MATEMÁTICA 9. ANO 1 MARCELO CRIVELLA PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO TALMA ROMERO SUANE SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

TALMA ROMERO SUANE

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS SUBSECRETARIA DE ENSINO

KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL SILVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO

CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL DALTON DO NASCIMENTO BORBA ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA NELSON GARCEZ LOURENÇO SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA) MOANA MARTINS E EQUIPE

ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA MULTIRIO CONTATOS E/SUBE nazareth@rioeduca.net mariamcunha@rioeduca.net cemp@rioeduca.net Telefones: 2976-2301 / 2976-2302 EDIGRÁFICA IMPRESSÃO FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO

1- No plano cartesiano apresentado a seguir, as coordenadas da casa e da árvore são, respectivamente,

(A) (2, 3) e (1, –2).

(B) (2, 3) e (–2, 1).

(C) (3, 2) e (1, –2).

(D) (3, 2) e (–2, 1).

2- Qual das funções a seguir é polinomial de 1.º grau? (A) 𝒚= 21

(B) 𝒚 = 𝓍³ – 7 (C) 𝒚 = 2𝓍 + 3 (D) 𝒚 = 𝓍² – 3𝓍 + 1

4- Um estacionamento cobra R$ 5,00 por estadia, mais R$ 1,50 por hora de estacionamento.

Sendo 𝒚 o valor pago, por 𝒙 horas, pelo veículo estacionado, a função que expressa essa situação é:

(A) 𝒚 = 5 + 1,5 𝓍 (B) 𝒚 = 5 – 1,5 𝓍 (C) 𝒚 = 5𝓍 + 1,5 (D) 𝒚 = 6,5

3- No começo do ano passado, o foguete fabricado no Brasil, VS-30/Orion, lançou com sucesso o experimento atmosférico europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da base de Andoya, na Noruega.

Leia a figura: GABARITO: B GABARITO: C GABARITO: C GABARITO: A al tura . –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 𝒙

𝒚 Podemos afirmar que a altura

alcançada, quando ele percorrer 2 mil metros (para 3 = 1,7) será de

(A) 1 000 m.

(B) 1 500 m.

(C) 1 700 m.

A figura, apresentada a seguir, representa um terreno retangular com uma piscina ao centro. Em volta da piscina, o terreno será gramado. Para calcular a área a ser gramada, precisamos calcular a área total do terreno e retirar a medida da área do espelho d’água da piscina.

Sendo assim,

a área total da figura é: x∙2x = 2x²;

a área do espelho d’água da piscina (retângulo azul) é: 3∙(x – 5).

Com essas informações, podemos determinar a área a ser gramada da seguinte maneira:

2x² – 3∙(x – 5), ou seja, 2x² – 3x + 15 Indicando essa área por 𝒚, teremos:

𝒚 = 2x² – 3x + 15

A função definida por 𝒚 = 2x² – 3x + 15 é um exemplo de função polinomial

de 2.o _{grau (ou função quadrática).}

Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo

ou

com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝓍 que seja um número real.

𝒚 = ax² + bx + c

Leia os exemplos: a) 𝒚 = x² – 6𝓍 + 3 sendo a = 1, b = – 6 e c = 3 b) 𝒚 = – x² + 8 sendo a = – 1, b = 0 e c = 8 c) 𝒚 = – 2x² – 6x sendo a = – 2, b = – 6 e c = 0

f(x) = ax² + bx + c

2

𝓍

𝓍

𝔁 – 5

3

Muito legal!!!! ESPELHO D’ÁGUA

O gráfico de uma função de 2.º grau é uma PARÁBOLA com concavidade (abertura da parábola) voltada para cima ou para baixo.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

h ttp :// w w w .m u s e u v irt u a lb ra s il. co m. b r

Ponte JK, que liga o Lago Sul, Paranoá e São Sebastião ao Plano Piloto em Brasília. Possui três arcos em forma de parábola.

Para entender o gráfico da função de 2.o _{grau, acompanhe o seguinte}

exemplo:

A bola de basquete faz a seguinte trajetória até a cesta (Veja a imagem). Essa curva representa o gráfico de uma função de 2.º grau e chama-se PARÁBOLA. h ttp :// w w w .in e p a c. rj .g o v .b r

Passarela do Samba – Sambódromo - RJ

Essas imagens são de construções formadas por curvas

Para construir o gráfico de uma função polinomial de 2.º grau, podemos fazer o mesmo que na função polinomial de 1.º grau:

 atribuímos valores para 𝓍 e encontramos o correspondente em 𝒚, formando pares ordenados (

x , y

);  localizamos esses pontos no plano cartesiano;

 ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola. Exemplos: – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 – 1 – 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1, 0) (3, 0) (4, 3) (0, 3) (–1, 8) (5, 8) (2, –1) 𝓍 𝒚

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 3 𝒚 (𝔁, 𝒚) Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 4(–1) + 3 _{𝒚 = 1 + 4 + 3} 𝒚 = 8 (–1, 8) A Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 3 _{𝒚 = 0 – 0 + 3} 𝒚 = ___ (0, ___) B Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 4(1) + 3 𝒚 = ___ (___,___) C Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 4(2) + 3 𝒚 = ___ (___,___) D Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 4(3) + 3 𝒚 = ___ (___,___) E Para 𝓍 = 4 𝒚 = (4)² – 4(4) + 3 𝒚 = ___ (___,___) F Para 𝓍 = 5 𝒚 = (5)² – 4(5) + 3 𝒚 = ___ (___,___) G O vértice da parábola de uma função quadrática é o ponto máximo ou o ponto mínimo da curva (depende da concavidade). 3 1 0 2 –1 3 0 4 3 5 8 𝒚 = 1 – 4 + 3 𝒚 = 4 – 8 + 3 𝒚 = 9 – 12 + 3 𝒚 = 16 – 16 + 3 𝒚 = 25 – 20 + 3 Observe os pares ordenados (𝒙, 𝒚) no plano cartesiano. A união deles formou a

parábola.

O vértice encontra-se,exatamente, no

lugar em que a parábola faz a curva.

Vértice da parábola

A

B

C

D

E

F

G

3 0 –1 0 3 8 𝒚 = 𝒙² – 4𝒙 + 3 A) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 4x + 3.

B) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 2x + 1. 𝒚 = x² – 2x + 1 𝒚 (𝔁, 𝒚) Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 2(–1) + 1 _{𝒚 = 1 + 2 + 1} 𝒚 = 4 (–1, 4) Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 2(0) + 1 𝒚 = 0 – 0 + 1 𝒚 = 1 (0, ___) Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 2(1) + 1 _{𝒚 = 1 – 2 + 1} 𝒚 = 0 (1, ___) Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 2(2) + 1 _{𝒚 = 4 – 4 + 1} 𝒚 = _____ (2, ___) Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 2(3) + 1 _{𝒚 = 9 – 6 + 1} 𝒚 = _____ (___, ___)

Complete a tabela acima. Observe os pares ordenados (x, 𝒚) no

plano cartesiano. Marque os pontos determinados por esses pares. Ligando-os, construiremos a parábola.

As coordenadas do vértice da parábola são (1, 0). 1 0 1 1 4 3 4 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 1 1 2 3 4 5 (1, 0) (0, 1) (2, 1) (– 1, 4) (3, 4)

1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 1 0 1 2 3 4 5 6

C) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 6𝓍 – 8.

𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 8 𝒚 (𝒙, 𝒚) Para 𝒙 = 0 𝒚 = – (0)² + 6(0) – 8 _{𝒚 = – 0 + 0 – 8} 𝒚 = –8 (0, –8) Para 𝒙 = 1 𝒚 = – (1)² + 6(1) – 8 _{𝒚 = – 1 + 6 – 8} 𝒚 = –3 (1, –3) Para 𝒙 = 2 𝒚 = – (2)² + 6(2) – 8 _{𝒚 = – 4 + 12 – 8} 𝒚 = 0 (2, ___) Para 𝒙 = 3 𝒚 = – (3)² + 6(3) – 8 _{𝒚 = – 9 + 18 – 8} 𝒚 = 1 (3, ___) Para 𝒙 = 4 𝒚 = – (4)² + 6 (4) – 8 _{𝒚 = – 16 + 24 – 8} 𝒚 = _____ (4, ___) Para 𝒙 = 5 𝒚 = – (5)² + 6 (5) – 8 _{𝒚 = – 25 + 30 – 8} 𝒚 = _____ (___, ___) Para 𝒙 = 6 𝒚 = – (6)² + 6 (6) – 8 _{𝒚 = – 36 + 36 – 8} 𝒚 = _____ (___, ___) Complete os valores que estão faltando

na tabela!!! As coordenadas do vértice da parábola são (___, ___). 0 1 0 0 –3 5 –3 –8 6 –8 3 1

pontos (𝒙, 𝒚). Depois, trace a

parábola!!!

𝒚

D) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2. 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2 𝒚 (𝓍, 𝒚) Para 𝓍 = –1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) – 2 _{𝒚 = – 1 – 2 – 2} 𝒚 = –5 (–1, –5) Para 𝓍 = 0 𝒚 = – (0)² + 2(0) – 2 _{𝒚 = – 0 + 0 – 2} 𝒚 = –2 (0, ___) Para 𝓍 = 1 𝒚 = – (1)² + 2(1) – 2 _{𝒚 = – 1 + 2 – 2} 𝒚 = _____ (1, ___) Para 𝓍 = 2 𝒚 = – (2)² + 2(2) – 2 _{𝒚 = – 4 + 4 – 2} 𝒚 = _____ (___, ___) Para 𝓍 = 3 𝒚 = – (3)² + 2(3) – 2 _{𝒚 = – 9 + 6 – 2} 𝒚 = _____ (___, ___) Lembre-se de completar os valores que estão

faltando na tabela, localizar os pontos no plano cartesiano e traçar

a parábola!!! –2 –1 –1 –2 2 –2 –5 3 –5 As coordenadas do vértice da parábola são (___, ___). 1 –1 – 2 – 1 0 1 2 3 4 1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6

x

𝒚 = x² – 3

𝒚

(x, 𝒚)

–2 𝒚 = (–2)² – 3 𝒚 = 4 – 3 1 (–2, 1) –1 0 1 2 AGORA, É CO M VO CÊ

!!!

1- Complete a tabela:

2- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola: (–1, –2) (0, –3) (1, –2) (2, 1) 𝒚 = (–1)² – 3 𝒚 = 1 – 3 𝒚 = 0² – 3 𝒚 = 0 – 3 𝒚 = 1² – 3 𝒚 = 1 – 3 𝒚 = 2² – 3 𝒚 = 4 – 3 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 – 1 – 2 – 3 3 2 1 –2 –3 –2 1 𝒚

x

𝓍

𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 + 3

𝒚

(𝓍, 𝒚)

–1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) + 3 𝒚 = – 1 – 2 + 3 0 (–1, 0) 0 1 2 3

3- Complete a tabela: 4- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola: 3 (0, 3) 4 (1, 4) 3 (2, 3) 0 (3, 0) 𝒚 = – 0² + 2∙0 + 3 𝒚 = 0 + 0 + 3 𝒚 = – (1)² + 2∙1 + 3 𝒚 = – 1 + 2 + 3 𝒚 = – (2)² + 2∙2 + 3 𝒚 = – 4 + 4 + 3 𝒚 = – (3)² + 2∙3 + 3 𝒚 = – 9 + 6 + 3 – 2 – 2 1 2 3 4 – 1 0 1 2 3 – 1 𝒚

x

𝓍

𝒚 = 𝓍² + 2𝓍 – 3

𝒚

(𝓍, 𝒚)

–3 𝒚 = (–3)² + 2(–3) – 3 𝒚 = 9 – 6 – 3 0 (–3, 0) –2 –1 0 1

5- Complete a tabela: 6- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola: –3 (–2, –3) –4 (–1, –4) –3 (0, –3) 0 (1, 0) 𝒚 = (–2)² + 2(–2) – 3 𝒚 = 4 – 4 – 3 𝒚 = (–1)² + 2(–1) – 3 𝒚 = 1 – 2 – 3 𝒚 = 0² + 2∙0 – 3 𝒚 = 0 + 0 – 3 𝒚 = 1² + 2∙1 – 3 𝒚 = 1 + 2 – 3 – 3 – 2 – 1 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 1 2 𝒚

x

𝓍

𝒚 = 𝓍² – 4𝓍 + 4

𝒚

(𝓍, 𝒚)

0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 4 𝒚 = 0 – 0 + 4 4 (0, 4) 1 2 3 4

7- Complete a tabela: 8- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola: 1 (1, 1) 0 (2, 0) 1 (3, 1) 4 (4, 4) 𝒚 = (1)² – 4(1) + 4 𝒚 = 1 – 4 + 4 𝒚 = (2)² – 4(2) + 4 𝒚 = 4 – 8 + 4 𝒚 = (3)² – 4(3) + 4 𝒚 = 9 – 12 + 4 𝒚 = (4)² – 4(4) + 4 𝒚 = 16 – 16 + 4 – 1 0 1 2 3 4 5 – 1 1 2 3 4 5 6 2 0 𝒚

x

● Se

a

> 0  concavidade voltada para “cima”. ● Se

a

< 0  concavidade voltada para “baixo”.

