Aulas Particulares on-line

PRÉ-VESTIBULAR

LIVRO DO PROFESSOR

© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produção _{Desenvolvimento Pedagógico}Projeto e

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra

Literatura Fábio D’Ávila

Danton Pedro dos Santos

Matemática Feres Fares

Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa

Física Cleber Ribeiro

Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette

Química Edson Costa P. da Cruz

Fernanda Barbosa

Biologia Fernando Pimentel

Hélio Apostolo Rogério Fernandes

História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini

Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva

Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71

T_027

Área de

figuras planas,

ângulos na

circunferência e

Teorema de Tales

O cálculo das áreas de figuras planas é uma ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arqui-tetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo de áreas para melhor compreensão do tamanho da obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na co-locação de azulejos, pois a compra é dada por uma unidade de área.

Retângulo

S = b . h

A diagonal do retângulo o divide em duas partes iguais.

Quadrado

2

EM_V_MA T_027

Paralelogramo

S = b . h Demonstração: ` S₁ + S₂ = b . h

Triângulo

= b . h S 2 Demonstração: ` + = + = 1 2 1 2 2S 2S b . h b . h S S 2

Trapézio

=(B+b) . h S 2 Demonstração: ` = − (B+b) . h S b . h+ 2 2bh+Bh bh S= 2 + = + = (Bh bh) S 2 (B h) . h S 2

Losango

=d.D S 2

T_027 Demonstração: ` + + + = + + + = 1 2 3 4 1 2 3 4 2S 2S 2S 2S d . D d . D S S S S 2

Círculo

S = R2

Circunferência é a região externa ao círculo e o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.

Demonstração: ` p =2 R . R = p 2 S R 2

Setor circular

a a a = = ° 2 2 . R S R ou S 360 2 , para a em radianos. Exemplo: ` Para a = 60° temos _S 60 _R2 _S R2 360 6 ° p = p → = °

Coroa circular

S = R2 _{– r}2 S = (R2 _{– r}2₎

Casos particulares

Triângulo equilátero

= 3 S 4

4

EM_V_MA T_027

Triângulo qualquer

a = a . c . sen S 2

Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c, também temos outra relação:

2p = a + b + c + + =a b c p 2 = − − − S p(p a)(p b)(p c)

Triângulo circunscrito

+ + =a b c p 2 S = p . r

Triângulo inscrito

=a . b . c S 4r

Divisão de lados de um

triângulo em partes

proporcionais

S_ABC = b . h 2

SABC = SACD = SADE = SAEF

Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as áreas continuam iguais.

Razão entre áreas semelhantes

T_027 2   =  _{ } 2 1 1 2 2 S S Q₁ e Q₂ são quadrados: 1 2 Errado =  → =  → = → =   1 1 Q1 Q1 Q2 Q1 2 2 Q2 Q2 S S S 1 S 2 . S S S 2 S 2 Certo     =_{ } → =_{  } → = → =       2 2 1 1 Q1 Q1 Q2 Q1 2 2 Q2 Q2 S S S 1 S 4 . S S S 2 S 4

Circunferência

É o lugar geométrico dos pontos cuja distância (raio) a um ponto fixo é constante (o centro da cir-cunferência).

Círculo

O lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um número real fixo (raio).

G O S A E D C B r F

Raio

Segmento que une o centro a um ponto da cir-cunferência (OD, AO, OB ).

Corda

Segmento que une dois pontos da circunferência ( CE e AB ).

Arco

Uma parte da circunferência (EC ou EDC).

Diâmetro

É uma corda que corta o centro da circunferência ( AB é a maior corda).

Flecha

Segmento que o une o ponto médio da corda à circunferência, formando um ângulo reto (FD).

Secante

Reta que passa por exatamente 2 pontos da circunferência (s).

Tangente

Reta que passa por apenas 1 ponto da circun-ferência (r).

Arcos e ângulos

Ângulo central

É o ângulo que tem o vértice no centro da cir-cunferência.

6

EM_V_MA

T_027

A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

A α B ο

= AB

Ângulo inscrito

É o ângulo que tem vértice na circunferência. A medida do ângulo inscrito é igual à metade do arco correspondente. A α V B = AB 2

Ângulo do segmento

É o ângulo que tem o vértice na circunferência e cujos lados são formados por uma secante e uma tangente.

A medida do ângulo de segmento é igual a metade do arco correspondente.

