Cálculo da produção de neutrinos atmosféricos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Instituto de Física “Gleb Wataghin”

GABRIELA VITTI STENICO

CÁLCULO DA PRODUÇÃO DE NEUTRINOS

ATMOSFÉRICOS

CAMPINAS

2015

CÁLCULO DA PRODUÇÃO DE NEUTRINOS

ATMOSFÉRICOS

Dissertação apresentada ao Instituto de Física “Gleb Wataghin” da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestra em Física.

Orientador: Orlando Luis Goulart Peres Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pela aluna Gabriela Vitti Stenico e orien-tada pelo Prof. Dr. Orlando Luis Gou-lart Peres.

CAMPINAS

2015

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 156339/2013-7; FAPESP,

2014/00347-3

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Stenico, Gabriela Vitti,

St42c SteCálculo da produção de neutrinos atmosféricos / Gabriela Vitti Stenico. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SteOrientador: Orlando Luís Goulart Peres.

SteDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Ste1. Neutrinos. 2. Partículas (Física nuclear). 3. Chuveiro em cascata. I. Peres, Orlando Luís Goulart,1969-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Computation of atmospheric neutrinos flux Palavras-chave em inglês:

Neutrinos

Particles (Nuclear physics) Cascade shower

Área de concentração: Física Titulação: Mestra em Física Banca examinadora:

Orlando Luís Goulart Peres [Orientador] Diego Rossi Gratieri

Ernesto Kemp

Data de defesa: 13-11-2015

Programa de Pós-Graduação: Física

Aos meus pais, Claudia e José Edimilson, pelo amor incondicional.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente à Deus, pela minha maravilhosa vida, pelas oportuni-dades que vieram, pela ajudinha nos momentos de dificuldade (e preguiça!), pelas pessoas incríveis colocadas em meu caminho e pelos dias que virão (ou não...).

Aos meus pais, Claudia e José Edimilson, sou grata pelo carinho, pelo zelo, pelo incentivo e suporte aos estudos e por todos os sábios conselhos que me ajudaram a conquistar um espaçinho no mundo. São meu exemplo de perseverança, trabalho duro, compaixão aos mais necessitados e amor incondiconal. Obrigada, mama e papi!

Agradecimentos muito especiais ao meu orientador, Professor Doutor Orlando Luis Goulart Peres, por ter me aceito como estudante, mesmo eu não tendo experiência na área, pela confiança no desenvolvimento do projeto de mestrado, pela infinita paci-ência com meus erros, pelo incentivo a buscar mais e mais conhecimento, por todas as oportunidades de divulgação de nosso trabalho em congressos e eventos científicos e dos contatos apresentados, por se mostrar, além de um grande pesquisador, um ser humano de inestimável valor. Valeu por tudo, Prof! Vou me esforçar mais!

Aos Professores do Grupo de Estudos de Física e Astrofísica de Neutrinos, agradeço por também auxiliarem em meu aprendizado científico, através das reuniões semanais, participação em eventos, oportunidades de colaboração e grupos de estudo. Agradeço também aos Professores Marcus Aguiar e Márcio Menon pela excelente didática nas disciplinas que cursei ao longo do mestrado.

Não poderiam faltar aqui agradecimentos aos meus colegas e amigos do IFGW, pelos momentos de aprendizado nas reuniões de grupo, mas também pelas boas risadas na hora do café e nas confraternizações do departamento. Obrigada, Mônica e Mary, pela parceria, pelas conversas aleatórias e pelos amplos conhecimentos em astrologia! Obrigada, B.D., por emprestar o leite em pó e por entender quando faço referências ao interior paulista! Obrigada, Gibran, pelas explicações sobre estrelas de nêutrons e sobre o “Digimundo”. Obrigada Diego, Fernando, Roberto e Miguez por compartilharem suas experiências acadêmicas e de vida. É sempre bom ouvir os mais velhos! Obrigada, Cesinha, pelos usuais discursos e gentilezas! Felipe e Zahra, agradeço aos seus ensinamentos acerca de ajuste de curvas e demais assuntos. Valeu! Aos demais amigos, Sílvia, Thales, Luís Fernando, Lucas, Vanessa, Miguel, Thaís, Carol, Kellen, Heitor, Kevin e Sérgio deixo o meu muito obrigada. Aprendi muito com vocês, pessoal!

Ainda sobre os amigos, deixo esse parágrafo para agradecer imensamente aos meus colegas da Sala (ou Manicômio) 205, pelas valiosas discussões relacionadas às disci-plinas e ao conteúdo do mestrado, que foram indispensáveis para o bom êxito dos mesmos, além dos momentos de descontração e insanidade. Ao Renan, agradeço por fornecer sua dis-sertação como bibliografia mandatória ao meu projeto de pesquisa, pelas discussões acerca dos resultados e pela ajuda em ferramentas computacionais. Ao Paulo Victor, agradeço

do mestrado. Ao Rafael, pelo bom humor e pelas companhias noturnas ao bandejão. Ao Luiz Augusto, agradeço pelas diversas receitas culinárias e por nos ensinar exercícios de agachamento! E finalmente, agradeço ao Pedro pela parceria durante o mestrado, a qual resultou em um cálculo original à dissertação e uma preciosa amizade. Obrigada, querido! Agradeço também aos funcionários do IFGW que muito me ajudaram com as burocracias necessárias, reservas de salas, envio de relatórios às agências de financiamento, material de escritório, pintura da sala, entre outros. O trabalho ficou muito mais fácil com a ajuda de vocês: Eliene, Eduardo, Armando, Luciana, Miguel e Alessandra.

Por fim, gostaria de agradecer ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cien-tífico e Tecnológico (CNPQ) e à Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeiro durante todo o período do mestrado.

Resumo

Neutrinos atmosféricos são produzidos a partir de interações de raios cósmicos com a

atmosfera terrestre que geram partículas secundárias instáveis as quais decaem fracamente em neutrinos. Por possuirem um amplo espectro de energia, que engloba algumas centenas de MeV a energias na ordem de TeV, esses neutrinos são bons objetos no teste de novas teorias, bem como no estudo do fenômeno de oscilação de neutrinos, onde há mudança do estado de sabor do neutrino para outro. Além disso, neutrinos atmosféricos constituem o ruído de fundo na calibração de telescópios de neutrinos astrofísicos e na busca por processos raros, o que nos motiva a estudar como se dá sua produção e evolução na at-mosfera. Desse modo, buscamos determinar o fluxo de neutrinos atmosféricos através das reações básicas de criação dos mesmos por interações fracas e dos processos de absorção e espalhamento das partículas-mães carregadas, como píons e múons, gerados pela interação de prótons, principal constituinte dos raios cósmicos, com a atmosfera. Para isso, proce-deremos a resolver sistemas de equações de cascatas que relacionam termos sumidouros e fonte das partículas do fluxo para obtermos sua evolução até a superfície terrestre, de modo a incluir as características da atmosfera e geometria de incidência do feixe de partículas primárias, avaliando a consistência dos cálculos e comparando-os com resultados presentes na literatura. Feito isso, estenderemos o resultado incluindo um decaimento exótico, que não existe no Modelo Padrão, para ver se podemos testá-lo em experimentos de neutrinos atmosféricos.

Atmospheric neutrinos are produced by interactions of cosmic rays with the Earth’s

at-mosphere that create unstable secondary particles which weakly decay into neutrinos. Because of its wide energy spectrum, that covers energies of few hundred of MeV until energies on the order of TeV, these neutrinos are good objects on the test of new theo-ries as well as the study of neutrino oscillation phenomenon where there is a change in the state of neutrino flavour to another. In addition, atmospheric neutrinos constitute background and calibration beam for astrophysical neutrino telescopes and the search for rare processes, which motivates us to study how is its production and evolution in the atmosphere. In this way, we want to determine the flux of atmospheric neutrinos through the basic reactions of its creation by weak interactions and the processes of absorption and scattering of charged parent particles, as pions and muons, generated by the interac-tion of protons, main constituent of cosmic rays with the atmosphere. For this, we will solve cascade equations that relate source and sink terms of the particle flux to obtain its evolution until the earth surface, including the atmosphere characteristics and geometry of primary particle incidence beam, evaluating the consistency of the calculations and comparing them with the results found in the literature. Done that, we will extend the results including an exotic decay, which does not exist in the Standard Model, to see if we can test it on atmospheric neutrino experiments.

