Cap 8 – Controlador PID
Eduardo Morgado
Transparências de apoio às aulas teóricas
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dos autores
CONTROLO
MEEC
ua rd o M or ga do
Controlador Proporcional -Integral-Derivativo (PID)
UTILIDADE
- Controladores de uso frequente, pela sua simplicidade.
-
Três Acções ajustáveis: Proporcional (P), Integral (I), Derivativa (D)
-Objectivos: i) melhorar o seguimento da referência e/ou a rejeição de
perturbações
ii) melhorar a resposta transitória ou estabilidade relativa
DEFINIÇÃO
Equação integro-diferencial
:dt
de(t)
K
d
e
K
e(t)
K
u(t)
=
P+
Iò
tt
t
+
D 0(
)
Ou
:ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
ò
dt
de(t)
T
d
e
T
e(t)
K
u(t)
t D I P1
0(
t
)
t
C(s)
u
e
Função de transferência
: P IsK
Ds
K
K
s
C
(
)
=
+
+
Ou
:ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
D I PsT
sT
K
s
C
(
)
1
1
Três parâmetros para ajustar
p K Gp(s) 1 D sT + + _ + +
r
+y
d
n
u e + I sT 1 _ua rd o M or ga do + C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e -10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is P Kp = 30
ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES
apoiada no root-locus
Exemplo:
)
2
)(
1
(
1
)
(
+
+
=
s
s
s
G
pe(t)
K
u(t)
=
p
_p
K
s
C
(
)
=
é a lei de controlo mais simples à
referência para os casos seguintes
0 >
P K
- Os diagramas root-locus representam o deslocamento dos polos da malha fechada quando se varia o ganho proporcional
- Os polos da malha fechada para os valores de parâmetros de C(s) indicados são representados por o
- Ver adiante[slides 9-10] a resposta y(t)a escalão unitário na referência r, e a escalão unitário na perturbação d
0
-10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is I Kp = 30
t
t
d
e
K
u(t)
=
Pò
t 0(
)
s
K
s
C
(
)
=
P + C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u eintroduz um polo na origem
à
tipo
aumenta à melhora
o seguimento em regime
permanente
mas
... (em geral) a
estabilidade relativa piora
no Exemplo
à
os ramos do root-locus inflectem para o SPCD
para Kp > 6 o sistema é
instável
associar à acção Proporcional à
-10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is PI Kp = 30 Ti = 2
CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
ò
e
t
d
t
T
e(t)
K
u(t)
t I P 0(
)
1
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
I PsT
K
s
C
(
)
1
1
= s T s K I P ) 1 ( +TI: tempo integral (reset time)
polo na origem s=0 à melhora o seguimento em regime permanente
zero em:
geralmente colocado próximo do polo em s=0 para não perturbar a dinâmica devida aos restantes polos e zeros
I
T s = - 1
- a substituição P à PI melhorou seguimento em regime permanente, (tipo 0à tipo 1), sem alterar significativamente os ramos principais do root-locus
-no ramo junto da origem:
i) polo adicional da malha fechada associado a transitório lento (t elevado) ii) zero adicional da malha fechada em
I T s=- 1
( ver resposta y(t) à [slides 9-10] )
+ C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e
-10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is PD Kp = 30 Td = 0,2
CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)
úû
ù
êë
é
+
=
dt
de(t)
T
e(t)
K
u(t)
P D[
D]
PsT
K
s
C
(
)
=
1
+
D T : tempo derivativo D T s=- 1o zero do controlador “atrai” os ramos do root-locus afastando-os do SPCD
à aumenta
x
(amortecimento)à
melhoria da estabilidade relativadt t de )(
a acção Derivativa introduz “antecipação” à o sinal de controlo u(t) depende não só da intensidade do erro e(t) (acção P), mas também da sua rapidez de variação (acção D)
mas ... a acção Derivativa amplifica as componentes de alta frequência dos sinais (variações bruscas, ruído, ...)
r(t) ~ escalão Þ sinal de controlo u(t)de grande amplitude
Þ
esforços, regime não-linear(ver resposta y(t) à[slides 9-10 ] )
+ C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e
AÇÃO DERIVATIVAL (D)
-10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is PID Kp = 30 Ti = 2 Td = 0,2
CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
ò
dt
de(t)
T
d
e
T
e(t)
K
u(t)
t D I P 0(
t
)
t
1
I I D I P D I P sT sT K s T T sT sT K s C( ) 1 1 ú = ( 2 + +1) û ù ê ë é + + =reúne as acções anteriores
procura-se melhorar simultâneamente o regime permanente e a dinâmica
os zeros do controlador podem ser reais ou complexos
( ver resposta y(t) à[slides 9-10 ] )
+ C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e 1
Resposta y(t) a um escalão unitário na referência r(t) (d = 0, n = 0) + C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.5 1 1.5 PI P PD PID Kp = 30 Ti = 2 Td = 0,2
+ C(s) Gp(s) + _ + + r + y d n u e
Resposta y(t) a um escalão unitário na perturbação d(t) (r = 0, n = 0)
Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 2 4 6 8 10 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 P PI PD PID Kp = 30 Ti = 2 Td = 0,2
Técnicas ANTI -WINDUP da acção Integral
Problema
:
Saturação (não-linearidade) no actuador precedido de acção Integral (Ex: válvula, amplificador electrónico, ...)
