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Corpo Negro

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Academic year: 2021

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(1)[LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Termodinâmica e Mecânica Estatística de Boltzmann Em termos gerais, as leis da Termodinâmica estabelecem as relações entre energia e variáveis macroscópicas mensuráveis tais como volume, pressão e temperatura em sistemas tais como gases, líquidos e sólidos. A Lei zero da Termodinâmica diz que: Se dois corpos A e B estão individualmente em equilíbrio térmico com um terceiro corpo T, então A e B estão em equilíbrio. A 1a Lei da Termodinâmica diz que: A energia interna total de um sistema (U) é a diferença da energia que entra como calor (Q) e a energia que é sai como trabalho (W) realizado.  =−. (1). A 2a Lei da Termodinâmica diz que: Um processo de transformação de um sistema (modificações nas grandezas: energia interna total (U),volume ( V), temperatura (T), número de partículas (N), pressão (P) e outros) ocorre somente se a variação da desordem de um sistema (Entropia) é maior ou igual a zero.

(2) . ∆ = . ≥0. (2). Sabe-se que as grandezas macroscópicas como a Temperatura, a Pressão, o Volume, o Calor e a Energia Interna estão relacionadas com a Energia Cinética, Momento e Livre Caminho Médio das moléculas de um sistema (ex: ver dedução da teoria cinética dos gases). Ou seja, grandezas macroscópicas mensuráveis refletem os estados microscópicos dos constituintes do sistema. Estados de uma partícula. Uma partícula em movimento em um potencial tem energia total mecânica de :  =  (, , ) +  ( ,  ,  ) Portanto a dinâmica da partícula pode ser totalmente descrita se conhecermos a energia, a posição e a velocidade da partícula. Essas grandezas que caracterizam a partícula são chamadas de Estados da partícula. FES. Page 1.

(3) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Boltzmann fez a dedução em que se faz a relação entre a grandeza macroscópica da entropia com os estados das partículas individuais (estados microscópicos) de um gás pela relação entre a entropia termodicâmica e os estados: =. ! ln Ω. (3). onde ! = 1,380 × 10)*+ J/K é a constante de Boltzmann de Ω é o número de arranjos ou combinações possíveis dos estados das partículas do gás. Exemplo: Suponhamos um gás de 2 moléculas (a ; b). Suponha que cada uma das moléculas possa assumir três valores de energia E1, E2 e E3 (três estados). Podemos imaginar que cada valor de energia corresponde à uma caixinha : E1=>V1; E2=>V2; E3=>V3. Então os arranjos entre as energias possíveis e as partículas são:. V1. FES. V2. V3. Page 2.

(4) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Podemos arranjar as moléculas das seguintes maneiras:. V2. V1. V3. b. a. V2. V1. a. b. V1. a. V2. V3. V1. b. a. V2. V1. a. V3. V2. V3. V2. V3. b. V1. a b. b. V1. V2. a. b. V3. V1. b. V2. V1. V3. V2. b. V3. a. V3. a. Ou seja, podemos acomodar de 9 maneiras duas moléculas em três possibilidades energéticas (estados ocupáveis). Ou seja, 32 maneiras de ocupar os estados disponíveis. Neste exemplo, a entropia é =. !. ln 3*. Extrapolando, se tentarmos ocupar M estados energéticos com N moléculas, todos distinguíveis, o número de arranjos dos microestados será Ω = ,e a equação de Boltzmann (3) será. FES. Page 3.

(5) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. =.. !. September 13, 2009. ln ,. que pode ser reescrito como.  = −.. ! ln /. 1 0 ,. (4). Podemos observar que 1/M é a fração de um estado ocupável em relação ao conjunto de M estados no total. De acordo com a equação (2), no equilíbrio térmico (T constante) 

(6) −  =. 

(7)  −. ou seja, a equação da entropia termodinâmica no equilíbrio térmico é =. . (5). Substituindo (5) em (4), teremos  = − .. ! ln 3. (6). onde F = 1/M é a fração de cada estado ocupável. Podemos fazer algumas considerações. O calor (Q) é a energia total das moléculas de um sistema. Deste modo 5 = /. pode ser interpretado como a energia das moléculas individuais. Então, a equação anterior (6) pode ser reescrita como. ln 3 = −. 5. !. que resulta função de distribuição de Boltzmann. 3(5; ) = 8. FES. ). 9 :; <. (7). Page 4.