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DE 2.º GRAU)

a) Quanto à concavidade da parábola:

Beatriz, observe que, nas páginas 5 e 6, as parábolas estão com as

concavidades voltadas para cima.

Percebi, Vanessa! Mas, nas parábolas das páginas 7 e 8,

as concavidades estão voltadas para baixo.

Para saber em que direção a concavidade está, basta olhar o sinal do coeficiente de

𝓍². O valor de

_a

!!!

Procure, no dicionário, o significado de concavidade. Escreva aqui.

b) Quanto às coordenadas do vértice:

● Se a > 0  o vértice é o ponto de mínimo (ponto mais baixo). ● Se a < 0  o vértice é o ponto de máximo (ponto mais alto).  A abscissa (x) do vértice, representada por 𝑥𝑣, pode ser calculada pela seguinte fórmula:

 A ordenada (𝒚) do vértice, representada por 𝑦𝑣, pode ser calculada, substituindo-se o 𝓍 encontrado na função dada. Observe este exemplo:

𝑥

_𝑣

=

−𝑏

2𝑎

Determinar as coordenadas do vértice da função 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 4 𝑥𝑣 = −𝑏 2𝑎 = − −6 2 ∙ 1 = 6 2= ______ 𝑦_𝑣 = ____ 2_{− 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______} V(3, –5)

Com isso, determinamos, exatamente onde a parábola

“faz” a curva.

O vértice dessa parábola se localiza nas coordenadas

(3, –5).

3

3 3 9 18 – 5

E, nesse outro, o ponto de máximo é dado pelo maior valor no eixo 𝒚.

A ordenada (𝒚) do vértice também pode ser encontrada pela fórmula:

𝑦

_𝑣

=

−∆

4𝑎

Nesse gráfico, o ponto de mínimo é dado pelo menor

valor no eixo 𝒚.  = b² – 4ac  = (–6)² – 4∙1∙4  = 36 – 16  = 20 𝑦𝑣 = −20 4 ∙ 1 = −5

Mas, para isso, teremos que calcular o valor do delta .

Procure, no dicionário, o significado de mínimo e máximo. Escreva aqui:

___________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________

I. Se  > 0  a parábola corta o eixo x em dois pontosdistintos.

II. Se  = 0  a parábola tangencia o eixo x em um ponto.

III. Se  < 0  a parábola não toca no eixo x.

c) Quanto ao discriminante ( = b² – 4ac):



< 0

A parábola não toca no eixo 𝓍.



= 0

A parábola toca o eixo 𝒙 , apenas, em um ponto.



> 0

A parábola corta o eixo 𝒙 em dois pontos distintos. O discriminante () é o

mesmo que utilizamos na fórmula de Bháskara (equação de 2.º grau).

I

II

II

II

– 1 1 2 3 4 5 – 1 0 1 2 3 4 5 6 y x – 1 1 2 3 4 5 – 1 0 1 2 3 4 5 6 y x – 1 1 2 3 4 5 – 1 0 1 2 3 4 5 6 y x – 1 1 2 3 4 5 – 1 0 1 2 3 4 5 6 y x – 1 1 2 3 4 5 – 5 0 – 4 – 3 – 2 – 1 1 6 y x – 1 1 2 3 4 5 0 5 6 y x – 1 – 2 – 4 3 – 5

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Sabendo-se que o gráfico de cada função quadrática é uma parábola, determine a concavidade de cada uma delas (para cima ou para baixo):

a) 𝒚 = x² + 7x + 6 _______________________________ b) 𝒚 = – 2x² + x – 3 _______________________________ c) 𝒚 = – x² + 5 _______________________________ d) 𝒚 = 3x² – 4x – 1 ______________________________ e) 𝒚 = x² + 9x – 7 ______________________________

2- Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa cada uma das funções quadráticas:

a) 𝒚 = x² – 10x + 9

b) 𝒚 = 𝔁² + 2x – 8

c) 𝒚 = x² – 2x + 1

d) 𝒚 = – x² + 9

a>0 concavidade para cima. a<0 concavidade para baixo. a<0 concavidade para baixo. a>0 concavidade para cima. a>0 concavidade para cima.

V(5, –16) 𝒙𝒗= −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗= _{𝟐 ∙ 𝟏}−𝟐 𝒙_𝒗= −𝟏 V(1, 0) V(0, 9) V(–1, –9) 𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 8 𝒚𝒗 =(–1)² + 2(–1) – 8 𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟖 𝒚𝒗 = −𝟗 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗 = −(−𝟐) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙𝒗 = 𝟏 𝒚𝒗= 𝒙² – 2𝔁 + 1 𝒚𝒗=(1)² – 2(1) + 1 𝒚𝒗= 𝟏 – 𝟐 + 𝟏 𝒚𝒗= 𝟎 𝒙𝒗= −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗= −𝟎 𝟐 ∙ (−𝟏) 𝒙𝒗= 0 𝒚𝒗= – 𝐱² + 9 𝒚_𝒗= – 0² + 9 𝒚𝒗= 𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗= 𝟗 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙_𝒗 = −(−𝟏𝟎) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙𝒗 = 𝟓 𝒚𝒗= 𝒙² – 10𝔁 + 9 𝒚𝒗= (5)² – 10(5) + 9 𝒚𝒗= 𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗= −𝟏𝟔

4- Determine a existência e a quantidade de pontos em que a função quadrática intercepta o eixo das abscissas (eixo x). a) 𝒚 = 𝒙² – 7𝒙 + 6 b) 𝒚 = 2𝒙² + 5𝒙 + 3 c) 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 10 d) 𝒚 = 𝒙² + 14𝒙 + 49  = b² – 4ac  = (–7)² – 416  = 49 – 24  = 25 Resposta: Intercepta em dois pontos distintos.  = b² – 4ac  = (–6)² – 4110  = 36 – 40  = – 4 Resposta: Não intercepta o eixo 𝒙.  = b² – 4ac  = 14² – 4149  = 196 – 196  = 0 Resposta: Intercepta em um único ponto.  = b² – 4ac  = 5² – 423  = 25 – 24  = 1 Resposta: Intercepta em dois pontos distintos.

