v

_z

1 c

v

y

1 c

2 v

_y

v

_x

1 c

2 v

_y

2

1 c

2 v

_y

v

_z

1 c

v

z

1 c

2 v

_z

v

j

1 c

2 v

_z

v

_y

1 c

2 v

_z

2 





+ B







1

0

0 0 −1

0

0 ₋₁

0

0 ₋₁













. (1.23)

A equação (1.23) se reduz à equação (1.21) no limite de baixas velo idades se

A = 1

e

B = −1

, e portanto podemos pensar que o tensor de Energia-Momentum seria daforma dada pelaequação (1.20), om o tensor

S

µν

daforma

S

µν

=

p

c

2 [u

µ

u

ν

_{− g}

µν

]

. (1.24)

Assim, nalmenteoTensordeEnergia-Momentum,parauidosperfeitos,in luindoforças

internase pressões, pode ser es rito omo

T

µν

_{= ρ}

0 u

µ

u

ν

+

p

c

2 [u

µ

ζ

é uma onstante que temos que determinar. O problema que se apresenta é o fato de

que o tensor de Energia-Momentum tem derivada ovariante zero, enquanto o tensor de

Curvatura, não. Porém a igualdade empíri a tem que ser rees rita, tal que, a igualdade

seja entre dois tensores om derivada ovariantenula. Notandoque o tensor

G

µν

_{= R}

µν

−

1 ₂

g

µν

_R

(1.27)

tem derivada ovariante nula( onhe e-se

G

µν

omo tensor de Einstein), então podemos

pensar quea equação de ampoem presença de matéria, será daforma

G

µν

= R

µν

₋

1

2 g

µν

(19)

efazendo uma ontração dos índi es

µ

e

ν

naequação (1.28), obtemosa relaçãoes alar

R = −ζT

. (1.29)

Usando este resultado, vemos quea equação de ampo a

R

µν

_{= ζ}

T

µν

−

1 ₂

g

µν

_T

. (1.30)

Para al ular a onstante

ζ

, analisamoso limite de baixas velo idades para as equações de ampo gravita ional. Vemos que o tensor de energia-momentum pode ser es rito no

limitede baixas velo idades

(v ≪ c)

, da seguinteforma

T

µν

=







ρ

0 0 0 0







=⇒ T

µ

= T r







ρ

0 0 0 0







= ρ

0

, (1.31)

onde,podemosnotarque, naequação(1.31), otensorenergia-momentum sótem

ompo-nentes nulas, ex eto para

T

00

. Assim, analisando para essa omponente, vemos que

R

00 = ζ

T

00 −

1

2 g

00 T

=

1

2 ζρ

0

, (1.32)

epor outro lado, al ulamos

R

00

da equação(1.2), e obtemos

R

00 = R

α

0 α 0

=

(

α

0α

)

|0

−

(

α

00 )

|α

+

(

τ

0α

) (

α

0τ

)

−

(

τ

00 ) (

α

ατ

)

. (1.33)

Para al ularossímbolosde Christoel,no limitede baixas velo idades, assumimos uma

métri atipo Lorentz, sóque agregamos uma pequena pertubação

ξφ

µν

, independentedo tempo, oque equivalea dizer

g

µν

= η

µν

+ ξφ

µν

,

ξ ≪ 1

onde,notamosque

η

µν

éamétri adeLorentz. Agora al ulamosossímbolosdeChristoel queapare em na equação (1.33), desprezando todos os termos que sejampotên ias de

ξ

maioresque 1,ouseja

O

1 (ξ

2 ₎

e

O

2 (ξ

3 ₎

, temos que

(

α

0α

)

|0

= 0,

(20)

(

α

00 )

|α

=

−1

2 g

αβ

g

00|β

|α

≈

−ξ

2 η

αβ

φ

00|β

|α

=

−ξ

2 ∇

2 _φ

00

, (1.34) onde

∇

2 ≡

∂

2 ∂

2 _x

1 +

∂

2 ∂

2 _x

2 +

∂

2 ∂

2 _x

3 .