(8) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. que dá a fração de um estado ocupável de energia 5 em relação ao número total de estados disponíveis.. Função de Partição Nem sempre deparamos com sistemas onde todos os M estados e todas as N moléculas ou entidades são distinguíveis. Quando temos estados idênticos, a fração de um estado ocupável deve ser multiplicada pelo número de estados idênticos. Esse número é chamado degenerescência. Então a função de distribuição de Boltzmann se torna. 3(5; ) = >(5)8. ). 9 :; <. 5. (8). é a fração de estados idênticos com a mesma energia ε, e >(5) 5 é o número de estados idênticos com energia ε no intervalo 5 e 5 + 5. >(5) 5 também é conhecido como degenerescência. Portanto a função >(5) é chamada de densidade de estados, que significa a razão entre o número de estados com a mesma energia por unidade de energia. Para o cálculo da energia média por partícula, devemos fazer uma média ponderada das energias de todo o sistema. Então, multiplicamos as energias possíveis com as frações correspondentes, somamos as energias com os devidos pesos e dividimos pelo número total de estados disponíveis. ?5@ =. B. AC 5 >(5)8 B. AC >(5)8. ). 9 :; < 9. ) :; <. 5. (9). 5. Se observarmos a eq. (9), podemos notar que. ?5@ =. B. AC 5 >(5)8 B. AC >(5)8. ). ). 9 :; < 9. :; <. 5. 5. = −. EF. E 1 !. B. G. ln H >(5)8 C. ). 9 :; <. 5 I. (10). Na equação (10), a integral no interior da função logaritmica é chamada de função de partição de energia, Z: B. Ζ = >(5)8 )K9 5. (11). C. e a energia média por molécula de um sistema depende da temperatura e é dada por. FES. Page 5.

(9) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO] ?5@ = − onde L = 1M. E ln Ζ EL. September 13, 2009. (12). !. Exemplo: A energia média por molécula de um gás ideal monoatômico, que tem >(5) = 1, é ?5@ = ! (prove!). Portanto, quando medimos a temperatura de um gás, estamos medindo a energia média mecânica das moléculas de um gás.. Conclusões: A partir de considerações estatística das moléculas e das leis da termodinâmica conseguimos deduzir a relação entre parâmentros mensuráveis macroscópicos (ex. temperatura) com os estados microscópicos (ex. energia) das moléculas. Em outras palavras, pelas medidas de temperatura podemos calcular a energia mecânica média dos indivíduos do sistema. Este tipo de estudo é parte de uma área da Física conhecida como Mecânica Estatística.. FES. Page 6.

(10) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Radiação do Corpo Negro O Corpo Negro é, em princípio, a cavidade de um corpo metálico oco com um pequeno orifício. O orifício permite a entrada e saída de radiação (ondas eletromagnéticas) em quantidades limitadas e a radiação absorvida é armazenada no interior do corpo negro na forma de ondas estacionárias resultante de sucessivas reflexões. Além da radiação absorvida, os átomos das paredes do Corpo Negro vibram térmicamente e as cargas das moléculas geram ondas eletromagnéticas que podem se combinar com as ondas da parede oposta formando ondas estacionárias. Desta maneira, um corpo negro armazena energia em seu interior na forma de radiação, liberando uma parcela dessa radiação e a distribuição espectral da energia de radiação armazenada pode ser medida colocando um detector na saída do orifício. A denominação de Corpo Negro se deve ao aspecto escuro do orifício da cavidade , tal qual um buraco de fechadura de um armário, por exemplo.. T = 300 K. Figura 1: Corpo Negro.. Existem três maneiras de transferência de calor de um corpo. A convecção, condução e radiação. O aspecto interessante da experiência do Corpo Negro é que ele simula bem o mecanismo de transferência por radiação e o entendimento da física do Corpo Negro nos permite entender porque um objeto metálico emite luz ao ser aquecido e a relação entre a temperatura do corpo e o comprimento de onda da luz emitida. A Figura 2 mostra uma medida experimental da densidade de energia em função da frequencia da radiação de um corpo negro típico (distribuição espectral da densidade de energia). Note nesta Figura que a distribuição tem valor máximo (pico) em torno do comprimento de onda de 2,1 mm. Isto quer dizer a maior parte da radiação armazenada tem comprimento de onda em torno de 2,1 mm.. FES. Page 7.

(11) [LUCIAN LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. A Figura 3 mostra como a distribuição espectral muda com a variação da temperatura do Corpo Negro. Note na figura que os picos estão em:: 0,57 µm a 6000K, 0,72 µm a 5000 K, 0,89 µm a 4000 K, 1,23 µm a 3000 K. Ou seja, o comprimento de onda da principal radiação armazenada diminui com o resfriamento re do Corpo Negro.. Figura 2:: Distribuição espectral da energia de um corpo negro.. Figura 3: Distribuições espectais de um Corpo Negro em diferentes temperaturas. A radiação emitida pelo Corpo Negro terá a mesma distribuição espectral da densidade de energia armazenada. Então, a radiação mais intensa emitida pelo Corpo Negro será a. FES. Page 8.