A α

B

= AB

2

Ângulo excêntrico interior

São ângulos formados pelo cruzamento de duas secantes no interior da circunferência, não necessa-riamente no centro.

A medida desses ângulos é igual a semissoma dos arcos determinados pelos seus lados.

B C A D α β     + α = + β = AB CD 2 AD BC 2

Ângulo excêntrico exterior

É o ângulo formado por duas secantes que se cruzam num ponto externo à circunferência.

A medida do ângulo é igual ao módulo da semi-diferença dos arcos determinados pelos seus lados.

B C A D α P  ₋ α = CD AB 2

Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos ângulos opostos igual a 180º.

D B

A

C

^_{A +} ^_{C =} ^_{B +} ^_{D = 180º}

Retas paralelas compreendem arcos de me-didas iguais. A D C B r s r//s AB = CD

O raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência. O Q r = tangente OQ = raio OQ = ⊥ r

T_027

Duas tangentes traçadas do mesmo ponto possuem medidas iguais.

A B P PA = PB

Posições relativas de duas

circunferências

d = distância entre os centros.

Exteriores

d > R + r d O _O’

Tangentes exteriores

d = R + r d O O’

Secantes

R – r < d < R + r O d O’

Tangentes interiores

d = R – r O d O’

Interiores

d < R – r O O’

Concêntrica

d = 0 O ≡ O’

Lei Linear de Tales

As linhas proporcionais foram muito utilizadas por Tales para realizar a medição de algumas distân-cias de pontos localizados em lugares muito altos, de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao cais, assim criando o seu teorema.

Um feixe de retas paralelas cortadas por retas secantes determina sobre as secantes segmentos proporcionais.

a

₁

a

₂

a

₃

a

_n

b

_n

b

₁

b

₂

b

₃

r

₁

r

₄

r

₃

r

₂

r

_n+1 Para, r₁ // r₂ // r₃ // r₄ //... // r_{n + 1} temos: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a a a a ... ... K b b b b b b ... + + + = = = = = + + + K = constante de proporcionalidade.

Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, ela divide os outros dois lados em segmentos proporcionais. A E D B C AE EB AB K AD= DC= AC=

8

EM_V_MA

T_027

Teorema das Bissetrizes

Bissetriz interna

A bissetriz de um ângulo interno do triângulo divide o lado oposto em segmentos que são propor-cionais aos lados do ângulo que foi dividido.

Demonstração:

`

Traçando PC tal que:

A B _M C P a a aa AM // PC AB AP , como AP AC BM= MC = temos: AB AP BM=CM b m n c θ θ A B M C b c m=n

Bissetriz externa

A bissetriz de um ângulo externo de um triângu-lo divide externamente o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.

Demonstração:

`

Traçando CP, tal que:

A B _C M P a a a a AM // PC AB AP BM=CM, como AP // AC Temos: AB AC BM= CM m n b a c a b c m n+ = n

Potência de pontos

O estudo da potência de um ponto está direta-mente relacionado com a posição do ponto no interior ou exterior de uma circunferência dada. Também é muito utilizado em construções trigonométricas.

Ponto P no interior da circunferência:

1.° Caso

Cordas: AA’, BB’, CC’

Ponto P no exterior da circunferência:

2.° Caso

Secantes: PB’, PC’, PD’ Tangentes: PA, PE

Observando a posição do ponto P, reparamos que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas, enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção de secantes e tangentes.

T_027

Ao destacarmos duas cordas com interseção em P, podemos obter a seguinte relação:

O produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda.

∆_PAB’ ~ ∆_PA’B PA

PB = PB’PA’

(PA.PA’ = PB.PB’)

Ao destacarmos duas secantes com interseção em P, podemos obter a seguinte relação:

O produto da secante por sua parte exterior é igual ao produto da outra secante por sua parte exterior.

∆PB’D ~ ∆PBD’ PD

PB = PB’PD’

(PB.PB’ = PD.PD’)

Ao destacarmos uma secante e uma tangente com interseção em P, obtemos a seguinte relação:

O quadrado da tangente é igual ao produto da secante por sua parte exterior.

∆PAC ~ ∆PAC’

PC PA = PAPC’

(PA2_{= PC.PC’)}

Podemos observar que, se duas tangentes concorrem de um mesmo ponto P, elas terão me-didas iguais.

PA = PC

Teorema de Pitot

Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados opostos.

10

EM_V_MA T_027 Demonstração: ` AB = x + y CD = z + w AB + CD = x + y + z + w AD = x + w BC = y + z AD + BC = x + w + y + z

O quadrado ABC da figura tem 4cm de lado, calcule a 1.