NotemosqueossímbolosdeChristoelsãofunçõesdasderivadasdamétri a,porém, omo

amétri ade Lorentztem omponentes onstantes, então adasímbolode Christoelserá

propor ional aoparâmetro

ξ

. Assim, ostermos do tensor de urvatura que são produtos de dois símbolos de Christoel, são desprezíveis. É dizer que a equação (1.32), pode ser

es rita omo

ξ

2 ∇

2 _φ

00 = −

1

2 ζρ

0

, (1.35)

e lembrando que a omponente

g

00

onde

k

é a onstante de gravitação de Newton. Finalmente a equação de ampo de Einstein, napresença de matériaé dada por

R

µν

₌

−8πk

c

2 T

µν

−

1 ₂

g

µν

_T

.

(1.39)

(21)

Estudaremos a estrutura estrelar de um sistema de partí ulas representadas pelo tensor

deenergia-momentoparauidosperfeitos. Istoenvolvea onstruçãodaformadamétri a

ea utilizaçãode todo oaparato matemáti o para, om as leisda relatividade, en ontrar

omo seria a pressão e a densidade dentro da estrela. O resultado mais importante será

en ontrar uma generalização das equações de Newton da hidrodinâmi a em equilíbrio,

onhe ida omoaequaçãode Tolman-Oppenheimer-Volkov(TOV).Assumimosquenosso

sistemaé estáti oe om simetriaesféri a

ρ = ρ(r)

p = p(r)

.

Alémdoanterior,suponhamosqueexisteumarelaçãolo al,entreapressãoeadensidade,

ouseja,que exista uma equação de estadoque possa ser es rita naforma

p = p(ρ)

. (1.40)

Em analogia ao problema de S hwarzs hild, no to ante ao tratamento de sistemas om

simetriaesféri a, vemos quea longitude fundamentalpode ser es ritada seguinte forma

ds

2 = exp(ν)c

2 dt

2 _{− [exp(λ)dr}

2 + r

2 (dθ

2 + sin

2 θdϕ

2 )]

, (1.41) ondeasfunções

ν

e

λ

,queapare emem

g

00

e

g

11

,são sódependentes de

r

,devidoaofato dequenossosistemaéindependentedotempoe om simetriaesféri a. Consideramosque

nosso sistema é um uido perfeito, e deste modo, o tensor energia-momentum está dado

pelaequação (1.25)

T

αβ

= ρ u

α

u

β

+

p

c

2 (u

α

u

β

− g

αβ

)

. (1.42) Desdequeamatériaesteja emrepousoem adapontomaterialdouido, as omponentes

dovetor velo idade

u

α

serão

(u

0 _{, 0, 0, 0)}

. Na trajetóriade ada partí ula de matériano

uido,a relaçãoentre otempo-próprioea oordenada temporalestá dada por

ds

2 = g

00 (dx

0 )

2 = g

00 c

2 dt

2 1 = g

00 u

0

2

. (1.43)

Então, temos que

u

0 = g

0α

u

α

= g

00 u

0 =

√

g

00 u

i

= 0

. (1.44) Istopermitees revero tensor

T

αβ

daseguinte forma:

T

αβ

= ρ







g

00 0 0 0

0 0 0 0







−

p

c

2 





0 g

01 g

02 g

03 g

10 g

11 g

12 g

13 g

20 g

21 g

22 g

23 g

30 g

31 g

32 g

33 





, (1.45)

(22)

T

αβ

=







ρ exp ν

0

0 _c

p

2 exp λ

0

0 _c

p

2 r

2 ₀

0

0 _c

p

2 r

2 _sin

2 _θ







, (1.46)

para um uido perfeito. Da denição (1.42), podemos al ularo es alar

T

2 g

αβ

T

, (1.48)

e a equação (1.2), que dene o tensor de Ri i

R

αβ

, para en ontrar as relações entre as funções geométri as

λ

e

ν

e osparâmetros douido

P

e

ρ

.

As omponentes não nulas do tensor

T

αβ

dão origemàs quatro relações seguintes:

T

00 −

1

2 g

00 T =

exp ν

2 ρ + 3

p

c

2 T

11 −

1

2 g

11 T =

exp λ

2 ρ −

p

c

2 T

22 −

1

2 g

22 T =

1

2 ρ −

p

c

2 r

2 T

33 −

1

2 g

33 T =

1

2 ρ −

_c

p

2 r

2 sin

2 θ

.