3- Determine o ponto de mínimo ou o ponto de máximo em cada um dos gráficos. Indique cada um desses pontos:

a) b) _______________________ ____________________ c) d) ______________________ ______________________ – 1 0 1 2 3 4 5 2 3 – 1 – 2 – 3 1 0 – 2 – 3 – 4 1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 1 – 1 3 2 1 – 1 0 – 1 1 2 3 4 5 6 5 4 – 1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 0 Ponto de mínimo: (–2, –4) Ponto de mínimo: (2, 1) Ponto de máximo: (2, 2) Ponto de máximo: (–2, –1)

Procure, no dicionário, o significado de interceptar. Escreva aqui.

___________________________________________________________________________________________________________________ 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚

Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores de x para os quais 𝒚 = 0 (os pontos que a parábola corta o eixo x).

Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só igualar a função a zero e resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler os exemplos:

Exemplo 1:

Determinar os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6: Solução:

Igualando a função a zero: x² – 5x + 6 = 0 a = 1 b = (–5) c = 6 𝑥 = −(−5) ± 1 2 ∙ 1 = 5 ± 1 2 =

Resposta: Os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6 são 2 e 3. ∆ = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐}  = (–5)² – 416  = 25 – 24  = 1 𝑥 =−𝑏 ± ∆ 2𝑎 𝑥′₌ 5 + 1 2 = 6 2 = 3 𝑥′′ ₌5 − 1 2 = 4 2 = 2 Exemplo 2:

Determinar os zeros da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9:

 = 6² – 4(– 1)(– 9)

 = 36 – 36

 = 0

Solução:

Igualando a função a zero: – 𝔁² + 6𝔁 – 9 = 0 a = (– 1) b = 6 c = (– 9) 𝑥 = −6 ± 0 2 ∙ (− 1) = −6 ± 0 −2 =

Resposta: O zero da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9 é 3. ∆ = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐} 𝑥 =−𝑏 ± ∆ 2𝑎 𝑥′ ₌−6 + 0 −2 = −6 −2 = 3 𝑥′′ ₌ −6 − 0 −2 = −6 −2 = 3 Igualando a função a zero, teremos uma equação de 2.º grau.

O que é mesmo função quadrática? Escreva aqui.

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Determine os zeros de cada função quadrática: a) f(𝔁) = 𝔁 ² + 2𝔁 – 3 b) f(𝔁) = 5𝔁 ² + 20 c) f(𝔁) = 𝔁² – 8𝔁 + 16 d) f(𝒙) = 2𝒙² – 4𝒙 a = 1 b = 2 c = (–3) ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑) ∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐 ∆ = 𝟏𝟔 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 =−𝟐 ± 𝟒 𝟐 𝒙′ =−𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 𝟐= 𝟏 𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟔 𝟐 = −𝟑 Resposta: –3 e 1 a = 5 b = 0 c = 20 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ 𝟐𝟎 ∆ = 𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ∆ = −𝟒𝟎𝟎 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−𝟎 ± −𝟒𝟎𝟎 𝟐 ∙ 𝟓

Resposta: Essa função não possui zeros.

Não existe, em IR, raiz quadrada de número negativo. a = 1 b = (– 8) c = 16 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = (−𝟖)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟔 ∆ = 𝟔𝟒 −64 ∆ = 𝟎 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−(−𝟖) ± 𝟎 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 =𝟖 ± 𝟎 𝟐 𝒙′ =𝟖 + 𝟎 𝟐 = 𝟖 𝟐= 𝟒 𝒙′′ =𝟖 − 𝟎 𝟐 = 𝟖 𝟐= 𝟒 Resposta: 4 a = 2 b = (– 4) c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎 ∆ = 𝟏𝟔 − 𝟎 ∆ = 𝟏𝟔 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−(−𝟒) ± 𝟏𝟔 𝟐 ∙ 𝟐 𝒙 =𝟒 ± 𝟒 𝟒 𝒙′ =𝟒 + 𝟒 𝟒 = 𝟖 𝟒= 𝟐 𝒙′′ =𝟒 − 𝟒 𝟒 = 𝟎 𝟒= 𝟎 Resposta: 0 e 2 Esta função quadrática

apresenta duas raízes reais e diferentes. Portanto, a mesma

corta em dois pontos

no eixo 𝔁.

Essa função quadrática não possui raízes reais. Logo, a mesma não

toca no eixo 𝔁.

Esta função quadrática apresenta duas raízes

reais e iguais. Logo,

toca em apenas um

ponto no eixo 𝔁.

Neste caso, a função quadrática apresenta duas raízes reais e diferentes. Portanto, a mesma corta em dois pontos no eixo 𝔁.

𝔁 ² + 2𝔁 – 3 = 0

5𝔁 ² + 20 = 0

𝔁² – 8𝔁 + 16 = 0

2- Sendo 𝒚 = 𝔁² + 2𝔁 – 3, determine a) os zeros da função (𝒚 = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 = −𝑏_2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =−∆_4𝑎 : a = 1 b = 2 c = – 3 Resposta : (– 1, – 4) 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙_𝒗 = −𝟐 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙_𝒗 = −𝟏 𝒚𝒗 = −∆ 𝟒𝒂 𝒚𝒗 = −𝟏𝟔 𝟒 ∙ 𝟏 𝒚_𝒗 = −𝟒 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑) ∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐 ∆ = 𝟏𝟔 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 =−𝟐 ± 𝟒 𝟐 𝒙′ =−𝟐 + 𝟒 𝟐 𝒙′ =𝟐 𝟐= 𝟏 𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒 𝟐 𝒙′′ =−𝟔 𝟐 = −𝟑 Resposta: –3 e 1 𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 3 𝒚𝒗 =(– 1)² + 2(– 1) – 3 𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟑 𝒚𝒗 = −𝟒 ou

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________

d) Esboço do gráfico:

Ao marcamos os zeros da função e o ponto do vértice no gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola possui a concavidade voltada para cima. Ou podemos chegar a essa conclusão visto que a > 0.

