A ANÁLISE GEOMÉTRICA GREGA

A ANI,LISE

GEOMETRICA GREGA T

NORMAN GULLEY

Este artigo se propõe _{a apresentar uma interpretaçÍo da passagem de pappus em que é} descrita a análise geométrica

(collectbn,

vtl.,

prel¿cio

,

jp.

øl+-e

em Hultsch; o

texto

completo

se encontra também em Thomas, Greek Møthematícal

works,Il,

pp. 596-9,

Ioeb). A

principal

dificuldade é _{que Pappus parece oferecer duas descriçõesàiferentes}

da

direçÍo

da anáIise.

(I)

c-omo

um movimento

ascendente na direção áe proposiçoes antecedentes, daò

quais se

sêgue

um

pressuposto

inicial

(èv

¡tèv

lap

rñ'arñxtoer...

xa)toú¡tev

oúvîeow).

(II)

como um movimento descendente àe deduçlo, a

partir

de um pressuposto

incial

(6wròv

_.,..

rpóß\npc). Duas interpretações se ofereceram. A primeira aceita

(II)

como a formulação adequada do que os 8iregos chamavam de análise

geomé-trica, e explica

(I)

como uma me¡a forma alternativa de descrever

(II).

A

segunda aceita

(I)

iomo

a formulação adequada, e explica

(II)

como uma mera forma de descrever

(I).

A

primeira é a interpretação _{comumente aceita. Descrições hicidas e detalhadas do}

mé-todo,

baseadas nessa interpretação, sâ'o fornecidas

poiHeath

(Thè

Thineen Books

of

Euclid's

_{Elements,r,pp.lil-t+a)),}

_Robinson

_(Minã,N.

_s.

_xLù,

_{1936,pp.464-4ß);*}

e cherniss (Revíew

of

Metaphysics,

_ry,lg5l,

_pp.

_41441,9).

_o

_{método consiste em}

as-zumir

como verdadeira _{uma proposição geométrica de que se requer uma} demonstra-ção,

ou

em presumir resolvido um problema geométrico _{a ser solucionado, e, por meio} da análise, deduzi¡ conseqüências até

_çe

se alcance seja

tmaproposiçÍo

indãpenden-temente conhecida como verdadeira ou uma construção que é posslvel execuiar, seja

uma proposição conhecida como falsa, _{ou uma construção anja realzação seja}

_impos

sfvel.

No

primeiro

caso, o

último

passo da análise se

toina o

primeiro

da slntese, que repete _{os passos da análise em ordem inversa até que a}

_proposiçÍo

_original

é alcançaãa, e assim demonstrada.

No

segundo caso pode-se

concluir,

t"- i""or-

à sfntese, que á

pressuposição original é falsa, ou que a solução é impossfvel.

um

dos requisitos do

mé-todo

é que, em cada

um

dos.passos, a implicação sãja recfproca.

A

segunda parte

(II)

do

relato

de Pappus parece, de forma bastante clara, descrever esse méìodo.

o

mesmo

ocorre com

as definições

de

análise

e de

sfntese interpoladas em Euclides

XIII

(ver

leath,

op. cít.

p.

138).

Além

disso, como

Robinson

eif^tnu,há

excelentes exemplos do seu uso em Arquimedes, _{em pappus, nas demonstrações arternativas das proposiçoes}

l-5

do Livro

XIII

interpoladas em Euclides e em outros

_{lupres (bc. cit.}

pp.

+ssan;

ve¡ também Heath,

op.

cit.,l,pp.

r4r-r42).

_eue

este, e não

outro

quaþer,

é o méto-I

_Not

_{apareceu orþinariamente}

em phronesis 3 (1g5s), pp.1-r4. As refe¡ên

cias

i -confo¡me

dorigind

Á traduçÃo é ¿e Rouerto íi¡îrã de Souza, revist

po¡

rr

Traduzido acima, pp. 5-15.f.

A

AruÍlise Geométrica

Grega

I7

do que os geômetras gregos chamavam de análise,

"é

realmente tão certo quanto

qual-quer outro fato

da

história

do

pensamento",

afìrma

Robinson

(Plato\

Earlier

Día-lectic,

ed. 2.,

p.

166).

A

segunda

interpretaçlo

sustenta que isso não é apenas incerto, mas falso.

O

rlnico

argumento detalhado em favor desse

outro ponto

de vista é

o

de

Cornford,

em

Mind,

N.

S.,

XLI,

1932, pp. 43-50, mas

muitos outros

estudiosos pare-cem

compartilhar

de zua posiçãol

.

Cornford

sustenta que a análise não é um método de

dedução;o

procedimento não consiste em investìgar

o

que se segue daproposição

original,

mas, antes, em procurar saber de que ela se segue, e, sendo isso descoberto, prosseguir

de trás

para

diante

até

que

seja alcançada uma proposição independente-mente conhecida como verdadeira. Pela sfntese, a preszuposição original é, entâ'o, de-duzida e,

por

conseguilte, demonstrada. Apenas a slntese é dedutiva, e nÍfo a análise.

