Mergulhos livres isométricos de variedades compactas em Rsn+4n+5

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(1)´ MERGULHOS LIVRES ISOMETRICOS DE VARIEDADES COMPACTAS EM Rsn +4n+5. MARCOS GRILO ROSA. Orientador: Francisco Brito Co-Orientador: Pedro Ontaneda. Disserta¸c˜ ao apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Matemática..

(2) Para meu denguinho, Quei. i.

(3) Resumo Saber em que condi¸c˜ oes pode-se imergir ou mergulhar uma variedade em algum espa¸co euclideano foi um problema que ficou em aberto por um bom tempo. Em 1936, Whitney provou que qualquer variedade de Hausdorff e com base enumer´ avel n-dimensional C ∞ V pode ser imersa em R2n e mergulhada em R2n+1 . Se V não tem componentes fechadas, este resultado pode ser refinado para 2n − 1 no caso das imersões e para 2n no caso dos mergulhos. Em 1954, John Nash provou, em seu artigo intitulado C 1 Isometric Imbeddings, que qualquer variedade riemanniana n-dimensional tem uma imersão isométrica C 1 em R2n e um mergulho isométrico C 1 em R2n+1 . Dois anos depois, o mesmo Nash provou, em seu artigo intitulado The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds que qualquer variedade n(n+1) compacta riemanniana C k tem um mergulho isométrico C k em R3 2 +4n , para 3 ≤ k ≤ ∞. Nesta disserta¸c˜ ao apresentaremos uma vers˜ ao para aplica¸cões livres do Teorema de Nash sobre mergulhos isométricos de variedades compactas C ∞ (C a ) em Rq . Esta vers˜ ao encontra-se no artigo Embeddings and Dimensions in Riemannian Geometry publicado originalmente em russo por Gromov e Rokhlin. Eles provaram que toda variedade riemanniana compacta C ∞ (C a ) pode ser mergulhada livre e isometricamente em R. n(n+1) +4n+5 2. .. Palavras-Chave: Variedades Riemannianas, Aplica¸c˜ oes Livres, Mergulhos Livres, Fibrados Vetoriais, Conjuntos Diferenciais.. ii.

(4) ABSTRACT To know where conditions can be immersed or be embedded a manifold in some euclideano space was a problem that was in open for a good time. In 1936, Whitney proved that any manifold of Hausdorff and with enumerable base n-dimensional C 1 V can be immersed in R2n and embedded in R2n+1 . If V does not have closed components, this result can be fine for 2n − 1 in the case of the immersions and for 2n in the case of the embeddings. In 1954, John Nash proved, in its intitled article C 1 Isometric Imbeddings, that any n-dimensional riemanniana manifold has a isometric immersion C 1 in R2n and a isometric embedding C 1 in R2n+1 . Two years later, the same Nash proved, in its intitled article The Imbedding Problem will be Riemannian Manifolds that any compact manifold riemanniana C k has n(n+1) a isometric embedding C k in R3 2 +4n , for 3 ≤ k ≤ ∞. In this disserta¸cão we will present a version for free applications of the theorem of Nash on isometric embeddings of compact manifolds C 1 (C a ) in Rq . This version originally meets in the article Embeddings and Dimensions in Riemannian Geometry published in russian for Gromov and Rokhlin. They had proved that all compact riemanniana mann(n+1) ifold C 1 (C a ) can be embedding free and isometrically in R 2 +4n+5 . Key Works: Riemannian Manifolds, Free Function, Free Embedding, Fibres, Diferential Sets.. iii.

(5) Agradecimentos. Agrade¸co a Deus, por tudo. Ao professor Francisco Brito, pela paciência, prestatividade, orienta¸cão precisa e segura. Muito obrigado, mesmo. Ao professor Pedro Ontaneda pela idéia inicial, assistência e muito mais. A Tânia, sempre prestativa. Ao Professor Carloman Carlos Borges, pelo apoio. Aos professores Haroldo Benatti e Maria Hildete, grandes incentivadores. Ao grande camarada Aldi, com sua seriedade inconfund´ıvel. A minha fam´ılia, meu pai, minha mãe, meus irmãos e o grande Dick. A Dona Noêmia e Seu João. A todos aqueles que não lembro o nome agora. Em especial, a minha Jaqueline, por estar ao meu lado esse tempo todo.. iv.

(6) Conte´ udo 1 MERGULHOS LIVRES 3 1.1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ˆ ˜ 1.2 EXISTENCIA DE SEC ¸ OES . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ˜ 1.3 APLICAC ¸ OES LIVRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 CONJUNTOS DIFERENCIAIS 21 ´ 2.1 CONJUNTOS ALGEBRICOS . . . . . . . . . . . . . . . 21 ˆ ˜ 2.2 EXISTENCIA DE SOLUC ¸ OES DE CONJUNTOS DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ´ 3 MERGULHOS LIVRES ISOMETRICOS ´ ˜ 3.1 MERGULHOS ISOMETRICOS EM DIMENSOES SUFICIENTEMENTE ALTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.2 MERGULHOS LIVRES LOCAIS ISOMETRICOS EM sn +n R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3 MERGULHOS LIVRES ISOMETRICOS EM Rsn +4n+5. 33. ˆ REFERENCIAS. 52. v. 33 39 48.

(7) ´ PREFACIO Saber em que condi¸cões pode-se imergir ou mergulhar uma variedade em algum espa¸co euclideano foi um problema que ficou em aberto por um bom tempo. Em 1936, Whitney provou que qualquer variedade de Hausdorff e com base enumerável n-dimensional C ∞ V pode ser imersa em R2n e mergulhada em R2n+1 . Se V não tem componentes fechadas, este resultado pode ser refinado para 2n − 1 no caso das imersões e para 2n no caso dos mergulhos. Além disso, se n não é uma potência de 2, qualquer variedade (de Hausdorff e com base enumerável) n-dimensional C ∞ pode ser mergulhada em R2n−1 . Em 1954, John Nash provou, em seu artigo intitulado C 1 Isometric Imbeddings, que qualquer variedade riemanniana n-dimensional tem uma imersão isométrica C 1 em R2n e um mergulho isométrico C 1 em R2n+1 . Dois anos depois, o mesmo Nash provou, em seu artigo intitulado The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds que qualquer variedade compacta riemanniana C k n(n+1) tem um mergulho isométrico C k em R3 2 +4n , para 3 ≤ k ≤ ∞. Nesta disserta¸caõ apresentaremos uma versão para aplica¸cões livres do Teorema de Nash sobre mergulhos isométricos de variedades compactas C ∞ (C a ) em Rq . Esta versão encontra-se no artigo Embeddings and Dimensions in Riemannian Geometry publicado originalmente em russo por Gromov e Rokhlin. Eles provaram que toda variedade riemanniana compacta C ∞ (C a ) pode ser n(n+1) mergulhada livre e isometricamente em R 2 +4n+5 . Nos cap´ıtulos 1 e 2, as variedades não são necessariamente riemannianas. Na se¸cão 1.1, apresentamos algumas defini¸cões básicas e fixamos nota¸co˜es e terminologias. Fibrado vetoriais e se¸co˜es estão presentes em toda a disserta¸caõ. Resultados sobre existência de se¸co˜es aparecem na se¸cão 1.2. Estes resultados serão utilizados, posteriormente, para demonstrar a existência de solu¸co˜es unit’arias de conjuntos algébricos. Na se¸caõ 1.3, apresentamos a defini¸caõ de aplica¸caõ livre e provamos a existência de mergulhos livres (não n(n+1) necessariamente isométricos) de variedades n-dimensionais em R 2 . No cap´ıtulo 2 lidamos com conjuntos diferenciais. Na se¸caõ 2.1 a idéia fundamental é construir subfibrados a partir de conjuntos algébricos. Com isso, podemos relacionar as solu¸cões de um conjunto algébrico com se¸co˜es do sub1.

(8) fibrado associado (ao conjunto algébrico). Logo, a existência de solu¸co˜es de conjuntos algébricos remete a existência de se¸cões do subfibrado associado. Os resultados provados na se¸caõ 2.1 são consequências dos resultados da se¸caõ 1.2. Na se¸cão 2.2 estabelecemos proposi¸cões que garantem a existência e a unicidade de solu¸cões de conjuntos diferenciais. Utilizamos um importante resultado em Equa¸co˜es Diferenciais Parciais: o Teorema de Cauchy-Kowalewsky. No cap´ıtulo 3 as variedades são admitidas riemannianas. Na se¸cão 3.1, mostramos que qualquer variedade compacta pode ser mergulhada isometricamente em Rq , para q suficientemente grande. Destacamos a utiliza¸caõ do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita de Nash. Na se¸caõ 3.2, estabelecemos a dimensão m´ınima para que haja mergulhos locais livres locais isométricos de variedades riemannianas compactas em espa¸cos euclideanos. Destacamos a utiliza¸caõ do Lema de Janet juntamente com os resultados da se¸caõ 2.2 que garantem existem de solu¸co˜es de conjuntos diferenciais. Na u ´ltima se¸cão, a 3.3, provamos o principal resultado desta disserta¸cão. Recife, Janeiro de 2004. 2.