Lista de Figuras

1.1 Fluxos de Raios Cósmicos . . . 20

1.2 Produção de Neutrinos Atmosféricos . . . 21

2.1 Definição das variáveis que descrevem a atmosfera. . . 26

2.2 Representação de uma coluna de ar em equilíbrio com a força gravitacional através de um gradiente de pressão. . . 27

2.3 Comparação da Equação (2.14) com dados de densidade atmosféria em relação a altitude. . . 28

3.1 Diagrama dos fluxos de partículas produzidas na atmosfera que calculare-mos a partir de um fluxo inicial de raios cósmicos (prótons). . . 30

3.2 Fluxo integral de prótons com E > 1 GeV em função da gramagem. . . . . 33

3.3 Fluxo integral de píons nos regimes de baixa e alta energia para E > 1 GeV. 35

3.4 Fluxo de píons em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{. . . . 36}

3.5 Fluxos integrais e interpolado de píons em função da gramagem . . . 37

3.6 Fluxos de píons em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2 _incluindo

inter-polação. . . 38

3.7 Fluxo integral e interpolado dos neutrinos do decaimento do píon para E >1 GeV em função da gramagem 𝑡. . . . 40 3.8 Fluxos de neutrinos em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2 incluindo

interpolação.. . . 40

3.9 Fluxos integrais de múons do decaimento de píons para E > 1 GeV em função da gramagem, considerando e desconsiderando a perda de energia. . 44

3.10 Fluxos de múons em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2 _{incluindo e não}

incluindo perda de energia. . . 45

3.11 Fluxos integrais de neutrinos do decaimento de múons para E > 1 GeV em função da gramagem. . . 46

3.12 Fluxos de neutrinos do decaimento do múon em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2. . . 46

g/cm . . . 47

3.14 Fluxos integrais de raios cósmicos com E > 1 GeV como função da grama-gem obtidos por Gaisser et al . . . 48

3.15 Comparação dos fluxos integrais de píons, múons e neutrinos muônicos com E > 1 GeV como função da gramagem, com resultados obtidos numerica-mente por Gaisser et al . . . 49

3.16 Espectro de energia das partículas produzidas na atmosfera para 𝑡 = 100 g/cm2_{. . . . 50}

4.1 Diagrama de Feynman que descreve o decaimento de um 𝜋+ em 𝑙+ + 𝜈 𝛽+𝜒,

onde 𝛽 = 𝑒, 𝜇, 𝜏, mostrando o acoplamento entre o escalar 𝜒 e os neutrinos 𝜈𝛼 e 𝜈𝛽 . . . 51

4.2 Fluxos de neutrinos em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{do decaimento}

do píon considerando o canal 𝜋 → 𝜇 + 𝜈 + 𝜒 para alguns valores de |𝑔𝛼𝜇|2. 55

4.3 Fluxos de neutrinos em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{do decaimento}

do píon considerando o canal 𝜋 → 𝑒 + 𝜈 + 𝜒 para alguns valores de |𝑔𝑒𝑒|2. . 56

A.1 Diagrama de Feynman que descreve o decaimento de um 𝜋+ _{em 𝜇}+ _{+ 𝜈}

𝜇. . 62

Lista de Tabelas

1 Tipos de neutrinos associados aos seus parceiros carregados. . . 15

1.1 Composição dos raios cósmicos primários. . . 19

3.1 Principais Equações e Figuras obtidas nos cálculos dos fluxos da partículas na atmosfera. . . 47

B.1 Funções para o decaimento do múon. . . 68

B.2 Distribuições de energia dos neutrinos do decaimento do múon no referencial de laboratório no regime ultrarrelativístico. . . 70

Introdução 15

1 Neutrinos Atmosféricos 19

1.1 Fluxo de neutrinos atmosféricos . . . 21

2 Propagação de Partículas e Descrição da Atmosfera 23 2.1 Equação de Cascata . . . 23

2.2 Atmosfera terrestre . . . 25

3 Cálculo do Fluxo de Partículas na Atmosfera 30 3.1 Fluxo de Prótons . . . 31

3.2 Fluxo de Píons . . . 34

3.3 Fluxo de Neutrinos do Decaimento do Píon . . . 37

3.4 Fluxo de Múons do Decaimento do Píon . . . 41

3.5 Fluxo de Neutrinos do Decaimento do Múon . . . 44

3.6 Fluxos Integrais e Espectro de Energia . . . 45

4 Fluxo de neutrinos atmosféricos devido ao canal 𝜋 → 𝑙+ 𝜈 + 𝜒 51

5 Conclusões 57

Referências Bibliográficas 59

A Cálculo da Taxa de Decaimento do Píon 62

15

Introdução

Neutrinos são partículas elementares neutras produzidas pelo decaimento de

partículas instáveis e elementos radioativos. Pertencem à classe dos léptons, férmions que não sentem a força forte e, até onde se sabe, há três tipos, ou “sabores” diferentes de neutrinos, cada um associado a um lépton carregado como mostra a Tabela (1) [1]. Cada par neutrino-lépton carregado é chamado de geração e contém propriedades de simetria, como por exemplo o número leptônico que se conserva em interações de neutrinos com outras partículas e em decaimentos.

Tabela 1: Tipos de neutrinos associados aos seus parceiros carregados.

Neutrino Partícula carregada

𝜈𝑒 Elétron (𝑒)

𝜈𝜇 Múon (𝜇)

𝜈𝜏 Tau (𝜏)

A maioria dos neutrinos presentes no Universo surgiu há cerca de quatorze bilhões de anos [1]. Atualmente, eles constituem a radiação cósmica de fundo e outros neutrinos estão constantemente sendo produzidos em reatores, aceleradores de partículas, fontes radioativas, em colisões de raios cósmicos com a atmosfera terrestre, e durante o nascimento, colisões e morte de estrelas, particularmente explosões de supernovas.

O neutrino foi primeiramente postulado em Dezembro de 1930 por Wolfgang Pauli para explicar o espectro de energia do decaimento beta, o decaimento de um nêu-tron em um próton e um elénêu-tron. Pauli propôs que uma partícula não detectada estava carregando a diferença de energia e momento angular entre as partículas do estado inicial e final da reação. Devido às suas propriedades, a primeira detecção experimental dos neutrinos ocorreu somente vinte e cinco anos após sua primeira evidência física. Em 1956, Cowan, Reines e outros publicaram um artigo [2] onde detectaram neutrinos produzidos em reações nucleares interagindo em um alvo. Devido ao caráter do neutrino de ter uma interação com a matéria extremamente fraca, o experimento foi apelidado de experimento

Em 1962, Leon M. Lederman, Melvin Schwartz e Jack Steinberger mostraram que existia mais de um tipo de neutrino com a detecção pioneira do neutrino do múon (𝜈𝜇) [3]. Quando um terceiro tipo de lépton, o tau (𝜏), foi descoberto em 1975 [4] no Stanford

Linear Accelerator (SLAC), esperava-se que também houvesse a ele um neutrino associado.

A primeira evidência desse terceiro tipo de neutrino veio da observação da diferença de energia e momento das partículas no decaimento do tau, análogo ao decaimento beta. Sua detecção foi anunciada no verão de 2000 pela colaboração DONUT no Fermilab [5].

Um método prático de investigação das massas dos neutrinos foi sugerido por Bruno Pontecorvo em 1957 [6] usando analogia com o sistema dos káons (𝐾) neutros. Ao longo dos dez anos subsequentes, ele desenvolveu o formalismo matemático e a formulação de oscilação no vácuo, usando a hipótese de Z. Maki, M. Nakagawa e S. Sakata, em 1967, de que os estados de sabores 𝜈𝑒 e 𝜈𝜇 (o 𝜈𝜏 não fora descoberto ainda) eram misturas

de dois estados de massa [7]. A oscilação é o fenômeno quântico de mudança de um tipo de sabor de neutrino para outro, como por exemplo neutrino muônico para neutrino tauônico [8]. Em 1985, Stanislav Mikheyev e Alexei Y. Smirnov, expandindo o trabalho de Lincoln Wolfenstein de 1978 [9], notaram que esta oscilação de sabor podia ser modificada quando neutrinos se propagavam através da matéria [10]. Este efeito, chamado MSW, é importante no estudo de neutrinos, por exemplo, em experimentos que cruzam uma parte do interior terrestre como o experimento MINOS [11] e o experimento DUNE [12]; e também de neutrinos eletrônicos emitidos pelo Sol, os quais oscilam ao atravessarem seu denso interior e atingem a Terra. A diminuição do fluxo de neutrinos eletrônicos vindos do Sol foi descoberta pelo experimento Homestake [13] e confirmada, principalmente, pelo experimento SNO [14] o qual foi muito importante na solução do problema do neutrino solar, em 2002, pois até então não se sabia a que se devia a diminuição do fluxo dos neutrinos eletrônicos vindos do Sol. Em 2015, foi concedido o prêmio Nobel ao diretor do experimento SNO Arthur McDonald.

No ano de 1994, houve a proclamação de possíveis oscilações de neutrinos vista pelo experimento LSND (Liquid Scintillator Neutrino Detector), onde os resultados obtidos foram controversos e forneceram evidências que antineutrinos muônicos oscilavam em antineutrinos eletrônicos. Só em 1998, o experimento Super-Kamiokande detectou pela primeira vez, com certeza, a oscilação de neutrinos [15], usando dados de neutrinos atmosféricos, que foi reconhecido com o Prêmio Nobel em 2015, concedido ao líder do experimento, T. Kajita. O Super-Kamiokande consistia de um detector de cinquenta quilotoneladas de água pura, que serviam como alvo para os neutrinos. Este e experi-mentos de neutrinos de reatores como o Double Chooz [16], Daya Bay [17] e RENO [18] completaram o quadro mostrando que todos os ângulos de mistura dos neutrinos são não nulos e portanto todas as possíveis oscilações são possíveis: 𝜈𝜇 → 𝜈𝜏 e 𝜈𝜇 → 𝜈𝑒. As

informações destes experimentos mostraram pela primeira vez um dado experimental que o Modelo Padrão das Partículas Elementares formulado por Glashow, Weinberg e

17 Salam [19, 20, 21], o qual descreve as interações das partículas elementares, não podia prever: a oscilação de neutrinos.