(23)

Analogamente, al ulamosas omponentes não nulas dotensor

R

αβ

,segundo [1℄, que são

R

00 = exp (ν − λ)

−

1 ₂

ν

′′

+

1

4 λ

′

_ν

′

−

1 ₄

(ν

′

)

2 ₋

1 r

ν

′

R

11 =

1

2 ν

′′

−

1 ₄

λ

′

ν

′

+

1

4 (ν

′

₎

2 −

1 _r

λ

′

R

22 = exp (−λ)

1 +

1

2 ν

′

r −

1 ₂

λ

′

r

− 1

R

33 = R

22 sin

2 θ

,

onde a linha omo super-índi e denota diferen iação om respeito a

r

. Substituindo as quantidades al uladas anteriormentena equaçãode Campo de Einstein (1.48),obtemos

osistema de equaçõesdiferen iais quetemos que resolver

exp (−λ)

−

1 ₂

ν

′′

+

1

4 λ

′

_ν

′

−

1 ₄

(ν

′

)

2 ₋

1 r

ν

′

= ζ

ρ

2 +

3

2 p

c

2

(1.49)

exp (−λ)

1

2 ν

′′

−

1 ₄

λ

′

ν

′

+

1

4 (ν

′

₎

2 −

1 _r

λ

′

= ζ

ρ

2 −

1

2 p

c

2

(1.50)

exp (−λ)

1 r

2 +

1 2r

(ν

′

− λ

′

)

−

_r

1

2 = ζ

ρ

2 −

1

2 p

c

2

, (1.51) onde

ζ = −

8πκ

c

2

. Notemos quesótemos trêsequações, já queaequação queenvolve

R

33

é laramente propor ionalàquela que envolve

R

22

. Es revamos as equações de uma forma mais onveniente. Primeirosomamos (1.49)e (1.50) eobtemos

ζ

ρ +

p

c

2 = exp (−λ)

ν

′

_{+ λ}

′

r

. (1.52)

Notemosquese

ζ

énegativoeadensidadeepressãosão maioresouiguaisazero,impli a que

ν

′

_{+ µ}

′

é positivoou zero só para o espaço livre de matéria,isto é

ρ = p = 0

. Agora podemos resolver(1.50) e(1.52) para

ρ

e

p

.

(24)

Para a ter eira equação, eliminamos

ρ

e

p

das equações (1.50) e (1.51), e obtemos o sistema simples de equaçõesdiferen iais

ζρ = exp (−λ)

1 r

2 −

λ

′

r

−

_r

1

2

(1.53)

ζ

p

c

2 =

1 r

2 − exp (−λ)

1 r

2 +

λ

′

r

(1.54)

exp (−λ)

r

2 =

1 r

2 −

1

4 (ν

′

₎

2 +

1

4 λ

′

_ν

′

₊

1 2r

(ν

′

_{+ λ}

′

) −

1 ₂

ν

′′

. (1.55) Em analogia om a soluçãode S hwarzs hild, denimos a função

m (r)

, talque

exp (−λ) = 1 −

2m (r)

r

, (1.56)

e lembremosque

m

é denida omo amassa geométri a(

m = κM/c

2

)dentrodaesfera de

raio

r

. Derivando aequação (1.56), obtemos

−

2 r

m

′

(r) = −

1 r

2 [r (1 − exp (−λ))]

′

= exp (−λ)

1 r

2 −

1 r

λ

′

−

1 r

2

, (1.57) e omparando (1.57) om a equação (1.53),obtemos aequação

m

′

(r) =

4π

c

2 κρr

2

. (1.58)

Vemos que de (1.54) podemosresolver para

ν

′

,numa forma onveniente, a saber

ν

′

= 2

m + 4πκpr

3 _/c

4 r (r − 2m)

. (1.59) Agora rela ionamos

p

′

om

ν

′

. Diferen iamos (1.54)e usamos (1.55)para eliminar

ν

′′

, e obtemos

−

8πκ

_c

4 p

′

= −

_r

2

3 + exp (−λ)

1 r

2 λ

′

₊

1 r

λ

′

_ν

′

−

1 _r

ν

′′

+

1 r

2 ν

′

₊

2 r

3 =

1 2 r

exp (−λ) [λ

′

_{+ ν}

′

_{] ν}

′

.