área da região hachurada.

Solução: ` ∆ = − p = − p = −  c 1 ACD 2 2 1 2 1 S S S 4 R S 4 2 .4 4.4 S 4 2 = p − = p − → = p − 1 1 2 2 F 1 F S 4 8 S 4( 2 )cm Logo S = 2S S 8( 2 )cm

Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do 2.

retângulo BDEF, na figura.

Solução: ` = + = + + = = + ABCD 1 2 BDEF 1 2 ABCD 1 2 BDEF 1 2 S 2S 2S S 2S 2S S 2S 2S Logo 1 S 2S 2S

Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os 3.

círculos concêntricos, com a corda AB do círculo maior tangente ao menor, valendo 10cm.

T_027 Solução: ` R0 _{= r}2 _{+ 5}2 R2 _{– r}2 _{= 25} Como S_F = p (R2 _{– r}2₎ S_F = 25pcm2

João pretende escolher entre dois muros para pintar 4.

ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem base 20% maior que a base do muro B e altura 20% menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha, entre os muros, que João pode fazer? Justifique.

Solução:

`

Muro B: altura = h e base = b Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b Área B = b . h

Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h

Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vanta-joso para o João.

A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região 5. hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD. Solução: ` = = = = = ABC BDE BDE BDF S S S 3 3 S S ₃ S S 2 2 6

A área do quadrilátero ABCD da figura vale 32cm

6. 2_.

Calcule a área da região hachurada, se M e N são pontos médios.

Solução:

`

2S1 + 2S2 = 32

S₁ + S₂ = 16m2

A área do triângulo ABC da figura vale k, calcule a área 7.

12

EM_V_MA T_027 Solução: `   =  _{ } = = 2 AED ABC AED AED S 2 x S 3x S 4 k 9 4k S 9 = − = − =

BCDE ABC AED

BCDE BCDE S S S 4k S k 9 5k S 9

Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k, 8.

em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a valer d/3. Calcule a nova área em função de k.

Solução: ` =   = _ _   1 1 2 2 2 2 S S k d S d / 3 = = 2 2 k 9 S k S 9

No círculo da figura a corda

9. BC é paralela ao diâmetro

AD. Se A^EB vale 20°, calcule o ângulo B^CO.

D B A a E C o Solução: ` D B A a E C o 40º 20º a

Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos, assim a = 40º.

Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência. 10.

Determine o valor de a na figura. A E B C D a 30º 100º Solução: ` A E B C D a a 30º 80º 100º

Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência, ^_{A + ^C = 180º, assim ^C = 80º. Logo:}

a + 30º + 80º = 180º a= 70º

Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual 11.

ao raio desta. Calcule a em função de β.

R P T S β Q _O a Solução: ` R P T S β _O a Q β 2β aα = β α+ 2βα aα = 3βα

O diagrama abaixo representa a distribuição da popula-12.

ção de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4 e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número de pessoas. Determine o percentual de pessoas com renda acima de 20 salários mínimos.

Abaixo de 5

salários mínimos _{salários mínimos}Entre 5 e 10

Acima de 20

salários mínimos De 10 a 20

salários mínimos

Solução:

`

Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e 7, temos:

a + 3αa + 4αa + 7αa = 360º

5αa = 360º a = 24º Assim, temos: 360º _________ 100% 24º_________ x 360 x = 24 . 100 x = 24.100 360 x = 6.66%

T_027

Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas: 13. u v r s t x 8 12 6 Solução: `

A figura acima é equivalente a: u v r s t x 8 12 6 12 x 8 6 8 x 72 x 9 = = =

No triângulo ABC da figura,

14. AB // EF //DG e os

seg-mentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC vale 12cm, calcule FG. Solução: ` A B E G F D C 3x 2x y x 12 = → = = = 12 y 6 x . y 12 . 2 x 6 x 2 x 24x y 4 6 x

O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que 15.

AB = 4cm e AC = 6cm, calcular os segmentos determi-nados pela bissetriz interna de A no lado oposto.