A

primeira parte

(I)ão

relato de _{Pappus'(èz ¡rèv} 1ùp rñdr¡aÀrloe¿... xa\oú¡tev

oín\eo

u) parece, de forma bastante clara, descrever esse método. O mesmo acontece com as de-finições de análise e slntese fornecidas por Proclo e pelos comentadores gregos de Aris-tóteles. Além disso, conforme veremos, há ilustrações desse método de análise em Aris-tóteles, nos comentários gregos sobre Aristótelos e em Proclo.

Um

preszuposto comum a essas duas interpretações é o de que Pappus, em seu

rela-to,

descreve de forma perfeitamente consistente um método que, excluindo quaisquer outras formas de análise, é o que

foi

chamado pelos gregos de análise geométrica. É

tal

pressuposto que patece sujeito a dúvida; é na tentativa de tomar uma descrição da análi-se consistente com a outra qúe as fraquezas de cada interpretaçfo se tornam aparentes. Desse

modo, Cornford

sustenta que Pappus

foi

"lamentavelmente mal-compreendido" porque a sua descrição de análise como

procedimento

6ù. rí¿v ètñc d¡o).or10c^¡z

foi

in-terpretada

como

se

rù

ëEñc

ùxó\ouïo

sþificasse rù

ovttßothtovrc, conseqüências

lógi

cas.

Ao

invés disso, argumenta ele, a frase deveria ser tomada como significando "a

su-cessÍo de passos subseqüentes", sem qualquer

implicaçlo

de que a seqüência é deduti-va

(bc.

cít.

p.47, n.

1).

Cornford

considerou que, se a frase signifìcasse "consequên-cias lógicas", introduziria uma impossibilidade lógica no ¡elato de Pappus, uma vez que supôs ser logicamente impossfvel que a mesma seqüência de passos fornecesse conse-qüências lógicas nas duas direçoes. No entanto, ele nlio percebeu o fato de que, quando cada uma das proposiçóes da seqüência é conversfvel, n{io existe qualquer impossibili-dade desse

tipo.

E Robinson, acertadamente, fez disso a sua principal crítica â concepção de

Comford

(Mind,

N.S.

XLV,

pp.

468-9

_{[pp. 9-13}

destes

&dernos]).

Contudo, a interpretaçlfo que

toma

rù. ètñc ûxdÀou0a como significando conseqüências lógicas de-ve explicar, de forma consistente com a sua própria tese, a descriçfo que Pappus faz da análise como uma

tesoluçfo

de trás para diante, que parte de uma proposição original para proposições antecedentes, das quais aquela proposição se segue. Robinson afirma

l

_{Ve¡ H.D.P. Lee em C.Q. XXLX, pp. 118-124; A.S.L. Farquharson em C.Q.}

_{XIfi[p.2l;'B'Ei'}

narson, em uma valiosa discussão da terminologia matemática em Aristóteles

(A,JÌ.

LYII,

pp, ß44,751-172), elogia a abordagem de Cornford à passagem de Pappus como l'umaexcelente

discussão

'

(p. 36 n, l8), mas suas obsewações posteriores sobre a análise (p. 153) parecem

-rt

18

Normøt

Gulley

que essa descrição

_'ltfo

é incorreta na concepçÍo usual da análise; é meramete inespe-rada. Como na concepçÍo usual a

implicaçÍo

se dá em ambos os sentidos, Pappus

esta-ria certo

qualquer que fosse o sentido

_çe

afirmasse

valer".

Sugere ele que "a razão pe-la qual Pappus se expressÍr aqui dessa forma inesperada é porque estd encarando a

análi-se como existindo em função da sfntese; isso

o

faz descrever os passos da análise

nÍo

como

aparecem na ocasiã'o em que ela está sendo feita, mas como aparecem na sfntese subseqüente"

(ibid.

p.

473

_[pp.1a-15 destes

&demos]).

Em outræ palavræ, Robinson afirma que, como æ implicações são recíprocæ e a conclusão da análise se toma a

premis-sa da sfnteæ, a análise pode ser corretamente descrita como uma busca de premissas ou

de

proposiçtes

antecedentes,

visto

que

as proposições que,

na

análise, eram conse-qüências lógicas,,se tornam, na sfntese, proposições das quais a proposiçfo original se

segue, como conclusão.2 Dessa forma,

(I)

se torna consistente com

(II),

como uma

for-mulação alternativa de

(II).

Essa interpretaçã-o nã'o se baseia em qualquer evidência ex-terna de que (I) é uma formulação alternativa de

(II).

E é claro que, se houver umaevidên-cia externa digna de confiança, que proporcione uma explicaçâ'o diferente para a

descri-Cão

(I)

de Pappus, tal explicação seria preferlvel àquela que æ utiliza de

(II)

para explicar

(I),

partindo

de uma suposiçÍo da consistência interna da passageni de um todo. Argu-mentarei que uma

tal

evidência externa existe. Há, de

fato,

diversas descrições da

aná.-lise

geométrica,

tanto

antetiores

quanto

posteriores à fornecida

por

Pappus, e que a

descrevem quase precisamente da mesma

forma

que

(I);

como veremos, é possfvel

zu-plementar a evidência de Cornford a esse respeito. E, à luz da evidência existente

tanto

em

favor

de

(I),

quanto em favor de

(II),

como formas reconhecidas de análise

geomé-trica,

uma terceira interpretação para a passagem de Pappus se apresenta.