Comparando om a equação(1.52) obtemosa relação simplesentre

p

′

e

ν

′

p

′

c

2 =

−1

2 ν

′

_{ρ +}

p

c

2

, (1.60) e nalmente

p

′

_{= −}

ρ +

p

c

2 m +

4πκpr

_c

4

3 c

2 r (r − 2m)

, (1.61)

(25)

onstruçãode modelos estrelares. É uma versão relativísti adas equações de Newton da

hidrodinâmi aemequilíbrio.

Em resumo, para denir um modelo estrelar, om simetria esféri a , no ontexto da

relatividadegeral, temos que resolvero seguinte sistemade equações diferen iais;

p = p (ρ)

(1.62)

m

′

(r) =

4π

c

2 κρr

2

(1.63)

p

′

_{= −}

ρ +

_c

p

2 m +

4πκpr

_c

4

3 c

2 r (r − 2m)

(1.64)

exp (−λ) = 1 −

2m (r)

r

(1.65)

ν

′

_{= −}

2p

′

ρc

2 _{+ p}

(1.66)

Asprimeirastrêsequaçõesnospermitemresolveroproblemadaestruturainterna,ouseja,

onhe er

m (r)

,

p (r)

, e

ρ (r)

, e para isto pre isamos das ondições ini iais. As últimas duas equações dão onta da geometria, permitindo onhe er as omponentes do tensor

métri o,am de onhe er a urvaturadoespaço-tempo. Notemosqueaequação(1.62)é

aequaçãodeestado dosistemade partí ulas, quevaidependerde omosão asinterações

entre os onstituintes do sistema. Em ontinuação, vamos pro urar uma equação de

estado para um sistema dado, que nos permita simular transições de fase de matéria,

tipogás-líquido. No apítuloseguinteapresentamos umbreve resumodateoriados gases

(26)

Gases Reais

No apítulo anterior, foi desenvolvida a teoria ne essária para modelar o interior de um

sistema de partí ulas, om simetria esféri a, no mar o da relatividadegeral. Obtivemos

um sistema de equações diferen iais não lineares de primeiro ordem (TOV), que dariam

onta de tais modelos. Não obstante, o sistema de equações pre isa de uma equação de

estadopara ser resolvido. Talequaçãode estadotemqueser apazde modelartransições

de fase de matéria,já que nosso objetivo é estudar omo éa geometria do espaço-tempo

duranteum evento de transição de fase de matéria. Um modelorazoável éassumir queo

Camposexternos de todotipo são desprezíveis.

Com tais restrições usaremos a me âni a estatísti a para en ontrar a equação de estado

(27)

idênti as.

Se onsideramos um sistema de partí ulas idênti as tal que seus onstituintes

interagem via um poten ial de duas partí ulas

U

ik

, podemos al ular aproximadamente aspropriedadestermodinâmi as dosistema. OHamiltonianorelativoao sistemaserá

H =

N

X

i=1

−

→

P

2 i

2m

+

X

i,k, i<k

U

ik

(|−

→

r

i

− −

→

r

k

|) ,

(2.1)

ondeo poten ialde interação

U

ik

sódepende dadistân ia

|−

→

r

i

− −

→

r

k

|

entre as partí ulas. Afunção de partiçãose dene omo

Z (T, V, N) =

1 N!h

3N

Z

d

3N

p exp

(

−β

2m

N

X

i=1

−

→

_P

2 i

) Z

d

3N

r exp

(

−β

X

i,k, i<k

U

ik

)

,

onde vemos que asintegraisde momento não ausam di uldade e podem ser resolvidas

diretamente, de talformaque

Z (T, V, N) =

1 N!h

3N

2πm

β

3 N

2 Z

d

3N

r exp

(

−β

X

i,k, i<k

U

ik

)

.

Expressando a exponen ial da somatória omo um produto de exponen iais, obtemos a

equação

Z (T, V, N) =

1 N!h

3N

2πm

β

3 _N

2 Z

d

3N

r

Y

i,k, i<k

exp {−βU

ik

} ,

(2.2)

edenindo a integral quefalta al ular omo

Q

N

(V, T ) =

Z

d

3N

r

Y

i,k, i<k

exp {−βU

ik

} ,

(2.3)

podemos ver que, se

U

ik

= 0

, então

Q

N

= V

N

e nosso resultado seria o típi o para

(28)