Solução: ` A B _M C 4 aa 6 x y x + y + 4 + 6 = 25 x + y = 15 4 6 x y 4y 6 x 3x y 2 = = = + = = → = = 3x x 15 2 5 x 30 x 6 e y 9

Na figura, O é o centro da circunferência com

16. AB CD.

Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE= 2cm. D B Solução: ` x – 2 Raio = x (x + 2) (x – 2) = 4 . 4 x2 _{– 4 = 16,} x2 _{= 20 x = 2 5 cm}

14

EM_V_MA

T_027

Na figura,

17. PT é tangente da circunferência de raio r. Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB .

Solução:

`

x (x + 2r) = (2r)2

x2 _{+ 2rx = 4r}2

x2 _{+ 2rx – 4r}2 _{= 0}

x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero. – r + r 5

x = r ( 5 – 1 )

Na figura,

18. PA = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo PRS, se PA , PB e RS são tangentes. B Solução: ` PA = PB = 15 B 2P_PRS = 15 – x + 15 – y + x + y 2P_PRS = 30cm

João tem uma horta em formato circular e a cercou 19.

com arame tangenciando, construindo um triângulo conforme a figura.

Calcule a quantidade de metros usados por João para cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas.

v

Solução:

`

ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m

(UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M, 1.

representado na figura a seguir.

A área, em cm2_{, do triângulo obtido, unindo-se os pontos} médios de PM MN e NP, , é: 4 a) 6 b) 12 c) 20 d) 24 e)

(UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 9 2.

partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.

T_027

Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: 14T + 3Q a) 14T + 2Q b) 18T + 3Q c) 18T + 2Q d)

(UFF) Determine a área da coroa circular da figura abai-3.

xo, sabendo-se que o segmento PQ, medindo 8cm, é tangente à circunferência menor no ponto T.

8 a) pcm2 16 b) pcm2 24 c) pcm2 32 d) pcm2

(PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência: 4.

a área é multiplicada por 9

a) p.

o comprimento é multiplicado por 3

b) p.

a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3. c)

a área e o comprimento são ambos multiplicados d)

por 3.

a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9. e)

(Unirio) A figura representa um hexágono regular. 5.

Calcule a área da região sombreada.

(Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são 6.

necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m? (Unirio) A área da região hachurada, na figura a seguir, 7.

onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunfe-rência mede 5cm, é igual a:

2 25(4 ) 2 cm p − a) 25( b) p – 2) cm2 25(4 – c) p) cm2 25 2 2 2 (π− cm) d) 5 4 4 2 ( −π cm) e)

Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área 8. aumentará de: 10% a) 20% b) 40% c) 44% d) 50% e)

(Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é au-9.

mentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

1,04S a) 1,02S b) S c) 0,96S d) 0,98S e)

(UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma 10.

reta tangenciam-se em três pontos distintos.

O valor da área delimitada pelas circunferências e pela reta é igual a: 2(4 – a) p)cm2 2(5 – b) p)cm2 2(6 – c) p)cm2 2(7 – d) p)cm2 2(8 – e) p)cm2

16

EM_V_MA

T_027

Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais 11.

e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A, B e C.

Calcule a área hachurada delimitada pelos menores arcos.

(Unirio) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. 12.

Qual a medida do segmento

a) EF ?

Qual a área do triângulo AED? b)

(PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um qua-13.

drado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma valendo: (4– a) p) r2 1 4 2 −   p r b) 3 2 2 −   p r c) p 3 1 2 −    r d) p 2 1 2 −    r e)

(PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes 14.

iguais o círculo de raio R.

Determine a área hachurada.

(PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectiva-15.

mente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área desse triângulo é de:

11cm a) 2 15cm b) 2 20cm c) 2 25cm d) 2 30cm e) 2

(UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua 16.

diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.

A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração.

(UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura: 17.

Se S₁ representa a área do triângulo ABC, S₂ representa a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do segmento AD, então a razão S

S 1 2 é igual a: 1 a) 4 b) 1 4 c) 2 d) 1 2 e)

(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado 18.

duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assi-nalados na figura.

T_027

Determine as medidas dos ângulos

a) a, b, c e d� � �  .

Calcule a razão entre a área sombreada e a área do b)

quadrado.

(Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm

19. 2_,

os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes iguais.

A área do triângulo AQR é: 2cm a) 2 3cm b) 2 4cm c) 2 5cm d) 2 6cm e) 2

(UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e 20.

R são os pontos médios dos lados.

Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é:

20 a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e)

(UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 21.

10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II, através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura:

A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B. (UFRJ) Observe a figura a seguir (ABCD), que sugere 22.

um quadrado de lado a, onde M e N são, respectiva-mente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN.

Utilizando esses dados, resolva os itens a e b. Demonstre que o ângulo

a) AFNˆ é reto.