(9) 1. MERGULHOS LIVRES. Neste cap´ıtulo fixaremos nota¸co˜es e terminologias assim como, apresentaremos defini¸co˜es e alguns resultados que serão utilizados na demonstra¸caõ do teorema para mergulhos livres.. 1.1. PRELIMINARES. Assumiremos conhecido o conceito de fun¸caõ C ∞ (ou C ∞ -fun¸cão) f : Rm → Rn . Uma fun¸cão C ∞ f : Rm → R é anal´ıtica em a = (a1 , . . . , am ) se puder ser definida exatamente por sua série de Taylor em alguma vizinhan¸ca Ua contendo a, isto é, f (x) =. ∞ X i1 ,...,im. 1 ∂ i1 +...+im f (a1 , . . . , am ) (x1 − a1 )i1 . . . (xm − am )im i1 im i ! . . . i ! ∂x . . . ∂x m 1 m =0 1. onde x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Ua . Uma fun¸caõ C ∞ f : Rm → Rn , f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) é anal´ıtica em a = (a1 , . . . , am ) se cada fun¸cão coordenada fi é anal´ıtica. Usaremos a nota¸caõ fun¸caõ C a (ou C a -fun¸caõ) para referirmos a fun¸co˜es anal´ıticas. Defini¸c˜ ao 1.1.1 Um conjunto V é uma variedade n-dimensional se for um espa¸co topol´ ogico de Hausdorff com uma base enumerável e que satisfaz a seguinte condi¸c˜ ao: i) Para todo p ∈ V , existem uma vizinhan¸ca U de p e um homeomorfismo x : U → W , onde W é um aberto de Rn . Defini¸c˜ ao 1.1.2 Uma estrutura diferenci´ avel C ∞ (C a ) sobre uma variedade n-dimensional V é uma fam´ılia {(xα , Uα )}α∈A de aplica¸c˜ oes C ∞ (C a ) xα : Uα ⊂ V → Wα ⊂ Rn , com Uα aberto de V e Wα aberto de Rn , tal que: S i) α∈A Uα = V ; −1 e ii) Para todo α, β tal que Uα ∩ Uβ 6= ∅, xα ◦ x−1 β : xβ (Uα ∩ Uβ ) → Wα ´ ∞ a C (C );. iii) A fam´ılia {(xα , Uα )}α∈A é maximal relativamente às condi¸c˜ oes i) e ii). 3.

(10) Defini¸c˜ ao 1.1.3 Uma variedade C ∞ (C a ) (ou C ∞ (C a )-variedade) é uma variedade com estrutura diferenci´ avel C ∞ (C a ). Se p ∈ Uα então o par (xα , Uα ) é uma parametriza¸cão de p e chamaremos xα (p) = (x1 , . . . , xn ) de coordenadas do ponto p. Sejam V1 e V2 variedades C ∞ (C a ), m e n-dimensionais respectivamente. Uma aplica¸caõ f : V1 → V2 é C ∞ (C a ) se para cada p ∈ V1 , dada uma parametriza¸cão (yα , Wα ) de f (p), existe uma parametriza¸cão (xα , Uα ) de p tal que yα ◦f ◦x−1 e C ∞ (C a ) em x−1 α ´ α (p). Defini¸c˜ ao 1.1.4 Sejam V variedade C ∞ n-dimensional e C ∞ (p) o conjunto de fun¸c˜ oes C ∞ definidas em algum aberto que contém p ∈ V . Definimos o espa¸co Tp V tangente a V no ponto p ∈ V , o conjunto constitu´ıdo de todas as aplica¸c˜ oes Xp : C ∞ (p) → R que satisfazem para quaisquer α, β ∈ R, ∞ f, g ∈ C (p) as seguintes condi¸c˜ oes: i) Xp (αf + βg) = α(Xp f ) + β(Xp g); ii) Xp (f g) = (Xp f )g(p) + f (p)(Xp g); iii) (Xp + Yp )f = Xp f + Yp f ; iv) (αXp )f = α(Xp f ). Um vetor tangente a V em p é qualquer fun¸caõ Xp ∈ Tp V . O espa¸co tangente Tp V possui uma estrutura de espa¸co vetorial n-dimensional e dada uma parametriza¸cão (x, U ), com x(p) = (x1 (p), . . . , xn (p)), p ∈ U , o conjunto { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } é uma base para Tp V que independe da parametriza¸caõ (x, U ). Defini¸c˜ ao 1.1.5 Sejam V1 e V2 variedades C ∞ (C a ) e f : V1 → V2 uma aplica¸c˜ ao C ∞ (C a ). Para cada p ∈ V1 e v ∈ Tp V1 , escolha uma curva C ∞ (C a ) α : (−², ²) → V1 , com α(0) = p, α0 (0) = v. A diferencial de f no ponto p é a aplica¸c˜ ao dp f : Tp V1 → Tf (p) V2 definida por dp f (v) = β 0 (0), onde β = f ◦ α. A aplica¸caõ dp f é linear e não depende da escolha de α. Uma aplica¸caõ C ∞ (C a ) f : V1 → V2 é uma imersão C ∞ (C a ) se dp f : Tp V1 → Tf (p) V2 é injetiva para todo p ∈ V1 . Se a imersão C ∞ (C a ) f é um homeomorfismo então f é um mergulho C ∞ (C a ) e seu conjunto imagem f (V1 ) é denominado subvariedade C ∞ (C a ) de V2 .. 4.

(11) Uma métrica riemanniana C ∞ (C a ) g sobre uma variedade C ∞ (C a ) V é uma forma diferencial quadrática positiva C ∞ (C a ) definida sobre V , isto é, g é uma fun¸cão C ∞ (C a ) que associa a cada ponto da variedade V uma forma quadrática definida em Tp V . Usaremos, quando necessário, a nota¸caõ gp para indicar a forma quadrática definida em Tp V . Lembramos que dada uma forma quadrática Q podemos definir uma forma bilinear simétrica. Dado p ∈ V , sejam (x, U ) uma parametriza¸cão de p, com coordenadas x(p) = (x1 , . . . , xn ) e { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } uma base para Tp V . As fun¸cões gij (x1 , . . . , xn ) = h ∂x∂ i (p), ∂x∂ j (p)i, 1 ≤ i, j ≤ n são chamadas de expressão da métrica riemanniana na parametriza¸cão (x, U ). Uma variedade riemanniana C ∞ (C a ) é uma variedade C ∞ (C a ) com uma métrica riemanniana. Seja f : V1 → V2 , um mergulho C ∞ (C a ), com V1 , V2 variedades C ∞ (C a ). Sendo g métrica em V2 , denotaremos por g(f ) a métrica em V1 induzida por f definida por: g(f )(v) = g(dp f (v)) para quaisquer v ∈ Tp V1 , p ∈ V1 . Suponhamos que V1 e V2 possuam métricas g1 e g2 respectivamente. Um difeomorfismo f : V1 → V2 é uma isometria se: g1 (v) = g2 (dp f (v)) para quaisquer v ∈ Tp V1 e p ∈ V1 . Uma fam´ılia de abertos {Uα }α∈A tal que. [. Uα = V é denominada cober-. α∈A. tura de V . Uma cobertura {Uα }α∈A é localmente finita se a interse¸caõ de qualquer subfam´ılia infinita é vazia. O suporte de uma fun¸caõ f : V → R é o fecho do conjunto de pontos p ∈ V para os quais f (p) = 6 0, isto é, supp(f ) = {p ∈ V ; f (p) 6= 0}. ao da unidade C ∞ é uma cole¸c˜ ao de fun¸c˜ oes Defini¸c˜ ao 1.1.6 Uma parti¸c˜ ∞ ∞ C {λi : V → R}i∈N definidas sobre uma variedade C V tal que: i) λi (p) ≥ 0, para todo p ∈ V ; 5.

(12) ii) {supp(λi )}i∈N forma uma cobertura localmente finita de V ; iii). ∞ X. λi (p) = 1, para todo p ∈ V .. i=1. Lembramos que dada uma cobertura aberta {Uα } de uma variedade C ∞ (C a ) existe uma parti¸caõ de unidade da variedade subordinada a {Uα }. Além disso, em toda variedade C ∞ (C a ) é poss´ıvel definir uma métrica riemanniana. Defini¸c˜ ao 1.1.7 Sejam V , B variedades C ∞ e π : V → B uma aplica¸c˜ ao ∞ C . A tripla (V, B, π) é um fibrado vetorial C ∞ q-dimensional se: i) Para todo b ∈ B, π −1 (b) é um espa¸co vetorial real q-dimensional; ii) Para todo b ∈ B, existem uma vizinhan¸ca U de b e um difeomorfismo C ∞ ϕ : π −1 (U ) → U × Rq tal que a restri¸c˜ ao p ◦ ϕ|π−1 (b) é um isomorfismo linear, onde p é a proje¸c˜ ao canˆ onica de U × Rq sobre Rq . Chamaremos V de variedade total, B de base do fibrado, π de proje¸caõ e π −1 (b) de fibra sobre o ponto b. Evidentemente que podemos definir fibrado vetorial C a . Neste caso, a variedade total V e a base do fibrado B são variedades de classe C a , o mesmo valendo para a aplica¸caõ proje¸caõ π e o difeomorfismo ϕ. Um fibrado vetorial C ∞ (C a ) q-dimensional (V, B, π) é euclideano se existe uma fun¸cão h, i : V → R tal que h, i é um produto interno sobre cada fibra π −1 (b), b ∈ B. Exemplo 1.1.1 Constru¸c˜ ao do fibrado trivial. Seja B uma variedade C ∞ (C a ) n-dimensional. Dado b ∈ B, o produto {b} × Rq tem uma estrutura de espa¸co vetorial. De fato, basta definirmos as opera¸co˜es: i) (b, v) ⊕ (b, w) = (b, v + w); ii) λ ¯ (b, v) = (b, λ · v).. 6.