Conforme falado anteriormente, nos dados dos experimentos de neutrinos at-mosféricos se observou o primeiro sinal claro de oscilações de neutrinos. Além disso, neutrinos atmosféricos são importantes na constituição do ruído de fundo na busca de neutrinos de origem astrofísica e de altas energias e na pesquisa por processos raros ou novos, tais como o decaimento do próton. Também são convenientes para experimentos dedicados ao estudo de interações fracas, por seu espectro de energia e distribuição angu-lar na atmosfera serem precisamente calculados [22] e discriminados em relação a outras fontes de neutrinos. Nosso objetivo nesta tese de mestrado é calcular de forma indepen-dente o fluxo dos neutrinos atmosféricos e fazer alterações nestas previsões para casos não pensados originalmente. Para isto devemos primeiro entender como se calcula o fluxo padrão de neutrinos atmosféricos para depois estendermos e incluirmos casos exóticos que descreveremos mais adiante.

Iremos, portanto, trabalhar com a física por trás da produção de neutrinos

atmósfericos, introduzindo como são produzidos a partir das reações básicas de criação de

neutrinos por interações fracas e os processos de absorção e espalhamento das partículas mães carregadas, como píons e múons [23]. Trabalharemos com um fluxo inicial de prótons e obteremos o fluxo de píons, múons e neutrinos produzidos, assumindo que píons e múons são absorvidos e perdem energia durante o percurso. Este sistema resultará em equações diferenciais e é chamado sistema de equações de cascata, bem explicado na Ref. [24]. Em todos os estágios iremos tentar obter uma solução analítica e quando não possível, obter uma solução numérica, para entendermos os mecanismos envolvidos. Uma vez calculado o fluxo de neutrinos, comparamos o resultado com um cálculo totalmente numérico presente na literatura [25] para avaliarmos a coerência dos fluxos obtidos.

Com os fluxos de neutrinos atmosféricos em mãos, estendendemos o resultado incluindo um decaimento que não existe no Modelo Padrão, onde majorons [26, 27] são emitidos no decaimento exótico de píons juntamente com os neutrinos, e que pode ser tes-tado mediante a mudança dos fluxos dos neutrinos quando comparados com o decaimento convencional, de modo que podemos colocar limites para a existência de tal processo utili-zando dados de experimentos de neutrinos atmosféricos, como por exemplo o ICECUBE, que detectou neutrinos atmosféricos de energias na ordem de centenas de TeV [28], e de futuros experimentos como o HyperKamiokande [29], que estará operacional em alguns anos, e é vinte vezes maior que o maior experimento já construído, o Super-Kamiokande já mencionado anteriormente que possui aproximadamente uma taxa de 2256 eventos (𝑁𝑒)

por ano [30] e um erro estatístico (𝜎) de mais ou menos 2% (𝜎 ≈√𝑁𝑒). No

HyperKamio-kande é prevista uma enorme estatística de um milhão de eventos ao ano que poderá ser mais sensível a fenômenos que não seriam possíveis antes ou fenômenos novos.

dos fluxos de neutrinos atmosféricos a partir de raios cósmicos primários. O texto está organizado da seguinte maneira: no Capítulo1 tem-se um breve descrição dos neutrinos atmosféricos e como é calculada de modo geral sua produção via decaimento de píons e múons e a propagação das partícula em um meio. No Capítulo2descrevemos a equação de cascata, que será utilizada em todo o trabalho, e fazemos uma aproximação da densidade atmosférica terrestre relacionando-a com os termos da equação. No Capítulo 3 fazemos o cálculo do fluxo de partículas, utilizando as considerações do Capítulo2, apresentando os resultados obtidos e comparando com cálculos da literatura. No Capítulo4 mostramos como o fluxo de neutrinos é modificado quando incluímos um canal de decaimento que não é descrito pelo Modelo Padrão e encerramos com Capítulo 5mostrando as principais conclusões obtidas nesse trabalho.

19

Cap´ıtulo

1

Neutrinos Atmosféricos

Neutrinos atmosféricos são criados pela interação de raios cósmicos primários

com núcleos da atmosfera terrestre. Os raios cósmicos primários são majoritariamente compostos por prótons, com uma pequena porção constituida por núcleos mais pesados [31], como mostra a Tabela (1.1). Estes raios cósmicos primários, os quais possuem um espectro de energia que tem um pico na faixa de GeV e estende-se a energias mais altas como aproximadamente uma lei de potência, como mostra a Figura (1.1) [7], intergem com os núcleos da atmosfera (em sua maioria nitrogênio, oxigênio e argônio) e geram partículas secundárias, as quais incluem todos os hádrons e seus produtos de decaimento.

Tabela 1.1: Composição dos raios cósmicos primários.

Partícula %

p 85

𝛼 12

Z> 2 1

e± ₂

Por serem hádrons mais leves, muitos píons secundários são produzidos nes-sas interações de raios cósmicos e, como ilustrado na Figura (1.2), estes píons decaem principalmente em múons e neutrinos muônicos. Os múons por sua vez também decaem produzindo elétrons, neutrinos eletrônicos e neutrinos muônicos, resultando em uma cadeia de decaimento representada na Equação (1.1)

𝜋+ → 𝜇+_{+ 𝜈}

𝜇 𝜋− → 𝜇−+ ¯𝜈𝜇

↓ ↓ (1.1)

Figura 1.1: Compilação de medidas de diferentes espectros de energia de raios cósmicos. A linha pontilhada mostra uma lei de potência 𝐸−3 _{para comparação. Fluxos integrais} aproximados (por esferorradiano) são também mostrados. A energia na abiscissa é a energia cinética. Figura retirada da Ref.[32].

1.1. Fluxo de neutrinos atmosféricos 21

Figura 1.2: Esquema da produção de neutrinos pela interação de um raio cósmico primário na atmosfera, com a geração de píons e múons. Figura retirada da Ref. [33].

Os neutrinos com energias de 100 MeV a 100 GeV podem ser detectados em laboratórios subterrâneos, os quais fornecem informações acerca do número de eventos em relação a energia e direção de incidência no detector.

Estabelecer fluxo dos neutrinos em relação ao seu espectro de energia e sua propagação na atmosfera nos fornece informações acerca de sua física e propriedades de in-terações, de modo que se possa estabelecer padrões de comparação com fluxos modificados e tentar buscar evidências de novas teorias. Além disso, como conhecemos os mecanis-mos que geram os neutrinos na atmecanis-mosfera, ou seja, as equações de cascatas, podemecanis-mos mapeá-las para obter informações acerca do espectro inicial de raios cósmicos e estudar sua constituição e origem no universo.

1.1

Fluxo de neutrinos atmosféricos

Podemos calcular o fluxo de neutrinos atmosféricos, e dos estados intermediários como píons e múons de duas formas: (I) analítica, com algumas hipóteses, podendo ter uma expressão fechada para os fluxos e as razões entre os diferentes neutrinos e (II) via cálculo por Monte-Carlo. Cada um destes caminhos tem suas vantagens e desvantagens. Para termos uma expressão analítica, precisamos fazer algumas aproximações que nos permite desacoplar as equações de produções de partículas (o caso geral é uma equação integro-diferencial [24]). É interessante pois podemos entender a relação entre os diversos fluxos das partículas filhas como os neutrinos, píons e múons, alterar as hipóteses diretamente e observar quais são as mudanças dos fluxos finais. Com isto, podemos por a prova nossas hipóteses ao comparar nossas predições com os resultados de vários experimentos que mediram os fluxos de múons atmosféricos, e entender o impacto no fluxo dos neutrinos

atmosféricos. A alternativa (II), usando cálculo de Monte-Carlo é a técnica mais abrangente para obter o fluxo dos neutrinos atmosféricos, sendo possível incluir os mínimos detalhes do espectro de energia e da composição dos raios cósmicos. A desvantagem é que entender o efeito das hipóteses feitas nos cálculos é extremamente complexo e até hoje não foi feito na literatura. Os dois cálculos mais abrangentes são feitas pelo grupo de Tokyo [34] e pelo grupo de Bartol Research Institute [35, 36], e os recentes cálculos usando o FLUKA [37]. Iremos calcular analiticamente o fluxo de neutrinos na atmosfera. Primeira-mente é necessário que o espectro inicial dos raios cósmicos seja estabelecido, pois este será o ponto de partida para o desenvolvimento dos sucessivos processos até as cadeias de decaimento descritas pela Equação (1.1). Na maior parte das vezes, o espectro primário de raios cósmicos acelerados (𝑝) em uma fonte astrofísica é uma lei de potência da energia (𝐸) na forma de

𝜑𝑝(𝐸𝑝) ∝ 𝐸𝑝−𝛼, (1.2)

onde 𝛼 é um parâmetro dependente do mecanismo de aceleração. Para um acelerador cósmico no qual o mecanismo dominante é o de aceleração por difusão de choque em primeira ordem (mecanismo de Fermi), 𝛼 ∼ 2 + 𝜀, onde 𝜀 é um número pequeno. O espectro de raios cósmicos observado na Terra é, no entanto, caracterizado por 𝛼 ∼ 2,7, que tende a ser mais acentuado que o espectro acelerado devido à difusão dos raios cósmicos na galáxia ser dependente da energia [38]. O caso geral é que a lei de potência do espectro dos raios cósmicos muda com a energia, o qual não trataremos aqui.