É

a de que Pappus, embora aparentemente apresente um

rlnico

método com

um único

conjunto de regras, na verdade reproduz descrições diferentes da análise geométrica, correE)on-dentes a duas formas distintas

do

método, e supõe a equivalência de

(I)

e

(II)

para

to-dos os casos de análise, sem se dar conta das inconsistências envolvidas nessa zuposição. Se æsumirmos

que

ao menos

uma

das abordagens descreve cgrretamente o método,

entã;o

ou

(a) uma delas é correta e a outra se baseia em uma tradição que confunde a

a-nálise geométrica com alguma

outra forma

de análise,

ou (b)

ambas descrevem méto-dos que eram reconhecidos pelos gregos como formas de aná1ise geométrica.

Argumen-tarei

em favor de

(b). Aceito

a concepção de que os gregos admitem uma fonna de

a-nálise geométrica em que

tanto

a análise quanto a sfntese eram estritamente dedutivas. Certamente não há, em qualquer descrição do método na antigüidade, nenhuma men-Ção da condição essencial para que sua aplicação seja bem zucedida

-

a de que as im-plicações em cada passo sejam recfprocas. Mas, pelo menos, não resta drlvida de que os geômetras gregos estavam conscientes de que

um

grande número de proposições geo-métricas eram converslveis (veja-se Aristóteles,

An.

Post.

78a,

l0-13;Ptoclo,In

EucI., Friedlein,

pp.72,26ss.,252,5ss.),

como também é indubitável que eles praticavam um

2 _{Também Heath (op. cit. pp. 139,140) parece admitir que z:*lzão peltqual}

Pappus descreve a a-nálise dessa forma deve ser a de que ele está supondo a teversibilidade de todos os passos do

A

AntÍIise Geométrica

Gregø

19 método de análise em que os passos eram, de

fato,

converslveis, e que, antes da époCa

de Pappus, havia uma

formulaçÍo do

método que representava a análise como sendo dedutiva. Assim, para decidir entre (a).e (b), deve-se decidir se a tradição em que se

ba-seia a abordagem

(I)

de Pappus é legltima ou

nÍo'

Há, na antigüidade,

diversas

do

termo,

o

seu sentido na

lógica

do

geométrico. Os comentadores

g

er'

mo

erf

diversos campos,

princip

te-les

deu aos

seus

Analíticos

_-

petos

_{Tpq4razao|,guon)ú'¡ot,9t).óoo,pot}

e

pelos

rccilpérpaÊ

Trata-se de

um

processo de resolução de

um

todo

em suas partes, de

um

composto em seus elementos, do complexo no simples. No sentido lógico, a análise

co-mo

movimento ascendente é contrastada

com

o movimento descendente da oúv9eoc,

ùróìerftts, 6øþeotc;

é uma ascensão para o que é rpÚrepov, Para os

princlpios

(ùpXaÐ

ou

causas

(utrot),

a

partir

dos quais se pode demonstra¡ averdade daproposição

_çe

constitula

o

ponto

de partida da análise; como método lógico, ela se classifica como u-ma das

quatro

divisões da dialética-dudÀuots,

dnoôe{ls, 6øþeoæ,

e òpw¡tóC, classifì-cação cujas bases os comentadores gregos situam em Platão, embora, naturalmente, de-va

muito

a Aristóteles.a Admitem-se duas formas principais de análise: (a) uma

"redu-ção"

dos particulares sensfveis a uma forma única, com o propósito de defìnir um

ter-mo

(assim, ouvuya:yt¡ é uma

forma

de análise); (b) uma ascensão para proPosições an-teriores, ou premissas. Embora PlaJão tivesse sido

o prímeiro

a formular tais métodos

de

investigaçã'o fìlosófica, ele não emptega

o

termo dvdÀuo¿c

para defini'los.

Sua

pri'

meira

ocorrência

como termo lógico

se encontra em Aristóteles. Este

o

emprega

co-mo

método de

'þartir"

um

algumento em suas premissas, e estas em seustermos (ver

An.

Pr.46,

40.ss.). Trata-se, essencialniente, de um método de trabalhar em sentido in-verso,

partindo

de

uma

conclusÍto e chegando às premissas das quais se deduz essa con-clusão.

E

as descrições da análise lógica nos comentários gregos seguem, naturalmente,

a terminologia da

discussáo aristotélica da análise silogfstica,

do

mesmo

modo

que a terminologia usada para descrever as proposições que constituem o

limite

da análise

re-flete

a terminologia utilizada por Aristóteles na especificação das condições das premis-sas de douÀÀøyrø¡¡ðcl ènørr¡povaós:(An.

Post.77b,

76-22)*npõtru,ögeoa,npórepa,

alrø,7vapt¡tarepa.