Calcule a área do triângulo AFN em função de a. b)

(UFRJ) A figura abaixo mostra dois arcos de circunferên-23.

cia de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.

Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada e não-hachurada.

18

EM_V_MA

T_027

(UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de 24.

semicircunferências e AC = CD = DE = EB.

Determine S₁/S₂, a razão entre as áreas hachuradas. (Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma monta-25.

gem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura a seguir.

O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de acrílico é R$6,40, o custo total do material será de:

R$34,00 a) R$48,00 b) R$68,00 c) R$96,00 d) R$102,00 e)

Dois círculos se cortam de tal forma que determinam 26.

três regiões, como mostra o esquema abaixo:

Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que a região S₁ equivale ao dobro de S₂ e que a região S₃ equivale ao triplo de S₂. Calcule o raio do maior círculo.

Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas 27.

das regiões hachuradas são iguais.

Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então o raio do circulo intermediário é:

12m a) 10m b) 11m c) 65 m d) 5 3 m e)

Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triân-28.

gulo ABC e do triângulo hachurado. A B C 3 1 3 1 A

29. ₁ A₂ ... A_n é um polígono regular convexo, de n lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A₁₅ é diametralmente oposto ao vértice A₄₆, o valor de n é:

62 a) 60 b) 58 c) 56 d) 54 e)

Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um tri-30.

ângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices de um quadrado.

T_027

QN corresponde ao lado do: hexágono regular. a) octógono regular. b) eneágono regular. c) decágono regular. d) dodecágono regular. e)

(Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em 31.

um círculo.

A soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na figura é: 4 a) 2 b) c) 2 d) 2 e)

(Cesgranrio) Na figura abaixo,

32. AB = 20°, BC= 124°, CD = 36° e DE = 90°. Calcule o ângulo . 56º a) 48º b) 46º c) 39º d) 37º e)

As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da 33.

figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. O ângulo ΜMPN vale: 76° a) 80° b) 90° c) 108° d) 120° e)

(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada 34.

na figura abaixo.

o

A medida , do ângulo assinalado, é: 30° a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) Calcule 35. nas questões de 35 a 39. 10° a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e)

20

EM_V_MA T_027 (Unisantos-SP) 36. 31° a) 38° b) 48° c) 50° d) 56º e) (Cesgranrio) 37. 20º a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) (UCBA) 38. 10º a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) (UFES) 39. 50º a) 52º b) 54º c) 56º d) 58º e)

O valor de x, na figura abaixo, é: 40. 30º a) 35º b) 55º c) 75º d) 90º e)

(UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um 41. pentágono regular. A soma + + + + é: 360º a) 330º b)

T_027 270º c) 240º d) 180º e)

(UFRJ) Na figura dada a seguir: 42.

ΜΜAB

• é lado de um octógono regular inscrito; t é uma tangente.

•

Qual a medida de ?

Na figura, as retas s e t são paralelas. 43. O valor de x + y é: 6 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) O valor de x na figura, é: 44. 16 a) 14 b) 8 d) 6 e) O valor de x na figura, é: 45. 7 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) O valor de x na figura, é: 46. 10 a) 11 b) 12 c) 14 d) 16 e) (Cesgranrio) As retas r

47. ₁, r₂, r₃ são paralelas e os

com-primentos dos segmentos de transversais são indicados na figura. Então x é igual a: 4 a) 1₅ 15 2 b) 5 c)

22

EM_V_MA T_027 8 5 d) 6 e)

(Vunesp) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC 48. é a bissetriz de BÂD. Se AB = 2BC, fazendo BC = b e CD = d, então: d = b a) d = b) 5₂b d = c) 5 3b d = d) 6 5b d = e) 5 4b

(UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes 49.

para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectiva-mente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II para a mesma rua.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:

160 a) 180 b) 200 c) 220 d) 240 e)

(MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para 50.

a rua “B”, como na figura.

As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua é 180m.

80m, 60m, 40m a) 90m, 70m, 40m b) 80m, 50m, 30m c) 60m, 40m, 30m d) 80m, 50m, 20m e)

Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas. 51.

Na figura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunfe-52.

rência de centro O e raio r.

Ponto P é tal que OP <r. Então:

BD AC CP BP = a) BD AC AP DP = b) AP DP CP BP = c)

T_027 DP AP CP BP = d) BD AC AP PC = e) O valor de X na figura é: 53. 20 3 a) 3 5 b) 1 c) 4 d) 5 e)

Na figura, são dados

54. AE EC = 1 3 BE = 8cm e ED = 6cm. Calcule BD AC AP PC = : 10 a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e)

Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estra-55.

da que cruza o pátio circular de centro O e raio r.

