UMA ANÁLISE POR MÉTODOS DE PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO PROGNÓSTICA
DO FLUXO DE MOMENTUM TURBULENTO EM ATMOSFERA ESTRATIFICADA
Alisson D. Macedo-Vitor1, Cláudio C. Pellegrini 2 1.
Universidade Federal de São João del-Rei, Depto. de Ciências Naturais, Praça Dom Helvécio 74, São João del-Rei, MG, 36.307-904, [email protected]. 2 Universidade Federal de São João del-Rei, Depto. Ciências Térmicas
e dos Fluidos, Praça. Frei Orlando 170, São João del-Rei, MG, 36.307-904, [email protected].
RESUMO: A teoria de perturbação, através da técnica das variáveis intermediárias, é aplicada à equação prognóstica da componente vertical do fluxo turbulento de momentum horizontal em atmosfera estratificada. A técnica aplica um estiramento da coordenada vertical à esta equação e obtém resultados em primeira or-dem de aproximação, sem resolver as equações simplificadas obtidas. A análise permite dividir a camada limite atmosférica em regiões, segundo os termos predominantes da equação prognóstica. Através dela, su-porte matemático é criado para algumas observações conhecidas e são também apresentadas algumas novas conclusões sobre o processo de troca de momentum turbulento com a superfície.
ABSTRACT: Perturbation theory (the intermediate variable technique) is applied to the prognostic equation of the vertical component of the turbulent horizontal momentum flux in stratifies atmosphere. The technique applies a coordinate stretching to this equation to obtain first order of approximation results, but no solution of the simplified resulting equations is presented. The analysis yields a division of the atmospheric boundary layer into regions according to the dominating terms in the prognostic equation. The results give mathemati-cal support for some well-known observational results and yield some new conclusions about the turbulent momentum exchange process between the atmosphere and the surface.
Palavras-chave: teoria de perturbação, camada limite atmosférica, fluxo de momentum turbulento.
1. INTRODUÇÃO
Uma descrição bastante conhecida dos Métodos de Perturbação diz que os problemas que podem ser facil-mente abordados por eles são aqueles semelhantes a problemas mais simples, para os quais uma solução ana-lítica exata exista. Na realidade, contudo, a solução por Métodos de Perturbação costuma não ser tão simples assim. Seja como for, apenas a simplicidade do problema associado não é razão suficiente para abordá-lo. É preciso que haja interesse na obtenção de uma solução analítica, o que nem sempre é fácil de se justificar numa época em que as soluções numéricas começam a ser tão confiáveis quanto os dados experimentais e já são possíveis de se obter usando microcomputadores pessoais.
Os Métodos de Perturbação, entretanto, não oferecem apenas soluções analíticas para problemas de in-teresse. Eles também ampliam nosso entendimento físico sobre os fenômenos abordados. Como aponta Hin-ch (1995), pode-se esperar que a análise aprofunde nosso entendimento do fenômeno, através da física sim-plificada do problema limite. Com este fato em mente, este trabalho utiliza uma das técnicas pertencentes aos Métodos de Perturbação para obter informações sobre a dinâmica do fluxo turbulento de momentum na ca-mada limite atmosférica estratificada.
A literatura meteorológica recente contém diversos trabalhos em que os Métodos de Perturbação são utilizados. Naturalmente, alguns problemas específicos prestam-se melhor à análise, devido à presença de um parâmetro pequeno nato do problema, como é o caso da camada limite atmosférica (CLA) sobre peque-nas ondulações do terreno. Pellegrini (2006a) apresenta uma breve revisão da literatura que aborda o pro-blema. Um outro exemplo é o estudo de Baldauf e Fiedler (2003), que se se dedica a obter uma parametriza-ção do comprimento de rugosidade efetivo em terreno plano. Tanto este quanto os autores revisados por Pel-legrini (2006a) utilizam em seu trabalho o método das expansões assintóticas combinadas, uma das técnicas mais conhecidas dentro dos Métodos de Perturbação. Uma técnica bem menos conhecida é a das variáveis intermediárias (TVI), também rapidamente revisada em Pellegrini (2006a), cujo uso é bem menos difundido em meteorologia. A busca na literatura recente mostrou apenas o autor e seus colaboradores: Pellegrini e Bodstein (2005), Pellegrini (2006a, 2006b, 2006c), Pellegrini e Macedo-Vitor (2007).
Este estudo é uma seqüência dos trabalhos anteriores e busca melhorar nosso entendimento sobre o processo de troca de quantidade de movimento turbulento entre a superfície e a CLA. Em particular, ele es-tende os resultados de Pellegrini e Macedo-Vitor (2007) para a atmosfera estratificada. O principal resultado
da análise é estabelecer as regiões de predomínio, dentro da extensão vertical da CLA, dos termos da equa-ção prognóstica do fluxo turbulento vertical de momentum horizontal.