Por se tratar de prótons os principais constituintes dos raios cósmicos, os processos de interação com núcleos alvos que culminarão na produção de píons (𝜋) terão como radiação incidente prótons acelerados. Como existem neutrinos diretamente do decaimento do píon e do decaimento do múon, devemos somar estas duas contribuições para vermos o fluxo de cada um dos neutrinos produzidos, neste caso 𝜈𝑒,¯𝜈𝑒,𝜈𝜇 e ¯𝜈𝜇.

23

Cap´ıtulo

2

Propagação de Partículas e Descrição da

Atmosfera

A produção de neutrinos na atmosfera está diretamente associada a interação de raios cósmicos com o meio gerando as cascatas de partículas, ou chuveiros atmosféricos. Como os neutrinos são produzidos a partir do decaimento de partículas instáveis geradas por essas interações, é necessário saber como se dá a propagação dessas partículas na atmosfera até a criação de neutrinos. Ainda, como a dinâmica das interações depende da constituição do meio, devemos estudar suas propriedades de modo a levar em conta a influência do meio.

2.1

Equação de Cascata

A evolução do fluxo 𝜑 de um raio cósmico do tipo 𝑗 na atmosfera terrestre é, para uma dimensão, dada pela equação de cascata que consta nas Refs. [23, 39, 40, 41]:

𝑑𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝜆𝑗(𝐸) − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑗(𝐸,𝑡) +∑︁ 𝑘 𝑆𝑘→𝑗(𝐸,𝑡), (2.1)

onde 𝑡 é chamada slant depth ou, em português, gramagem definida como a integral da densidade do meio 𝜌 ao longo da trajetória da partícula 𝑙 no meio, ou seja,

𝑡(𝑙) =

∫︁ ∞

𝑙

𝜌(𝑙′)𝑑𝑙′, (2.2)

usualmente expressa em g/cm2_{. A variável gramagem é usada na Equação de Cascata (2.1)} em vez de simplesmente a trajetória 𝑙, pois 𝑡 agrega a si a densidade do meio onde está ocorrendo a difusão dessas partículas a qual mudará dependendo da constituição do meio.

O primeiro termo do lado direito da Equação (2.1) descreve o desaparecimento da partícula 𝑗 do fluxo devido a interações com a atmosfera a partir de um comprimento

densidade atmosférica até interagir com um núcleo. Ele é dado explicitamente por 𝜆𝑗(𝐸,𝑡) = 𝜌(𝑡) ∑︀ 𝐴𝜎𝑗𝐴(𝐸)𝑛𝐴(𝑡) , (2.3)

onde 𝜎𝑗𝐴(𝐸) é a seção de choque inelástica de interação da partícula 𝑗 com um núcleo de

número de massa 𝐴 e número de densidade 𝑛𝐴. Uma vez que na altitude ℎ onde os raios

cósmicos usualmente interagem (entre 10 e 40 km de altura) a composição da atmosfera é aproximadamente constante, podemos fazer a média dos números de massa dos nucleons e de suas seções de choque de modo que a densidade fica

𝜌(𝑡) ≃ ¯𝐴∑︁ 𝐴 𝑛𝐴(𝑡)/𝑁𝐴 (2.4) e ∑︁ 𝐴 𝜎𝑗𝐴(𝐸)𝑛𝐴(𝑡) ≃ ¯𝜎𝑗(𝐸) ∑︁ 𝐴 𝑛𝐴(𝑡), (2.5)

sendo ¯𝐴 ≃14,5 o número de massa médio do ar, ¯𝜎𝑗(𝐸) a seção de choque média e 𝑁𝐴 o

número de Avogadro [7]. Obtemos então

𝜆𝑗(𝐸) ≃

¯

𝐴 𝑁𝐴¯𝜎𝑗(𝐸)

, (2.6)

que é uma quantidade dependente apenas da composição média da atmosfera e inversa-mente proporcional à seção de choque inelástica, ou seja, quanto maior a seção de choque, menos a partícula percorrerá a atmosfera para interagir.

O segundo termo no lado direito da Equação (2.1) descreve o desaparecimento de 𝑗 do fluxo devido ao decaimento dessa partícula, com um comprimento de decaimento

𝑑𝑗(𝐸,𝑡) geralmente em g/cm2 que é dado por

𝑑𝑗(𝐸,𝑡) = 𝜌(𝑡)𝑐𝛽𝜏𝑗

𝐸 𝑚𝑗𝑐2

, (2.7)

sendo que a quantidade 𝑐𝛽𝜏𝑗_𝑚𝐸_𝑗𝑐2 nos dá o deslocamento relativístico da partícula na

atmosfera com velocidade 𝛽𝑐, tempo de vida 𝜏𝑗, massa 𝑚𝑗 e energia 𝐸. Considerando o

limite ultrarrelativístico (𝛽 = 1) e unidades naturais (𝑐 = 1), o comprimento de decaimento será, portanto,

𝑑𝑗(𝐸,𝑡) = 𝜌(𝑡)𝜏𝑗

𝐸 𝑚𝑗

. (2.8)

Finalmente, o terceiro termo da Equação (2.1) nos fornece o acréscimo de partículas 𝑗 no fluxo a partir da interação ou decaimento de partículas 𝑘. O termo fonte

2.2. Atmosfera terrestre 25 𝑆𝑘→𝑗(𝐸,𝑡) = ∫︁ ∞ 𝐸 𝑑𝐸𝑘 𝜑𝑘(𝐸𝑘,𝑡) 𝜆𝑘(𝐸𝑘) 𝑑𝑛𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 , (2.9)

que representa a fração do fluxo de partículas 𝑘 que se transformará no fluxo de partículas

𝑗. Essa fração será modulada pelo comprimento de interação 𝜆𝑘 e pela distribuição de

energia normalizada 𝑑𝑛𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘)/𝑑𝐸 de 𝑗, os quais estão associados a quantidade de

partículas 𝑘 que desaparecerão para a criação 𝑗.

A distribuição de energia da partícula 𝑗 pode ser representada de duas maneiras: 1. Pela seção de choque, no caso da interação da partícula 𝑘 com a atmosfera produzindo

𝑗;

2. Pela taxa de decaimento, no caso da partícula 𝑘 decair produzindo 𝑗. No primeiro caso, a distribuição de energia é escrita como

𝑑𝑛𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 = 1 𝜎𝑘(𝐸𝑘) 𝑑𝜎𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 , (2.10)

onde um hádron 𝑘 com seção de choque 𝜎𝑘 e energia 𝐸𝑘 interage com a atmosfera

produ-zindo o hádron 𝑗 com energia 𝐸, sendo 𝑑𝜎𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘)/𝑑𝐸 a seção de choque diferencial de

produção de 𝑗.

No segundo caso, a taxa é dada por

𝑑𝑛𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 = 1 Γ𝑘→𝑗(𝐸𝑘) 𝑑Γ𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 , (2.11)

e é escrita em termos da taxa de decaimento total Γ𝑘→𝑗 e diferencial 𝑑Γ𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘)/𝑑𝐸

da partícula 𝑘 em determinado referencial. Para esse caso, substitui-se 𝜆𝑘 por 𝑑𝑘 na

Equação (2.9), pois agora o comprimento de decaimento é que vai modular a quantidade de partículas 𝑗 que será produzida devido ao decaimento de 𝑘.

Em razão da gramagem e do termo de decaimento possuirem dependência direta com a densidade do meio, no caso a atmosfera da Terra, é necessário que se obtenha uma expressão para a mesma de modo a representá-la da melhor forma e ao mesmo tempo mais simples possível. Sendo assim, trabalharemos na próxima seção com a modelagem da densidade atmosférica em função da altitude da superfície terrestre para relacioná-la com a trajetória da partícula e com a gramagem.

2.2

Atmosfera terrestre

Tal como definido na Equação (2.2), a gramagem 𝑡(𝑙) é a integral da densidade do meio ao longo de uma trajetória de comprimento 𝑙

𝑡(𝑙) =

∫︁ ∞

𝑙

𝜌(𝑙′)𝑑𝑙′.

Como a densidade da atmosfera tem dependencia apenas com a altitude ℎ, 𝑙 representará a trajetória perpendicular de uma partícula incidente no topo da atmosfera até o ponto 𝐷 localizado no solo, ou seja, 𝑙 = ℎ. Observa-se pela Figura (2.1) que enquanto

ℎ é medido em relação a superfície da Terra, 𝑡ℎ é medido a partir do topo, que indicará

a quantidade de matéria a ser percorrida até chegar no solo, ou seja, grandes valores de gramagem indicam que a cascata está próxima da superfície.

Para 𝑙 ̸= ℎ, ou seja, para uma trajetória inclinada, ℎ = 𝑙 cos 𝜃 e 𝑡ℎ = 𝑡𝑙cos 𝜃,

onde 𝑡𝑙 é a gramagem associada a trajetória inclinada e 0 < 𝜃 . 60𝑜, pois para ângulos

maiores o efeito da curvatura da Terra aparece e a relação de 𝑙 com ℎ torna-se mais complicada, como veremos mais adiante. O ângulo 𝜃 relaciona ℎ e 𝑙. Quando 𝜃 = 0, ℎ = 𝑙 e 𝑡ℎ = 𝑡𝑙. 𝑡ℎ ℎ 𝑡𝑙 𝑙 ℎ= 0 𝜃 𝑡= 0 Solo Topo da atmosfera D

Figura 2.1: Definição das variáveis que descrevem a atmosfera [23].