(13) Verifiquemos que (B × Rq , B, π) é de fato um fibrado vetorial C ∞ (C a ) q - dimensional, onde π é a proje¸cão do produto B × Rq sobre o primeiro fator. Notemos que, para todo b ∈ B, π −1 (b) = {b} × Rq e como já foi dito anteriormente, ({b} × Rq , ⊕, ¯) tem estrutura de espa¸co vetorial q-dimensional. Além disso, para todo b ∈ B, podemos tomar uma vizinhan¸ca U de b e a aplica¸caõ identidade i : π −1 (U )→U × Rq , já que π −1 (U ) = U × Rq . Sendo p : U × Rq → Rq a proje¸cão usual, p◦i |π−1 (b) : π −1 (b) = {b} × Rq → Rq é um isomorfismo linear, pois p◦i(b, v) = v. O fibrado (B × Rq , B, π) é chamado de fibrado trivial. Exemplo 1.1.2 Constru¸c˜ ao do fibrado tangente. Sejam V uma variedade C ∞ (C a ) n-dimensional e Tp V o espa¸co tangente no ponto p ∈ V . Seja T (V ) = {(p, v); p ∈ V, v ∈ Tp V } que possui uma estrutura diferenciável 2n-dimensional. De fato, dado um ponto (p, v) ∈ T (V ), podemos tomar como coordenadas deste ponto (x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn ), onde (x1 , . . . , xn ) são as coordenadas de p ∈ V e (v1 , . . . , vn ) as coordenadas de v ∈ Tp (V ) na base { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n }. Seja π : T (V ) → V a proje¸cão canônica, π(p, v) = p. A tripla (T (V ), V, π) é um fibrado vetorial C ∞ (C a ) n-dimensional pois dado p ∈ V , π −1 (p) = Tp V é um espa¸co vetorial n-dimensional. Além disso, sejam p ∈ V e U vizinhan¸ca de p. Podemos definir a aplica¸caõ identidade de π −1 (U ) em U ×Rn desde que identifiquemos Tp V ' Rn . Além disso, p ◦ ϕ|π−1 (p) é um isomorfismo linear. O fibrado (T (V ), V, π) é chamado de fibrado tangente sobre V . Exemplo 1.1.3 Outro exemplo de fibrado. Sejam V variedade n-dimensional e Qp (V ) o conjunto das formas quadráticas definidas sobre Tp V . O conjunto Qp (V ) tem estrutura de espa¸co vetorial sn dimensional, onde sn = n(n+1) . A união Q(V ) de todos os espa¸cos Qp (V ) tem 2 ∞ a estrutura natural C (C ). Podemos definir o fibrado vetorial sn -dimensional C ∞ (C a ) (Q(V ), V, π), onde π projeta uma forma quadrática em Qp (V ) no ponto p ∈ V .. 7.

(14) Defini¸c˜ ao 1.1.8 Seja (V, B, π) fibrado vetorial C ∞ (C a ) q-dimensional. Uma se¸c˜ ao deste fibrado é uma aplica¸c˜ ao s : B → V cont´ınua tal que s ◦ π(v) = v, para todo v ∈ V . Isto equivale a afirmar que s(b) ∈ π −1 (b), para todo b ∈ B. Uma se¸cão s : B → V é de classe C ∞ (C a ) se s for uma aplica¸cão C ∞ (C a ). Podemos também, definir se¸cões parciais, que são se¸cões definidas sobre subvariedades de B. Um fato interessante é a existência de uma correspondência injetiva entre se¸co˜es de um fibrado trivial (B × Rq , B, π) e as aplica¸cões cont´ınuas f : B → Rq . De fato, sendo C 0 (B, Rq ) o conjunto das aplica¸cões cont´ınuas de B → Rq e S(B, B × Rq ) o conjunto das se¸co˜es do fibrado trivial (B × Rq , B, π), definimos: s : C 0 (B, Rq ) → S(B, B × Rq ) f. 7→. s(f ). ´ claro que s(f ) é uma se¸cão pois suas fun¸co˜es onde s(f )(b) = (b, f (b)). E ´ coordenadas são cont´ınuas. Diremos que f e s(f ) são associadas entre si. E ∞ a ∞ a claro que se f é de classe C (C ) então s(f ) também é de classe C (C ) e a rec´ıproca também é verdadeira. oes. Exemplo 1.1.4 Exemplo de se¸c˜ No exemplo 1.1.3, pode-se perceber que se V é uma variedade riemanniana, sua métrica g é uma se¸caõ de (Q(V ), V, π). De fato, basta lembrar que g associa a cada ponto p ∈ V uma forma quadrática em Tp V . O mesmo vale para (df )2 : V → Q(V ), onde df (p) = dp f e f : V → R. Defini¸c˜ ao 1.1.9 Seja (V, B, π) um fibrado vetorial C ∞ (C a ) q-dimensional e suponha que toda fibra π −1 (b) contém uma subvariedade Fb k-dimensional. O conjunto {Fb }b∈B é um subfibrado k-dimensional do fibrado (V, B, π) se em todo ponto b ∈ B, existem uma vizinhan¸ca Ub de b e um difeomorfismo C ∞ (C a ) ϕ : π −1 (Ub ) → Ub × π −1 (b) tais que para qualquer ponto b0 ∈ Ub : i) A fibra π −1 (b0 ) ⊂ π −1 (Ub ) é aplicada por ϕ sobre b0 × π −1 (b); ii) A subvariedade Fb0 é aplicada por ϕ sobre b0 × Fb . 8.

(15) Cada subvariedade Fb é chamada de fibra S sobre o subfibrado {Fb }b∈B . A união de todas as fibras sobre o subfibrado b∈B Fb é chamada de variedade total do subfibrado. Um subfibrado é vetorial se cada fibra Fb é um subespa¸co vetorial de π −1 (b). Exemplo 1.1.5 Exemplo de subfibrado. Sejam (B × Rq , B, π) fibrado trivial C ∞ (C a ) e F subvariedade k-dimensional C ∞ (C a ) de Rq . O conjunto {Fb = {b}×F }b∈B é um subfibrado k-dimensional C ∞ (C a ). Podemos definir se¸caõ (se¸caõ parcial) de maneira análoga para subfibrados desde que a imagem da se¸cão (se¸ Scão parcial) esteja contida na variedade total do subfibrado, isto é, s : B → b∈B Fb é se¸cão (se¸cão parcial) se for cont´ınua e se s(b) ∈ Fb ⊂ π −1 (b) (s|B0 ⊂B ). Sendo E um espa¸co vetorial real, um subconjunto A ⊂ E é um subespa¸co afim se para quaisquer vetores x, y ∈ A, o conjunto R = {(1− t)x+ty; t ∈ R} está contido em A. Lembramos que todo subespa¸co afim de E é um subespa¸co vetorial transladado. Defini¸c˜ ao 1.1.10 Seja (V, B, π) um fibrado vetorial C ∞ (C α ). Um subfibrado {Fb }b∈B é afim se para todo b ∈ B, a fibra Fb é um subespa¸co afim do espa¸co vetorial π −1 (b). Se o fibrado vetorial (V, B, π) é euclideano, então todo subfibrado afim {Fb }b∈B tem uma se¸caõ m´ınima s0 , no sentido que dada uma se¸cão s, ||s0 (b)|| ≤ ||s(b)||, para todo b ∈ B, onde ||v||2 = hv, vi. De fato, Fb é um subespa¸co do espa¸co vetorial real q-dimensional π −1 (b). Logo, podemos escrevê-lo na forma Fb = Wb + k, onde Wb é um subespa¸co vetorial r-dimensional, r ≤ q, e k é um vetor fixo de Fb . Seja β = {w1 , . . . , wr } uma base ortogonal de Wb . Definiremos s0 (b) pela equa¸cão: r X hk, wi i s0 (b) = k − wi hwi , wi i i=1. 9.

(16) Este é o ponto mais próximo do vetor nulo, pois, dados c1 , . . . , cr ∈ R temos que ||k −. r X i=1. = ||k −. r X i=1. ci wi ||2 = ||k −. r r X X hk, wi i hk, wi i wi − (ci − )wi ||2 = hw , w i hw , w i i i i i i=1 i=1 r. r. X X hk, wi i hk, wi iwi hk, wi i wi ||2 + || (ci − )wi ||2 ≥ ||k − wi ||2 hwi , wi i hw , w i hw , w i i i i i i=1 i=1. Na segunda igualdade usamos o fato de que k − a cada wi . A se¸caõ s0 é de classe C ∞ (C a ).. r X hk, wi iwi i=1. hwi , wi i. wi é ortogonal. Defini¸c˜ ao 1.1.11 Seja (V, B, π) um fibrado vetorial euclideano C ∞ (C a ). Um subfibrado {Eb }b∈B é esférico se para todo b ∈ B, cada fibra Eb é uma esfera contida em algum subespa¸co afim do espa¸co euclideano π −1 (b). Seja {Fb }b∈B um subfibrado afim [ do fibrado euclideano (V, B, π). Suponha Fb satisfa¸ca a desigualdade hs0 (b), s0 (b)i < que sua se¸caõ m´ınima s0 : B → b∈B. 1, para todo b ∈ B. Sejam Sb a esfera unitária de π −1 (b) e Eb = Fb ∩ Sb . Cada Eb é uma esfera unitária contida no subespa¸co afim Fb . O conjunto de todas as esferas Eb constitui o subfibrado esférico {Eb }b∈B . Seja C r (V1 , V2 ) o conjunto das fun¸cões C r f : V1 → V2 , com V1 e V2 variedades C r , r = 1, . . . , ∞, incluindo também o caso anal´ıtico. Sejam, φ = {φi , Ui }i∈A uma fam´ılia de cartas sobre V1 localmente finita; K = {Ki }i∈A fam´ılia de subconjuntos compactos de V1 , com Ki ⊂ Ui ; ψ = {ψi , Ui }i∈A fam´ılia de cartas sobre V2 ; ² = {²i }i∈A fam´ılia de n´ umeros positivos. Sendo f ∈ C r (V1 , V2 ), com f (Ki ) ⊂ Vi , vamos definir N (f ; φ, ψ, K, ²) = {g ∈ C r (V1 , V2 ); −1 k g(Ki ) ⊂ Vi , ||Dk (ψi f φ−1 i )(x)−D (ψi gφi )(x)|| < ²i , ∀x ∈ φi (Ki ), k = 0, . . . , r}. onde Dk representa a derivada de ordem k. 10.