2. ANÁLISE MATEMÁTICA E RESULTADOS
A equação prognóstica para o fluxo turbulento de momentum, eq.(1), em regime permanente pode ser obtida de Stull (1997). Nela, as barras representando as médias foram omitidas por simplicidade. Os termos são definidos como se segue: o termo do lado esquerdo é a advecção de momento turbulento pelo vento mé-dio (A) e os termos do lado direito são, respectivamente, a produção de turbulência (P), a difusão turbulenta (D), a flutuação turbulenta (F), a componente x do transporte pela pressão (TPx), a componente z do trans-porte pela pressão (TPz), as componentes z e x do retorno-à-isotropia (RIz) e (RIx), as componentes x, y e z da difusão molecular (Difx), (Dify) e (Difz), as componentes x, y e z da dissipação viscosa (Disx), (Disy) e (Disz). ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) V V u w u w u w u v w x y z u u u w w w w u w v w w u u u v u w x y z x y z u u w u v w u w w g p w p u u w u p x y z x z z x 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 u w u w u w u w u w u w x x y y z z x y z (1)
A definição das variáveis utilizadas para adimensionalização da eq.(1) segue Pellegrini (2006):
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 * * * * 0 0 * ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; x y z g g c V V V V x w z u v w X W Z U V W L L L U U W u v w p U V W P u u w w (2)
Nas eqs. (2) as letras maiúsculas representam as variáveis adimensionais. Os comprimentos característi-cos, LX e LY são considerados constantes, mas LZ deve variar com a estratificação atmosférica. O vento geostrófico, Ug, é usado como velocidade de escalonamento para u e v, assumindo que o balanço geostró-fico ocorre no limite da CLA. A velocidade WC não necessita ser precisamente definida no momento. As
velocidades de atrito, u*e w* são usadas para escalonar as velocidades turbulentas '
u , v', w'. A temperatura de atrito é expressa por *. O valor
2
0 *u é usado como fator de escalonamento para p' em todos os termos.
As definições de u*, w* e * são tradicionais e podem ser encontradas, por exemplo, em Pellegrini (2006a).
Aplicando as definições das eqs. (2) à eq. (1), obtemos a forma adimensional desta:
1 ' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ibs * * ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * * 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 R ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( L V V L U W U W U W U V W X Y Z U U U U W W W U W V W W W U U U V U W X Y Z X Y Z U U W U V W U W W P W P X Y Z X ' ' ' ' ' ' 2 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 L R R U U W P P X Z Z U W U W U W U W U W U W X X Y Y X Y Z Z Z (3)
em que Re /U Lg X é o número de Reynolds; Ribs g L1 z 0Ug2 é uma forma alternativa para o número de Richardson, sendo que Ribs 0 implica atmosfera instável e Ribs 0 atmosfera estável. Os parâmetros
pequenos são definidos por * u U*/ g, L Lx/Lz, R 1/ Re e *1 */ 1. A análise de Pellegrini (2006b) da equação da conservação da massa mostra que L Lx/ z O U Ws g/ c e este resultado é aplicado aqui para simplifica os termos A, P, D, F, T, TPz e RIz.
O estiramento da coordenada vertical é feito porZ Z/ , onde é um parâmetro pequeno que varia continuamente no intervalo ]0,1]. Aplicando as conclusões de Pellegrini (2006) sobre a ordem de grandeza dos termos da equação da conservação da massa, obtém-se que as componentes de A, P e D são de mesma ordem, para qualquer . Desta forma, os termos da eq.(3) assumem as ordens: A O( )P O(1), D O( )* ,
1
2 * *
( ibs L/ )
O R
F ,Tpx e RIx= ( )O * ,Tpz e RIz= ( /O * L2),Difxy e Disxy= ( )O R e Difz e Disz O( / )R 2 . Os valores de que fazem com que estes termos sejam de mesma ordem geram os limites distintivos, ou seja, regiões ou pontos de troca de termos dominantes na eq. (3). Comparando todas as ordens de grandeza entre si, foram obtidos nove limites distintivos, apresentados na Tabela 1. Nem todos, no entanto, fornecem resultados úteis. É o caso, por exemplo, de 8 no intervalo [ 2, 0] e de 6 em [ 2,1.5] que nos levam a limi-tes distintivos maiores que 1, fora portanto do intervalo de variação de .
A fim de determinar a variação dos limites distintivos com a estratificação da atmosfera, assumiu-se que os valores típicos de todas as variáveis utilizadas para definir os parâmetros adimensionais ( *, L, R, *1 eRibs), são funções lineares de z L/ MO (sendo LMO o comprimento de Monin-Obukov) nos intervalos [ 2, 0] e [0,1.5]. A tabela 2 mostra os valores típicos utilizados para os limites mais est´vel e mais instável de nossa análise, obtidos de Pellegrini (2006b). O intervalo [ 2,1.5] foi escolhido por ser onde se encontram os dados experimentais mais confiáveis.