A maioria das interações de raios cósmicos ocorre na estratosfera, a segunda camada da atmosfera, entre 10 e 40 km de altura. Nessa região, podemos considerar a atmosfera isotérmica e derivar a expressão da densidade através de hidrostática. Para isso, faremos três considerações:

1. A composição do ar não muda com a altura, tal como aproximado para o comprimento de interação 𝜆𝑗;

2. A equação de estado do ar pode ser aproximada pela equação de um gás ideal; 3. A atmosfera está em equilíbrio hidrostático, onde a pressão 𝑝 ajusta-se para

contra-balancear a gravidade por um gradiente de força.

Portanto, dada a força peso 𝑃 = 𝑚𝐴𝑔 = 𝑔ℎ𝑆𝜌, onde 𝑚𝐴 é a massa média do

ar, 𝑔 a aceleração da gravidade e 𝑆 a seção transversal da coluna de ar, como mostra a Figura (2.2), teremos

2.2. Atmosfera terrestre 27 𝑧+ 𝑑𝑧 𝑧 𝑝 𝑝+ 𝑑𝑝 𝑑𝑝(𝑧) 𝑑𝑧 𝑔𝜌(𝑧)

Figura 2.2: Representação de uma coluna de ar em equilíbrio com a força gravitacional através de um gradiente de pressão.

𝑝= 𝑃

𝑆 = 𝑔ℎ𝜌. (2.12)

Observa-se que para cada elemento de volume expresso pela Figura (2.2), a densidade atmosférica 𝜌 é constante. Calculando, portanto, o gradiente de pressão, obtemos a equação hidrostática

𝑑𝑝

𝑑ℎ = −𝑔𝜌, (2.13)

na qual usaremos a Lei dos Gases Ideais para escrevermos a Equação (2.13) em termos de 𝜌. Dessa maneira, teremos

𝑑𝜌 𝜌 = − 𝑔𝑀𝐴 𝑅𝑇 𝑑𝑧 𝜌(𝑧) = 𝜌0𝑒− 𝑔𝑀𝐴 𝑅𝑇 𝑧 𝜌(ℎ) = 𝜌0𝑒 −ℎ ℎ0_, (2.14)

onde 𝑀𝐴 é a massa molar média do ar, 𝜌0 é a densidade na altura inicial, ou seja, 𝜌0 = 𝜌(0) ≃ 2,03 × 10−3 𝑔/𝑐𝑚3 e ℎ0 = 𝑅𝑇/𝑔𝑀𝐴≃6,4 km. Na Figura (2.3), a Equação (2.14) é

comparada com medidas da densidade atmosférica em relação a altitude [42], onde ambas apresentam boa concordância na região de produção das cascatas de partículas, sendo que entre 10 e 42 km de altura o erro relativo é menor que 10% e entre 44 e 46 km de altura o erro máximo é de 16%. Portanto, a Equação (2.14), também chamada de atmosfera

isotérmica, é uma boa aproximação e será utilizada em nossos cálculos.

Apesar da aproximação da atmosfera isotérmica ter uma forma simples e fa-cilitar na abordagem analítica dos fluxos, ela também é utilizada no input de cálculos numéricos, por ser um modelo que concorda bem com os dados experimentais na região

0 20 40 60 80 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 Altura [km] Densidade [g /cm 3 ] US Standard Atmosphere, 1976 ρ(h) = ρo e-h/ho

Figura 2.3: Comparação da Equação (2.14) (linha contínua) com dados de densidade atmosféria em relação a altitude (US Standard Atmosphere) que constam em [42] (linha pontilhada). Observa-se que ambas apresentam boa concordância até 45 km de altitude, região da atmosfera onde é dada a produção das cascatas de partículas que queremos estudar, e sofre um desvio mais acentuado para maiores altitudes.

atmosférica de interesse. Apenas em 2015, foram feitos cálculos do fluxo de neutrinos atmosféricos utilizando outro modelo de atmosfera [43].

Substituindo então a Equação (2.14) na Equação (2.2) da gramagem, obtemos

𝑡ℎ(ℎ) ≃ ℎ0𝜌0𝑒−ℎ/ℎ0 = ℎ0𝜌(ℎ), (2.15) com ℎ0𝜌0 ≃ 1300 g/cm2.

Como dito anteriormente, podemos ter um fluxo de partículas incidindo em uma trajetória arbitrária 𝑙 até o ponto 𝐷 e calcular 𝑡𝑙 relacionando a altura ℎ com 𝑙 de

modo a inserir ℎ = ℎ(𝑙) na expressão da densidade na Equação (2.14). Utilizando a Lei dos Cossenos, ℎ é escrito em termos de 𝑙 e do ângulo zenital 𝜃 como

ℎ(𝑙,𝜃) =√︁𝑙2+ 𝑅2

𝑇 + 2𝑙𝑅𝑇 cos 𝜃 − 𝑅𝑇, (2.16)

sendo 𝑅𝑇 o raio da Terra. Uma vez que a atmosfera é muito mais fina que o raio da Terra,

ou seja, 𝑙/𝑅𝑇 << 1, podemos aproximar a Equação (2.16) por

ℎ(𝑙,𝜃) ≃ 𝑙 cos 𝜃 + 𝑙 2 2𝑅𝑇

sin2_{𝜃. (2.17)}

Se 𝜃 . 60𝑜_{, como ilustrado na Figura (2.1), desprezamos as contribuições devido à}

2.2. Atmosfera terrestre 29 𝑡𝑙(𝑙) = ∫︁ ∞ ℎ 𝜌(ℎ′ = 𝑙′ cos 𝜃)𝑑𝑙′ = ℎ0 cos 𝜃𝜌(𝑙), (2.18)

diferentemente das Equações (2.16) e (2.17), onde não conseguimos recuperar o termo de densidade 𝜌 para relacioná-lo diretamente com a gramagem 𝑡𝑙. Se aplicarmos a

Equa-ção (2.16) na Equação da densidade (2.14) e integrarmos em 𝑙 não conseguimos sequer obter uma expressão analítica para a gramagem. No caso da Equação (2.17), os mesmos procedimentos acima resultarão em uma expressão muito complicada para a gramagem e, como dito, não conseguimos relacioná-lo diretamente com a densidade para, quando aplicassemos nos termos da Equação de Cascata (2.1), carregarmos explicitamente as características do meio nas expressões dos fluxos obtidas.

O fluxo de raios cósmicos é quase isotrópico, havendo assimetria de 1% para fontes extragaláticas, além dos efeitos geomagnéticos serem importantes apenas para raios cósmicos com energias abaixo de 1 GeV, o que não é nosso caso [44]. Assim, podemos considerar a incidência dos mesmos em qualquer ângulo zenital sem fazer aproximações. No entanto, como vimos, quando a curvatura da Terra é considerada, a abordagem analítica é dificultada ou impossível, e com a finalidade de termos um entendimento qualitativo do fluxo de neutrinos atmosféricos e determinar em quais energias das partículas primárias e em quais espaços de fase a produção de partículas será importante para os vários eventos que ocorrem na atmosfera, iniciaremos os cálculos considerando o caso mais simples em que temos uma incidência perpendicular de raios cósmicos na atmosfera, onde 𝜌(ℎ) = 𝑡(ℎ)/ℎ0 será aplicado nos termos da Equação de Cascata.

Cap´ıtulo

3

Cálculo do Fluxo de Partículas na Atmosfera

Sabendo que o fluxo de partículas em determinado meio é regido por Equações

de Cascata, as quais descrevem a dinâmica da partícula ao longo do percurso seja por

interações, decaimento e produção por outras fontes, e ainda sabendo como é tratada a atmosfera terrestre, que é nosso meio de estudo, em termos de sua densidade em função da altitude e gramagem, procedemos a calcular o fluxo de raios cósmicos ao longo da mesma.

Os fluxos que serão calculados neste trabalho estão esquematizados na Fi-gura (3.1) por ordem de produção. O fluxo de raios cósmicos primários será composto apenas por prótons, por serem os principais constituintes dos mesmos. Estes prótons in-teragem com os núcleos da atmosfera e produzem majoritariamente píons, que decaem produzindo quase sempre múons e neutrinos muônicos. Káons também são produzidos nas interações de prótons com a atmosfera, mas seu fluxo torna-se importante a partir apenas de 100 GeV [44] e não o consideraremos nos cálculos. Os múons vindos do decaimento dos píons por sua vez decaem em elétrons e neutrinos muônicos e eletrônicos, completando a cadeia.

𝜑𝑝

𝜑𝜋

𝜑𝜇 𝜑𝜈𝜇

𝜑𝜈𝑒 𝜑𝜈𝜇

Figura 3.1: Diagrama dos fluxos de partículas produzidas na atmosfera que calcularemos a partir de um fluxo inicial de raios cósmicos (prótons).

3.1. Fluxo de Prótons 31 Calcularemos os fluxos dessas partículas levando em conta suas propriedades de interação utilizando a Equação de Cascata (2.1), apresentada no Capítulo (2)

𝑑𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝜆𝑗(𝐸) − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑗(𝐸,𝑡) +∑︁ 𝑘 𝑆𝑘→𝑗(𝐸,𝑡),

sendo que, para cada tipo de partícula, ela será descrita de uma forma diferente como mostraremos a seguir.