(17) Defini¸c˜ ao 1.1.12 Chamaremos N (f ; φ, ψ, K, ²) de vizinhan¸ca C r forte de f . A topologia gerada por vizinhan¸cas C r fortes é chamada de topologia C r forte. De maneira análoga, podemos definir topologia C r forte para o conjunto das métricas definidas em uma variedade V C r . Defini¸c˜ ao 1.1.13 Sejam B ⊂ W subvariedade de uma variedade C ∞ (C a ) W e (V, B, π) fibrado vetorial C ∞ (C a ). Suponhamos que f : V → W é um mergulho C ∞ (C a ) que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: i) ∀y ∈ f (V ) ∩ B, s(y) = 0 ∈ π −1 (y), onde s : B → V é uma se¸c˜ ao; ii) f (V ) é uma vizinhan¸ca aberta de B em W . Diremos então que o par (f, (V, B, π)) é uma vizinhan¸ca tubular de B. Por abuso de linguagem, diremos apenas que f (V ) é uma vizinhan¸ca tubular de B. Os seguintes teoremas topológicos serão utilizados: Teorema 1.1.1 (Teorema de Aproxima¸ c˜ ao de Whitney) Sejam V1 , V2 , variedades n e k-dimensionais, respectivamente, k ≥ 2n. Toda aplica¸c˜ ao C ∞ ∞ ∞ f : V1 → V2 pode ser C aproximada por imersões C . Teorema 1.1.2 (Teorema do Mergulho de Whitney) Toda variedade ndimensional C ∞ pode ser C ∞ -imersa em Rq , q ≥ 2n e C ∞ -mergulhada em Rq , q ≥ 2n + 1. Este teorema pode ser refinado para 2n − 1 no caso das imersões e para 2n no caso dos mergulhos. Além disso, se n não é uma potência de 2, qualquer variedade n-dimensional C ∞ pode ser mergulhada em R2n−1 . Teorema 1.1.3 Toda variedade n-dimensional C ∞ sem componentes fechadas pode ser C ∞ -mergulhada em Rq , q ≥ 2n − 1.. 11.

(18) 1.2. ˆ ˜ EXISTENCIA DE SEC ¸ OES. Nesta se¸cão apresentaremos resultados importantes sobre existência de se¸co˜es. Tais resultados serão utilizados para garantir a existência de solu¸cões de conjuntos algébricos. Proposi¸c˜ ao 1.2.1 Toda se¸c˜ ao de um subfibrado de um fibrado vetorial C ∞ com base compacta pode ser C 0 -aproximada por se¸c˜ oes C ∞ deste subfibrado. Proposi¸c˜ ao 1.2.2 Toda se¸c˜ ao C ∞ de um subfibrado de um fibrado vetorial C a com base compacta pode ser C a -aproximada por se¸c˜ oes C a deste subfibrado. As demonstra¸cões destas duas proposi¸cões podem ser encontradas em Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, página 25, [7]. Agora apresentaremos mais duas proposi¸co˜es sobre a existência de se¸cões. Proposi¸c˜ ao 1.2.3 Seja (V, B, π) um fibrado vetorial C ∞ (C a ). Para qualquer subfibrado {Fb }b∈B de (V, B, π) e para quaisquer pontos b0 ∈ B e s0 ∈ Fb0 , existe uma vizinhan¸ca Ub0 de b0 e uma se¸c˜ ao parcial C ∞ (C a ) s : Ub0 → V do subfibrado {Fb }b∈B tal que s(b0 ) = s0 . Demonstra¸c˜ ao. Da defini¸cão de subfibrado, dado um ponto b0 ∈ B, existem uma vizinhan¸ca Ub0 de b0 e difeomorfismo C ∞ (C a ) ϕ : π −1 (Ub0 ) → U × π −1 (b0 ). Defina ϕ−1. f. s : Ub0 → Ub0 × {0} → π −1 (Ub0 ) ⊂ V b 7→ f (b) = (b, 0) 7→ s(b) = ϕ−1 (b, 0) Observe que s é uma se¸cão parcial C ∞ (C a ), pois s é cont´ınua e pela defini¸cão 1.1.9, s(b) ∈ Fb . cqd Proposi¸c˜ ao 1.2.4 Seja (V, B, π) um fibrado vetorial C ∞ (C a ), com B variedade compacta n-dimensional. Então todo subfibrado k-dimensional {Fb }b∈B , k ≥ n, tem uma se¸c˜ ao C ∞ (C a ). Se B n˜ ao tem componentes fechadas então a proposi¸c˜ ao é verdadeira para k = n − 1. 12.

(19) Demonstra¸c˜ ao. Pela proposi¸cão 1.2.1, basta construirmos uma se¸cão C 0 . Sejam {Fb }b∈B subfibrado de (V, B, π) e seja {Vj } uma cobertura de B. Para cada ponto x ∈ B, escolha uma vizinhan¸ca Ux de x tal que U x esteja contido em alguma vizinhan¸ca Vj . Por ser compacto, podemos escolher uma subcobertura finita para B, digamos {U1 , . . . , Um }. Seja A0 = {x0 }, onde x0 é um ponto arbitrário de B e An = U n ∪ An−1 . Vamos definir s0 : A0 → V , s0 (x0 ) = 0 ∈ π −1 (x0 ). Suponhamos definidas si se¸co˜es, i < n tal que si |Ai−1 = si−1 . Vamos escolher uma vizinhan¸ca Vk que contenha U n . Seja Cn = U n ∩ An−1 . Observe que Cn é fechado em U n pois Un é fechado em B, que é compacto. Defina h : Cn → V , h(x) = π(sn−1 (x)). Vamos estender h a uma aplica¸caõ h1 : Un → V . Seja h2 uma aplica¸cão cont´ınua tal que, para x ∈ Un , π(h2 (x)) = x. Então π ◦ h2 é cont´ınua, e h2 |Cn = sn−1 |Cn . Se definirmos sn (x) = sn−1 (x) para x ∈ An−1 e sn (x) = h2 (x) para todo x ∈ An − An−1 , segue que sn é cont´ınua [ sobre An . Defina g(x) = sn (x) para todo x ∈ An − An−1 . Como B = intAn n. segue que g é cont´ınua.. cqd Seja {Fb }b∈B subfibrado de um fibrado trivial (B × Rq , B, π). Para cada x ∈ Fb , sejam p⊥ caõ ortogonal do espa¸co tangente Tx (B × Rq ) sobre x a proje¸ o espa¸co tangente Tx (Fb ) ⊂ Tx ({b} × Rq ) e pb a proje¸caõ usual de B × Rq sobre a fibra {b} × Rq . Seja s : B 0 → B × Rq uma se¸caõ parcial C ∞ de um subfibrado {Fb }b∈B , onde B 0 ⊂ B, é aberto. Sendo db s : Tb B → Ts(b) (B × Rq ) ds(b) pb : Ts(b) (B × Rq ) → Tpb ◦s(b) ({b} × Rq ) q p⊥ s(b) : Ts(b) (B × R ) → Tf (b) (Fb ). onde db s e ds(b) pb são, respectivamente, a diferencial de s no ponto b e a diferencial de pb no ponto s(b), podemos definir a aplica¸cão linear Rb = p⊥ s(b) ◦ ds(b) pb ◦ db s 13.

(20) Defini¸c˜ ao 1.2.1 A se¸c˜ ao s é regular se para todo b ∈ B 0 a aplica¸c˜ ao linear Rb é injetiva. ao regular. Exemplo 1.2.1 Exemplo de se¸c˜ Seja {Fb = {b} × N }b∈B subfibrado de (B × Rq , B, π), onde N é uma subvariedade de Rq . Se f : B 0 → Rq é uma imersão C ∞ (C a ), então a se¸cão associada a f , s(f ) = (b, f (b)), do fibrado trivial (B × Rq , B, π) é uma se¸caõ regular C ∞ (C a ). Uma se¸cão C ∞ s de {Fb }b∈B é regular se, e somente se, a aplica¸caõ associada é um mergulho C ∞ . Proposi¸c˜ ao 1.2.5 Seja (B × Rq , B, π) um fibrado trivial C ∞ (C a ) onde B é uma variedade C ∞ (C a ) n-dimensional. Seja {Fb }b∈B subfibrado k-dimensional, k ≥ n. Então para cada ponto b ∈ B, existe uma vizinhan¸ca B 0 de b e uma se¸c˜ ao parcial regular C ∞ (C a ) s : B 0 → B × Rq . Demonstra¸c˜ ao. Decorre do comentário anterior e do Teorema do Mergulho de Whitney (ver teorema 1.1.2). Para o próximo teorema sobre se¸co˜es regulares, precisamos do Teorema da Transversalidade de Thom. Antes apresentamos a seguinte defini¸caõ. Defini¸c˜ ao 1.2.2 Sejam V1 , V2 variedades C ∞ (C a ) e seja N subvariedade de V2 . Diremos que uma aplica¸c˜ ao C ∞ (C a ) f : V1 → V2 é transversal a N se para todo p ∈ V1 : i) ou f (p) ∈ /N ii) ou dp f (Tp V1 ) + Tf (p) N = Tf (p) V2 se f (p) ∈ N . A condi¸caõ ii) é chamada condi¸cão da transversalidade. A seguir, enunciamos o teorema clássico de Thom: Teorema 1.2.1 (Teorema da Transversalidade de Thom) Seja f : V1 → V2 uma aplica¸c˜ ao diferenci´ avel e seja N uma subvariedade de V2 . Então existe arbitrariamente próxima a f uma aplica¸c˜ ao g : V1 → V2 transversal a N . Além disso, se a condi¸c˜ ao da transversalidade de f é satisfeita para todos os pontos de um conjunto fechado F ⊂ V1 , então podemos escolher g de tal maneira que f|F = g|F . 14.