Termos Limites distintivos
A e P =O(Tpz e RIz) 1 */ 2L
A e P =O(Difz e Disz) 2 R
D = O(Difz e Disz) 3 R/ *
F = O(Tpz e RIz ) * ibs 1
2 4 4 /R L *
F = O(Difz e Disz ) ibs * 1
-1 2 1 5 * RR L Tpz e RIz = O(Difxy e Disxy ) 6 */ R L2 Tpz e RIz = O(Difz e Disz) 7 L R2 / * 61
Tpx e RIx = O(Tpz e RIz ) 8 1/ L2
Tpx e RIx = O(Tpz e RIz ) 9 1
Tabela 1. Limites distintivos e valores típicos dos fatores de escala. Variáveis Estável Neutro Instável
Lx (m) 1000 1000 1000 Ly (m) 1000 1000 1000 Lz (m) 500 1000 3000 Ug (m/s) 10 10 10 0,2 0,3 0,8 0,8 1 2 -0,3 0 3
Ribs -1,0E-02 0 3,0E+00 1,0E-02 1,0E+00 3,0E+00 2,0E-02 3,0E-02 8,0E-02 1,5E-09 1,5E-09 1,5E-09 2,7E+00 1,0E+20 6,7E-01 L * R (m/s) * u *(K) 1(K) 1 * 2 */ L
A equação (3) depende de diversos parâmetros adimensionais, nominalmente *, L, R, *1 e Ribs. Observa-se que R é o único parâmetro independente de e que alguns parâmetros não são pequenos em todo o intervalo considerado. A comparação de ordens de grandeza levou este fato em consideração, mas optou-se por não utilizar um símbolo diferente de para representar tais parâmetros, por simplicidade.
A figura 1 mostra os limites distintivos obtidos na análise anterior. Como cada um deles representa a região onde os termos trocam de dominância na eq. (3), a figura fornece um mapeamento da CLA sob o pon-to de vista do fluxo de momentum turbulenpon-to considerado e em primeira ordem de aproximação. As princi-pais características que emergem da figura serão analisadas na próxima seção.
Figura 1: Termos dominantes em função de e
4. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES
A figura 1 é o principal resultado do presente trabalho e resume as conclusões obtidas pela análise por métodos de perturbação aplicada. A estrutura em várias camadas, típica deste tipo de análise, é observada e suas principais características são comentadas a seguir. Adotando a nomenclatura mais usada em métodos de perturbação, as legendas da figura inscritas num retângulo arredondadas representam regiões (interna ou ex-terna). As inscritas num retângulo representam regiões de sobreposição (overlap regions) e as incritas em elipses referem-se ao encontro de tais regiões, que aparecem na figura como um ponto, mas são, evidente-mente também regiões.
Em todo o regime de estratificação instável, a CLA apresenta-se dividida em duas regiões. Na interna, predominam os termos de difusão, dissipação, transporte por pressão e retorno à isotropia. Na externa, domi-nam a CLA em primeira ordem de aproximação os termos de flutuação, transporte por pressão e retorno à isotropia. Entre estas duas regiões, aparece uma região de sobreposição em que predominam os termos de transporte por pressão e retorno à isotropia. Na sub-região mais próxima à superfície predominam apenas os termos de difusão e dissipação, como era de se esperar, e na sub-região mais próxima ao topo da CLA pre-domina apenas o termo de flutuação. Observe-se que os termos de difusão turbulenta são sempre uma corre-ção de ordem superior e nunca aparecem em nossa análise, independente do regime de estratificacorre-ção atmos-férica (a eq. (3) mostra que eles são de ordem *). O mesmo ocorre com os componentes x da maioria dos termos, de modo que os componentes mencionados na descrição acima são, de fato, quase todos na direção z, conforme mostra a figura.
À medida que nos aproximamos do regime neutro, o termo de flutuação desaparece da análise. A CLA fica dividida em duas regiões, em que predominam os termos de difusão, dissipação, transporte por pressão e retorno à isotropia (região interna) e transporte por pressão, retorno à isotropia, advecção e produção (região externa). Entre estas permanece a região de sobreposição em que dominam os termos de transporte por pres-são prespres-são e retorno à isotropia e abaixo da inferior permanece a sub-região em que dominam os termos de
Difz, Disz, Tpz, RIz F, Tpz, RIz Tpz, RIz
F
A,
P
Disz, Difz Tpz, RIz A, P, Tpz, Riz Tpz, RIzF
F, Tpz, RIz F, Disz, Difz, Tpz, RIz-2
0
1,5
Disz, Difz Disz, Difzdifusão e dissipação. A sub-região que define o topo da CLA é agora dominada pelos termos de advecção e produção. É interessante observar que os limites da sub-região superior não coincidem nos regimes neutro e instável, por que os termos de flutuação e advecção não são da mesma ordem de grandeza.
