Modelagem

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1 Modelos Matem´

aticos

Um modelo matemático de uma lei f´ısica é uma descri¸cão desta lei em linguagem matemática. O processo de constru¸cão deste modelo é chamado de modelagem matemática. Os modelos podem ser expressos em termos de gráficos, de tabelas ou de equa¸cões, variando desde o mais simples ao extremamente complicado. Porém, muitos modelos matemáticos importantes são dados por equa¸cões do tipo y = f (x) que relaciona x e y. A fun¸cão f pode ser sugerida a partir de dados experimentais, são denominados modelos obtidos indutivamente, ou ela pode ser deduzida de alguma teoria geral proposta por um pesquisador e, neste caso, dizemos que o modelo foi obtido dedutivamente. Um bom modelo matemático é aquele que produz resultados que estão em conformidade com as observa¸cões do mundo f´ısico [2].

1.1 Gr´aficos e Dados

Exemplo 1. Num munic´ıpio, pesquisou-se du-rante um ano o n´umero de casos de certa doen¸ca, encontrando-se os dados representados no gr´afico a lado. Responda: [6]

a) Em que mˆes ocorreu o menor n´umero de ca-sos? E o maior?

b) Qual o n´umero de casos registrados no 3o

tri-mestre?

c) Entre que meses consecutivos ocorreu a maior diferen¸ca de n´umero de casos registrados? d) Qual o total de casos registrados durante o 2o

semestre? Figura 1:

Exemplo 2. O gráfico ao lado representa a quantia arrecadada na exporta¸cão de café em um ano. Com base no gráfico responda: [6]

a) Em que meses a exporta¸cão de café rendeu menos de 50 milhões de dólares?

b) Em que meses a exporta¸cão ultrapassou 300 milhões de dólares?

c) Entre maio e outubro as exporta¸c˜oes cresce-ram ou decrescecresce-ram?

d) Em que mˆes a exporta¸c˜ao atingiu o m´ınimo?

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Respostas: Exemplo 1:

a) menor: fevereiro; menor: outubro. b) 1700

c) Julho e Agosto d) 4500

Exemplo 2:

a) julho, agosto, setembro e outubro b) mar¸co, abril e maio

c) decresceram d) outubro e) dezembro

Exemplo 3. Um botânico mede o crescimento de uma planta, em cent´ımetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele em um gráfico, resulta a figura Fig.3. Se for mantida esta rela¸cão entre tempo e altura, a planta terá no 30o

dia, uma altura

igual a: _{Figura 3:}

Solu¸c˜ao:

Seja a fun¸c˜ao altura dada por H (t) = at + b, com t em dias, precisamos resolver o sistema: H(5) = 1 H(10) = 2 ⇒ 5a + b = 1 10a + b = 2 ⇒ a= 1 5 b= 0

A fun¸c˜ao do tempo que representa a altura ´e: H(t) = t 5 A altura no 30o

dia ser´a: H(30) = 6 cent´ımetros

Exemplo 4. Aplica¸c˜ao em Estat´ıstica.

Tabela 1: Valor por nota X Notas fiscais emitidas.

CLASSE 1 2 3 4 5 6

Valor por nota _{0 ⊢ 5} _{5 ⊢ 10} _{10 ⊢ 15 15 ⊢ 20 20 ⊢ 25 25 ⊢ 30} No

de Notas 2 14 21 13 3 1

Densidade de freq. 0,0074 0,05184 0,07778 0,04814 0,01112 0,00372

Valor por nota m´edio 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5

.

Fazendo a associa¸cão com uma variável aleatória cont´ınua, pode-se utilizar a fun¸cão densidade de probabilidade (f (x)) para modelar, ou aproximar a variável cont´ınua acima:

f(x) =    0 _{, x ∈ (−∞; 2, 5)} −1.333,333331 (x 2 − 25x + 56, 25) , 2, 5 ≤ x ≤ 22, 5 0 , x ∈ (22, 5; ∞)

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1.2 Fun¸c˜oes Especiais

Exemplo 1. Paulo e Joana receberam o mesmo salário por hora de trabalho. Após Paulo ter trabalhado 4 horas e Joana 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 150,00 a mais que Joana. Dê a lei de forma¸cão da fun¸cão salário em rela¸cão ao tempo e calcule em reais um décimo do que Paulo recebeu.