Essa mesma terminologia é utilizada næ formulações que os comentadores dão à

a-nálise geométrica. Encontra-se a mesma ênfæe geral à análise

como

descoberta de de-monstração, e aparentemente se

asume

que a análise geométrica é simplesmente a

a-plicação, a uma situação

particular,

de

um

método que pôssui outræ e mais amplas

a-3 _{41.x., In}

_An.

_Pr.

_I,

_{?, 12ss. (Wallies);Ammonius, In An.}

_Pr.,I,5,

_{lgss. (Wallies);Filopono,-fn}

An.

Pr., _{¡, S,} f 0 ss, (Wallies), Eustratius,.In.ln. Poct'1I,3, 1oss. (Hayduck); David, InPorph. Is.

9, 11ss., 203,23ss. (Busse)'

a

_A

_{ss.;Inen,Pr.l,'5,22ss;Filopono'InAn,Pr'I,5,}

_{18ss';In,4n'Post.}

II

In An. Post.

IL

3, 13 ss.; David, In Porph. -Is. 88,6 ss. Ve¡ também

20

Norman GulleY

elismo estreito com a formulação de Pappus,

r

(In

An.

Pr.

1,7,

l5-18)

descreveu a análise a (conclusÍo) como

ponto

de partida e

cami-ser analisadæ.)

É

claro que o método,

conforme

apresentado pelos comentadoles, é estreitamente semelhante ão

qr.

descrevem como análise filosófica e análise silogística' Em'cada uma das três

formasde

análise há

um

processo semelhante de resolução como movimento

æcendente para

_PrincíPio

delas'

mesma terminologia.

Um

entre

lise

filosófica

e da

análise

stente

análise geométrica nos comentários sobre Aristóteles e a formulação que se encontra em

Albino,

do que este clæsifica como a segunda das três fórmulas de an¡flise filosófica em Platão.s chemiss

(loc.

cit.

p.

aß)

afirma dessa segunda forma que é

"uma

redução

I

I I I I I I i I i l

s _{Ela é introduzicla como}

_{i¡ ôlo}

_{rttrv 6euw'¡évav}

roùç

avctnoìeix roug

xai

ùpéoous

Íporoßelç,e

xai

inro\eæwþëv@v

dYoôoc enù depois mais completamente desc¡ita da

A

Análise Geométrica

Grega

2L de

Fedro

245

c+

a um esquema aparentemente influenciado pela análise geométrica".6

Do

mesmo modo, a formulação de

Albino

podê ser tomada como uma indicação da in-fluência de formrfações filosóficas da a¡rálise sobre a formulação da análise geométrica. Certamente, a maneira pela qual a análise é formulada em Proclo e nos comentá¡ios

so-bre

Aristóteles sugere que nessa formulação houve

forte

influéncia dos

desenvolvimen-tos

da análise

filosófica por

Platão e da análise silogística

por

Aristóteles.

No

caso de Platão, isso sem dúvida explica a estreita æsociação que se estabelecia na antigüúdade entre seu nome e a an¡álise geométrica; tanto em Diógenes Laércio

(Ill,24)

quanto em

Proclo

(/n Eucl.

p.2lI,

18-23) encontramos a afirmação de que Platão

explicou

ou

transmitiu

a Iæodamas o método de investigação pela análise. Outra evidência, todavia, sugere que o método não era inicialmente uma formulação

filosófica.

Ao

invés disso, sugere que

o

trabalho de Platão e de fuistóteles conduziu a uma formulação mais pre-cisa de um

método

de análise geométrica

já

praticado e

já

formulado,

muito

embora a

esta

última

formulação faltasse, indubitavelmente, a terminologia matemática mais pre-cisa que se encontra na segunda e, quase certamente,

ultima

formulação (a descrição

(II)

de Pappus). Assim, quando Platão

introduz

pela primeira vez, no Meno,

o

méto-do

de análise

èl

ÌmoïéoeuÇ, ele o compara a um método de an¿ílise geométrica que era freqüentemente praticado pelos geômetras; e Platão o representa como um método de

analisar condições antecedentes para a possibilidade de resolver um problema.T

Muito

mais

importante,

porém,

é

a evidência de Aristóteles. Em divenæ passagens ele indica cla¡amente o

método

que era reconhecido, em seu tempo, como análise geométrica;o que isso

implica

é que

tal

método fôra inicialmente formulado por geômetras. Ao

mes-mo

tempo, ess¿rs passagens

confirmam o ponto

de vista de que a tradição seguida por Pappus

em

sua descrição

(I)

do

método de

análise

é

digna de confiança. Encontra-mos, em

primeiro

lugar, a conhecida passagem da

Etba

(8.'

_N.

11

l2b,

28ss.), em que o processo de deliberação na esfera da ação humana é comparado com a análise de uma

figura na

geometria

(6úypap¡n).

Trata-se de um método que assume, como

ponto

de

partida,

o

fim

a ser alcançado,

ou

considera o problema resolvido, e trabalha de triis para diante através das primeiras condições antecedentes para a consecução do

fim

al-mejado ou para a solução do problema, até encontrar uma condição que possa ser

satis-feita na

ação (deliberação)

ou

na construção (geometria). Em E.

E.

1221b, 12 ss., a

æguinte forma (Dlitask¿tikos Y. p. 15?,

ll,

19-23, em Hermann,.