3.1

Fluxo de Prótons

Os raios cósmicos que incidem na atmosfera são constituídos em sua grande maioria por prótons e, como mostra a Figura (1.1), tem um espectro de energia na forma de uma Lei de Potência. O fluxo primário diferencial, em m−2 _sr−1 _s−1 _GeV−1_{, de prótons} para energias entre poucos GeV até centenas de TeV é dado aproximadamente por [7]

𝜑𝑝(𝐸) ≃ 𝜑𝑝(𝐸 = 1GeV) (︂ _𝐸 GeV )︂−𝛼 , (3.1) com 𝛼 = 2,7 e 𝜑𝑝(𝐸 = 1GeV) ≃ 1,8 × 104 prótons m2 _{sr s GeV}. (3.2)

Dessa forma, a equação que descreverá a evolução do fluxo de prótons 𝜑𝑝(𝐸,𝑡)

ao longo da atmosfera será

𝑑𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝜆𝑝 +∑︁ 𝑘 𝑆𝑘→𝑝(𝐸,𝑡), (3.3)

observando que não há o termo de decaimento em vista dos nucleons possuirem meia-vida muito longa, ou seja, pela Equação (2.8), se 𝜏𝑝 → ∞, 𝑑𝑝 → ∞, e −𝜑𝑝/𝑑𝑝 →0.

Para avaliar o termo fonte na Equação (3.3), assumiremos duas hipóteses [23,

40, 39,41]:

1. O comprimento de interação 𝜆𝑘 é independente da energia, uma vez que as seções

de choque inelásticas dos hádrons na atmosfera quase não mudam com a energia na região que estamos considerando. Entre 10 GeV e 1 TeV, por exemplo, 𝜆𝑝 varia seu

valor em 3,8% e 𝜆𝜋 em 7,7% [23];

2. A distribuição de energia 𝑑𝑛𝑘→𝑝/𝑑𝑥, onde 𝑥 = 𝐸/𝐸𝑘 depende apenas de 𝑥 (Feynman

scaling), ou seja, apenas da razão da energia transferida pelo hádron 𝑘 ao próton 𝑝.

Com essas aproximações, o termo fonte na Equação (2.9)

𝑆𝑘→𝑗(𝐸,𝑡) = ∫︁ ∞ 𝐸 𝑑𝐸𝑘 𝜑𝑘(𝐸𝑘,𝑡) 𝜆𝑘(𝐸𝑘) 𝑑𝑛𝑘→𝑗(𝐸,𝐸𝑘) 𝑑𝐸 ,

pode ser escrito em termos da fração da energia 𝑥 cedida pela partícula 𝑘 𝑆𝑘→𝑝(𝐸,𝑡) = 1 𝜆𝑘 ∫︁ 1 0 𝑑𝑥 𝑥 𝜑𝑘 (︂_𝐸 𝑥,𝑡 )︂_𝑑𝑛 𝑘→𝑝 𝑑𝑥 . (3.4)

Aqui, retiramos o comprimento de interação 𝜆𝑘, que agora é constante, para fora da integral

e fatoramos 𝐸𝑘 da distribuição de energia, ou seja,

𝑑𝑛𝑘→𝑝 𝑑𝐸 = 1 𝐸𝑘 𝑑𝑛𝑘→𝑝 𝑑𝑥 . (3.5)

Além disso, para o termo fonte na forma da Equação (3.4) podemos resolver a Equação de Cascata (2.1) fatorando as dependencias da energia e da gramagem do fluxo de hádrons 𝑘 𝜑𝑘(𝐸𝑘,𝑡) = 𝜑𝑘(𝑡)𝜑𝑘(𝐸𝑘), (3.6) com 𝜑𝑘(𝐸𝑘) ∝ 𝐸𝑘−𝛼, e então, 𝜑𝑘(𝐸𝑘,𝑡) = 𝜑𝑘 (︁_𝐸 𝑥,𝑡 )︁

= 𝜑𝑘(𝐸,𝑡)𝑥𝛼. Portanto, o termo fonte

assume o formato

𝑆𝑘→𝑝(𝐸,𝑡) =

𝜑𝑘(𝐸,𝑡)

𝜆𝑘

𝑍𝑘𝑝, (3.7)

onde 𝑍𝑘𝑝 é chamado Fator Z, dado por

𝑍𝑘𝑝(𝛼) =

∫︁ 1

0

𝑑𝑥 𝑥𝛼−1𝑑𝑛𝑘→𝑝

𝑑𝑥 , (3.8)

que representa a fração do fluxo de partículas 𝑘 que contribuirá com o fluxo de prótons 𝑝. Usaremos essa simplificação em todo o cálculo da Equação de Cascata para qualquer partícula 𝑗, que será agora escrita como

𝑑𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝜆𝑗(𝐸) − 𝜑𝑗(𝐸,𝑡) 𝑑𝑗(𝐸,𝑡) +∑︁ 𝑘 𝜑𝑘(𝐸,𝑡) 𝜆𝑘 𝑍𝑘𝑗. (3.9)

Em se tratando do fluxo de prótons, consideramos que estes são gerados apenas por outros prótons, ou seja, 𝑘 = 𝑝, o que reduz a equação para

𝑑𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝜆𝑝 + 𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝜆𝑝 𝑍𝑝𝑝 𝑑𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝜆𝑝 (1 − 𝑍𝑝𝑝) 𝑑𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝑝(𝐸,𝑡) Λ𝑝 , (3.10)

onde Λ𝑝 = 𝜆𝑝/(1 − 𝑍𝑝𝑝), sendo 𝜆𝑝 o comprimento de interação do próton, que inclui o

3.1. Fluxo de Prótons 33 condição de contorno 𝜑𝑝(𝐸,0) = 𝜑𝑝(𝐸), onde 𝜑𝑝(𝐸) é o espectro de energia dos prótons

primários dado pela Equação (3.1), a solução para o fluxo é dada por

𝜑𝑝(𝐸,𝑡) = 𝜑𝑝(𝐸)𝑒−𝑡/Λ𝑝. (3.11)

A Figura (3.2) mostra o comportamento de 𝜑𝑝(E > 1 GeV , 𝑡) em função da

gramagem 𝑡.

Pelo fato do Fator Z na Equação (3.8) depender do índice espectral 𝛼, teremos diferentes valores de 𝑍 dependendo da lei de potência que o espectro das partículas primárias possui. Neste caso, para 𝛼 = 2,7, temos 𝑍𝑝𝑝≃0,30 [39]. Como a interação dos

prótons com a atmosfera não é de nível elementar, pois consistem em estados ligados de quarks, não é possível calcular a seção de choque de maneira precisa, havendo necessidade de ajustes polinomiais de dados experimentais e então só expomos o valor aproximado de

𝑍𝑝𝑝 para determinada potência da energia. A variação dos fatores Zs com a energia só

serão importantes em energias acima de 1 TeV [45]. Temos ainda que 𝜆𝑝 ≃86 g/cm2 [23]

e o chamado comprimento de atenuação Λ𝑝 = 𝜆𝑝/(1 − 𝑍𝑝𝑝) ≃ 123 g/cm2, que regerá a

atenuação do fluxo de prótons, da Equação (3.11), na atmosfera devido suas interações com a mesma.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

1

10

100

1000

10

46 16 12

9

7

6

5

4

3

2

1

t [g/cm

]

ϕ

(t

)

[m

sr

s

]

Altura [km]

Figura 3.2: Fluxo integral de prótons com E > 1 GeV em função da gramagem, onde há a diminuição exponencial do fluxo regido pelo comprimento de atenuação Λ𝑝, que carrega

3.2

Fluxo de Píons

Os produtos mais abundantes da interação de nucleons primários na atmosfera são píons carregados, 𝜋±_{, por se tratarem dos mésons mais leves. Káons 𝐾 também} integram o fluxo, mas em menor quantidade e em energias mais altas. Trataremos aqui somente a produção de píons, mas o cálculo pode se estender para qualquer méson. A equação de cascata para píons é [23, 39,40]

𝑑𝜑𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝜑𝜋(𝐸,𝑡) 𝜆𝜋 − 𝜑𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸,𝑡) +𝜑𝑝(𝐸,𝑡) 𝜆𝜋 𝑍𝑝𝜋+ 𝜑𝜋(𝐸,𝑡) 𝜆𝜋 𝑍𝜋𝜋, (3.12)

na qual aproximamos a geração de píons apenas por interações de nucleons e sua regene-ração na atmosfera. Da mesma maneira que 𝑍𝑝𝑝, os fatores 𝑍s da Equação (3.12) também

são dependentes de 𝛼. Assim, para 𝛼 = 2,7 os valores de 𝑍𝑝𝜋 e 𝑍𝜋𝜋, que definem o fator 𝑍

de produção de píons a partir de prótons e de píons primários, respectivamente, são 0,08 e 0,27 [39], e 𝜆𝜋 ≃116 g/cm2 [23].