Solu¸c˜ao:

Hora trabalhada:

Paulo : 4 h = 240 min

Joana : 3 h e 20 min = 200 min

Logo Paulo trabalhou 40 min a mais que Joana e recebeu por isso 150 reais. Portanto: 150

40 = 3, 75 reais/min A fun¸cão salário será:

S(t) = 3, 75t, t em minutos

Assim um d´ecimo do que Paulo recebeu ´e: 1

10S(240) = 90 reais

Exemplo 2. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 reais , e daqui a 5 anos, 1.000 reais. Escreva a fun¸cão, na dependência do tempo, que representa o valor da máquina e calcule seu valor daqui a 3 anos.

Solu¸c˜ao:

Dado V (t) = at + b, precisamos resolver o sistema: V (0) = 10000 V (5) = 1000 ⇒ b= 10000 5a + b = 1000 ⇒ a = −1800 A fun¸cão do tempo que representa o valor da máquina é:

V _{(t) = −1800t + 10000} Daqui a 3 anos o valor ser´a:

V _{(3) = −1800 · 3 + 10.000 = 4600 reais}

Exemplo 3. _{Sabe-se que o lucro total de uma empresa ´e dado por L (q) = R (q) − C (q), onde L} representa o lucro total, R a receita total, C o custo total de produ¸c˜ao e q a quantidade produzida. Numa empresa onde R (q) = 80q − q2

e C (q) = q2

+ 20q + 40 calcule o lucro total m´aximo. [6]

Solu¸c˜ao:

A fun¸c˜ao lucro total ´e dada por:

L_{(q) = 80q − q}2_{− q}2+ 20q + 40_{= −2q}2

+ 60q − 40 O lucro assume o valor m´aximo quando:

x= xV = −b

2a = −60

−4 = 15 q.p. Logo o lucro m´aximo ´e:

L(15) = 410 reais.

Exemplo 4. É dada uma folha de cartolina como na figura ao lado. Cortando a folha na linha pon-tilhada resultará um retângulo. Determine esse retângulo, sabendo que a área é máxima. [5]

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Semelhan¸ca de triângulo: 8 8 − x = 6 y ⇒ y= 3 4(8 − x). A área em fun¸cão de x é a fun¸cão quadrática:

A_{(x) = x ·} 3 4(8 − x) = 6x − 3 4x 2 . A ´area assume o valor m´aximo quando:

x= xV = −b 2a = −6 2 · 3 4 = 4 u.c de x = 4 e y = 3

4(8 − x) , conclu´ımos que y = 3 u.c. A área máxima é:

A_{= 4 · 3 = 12 u.a}

Exemplo 5. Um rio será usada como um dos la-dos de um curral retangular. Para os outros lala-dos iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima. Qual o quociente de um lado pelo outro? [6]; [7]

Figura 6:

Solu¸c˜ao:

Vamos procurar escrever a área A em fun¸cão de uma só variável: ´

Area: A = xy.

Per´ımetro: P = 2x + y = 400 _⇒ y_{= 400 − 2x.} A área em fun¸cão de x é a fun¸cão quadrática:

A_{(x) = x (400 − 2x) = −2x}2+ 400x. A ´area assume o valor m´aximo quando:

x= xV = −b

2a = −400

−4 = 100 m.

de x = 100 e y = 400 − 2x, conclu´ımos que y = 200 m. O quociente de um lado pelo outro ´e:

x y = 1 2 ou y x = 2.