𝔁² + 2𝔁 – 3 = 0 – 4 – 1 3 2 1 – 2 – 3 0 1 2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 𝒙 𝒚

3- Sendo 𝒚 = – x² + 4, determine a) os zeros da função (𝒚 = 0):

b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 = −𝑏_2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 = −∆_4𝑎 :

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ d) esboço do gráfico: Resposta: –2 e 2 Resposta: (0, 4) a = –1 b = 0 c = 4 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗 =_{𝟐 ∙ (−𝟏)}−𝟎 𝒙_𝒗 = 𝟎 𝒚𝒗 = −∆ 𝟒𝒂 𝒚𝒗 =_{𝟒 ∙ (−𝟏)}−𝟏𝟔 𝒚𝒗 = 𝟒 𝒚𝒗= – 𝒙² + 4 𝒚𝒗= 0² + 4 𝒚𝒗= 𝟒 ou

Resolvendo como uma equação incompleta... −𝒙2_{+ 𝟒 = 𝟎} −𝒙2_{= −𝟒 ∙ −𝟏} 𝒙² = 𝟒 𝒙 = ± 𝟒 𝒙′_{= −𝟐 𝒙′′ = 𝟐} ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ (−𝟏) ∙ 𝟒 ∆ = 𝟎 + 𝟏6 ∆ = 𝟏𝟔 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−𝟎 ± 𝟏𝟔 𝟐 ∙ (−𝟏) 𝒙 =−𝟎 ± 𝟒 −𝟐 𝒙′ =−𝟎 + 𝟒 −𝟐 = 𝟒 −𝟐= −𝟐 𝒙′′ =−𝟎 − 𝟒 −𝟐 = −𝟒 −𝟐= 𝟐 – 1 – 2 – 3 0 1 2 3 1 2 3 4 5 – 1 – 2 –3 – x² + 4 = 0

Ao marcamos, os zeros da função e o ponto do vértice no gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola possui a concavidade voltada para baixo. Ou podemos chegar a essa conclusão visto que a < 0.

𝒙 𝒚

4- Sendo 𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 5, determine a) os zeros da função (𝒚 = 0):

b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏_2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 = −∆_4𝑎 :

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________

d) esboço do gráfico:

Resposta: Essa função não possui zeros: o valor do delta é negativo.

Resposta: (2, 1)

Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).

a = 1 b = – 4 c = 5 𝒙𝒗= −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗= −(−𝟒) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙𝒗= 𝟐 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟓 ∆ = 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 ∆ = −𝟒 𝒚𝒗= −∆ 𝟒𝒂 𝒚𝒗= −(−𝟒) 𝟒 ∙ 𝟏 𝒚𝒗= 𝟏 𝒚𝒗 = 𝒙² – 4𝒙 + 5 𝒚𝒗 = 2² – 42 + 5 𝒚_𝒗 = 4 – 8 + 5 𝒚𝒗 = 1 ou – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 2 – 1 3 4 5 6 𝔁² – 4𝔁 + 5 = 0 2 1 𝒙 𝒚

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ d) esboço do gráfico: 5- Sendo 𝒚 = x² – 2𝒙 + 1, determine a) os zeros da função (𝒚 = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏_2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 = −∆_4𝑎 : Resposta: 1 Resposta: (1, 0) a = 1 b = –2 c = 1 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗 = −(−𝟐) 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙𝒗 = 𝟏 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = (−𝟐)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙1 ∆ = 𝟒 − 𝟒 ∆ = 𝟎 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−(−𝟐) ± 𝟎 𝟐 ∙ 𝟏 𝒙 =𝟐 ± 𝟎 𝟐 𝒙 =𝟐 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒚𝒗= −∆ 𝟒𝒂 𝒚𝒗= −𝟎 𝟒 ∙ 𝟏 𝒚𝒗= 𝟎 𝒚𝒗 = 𝒙² – 2𝒙 + 1 𝒚𝒗 = 1² – 2∙1 + 1 𝒚𝒗 = 1 – 2 + 1 𝒚𝒗 = 0 ou – 2 – 1 0 1 2 3 4 6 5 4 2 3 1 x² – 2𝒙 + 1 = 0

Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).

𝒙 𝒚

1- Qual das funções, apresentadas a seguir, é quadrática?

(A)𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙² + 5 (B) 𝒚 = 𝒙² + 7𝒙 – 1 (C) 𝒚 = 𝒙 – 3𝒙 + 5 (D) 𝒚 = – 4𝒙 + 9

2- A função 𝒚 = a𝔁² + b𝔁 + c terá a concavidade voltada para cima se

(A) a = 0. (B) a for par.

(C) a for negativo. (D) a não for positivo.

3- A função definida por 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 8 tem, como zero(s), (A) 6 e 8. (B) 5 e –5. (C) 2 e 4. (D) 1 e 9. GABARITO: B GABARITO: D GABARITO: C

4- O gráfico que representa uma função polinomial de 2.º grau é: (A) (B) (C) (D) GABARITO: A – 2 4 – 1 1 2 – 4 – 3 – 2 0 – 1 1 2 3 – 2 1 1 2 – 4 – 3 – 2 0 – 1 1 2 3 – 1 0 1 – 5 – 3 – 2 – 1 – 4 – 1 – 2 – 3 – 2 – 1 5 4 3 2 1 0 1 – 1 – 2 – 3 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚

5- Podemos afirmar que são os zeros da função (A) –3.

(B) –3 e 1. (C) –1 e 4. (D) 0.

6 – As coordenadas do vértice da parábola são

(A) (–3, –0). (B) (–3, 1). (C) (–1, –4). (D) (0, –3).

Leia o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8: _{7- O valor do coeficiente de x² é}

(A) zero. (B) positivo.

(C) negativo. (D) irracional. 8- O valor de 𝒚 quando x = 0 é

(A) –3. (B) 0.

(C) 3. (D) 5.

9- Dada a função f(𝔁)= 3𝔁 2 – 10𝔁 + 3, assinale a única

opção verdadeira. (A) f(0)= –10.

(B) O gráfico é uma reta crescente.

(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

Agora, justifique o motivo pelo qual as demais opções são falsas. ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ GABARITO: B GABARITO: C GABARITO: A GABARITO: B GABARITO: C – 3 –2 –1 0 1 2 1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 (A) f(0)= 3 . 0² – 10 . 0 + 3 = 3

(B) É uma função do 2.° grau, o gráfico é uma parábola. (D) Para ter concavidade voltada para baixo, o “a” deveria ser negativo.

𝒙 𝒚

Leia o exemplo:

Certa maçã, lançada para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela seguinte lei de formação:

h(t) = 18t – 3t2

a) Qual a altura em que esta maçã se encontra, um

segundo após o lançamento?

b) Qual a altura máxima que pode ser atingida pela maçã?

t = 1 s

h(1) = 18∙1 – 3∙1² h(1) = 18 – 3 = 15

Resposta: 15m.