A Equação (3.12) é muito complicada de se resolver analiticamente, devido a dependencia de 𝑑𝜋 da gramagem e a presença de um fluxo de prótons. Vamos, portanto,

separar a equação em dois regimes e obter soluções para os mesmos. Com este intuito, definimos uma energia crítica para o píon que corresponde a situação onde os comprimentos de interação e decaimento são iguais, ou seja,

𝜆𝜋 = 𝑑𝜋(𝜖𝜋,𝑡). (3.13)

Quando o valor da gramagem for simultaneamente igual a 𝜆𝜋 e 𝑑𝜋, teremos

ambos a interação e decaimento com a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja, quando todos os termos da Equação (3.12) são importantes. Definimos então a energia 𝜖𝜋 onde

essa situação ocorre e a calculamos como

𝜆𝜋 = 𝑑𝜋(𝜖𝜋,𝑡) 𝑡= 𝜌(ℎ) 𝜖𝜋 𝑚𝜋 𝜏𝜋 𝜌(ℎ)ℎ0 = 𝜖𝜋 𝑚𝜋 𝜏𝜋 𝜖𝜋 = ℎ0𝑚𝜋 𝜏𝜋 ≃115 GeV, (3.14)

com 𝑡 relacionado à densidade pela Equação (2.15). Com isso, estabelecemos dois regimes para calcular o fluxo de píons:

3.2. Fluxo de Píons 35 a partícula decai antes de interagir;

2. Alta energia, quando 𝐸𝜋 >> 𝜖𝜋 e a interação domina, pois 𝑑𝜋 ∝ 𝐸𝜋 é muito grande

e a partícula interage antes de decair.

Abaixo de 𝜖𝜋, a interação de píons na Equação (3.12) pode ser negligenciada,

bem como a evolução do fluxo com a gramagem, ou seja, 𝑑𝜑𝜋/𝑑𝑡 = 0 (todos os píons

decairão) e sua regeneração na atmosfera. Com isso, obtemos uma solução aproximada para o fluxo nesse regime que chamaremos de baixa energia (𝐿) dada por

𝜑𝐿_𝜋(𝐸,𝑡) = 𝑍𝑝𝜋 𝜆𝑝

𝑑𝜋(𝐸,𝑡)𝜑𝑝(𝐸,𝑡) (𝐸 << 𝜖𝜋). (3.15)

Quando 𝐸 >> 𝜖𝜋, predominam-se as interações e o termo de decaimento 𝑑𝜋,

segundo termo do lado direito da Equação (3.12), pode ser negligenciado. Nesse regime, chamado de alta energia (𝐻), a solução aproximada é descrita como

𝜑𝐻_𝜋(𝐸,𝑡) = 𝑍𝑝𝜋 1 − 𝑍𝑝𝑝 Λ𝜋 Λ𝜋−Λ𝑝 (︁ 𝑒−𝑡/Λ𝜋_{− 𝑒}−𝑡/Λ𝑝)︁_𝜑 𝑝(𝐸,0) (𝐸 >> 𝜖𝜋), (3.16)

onde Λ𝜋 = 𝜆𝜋/(1 − 𝑍𝜋𝜋) ≃ 159 g/cm2, é o comprimento de interação efetivo do píon. A

Figura (3.3) mostra os fluxos integrais de píons nos regimes de baixa energia com 1 GeV

<E < 𝜖𝜋 e alta energia com E > 𝜖𝜋 GeV em função da gramagem.

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10

10

0.1

1

10

46

16

12

9

7

6

5

4

3

2

1

t [g/cm

]

ϕ

(t

)

[m

sr

s

]

Altura [km]

Figura 3.3: Fluxo integral de píons nos regimes de baixa energia com 1 GeV < 115 GeV e alta energia com E > 115 GeV. Observa-se um rápido crescimento de sua produção em algumas centenas de g/cm2, que em seguida decresce devido as interações com a atmosfera ou ao seu decaimento em outras partículas.

A Figura (3.4) mostra o fluxo de píons em função da energia para um valor de gramagem 𝑡 = 100 g/cm2 (metade da altura onde são produzidos os raios cósmicos). Temos que

1. No regime de baixa energia: 𝜑𝜋 ∝ 𝑑𝜋𝜑𝑝 ∝ 𝐸𝐸−𝛼;

2. No regime de alta energia: 𝜑𝜋 ∝ 𝜑𝑝 ∝ 𝐸−𝛼.

Devido ao termo de decaimento na Equação (3.15), o índice espectral dos mésons decresce uma unidade em relação ao dos nucleons (𝜑𝐿

𝜋(𝐸,𝑡) ∝ 𝐸1−𝛼), por 𝑑𝜋 ser

proporcional a energia, o que não ocorre para energias acima de 𝜖𝜋, onde o fluxo na

Equação (3.16) tem o mesmo índice espectral que o de nucleons (𝜑𝐻

𝜋 ∝ 𝐸

−𝛼_{). Em outras} palavras, o espectro de píons a baixa energia é mais achatado que o espectro primário de nucleons, mas bem acima da energia crítica ele vai aumentando até alcançar a mesma inclinação que o espectro de nucleons, a alta energia.

1

10

100

1000

10

10

0.1

10

1000

E [GeV]

ϕ

(E

)

[m

s

sr

GeV

]

Figura 3.4: Fluxo de píons em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{. As linhas cheias são} os cálculos dos fluxos de baixa e alta energia para os intervalos de energia correspondentes e as linhas pontilhadas são as extrapolações para as energias que a aproximação não é válida.

Sabemos como se comportam os fluxos integrais e os espectros de energia do píon nos limites muito abaixo e muito acima da energia crítica 𝜖𝜋, mas queremos ver

como se comportam os fluxos na região entre esses limites. Para isso, utilizamos a média geométrica dos fluxos para interpolá-los através da expressão

𝜑𝐼_𝜋(𝐸,𝑡) = 𝜑 𝐿 𝜋(𝐸,𝑡) × 𝜑𝐻𝜋(𝐸,𝑡) 𝜑𝐿 𝜋(𝐸,𝑡) + 𝜑𝐻𝜋(𝐸,𝑡) . (3.17) onde 𝜑𝐼

3.3. Fluxo de Neutrinos do Decaimento do Píon 37 Dessa forma, podemos calcular os fluxos de partículas derivadas dos píons em ambos os regimes e interpolar os fluxos da mesma forma para obtermos seu comportamento em todas as energias. O fluxo integral de píons interpolados em função da gramagem 𝑡 é apresentado na Figura (3.5) e o espectro de energia interpolado dos píons aparece na Figura (3.6). Observa-se que bem no valor da energia crítica, o espectro muda de inclinação e a curva da interpolação ajusta bem os espectro nos limites abaixo e acima de 𝜖𝜋 e tem

um comportamento suave em toda a região de energia estudada.

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10

10

0.1

1

10

46

16

12

9

7

6

5

4

3

2

1

t [g/cm

]

ϕ

(t

)

[m

sr

s

]

Altura [km]

Figura 3.5: Fluxos integrais de píons em função da gramagem com a interpolação presente. Observa-se que a interpolação quase fita perfeitamete o fluxo de píons a baixa energia, pois abrange a região de baixas energias, onde o fluxo de nucleons dos quais o fluxo de píons depende das Equações (3.15) e (3.16), é maior devido à Lei de Potência da Energia. Os gráficos daqui para frente apresentados só mostrarão o comportamento do fluxo interpolado 𝜑𝐼_{(𝐸,𝑡) que descreve toda a região de energia de interesse (1 GeV}

- 1 TeV). Entretanto, as soluções para os limites de alta e baixa energia do píon serão calculadas.

3.3

Fluxo de Neutrinos do Decaimento do Píon

Neutrinos são produzidos na atmosfera a partir do decaimento de mésons e léptons. Como estamos trabalhando apenas com píons, por serem os mésons mais leves e abundantemente produzidos nas interações dos raios cósmicos primários, vamos apenas considerar o fluxo de neutrinos oriundos do decaimento de píons.

1

10

100

1000

10

10

0.1

10

1000

E [GeV]

ϕ

(E

)

[m

s

sr

GeV

]

Figura 3.6: Fluxo de píons em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{, incluindo interpolação.} A linha cinza vertical corresponde a energia crítica 𝜖𝜋, onde muda-se a inclinação do

espectro, mostrando a região onde o fluxo difere. O fluxo interpolado entra em acordo com as curvas nos limites muito abaixo e muito acima de 𝜖𝜋 e comporta-se suavemente

em toda a região, não reproduzindo a mudança abrupta de inclinação do espectro.

𝑑𝜑𝜈(𝐸,𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑆𝜋→𝜈(𝐸,𝑡), (3.18)

pelo fato dos neutrinos interagirem apenas fracamente com a matéria possuindo uma seção de choque muito pequena e, até onde se sabe, não decairem. Como dividimos o fluxo de píons em dois regimes, pelo critério da existência de uma energia crítica 𝜖𝜋 descrita na

Seção anterior, teremos duas soluções para a equação de fluxo de neutrinos, para cada um dos limites.