O regime estável é mais complexo do que os anteriores, como se poderia antecipar com base em experi-mentos (Mahrt, 1998, por exemplo). Até certo limite, a divisão obtida para o caso instável simplesmente se mantém. A partir deste ponto (na verdade uma pequena região), a região de sobreposição dominada pelos termos de transporte por pressão e retorno à isotropia desaparece. No ponto em si, predominam os termos de flutuação, transporte por pressão, retorno à isotropia, difusão e dissipação. Para estratificações mais estáveis do que a definida pelo ponto anterior, a CLA mostra-se dividida em apenas uma região, dominada por efeitos de flutuação, transporte por pressão e retorno à isotropia. Abaixo desta, em contato com a superfície, aparece a onipresente sub-região de domínio dos efeitos de difusão e dissipação, e acima, até o topo, fica a CLA do-minada tão somente pela flutuação. O ponto em que a divisão instável da CLA deixa de valer pode ser utili-zado para dividir a região estável nos casos fracamente e fortemente estável. Um pequeno intervalo (em
) ao redor do ponto pode ser usado para definir o caso moderadamente estável.
A partir da descrição geral acima, pode-se fazer alguns comentários finais. Em primeiro lugar, a des-crição do caso neutro obtida deveria coincidir com a análise de Macedo-Vitor (2007). Isto de fato não ocorre, devido a um erro de cálculo daquela análise, que mostra o termo de difusão turbulenta de mesma ordem de grandeza que os termos de transporte por pressão e retorno à isotropia. Outro ponto a considerar é o fato das regiões encontradas na figura terem sido definidas numericamente, avaliando valores discretos das grandezas típicas e, portanto, dos ’s. Este resultado decorreu da necessidade de comparar nove limites distintivos entre si, o que, por motivos óbvios, não pôde ser feito graficamente. Optou-se, então, por relacionar todos os limi-tes distintivos ao regime de estabilidade (definido por
) e, para isto, foi necessário assumir variação linear das grandezas típicas com
. Perdeu-se, assim, a possibilidade de obter expressões analíticas para os limites distintivos variando com
Por fim, cumpre citar que nossas conclusões não são comparadas com resultados da observação ou do experimento pela ausência de tais dados na literatura. Ainda que medidas de fluxo turbulento sejam relati-vamente comuns, medidas dos termos da eq. (1) não o são. O que pode ser encontrado na literatura são tados de simulação, por exemplo Therry e Lacarrère (1983) para a CLA diurna, mas infelizmente seus resul-tados são inadequados para comparação.
AGRADECIMENTOS: Os autores AGRADECEM à FAPEMIG pelo apoio financeiro concedido através de bolsa de iniciação científica.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Hinch, E. J.: 1995, Perturbation Methods, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 160 pp.,
Macedo-Vitor, A.D., Pellegrini, C.C.: 2007, ‘Um estudo das equações prognósticas da turbulência por méto-dos de perturbação’, anais do IV Workshop Bras. Micrometeor., Santa Maria, RS, Brasil. CD-ROM. Mahrt, L.: 1998, ‘Nocturnal boundary-layer regimes’, Bound.-Layer Meteor. 88, 255–278.
Pellegrini, C.C. and Bodstein, G.C.R.: 2005, ‘A modified logarithmic law for neutrally stratified flow over low-sloped hills’, J. App. Meteor., 44 (6), 900—916.
Pellegrini, C.C.: 2006a, submitted, ‘A study of the stratified atmospheric boundary layer through perturba-tion techniques – part I: conservaperturba-tion of mass and x-momentum equaperturba-tions’, proceedings of the XIV CBMet, Florianópolis, SC, Brasil. CD-ROM
Pellegrini, C.C.: 2006b, submitted, ‘A study of the stratified atmospheric boundary layer through perturba-tion techniques – part II: conservaperturba-tion of energy and z-momentum equaperturba-tions’, proceedings of the XIV CBMet, Florianópolis, SC, Brasil. CD-ROM
Pellegrini, C.C.. ‘A study of the stratified atmospheric boundary layer through perturbation techniques: part II: conservation of energy and vertical momentum’. In: CBMet, 14., 2006c, Florianópolis. Proc., Flo-rianópolis, 2006. CD-ROM
Stull, R. B.: 1997, An Introduction to Boundary Layer Meteorology, 6th ed., Dordrecht, Kluwer Ac. Publ., 670 pp.
Therry, G. and Lacarrère, P., 1983, ‘Improving the eddy kinetic energy model for planetary boundary layer description’, Bound.-Layer Meteor. 25, 63-88