Altura máxima é dada pelo 𝒉𝒗 do vértice. Veja:

𝒕_𝒗= −𝒃 𝟐𝒂 𝒕𝒗= −𝟏𝟖 𝟐 ∙ (−𝟑) 𝒕𝒗= 𝟑 𝒉𝒗= 18t – 3t2 𝒉_𝒗= 18∙3 – 3∙32 𝒉𝒗= 54 – 27 𝒉𝒗= 27 Resposta: 27 m.

c) Qual o tempo que a maçã permanecerá no ar até tocar o chão? a = –3 b = 18 c = 0 _{∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄} ∆ = 𝟏𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟎 ∆ = 𝟑𝟐𝟒 t= −𝒃± ∆_𝟐𝒂 𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟑𝟐𝟒 𝟐 ∙ (−𝟑) 𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟏𝟖 −𝟔 𝒕′ =−𝟏𝟖 + 𝟏𝟖 −𝟔 = 𝟎 −𝟔= 𝟎 𝒕′′ =−𝟏𝟖 − 𝟏𝟖 −𝟔 = −𝟑𝟔 −𝟔 = 𝟔

Para determinar essa distância, basta calcular o intervalo entre os zeros da função:

18t – 3t2 _{= 0}

Resposta: 6 s. 6 – 0 = 6

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Depois de estudar o comportamento de uma bola, arremessada para o alto e para frente, um pesquisador elaborou a seguinte lei de formação para seu movimento: 𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙 em que 𝒚 é a altura (em metros) e 𝒙, o

alcance horizontal (em metros). Observe o gráfico que descreve a trajetória da bola:

Determine:

a) Qual a altura máxima atingida pela bola?

– 2𝒙2 _{+ 8}𝒙 = 0 a = – 2 b = 8 c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 ∆ = 𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟐) ∙ 𝟎 ∆ = 𝟔𝟒 𝒙 =−𝒃 ± ∆ 𝟐𝒂 𝒙 =−𝟖 ± 𝟔𝟒 𝟐 ∙ (−𝟐) 𝒙 =−𝟖 ± 𝟖 −𝟒 𝒙′ =−𝟖 + 𝟖 −𝟒 = 𝟎 −𝟒= 𝟎 𝒙′′ =−𝟖 − 𝟖 −𝟒 = −𝟏𝟔 −𝟒 = 𝟒

b) Qual a maior distância horizontal alcançada pela bola?

Resposta: 4 metros.

Para determinar essa distância, basta calcular o intervalo entre os zeros da função:

Para determinar a altura máxima, temos que calcular o valor de 𝒚v: 𝒙𝒗 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒙𝒗 = −𝟖 𝟐 ∙ (−𝟐) 𝒙𝒗= −𝟖 −𝟒 𝒙𝒗 = 𝟐 𝒚 = – 2𝒙2 _{+ 8}𝒙 𝒚_𝒗 = – 2∙22 _{+ 8∙2} 𝒚𝒗 = –2∙4 + 16 𝒚𝒗 = –8 + 16 𝒚𝒗 = 8 Resposta: 8 metros. h tt p :/ /b ra in ly. co m. b r/ 𝒚 𝒙

1- Determine a área de cada retângulo:

a)

b)

ÁREA DO RETÂNGULO

Em 2014, o campo do Estádio do Maracanã foi todo reformado. Para isso, precisou-se saber a área ocupada pelo gramado.

O cálculo é bem simples!! Basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. Observe:

A = 8  4 A = 32 cm² A = 5  9,5 A = 47,5 cm² AGORA, É CO M VO CÊ

!!!

comprimento larg u ra h tt p :/ /g lo b o e s p o rt e .g lo b o .c o m

possuem 105 m de comprimento por 68 m de largura, qual a sua área?

A = 105  68 = 7 140 m²

Resposta: Sua área é de 7 140 m².

8 cm 4 cm 5 cm 9 ,5 cm ÁREA DO RETÂNGULO A = base(b) x altura(h) ou

A = b . h

ÁREA DO QUADRADO

O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes (possuem a mesma medida).

Para calcular a área da superfície da mesa quadrada, apresentada a seguir, é só elevar ao quadrado a medida do seu lado. Leia:

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Apresentadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos calcular a sua área. Veja:

1- Determine a área de cada figura:

a) b) c) É CO M VO CÊ

!!!

A = (5,2)² A = 27,04 cm² A = 8 ∙ 4,2 A = 33,6 cm² A = (95,1)² A = 9 044,01 cm² h tt p s:/ /b r.p in te re st. co m 4,2 cm 8 cm Mesa de tampo quadrado

Observando a figura, podemos concluir que a área de um paralelogramo é igual à área

do retângulo. Então, A = base(b) x altura(h)

ou

ÁREA DO LOSANGO

A parte amarela da bandeira brasileira é formada por um losango. A sua área será dada pela multiplicação de suas diagonais e o valor encontrado será dividido por dois. Veja:

1- Determine a área de cada figura:

a) b) c) AGORA, É CO M VO CÊ

!!!

A = (𝟕,𝟓 + 𝟓,𝟓)∙𝟓 𝟐 A = 32,5 cm² A =

6,4

∙

4

𝟐 A = 12,8 cm² A = (7 + 1)_𝟐 ∙4 A = 16 cm² diagonal menor(d) diagonal maior(D) https://pt.wikipedia.org

Esta maquete de uma ponte foi construída pelos alunos da Universidade Católica de Pelotas (UCPel). Se observarmos bem, a sua lateral possui o formato de um trapézio.

h tt p :/ /w w w .u cp e l.e d u .b r

Para calcularmos a área de um trapézio, utilizamos a seguinte fórmula:

Observe o cálculo para a área do losango:

TRAPÉZIO TRAPÉZIO LOSANGO 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐷 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (𝑑) 2 ou

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Determine a área de cada figura:

a) b) c) A = 𝟔 ∙ 𝟓_𝟐 A = 15 cm²

ÁREA DO TRIÂNGULO

As laterais das Pirâmides do Egito são formadas por triângulos. Leia na imagem: A = 𝟒 ∙ 𝟔,𝟓 𝟐 A = 13 cm² A = 𝟔,𝟓 ∙ 𝟒,𝟐_𝟐 A = 13,65 cm²

Se quisermos calcular a área de triângulos, basta multiplicarmos a medida de sua base pela medida de sua altura e dividir o resultado por 2: h tt p :/ /re vi s ta g a lil e u .g lo b o .co m

3- Para a Copa do Mundo de 2018, na Rússia, foram compradas gramas naturais para todos os 12 estádios.

Sabendo-se que cada campo possui as dimensões de 110 m por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são necessários para cobrir cada campo?

A = 110  75 A = 8 250

Resposta: 8 250 m² de grama.

2- João pretende construir pipas conforme esta figura:

Sabendo-se que a pipa possui o formato de um losango e que suas diagonais medem 30 cm e 50 cm, quantos centímetros quadrados de papel serão necessários, no mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?

A = 𝟑𝟎 ∙𝟓𝟎_𝟐

A = 750 cm²

Logo: 750 x 10 = 7 500 cm²

Resposta: Para 10 pipas, serão necessários 7 500 cm² de papel. h tt p :/ /w w w .d ica sm iu d a s.co m .b r h ttp :// w w w .b 9 .co m .b r/

OBMEP – NÍVEL 2

Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura dada. Qual é a área do retângulo ABCD?

