Processamento Digital de Sinais

Processamento Digital de Sinais

Sinais Digitais

Um sinal pode ser entendido como uma

função que carrega uma informação

Sinal de voz

O sinal é processado de acordo com a

O sinal é processado de acordo com a

aplicação necessária

Processamento de Sinais

O processamento de sinais lida com a

representação, transformação e

manipulação dos sinais e da informação

que eles contêm

Até a década de 60

Tecnologia analógica

Evolução de computadores e

microprocessadores

Processamento Digital de Sinais

Aspecto fundamental:

Conversão do sinal contínuo em uma

sequência de amostras

Um sinal discreto no tempo

Um sinal discreto no tempo

Após o processamento digital, a sequência de

saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo

Processamento Digital de Sinais

Classificação:

Sinais contínuos no tempo (Analógicos)

Representados por funções de variáveis contínuas

Sinais discretos no tempo

Representados matematicamente por uma sequência de

Representados matematicamente por uma sequência de

números reais ou complexos
Sinais contínuos em valores

Se um sinal pode assumir qualquer valor dentro de um

espaço finito ou infinito

Processamento Digital de Sinais

Sinais Digitais

Sinais digitais são aqueles para os quais tanto

o tempo quanto a amplitude são discretos

Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode

Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode

assumir valores dentro de um conjunto finito de possíveis valores (é discreto em valores)

Processamento Digital de Sinais

Sinais Determinísticos

Qualquer sinal que podem ser unicamente

descrito por uma expressão matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem definida

Sinais Aleatórios

Sinais Aleatórios

os sinais não podem ser representados

precisamente por equações matemáticas ou suas descrições são muito complexas para uso. Isso indica que tais sinais têm

Processamento Digital de Sinais

A sequência x é escrita como:

x = {x[n]}, -∞ <n < ∞

n inteiro

Sequência gerada a partir do processo de

Sequência gerada a partir do processo de

amostragem

Amostragem

Sinal

Amostragem

Cuidados com a taxa de amostragem

Baixa taxa de Amostragem !

MatLab

No MatLab:

•Função Seno contínua (-):

>> fplot (‘sin(x/2 + 1)’, [0, 30], ‘r’)

•Função Seno amostrada (-):

>>nn = 0:30; >>nn = 0:30;

>> sinus=sin(nn/2 + 1); >> stem(nn, sinus);

Exemplos

Impulso (delta de Dirac)

Uma sequência arbitrária pode ser

representada como uma soma de impulsos

Exemplos

Impulso (delta de Dirac)

No MatLab: function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) n = [n1:n2]; x = [(n - n0) == 0]; stem (x); >> impseq (5, 0, 10);

Exemplos

Impulso (delta de Dirac)

Exemplos

Impulso (delta de Dirac)

x[n] = 2.δ[n + 2] - δ[n – 4], -5 ≤ n ≤ 5 No MatLab:

>> n = [-5:5];

>> x = 2*impseq(-2, -5,5) - impseq(4, -5, 5);

Exemplos

Degrau Unitário

Exemplos

Degrau

Exemplos

Degrau

x[n] = n[u[n] – u[n – 10]] + 10e-0.3(n – 10)_{[u[n – 10] – u[n – 20]], 0 ≤ n ≤ 20}

>> n = 0:20;

>> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20)); >> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20));

>> x2 = 10*exp(-0.3*(n-10)).*(stepseq(10,0,20) - stepseq(20,0,20)); >> x = x1 + x2;

Exemplos

Sequência Exponencial

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Um sistema discreto no tempo é definido

matematicamente como uma transformação que mapeia uma seqüência de entrada x[n] em uma seqüência de saída y[n]

seqüência de saída y[n]

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Exemplos:

Atraso ideal: y[n] = x[n – n_d], -∞ <n < ∞

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Propriedades

1) Sistema sem Memória

A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da

A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da

entrada x[n] no mesmo valor de n

Ex:

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Propriedades

2) Sistema Linear

Obedecem ao princípio da Superposição:

Obedecem ao princípio da Superposição:

T{a.x₁[n] + b.x₂[n]} = a.T{x₁[n]} + b.T{x₂[n]}

Ex:

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Propriedades

3) Sistema Invariante no Tempo

Um deslocamento no tempo da sequência de

Um deslocamento no tempo da sequência de

entrada gera um deslocamento correspondente na sequência de saída

Ou seja: Se x[n] → y[n], então x[n + m] → y[n + m]
Ex: Sistema não invariante no tempo: y[n] = x[M.n]