O

Se AC = 2r = AO, então BC vale: o dobro de AB. a) 2 3 b) de AB. AB. c) a metade de AB. d) 1 3 e) de AB.

(UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação: 56. O a a) 2 _{= xy} a = x (x + y) b) a c) 2 _{= x (x + y)} a d) 2 _{= y (x + y)} a = x (x – y) e)

(Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm, 57.

AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.

O

O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: 26 a) 45 b) 48 c) 50 d) 54 e)

Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois 58.

diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como mostra a figura. O Se AC = 16, o segmento AD mede: 8 2 a) 12,0 b)

24

EM_V_MA T_027 12,5 c) 13,0 d) 6 3 e) Nesta figura

59. AT é tangente à circunferência do raio r.

Sabendo-se que AT = 2r, então o valor de AC é:

( 5 1+ r) a) 1 + 2 r b) r c) 2 5 r d) ( 5 1− r) e)

(RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, 60.

distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O com-primento da tangente entre P e o ponto de contato, é:

4m a) 6m b) 8m c) 10m d) 12m e) Na figura, 61. AB= 8, AC = 10 e BC= 6. A medida do segmento BT é: 0,5 a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e)

(UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lados 1.

6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.

Determine x.

(UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao 2.

lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq

bc.

(UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo 3.

que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.

A área do hexágono ABCDEF é igual a (3₊ 3)_cm2_.

Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.

T_027

(UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram 4.

prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo que a medida do segmento AA’ corresponde a 20% da medida do lado AC, conforme indicado na figura a seguir.

Determine o percentual de aumento que a área do triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo original ABC.

(UFF) Considere uma folha de papel em forma do 5.

retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, suces-sivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme a figura 3. A área do triângulo MPQ é: 18 2_cm2 a) 36 2_cm2 b) 30cm c) 2 45 3 cm2 d)

(Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual 6.

foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.

Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a

b. 1 2 a) 1 2 b) π 4 c) 1 d) π 3 e)

Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos 7.

lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte, aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas, tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total das duas lúnulas e a área do triângulo?

(Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos 8.

coordenados, é construído traçando-se semicírculos de diâmetros OM MS, e SP.

A área da região hachurada vale:

π 2 a) 3 4 π b) 4 3 3 6 π − c) 7 3 3 6 π − d) 11 6 3 12 π − e)

26

EM_V_MA

T_027

Na figura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos 9.

encontram-se em P.

Sabendo que PC= 2 2, a área hachurada é igual a: 2 a) 4 b) 2 6 c) 4 6 d) 6 e)

(UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste 10.

em formar um quadrado com as partes de um triângulo equilátero, como mostram as figuras.

Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, calcule o perímetro do quadrado.

(UFRJ) A figura abaixo é formada por dois quadrados 11.

ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a dia-gonal A’C’ um ângulo de 45º.

Determine a área da região sombreada da figura.

(UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R 12.

e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.

Calcule a área do retângulo ABCD, em função de a)

R e a.

Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima b)

para a = 45º.

(UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo 13.

WXYZ, como mostra a figura.

Sabendo que AB= 2 e AD = 1, determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja a maior possível. (Unicamp) Construir “fractais” no computador corres-14.

ponde a um procedimento como descrito a seguir. A partir de um triângulo equilátero de área A, acrescenta-mos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres desses triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessiva-mente, construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho).

Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo.

T_027

(UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm 15.

é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos.

Determine a área total da figura que será obtida se o processo for repetido análoga e indefinidamente.

(UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular, 16.

um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui, em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque, o construtor teria:

que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm. a)

que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm. b)

o número exato de cerâmicas a serem aplicadas. c)

uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm. d)

uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm. e)

Na figura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com 17.

AC CB= . DEF é um arco de circunferência de centro A.

Calcule a razão AD

CB , sabendo que as áreas hachuradas

(UFF) Sendo 4cm

18. 3 _{a área do menor quadrado da figura,}

determine a área do maior.

Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de

19. AB e N é

o ponto médio de AC. Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m2_. (Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal

20. CD igual

a 10cm. Os segmentos paralelos AB CD e EF, , dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o comprimento do segmento AB.