(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91. GABARITO: E 16 27 12 A B C D Área A= 4 x 4=16 Área C= 9 x 3= 27 Área D= 9 x 4= 36 Área ABCD= 16 + 12 +29 +36= 91

O = centro da circunferência r = raio d = diâmetro a = arco c= corda

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência. Essa distância constante r é denominada raio da circunferência.

Elementos da circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

* O diâmetro mede o dobro do valor do raio:

d = 2r

* O diâmetro é a

maior corda que pode

ser traçada em uma circunferência. http://www.vocesabia.net Se você observar, a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio!!! http://tilinbrinquedos.com.br Existem diversos

objetos que nos dão ideia de circunferência!!!

Anéis

C é o comprimento da circunferência;

 é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos  = 3,14);

r é o raio da circunferência. Observe esta praça:

Realizou-se um estudo para cercar esta praça que fica numa rotatória no centro da cidade de Goiânia. Para tal, precisa-se conhecer o comprimento de seu contorno.

Para realizar esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:

C = 2



r

1- A Praça da cidade de Goiânia possui a forma de um círculo, cujo raio é de 18 metros. De quantos metros deverá ser o comprimento da grade que irá cercá-la?

(Use = 3,14)

Resposta: A grade terá, aproximadamente, 113 m de comprimento.

2- Se uma circunferência possui 31,4 cm de comprimento, quanto mede seu raio?

(Use  = 3,14)

Resposta: Seu raio mede, aproximadamente, 5 cm. C = 2 r C = 2  3,14  18 C ≅ 113,04 C = 2 r 31,4 = 2  3,14  r 31,4 = 6,28r r = 31,4/6,28 r ≅ 5 h tt p :/ /a rq ci d a d e .b lo g sp o t. co m .b r

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando

a) o raio mede 5 cm:

b) o raio mede 8 m:

c) o diâmetro mede 14 cm:

d) o diâmetro mede 30 m:

2- Qual o raio de uma circunferência que possui um comprimento aproximado de 62,8 metros?

3- O ciclista Flávio está em treinamento dando voltas em torno de uma pista circular. Sabendo-se que o raio dessa pista é de 60 m, quantos metros ele percorrerá em cada volta?

4- Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente, ele percorrerá? C = 2∙∙5 ≅ 31,4 cm C = 2∙∙7 ≅ 43,96 cm C = 2∙∙15 ≅ 94,2 m C = 2∙∙8 ≅ 50,24 m C = 2∙∙60 ≅ 376,8 m Resposta: Aproximadamente 376,8 metros. C = 2∙∙12 = 75,36 m 75,36 x 10 ≅ 753,6

Resposta: Aproximadamente 753,6 metros.

Vamos considerar o valor de  como 3,14. 2∙∙r = 62,8 2∙3,14∙r = 62,8 6,28∙r = 62,8 r = 62,8/6,28 r ≅ 10 h ttp :// g a le ri a .c o lo rir. co m 60 m Resposta: Aproximadamente10 metros.

Para comemorar as Olimpíadas de 2016, no Brasil, a Casa da Moeda lançou, em 2012, a moeda de prata “ENTREGA DA BANDEIRA OLÍMPICA”.

Que moeda linda!!!

Essa moeda possui um diâmetro de 40 milímetros. Para conhecermos a área de sua face, é necessário utilizarmos a seguinte fórmula:

A =



r

²

A é a área do círculo;

 é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos  = 3,14);

r é o raio do círculo.

Sendo o diâmetro da moeda de 40 milímetros, qual é a área de sua superfície (face)?

Resposta: A área da face da moeda é de, aproximadamente, 1 256 mm² (ou

12,56 cm²). A =  r² A = 3,14  20² A = 3,14  400 A = 1 256 h tt p :/ /w w w .m o e d a s d o b ra s il .co m. b r diâmetro = 40 mm raio = 20 mm

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Calcule a área de um círculo quando

a) o raio mede 6 m:

b) o raio mede 7 cm:

c) o diâmetro mede 15 m:

d) o diâmetro mede 30 cm:

2- Qual o raio de um círculo que possui área aproximada de 31 400 cm²?

3- Esta figura mostra a imagem de satélite do furacão Katrina, (28/08/2005). Sabendo-se que um furacão como esse pode chegar a 1 000 km de diâmetro, podemos afirmar que a área total que ele abrange será de quantos quilômetros quadrados, considerando  = 3,14? A = ∙6² ≅ 113,04 m² A = ∙7² ≅ 153,86 cm² Raio de 7,5 m A = ∙7,5² ≅ 176,625 m² Raio de 15 cm A = ∙15² ≅ 706,5 cm² Raio de 500 km A = ∙500² A = 3,14∙250 000 A ≅ 785 000 km² h tt p s:/ /t e m p o jo a o p e sso a .j im d o .co m

4- Paulo quer colocar piso em uma sala de formato circular com 12 metros de diâmetro. Qual será o valor mínimo da despesa de Paulo, se o metro quadrado do piso custa R$ 32,50? A = ∙6² A = 113,04 m² Custo = 113,04 ∙ 32,50 ≅ 3 673,80 Resposta: R$ 3.673,80 ∙r² = 31 400 3,14∙r² = 31 400 r² = 31 400/ 3,14 r² = 10 000 r ≅ 100 Vamos considerar o valor de  como 3,14. Resposta:

Porcentagem é a razão centesimal representada por %

(lê-se “por cento”).

Exemplo: a) 0,10 = 10 100= 10% b) 0,15 = 15 100 = 15%

PORCENTAGEM

Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...) chama-se taxa percentual.

Exemplos: 1- Calcular 20% de 500. 20% 𝑑𝑒 500 = 20 100𝑑𝑒 500 = 500 ∙ 20 ÷ 100 = 100 Resposta: 100. 2- Calcular 12% de 1 100. 12% 𝑑𝑒 1 100 = 12 100𝑑𝑒 1 100 = 1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132 Resposta: 132. x ÷ x ÷

3- 15% de uma quantia correspondem a 90 reais. Qual é o valor desta quantia?

15% 𝑑𝑒 ? = 90 15 100𝑑𝑒 ? = 90 90 ∙ 100 ÷ 15 = 600 Resposta: 600 reais. x ÷ h tt p :/ /w w w .d is tri b u ica o h o je .co m

2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à aula hoje. Qual a quantidade de alunos que compareceu nesse dia?

3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?