Y:

-

útrort|eo|ou

6eí rò

lr¡roúpevov

xal

9eapeív,rlva ëorì

npórepu

aùroú,

xul

ro¿ína

ùtroõeavúew

ùrò

rã:v ùorëpuv

ènl

rd

npórepa ùvnvra,

ë<,:ç

óal

ël$a¡¡ev

èil

rò

rpCorov

xa|

ò¡toìro7oúpevov,

ùnò

roúrou

6è

ù.plapevot

èrI

rò

lnmütevov

¡xareìtevoópe9a

owï

erwã>

rpórcp,

As duas out¡as formas de análise são: (I) a "ascensão" a partir dos-õbjêtos

perceptlveis para as Formas (ilust¡adas a partir do Symposlum);

(II)

o caminho ascendente do Phaedo e da República.

6 _{A anállse tla proposição de quo a}

alma é imortal é também oferecida por Ammonlts,In An. P¡.

I, 5, 34ss., como uina ilustraçiÍo da análise silogística. 7

Meno 86æ,-87b. O exemplo dedo é de um ôrcplogo's, a determinação das condições tle

rl

I

22

Nonman GulleY

tes

ènt

ù¡vùpy.l¡v,

e

depois demonstrando

a concluslo

pela slntese). Aristóteles, em seu

relato

sobre

a "produçffo"

(yéveoæ) em

Met.

1O32b,6-29,

se

util2a do

termo

vt4oC

pa:ra designar o procedimento ascendente de um

ponlo

de partida para suas con-dições, do mesmo

modo

que

fazposterioimente,em

1051a,21-23,ao descrevercomo são descobertas as relações geométricas pela "realização". Na vû¡otS nos apercebemos

das divisões potencialmente existentes em uma fìgura dada e as "realizamos" pela

cons-truçto.

Essa análise é ilustradas pelo processo de

descoberta(eþeoc,II,23,30)

das demonstrações de que a soma dos ángulos intemos de um triângulo é igual a dois

ângu-los

retose e de que

o

ângulo em

um

semi-cfrculo* é um ângulo reto (ver Euclides,

III,

outra

passagem,

Ari

-

que as

implicãçoes não

são

utiva' Na

Ftiica

211a,Aristót

lógica na

matemática e a necessidade

"hipotética" ou

"teleológica"

nos processos naturais. Seu

principal'objetivo

é assinalar æ analogiæ entre a dedução na matemática e a análise das

condições para a consecução de um objetivo na Natureza' Assim, se comparannos a

re-lação de necessidade

entre

stente entre

fim,

como conseqüente

(a)

falsa se

(II)

for

falsa, e

(a)

não

é

alcan

acarreta

(I),

nem a pfesença tle

(b),

que é uma condição necessária, mas não suficiente de (a), acar-reta a conæcução de (a). Em cada um desses casos, a relação é irreversível, pois em

ca-da

urn

deles se

verifìca

"a

necessitação deumaøu¡rrëpuo¡n

poruma

ùpal¡,n{oacom-panhada

por

uma necessitação

da

üpXfi pela

ov¡nëpao¡ra"

(Ross,

Aristotle's

Physics,

E

Ve¡ Cornford,loc. cít.,pp.4445,e Ro$,.ádsfotle's Metaphysics,

II'

pp. 268-73.

9 _{Este exemplo f¿vorito é usado novamente com referência à análise em} An. Pr. 48a,29

ro _{Loc. clt.p. 39. Cf. Comford, loc.}

_cit',p'44'

*Nota _{EditoriaL O ângulo construldo} com vértice numa circunferência e cujos lados

interceptam æ ext¡emidades de um diâmetro qualquer'

i' i ; l I I I I l I i t I I I I i

:

A

Aruílise Geométricø

Grega

23 sumir

(I).

O segundo exemplo dado em

Met.

1051a

_-

ou seja, o de que o ângulo em um semi-círculo é um ángulo reto

_-

æ encontra mais uma vez

emArt

Post. 94a 28-3 5 ; a

ma-neira pela qual Aristóteles descreve a análise nessa passagem sugere que, tanrbém nesse

exemplo, ele assume que a relação entre premissa e conclusão não é recíproca. De fato, ele indaga

de

que pressuposiçfo (roit

btæ;)

a proposição se ssgue, e encontra a pre-missa na definição de um ângulo reto como a metade de dois Íîngulos retos.

Em

Aristóteles,

portanto,

existe o reconhecimento de um método de análise usado na geometria que correspondia à descrição

(I)

de'Pappus, e ilustrado por exemplos em que se rdconhece que a relação enlue &pyí¡ e or¡¡tnépao¡n. é não-reversfvel. Além disso,

o

que parece estar suposto em A¡istóteles, em Proclo e nos comentários sobre Aristó-teles é que as proposições geométricas podem

ær

ordenadæ em uma hierarquia; e era principalmente em seu uso a serviço de uma ciência ordenada da geometria que parecia residir a importância de um método de análise não-dedutivo. Sua tarefa seria a de siste-matizar o conhecimento geométrico e de coordenar resultados, fazendo proposições re-montarem a seus primeiros

princípios

_-

a aúomas ou definições, ou a algo

já

demons-trado.