Para al ular

Z

(pelo menos aproximadamente), no aso no qual

U

Figura2.1: Forma típi ade umpoten ial de interação.

aspartí ulasestãomuitoafastadasumasdas outras,tantoqueogásse omporta omose

fosse ideal. O mesmoéválidopara sistemas om altas temperaturas, postoque para este

aso podemos pensar quea energiapoten ial das partí ulas épequena omparada om a

energia inéti a

kT

e porém ainteração entre aspartí ulas edesprezível, tal omo para o aso dogás ideal. Conseqüentemente tentaremosexpandir

Z

emtornodos asoslimites dogás ideal. Assim, sesupomos que

βU

ik

≪ 1

, então

exp {−βU

ik

} ≈ 1

, eaquantidade

f

ik

, denida omo

f

ik

= exp {−βU

ik

} − 1

f

ik

≪ 1,

é um parâmetro apropriado para fazer a expansão, já que

f

ik

→ 0

se

hr

ik

i → ∞

ou

T → ∞

. Introduzindo

f

ik

noproduto de exponen iais daequação (2.3)

Y

i,k, i<k

(exp {−βU

ik

} − 1) = 1 +

X

i,k, i<k

f

ik

+

X

i,k,l,m

f

ik

f

lm

+ ..,

e restringindonossas onsideraçõesaosprimeirosdois termos,temosquea equação(2.3),

a

Q

N

(V, T ) =

Z

d

3N

_r

_{1 +}

X

i,k,i<k

f

ik

+ ..

!

.

Substituindo

f

ik

em formaexplí ita,temos que:

Q

N

(V, T ) = V

N

+ V

N−2

X

i,k,i<k

Z

d

3 r

i

Z

d

3 r

k

(exp {−βU

ik

} − 1) + ..

, (2.4)

onde oprimeirotermo

V

N

éidênti o aoresultadode

Q

N

(V, T )

paraogás ideal. Otermo seguinte representa a orreção dada pela interação

U

ik

. Substituindo as oordenadas

(29)

do entro de massas

−

→

_{R =}

1

2 (−

→

r

i

+ −

→

r

k

) ,

e oordenadas relativas

−

→

r = (−

→

r

i

− −

→

r

k

) ,

na integralde (2.4), temosque

Q

N

(V, T ) = V

N

+ V

N−1

N (N − 1)

2 Z

d

3 _{r (exp {−βU}

ik

} − 1) + ...,

(2.5)

vemos que existem

N(N −1)

2

pares de partí ulas om

i < k

, que dão todas a mesma ontribuição para

Z

. Então, a m de expressar

Z(T, V, N)

emforma simples, denimos aquantidade

A (T ) =

Z

d

3 _{r (exp {−βU}

ik

} − 1) = 4π

∞

Z

0 r

2 _{dr (exp {−βU (r)} − 1) + ...,}

(2.6)

e voltando para a equação (2.2), usando os resultados obtidos até agora e onsiderando

que

N ≫ 1

, ou seja,

N(N −1)

2 ≈

1

2 N

2

, podemos nalmente dizer que, a função de partiçãoées rita da seguinteforma

Z (T, V, N) =

1 N!

2πmkT

h

2

3 _N

2 V

N

_{+ V}

N

−1

1

2 N

2 _{A (T ) + ...}

.

Se ordenamos ostermos, obtemosa relaçãosimples:

Z (T, V, N) =

V

N

N!λ

3N

1 +

1 2V

N

2 _{A (T ) + ...}

(2.7)

Finalmentepodemos al ulara pressãodo sistema,lembrandoque

P = −

∂F

∂V

T,N

onde

F = kT ln Z

=⇒ p (T, N, V ) =

N kT

_V

− kT

N

2 A

2V

2 1 − N

2 A

2V

2

e onsiderando que

A

é uma orreção pequena, temos que aequação de estadoé

p ≈

N kT

_V

1 −

A

₂

N

_V

(30)

A equação (2.6) pode ser al ulada para um aso espe í o, onde o poten ial de

intera-ção

U(r)

seja onhe ido. Por exemplo, poderíamos usar o poten ial de Lennard-Jones, omumenteusado parasimular ainteraçãoentre dois átomos,equetemaseguinteforma

U(r) = U

0 r

12 − 2

r

0 r

6 .