15% de 40 =

40 ∙ 15 : 100 = 6 faltaram

Resposta: Compareceram 34 alunos.

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- Determine: a) 40% de 70: b) 7% de 300: c) 25% de 640: d) 15% de 1200: 12% de 600 = 600 ∙ 12 : 100 = 72

Resposta: 72 reais de desconto. Resposta: 28

Resposta: 21

Resposta: 160

6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se a compra for de 840 reais?

7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram produzidas anteriormente?

5% de 840 = 840 ∙ 5 : 100 = 42

Resposta: Pagará 42 reais.

20% de ? = 360 360 ∙ 100 : 20 = 1 800

Resposta: Eram produzidas 1 800 peças.

4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?

5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for paga com atraso. Qual será o valor dessa conta, se for paga com atraso?

7% de 20 000 =

20 000 ∙ 7 : 100 = 1 400

Resposta: Vendi por 21 400 reais.

10% de 350 = 350 ∙ 10 : 100 = 35 Resposta: 385 reais.

JUROS

JURO COMPOSTO

Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no período seguinte.

Em outras palavras: os juros compostos são os “juros sobre juros”.

Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro. Portanto, mais útil para os cálculos de situações cotidianas.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos. Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100 2 1 100 + 1 100∙10% = 1 210 3 1 210 + 1 210∙10% = 1 331

Pagamento realizado após três meses.

Definição

Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo a receber), um acréscimo referente ao período que o capital

esteve emprestado.

Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do produto ou do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.

Existem dois tipos básicos de juros:

JURO SIMPLES

O juro é simples quando a taxa é definida tendo como base o valor inicial emprestado, sem a incidência de juros sobre juros.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros simples. Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100 2 1 100 + 1 000∙10% = 1 200 3 1 200 + 1 000∙10% = 1 300

AGORA,

É CO M VO CÊ

!!!

1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores obtidos em função do tempo em que foram investidos

R$ 2.000,00, a partir do mês de março. Leia:

Agora, responda:

a) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 1?

_______________________________________________

b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?

_______________________________________________

c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1? _______________________________________________

d) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 2?

_______________________________________________

e) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 2? _______________________________________________

f) Qual é a tabela que rendeu o maior juro até o mês de julho? _______________________________________________

g) Com base no que você observou, complete as frases abaixo com as expressões simples ou compostos:

Na tabela 1, incidem juros _______________.

Na tabela 2, incidem juros _______________.

R$ 2.000,00. R$ 200,00 ao mês. R$ 800,00. R$ 928,20. R$ 2.000,00. Tabela 2. simples compostos Valor (R$) Tempo 2.000,00 Março 2.200,00 Abril 2.400,00 Maio 2.600,00 Junho 2.800,00 Julho Valor (R$) Tempo 2.000,00 Março 2.200,00 Abril 2.420,00 Maio 2.662,00 Junho 2.928,20 Julho Tabela 1 Tabela 2

2- Leia esta propaganda:

Agora, responda:

a) Qual o valor desse carro à vista?

_______________________________________________

b) Qual é o valor de entrada, se esse carro for pago parceladamente?

_______________________________________________

c) Qual o valor total a ser pago nas 30 parcelas?

_______________________________________________

d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor total pago pelo carro?

_______________________________________________

3- O Banco “Poupa Bem” emprestou, à Dona Silvia, R$ 3.000,00 com juros simples de 10% ao mês. Observe as anotações de Dona Sílvia:

a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo Banco “Poupa Bem”?

_______________________________________________

b) Em quanto estará a dívida da cliente ao final de 10 meses?

_______________________________________________ Valor emprestado R$ 3.000,00 1.º mês R$ 3.300,00 2.º mês R$ 3.600,00 3.º mês R$ 3.900,00 . . . . . . 10.º mês ? R$ 60.000,00. R$ 30.000,00. 30 000 . 0,02 . 30 + 30 000 = 48 000 R$ 48.000,00. 48 000 + 30 000 = 78 000 R$ 78.000,00. R$ 300,00. R$ 6.000,00. Vende-se carro por

R$ 60.000,00

à vista ou entrada de 50% e saldo em 30 parcelas mensais, com taxa de 2%

ao mês sobre o valor financiado no sistema de

juros simples. _{http://galeria.colorir.com}

Professor(a), para a resolução dos problemas de juros, os cálculos poderão ser realizados pela fórmula: (montante = capital x taxa percentual x tempo) ou pela tabela.

1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa a localização da 31 é:

(A) A. (B) B.

(C) C. (D) D.

2- A única sentença que representa uma função quadrática é: (A) 𝒚 = 2𝒙 – 7. (B) 𝒚 = 5𝒙² – 3𝒙 + 4.

(C) 𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙 ² + 5𝒙. (D) 𝒚 = 2(3𝒙 – 4).

3- O lucro (𝒚), em reais, de uma pequena confecção é calculado através da função 𝒚 = 𝒙² – 15𝒙, sendo 𝒙 o número de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de roupa, terá, de lucro,

(A) 800 reais. (B) 1 000 reais.

(C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.

como zeros de função:

(A) – 4 e 1. (B) – 4 e 3.

(C) 1 e 3. (D) 3.

5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função:

f(𝒙) = 𝒙² – 16

Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no par ordenado:

(A) (8, 0). (B) (1, 6). (C) (0, –16). (D) (– 3, 3).

6- A função representada por este gráfico possui:

(A)  > 0 e a > 0 (B)  < 0 e a > 0 (C)  = 0 e a = 0 (D)  = 0 e a < 0 GABARITO: C GABARITO: B GABARITO: B GABARITO: A GABARITO: C GABARITO: A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D – 1 – 1 1 1 Y X 0

O que significa função polinomial? Você se lembra? Escreva aqui.

7- O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒙 ² – 9 é:

(A) (B)

(C) (D)

8- Para colocar piso em uma sala, de formato retangular, com 6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários,

no mínimo,

(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso.

(C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.

9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,

(A) 3,14. (B) 13,14.

(C) 31,4. (D) 62,8.

10- A circunferência, apresentada a seguir, possui raio de 7,5 cm. Com essa informação, podemos afirmar que o segmento

AB

mede, em cm,

(A) 7,5. (B) 15.

(C) 20. (D) 75.

11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais a uma taxa de 2% ao mês, durante 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples ao final desses 10 meses?

(A) 14 reais. (B) 140 reais.

(C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.

12- Quais os juros simples produzidos por um empréstimo de 5 mil reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?

(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00. (C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00. A B GABARITO: D GABARITO: B GABARITO: D GABARITO: B GABARITO: C GABARITO: A ( = 3,14)