(21) A seguinte versão do Teorema da Transversalidade de Thom para se¸cões também é válida. Teorema 1.2.2 (Teorema da Transversalidade de Thom para se¸c˜ oes) ∞ a Sejam (V, B, π) um fibrado vetorial C (C ) e s : B → V uma se¸c˜ ao deste fibrado. Seja A uma subvariedade de V . Então existe arbitrariamente próxima de s uma se¸c˜ ao t : B → V transversal a A. Além disso, se a condi¸c˜ ao da transversalidade de f é satisfeita para todos os pontos de um conjunto fechado F ⊂ B, então podemos escolher t de tal maneira que s|F = t|F . As demonstra¸co˜es destes dois teoremas podem ser encontradas em [2]. Proposi¸c˜ ao 1.2.6 Sejam (B × Rq , B, π) fibrado trivial C ∞ com base compacta C ∞ (C a ) n-dimensional. Então toda se¸c˜ ao C ∞ de um subfibrado C ∞ (C a ) k-dimensional, k ≥ 2n, pode ser C ∞ aproximada por se¸c˜ oes regulares C ∞ (C a ) deste subfibrado. Demonstra¸c˜ ao. A versão C a desta proposi¸caõ pode ser reduzida a versão C ∞ pela proposi¸caõ 1.2.2. Se o subfibrado é do tipo {Fb = {b} × F }b∈B , onde F é uma subvariedade de Rq , então a proposi¸cão segue do Teorema S de Aproxima¸caõ de Whitney (ver teorema 1.1.1). De fato, seja s : B → b∈B Fb se¸cão C ∞ de {{b} × F }b∈B . Pelo Exemplo 1.1.5, existe uma fun¸caõ C ∞ f : B → Rq tal que s(b) = (b, f (b)). Pelo Teorema de Aproxima¸caõ de Whitney, f pode ser aproximada por imersões C ∞ . Pelo Exemplo 1.2.1, conclu´ımos que s pode ser aproximada por se¸co˜es regulares C ∞ . O caso geral é um pouco mais complicado e decorre do Teorema da Transversalidade de Thom.. 1.3. ˜ APLICAC ¸ OES LIVRES. Nesta se¸caõ demonstraremos uma versão do Teorema de Nash para aplica¸co˜es livres. Para provarmos este teorema, precisaremos de algumas defini¸co˜es: Defini¸c˜ ao 1.3.1 Seja f : V → Rq uma aplica¸c˜ ao C 2 , com V variedade C 2 ndimensional. Dado p ∈ V , sejam (x, U ) sua parametriza¸c˜ ao com coordenadas 15.

(22) x(p) = (x1 , . . . , xn ). O plano osculador de V no ponto p ∈ V pela aplica¸c˜ ao f é o espa¸co vetorial determinado pelo conjunto de vetores: {. ∂f (p) ∂ 2 f (p) , } 1≤i≤j≤n ∂xi ∂xi ∂xj. Usaremos a nota¸cão Tp2 (f ) para representar o plano osculador de V no ponto p ∈ V pela aplica¸caõ f . O plano osculador Tp2 (f ) não depende da escolha de coordenadas. Defini¸c˜ ao 1.3.2 Mantendo as mesmas condi¸c˜ oes da defini¸c˜ ao 1.3.1, a aplica¸c˜ ao f é livre se a dimensão de Tp2 (f ) é igual a sn + n. Em outras palavras, a aplica¸c˜ ao f é livre se o conjunto de vetores que determinam Tp2 (f ) é LI. A primeira conseq¨ uência direta da defini¸cão é que toda aplica¸caõ livre é uma imersão diferenciável. De fato, sendo f livre e como já foi dito, o conjunto (p) de vetores que determinam Tp2 (f ) é LI. Em particular, { ∂f∂x(p) , . . . , ∂f } é ∂xn 1 LI, o que é suficiente para f ser uma imersão diferenciável. A segunda conseq¨ uência direta da defini¸cão é que nenhuma variedade ndimensional pode ser aplicada livremente em Rsn +n−1 . Basta notar que o n´ umero máximo de vetores de um conjunto LI em Rsn +n−1 é sn + n − 1. Exemplo 1.3.1 Constru¸c˜ ao de um mergulho livre de Rn em Rsn +n . Seja, ϕ : Rn → Rn+sn (x1 , . . . , xn ) 7→ ϕ(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ; x1 x1 , . . . , xi xj , . . . , xn xn ), i ≤ j A aplica¸caõ ϕ é livre pois, sendo (x, U ), com x(p) = (x1 , . . . , xn ), coordenadas de p, então ∂ϕ(p) = (0, . . . , 1, . . . , 0; 0, . . . , 0, x1 , 0, . . . , 0, xi−1 0, . . . , 0, 2xi , xi+1 , . . . , xn , 0, . . . , 0) ∂xi .............................. 2 ∂ ϕ(p) = (0, . . . , 0; 2, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0) ∂x1 ∂x1 16.

(23) .............................. ∂ ϕ(p) = (0, . . . , 0; 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∂x1 ∂xn 2. ∂ 2 ϕ(p) = (0, . . . , 0; 0, 0, . . . , 0, 2, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0) ∂x2 ∂x2 .............................. 2 ∂ ϕ(p) = (0, . . . , 0; 0, 0, . . . , 0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . . , 0, 0) ∂x2 ∂xn .............................. ∂ 2 ϕ(p) = (0, . . . , 0; 0, . . . , 0, 2) ∂xn ∂xn constituem um conjunto LI, isto é, dim Tp2 (ϕ) = n + sn , onde dim indica dimensão. Logo ϕ é um homeomorfismo e portanto, um mergulho livre. Para a demonstr¸cão do teorema sobre mergulhos livres, precisamos de duas observa¸cões. Observa¸ c˜ ao 1. Sejam f : V → Rq uma aplica¸caõ livre e N subvariedade de V , dim N = r ≤ n. Então, f|N ainda é uma aplica¸caõ livre. Para ver isto, sejam p ∈ N , (x, U ), com x(p) = (x1 , . . . , xn ), uma parametriza¸cão de p ∈ U , onde U é aberto em V , tal que N ∩ U = {q; xi (q) = 0, i = r + 1, . . . , n}. Em particular, (e x, N ∩ U ), com x e(p) = (x1 , . . . , xr ) é uma parametriza¸caõ de p em N . Como f é livre, temos que, ∂f (p) ∂f (p) ,..., ∂x1 ∂xn ∂ 2 f (p) ∂ 2 f (p) ∂ 2 f (p) ,..., ,..., , 1≤i≤j≤n ∂x1 ∂x1 ∂xi ∂xj ∂xn ∂xn constituem um conjunto LI. Em particular, os vetores ∂f (p) ∂f (p) ,..., ∂x1 ∂xr ∂ 2 f (p) ∂ 2 f (p) ∂ 2 f (p) ,..., ,..., , 1≤i≤j≤n ∂x1 ∂x1 ∂xi ∂xj ∂xr ∂xr 17.

(24) também constituem um conjunto LI. Portanto, f|N também é uma aplica¸cão livre. Observa¸ c˜ ao 2. Uma aplica¸caõ ϕ suficientemente perto de uma aplica¸cão livre f , na topologia forte C 2 , é ainda livre. Desta observa¸caõ, segue que uma variedade C ∞ (C a ) que pode ser aplicada livremente em Rq pode ser C ∞ (C a ) mergulhada livremente em Rq . De fato, pelo Teorema de Aproxima¸caõ de Whitney (ver teorema 1.1.1), para q ≥ 2n + 1, qualquer aplica¸caõ cont´ınua f : V1 → V2 , pode ser aproximada por mergulhos, onde V1 e V2 são variedades C ∞ (C a ) n e q-dimensionais respectivamente. Como uma aplica¸cão livre f é cont´ınua, então f pode ser C 2 -aproximada por mergulhos. Pela observa¸caõ 2, conclu´ımos que uma variedade C ∞ (C a ) que pode ser C ∞ (C a ) aplicada livremente em Rq , pode ser C ∞ (C a ) mergulhada em Rq . Teorema 1.3.1 Toda variedade C ∞ (C a ) n-dimensional pode ser C ∞ (C a ) mergulhada livremente em Rsn +2n . Demonstra¸c˜ ao. Pelos comentários feitos na observa¸cão 2, basta provarmos que toda variedade C ∞ (C a ) V n-dimensional pode ser C ∞ (C a ) aplicada livremente em Rn+sn . Para isto, provaremos dois fatos: 1. V pode ser C ∞ (C a ) aplicada livremente em Rq , para algum q. 2. A existência de uma aplica¸caõ livre C ∞ (C a ) f : V → Rq , q > sn + 2n implica a existência de uma aplica¸caõ livre C ∞ (C a ) de V em Rq−1 . Parte 1. Pelo Teorema de Whitney, V pode ser vista como uma subvariedade de um espa¸co euclideano W . Pelo exemplo 1.3.1, podemos construir uma aplica¸cão C ∞ (C a ) livre f : W → Rq , para q suficientemente grande. Pela observa¸cão 1, f|V é uma aplica¸caõ livre C ∞ (C a ). Parte 2. Seja f : V → Rq uma C ∞ (C a )-aplica¸caõ livre, q > sn + 2n. Sejam: Σp : esfera unitária do espa¸co osculador Tp2 (f ); Σ : subvariedade de V × Rq que consiste de todas as esferas {p} × Σp , p ∈ V ; π(Σ): imagem de Σ pela proje¸caõ canônica π : V × Rq → Rq ; 18.

(25) Note que π(Σ) é um subconjunto de S q−1 que consiste de todos os vetores unitários pertencentes a Tp2 f . Dado x ∈ (S q−1 − π(Σ)) ⊂ Rq , seja Rx o subespa¸co gerado por x e (Rx )⊥ o subespa¸co ortogonal a Rx . Seja πx : Rq → (Rx )⊥ , onde πx é a proje¸caõ de Rq sobre (Rx )⊥ . Afirmamos que πx ◦ f é uma aplica¸caõ livre, para todo x ∈ S q−1 − π(Σ), isto é, mostraremos que {. ∂(πx ◦ f (p)) ∂ 2 (πx ◦ f (p)) , }, 1 ≤ i ≤ j ≤ n ∂xi ∂xi ∂xj. é um conjunto LI. De fato, usando a Regra da Cadeia e usando o fato de πx ser linear, temos que ∂(πx ◦ f (p)) ∂πx (f (p)) ∂f (p) ∂f (p) = ◦ = πx ◦ ( ); ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂ 2 (πx ◦ f (p)) ∂ ∂πx ◦ f (p) ∂ ∂f (p) = ( )= (πx ◦ )= ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj =. ∂πx (f (p)) ∂ 2 f (p) ∂ 2 f (p) ◦ = πx ◦ ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj. Logo, o conjunto {. ∂(πx ◦ f (p)) ∂ 2 (πx ◦ f (p)) , }, ∂xi ∂xi ∂xj. 1≤i≤j≤n. gera o espa¸co πx (Tp2 f ). Sendo assim, 2. ◦f (p) ∂ πx ◦f (p) { ∂πx∂x , ∂xi ∂xj }, i. 1 ≤ i ≤ j ≤ n é LI se, e somente se. dim (πx (Tp2 f )) = sn + n se, e somente se πx |Tp2 f : Tp2 f → πx (Tp2 f ) é injetiva se, e somente se {0} = Ker(πx |Tp2 f ) = Tp2 f ∩ Ker(πx ) se, e somente se. 19.