Tendo

em

vista

o

extenso papel desempenhado pelas

idéiæ

geométricas nos

Anal{ticos

e, especialmente, na exposição que

al

é feita dos primeiros princfpios, é de

fato

posslvel que Aristóteles tivesse adotado dos geômetras do seu tempo essa concep-ção de uma ciência ordenada da geometria, como

um

modelo para a sua própria con-cepção

do

conhecimento

cientlfìco

em

geral.lr

Uma

zuposição ao menos razoável ê,

que os geôrñetras encaravam a funçlfo da análise primordialmente em relação ao ideal de reduzir a geometria a um sistema, e que a formulação que deram ao rnétodo,

tal

co-mo

chegou

a

Aristóteles,

refletia

principalmente sua

funçÍo

de reduzir

proposições geométricas a primeiros princlpios. E é essa funçâ'o gue os comentadores gregos enfati-zam em suas descrições de método. Tais descrições, juntamente _com as de Aristóteles e

de Proclo, fornecem evidências suficientes de que nâ'o é pelo

fato

de considerá-la de

ca-beça para baixo que Pappus descreve a análise como uma busca de proposições anterio-res; ele faz isso porque reproduz uma formulação reconhecida da análise geométrica, distinta daquela que é descrita em sua segunda descrição.

O

que não se faz presente nessas fontes é qualquer descriç[o da análise que corres-ponda à formulaçáo dedutiva de Pappus. Há uma passagem em Aristóteles cuja elucida-ção

tornaria

especialmente relevante uma

tal

descrição dos comentadores. Trata-se da passagem dos

Analfticos

Posteriores

(78a)

em que Aristóteles

afirma

que as proposi-ções matemáticas

sfo

mais comumente converslveis do que as proposições dialéticas, e que isso

torna

a análise mais

fácil

na matemática. Os comentadores explicam o termo análise, nesse

trecho, como

um

método

geométrico de descobrir as premissas a

par-tir

das quais se pode demonstrar, como conclusâ'o, uma proposição que se assume ver-dadeira (Themistius,

In

An.

Post.

l,

26,

lI.

224;

FrTopono,

In

An.

Post.

_I,

162,II.

16-28). Assim, eles aszumem que

aquilo

a que Aristóteles se refere é a andlise

geomé-trica; portanto,

a

àbordagem

que

esses comentadores adotam corresponde àquela da

11

,T

24

Norman GulleY

primeira prrte

dapassagem de Pappus, sem fazer menção a qualquer outra formulação

äo

metod'o

qrr.

,.j.

relevante pafa os casos em que as implicações sÍo reclprocas'

An'

tes de discutir

mais extensamente

,rrr,

.o.untários,

é

importante

considerar a rele-vância dessa passagem para a análise geométrica. AristÓteles afirma que, se premissas falsas nunca _fuaessem

1.u.,

.

conclusões verdadeiras, a análise

t:ti1

fá.:il,pois premis

sas e conClusões seriam, ness€ caso, inevitavelmente recfprocas. Após ilustrar esse

POn-to,.ele

afìrma que a reciprocidade de-premissas e

mática, pois nesta as premissas

slo

defìnições, e nu considerar

é

saber se

a

ilustração de Aristôteles

*pãn¿o,

talvez,uma formulaç'eo desse método como um procedimento dedutivo.

A

i-lustração é a segtinte:

ëott:7ùp

rò A

öv'

tol¡rou

ô'

ðr¡roc

raôl dorøi

ö

oiôa

&rt'

ëoiw;

olov

ròB'

èx

rolnav

d'pu

iellos

ör¿

èmtl

èxéívo'

Rossr2 afirma !lue, na presente passagem,

ù:*ldtew

significa

"a

análise de

um

proble-ma,

isto

é,

a

dãscobeJa de premissas que estabelecerÍo a verdade de uma conclusão que se deseja demonstrar". Elè

toma'4

como uma proposição que se assume verdadeira como conclus6o, e o movimento de

A

pa:.a

B

como um movimento da proposição para as premissas.

É

isso também o que

claramente

uma

ilustração de um se encontre algo conhecido como verdade se, que demonstra a verdade do pressupo so, é etrada. O

ponto

que AristÓteles des são s6o reclprocas, então, se a

partir

de ce

sÍo

que

se sabe verdadeira,

é

posslvel raciocin¿

prrrn'irr^r;

mas, quando

nfo

houver

tal

reciprocidade,

entfo

o fato de se encontrar uma conclusÍo verdadeira a

partir

de certas premissas não nos permite

inferir

a verdade des'

tas

últimas. De

fato,

se.á

acarreta

Ê,

"

n

é verdadeira,

disto

não se segue que

/

sejS

verdadeira, uma vez que conclusões verdadeiras podem decorrer,de premissas falsas.É