Exemplo 6. Um corpo lan¸cado a partir do solo descreve uma par´_{abola de equa¸c˜ao y = 100x −} 2x2

(x e y em metros). Forne¸ca o alcance do lan¸camento (distância AB) e a altura máxima atin-gida (distância CD), ver Figura 7. [6]

Figura 7:

Solu¸c˜ao:

O Ponto B é raiz da fun¸cão quadrática y = 100x − 2x2

, logo:

100x − 2x2 = 0 _⇒ _{−2x (x − 50) = 0} _⇒ x= 0 ou x = 50 ∴AB= 50 m. A altura m´axima ´e atingida quando:

y= yV = −∆ 4a = − b2− 4ac 4a = 10000 8 = 1250 m

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1.3 Fun¸c˜oes Elementares

Exemplo 1. Modelos de crescimento de popula¸cão: Um piscicultor construiu uma represa para criar tra´ıras. Inicialmente colocou 1000 tra´ıras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha que o aumento das popula¸cões de lambaris e de tra´ıra ocorre, respectivamente, segundo as leis L (t) = L010t e T (t) = T02t , onde L0 é a popula¸cão inicial de lambaris e T0 a popula¸cão inicial

de tra´ıras e t o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0, 3, o número de tra´ıras será igual ao número de lambaris depois de quantos anos? (UFSM)

Solu¸c˜ao:

Igualando as leis que representam o aumento das popula¸c˜oes de lambaris e de tra´ıras: L010t= T02t.

Substituindo as popula¸c˜oes inicias, precisamos resolver a equa¸c˜ao: 8 · 10t = 1000 · 2t Resolvendo algebricamente 23_{· 10}t= 103_{· 2}t 10t 103 = 2t 23 10t−3= 2t−3 2t−3 · 5t−3 = 2t−3 5t−3_{= 1 ⇒ 5}t−3= 50 _{⇒ t = 3 anos.}

Assim, o número de tra´ıras será igual ao número de lambaris depois de 3 anos.

Exemplo 2. Queda nas vendas: Uma empresa descobre que suas vendas diárias come¸cam a cair depois de uma campanha publicitária e o decl´ınio é tal que o número de vendas é dado pela fun¸cão f(x) = 2000 2−0,1x_{, em que x é o número de dias após o fim da campanha. Se a empresa não quiser}

que as vendas caiam abaixo de 500 vendas di´arias, quando deveriam iniciar a nova campanha? [3]

Solu¸c˜ao:

Fazendo S = 500 e resolvendo para x teremos o número de dias após o final da campanha quando as vendas diárias atingirão 500 unidades. Portanto, precisamos resolver a equa¸cão:

500 = 2000 2−0,1x Resolvendo algebricamente 500 2000 = 2 −0,1x 0, 25 = 2−0,1x 2−2= 2−0,1x x= −2 −0, 1 = 20 dias.

Assim, as vendas serão 500 no vigésimo dia depois do fim da campanha. Se a nova campanha não come¸car no 21o

dia ou antes, as vendas cair˜ao abaixo de 500.

Exemplo 3. Matemática Financeira: Sarah investiu 1.000 reais em uma aplica¸cão que rende 5, 25% de juros composto ao ano. Quanto tempo será necessário para que o seu saldo atinja 2.500 reais? [1]

Solu¸c˜ao:

A quantidade de dinheiro na aplica¸c˜ao em um dado tempo t, em anos, ´e: M(t) = M0(1 + i)t= 1.000 (1, 0525)t.

Portanto, precisamos resolver a equa¸c˜ao: 1.000 (1, 0525)t= 2.500

Resolvendo algebricamente (1, 0525)t= 2, 5

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Exemplo 4. Fun¸c˜ao Log´ıstica: Dada pela fun¸c˜ao

y= A

1 + ce−ax, a >0 ´e utilizada para modelar a

aprendizagem, as vendas de novos produtos, o cres-cimento populacional, dissemina¸c˜ao de epidemias, entre outras aplica¸c˜oes [3].

Figura 8:

Por exemplo:

Uma cultura de bact´erias est´a crescendo de acordo com o modelo log´ıstico y = 1, 25

1 + 0, 25e−0,4t, t ≥ 0,

sendo que y é o peso da cultura (em gramas) e t é o tempo (em horas). Qual é o peso inicial da cultura? O que acontece quando t cresce ilimitadamente? [8]

Solu¸c˜ao: Para t = 0:

y= 1, 25

1 + 0, 25e−0,4·0 = 1 grama.