(12) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. radiação de comprimento de onda (frequencia) de pico. Então o Corpo Negro da Figura 3 emite luz amarela a 6000 K, vermelha a 5000 K, infravermelho a 4000 K e 3000 K.. Cálculo da distribuição espectral de energia De acordo com a Figura 1, uma onda eletromagnética no Corpo Negro é armazenada na forma de onda estacionária. Consideremos então um Corpo Negro retangular de lados Lx, Ly e Lz.. Figura 4: Ondas estacionárias na direção x.. Se olharmos para a face do eixo x, as ondas estacionárias serão resultado de ondas combinadas do tipo:. FES. Page 9.

(13) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. na polarização y e. September 13, 2009. NNNNO  (; P) = Q sin(T  − UP)V + Q sin(T  + UP) V NNNNO  (; P) = Q sin(T  − UP)W + Q sin(T  + UP) W. na polarização z. Ou seja,. NO() (; P) = 2Q sin(T ) cos(UP) V(W ) nas polarizações y ou z. De acordo com a figura, as ondas estacionárias podem ter nós nas extremidades 0 e Lx. Isto quer dizer que:. NO() (Z ; P) = 2Q sin(T Z ) cos(UP) V(W ) = 0 E isto ocorre se. sin(T Z ) = 0 O que significa que. T Z = [\. [ = 0,1,2,3 …. Portanto, o número de onda das ondas estacionárias na direção x serão. T =. [\ Z. [ = ^[P8^_`. (13). Por argumentos análogos ao caso x, as direções y e z possuem ondas estacionárias:. NO() (; P) = 2Q sinaT b cos(UP) V(W ) NO() (; P) = 2Q sin(T ) cos(UP) V(V) E os vetores de onda serão:. T =. FES. [\ Z. [ = ^[P8^_`. (14). Page 10.

(14) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO] T =. [\ Z. September 13, 2009. (15). Como as ondas eletromagnéticas possuem a velocidade constante da luz c = 2,99 × 10d m/s, e T = 2\/e , o comprimento de onda das ondas estacionárias serão:. e = e = e =. 2Z [. 2Z [ 2Z [. Se olharmos os numeros de onda (13), (14) e (15) em termos de eixo cartesiano teremos algo similar a Figura 5.. Figura 5. Observamos na Figura 5 que podemos representar os números de onda como pontos distantes entre si de \MZ numa reta cartesiana. Se organizarmos as retas dos números de. onda kx, ky, kz, na forma de três eixos cartesianos, teremos um espaço vetorial. Este espaço não é o espaço físico, porém tem relação biunívoca com o espaço físico. O espaço dos vetores de onda é chamado espaço recíproco.. A Figura 6 mostra como é o espaço de fase, exceto a casca esférica que será justificada mais tarde. O espaço de fase é o espaço formado pelos pontos dos vetores de onda discretos. Então o espaço se assemelha a uma rede tridimensional onde a trama da rede tem espaçamento \MZ .. FES. Page 11.

(15) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Figura 6: Espaço de fase dos números de onda e casca esférica de raio k e espessura dk nesse espaço.. Sabemos que a energia de uma única onda eletromagnética é. 5 ∝ ghOg =. Q* 2iC c. Ou seja, depende somente da amplitude da onda, e podemos ter várias ondas, com diferentes valores de k com a mesma energia. Em outras palavras, temos vários estados com a mesma energia. Então, a degenerescência, ou o número de estados com a mesma energia, pode ser calculada fazendo as seguintes considerações: O número de estados degenerados pode ser obtido se dividirmos o volume de 1/8 de uma casca esférica de raio k e espessura dk (ver Figura 6) pelo volume da célula mínima unitária da rede, multiplicando por 2, já que cada vetor de onda k tem duas polarizações possíveis de campo elétrico, como vimos no começo do capítulo. E o volume de uma célula unitária é o volume de um cubo de lado \MZ que é a distância mínima entre os pontos da rede do espaço de fase.. 1 2 × `jkl8 8 8 8 cmhcm 8hn8_^cm 2 4\T * T. . = = 8 \+ `jkl8 8 céjkjm k[^Pá_^m Z Z Z. . =. q * T T \*. (16). onde q = Z Z Z e T * = T* + T* + T* . FES. Page 12.