(26) x 6∈ Tp2 f . onde, Ker(πx ) = {v ∈ Rq ; πx (v) = 0}. Note que Ker(πx ) = Rx e se x ∈ Tp2 f então Tp2 f ∩ Ker(πx ) = Rx , já que Rx é o subespa¸co gerado por x. ´ claro que se x 6∈ T 2 f Por fim, x 6∈ Tp2 f se, e somente se x 6∈ π(Σ). E p então x 6∈ π(Σ). A verifica¸caõ da rec´ıproca é percebida pelo fato de que x ∈ S q−1 . Logo, se x 6∈ π(Σ), x não pode pertencer a Tp2 f , pois x é unitário e π(Σ) consiste de todos os vetores unitários pertencentes a Tp2 f . Portanto, πx ◦ f é uma aplica¸caõ livre. Por fim, notemos que S q−1 − π(Σ) é diferente do vazio. De fato, π(Σ) é a imagem de uma variedade C ∞ (C a ) Σ de dimensão sn + 2n − 1 < q − 1 por uma aplica¸cão C ∞ (C a ). Logo π(Σ) tem medida nula em S q−1 e portanto S q−1 − π(Σ) 6= ∅. cqd. 20.

(27) 2. CONJUNTOS DIFERENCIAIS. Neste cap´ıtulo as variedades não possuem necessariamente métrica riemanniana.. 2.1. ´ CONJUNTOS ALGEBRICOS. Sejam V variedade n-dimensional C ∞ (C a ) e ci : V → Rq , bi : V → R, i = 1, . . . , m aplica¸cões C ∞ (C a ). Defini¸c˜ ao 2.1.1 Um sistema algébrico Σ de equa¸c˜ oes algébricas lineares q∞ a dimensional de classe C (C ) sobre uma variedade C ∞ (C a ) V é um sistema de equa¸c˜ oes da forma hci (v), f (v)i = bi (v). i = 1, . . . , m,. para todo v ∈ V , onde f : V → Rq é uma aplica¸c˜ ao C ∞ (C a ) que desempenha o papel de incógnita. Usaremos a nota¸caõ hci , f i = bi , i = 1, . . . , m para indicar que em cada ponto v ∈ V , tem-se hci (v), f (v)i = bi (v). i = 1, . . . , m,. Denotemos este sistema por Σ(v). Assim, podemos pensar em Σ como sendo uma fam´ılia, parametrizada por V , de m equa¸cões lineares em q variáveis. Se os vetores {c1 (v), . . . , cm (v)} constituem um conjunto LI, dizemos que o sistema é regular e tem posto m. Suponhamos que V tem uma cobertura aberta {Uα }α∈A e que para cada α ∈ A, um sistema regular algébrico Σα de equa¸cões lineares de classe C ∞ (C a ) q-dimensional e posto m esteja definido sobre Uα . Assim, denotando as equa¸cões de Σα por hci,α , fα i = bi,α , i = 1, . . . , m, as fun¸cões ci,α , fα , bi,α possuem dom´ınio Uα . Suponhamos ainda que os sistemas {Σα }α∈A são dois a dois consistentes, isto 21.

(28) é, para todos α1 , α2 ∈ A tais que Uα1 ∩ Uα2 6= ∅, os sistemas Σα1 (v), Σα2 (v) têm as mesmas solu¸cões para todo v ∈ Uα1 ∩ Uα2 . Defini¸c˜ ao 2.1.2 O conjunto de sistemas {Σα }α∈A descrito acima é um conjunto algébrico C ∞ (C a ) q-dimensional de posto m. Para cada v ∈ V , seja Av o conjunto de todos os ´ındices α ∈ A tal que v ∈ Uα . Uma solu¸caõ do conjunto algébrico {Σα }α∈A é uma fun¸cão ϕ : V → Rq tal que para cada v ∈ V , o vetor ϕ(v) satisfaz as equa¸cões dos sistemas Σα (v), para todo α ∈ Av . O conjunto algébrico {Σα }α∈A é homogêneo no ponto v ∈ V se os sistemas Σα (v) são homogêneos para todo α ∈ Av , ou seja, hci (v), f (v)i = 0 , i = 1, . . . , m O conjunto algébrico é homogêneo se for homogêneo em todos os pontos v ∈ V . O nosso próximo passo é mostrar que dado um conjunto algébrico {Σα } C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m, pode-se obter um subfibrado afim {Fv }v∈V , de dimensão q − m, do fibrado trivial (V × Rq , V, π). A fibra Fv sobre o ponto v ∈ V do subfibrado afim {Fv }v∈V é dada pelo conjunto de vetores (v, x) ∈ {v} × Rq tais que π satisfaz as equa¸cões dos sistemas Σα (v), para todo α ∈ Av , onde π é a proje¸cão sobre Rq . Ou seja, cada vetor (v, x) ∈ {v} × Rq pertence a fibra Fv se a igualdade hci,α (v), π(v, x)i = bi,α (v). i = 1, . . . , m. é verificada, para todo α ∈ Av . A fibra Fv é um subfibrado afim pois contém o subespa¸co afim {(v, λx + (1 − λ)y)}λ∈R , onde (v, x), (v, y) ∈ {v} × Fv . Note que a dimensão de Fv é q − m, pois, por defini¸cão, os Σα são regulares. O subfibrado afim {Fv }v∈V , que acabamos de descrever é associado ao conjunto algébrico {Σα }. As se¸cões deste subfibrado afim são associadas às solu¸co˜es do conjunto algébrico {Σα }.. 22.

(29) Basta observamos queSdada uma solu¸caõ f : V → Rq , podemos associar uma se¸cão s(f ) : V → v∈V Fv , definida por s(f )(v) = (v, f (v)). Como para todo v ∈ V , s(f )(v) = (v, f (v)) satisfaz as equa¸co˜es do sistema algébrico {Σα (v)}, α ∈ Av , então (v, f (v)) ∈ Fv , e portanto, s(f ) realmente é uma se¸caõ de {Fv }v∈V . Usando o fato descrito na se¸caõ 1.1, de que todo subfibrado afim de um fibrado euclideano admite uma se¸cão m´ınima C ∞ (C a ), podemos afirmar então, que todo conjunto algébrico tem uma solu¸caõ m´ınima, isto é, uma solu¸caõ, digamos f0 , tal que hf0 (v), f0 (v)i ≤ hf (v), f (v)i, para qualquer solu¸cão f e para todo v ∈ V . A solu¸caõ f0 é u ńica e de classe ∞ a C (C ). Suponhamos que a solu¸caõ f0 satisfa¸ca a desigualdade hf0 (v), f0 (v)i < 1, para todo v ∈ V . Do subfibrado afim {Fv }v∈V associado ao conjunto algébrico Σα , podemos encontrar um subfibrado esférico {Ev }v∈V , constitu´ıdo pelos vetores unitários {Fv }v∈V , conforme já descrito no Cap´ıtulo 1. O subfibrado {Ev }v∈V também é associado ao conjunto algébrico {Σα } e tem dimensão igual a q − m − 1. As se¸cões deste subfibrado esférico são ditas associadas as solu¸co˜es unitárias do conjunto algébrico, isto é, com as solu¸co˜es f que satisfazem a equa¸cão hf (v), f (v)i = 1, para todo v ∈ V . Defini¸c˜ ao 2.1.3 Seja {Σα }α∈A um conjunto algébrico. Uma solu¸c˜ ao C ∞ unitária f de {Σα }α∈A é regular se para cada v ∈ V o conjunto de vetores {cj,α (v), f (v), ∂f∂x(v) }, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n é um conjunto LI, para todo i α ∈ Av , onde x(v) = (x1 , . . . , xn ) são as coordenadas de v. Solu¸co˜es regulares de um conjunto algébrico são associados com se¸cões regulares do subfibrado esférico associado. De fato, basta observar o Exemplo }, i = 1, . . . , n é LI, ou seja, f 1.2.1 e que se f é solu¸caõ regular então { ∂f∂x(v) i é imersão. Solu¸co˜es unitárias regulares de um conjunto algébrico são associados com se¸co˜es regulares do subfibrado esférico associado. Com esta observa¸cão e 23.

(30) com os comentários feitos anteriormente, obtemos quatro resultados cujas demonstra¸co˜es são conseq¨ uências de proposi¸co˜es já demonstradas. Proposi¸c˜ ao 2.1.1 Para m ≤ q, todo conjunto algébrico C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m que é homogêneo em v ∈ V tem uma solu¸c˜ ao unitária em uma vizinhan¸ca de v. Demonstra¸c˜ ao. Seja {Σα }α∈A um conjunto algébrico C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m homogêneo em v ∈ V . Pelos comentários feitos anteriormente, podemos construir um subfibrado esférico {Ev }v∈V do fibrado trivial (V × Rq , V, π). Pela proposi¸caõ 1.2.3, existe uma se¸caõ parcial C ∞ (C a ) s : Uv → V × Rq , onde Uv é uma vizinhan¸ca de um ponto arbitrário v ∈ V . Vamos escolher exatamente o ponto v ∈ V para o qual o conjunto algébrico é homogêneo. Como as se¸cões do subfibrado esférico são associadas com solu¸co˜es unitárias do conjunto algébrico, encontramos a solu¸caõ desejada. cqd Proposi¸c˜ ao 2.1.2 Para q − m > n, todo conjunto algébrico homogêneo C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m definido sobre um compacto n-dimensional tem uma solu¸c˜ ao unitária C ∞ (C a ). Se V n˜ ao tem componentes fechadas então a proposi¸cão é verdadeira para q − m = n. Demonstra¸c˜ ao. Vamos seguir o mesmo racioc´ınio anterior. Seja {Σα }α∈A um conjunto algébrico C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m homogêneo em v ∈ V . Pelos comentários feitos anteriormente, podemos construir um subfibrado esférico {Ev }v∈V do fibrado trivial (V × Rq , V, π). Como o subfibrado esférico tem dimensão q − m > n, pela proposi¸cão 1.2.4, existe uma se¸caõ C ∞ (C a ) s : B → V × Rq . Novamente usamos o fato de que as se¸co˜es do subfibrado esférico são associadas com solu¸co˜es unitárias do conjunto algébrico e portanto, encontramos a solu¸caõ desejada. Se a variedade não tem componentes fechadas, a proposi¸caõ 1.2.4 também garante o resultado para q − m = n. cqd. 24.