Estepoten ialapare eemdiversosmodelosdadinâmi amole ularepossuiummínimoem

r = r

0

noqualassume ovalor

U(r

0 ) = −U

0

. Eleé fortementerepulsivoparadistân ias pequenas

(r ≪ 1)

e atrativo a grandes distân ias. O problema que apare e é o fato de queasintegraisaserem al uladassão ompli adas. Porém,usaremosumavariantedeste

poten ialparasimpli araintegral(2.6),o hamadopoten ialde Sutherlanddado omo:

U(r) =

(

+∞

r < r

0 −U

0 r0

_r

6 r ≥ r

0 )

.

Na guraseguinte omparamos ospoten iaisde Lennard-Jones ede Sutherland. Usando

Figura 2.2: Comparação entre o poten ial de interação de Lennard-Jones e o poten ial de

Sutherland.

o poten ial de Sutherland e aequação (2.6), podemos al ular

A (T )

, talque

A (T ) = 4π

r0

Z

0 r

2 _{(−1) dr + 4π}

∞

Z

r0

r

2 exp

βU

0 r

6 − 1

dr,

(2.9)

e se

βU

0 ≪ 1

, então, valeque

exp

βU

0 r

6 ≈ 1 + βU

0 r

6 + ..

. (2.10)

(31)

A (T ) ≈ −

4π

₃

r

3 + 4πβU

0 r

6

0 ∞

Z

r0

1 r

4 dr,

(2.11)

eresolvendo a integral, hegamosnaequação

A (T ) ≈ −

4π

₃

r

3 ₀

_{(1 − βU}

0 ) ,

(2.12)

que usaremos para determinar a forma nal da equação de estado. De fato,

substi-tuindo(2.12) naequação (2.8), obtemos

p =

N kT

V

1 + 2πr

₀

3 N

3V

(1 − βU

0 )

,

eassim,nalmente,sees revemosapressãoemtermosdovolumeespe í o

v =

V

N

,vemos quea equação de estado pode ser es rita omo

P =

N kT

v

1 + 2πr

3 ₀

N

3v

1 −

_kT

U

0 .

(2.13)

Aequação(2.13)podeseres ritadeumaformamais onhe ida,sereordenamosostermos,

e usamos o fato de que o volume

4πr

3

0

3

dos átomos é pequeno omparado om o volume espe í o

v

. Vemos então que

p −

2πr

3

0 U

0 3v

2 =

kT

v

1 +

2πr

3

0 3v

≈

kT

_v

1 −

2πr

3

0 3v

−1

,

éexatamente igual àequação de estadode vander Waals.

p −

_v

a

2 (v − b) ≈ kT

(2.14)

paraos valores de

a

e

b

dadospelas seguintes relações:

a =

2π

3 r

3

0 U

0 b =

2π

3 r

3

0

(2.15)

Tais parâmetros são ara terísti os de ada sistema. O parâmetro

a

depende da pro-fundidade

U

0

do poten ial e mede a intensidade da força de atração entre partí ulas. O parâmetro

b

é hamadode ovolume.

(32)

Foiobservado que um sistema de partí ulas que se omporta omo um gás real pode ser

modeladopelaequação de estado de van der Waals. Es revendo esta equação emtermos

da densidade, obtemosa equação

P =

kT ρ

1 − bρ

− aρ

2

. (2.16)

Denimos o ponto ríti o

(ρ

c

, P

c

, T

c

)

, omoo estado onde sesatisfaz o fato de que,tanto a primeira,quanto asegunda derivada da pressãosão nulas, ou seja

∂P

∂ρ

(ρ

c

, T

c

) = 0

∂

2 _P

∂ρ

2 (ρ

c

, T

c

) = 0

, (2.17) o que nos permite,si amente, ara terizaro limite de temperaturas para as quais pode

a onte er uma transição de fase. Isto equivalea dizer que não existem transiçõesde fase

para temperaturas superiores à ríti a. Oponto ríti o é al ulado fa ilmente, e resulta

ser talque

P

c

=

a

27b

2 ρ

c

=

1 3b

T

c

=

8a

27kb

, (2.18)

ver [2℄. Se usamos estas quantidades naprópria equação de estado, a m de eliminar as

onstantes

a

,

b

e

k

,obtemos afamosa lei dos estados orrespondentes para gases reais,

P

r

=

8T

r

ρ

r

3 − ρ

r

− 3ρ

r

2

, (2.19)

a qualé independente dos parâmetros ara terísti osde ada gás. Nesta equação,

apare- em as hamadas oordenadas reduzidas,

P

r

,

T

r

,

ρ

r

, que são denidas pelas relações

P

r

=

P

c

ρ

r

=

ρ

c

T

r

=

T

c

.