Na figura abaixo, S

21. ₁ é a área do quadrilátero MNBA, S₂

é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA.

Calcule x, sabendo que S₁ = 51% de S₂.

Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em 22.

função da área S do triângulo ABC. a)

28

EM_V_MA T_027 b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

T_027

n)

o)

Os pontos ABCDE da figura resultaram da divisão de 25.

uma circunferência em 5 pares congruentes.

E _A

B C

D

Por consequência, a soma dos ângulos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a: 800° a) 700° b) 720º c) 760° d) 780° e)

Na figura, os círculos são iguais. AC contém os dois 26.

centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.

Prove que CD = BD + BE Determine x na figura a seguir. 27. 100 a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua.

23.

Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a primeira, porém com o dobro da altura.

(PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos 24.

lados do triângulo ABC da figura abaixo.

Sabendo que AP AB BQ BC CR BC = = =2 3, encontre S T , onde S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo PQR.

30

EM_V_MA

T_027

(Unificado) Em relação à figura a seguir, considere: 28.

AB

I. é um diâmetro da circunferência de centro O; a reta t, paralela à corda

II. ΜΜAR, é tangente à

circunfe-rência no ponto T; o ângulo BÂR mede 20°. III.

Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda AT é: 25º a) 35º b) 40º c) 45º d) 60º e) (FGV) A medida do ângulo

29. ΜADC inscrito na

circunfe-rência de centro O é: 125° a) 110° b) 120° c) 100° d) 135° e)

O pentágono ABCDE, da figura, está inscrito em um 30.

círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°.

Então, x + y é igual a: 180º a) 185º b) 190º c) 210º d) 250º e)

(U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo 31.

inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e cir-cunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do triângulo vale: d + D a) 2d + D b) d + 2D c) 3/2(d + D) d) 2(d + D) e)

O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência, 32.

como mostra a figura abaixo.

Calcule a medida do ângulo QSR^ .

Seja P o centro de um quadrado construído sobre a 33.

hipotenusa AC do triângulo ABC.

T_027

Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro 35.

do arco XL.

Y

X O

Com esses dados, determine a medida do ângulo LÔX.

São dados da figura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12. 37.

Pede-se o valor de AB. Determine o valor da razão

38. JA JD, considerando a figura e as medidas abaixo. AB = 9 AC = 6 BC = 10

O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que 39.

AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos deter-minados pela bissetriz interna de  no lado oposto. Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm, 40. CD = 13cm, MA MD = 12 e MN é paralelo a AB . O comprimento do segmento MN é: 16cm a) 17cm b) 13cm c) 19cm d)

nenhuma das anteriores. e)

Na figura a seguir,

34. AD e BE são duas alturas do

triân-gulo ABC.

Sabendo que o ângulo BAC mede 64º, calcule o ângulo ADE .

Seja uma partícula A com velocidade angular w

36. _A = 2

rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em quanto tempo ela atinge a partícula B que está com velocidade igual a w_B =

2 rad/min (ambas no sentido horário)? P A 120o WA WB B

32

EM_V_MA

T_027

(IME) Considere a figura abaixo, onde APOR é um 41.

paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB= 6cm e AC = 3cm.

Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão BO

BC.

Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do tra-42.

pézio.

Calcule y – x. Num triângulo ABC,

43. AB = 12cm, AC = 8cm e BC =

5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro do triângulo, calcule a razão IA_ID.

Um triângulo ABC é tal que

44. AC /BC = 3/4. A bissetriz

do ângulo externo ^C corta AB no ponto P. Calcule a razão PA /AB.

(Integrado) Considere um decágono regular convexo 45.

inscrito em uma circunferência de raio R.

Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO, prove que o lado do decágono é ₁₀ = ( 5 – 1)R

2 .

O circuito triangular de uma corrida está esquema-47.

tizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve per correr o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, final-mente, a S.

Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. 4,5km a) 19,5km b) 20,0km c) 22,5km d) 24,0km e) Na figura a seguir, 46. BC = 32, BD BA = 14 DE//BC, DF//AC e EG//AB. Calcule o segmento FG.

(IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um 48.

comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares NA e BC.

T_027

O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD 49.

está circunscrito ao círculo, é:

1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)

Nas figuras abaixo, mostre que

50. PA PB PC PD. = . .

a)

b)

Na figura abaixo, mostre que

51. PT2₌PA PB d_{. =} 2₋R2_,

onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo e R o raio.

Na figura abaixo, O é o centro do círculo. 52.