(31) Proposi¸c˜ ao 2.1.3 Para q − m > n, todo conjunto algébrico C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m definido sobre uma variedade C ∞ (C a ) n-dimensional e homogêneo em v ∈ V tem uma solu¸c˜ ao unitária regular C ∞ (C a ) em uma vizinhan¸ca de v. Demonstra¸c˜ ao. Segue o mesmo racioc´ınio anterior utilizando a proposi¸caõ 1.2.5. Proposi¸c˜ ao 2.1.4 Para q − m > 2n, todo conjunto algébrico homogêneo C ∞ (C a ) de dimensão q e posto m definida sobre um compacto n-dimensional tem uma solu¸c˜ ao unitária regular C ∞ (C a ). Demonstra¸c˜ ao. Segue da proposi¸caõ 1.2.6.. 2.2. ˆ ˜ EXISTENCIA DE SOLUC ¸ OES DE CONJUNTOS DIFERENCIAIS. Come¸caremos esta se¸cão apresentando a defini¸cão de r-jet. Sejam V1 e V2 variedades C ∞ (C a ) e C r (V1 , V2 ) o conjunto das fun¸co˜es C r f : V1 → V2 . Vamos definir uma rela¸cão de equivalência, determinando que f, g ∈ C r (V1 , V2 ) são equivalentes em v ∈ V1 se todas as suas derivadas parciais em v de ordem menor do que ou igual a r são todas iguais. Usaremos a nota¸cão Jvr f para representar a classe de equivalência de f em v. oes acima, diremos que Jvr f é um r-jet de f Defini¸c˜ ao 2.2.1 Com as nota¸c˜ no ponto v. Usaremos a nota¸c˜ ao Jvr (V1 , V2 ) para representar o conjunto de todos os r-jets no ponto v, de aplica¸c˜ oes f ∈ C r (V1 , V2 ). Dado um sistema de coordenadas em uma vizinhan¸ca de v, podemos tomar como coordenadas de um r-jet de f no ponto v as coordenadas usuais de f (v) e as coordenadas de suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a r. Isto nos permite introduzir uma estrutura de espa¸co vetorial no conjunto Jvr (V1 , V2 ). Seja J r (V1 , V2 ) a união de todos os Jvr (V1 , V2 ), para todo v ∈ V . Sejam (x, U ) e (y, W ) cartas para V1 e V2 . Vamos definir a aplica¸cão, θ : J r (U, W ) → J r (x(U ), y(W )) 25.

(32) θ(Jvr f ) = Jfr(v) yf x−1 que é uma bije¸caõ. Sendo J r (x(U ), y(V )) um aberto do espa¸co vetorial J r (Rn , Rq ) que é isomorfo a um espa¸co euclideano de dimensão finita (ver [5]), então podemos tomar (θ, J r (U, W )) como uma carta para J r (V1 , V2 ). Usando essas cartas, podemos construir uma topologia para J r (V1 , V2 ). Além disso, J r (V1 , V2 ) tem uma estrutura natural C ∞ (C a ). Para maiores detalhes, consultar [5]. Sejam V variedade n-dimensional C ∞ (C a ) e f : V → Rq e π : J r (V, Rq ) → V a proje¸caõ natural, definida por π(Jvr f ) = v. Então, a tripla (J r (V, Rq ), V, π) é um fibrado vetorial C ∞ (C a ). Definiremos agora uma versão ”truncada”de um 2-jet de uma aplica¸cão f : V → Rq no ponto v ∈ V . Para isto, introduziremos uma segunda rela¸caõ de equivalência em C 2 (V, Rq ). Diremos que f, g ∈ C 2 (V, Rq ) são equivalentes em v ∈ V se todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem no 2 ponto v são iguais com exce¸caõ da derivada parcial ∂x∂n xn , ou seja, não se exige que aconte¸ca. ∂ 2 f (v) ∂xn ∂xn. =. ∂ 2 g(v) . ∂xn ∂xn. De agora em diante, passaremos a usar também as nota¸cões Di f (v), Dij f (v) ∂f (v) para indicar, respectivamente, as derivadas parciais ∂f∂x(v) , ∂x de f no i i ∂xj ponto v, onde v tem como coordenadas x(v) = (x1 , . . . , xn ). Isto não nos impedirá de utilizar a nota¸caõ anterior. Observe que se duas fun¸cões f, g são equivalentes no sentido da primeira rela¸cão de equivalência, então f, g também são equivalentes no sentido da segunda rela¸cão de equivalência. Usaremos a nota¸caõ jv2 f para representar a classe de equivalência de f no sentido da segunda rela¸cão de equivalência. oes acima, diremos que jv2 f é um 2-jet trunDefini¸c˜ ao 2.2.2 Com as nota¸c˜ cado de f no ponto v. Usaremos a nota¸c˜ ao jv2 (V, Rq ) para representar o conjunto de todos os 2-jets truncados no ponto v, de aplica¸c˜ oes f ∈ C 2 (V, Rq ). Do mesmo modo para r-jet, podemos tomar como coordenadas de um 2-jet truncado de f no ponto v as coordenadas usuais de f (v) e as coordenadas de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem, excetuando-se as coordenadas de Dnn f (v). Isto nos permite introduzir uma estrutura de espa¸co vetorial no conjunto jv2 (V, Rq ), e por conseguinte, jv2 (V, Rq ) tem estrutura de um espa¸co euclideano. 26.

(33) Seja j 2 (V, Rq ) a união de todos os jv2 (V, Rq ), para todo v ∈ V . O conjunto j r (V, Rq ) tem uma estrutura natural C ∞ (C a ) e sendo π : j 2 (V, Rq ) → V a proje¸cão natural, definida por π(jv2 f ) = v, a tripla (j 2 (V, Rq ), V, π) é um fibrado vetorial C ∞ (C a ). A prova destes fatos é análoga ao caso J r (V, Rq ). Por fim, observemos que a defini¸caõ de 2-jet truncado permite a seguinte decomposi¸caõ: J 2 (V, Rq ) = j 2 (V, Rq ) × Rq . Segue então que o fibrado (J 2 (V, Rq ), j 2 (V, Rq ), π) é trivial, onde π é a proje¸caõ de cada fibra jv2 f × Rq sobre jv2 f . Neste momento, assumiremos que a variedade C ∞ (C a ) V é da forma V = V0 × (−a, a), onde V0 é uma variedade compacta C ∞ (C a ) (n − 1)-dimensional e a é um n´ umero real positivo. Identificaremos a variedade V0 × {0} com V0 de maneira usual. Seja (x0,α , U0,α ) sistema de coordenadas de V0 . Tomando Uα = U0,α × (−a, a) e xα (p, c) = (x0,α (p), c), onde (p, c) ∈ U0,α × (−a, a), obtemos um sistema de coordenadas para V , dado por (xα , Uα ). Este sistema de coordenadas é chamado de sistema especial de coordenadas. Logo, em coordenadas especiais, a u ´ltima coordenada é sempre distinguida, isto é, independe do sistema especial. Defini¸c˜ ao 2.2.3 Um sistema especial de equa¸c˜ oes diferenciais de dimensão q e classe C ∞ (C a ) sobre V é um sistema da forma hci (jv2 f ), Dnn f (v)i = bi (jv2 f ). i = 1, . . . , m. (1). onde ci : j 2 (V, Rq ) → Rq , bi : j 2 (V, Rq ) → R são fun¸c˜ oes C ∞ (C a ) e f : V → Rq é uma aplica¸c˜ ao C ∞ (C a ) que desempenha o papel de incógnita. Diremos que uma fun¸caõ f é uma solu¸cão deste sistema especial se for definida em uma vizinhan¸ca U ⊂ V com valores em Rq , isto é, f : U → Rq , tal que f satisfa¸ca as equa¸cões da defini¸cão 2.2.3. Sejam (x1 , ..., xn−1 , xn ) as coordenadas especiais de v ∈ V = V0 × (−a, a). Diremos que uma fun¸cão f : U → Rq , é uma solu¸caõ formal do sistema especial se sua expansão em série de Taylor em xn satisfaz formalmente as equa¸co˜es da Defini¸cão 2.2.3. Neste caso, a expansão em série de Taylor é dada pela expressão: ∞ X ∂ r f (v) r xn r r!∂x n i=0 27.