(2.20)

A equação (2.19) será usada para modelar nosso sistema nas fases de gás e de líquido.

Na regiãode oexistên iagás-líquido,faremosalgumasmodi açõesqueserãoexpli adas

mais adiante. O interessante de usar esta equação dos estados orrespondentes é o fato

de que ela éválida para todo sistema que tenha um omportamentodo tipode gás real,

(33)

Se xamos uma temperatura um pou o menor à ríti a (

T

r

< 1

), então o grá o da isoterma terá que manifestar uma transição de fase do tipo gás-líquido, tal omo é

mostrado no exemplo da gura (2.3). O problema que se apresenta é o fato de que tal

0 0,5

1 1,5

2 Densidade reduzida

ρ

_r

0 0,5

1 1,5

2 2,5

Pressão reduzida

P

r

Equação de estado de Van Der Waals

T

r

= 0.9

Figura 2.3: Grá o típi o de uma isortema de van der Waals, para sistemas em transição de

fase. Neste exemplo aisoterma é

T

r

= 0

, 9

equação de estado não é válida na região de transição de fase. De fato ela apresenta

in onsistên iasfísi asnotórias. Porexemplo,nagura(2.3)vemosqueexisteumaregião,

na qual

∂P

∂ρ

< 0

, e portanto temos que reestruturar a equação de estado na região de oexistên ia gás-líquido. Não obstante, só pre isamos lembrar que, segundo os

experi-mentos sobre transiçõesde fasesde matéria,ela a onte e para uma determinadapressão

onstante. Então,temos que onhe erovalordapressãopara aquala onte e atransição

de fase. Na seção seguinte usaremos a onstrução de Maxwell para al ular tal pressão

(34)

Para en ontrar o valor da pressão

P

0

, na qual a onte e a transição de fases, usamos a onstrução de Maxwell, que é ilustradana gura (2.4). Consideramos uma transição de

Figura2.4: Pressãode oexistên iade fases.

fase gás-líquido, então na região de oexistên ia entre o líquido e o vapor se estabele e

uma pressão de equilíbrio

P

0

entre as fases. Tal pressão de equilíbrio, pode ser al u-lada segundo Maxwell, usando o fato de que as áreas es uras na gura (2.4) têm que

ser iguais. Esta ondição apare e naturalmente se onsideramos dois estados, um deles

puramentegasosos(de entropia

S

1

)eooutropuramentelíquidos(deentropia

S

2

). Então, a variaçãode energia interna dosistemaentre osdois estados édada pelaprimeiraleida

termodinâmi a

∆U = T (S

2 − S

1 ) −

ρ3

Z

ρ1

P (ρ) dρ,

onde

P (ρ)

representa uma isoterma de van der Waals. Outro aminho para al ular a variaçãode energiaé usar o alor latentede transição de fases,que para este aso é:

∆U = ∆Q − P

0 (ρ

3 − ρ

1 ) ,

(35)

Assim, a ondição desejada para al ular

P

0

é

ρ3

Z

ρ1

P (ρ) dρ = P

0 (ρ

3

,

P

0

. As outras duas equações são dadas pelo fato de que os pontos

(ρ

1 , P

0 )

e

(ρ

3 , P

0 )

perten em à isoterma. Expli itamente o sistema de equações pararesolver está dado por

8T

r

3 ln

3 − ρ

3 3 − ρ

1 + ρ

3 ₃

_{− ρ}

3 ₁

_{− ρ}

3 + ρ

1 = P

0 (ρ

3 − ρ

1 )

(2.22)

P

0 =

8T

r

ρ

1 3 − ρ

1 − 3ρ

1

2

(2.23)

P

0 =

8T

r

ρ

3 3 − ρ

3 − 3ρ

3

2

(2.24)

O sistema será resolvido para uma temperatura

T

r

xa, usando o método de Newton-Raphson para sistemas de equações não lineares. Todos os resultados numéri os são

mostrados no apítulo 3. Uma vez onhe ida a região de oexistên ia, podemos armar

que a equação de estado válida na região de oexistên ia gás-líquido será da forma

P =

P

0 = constante

. Assim, em geral podemos armarque a equação de estado que modela umatransiçãodefasedotipogás-líquidoé ara terizadaporumafunção ontínuadividida

emtrês partes:

1. vander Waalspara

ρ < ρ

1

regiãodo gás;

, ou seja,a equaçãode estado tambémtem que

ser de lasse

C

2

(36)

de fase gás-líquido

Em ontinuação, redeniremos a equação de estado, a m de que ela seja de lasse

C

2

.