,4éapremissa,Bêaconclusao.PoisseBépremissae'4écÔnclusão'entãoseBéco-nhecida corno

verdad.i¿

ã

li.pri

caA,

entåo

A

deve ser verdadeira, quer a relação de

implicaçro

enfie

A

e

B

seja reclproca, quer ntto' De tes: 1a¡ é uma

ilustraçfo

perfeitamente adequada de tre

A

e.B

é recfproca se pode estar seguro de que as levante para a análise simplesmente

pelo fato

de qu

.á

impliãa

B,

e

B

é verdaåeira, enteo se pode estar certo de que as premissas s[o

verda-deiras desde que a relação entie

A

e

B

seja reclproca. Tanto Themistius quanto

Filopo-12

Aristotle's Prior and Post erior Analytic s' p. 594

ß

_{É precisamente dessa forma que} Ross explica o ponto de Aristóteles (ibid')' Todavia, ele acaba de argumentar que A é conclusão e

I

são premisas'

A

Análise Geométrica

Grega

25

no

parecem perceber que a

ilustraçÍo

pretende exemplificar (a), mas ao mesmo tempo

tentam

fazer dela uma ilustração da análise e da sfntese geométrica. Mas o exemplo de Aristóteles nâ'o pode, logicamente, ser empregado para

cumprir

essa dupla tarefa.

As-sim,

Themistius

explica

a

relativa

facilidade

da

análise geométrica dizendo

que,

en-quanto nos argumentos dialéticos (ôrdÀo7or)- em que

ëv|oþpode

compor as

premis-sas

_-

a busca de premissas para uma dada conclusÍo é àt

ùreþoc,

o

matemático, to-mando como premissas apenas

um

pequeno nrlmero de defìniçoes e propriedades, em-preende a sua busca dentro de

um

campo

limitado

e claramente

definido,

e, de fato, nunca adota,

por

premissa, algo que não seja verdadeíro. Na análise dialética, a

difìcul-dade reside no

fato

de que, desde que conclusões verdadeíras podem ser decorrentes de

premíssas falsas, nunca se pode estar seguro de que as premissas

nÍo

sejam falsas, pois estas

sfo

em nrlme¡o

indefinido

e se prestam

avárias

ambigüidades

(26,11,24-33).A

explicaçÍo

de

Filopono

é semelhante

(162,r.28-163,I

13). Em ambos os casos as ob-servações sfo precedidas de uma descrição da análise geométrica como processo de

des-coberta de premissas. Neste

ponto,

nÍo

fìca claro se a análise é tomada como uma

aná-lise

de .,4

ou

de ,8. Deve-se observar

que a distinção que

se estabelece entre análise matemática e análise dialética

nÍo

reside

nadireçlo,mas

entre a simplicidade e a com-plexidade dos campos de investigação. Em seguida,

Filopono

passa

alidar

isoladamente

de uma análise dedutiva, seguida de uma sfntese igualmente dedutiva.

Filopono

ainda está elucidando

o

ponto

de que, enquanto nos argumentos dialéticos â mesma

26

Norman GulleY

clusão, era aceita como uma formulação correta, independentemente de as implicaçÕes seram reclpropas ou não. É posslvel que a confusão existente nas observações torne im-provável

tal conclusÍo;no

entanto, vale mencionar que, tanto nos comentários sobre

u-ma

passagem

(Phys.

200a)

em que

se discute

um

caso de implicaçeo ndo reclproca, quanto naqueles relativos a. outra passagem (An. Post.78a), em que é discutido um ca' so de implicação reclproca, as formulaçöes que se

dÍo

à análise geométrica sÍo precisa-mente as mesmas. As conclusões a serem tiradas das observações do próprio Aristóteles nesta

rlltima

passagem são:

(I)

que Themistius e Filopono reconhecem a prdtica de uma

forma

de análise matemática em que as implicaçoes são recfprocas, e ainda que

muitls-simas proposições matemáticas são converslveis; eles zugerern, ao mesmo tempo,

leco'

nhecer

que

algumas delas

nlo

o

sâ'o;

(If

os dois comentadores

nfo

apresentam uma

formulaçÍo

de

um

método de análise geométrica em que a análise seja dedutiva. De

fa-to, nÍo

há qualquer evidência confiável que permita datar, mesmo aproximadamente, a

primeira

formulação desse

método.

Heath

(op.

cit.

p.137

n. 4) inclina-se a aceitar o

ponto

de

vista de

Heiberg, que

traça

a

origem das definições interpoladas

no

Livro

XIII

dos Elementos de Euclides a Hierão de Alexandria, possivelmente no século

I

d.C. Este

ponto

de vista se baseia na comparação daquelas definições com as definiçoes de Hier6o citadas por an-Nairizi, em seu comentário sobre Euclides (Curtze, p. 89). Os ter-mos

dísnlutio

e

compsítlb

da tradução

latina

parecem, de fato, equivaler aos termos gregos dzdÀuoß e oútfreotç, na acepçlo

geométricafa

no entanto, suas definições

dei-xam

muito

a desejar quanto à precisfo.

Até

onde se possa compará-las com outras des.

crições da análise, elas se assemelham mais de perto às abordagens oferecídas pelos co-mentadores gregos

de Aristóteles

do

que

à

descrição da análise dedutiva na segunda parte da passagem de Pappus. Elas nâ'o constituem argumento zuficiente para

atribuir

a

Hierão

a

autoria

das definições interpoladas em Euclides.