(34) onde v ∈ V0 × {0}. Vamos acrescentar ao sistema da Defini¸caõ 2.2.3, os seguintes dados iniciais: f|U = f0 e Dn f|U = f1 , onde f0 : U → Rq e f1 : U → Rq são fun¸co˜es C ∞ (C a ). Defini¸c˜ ao 2.2.4 Diremos que o sistema da Defini¸c˜ ao 2.2.3 é regular com respeito aos dados iniciais f0 e f1 se o conjunto de vetores {ci (jv2 (f0 +xn f1 ))}, i = 1, ..., m, é um conjunto LI, onde xn é a n-ésima coordenada de v ∈ V0 × (−a, a). Exemplo 2.2.1 Exemplo de sistema especial de equa¸c˜ oes. Um exemplo simples de sistema especial de equa¸cões diferenciais é o sistema cujas fun¸co˜es ci são constantes, definidas por ci (jv2 f ) = ei , onde ei é o i-ésimo vetor da base canônica de Rq . Consideraremos, neste caso, m = q. Este sistema também é regular com respeito a quaisquer dados iniciais. Além disso, o sistema pode ser reduzido a seguinte equa¸caõ: Dnn f (v) = (b1 (jv2 f ), . . . , bq (jv2 f )) No caso geral, é natural tentar reduzir o sistema da Defini¸caõ 2.2.3 para a forma simples descrita acima, ao resolvê-la para Dnn f . Isto equivale a resolver o sistema abaixo, considerando como incógnita a fun¸cão ϕ : V → Rq : hci , ϕi = bi onde i = 1, . . . , m e ci : j 2 (V, Rq ) → Rq , bi : j 2 (V, Rq ) → R são fun¸co˜es C ∞ (C a ). Este sistema definido sobre a variedade j 2 (V, Rq ) é de dimensão q e de classe C ∞ (C a ). Diremos que este sistema é associado com o sistema da defini¸caõ 2.2.3. Seja S(f0 , f1 ) o subconjunto de j 2 (V, Rq ) definido da seguinte maneira: S(f0 , f1 ) = {jv2 f 0 ; f 0 = f0 + xn f1 , v ∈ V }, onde xn é a n-ésima coordenada especial de v ∈ V0 × (−a, a). Suponhamos agora que a variedade V0 tem uma cobertura 28.

(35) aberta {Uα }α∈A . Além disso, suponha que para cada α ∈ A, um sistema especial Sα de equa¸cões diferenciais de classe C ∞ (C a ) q-dimensional esteja definido sobre Uα × (−a, a). Suponha também que sejam dadas fun¸co˜es C ∞ (C a ) f0 : V → Rq e f1 : V → Rq . Denotaremos por Σα o sistema algébrico associado com Sα . Assumiremos que em alguma vizinhan¸ca do conjunto S(f0 , f1 ) os sistemas Σα formam um conjunto algébrico. Defini¸c˜ ao 2.2.5 Com as hipóteses acima, diremos que os sistemas Sα e o par f0 e f1 constituem um conjunto diferencial de dimensão q e de classe C ∞ (C a ) sobre V . Usaremos a nota¸c˜ ao [{Sα }, f0 , f1 ]. Chamaremos de dados iniciais as fun¸co˜es f0 e f1 e de conjunto algébrico associado ao conjunto {Σα }α∈A . Uma fun¸caõ f : V0 → Rq é uma solu¸caõ do conjunto diferencial [{Sα }, f0 , f1 ] se as condi¸cões iniciais f|V0 = f0 e Dn f|V0 = f1 forem satisfeitas e se f é uma solu¸cão do sistema Sα sobre todo conjunto Uα × (−a, a). Admitiremos sem demonstra¸cão o seguinte teorema: Teorema 2.2.1 [Teorema de Cauchy-Kowalewsky] Sejam dados os seguintes sistemas de equa¸c˜ oes em derivadas parciais de fun¸c˜ oes desconhecidas u1 , . . . , un com respeito às variáveis independentes t, x1 , . . . , xn : ∂ ni ui ∂ k uj = F (t, x , . . . , x , u , . . . , u , . . . , , . . .) i 1 n 1 n ∂tni ∂tk0 ∂xk11 . . . ∂xknn i, j = 1, . . . , n;. k0 + k1 + . . . + kn = k ≤ nj ;. k0 < nj. Para t = t0 considere as condi¸c˜ oes iniciais ∂ k ui (k) = φi (x1 , . . . , xn ) k ∂t. k = 0, 1, . . . , ni − 1. Suponhamos que todas as fun¸c˜ oes Fi s˜ ao anal´ıticas em alguma vizinhan¸ca do 29.

(36) ponto (t0 , x01 , x02 , . . . , φ0j,k0 ,k1 ,...,kn , . . .), onde φ0j,k0 ,k1 ,...,kn = ( i = 1, 2 . . . , n;. ∂ k−k0 φ(k0 ) )x =x0 ∂xk11 . . . ∂xknn i i. k0 + k1 + . . . + kn = k ≤ ni (k). oes φj e as derivadas são calculadas no ponto x01 , x02 , . . . , x0n . Se todas as fun¸c˜ 0 0 0 são anal´ıticas em alguma vizinhan¸ca do ponto (x1 , x2 , . . . , xn ), então para o sistema acima, existe uma u ńica solu¸c˜ ao anal´ıtica em alguma vizinhan¸ca do ponto (t0 , x01 , x02 , . . . , x0n ). A prova deste teorema pode ser encontrada em [6]. Para encerrarmos esta se¸caõ, provaremos dois teoremas que garantem a existência de solu¸caõ para todo conjunto diferencial. Para isso, precisaremos da seguinte versão do teorema de Cauchy-Kowalewsky: ao Teorema 2.2.2 Considere a equa¸c˜ Dnn f (v) = b(jv2 f ). (2). As seguintes afirma¸c˜ oes são verdadeiras: (i) Se b é uma aplica¸c˜ ao C a , então a equa¸c˜ ao (2) possui uma u ńica solu¸c˜ ao a C f em alguma vizinhan¸ca V0 × (−², ²) do conjunto V0 tal que f|V0 = f0 e Dn f|V0 = f1 . r (ii) Se b é uma aplica¸c˜ ao C ∞ , então existe uma u ńica série formal Σ∞ r=0 ϕr un , com ϕr ∈ C ∞ (V0 , Rq ) e ϕ0 = f0 , ϕ1 = f1 , que satisfaz formalmente a equa¸c˜ ao (2).. Demonstra¸c˜ ao. Decorre do próprio teorema de Cauchy-Kowalewsky, já que as coordenadas de jv2 f são as coordenadas de v (dado um sistema de coordenadas) juntamente com as derivadas parciais de f . cqd Teorema 2.2.3 Todo conjunto diferencial C a tem uma u ńica solu¸c˜ ao C a . 30.

(37) Demonstra¸c˜ ao. Seja [{Sα }, f0 , f1 ] um conjunto diferencial C a . Seja {Σα } o conjunto algébrico associado a [{Sα }, f0 , f1 ]. Pela defini¸cão de conjunto diferencial, {Σα } possui uma solu¸cão anal´ıtica ϕ em alguma vizinhan¸ca do conjunto S(f0 , f1 ) tal que [{Sα }, f0 , f1 ] pode ser substitu´ıdo pela equa¸caõ Dnn f (v) = ϕ(jv2 f ). Pelo item (i) do teorema 2.2.2, Dnn f (v) = ϕ(jv2 f ) possui uma solu¸cão C a f , com dados iniciais f|V0 = f0 e Dn f|V0 = f1 . Como já foi comentado antes, por ser solu¸cão da equa¸cão, f também é solu¸cão de [{Sα }, f0 , f1 ] e desse modo, o teorema está provado. cqd O próximo teorema é a versão C ∞ do teorema 2.2.3. Mas antes, precisamos do seguinte lema: q Lema 2.2.1 Para qualquer seq¨ uência de fun¸c˜ oes C ∞ ϕr : V0 → P∞R , r r= ∞ q 0, 1, . . ., existe uma fun¸c˜ ao C f : V → R com série de Taylor i=0 ϕr xn .. Demonstra¸c˜ ao. Seja (x1 , . . . , xn−1 , xn ) as coordenadas especias de v ∈ V = V0 ×(−a, a). Seja λ : R → R uma fun¸caõ C ∞ limitada em U tal que λ(x) = x, para x ∈ U , onde U = (−δ, δ) é uma vizinhan¸ca de zero, δ < a. Seja (kr )r∈N seq¨ uência de n´ umeros naturais que tende para o infinito rapidamente. Então a série ∞ X λ(kr xn ) r ( ) ϕr (x1 , . . . , xn−1 ) kr r=0 converge na topologia C ∞ para uma fun¸cão f : V → Rq . De fato, basta observar que λ é limitada e que k1r tende para zero, se r tende para o infinito. Vamos escolher δ1 > 0 tal que |kr xn | < δ1 e x ∈ (−δ1 , δ1 ), então λ(x) = x. Logo,. δ1 kr. ´ claro que se < δ. E. ∞ ∞ X X kr xn r λ(kr xn ) r ) ϕr (x1 , . . . , xn−1 ) = ( ) ϕr (x1 , . . . , xn−1 ) = ( k k r r r=0 r=0. =. ∞ X. xrn ϕr (x1 , . . . , xn−1 ). r=0. 31.

(38) Derivando r-vezes, obtemos. ∂r f ∂xrn. |V0 = r!ϕr .. Teorema 2.2.4 Todo conjunto diferencial C ∞ tem uma solu¸c˜ ao formal. Demonstra¸c˜ ao. A demonstra¸caõ é semelhante à do teorema 2.2.3. Seja [{Sα }, f0 , f1 ] um conjunto diferencial C ∞ . Seja {Σα } o conjunto algébrico associado a [{Sα }, f0 , f1 ]. Pela defini¸cão de conjunto diferencial, existe uma r ∞ q série formal Σ∞ r=0 ϕr xn com ϕr ∈ C (V0 , R ) e ϕ0 = f0 , ϕ1 = f1 , que formalmente satisfaz as equa¸co˜es de todos os sistemas Sα , em alguma vizinhan¸ca do conjunto S(f0 , f1 ). r Pelo item (ii) do teorema 2.2.2, então existe uma u ńica série formal Σ∞ r=0 ϕr un , com ϕr ∈ C ∞ (V0 , Rq ) e ϕ0 = f0 , ϕ1 = f1 , que satisfaz formalmente a equa¸caõ Dnn f (v) = ϕ(jv2 f ). Aplicando o lema anterior, existe uma fun¸caõ r C ∞ f : V → Rq com série de Taylor Σ∞ e a solu¸caõ formal r=0 ϕr xn . Logo, f ´ procurada. cqd. 32.