Para onseguir tal propósito, usaremos três equações de estado do tipo virial que nos

permitamsuavizaras interfa es dogás edo líquido.

Para simpli ar a notação, no momento de falar das quantidades reduzidas (

ρ

r

, P

r

, T

r

), eliminamosos sub-índi es

r

.

A região de oexistên ia gás-líquido será hamada simplesmente omo região de

oexis-tên ia.

Além doanterior, naseção seguinte usamos aseguintenomen latura:

P

(V )

₌

equaçãode estado de van der Waals (na formareduzida).

P

(GC)

₌

equação de estado tipo virial (na forma reduzida), válida nas proximidades de

ρ

1

, que suavizará o a oplamento entre as região do gás (G) om aquela de oexistên ia (C).

P

(C)

₌

equação de estado na regiãode oexistên ia.

P

(LC)

₌

equação de estado tipo virial (na forma reduzida), válida nas proximidades de

ρ

3

,que suavizará oa oplamentoentre asregiãode oexistên iae aregiãodo líquido(L).

2.5.1 Região do gás

A regiãode densidades baixas ( oroa)émodeladaporum sistemaque se omporta omo

um gás real. Ela é ara terizada pela equação de estado de Van Der Waals, e pode ser

es rita na formareduzida, segundo (2.19), omo

P

(V )

=

8T ρ

3 − ρ

− 3ρ

2 _,

válida na região

ρ < ρ

1

, não obstante, no momento de a oplar esta equação de estado de Van Der Waals om a equação de estado válida na região de oexistên ia (

P

(C)

_{(ρ) ≃}

χ

assumeumvalorpequeno,equeserá introduzidono ódigo omo valorde entrada. Assim, para um valordado de

χ

,podemos

(37)

P

(V )

=

8T ρ

3 − ρ

− 3ρ

2 _{ρ < ρ}

1 − χ,

(2.25)

assim,nosso interesseestá em resolverTOV e analisaro quea onte e quando

χ → 0

.

2.5.2 Região da interfa e gás- oexistên ia

Noitemanterior,denimosopolinmio

P

(GC)

_(ρ)

,válidonointervalo

ρ

1 −χ < ρ < ρ

1 + χ

, que hamaremos regiãode interfa e gás- oexistên ia. Talpolinmiosatisfaz as seguintes

ondições

P

(GC)

(ρ

1 − χ) = P

(V )

(ρ

1 − χ)

(2.26)

dP

(GC)

dρ

(ρ

1 − χ) =

dP

(V )

dρ

(ρ

1 − χ)

(2.27)

d

2 _P

(GC)

dρ

2 (ρ

1 − χ) =

d

2 _P

(V )

dρ

2 (ρ

1 − χ) ,

(2.28) as quais são as ondições de a oplamento e suavidade da urva de Van Der Waals e o

polinmio

P

(GC)

, no estado para o qual

ρ = ρ

1 − χ

. Analogamente existem mais três ondiçõesde a oplamentoesuavidade nooutroextremodointervalo(

ρ = ρ

1 + χ

),entre o polinmio

P

(GC)

e o polinmio válido na região de oexistên ia

P

(C)

_(ρ)

. Expli itamente as ondições são

P

(GC)

(ρ

1 + χ) = P

(C)

(ρ

1 + χ)

(2.29)

dP

(GC)

dρ

(ρ

1 + χ) =

dP

(C)

dρ

(ρ

1 + χ)

(2.30)

d

2 P

(GC)

dρ

2 (ρ

1 + χ) =

d

2 P

(C)

dρ

2 (ρ

1 + χ) ,

(2.31) onde,temos que notarque

P

(C)

_(ρ)