Sistemas e Propriedades

Sistemas Discretos no Tempo

Propriedades

4) Sistema Causal

Não depende de valores futuros da sequência

Não depende de valores futuros da sequência
Ex: Sistema não causal: y[n] = x[n + 1]

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

Como vimos, uma sequência qualquer pode ser

representada como uma soma de impulsos:

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

Assim, um sistema Linear e Invariante no

Tempo é completamente descrito por sua

resposta ao impulso

Essa representação é conhecida também

Essa representação é conhecida também

Propriedades da Soma de

Convolução

1) Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

2) Distributividade:

3) Conexão em Cascata

3) Conexão em Cascata

Propriedades da Soma de

Convolução

Propriedades da Soma de

Convolução

5) Causalidade

Como definido anteriormente, um sistema é

dito causal se sua resposta não depende de eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída

de y[n₀], precisamos apenas de x[n], n ≤ n₀.

Isso implica na condição:

h[n] = 0, n < 0

Assim, para testar a causalidade basta testar

Propriedades da Soma de

Convolução

6) Estabilidade

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

Sistemas Inversos

Se um sistema linear invariante no tempo tem

uma resposta ao impulso h[n], então seus

sistema inverso, se existir, tem resposta ao sistema inverso, se existir, tem resposta ao

impulso h_i[n] definida pela relação:

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

Uma classe importante de sistemas

lineares invariantes no tempo consiste

daqueles para os quais x[n] e y[n] se

relacionam através de uma

equação de

relacionam através de uma

equação de

diferenças de coeficientes constantes

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

Exemplo: y[n] = y[n – 1] + x[n]

Na equação anterior teríamos: N = 1 N = 1 a₀ = 1 a₁ = -1 M = 0 b₀ = 1

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

O termo filtro é normalmente usado para

descrever um dispositivo que discrimina, de acordo com algum atributo do objeto aplicado como entrada, o que passa através dele

Como um filtro de ar que deixa o ar passar, mas retém

partículas de impureza

Um sistema LTI também funciona como um tipo

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

A forma da filtragem é definida pela resposta de

frequência H(ω) que depende da escolha de

parâmetros do sistema (como os coeficientes do filtro)

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do

sinal de entrada X(ω) de acordo com a resposta em frequência H(ω) que leva a um sinal de saída com espectro Y(ω) = H(ω)X(ω)

Assim, um sistema LTI pode ser visto como um

Assim, um sistema LTI pode ser visto como um

filtro embora não bloqueie completamente

qualquer componente de frequência do sinal de entrada.

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

Filtros são normalmente classificados de

acordo com suas características no domínio

da frequência como baixa,

passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa

alta, passa-faixa e rejeita-faixa

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

Todos os filtros ideais têm características

de magnitude constante e fase linear dentro

da banda de passagem

Em todos os casos, tais filtros não são

Em todos os casos, tais filtros não são

fisicamente realizáveis, mas servem como

idealizações matemáticas para filtros

Representação pela

Transformada de Fourier

Transformadas

Mudança entre domínios de sinais

Transformada de Laplace

Transformada de Fourier
Transformada de Fourier

Transformada Discreta do Cosseno

Transformada Z

Representação pela

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier de uma sequência

Representação pela

Transformada de Fourier

Em geral, a Transformada de Fourier é uma

função complexa em

ω

Como na resposta à frequência, algumas

vezes, pode-se expressar X(e

_{) na forma}

vezes, pode-se expressar X(e

_{) na forma}

X(ejω) = X_R(ejω) + j.X_I(ejω)

Representação pela

Transformada de Fourier

Vamos mostrar que a relação entre a

Transformada de Fourier e sua Inversa

Considere:

Se trocarmos a ordem da integral e do

Representação pela

Transformada de Fourier

Calculando a integral dentro dos parênteses

Representação pela

Transformada de Fourier

Exemplo:

x[n] = anu[n]

Representação pela

Transformada de Fourier

Bibliografia Complementar

Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital

Signal Processing, Thomson Learning,

2000.

Michael Weeks, Digital Signal Processing

Michael Weeks, Digital Signal Processing

Using MatLab and Wavelets, Infinity

Science Press, 2007.

Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer,

Discrete Time Signal Processing, Prentice