à erro e(t) é reduzido através da retroacção negativa
à saída do controlador uc(t) cresce [pq. ui(t) = KI ò e(t) dt cresce: wind-up do integrador]
enquanto e(t) não inverter a polaridade
à enquanto uc(t) > umax (actuador em saturação: u=umax) a inversão na polaridade de e(t) ocorre lentamente
Þ
y(t) apresenta oscilações duráveis c/ elevada amplitude) (s Gp Kp _ + r e + u y s KI uc ui u umin uc umax _
Soluções:
i) desligar a acção Integral quando o actuador satura: “ if çucç > umax then KI= 0 “
ii) não-linearidade “zona-morta” em retroacção negativa em torno da acção integral (à tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e conduzir uc(t)
para o domínio linear)
iii) outras soluções ... (ver Bibliografia)
umin uc umax ) (s Gp Kp _ + e u y + s KI uc ui u umin uc umax _
OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID
Configuração básica
Diferenciação
aplicada ao sinal de erro:
r(t) ≈ função escalão
Þ
u(t)~
impulsivo
(na prática,
com elevada amplitude
)
(notar que para do exemplo anterior a função de transferência
U(s)/R(s) vem não-própria, i.e., nº zeros > nº polos) ) 2 )( 1 ( 1 ) ( + + = s s s Gp p K Gp(s) 1 D sT + + _ + + r + y d n u e + I sT 1 _
Configuração alternativa :
à
a
Diferenciação
é
aplicada ao sinal de retroacção da saída
(mais
lento que e(t))
esta configuração ocorre na “retroacção de velocidade” com taquímetro ou
encoder
Notar que ambas as configurações têm a mesma função de transferência da malha
aberta (loop gain) e a mesma f. t. Y(s)/D(s) (
r=0, n=0) , mas diferentes U(s)/R(s) e
Y(s)/R(s).
p K Gp(s) 1 D sT -+ + _ + + + y d n u e + I sT 1 _ rObjectivo
: Limitação do ganho para as altas frequências
Diminui a amplitude do esforço de controlo u(t)
Diminui sensibilidade ao ruído n(t)
Mais realista (nº polos ≥ nº zeros)
Introdução de um polo ajustável no bloco derivativo
D sT N T s sT D D + 1
- Na realidade estão normalmente envolvidos mais polos (e/ou zeros)
do que os incluídos nas
funções de transferência
dos
controladores
P-I-D ideais
atrás indicadas.
Contudo, desde que os polos e zeros das funções de transferência
ideais sejam
dominantes
essa aproximação facilita a análise e o
AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-D
Regras de Ziegler-Nichols
( ajuste empírico in loco ). Baseiam-se num ensaio experimentalDois métodos: Processo y u y(t) t A t R=A/t L=td 1 ) ( ) ( + = -t s Ae s U s Y std
Tipo de Controlador Valores dos parâmetros
Proporcional Kp = 1/RL Proporcional-Integral Kp = 0,9/RL TI = L/0,3 Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 1,2/RL TI = 2 L TD= 0,5 L
Da curva experimental em malha aberta para uma entrada escalão extraem-se: R e L
Parâmetros do PID sugeridos (resposta ao escalão da malha fechada com x ~ 0,21) : I)
Método da
“
curva de reacção
”
Tangente desenhada no ponto de inflexão
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
D I PsT
sT
K
s
C
(
)
1
1
No sistema em cadeiafechada o transitório sofre um decaimento de 25% em 1 período
II) Método da
“
sensibilidade última
”
(ou do ganho último)
Tu y(t) + Processo y Ku _Tipo de Controlador Valores dos parâmetros
Proporcional Kp= 0,5 Ku Proporcional-Integral Kp= 0,45 Ku TI= Tu/1,2 Proporcional-Integral-Derivativo Kp= 0,6 Ku TI= Tu /2 TD= Tu /8
O ensaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional.
Variar ganho Kp até ao limiar da instabilidade quando se começam a observar oscilações de amplitude constante
à registar: ganho último Kp = Ku
e correspondente período das oscilações Tu .