(16) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. A densidade de estados por unidade de k será. >(T) =. . q * = T. T \ *. (17). Como a energia da onda eletromagnética depende somente da amplitude da onda, a densidade de estados energéticos é igual a. >(5) = >(T) =. q * T \*. (18). Vimos anteriormente que a fração ou peso de um único estado de energia é dada pela função de distribuição de Boltzmann. Então a energia total do Corpo Negro é a soma de todas as energias possíveis com os respectivos pesos: B.  = 5 >(5)8 )K9 5 C. (19). Substituindo a densidade de estados do Corpo Negro na equação (19) temos. =. q * B )K9 T 58. 5 \* C. (20). Se dividirmos a equação acima pelo número total de estados e pelo volume, teremos a densidade de energia por unidade de estado e por unidade de volume. Chamamos essa densidade de distribuição espectral: B. 1 * AC 5 8 )K9 5 k= = T B B q A 8 )K9 5 \ * A 8 )K9 5 C. . C. que resulta em:. k=. 1 * E T r− ln Ζs * \ EL. onde Z é a função de partição tal que para >(5) = 1, temos:. k=. FES. q *1 T \* L. Page 13.

(17) [LUCIAN LUCIANA KAZUMI HANAMOTO] t. Como L = :. ;u. September 13, 2009. e T = 2\v//c , onde ν é a frequência ncia em Hertz da radiação, a energia energi do. Corpo Negro por unidade de volume será. k ((v, ) =. 4 * v c*. (wmj8^>x − y8m[h). !. (21). ou em função do comprimento de onda k (e, ) =. 4 e*. !. (22). Figura 7. A Figura 7 é um gráfico que mostra os pontos experimentais e a equação de Rayleigh RayleighJeans dada pela eq (22). Vemos claramente que a equação NÃO descreve o comportamento experimental. Observamos que a equação de Rayleigh-Jeans Rayleigh tende a se ajustar aos dados para comprimentos de onda grandes, ou para baixas frequencias.. FES. Page 14.

(18) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. Planck percebeu que a quantização da energia reproduzia bem os pontos experimentais da radiação do Corpo Negro, como veremos a seguir.. Equação de Planck Note que na equação (21), podemos escrever:. k (v, ) =. 4 * v ?5@ c*. onde ?5@ = ! se calcularmos o valor médio da energia por onda usando a função de partição Z na Estatística de Boltzmann ?5@ = − e. E ln Ζ EL. B. Ζ = 8 )K9 5 C. considerando >(5) = 1 (Exercício 1). Planck assumiu que a energia não varia continuamente, mas sim em quantidades discretas, 5 = [xz. [ = ^[P8^_`. (23). onde 5C = xv é um quantum de energia, ou seja, a unidade mínima de energia, de maneira que a energia de uma onda é um número inteiro dessa energia mínima, e supôs de que a energia de uma onda é proporcional à frequência da onda, onde a constante de proporcionalidade x = 6,63 × 10)+{ Js, conhecida como constante de Planck. Portanto, a energia de uma onda depende da frequência, ao invés da amplitude. Então, a função de partição Z será uma somatória ao invés de uma integral: B. | = } 8 )~K€ = ~C. 1 1 − 8 )K€. de maneira que, ?5@ = − FES. E xv ln Ζ = K€ EL 8 −1 Page 15.

(19) [LUCIANA KAZUMI HANAMOTO]. September 13, 2009. o que resulta em densidade espectral de: k (v, ) =. 4 * 4x v+ v ?5@ = k (v, ) = * K€ * c c 8 −1. (‚jm[cT). (24). Ou, em função do comprimento de onda:. k (e, ) =. 4xc e+. 1. K 8 ƒ. −1. (25). A curva da eq. (25) está desenhada na Figura 7 e podemos observar que a equação de Planck descreve muito bem os pontos experimentais. Além da boa descrição da densidade espectral, a fórmula de Planck descreve também o deslocamento do pico da densidade com a variação da temperatura.. Conclusões Na quantização de Planck a energia da onda eletromagnética não depende da amplitude do campo elétrico mas sim da frequência. A energia varia em quanta de energia, ou seja, varia de forma discreta e não contínua, como o previsto no eletromagnetismo clássico. A teoria clássica é caso limite da teoria quantica, como poderemos concluir do Exercício 2. Exercício 2: Sabendo que se x ≪1 ! Que corresponde a frequências baixas, então €. 8 :; < ≅ 1 +. xv !. Mostre que no limite de frequências baixas a formulação de Planck se reduz ao de Rayleigh. Quais são as implicações disto ?. FES. Page 16.

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