O limite de y quando t tende ao infinito ´e: lim

x→∞

1, 25

1 + 0, 25e−0,4x = 1, 25 gramas

1.4 Geometria

Exemplo 1. Deve-se construir uma caixa de base retangular e sem tampa, com uma folha de carto-lina de 14 cm de largura e 22 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da car-tolina e dobrando-se perpendicularmente os lados restantes, ver Figura 9, [1]; [2].

a) Expresse o volume da caixa em fun¸c˜ao de x. b) Encontre o dom´ınio de V .

c) Esboce o gr´afico de V . Figura 9:

Solu¸c˜ao:

a) Conforme mostra a Figura 9, a caixa resul-tante tem dimens˜_{oes 14 − 2x por 22 − 2x por} x, logo o volume V (x) ´e dado por:

V _{(x) = (14 − 2x) (22 − 2x) x = 308x −} 72x2

+ 4x3

.

b) Uma vez que x é uma medida de compri-mento, deve ser não-negativa, e como não po-demos cortar quadrados com lados maiores que 7 cm (14 − 2x ≥ 0), os valores de x no dom´ınio devem satisfazer: 0 ≤ x ≤ 7.

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Exemplo 2. A Figura 11 mostra um retângulo inscrito em um triângulo isósceles com hipotenusa igual a 2 unidades. [1]

a) Expresse o valor da ordenada y de P em fun¸c˜ao da abscissa x.

b) Expresse a ´area do retˆangulo em termos de x.

Figura 11:

Solu¸c˜ao:

a) Dom´ınio: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ b.

Por semelhan¸ca de triângulo conclu´ımos que b = 1, e então a equa¸cão da reta que passa por B_{(0, b = 1) e (1, 0) é y = 1 − x. Portanto valor das coordenadas de P em fun¸cão da abscissa x} é P (x, 1 − x).

b) ´_{Area: A = base × altura = 2xy = 2x (1 − x) .}

Exemplo 3. Dado um peda¸co de papel circular de raio R = 4 in., como mostra a Figura 12(a). Cortando um arco de comprimento x, e unindo a parte resultante forma-se um cone de raio r e altura h, como mostra a Figura 12(b). [1]

a) Calcule o comprimento da base do cone. b) Expresse o raio como fun¸c˜ao de x.

c) Expresse a altura como fun¸c˜ao de x.

b) Expresse o volume do cone em fun¸c˜ao de x. Figura 12:

Solu¸c˜ao:

a) O comprimento da circunferˆencia ´e dado por: C _{= 2πR = 2π · 4 = 8π.}

O comprimento da base do cone ´e dado pelo comprimento da circunferˆencia menos o arco de comprimento x, ou seja:

Cc = 8π − x.

b) O raio da base do cone pode ser obtido resolvendo a seguinte equa¸c˜ao: Cc = 2πr ⇒ 8π − x = 2πr ⇒ r = 8π − x

2π .

c) Para obter a altura utilizamos o Teorema de Pit´agoras: 42 = r2+ h2 _{⇒ 16 =} 8π − x 2π 2 + h2 _{⇒ h =} √ 16πx − x2 2π .

d) O volume do cone ´e dado pela f´ormula: V = 1πr2h

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Referˆ

encias

[1] Thomas G. B. C´alculo, 7a

ed., V. 1, S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2002. [2] Hanton H. C´alculo um novo horizonte, 6a

ed., V. 1, porto Alegre: Bookmann, 2000. [3] Harshbarger R. Matem´atica Aplicada, 7a

ed., S˜ao Paulo: McGraw-Hill, 2006. [4] Swokowski, E. W. C´alculo com Geometria Anal´ıtica. V. 1, 2a

ed., Rio de Janeiro: Makron Books, 1995.

[5] Iezzi, G.; Murakami, C.. Fundamentos de matem´atica elementar: conjuntos, fun¸c˜oes. 8a

ed. S˜ao Paulo: Saraiva, 2004.

[6] Iezzi, G.; et. al. Matem´atica. 1a

S´erie, 2a

Grau S˜ao Paulo: Atual, 1991. [7] Leithold, G. O C´alculo com Geometria Anal´ıtica. V. 1, 3a

ed., São Paulo: Editora Harbra, 1994. [8] Larson, R.; Edwards, B. H. O Cálculo com Aplica¸cões. 6a