Calcule as potências de A, B, C e O. Calcule x para que a

53. pot A pot B pot C+ + seja igual a zero.

O

Um ponto P está no interior de uma circunferência de 54.

13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine os comprimentos dos segmentos que P determina sobre a corda AB .

Considere as cordas

55. AP = 13 e BD= 12 de uma

circun-ferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C da corda APtal que ABCD seja um paralelogramo.= 13

Determinado este ponto C, calcule AC.

Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de 56.

7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo que PB valha a metade do PC. Calcule o comprimento do segmento PC.

Na figura abaixo,

57. PA é tangente em A ao círculo.

PA PC CB= = , PD = 1 e DE = 8.

34

EM_V_MA

T_027

O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato 61.

do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi cortado formando um círculo que seria inscrito no trapézio.

A

Calcule o raio do círculo, se AB= 12m, AD= 6m e

BC= 8m.

(PUC-SP) A figura é uma circunferência de centro O 62.

e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T e BA em A.

Se AB mede b, a medida de AC é igual a:

2ab b a+ a) ab b a− b) 2 2 2 2 ab b −a c) a b b a 2 2₊ 2 d) a b b a 2 2 2₋ 2 e) Considere um arco AB de um círculo. Seja N o

pon-58.

to médio do arco e M o ponto médio da corda AB. = 18cm

Calcule o raio do círculo sabendo que AB= 18cm e

MN= 3cm.

As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma 59.

circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule a altura do trapézio.

Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está 60.

circunscrito a um círculo de 1cm de raio.

Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo inscrito. Calcule o segmento EF.

T_027 B 1. A 2. B 3. C 4. 24 3 32 3 2 −     π cm 5. cm2 500 6. A 7. D 8. D 9. A 10. 2 2 3

(

_{−π cm}

)

2 11. cm2 12. 14 5 a) 216 b) B 13. π 3 3 2 2 −      R 14. R2 B 15. 1 18 16. C 17. 18. 22°30’ a) 2 1− b) B 19. E 20. 5m 21. 22. Resposta pessoal. a) a2 20 b) 5 7 23.

36

EM_V_MA T_027 1 24. A 25. 10 3 3 26. cm A 27. 2 28. A 29. E 30. C 31. E 32. D 33. E 34. B 35. C 36. E 37. C 38. E 39. A 40. E 41. 157° 30’ 42. B 43. A 44. E 45. C 46. E 47. C 48. A 49. A 50. y = 16; 51. x = 15 C 52. B 53. C 54. E 55. C 56. E 57. C 58. E 59. C 60. D 61. x = 1 ou x = 2 1. Demonstração. 2. 1cm 3. 72% 4. A 5. D 6. São iguais. 7. E 8. B 9. 16 34 _cm 10. cm 6 4 2₋ 2

(

)

cm 11. 12. R a) 2_.sen2a Resposta pessoal. b) 45° 13. 10 7 A 14. 15cm 15. 2 B 16. 2

π

π

17. 16cm 18. 2 20m 19. 2 5 2cm 20. 8,4 21. 22. S/2 a) 2S/3 b) S/6 c) S/3 d) S/6 e) S/12 f) S/3 g) S/4 h) S/24 i)

T_027 S/21 j) S/7 k) S/6 l) 2S/15 m) S/3 n) S/70 o) R$300,00 (trezentos reais) 23. 3 24. C 25. Demonstração. 26. E 27. B 28. A 29. D 30. C 31. 45° 32. 33. A C B P _{P^BC = 45°} 26° 34. 2 35. = 300 = 15° 26 36. 2 3 segundos x = 8 37. x = 6 38. AJ JD = 32 BD 39. = 8cm DC = 12cm D 40.

O perímetro de APOR vale 8cm. 41. BO BC = OCOC 2 2 = 23 y – x = 4 42. AI DI 43. = 4 PA PB 44. = 3₄ 45. R = _{R –} l2 _{= R}2 _{– Rl} l2 _{+ Rl – R}2 _{= 0} = ( 5 – 1)R₂ FG 46. = 16 B 47. A 48. ^CB = 54° B 49. Resposta pessoal. 50. Resposta pessoal. 51. 96; 0; –16; –25 52. 2 2 53. 16cm e 9cm 54. 8 55. 8cm 56. 4 57. 15cm 58. 6m 59. 1cm 60. Raio = 2,4cm 61. C 62.

38

EM_V_MA

40

EM_V_MA