Como temos um decaimento que gera os neutrinos, o termo fonte tem uma leve mudança e passa a ser escrito como

𝑆𝜋→𝜈(𝐸,𝑡) = ∫︁ ∞ 𝐸 𝑑𝐸𝜋 𝜑𝜋(𝐸𝜋,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸𝜋,𝑡) 𝑑𝑛𝜋→𝜈(𝐸,𝐸𝜋) 𝑑𝐸 , (3.19)

onde a distribuição de energia 𝑑𝑛𝜋→𝜈/𝑑𝐸 é dada pela Equação (2.11). No limite

ultrarrela-tivístico, em que a energia é muito maior que a massa da partícula (𝐸𝜋 >> 𝑚𝜋), podemos

fatorar a distribuição de energia e escrevê-la como uma função 𝐹𝜋→𝜈 que depende da razão

entre a energia do neutrino e a energia da partícula-mãe, no caso o píon, ou seja,

𝑑𝑛𝜋→𝜈(𝐸,𝐸𝜋) 𝑑𝐸 ≃ 1 𝐸𝜋 𝐹𝜋→𝜈 (︂_𝐸 𝐸𝜋 )︂ (3.20) Inserindo os fluxos de píons obtidos nos regimes de baixa e alta energia no termo fonte, teremos

3.3. Fluxo de Neutrinos do Decaimento do Píon 39 𝑆_𝜋→𝜈𝐿 (𝐸,𝑡) = 𝜑 𝐿 𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸,𝑡) ∫︁ 1 0 𝑑𝑥 𝑥𝛼−1𝐹𝜋→𝜈(𝑥) = 𝜑𝐿 𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸,𝑡) 𝑍_𝜋𝜈𝐿 (3.21) e 𝑆_𝜋→𝜈𝐻 (𝐸,𝑡) = 𝜑 𝐻 𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸,𝑡) ∫︁ 1 0 𝑑𝑥 𝑥𝛼𝐹𝜋→𝜈(𝑥) = 𝜑𝐻_𝜋(𝐸,𝑡) 𝑑𝜋(𝐸,𝑡) 𝑍_𝜋𝜈𝐻. (3.22) onde definimos 𝑍𝐿 𝜋𝜈 e 𝑍𝜋𝜈𝐻 como 𝑍_𝜋𝜈𝐿 = ∫︁ 1 0 𝑑𝑥 𝑥𝛼−1𝐹𝜋→𝜈(𝑥) (3.23) e 𝑍_𝜋𝜈𝐻 = ∫︁ 1 0 𝑑𝑥 𝑥𝛼𝐹𝜋→𝜈(𝑥). (3.24) Os valores de 𝑍𝐿

𝜋𝜈 e 𝑍𝜋𝜈𝐻 podem ser determinados teoricamente através do

cálculo da distribuição de energia do neutrino do processo 𝜋 → 𝑙𝜈𝑙, onde 𝑙 representa

o lépton emitido no decaimento e 𝜈𝑙 o neutrino associado a este lépton. Como o píon

decai majoritariamente em múons com probabilidade de aproximadamente 99,98% [46], calcularemos a distribuição de energia do neutrino muônico, que consta no Apêndice (A). Assim, os fluxos de neutrinos são obtidos por integração direta do termo fonte em relação a 𝑡, no intervalo [0,𝑡𝑓], onde 𝑡𝑓 é o valor da gramagem na superfície. As soluções

para os fluxos de neutrinos foram calculadas nesse trabalho e são

𝜑𝐿_𝜈(𝐸,𝑡) = 𝑍𝑝𝜋 1 − 𝑍𝑝𝑝 𝑍_𝜋𝜈𝐿𝜑𝑝(𝐸,0) (︁ 1 − 𝑒−𝑡𝑓/Λ𝑝)︁ (3.25) e 𝜑𝐻_𝜈 (𝐸,𝑡) = 𝑍𝑝𝜋 1 − 𝑍𝑝𝑝 Λ𝜋 Λ𝜋 −Λ𝑝 𝑍_𝜋𝜈𝐻 𝜖𝜋 𝐸𝜑𝑝(𝐸,0) [︃ ln (︃ Λ𝜋 Λ𝑝 )︃ + Γ (︃ 0, 𝑡𝑓 Λ𝑝 )︃ −Γ (︂ 0, 𝑡𝑓 Λ𝜋 )︂]︃ , (3.26) onde Γ(𝑠,𝑢) =∫︀∞

𝑢 𝑣𝑠−1𝑒−𝑣𝑑𝑣é a função gama incompleta superior. Calculamos a

interpola-ção e o fluxo integral interpolado dos neutrinos para E > 1 GeV em funinterpola-ção da gramagem a partir de píons nos regimes de baixa e alta energia é exposto na Figura (3.7).

O espectro de energia dos neutrinos para 𝑡 = 100 g/cm2 _{encontra-se na} Fi-gura (3.8). Apesar da ideia ser apenas os espectros interpolados daqui para frente, observa-se que que não há uma energia específica onde os espectros de baixa e alta energia observa-se encontram-se e trocam de comportamento, porque agora estamos tratando de neutrinos e a energia 𝜖𝜋 está apenas associada aos píons. A interpolação, no entanto, concorda com os

fluxos nos dois regimes e apresenta um comportamento suave na região entre os limites, assim como no caso do píon.

0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0.1

1

10

100

1000

10

46

16

12

9

7

6

5

4

3

2

1

t [g/cm

]

ϕ

(t

)

[m

sr

s

]

Altura [km]

Figura 3.7: Fluxo integral e interpolado dos neutrinos do decaimento do píon para E > 1 GeV em função da gramagem 𝑡, a partir de píons nos regimes de baixa e alta energia. O fluxo de neutrinos cresce a medida que os píons vão decaindo e se mantem constante ao longo do percurso na atmosfera por não possuirem interação com a mesma, nem decairem.

1

10

100

1000

10

10

10

10

E [GeV]

ϕ

(E

)

[m

s

sr

GeV

]

Figura 3.8: Fluxo de neutrinos em função da energia para 𝑡 = 100 g/cm2_{, incluindo} interpolação. O fluxo interpolado entra em acordo com as curvas nos limites muito abaixo e muito acima de 𝜖𝜋 e comporta-se suavemente em toda a região e agora não há um ponto

de encontro entre os dois limites em torno da energia crítica, pelo fato de estarmos agora considerando neutrinos.

3.4. Fluxo de Múons do Decaimento do Píon 41

3.4

Fluxo de Múons do Decaimento do Píon

Múons também são produzidos a partir do decaimento do píon e integram a cascata de partículas. A equação completa que descreve o fluxo de múons na atmosfera é

𝜕𝜑𝜇(𝐸,𝑡) 𝜕𝑡 = − 𝜑𝜇(𝐸,𝑡) 𝑑𝜇(𝐸,𝑡) + 𝜕[𝑑𝐸/𝑑𝑡]𝜑𝜇(𝐸,𝑡) 𝜕𝐸 + 𝑆𝜋→𝜇(𝐸,𝑡), (3.27)

onde 𝜕[𝑑𝐸/𝑑𝑡]𝜑𝜇(𝐸,𝑡)/𝜕𝐸 é o termo que leva em conta a perda de energia do múon por

interações eletromagnéticas e processos radiativos na atmosfera e substituirá o termo de interação 𝜑𝑗

𝜆𝑗 até o momento utilizado na descrição dos hádrons (prótons e píons) produzidos

na cascata.

A descrição da perda de energia para o múon é geralmente tratada na literatura como um processo contínuo [47] e em termos de uma quantidade chamada Stopping Power, ou Poder de Frenamento na matéria, que nada mais é do que a quantidade de energia depositada 𝐸 no material onde o múon está se propagando por intervalos de comprimento

𝑋, ou seja, 𝑑𝐸/𝑑𝑋. Esta quantidade depende da partícula incidente, do meio que ela se

propaga e de sua energia. Em nosso caso, a perda de energia do múon na atmosfera será dada em termos da gramagem 𝑡, que se relaciona com o Stopping Power através de

𝑑𝐸 𝑑𝑡 = − 1 𝜌(𝑋) 𝑑𝐸 𝑑𝑋, (3.28)

onde 𝜌(𝑋) vem da Equação da densidade (2.14), sendo 𝑋 correspondente à altura ℎ. A perda de energia contínua do múon na atmosfera é dada pela expressão

𝑑𝐸

𝑑𝑡 = −𝑎 − 𝑏𝐸, (3.29)

sendo 𝑎 ≃ 2 MeV cm2 g−1 _{o termo de perda de energia devido à ionizações na atmosfera e} 𝑏 ≃3,9×10−6 cm2g−1o termo de perda de energia devido ao frenamento (bremsstrahlung),

produção de pares e fotoprodução na faixa de energia de GeV - TeV [48, 49]. Assumindo a criação de um múon de energia 𝐸0 em uma gramagem 𝑡0, integramos a Equação (3.29) e obtemos a energia do múon 𝐸(𝑡) em função de 𝑡, ou seja,

𝐸(𝑡 − 𝑡0,𝐸0) = (︂_𝑎 𝑏 + 𝐸0 )︂ 𝑒−𝑏(𝑡−𝑡0)₋ 𝑎 𝑏. (3.30)

Devido a (𝑡 − 𝑡0) . 1,3 × 103 g cm−2 que é a gramagem correspondente à toda região de interação de 10 − 40 km que podemos ver na Equação (2.15), temos que

𝑏(𝑡 − 𝑡0) . 5 × 10−3 e 𝑒−𝑏(𝑡−𝑡0)≃(1 − 𝑏(𝑡 − 𝑡0)), de modo que

𝐸(𝑡 − 𝑡0,𝐸0) ≃ 𝐸0− 𝑎(𝑡 − 𝑡0). (3.31) De acordo com a Equação (3.31), teremos que para a região de interação considerada, os efeitos nucleares regidos pelo termo 𝑏 não serão considerados. Ainda, a