Tudo o

que se pode dizer

com

segurança sobre a formulação de um método dedutivo de análise geométrica é que

tal

formulaçlo

antecedeu a Pappus, e que Pappus dela

tinha

conhecimento. É extrema-mente improvável que a descrição em Pappus, como

método

dedutivo, represente $ra primeira formulação como

tal.

A

evidência que acabamos de considerar sugere fortemente que a descrição de Pap-pus da análise geométrica reproduz duas formulações diferentes do

método:uma,

que

o

descreve como um movimento ascendente, na direção de pressupostos anteriores dos quais se segue uma proposição

inicial

(I);

outra,

como um movimento descendente de

dedução,

partindo

de uma preszuposiçffo

inicial

(II),

E

(I) nfo

é equivalente a

(II)

para todos os casos de análise, nã'o obstante a possibilidade de

(I)

ter sido reconhecida como

uma

formulação correta do

método

cuja formulação é

(II).

Segue-se

dal,

como

já

vi-mos,

que a

descrição

(I)

de Pappus ndo se deve ao acidente de ele estar examinando

"de

cabeça para

baixo"

a análise dedutiva.

E,

como ele parece supor que

(t)

é

equiva-14 _{an-Nairizi, em}

seu comenùírio sobre

IV,

5ss., acrescenta uma análiæ da'demonstraçÍio (ver C\rrtze, pp. 145ss.) _-- em latim a solutlo

_-

como oposta à demonstração sintética encontraada

A

Andlise Geométrica

Grega

_2l

lente

a

(II)

para todos os casos de análise, segue-se que as inconsistências aparentes de seu relato decorrem símplesmente da mconsistência dessa suposição. Escapou a Pappus que

(I)

é uma formulação correta para os casos em que

(II)

é uma

formulaçfo

incor-reta.

A

própria forma

de sua descrição sugere que esta é composta de duas descrições distintas do método.

A

uma afirmativa inicíal, de que a análise é uma passagem através das sucessivas conseqüências

de

uma _{pressuposição, seguem-se duas descrições, a} pri-meira mais geral e a segunda dividindo-se em análise teórica e aná.lise problemática.

Ca-da descrição é perfeitamente _{auto-consistente. De acordo com a primeira, a análise é} u-ma resolução ascendente, que

percorre

a uma pressuposiçâ'o

inicial

até que se alcance algo

conhecid

como primeiro prin_

c{pio

(r&lw

ù.pyfic

ëyov).

A slntese

descrita

como

um processo de deduçã'o que parte do

rlltimo

passo da análise, dispondo em sua ordem

na-tural (xarù

gúout) os conseqüentes que antes eram antecedentes

(rd

npønoln¡ata).De

acordo com a segunda descriçlfo, a análise é dedutiva; diz-se simplesmente, então, que a

demonstração (dzrdôectcs) é o inverso da análise. No entanto, com respeito ao desfecho

da

análise,

a primeira

descriçf,o

diz

apenas que,

tendo

sido encontrado

um primeiro

princfpio

ou algo

já

conhecido, se deve proceder dedutivamente até chegar, fìnalmente, à construção

do

que era procurado; a segunda descriçÍo,

por

outro lado, apresenta

co-mo

rezultado do

método

aquilo que nem sempre poderia resultar logicamente da apli-caçã'o

do

métôdo

(I).

A

segunda descrição aftrma que, se na análise se encontra algo re-conhecidamente falso

ou

imposslvel, então o que se procura é falso, ou o problema in-sol(rvel. Mas, naturalmente, esta conseqüência

ttlo

é necessaiamente verdadeira para os

casos

em que

as implicações não são recíprocas, tendo em vista que premissas falsæ podem dar origem a conclusões verdadeiras. Robinson usa esse aspecto como

argumen-to

em favor da concepção de que a reciprocidade é uma condiçâ'o do método, funda-mentando-se em que, de

outra

forma, Pappus estaria cometendo

um

equfvoco lógico ao

formular

a conseqüência acima. Há, no entanto, uma explicação alternativa: confor-me todas as outras _{evidências sugerem, Pappus apresenta duas formas distíntas} do mé-todo,.sem gue as inferências lógicas que podem ser extrafdas da conclucão da análise sejam sempre as mesmas para cada forma. É sem dúvida significativo que as inferências que Pappus apresenta como logicamente decorrentes da aplicação de cada um dos mé-todos sejam exatamente aquelas que sÍo permisslveis para ambas as formas. Isso, a meu ver,

constitui

confirmaçâ'o adicional de que ele está tratando de duas abordagens distin-tas da análise. Finalmente, vale a pena assinalar que, com respeito a essas inferências

ló-gicas, todas as outras abordagens que _{apresentam a análise} geométrica como busca de proposições antecedpntes afirmam o mesmo que o

próprio

Pappus diz na primeira

par-te

da passagem; tais abordagens jamais pretendem que, da falsidade da conclusão da

a-nálise, se possa

inferir

a falsidade da pressuposiçâ-o original.

Tradução de