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
D I PsT
sT
K
s
C
(
)
1
1
EXEMPLO de projecto do PID
C(s) Gp(s) y r + _)
12
)(
2
)(
1
(
1
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
G
p-
pelo critério de Routh-Hurwitz: estável sse -24 < K < 546Donde:
K
u= 546
à polos da malha fechada: s1 = -15 s2,3 = ± j 6,16à
T
u= 2p/6,16 = 1,02 seg
Valores de parâmetros do PID aconselhados (Tabela):
Kp = 0,6 Ku = 328 TI = Tu /2 = 0,51 TD = Tu /8 = 0,128
PID
com dois zeros complexos conjugados em: s
1,2= -3,90 ± j 0,25.
s
j
s
j
s
s
C
PID(
)
=
42
(
+
3
,
90
+
0
,
25
)(
+
3
,
90
-
0
,
25
)
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Im a g A x is Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Root-locus do sistema com o controlador PID calculado – notar os polos da malha fechada
Resposta ao escalão unitário
)
12
)(
2
)(
1
(
)
25
,
0
90
,
3
)(
25
,
0
90
,
3
(
42
)
(
)
(
+
+
+
-+
+
+
=
s
s
s
s
j
s
j
s
s
Gp
s
C
se o resultado não for aceitável à variar parâmetros em torno dos valores aconselhados
643
352
80
15
643
328
42
)
(
)
(
2 3 4 2+
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
R
s
Y
II - Projecto do controlador PID
apoiado no root-locus
C(s) Gp(s) y r + _)
12
)(
2
)(
1
(
1
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
G
pESPECIFICAÇÕES
da resposta ao escalão unitário:
Sobreelevação = 20%
tempo de estabelecimento (5%) = 1 seg. erro em regime permanente nulo
Pedido
: Dimensionar um controlador PID
Especificações à expressões simples para sistemas de 2ª ordem sem zeros à à Polos desejados (supostos dominantes): à - 3 ± j 6
Vamos realizar o projecto em
duas etapas
:
i) - dimensionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando satisfazer as
especificações dinâmicas;
ii) - introdução da componente Proporcional-Integral para satisfazer a especificação
de regime permanente
i) - Componente Proporcional-Derivativa
para satisfazer as especificações dinâmicas:
C
PD(
s
)
=
K
(
s
+
a
)
Condição de argumento: a1 = 61,6 º à a = 6,2 Condição de módulo: ... à K = 60 Resultado:
º
180
)
1
2
(
4 3 2 1-
a
-
a
-
a
=
±
k
+
a
a1 - j 6 j 6 - 3 a4 a2 a4 a4 -2 -1 -12 -a a3em simulação : Sobreelevação » 30% > 20% (especificação) !
(os polos projectados não se revelam dominantes )
à
ajuste tentativo de parâmetros em simulação, apoiado no root-locus
à
)
2
,
6
.(
60
)
(
s
»
s
+
C
PD
Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 1 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 PD -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Real Axis Im a g A x is PD ) 12 )( 2 )( 1 ( ) 5 ( 60 ) 12 )( 2 )( 1 ( ) 2 , 6 ( 60 ) ( ) ( + + + + ® + + + + = s s s s s s s s s G s C p
324
98
15
)
5
(
60
396
98
15
)
2
,
6
(
60
)
(
)
(
2 3 2 3+
+
+
+
®
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
R
s
Y
)
5
.(
60
)
(
s
=
s
+
C
PDà ajuste tentativo de parâmetros em simulação
à deslocar o zero do controlador para “fechar” os ramos do root-locus à aumentar
x Þ
S% ¯
à zero = -5
i)
-ii) - Controlador Proporcional-Integral-Derivativo
Para anular o erro em regime permanente ao escalão à acção PI
s
b
s
s
C
s
b
s
a
s
K
s
C
PID(
)
=
(
+
)(
+
)
=
PD(
).
(
+
)
O zero s = - b é colocado na vizinhança do polo s = 0 para que o root-locus anterior resultante da utilização do PD não seja significativamente perturbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD será conservada)
s
s
s
C
PI(
)
=
+
0
,
5
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Real Axis Im a g A x is PID)
12
)(
2
)(
1
(
)
5
,
0
)(
5
(
60
)
(
)
(
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
G
s
C
pTime (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 PID PD
150
354
98
15
)
5
,
0
)(
5
(
60
)
(
)
(
2 3 4+
+
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
R
s
Y
zeros: z1 = - 0,5 ; z2 = - 5 polos: p1,2 = -3,27± j 5,31; p3 = - 7,98; p4= - 0,48s
s
s
s
C
PID(
)
=
60
(
+
5
)(
+
0
,
5
)
Na formulação clássica do PID:
aqueles valores de parâmetros correspondem a: Kp = 330, TD = 0,182 , TI =2,20
I I D I P D I P sT sT K s T T sT sT K s C( ) 1 1 ( 1) 2 + + = ú û ù ê ë é + + = simulação: S% » 20 % , ts(5%) » 1 seg ß satisfaz ! C(s) Gp(s) y r + _
